Matematikai statisztika gyakorlat félévkezdı tudnivalók. IP-aMSG

Átírás

1 Matematikai statisztika gyakorlat félévkezdı tudnivalók. A tantárgy tartalma (kb): Statisztikai mezı, minta, statisztika. Leíró statisztikák. Rendezett minta, tapasztalati eloszlásfüggvény. Torzítatlan, hatásos és konzisztens becslés. Teljes ill. elégséges statisztika. Neyman faktorizációs tétele. Fisher információ, Cramer-Rao egyenlıtlenség. Rao-Blackwell-Kolmogorov tétel. Maximum likelihood becslés, tulajdonságai. Momentum módszer. Konfidencia intervallumok. Hipotézisvizsgálat. Véletlenített próbák. Neyman-Pearson lemma. U-, Student t-, és F- próbák. Khínégyzet-próba és alkalmazásai. Nemparaméteres próbák. Szekvenciális próbák. Lineáris regresszió, legkisebb négyzetek módszere. A szóráselemzés legegyszerőbb esetei. Az idısorelemzés legegyszerőbb esetei. Ajánlott irodalom: Móri-Szeidl-Zempléni: Matematikai statisztikai példatár. ELTE, Bognár-Göndıcs-Kászonyi-Kováts-Michaletzky-Móri-Somogyi-Szeidl-Székely: Matematikai statisztika. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest Bolla-Krámli: Statisztikai következtetések elmélete. Typotex, Budapest Órák: Heti egyszer 90 perc gyakorlat, a részvétel kötelezı (a jelenlétet ellenırzöm). A HKR 66. (1) bekezdése szerint a foglalkozások egyharmadát meghaladó távollét esetén a gyakorlati jegyet meg kell tagadnom. A feladatsorokat minden órán kinyomtatva kiosztom. Számonkérés: Két darab 90 perces zh, a 6./7. héten (márc. 10, 18) és a 13. héten (ápr. 28, 29). Mindkét zh 100 pontos lesz. A zhn egy puskalap használható (beleértve a pótzht és a gyakjegyuvt is). Az elégségeshez mindkét zhn legalább 30 pontot kell elérni. A többi jegy ponthatárát félév végén állapítom meg (kb %-nál). A félév végén lesz lehetıség pótzh illetve javítózh írására, összesen egy alkalommal (akár mindkét zht lehet pótolni, de csak 90 perc lesz rá). A pótzht követıen még egy alkalommal lesz lehetıség az elégtelen gyakorlati jegyet javítani. Elérhetıségeim: szoba tel.: / villo@ludens.elte.hu honlap: (nem ígérem, hogy ez mindig nagyon aktuális lesz) fogadóóra: kedd

2 Matematikai statisztika gyakorlat Egy ellenállást 12-szer megmérünk. A mérési hiba minden alkalommal, egymástól függetlenül, standard normális eloszlású. Adjuk meg a következı két valószínőségi változó eloszlását: X: a mérések összege, Y: a mérések átlaga! Melyik adat adja meg pontosabban az ellenállás valódi értékét, az elsı mérés, vagy a 12 mérés átlaga? 2. Péter n-szer dob kosárra. Minden dobása, egymástól függetlenül, p valószínőséggel talál be. Jelölje X, hogy a dobások hányad része talált be. Adjuk meg X eloszlását, várható értékét és szórását! a) Tegyük fel, hogy p = ¼. Közelítıleg mekkora az esélye, hogy Péter 400 dobásból legalább 160-szor betalál? b) 400 dobásból Péter 200-szor betalált. Hihetı-e, hogy p = ¼? 3. Egy (esetleg cinkelt) dobókockán dobásból 1300-szor lett az eredmény hatos. a) Mire tippelnénk, mekkora a kockán a hatos dobás valószínősége? b) Mondanánk-e az eredmény alapján, hogy a kocka nem szabályos? 4. Legyen X 1,..., X n független, azonos, az (0, 1) intervallumon egyenletes eloszlású valószínőségi változók sorozata. a) Adjuk meg az X 1 (n) = min(x 1,..., X n ), illetve az X n (n) = max(x 1,..., X n ) valószínőségi változók eloszlás- és sőrőségfüggvényét! b) Hova tartanak ezek a valószínőségi változók (eloszlásban illetve sztochasztikusan)? Mennyi a várható értékük? c) Adjuk meg a fenti valószínőségi változók olyan lineáris függvényét, amelynek nem-elfajuló határeloszlása van! d) Adjuk meg, hogy közelítıleg mekkora az esélye, hogy X 1 (n) nagyobb, mint 2/n! 5. Legyen X 1,..., X n független, azonos eloszlású valószínőségi változók sorozata. Adjuk meg az Y = X X n, valamint az Y/n valószínőségi változó eloszlását abban az esetben, ha az X i -k a) binomiális b) exponenciális c) Poisson eloszlásúak! 6. Legyen X 1,..., X n független, azonos abszolút folytonos eloszlású valószínőségi változók sorozata. a) Adjuk meg X 1 (n), illetve X n (n) eloszlás- és sőrőségfüggvényét! b) Hova tartanak ezek a valószínőségi változók? c) A minimumnál külön is vizsgáljuk meg azt az esetet, ha az X i változók exponenciális eloszlásúak. Mivel standardizálhatunk, hogy nem-elfajuló határeloszlást kapjunk? 7. Az alábbi számok Budapest évi középhımérsékletét mutatják 1981-tıl 2000-ig. ( Számítsuk ki a mintaközepet, a tapasztalati szórást és a szórási együtthatót!

3 Matematikai statisztika gyakorlat Legyen X 1,..., X n független, azonos, a (0, a) intervallumon egyenletes eloszlású valószínőségi változók sorozata, ahol a-t nem ismerjük. Adjunk becslést az a paraméterre a) a mintaátlag, b) a maximum, c) a minimum függvényében. Melyik becslést tartjuk a legjobbnak, és miért? Számítsuk ki a becsléseket a lenti táblázat alapján generált mintákon is! 2. Vizsgáljuk meg az 1. feladatban megadott becslések torzítatlanságát, és tegyük torzítatlanná azokat, amelyek nem ilyenek. Számítsuk ki a becslések szórását is! 3. Legyen X 1,..., X n független, azonos eloszlású indikátorváltozók sorozata. Adjunk többféle torzítatlan becslést az ismeretlen p paraméter négyzetére, ha n legalább kettı. Mi a helyzet n = 1-re? 4. Mutassuk meg, hogy egy független, azonos eloszlású mintából számolt tapasztalati szórásnégyzet nem torzítatlan becslés a mintaelemek elméleti szórásnégyzetre! Hogyan tehetjük torzítatlanná a becslést? 5. Tegyük fel, hogy a paraméterő exponenciális eloszlásból van n elemő mintánk. Adjunk torzítatlan becslést 1/a-ra és exp(-3a)-ra! 6. Legyen X 1,..., X 8 a Bin(4, p), Y 1,..., Y 10 pedig a Bin(6, p) eloszlásból származó független minta, ahol p ismeretlen paraméter. a) Milyen a és b értékekre lesz a X + by torzítatlan becslése p-nek? b) Milyen a és b választással kapjuk meg a legkisebb szórású becslést (a torzítatlanok között)? 7. Oldjuk meg az elızı feladatot általános esetben, azaz egyforma paraméterő, különbözı (ismert) rendő binomiális eloszlású mintákra! 8. Dobjunk fel 6-szor egy kockát. Határozzuk meg a következı alapstatisztikákat: mintaátlag, korrigált tapasztalati szórás, rendezett minta. Rajzoljuk fel a tapasztalati és az elméleti eloszlásfüggvényt! Határozzuk meg a sup F(x) F n (x) statisztika értékét! 9. Legyen n elemő mintánk b paraméterő Poisson eloszlásból. Adjunk torzítatlan becslést b 2 -re és exp(-b)-re! A (0,1) intervallumon egyenletes eloszlásból vett 100 elemő minta

4 Matematikai statisztika gyakorlat Mutassuk meg, hogy exponenciális eloszlású minta esetén n min(x 1,..., X n ) torzítatlan, de nem konzisztens becslés a várható értékre. 2. Mutassuk meg, hogy ha egyelemő mintánk van az (a, a+1) intervallumon egyenletes eloszlásból, akkor nincs hatásos becslés a paraméterre. (Ötlet: adjunk meg minél többféle torzítatlan becslést a megfigyelés egész része segítségével.) 3. Adjunk elégséges statisztikát indikátormintánál a paraméterre a definíció alapján. 4. Adjunk n elemő mintából elégséges statisztikát a faktorizáció segítségével a következı eloszlásokra: a) negatív binomiális eloszlás ( r ismert, p paraméter) b) gamma eloszlás (α, λ paraméter) c) normális eloszlás (µ, σ paraméter) 5. Tegyük fel, hogy október 4-e középhımérséklete Budapesten az elmúlt 10 évben az alábbiak szerint alakult: 12.0, 10.5, 8.6, 14.5, 13.3, 11.9, 14.2, 7.6, 12.2, Számoljuk ki a sőrőségfüggvény Parzen-Rosenblatt-féle becslésének értékét a 13 helyen, ha h = 2 és a magfüggvényünk k(x) = 1, ha 0.5 < x < 0.5 (és 0 különben). Rajzoljuk fel a sőrőségfüggvény Parzen-Rosenblatt-féle becslését! 6. Legyen X 1,..., X n független, az alábbi sőrőségfüggvényő eloszlásból származó minta: f a (x) = 2x/a 2, ha 0 < x < a, és 0 különben. (a > 0 tetszıleges) a) Adjunk elégséges statisztikát az ismeretlen a paraméterre! b) Konstruáljunk torzítatlan becslést a-ra a mintaátlag és a maximális mintaelem segítségével is. c) Mutassuk meg, hogy mindkét becslés konzisztens. d) Melyik a hatásosabb? 7. Legyen X 1,..., X n független, az alábbi sőrőségfüggvényő eloszlásból származó minta: f a (x) = ax a - 1, ha 0 < x < 1 és 0 különben. (a > 1 tetszıleges) a) Legyen X n (n) a legnagyobb mintaelem. Hová tart X n (n)? Hogyan lehet standardizálni, hogy nemelfajuló határeloszlást kapjunk, és mi ez a határeloszlás? b) Adjunk elégséges statisztikát a-ra! c) Adjunk kétféle értelmes becslést a-ra! d) Válasszunk egy konkrét a-t (pl. a = vezetéknevem hossza) és mintaelemszámot! Szimulációval vizsgáljuk meg a becslések eloszlását (speciálisan: torzítatlanok-e, melyiknek kisebb a szórása)! Lehet többféle mintanagyságra és a-ra is vizsgálódni! 8. Határozzuk meg az ismeretlen paraméter ML becslését és momentum módszerbıl adódó becslését, ha az n elemő minta a) geometriai b) E(a, b) c) E(a, 2a) d) exponenciális e) normális eloszlású!

5 Matematikai statisztika gyakorlat Határozzuk meg az ismeretlen paraméter maximum likelihood (ML) becslését a következı eloszlásokból vett n elemő mintából: a) geometriai b) E(0, a) c) exponenciális. 2. Legyenek X 1, X 2,, X n és Y 1, Y 2,, Y n egymástól független α, illetve 1/α paraméterő, exponenciális eloszlású minták. Határozzuk meg α ML becslését! Számítsuk ki a becslést a következı konkrét mintára: X Y A genetikusok szerint egy növényfajban egy bizonyos tulajdonság az alábbi eloszlásban fordul elı: P(AA) = p 2, P(AB) = 2p(1-p), P(BB) = (1 p) 2. Tegyük fel, hogy egy adott területen a három fajta gyakoriság rendre N AA, N AB, illetve N BB. Adjunk ML becslést p-re! Számítsuk ki a becslést a következı konkrét mintára: N AA = 320, N AB = 165, N BB = Legyen X 1, X 2,, X n a következı eloszlásból származó minta: P(X 1 = k) = 2k / (3N(N+1)), ha N k 2N, különben pedig 0. Itt N ismeretlen, pozitív egész értékő paraméter. Adjunk N-re ML becslést! Számítsuk ki a becslést a következı konkrét mintára: 91, 73, 60, 77, 71, 91, 56, 97, 92, Legyen X 1, X 2,..., X n a következı eloszlásból származó minta: P(X i = 1) = c, P(X i = 2) = 3c, P(X i = 3) = 1 4c (0 < c < ¼ ismeretlen paraméter). a) Határozzuk meg c ML becslését! b) Határozzuk meg c momentum módszerbıl adódó (MM) becslését! c) Írjunk fel egydimenziós elégséges statisztikát az ismeretlen paraméterre! d) Adjunk torzítlan becslést c-re X 1 segítségével! e) A d)-ben megadottnál konstruáljunk jobb becslést blackwellizálással! Számítsuk ki a becsléseket arra a 100 elemő mintára, melyben 12 darab 1-es, 39 darab 2-es, és 49 darab 3-as van. 6. Legyen Y ~ E(0, b), ahol b > 0. Legyen X = Y a, ahol a > 0. a) Írjuk fel X sőrőségfüggvényét! b) Legyen X 1, X 2,, X n a fenti eloszlásból vett minta. Adjunk elégséges statisztikát az (a, b) paramétervektorra! c) Adjuk meg (a, b) MM illetve ML becslését! Számítsuk ki a becsléseket a következı konkrét (nagyság szerint rendezett) mintára: 0.03, 0.28, 1.49, 2.05, 9.88, 19.81, 28.16, 39.17, 57.72, A mintaelemek összege 228, négyzetösszege , szorzata pedig Legyen X 1, X 2,, X n indikátor eloszlású minta (n>2). a) Adjunk X 1 és X 2 függvényeként torzítatlan becslést p(1-p)-re! b) Az a)-ban megadottnál konstruáljunk jobb becslést blackwellizálással!

6 8. Egy ezer fıs közvéleménykutatásnál 650-en válaszolták azt, hogy szeretik a kutyákat. Becsüljük meg ML és MM módszerrel a tényleges arányt! Hogyan módosul ez a becslés, ha tudjuk, hogy a kutyákat szeretık 10%-a hazudik, a kutyákat nem szeretıknél pedig 20% ez az arány? 9. Egy CASCO biztosítás kárai 2003-ban 200, 1200, 1800, 125, 485 E Ft voltak. A káreloszlásról feltételezzük, hogy (α, β) paraméterő Pareto eloszlású azaz eloszlásfüggvénye F(x) = 1 [β / (β + x)] α, ha x>0. Határozzuk meg az ismeretlen paraméterek ML és MM becslését! 10. Számítsuk ki a Fisher-információt a következı eloszlású n elemő minták esetén: a) Poisson(λ), λ > 0 paraméter. b) Bin(r, p), r ismert, 0 < p < 1 paraméter. c) Geo(p), 0 < p < 1 paraméter. d) Exp(λ), λ > 0 paraméter. 11. Egy közvéleménykutatás során 1000 embert kérdeztek meg. Közülük 88-an szavaznának a FUMI pártra. Adjunk 95%-os megbízhatóságú konfidenciaintervallumot a FUMI párt tényleges szavazatarányára! (Alkalmazzunk normális eloszlással való közelítést.) 12. Adjunk 95%-os konfidenciaintervallumot az exponenciális eloszlás várható értékére! 13. Legyen (1.8, 2, 3, 3.2, 3.4) öt elemő minta az f a (x) = 2x/a 2 (ha 0 x a, egyébként 0) sőrőségfüggvényő eloszlásból. Adjunk 95%-os megbízhatóságú konfidenciaintervallumot a-ra! (Lépések: adjunk ML becslést a paraméterre, standardizáljuk, határozzuk meg a kapott statisztika eloszlását és ennek tipikus értékeit). 14. Legyen X 1, X 2, X n független, azonos eloszlású minta az f a (x) = 2x/(3a 2 ) (ha a x 2a, egyébként 0) sőrőségfüggvényő eloszlásból, ahol a pozitív paraméter. Tekintsük a következı hipotézisvizsgálati feladatot: H 0 : a 1, H 1 : a < 1. a) Adjunk a legnagyobb mintaelem (X n (n) ) függvényében 10%-os terjedelmő próbát! b) Írjuk fel a próba erıfüggvényét! c) Milyen c-re lesz a (0.5 X n (n), c X n (n) ) intervallum éppen 95%-os megbízhatósági szintő konfidenciaintervallum a-ra?

7 Matematikai statisztika gyakorlat A Reggeli ital tejgyárban minden szállítás elıtt megvizsgálják a 25 dkg-os túrók minıségét. H 0 : p 0,01 a romlott túrócsomagok aránya (ez még elfogadható a gyár számára), H 1 : p > 0,01 (ebben az esetben a túrót újrahasznosítják, túrókrémet készítenek belıle). A gyár eljárása a következı: N csomagot bontanak fel és amennyiben legalább 2 köztük romlott, akkor újrahasznosítást rendelnek el. Írjuk le a statisztikai próbát (paramétertér, mintatér, kritikus tartomány, elfogadási tartomány)! Milyen N-re lesz az elsıfajú hiba valószínősége kisebb 5%-nál? Írjuk fel az erıfüggvényt! 2. A Dezinformatikai Kar HÖK elnöke nagyon fontosnak tartja népszerőségét. Amennyiben a hallgatók legfeljebb 70%-a utálja, az számára elfogadható (H 0 hipotézis). Az ennél nagyobb arány esetén (H 1 hipotézis) lemond. Minden negyedév végén 10 hallgatót kérdez meg (közvéleménykutatást tart). Az elnök akkor mond le, ha a tízbıl legalább 8 diák utálja. Mekkora a próba terjedelme? Várhatóan hány negyedévet fog tevékenykedni az elnök, ha stabilan a diákok 65%-a utálja? 3. A Reggeli ital tejgyárban minden szállítás elıtt megvizsgálják a 25 dkg-os túrók ólomtartalmát március 31-én a még megengedett szint %-ban a mérések a következık voltak: 98,5; 101,4; 99,5; 100,9; 100,7. A korábbi tapasztalatok alapján az ellenır az eredményekrıl feltételezi, hogy szórásuk 1. Elfogadható-e a H 0 : m 100 nullhipotézis a H 1 : m > 100 ellenhipotézissel szemben (α = 0,05)? Mennyi a p-érték? Mennyi a próba erıfüggvényének értéke az m = 102 pontban? Hogyan döntene az ellenır, ha nem ismerné a szórást? 4. (folyt.) A Magyar tarka tejgyárban ugyanezen a napon a következı százalékokat mérték: 97,4; 99,5; 99,9; 98,7. Korábbi tapasztalatok alapján az ellenır mindkét gyár eredményeirıl feltételezi, hogy szórásuk 1. Mondhatja-e, hogy valamelyik gyár jobb minıségő túrót gyárt, mint a másik? Mi a helyzet, ha az ellenır nem ismeri a szórásokat? 5. Az alábbi minta 4 év április 18-án Budapesten mért napi középhımérséklet adatait tartalmazza. Ellenırizzük a H 0 : m = 16 hipotézist α = 0,05 terjedelem mellett a H 1 : m 16 ellenhipotézissel szemben, ha (a) korábbi tapasztalatok alapján a szórást 2-nek tekintjük! Mennyi a p-érték? (b) a szórásról nincs információnk. hımérséklet 14,8 12,2 16,8 17,1 6. A Dezinformatikai Kar III. évfolyamán 5 (nagy létszámú) csoport írt statisztika zárthelyit, de a rossz eredmény miatt mindenki írt egy javítózht is. Az alábbi táblázat a nulla pontos zárthelyi dolgozatok csoportonkénti %-os arányát tartalmazza, mindkét alkalomra. Mondhatjuk-e (α = 0,05), hogy a javítózhra jobban felkészültek a hallgatók? eredeti zh 7,9 8,1 8,8 7,2 6,0 javítózh 7,5 7,5 8,1 7,2 5,7

8 Matematikai statisztika gyakorlat Az alábbi két minta 5 egyforma képességőnek feltételezett sportoló súlylökésben elért eredményeit tartalmazza. Az elsı dobás elıtt az edzı büszkén állította, hogy tanítványai átlagosan legalább 17 métert dobnak, amit a klub igazgatója kétségbe vont. Úgy döntött, hogy csak akkor hosszabbítja meg az edzı szerzıdését, ha a H 0 : m 17 hipotézis α = 0,05 terjedelem mellett elfogadható a H 1 : m < 17 ellenhipotézissel szemben. a) Hogyan döntött az igazgató, ha a korábbi tapasztalatok alapján a dobások szórását 2-nek tekintette? b) Változott volna-e a helyzet, ha nem tekinti a szórást ismertnek? c) Az elızıek alapján az igazgató még egy esélyt adott az edzınek, aki elmagyarázta a sportolóknak, hogy mire figyeljenek jobban oda. Ezután a sportolók még egyszer dobtak. Mondhatjuk-e, hogy a magyarázat hatásos volt? 1. eredmény 14,8 12,2 16,8 17,1 16,1 2. eredmény 18,0 12,1 17,2 17,7 17,0 2. A Reggeli ital tejgyárban minden szállítás elıtt megvizsgálják a 25 dkg-os túrókban található hajszálak számát, jelölje ezt X. A H 0 hipotézis szerint P(X=0)=1/2, P(X=1)=1/3, P(X=2)=1/6. Száz csomag túró ellenırzésekor 40 csomagban nem találtak hajszálat, 40-ben egy hajszál volt, 20-ban pedig 2 hajszál tekergızött. Elfogadjuk-e a nullhipotézist α = 2,5% mellett? 3. A Dezinformatikai Kar III. évfolyamán 300-an tanulnak. Megszámolták, hogy a legutóbbi vizsgaidıszakban hányszor buktak az egyes hallgatók. Az eredményeket tartalmazza az alábbi táblázat. Bukások száma Hallgatók száma Elfogadhatjuk-e azt a nullhipotézist, hogy egy hallgató bukásszáma Bin(4; 0,2) eloszlású? És azt, hogy négy rendő, tetszıleges paraméterő binomiális eloszlású? 4. Kaliforniai gépjármővezetık kárszámát vizsgálták egy kétéves ( ) periódusban. A vezetı adatait az alábbi táblázat tartalmazza. Tekinthetı-e a veztınkénti kárszám Poisson eloszlásúnak? Kárszám >7 Összesen Vezetık száma Az alábbi táblázat mutatja, hogy 100 évben a csapadék menyisége és az átlaghımérséklet hogyan alakult. hımérséklet csapadék kevés átlagos sok hővös átlagos meleg Tekinthetı-e a csapadékmennyiség és a hımérséklet függetlennek (α = 0,05)? 6. Megvizsgáltak összesen 460 darab csavart, amelyek közül 439 mérete volt

9 megfelelı. A megfelelı méretőek közül 416-nak az alakja is megfelelı volt, a többinek nem. Az összes csavar közül 28 darab alakja volt kifogásolható. Függetlennek tekinthetı-e a méret és az alak megfelelısége (α = 0,05)? 7. Két dobókockával dobva a következı eredmények adódtak: gyakoriság dobott érték: kocka kocka Tekinthetı-e a két kocka egyformának (α = 0,05)? 8. Az alábbi táblázat CASCO biztosítással rendelkezık éves kárszámát tartalmazza 2003-ban és 2004-ben. Tekintehetı-e a kárszám azonos eloszlásúnak a két évben? vezetık száma Kárszám > egyforma képességőnek feltételezett sportolónak súlylökésben pontossági dobásokat kell teljesítenie. A cél, hogy a dobás minél közelebb legyen a 11 méterhez. Az 11 métertıl való eltérésekrıl feltételezzük, hogy N(0,σ 2 ) eloszlásúak. A következı hipotéziseket vizsgáljuk. H 0 : σ = 1 és H 1 : σ = 2. Adjuk meg az α = 0,05 elsıfajú hibavalószínőséghez tartozó valószínőséghányadospróbát! Változna-e a próba, ha H 1 : σ = 3 lenne az ellenhipotézis? 10. A Reggeli ital tejgyárban minden szállítás elıtt megvizsgálják a 25 dkg-os túrókban található hajszálak számát, jelölje ezt X. A H 0 hipotézis szerint P(X=0) = 1/2, P(X=1) = 1/3, P(X=2) = 1/6, míg a H 1 szerint P(X=0) = P(X=1) = P(X=2) = 1/3. A hipotéziseket 5 csomag túró ellenırzésével tesztelik. Adjuk meg az α=0,01 elsıfajú hibavalószínőséghez tartozó valószínőséghányados-próbát! 11. Két széria izzólámpából elemő mintát vettek. Az élettartamukra a következı értékek adódtak: (A) széria: 10,2 150,3 180,7 52,0 69,1 6,2 91,5 101,8 75,1 83,6 (B) széria: 23,2 12,3 128,6 96,5 43,2 54,0 200,3 75,4 7,9 15,6 Döntsünk arról, α = 0,05 mellett,hogy a két széria izzóinak élettartama azonos eloszlásúnak tekinthetı-e! 12. Az Antarktiszon az F-12 gáz koncentrációjára az alábbi értékeket kapták: Év Koncentráció (ppt) a) Határozzuk meg és ábrázoljuk is az y = ax + b regessziós egyenest! b) Vizsgáljuk az a = 0 hipotézist az a > 0 ellenhipotézissel szemben! c) Adjunk elırejelzést és konfidenciaintervallumot 2010-re az egyenes alapján. Mi a veszély ebben?