Hosszú rúd, a közepén felemelve

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Hosszú rúd, a közepén felemelve"

Dániel Balla
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Hosszú rúd, közepén felemelve Feküdjön egy hosszú, egyenes rúd egy vízszintes síkú merev ljzton, mjd középen emeljük fel 1. ábr! 1. ábr forrás: [ 1 ] A rúd lehet például ún. folyóméteráru: tetőléc, betoncél, cél vízcső, stb. Adott: ~ P: felemelő erő ngyság; ~ p: rúd folyómétersúly, vgyis z egyenletesen megoszló teherintenzitás ngyság; ~ EI: rúd hjlítómerevsége. Keresett ld.. ábr! : ~ : z P erő htásvonlától mért szkszhossz, melyen kívül rúd már fekszik z ljzton; ~ M: legmgsbb keresztmetszetben ébredő hjlítónyomték értéke; ~ f: legngyobb rúdelmozdulás / felemelkedés ngyság. Megoldás. ábr forrás: [ 1 ] A rudt P erő htásvonlánk keresztmetszetében kettévágottnk képzeljük.

Adott: ~ P: felemelő erő ngyság; ~ p: rúd folyómétersúly, vgyis z egyenletesen megoszló teherintenzitás ngyság; ~ EI: rúd hjlítómerevsége. Keresett ld.. ábr!

2 A fél rúdr e keresztmetszetben P / nyíróerő és z M hjlítónyomték, fél rúd teljes hosszábn megoszló p önsúlyterhelés, támszkodó részeken pedig z itt nem ábrázolt rekció - erőrendszer ht. A válsztott ( O x y ) koordinát - rendszerben fennáll [ ], hogy M(x) v"(x). E I A hjlítónyomtéki függvény: P x M(x) x p M. ( ) Most ( 1 ) és ( ) - vel: P x EI v"(x) x p M. ( ) Egyszer integrálv: P x EI v '(x) x p Mx c 1. ( ) 6 Érvényesítve z ábrákról is leolvshtó, szimmetri mitt fennálló v '(0) 0 ( 5 ) összefüggést, ( ) és ( 5 ) - tel c 1 = 0 - vl : P x EIv '(x) x p M x. ( 5 ) 6 Újból integrálv: P x x EI v(x) x p M EI f, ( 6 ) 1 hol már lklmztuk v(0) f ( 7 ) jelölést is. A megoldás során z (, f, M ) dtok meghtározásár három feltételi egyenletet kell felírnunk. Ezek: v() 0, v'() 0, v"() 0. A ( 8 ) feltételi egyenletek zt fejezik ki, hogy rúd és merev ljzt első érintkezési pontjábn rúd elmozdulás, érintőjének hjlás és görbülete is zérus. Részletezve: ( 8 / 1 ) és ( 6 ) - tl: P p M EIf 0 ; ( 9 ) 1 ( 1 ) ( 8 )

( ) Egyszer integrálv: P x EI v '(x) x p Mx c 1.

3 ( 8 / ) és ( 5 ) - tel: P p M 0 ; ( 10 ) 6 ( 8 / ) és ( 5 ) - tel: P p M 0. ( 11 ) Most ( 10 ) és ( 11 ) - gyel: P M p ; 6 P ( 1 ) M p. Mjd ( 1 / ) - t - vl végigszorozzuk: P M p ; 6 P ( 1 ) M p. Most ( 1 / ) - ből kivonjuk ( 1 / 1 ) - et: P 1 M11 p 1, 6 P p, innen: P p. ( 1 ) Mjd ( 1 / ) és ( 1 ) - gyel: p M p, 6 innen: M p p, 6 6

4 M p. ( 15 ) 6 Most ( 1 ) - ből: P. p ( 16 ) Mjd ( 15 ) és ( 16 ) - tl: p P P M p, 6 6 p p P M. p ( 17 ) Ezután ( 9 ), ( 16 ) és ( 17 ) - tel: P p P EIf p M M P p P P P P p 1 p 6 p p 9 P p 9 P P P p 1 16 p p p 9 P P 1 9 P P 86 p p 6 8 p p 6 9 P P 9 P, 6 p p 08 p 9 P f. 08 E I p ( 18 )

p ( 17 ) Ezután ( 9 ), ( 16 ) és ( 17 ) - tel: P p P EIf p M M 1 1 6 1 P

5 5 A rúd ruglms szálánk egyenlete ( 6 ), ( 16 ), ( 17 ) és ( 18 ) - cl: P p M v(x) x x x f 1 EI EI EI P p P 9 P x x x 1 EI EI 6 pei 08 EIp 9 P P P p x x x, 08 EIp 6 pei 1EI EI 9 P P P p v(x) x x x. 08 EIp 6 pei 1EI E I ( 19 ) Némi átlkítás után, bevezetve x 0 1 ( 0 ) új változót, ruglms szál egyenlete ( 0 ) szerinti trtománybn: 9P 08p EI v( ) ( 1 ) Más lkbn, ( 18 ) és ( 1 ) - gyel is: v( ) f 16 8 ; ( ) most bevezetve z v( ) ( ) ( ) f újbb változót is, ( ) és ( ) - ml: ( ) ( ) A ( ) függvényt Grph szoftverrel. ábrán ábrázoltuk, ( 0 ) trtományon kívül is. Látjuk, hogy htárokon túl már nem d függvény jó értéket, hogy z várhtó is, hiszen htároktól gerend már egyenes, mivel felfekszik merev ljzton.

( 1 ) Más lkbn, ( 18 ) és ( 1 ) - gyel is: v( ) f 16 8 ; ( ) most bevezetve z v( ) ( ) ( ) f újbb változót is, ( ) és ( ) - ml: ( ) 16 8. ( ) A ( ) függvényt Grph szoftverrel.

6 6 1 y f(x)=1-6*x^+8*x^-*x^ 0. x ábr Ezért újr ábrázoljuk ( ) - et, de most már ( 0 ) megkötéssel. ábr. Megjegyzések: M1. A tetőléc és betoncél között nemcsk nygukt tekintve vn lényeges különbség. Míg tetőléc közel állndó méretű, tégllp keresztmetszetű rúd, ddig betoncél nem ritkán ún. periodikus profilú, vgyis csvrfelületre emlékeztető lkú. Ez zt is jelenti, hogy hjlítómerevsége sem állndó, hnem rúd hossz mentén periodikusn változó mennyiség. M. A fenti eredmények viszonylg hjlékony folyóméteráru helyszíni nygvizsgál - tár is lklmsk lehetnek. A hosszú nygot középen dott f értékre megemelve, mjd távolságot megmérve következtethetünk z EI hjlítómerevség átlgos értékére, ezzel pedig z nyg minőségére is. Ugynis G súllyl és z L hosszúsággl dódó G p ( 5 ) L

periodikus profilú, vgyis csvrfelületre emlékeztető lkú. Ez zt is jelenti, hogy hjlítómerevsége sem állndó, hnem rúd hossz mentén periodikusn változó mennyiség. M.

7 7 1.1 ét Merev ljztról középen felemelt gerend felének lkj f(x)=1-6*x^+8*x^-*x^ f(x)= kszi ábr ismert / lemért folyómétersúly - értékkel, vlmint ( 1 ) - gyel: P p p p h, ( 6 ) hol bevezettük közvetlenül lemérhető h ( 7 ) hosszt. Most ( 18 ) és ( 6 ) - tl: p h 9 P 9 ph f f, 08 EIp 08 EIp 115EI innen: ph EI. 115f ( 8 )

8 8 A ( 8 ) képlet szerint ( p, h, f ) helyszíni mérésével z EI hjlítómerevség egy tűrhető közelítő értékéhez juthtunk, egy mérleg / erőmérő és egy mérőszlg / mérővessző lklmzásávl, n meg ( 5 ) és ( 8 ) képletekkel. Ez nem olyn bonyolult, úgy - e? M. A vizsgált nyg ne legyen pl. hjlékony műnyg cső, mert nnk keresztmetszete hjlítás során belpul, stb. M. Tudjuk, hogy építőnygok helyszíni nygvizsgáltár rendelkezésünkre állnk szbvány áltl előírt megoldások is. Ilyen pl. állványpllók esetén z, hogy két végétől dott távolságbn látámsztják, két embert dott helyen ráállítnk, mjd megmérik behjlást középen, ezt pedig összevetik egy tábláztból vett megengedett értékkel. Cskhogy plló viszonylg merev nyg, viszonylg nem ngy hossz és eléggé ngy keresztmetszete mitt, így od más eljárás kell. M5. A. ábr szerint 0,9 < ξ 1 szkszon görbe már ngyon simul vízszintes érintőjéhez, így leolvsásnál erősen figyelni kell. Nem árt egy kis előgykorlt sem. M6. H vlki szerint itt most feltláltm meleg vizet, kkor Sz. Dusán hlhttln sorit jánlom figyelmébe [ ] : Nem bj, h mindenki énekel, nem bj, h nem ngyon jól, nem bj, h mindenki >> Mindenki << lesz, nem bj, mert egyedül nem tudom jól. H muszáj, el is játszom. Jó lesz z? Üdv z erdésznek! Irodlom: [ 1 ] Jen Roux: Resistnce des mteriux pr l prtique Tome 1. Editions Eyrolles, [ ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtn Műszki Könyvkidó, Budpest, [ ] LGT NAGY KÉPES KOTTÁS EMLÉKKÖNYV LOCOMUSIC Zeneműkidó, Budpest (? ), évszám nélkül Sződliget, 011. július 0. Összeállított: Glgóczi Gyul mérnöktnár

Hasonló dokumentumok

Lécgerenda. 1. ábra. 2. ábra

Lécgerenda. 1. ábra. 2. ábra Lécgerenda Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: Karimás csőillesztés már szóltunk arról, hogy a szeezetek számításaiban néha célszerű lehet a diszkrét mennyiségeket folyto - nosan megoszló mennyiségekkel