3. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4?

Átírás

1 1. Kombinatorikus valószínűség 1. Egy dobókockát kétszer feldobunk. a) Írjuk le az eseményteret! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első dobás eredménye nagyobb, mint a másodiké?. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hatoslottón négy találatunk lesz?. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4? 4. Egy szabályos pénzérmét 1-szer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy több írást kapunk, mint fejet?. Feltételes valószínűség, Bayes-tétel, teljes valószínűség tétele 5. Két szabályos dobókockával dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7, feltéve, hogy az összeg páratlan? 6. Két szabályos dobókockával dobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 8, feltéve, hogy az összeg páros? 7. Az 5-lapos francia kártya lapjait szétosztjuk négy játékos között. Mennyi annak a valószínűsége, hogy ha az egyik kiválasztott játékos nem kap királyt, akkor az utána következő sem kap királyt? 8. Egy gyárban három gép dolgozik, az első a termékek %-át, a második a 45%-át, míg a harmadik a 5%-át állítja elő. Az első gépen készült áruk %-a, a másodikon készültek 5%-a, míg a harmadikon gyártottak 7%-a selejt. a) A teljes árumennyiségből egy véletlenszerűen kiválasztott darabot megvizsgálva mennyi annak a valószínűsége, hogy selejt? b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első gép gyártotta az árut, feltéve, hogy a kiválasztott darab selejt? 9. Egy kft.-nek három gépkocsija van, melyek rendre.1,.5,. valószínűséggel romlanak el. Egyik reggel a kft. vezetője külföldi útja során véletlenszerűen választ a három autó közül. a) Mennyi a valószínűsége, hogy a kiválasztott gépkocsi elromlik? b) Mennyi a valószínűsége, hogy az első gépkocsit választotta, feltéve, hogy a kiválasztott autó elromlott? 1

2 . Geometriai valószínűség 1. Legyenek x és y 1-nél kisebb nemnegatív valós számok. Mennyi annak a valószínűsége, hogy x + y <.75? 11. Legyenek x és y -nél kisebb pozitív számok. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a két szám számtani közepe 1-nél kisebb? 1. Egy 5 cm sugarú céltáblára szabályos háromszöget rajzolunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a céltáblára leadott lövés a háromszögbe esik? (Feltételezzük, hogy a céltáblát eltaláljuk.) 1. Két egyetemista megbeszéli, hogy délután és 4 óra között találkoznak. Érkezésük a megbeszélt időintervallumban véletlenszerű. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a korábban érkezőnek nem kell fél óránál többet várnia a később érkezőre? 4. Diszkrét valószínűségi változók 14. Egy dobókockával egyszer dobunk. Jelölje a ξ valószínűségi változó a dobott számot. a) Írjuk fel a valószínűségi változó eloszlását! b) Ábrázoljuk az eloszlást és az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy valóban eloszlásfüggvényt kaptunk! d) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! e) Határozzuk meg ξ harmadik momentumát! 15. Egy szabályos pénzérmét kétszer feldobunk. Jelentse a ξ valószínűségi változó az írás dobások számát. a) Írjuk fel a valószínűségi változó eloszlását! b) Ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy valóban eloszlást kaptunk! d) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! e) Határozzuk meg ξ várható értékét! 16. Egy szabályos pénzérmét háromszor feldobunk. Jelentse a ξ valószínűségi változó a fej dobások számát. a) Írjuk fel a valószínűségi változó eloszlását! b) Ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy valóban eloszlást kaptunk! d) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását!

3 17. Egy részvény kiinduló ára 1 e. Egy év múlva vagy kétszeresére növekszik az ára, vagy pedig a felére csökken. Mindkét lehetőség ugyanakkora valószínűségű. A következő két évben ugyanez történik, és a változások egymástól függetlenek. a) Mi lesz három év múlva a részvényár eloszlása? b) Írjuk fel és ábrázoljuk az eloszlásfüggvényt! c) Igazoljuk, hogy a kapott függvény valóban eloszlásfüggvény! d) Számoljuk ki a részvényár eloszlásának várható értékét, szórásnégyzetét és szórását! 18. Az ötöslottón a,, 4, 5 találatos szelvények esetén a nyeremény rendre 1., 1., 1.., 1... forint. A és 1 találatos szelvények esetén a nyeremény forint. Határozzuk meg a nyereménynek, mint valószínűségi változónak a várható értékét! Binomiális eloszlás 19. Egy szabályos dobókockával tizenkétszer dobunk. Jelölje ξ a -as dobások számát. a) Írjuk fel a ξ eloszlását! b) Határozzuk meg ξ várható értékét, szórásnégyzetét! c) Számoljuk ki a P (ξ < ) valószínűséget!. Egy kosárban narancs és alma van. Visszatevéssel véletlenszerűen kiválasztunk 4 gyümölcsöt. Jelöle ξ a kiválasztott narancsok számát. a) Adjuk meg a ξ eloszlását! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy lesz narancs a kiválasztott gyümölcsök között? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan egy narancs lesz a kiválasztottak között? Poisson eloszlás 1. Egy ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ = 4 paraméterrel. a) Írjuk föl a ξ eloszlását! b) Határozzuk meg a ξ várható értékét és szórását! c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a ξ a várható értéknél nagyobb értéket vesz föl? d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a ξ a ], 5[ intervallumba esik?. Egy elektromos műszer 1 alkatrészből áll. Valamennyi alkatrész a többitől függetlenül,1 valószínűséggel hibásodik meg 1 év alatt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább alkatrész elromlik 1 év alatt?

4 4. Egy rádiókészülék meghibásodásának átlagos száma 1 működési óra alatt 1. A meghibásodások eloszlása csak a vizsgált időtartam hosszától függ. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a készülék működési óra alatt elromlik? 4. Egy telefonközponthoz 1 előfizető tartozik. Megfigyelték, hogy annak a relatív gyakorisága, hogy egy adott órában egy előfizető telefonál,5. Mennyi a valószínűsége annak, hogy abban az órában a) éppen 4-en telefonálnak? b) legalább 4-en telefonálnak? 5. Egy autónyereménybetétkönyv sorsoláson minden betétkünyvre sorsolnak ki egy gépkocsit. Egy városban 1 darab betétkönyvet tartanak nyilván. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a városban legalább 1 autót nyernek. (Egy alkalommal összesen 5 gépkocsit sorsolnak ki.) 6. Egy augusztusi éjszakán átlag 1 percenként észlelhető csillaghullás. A csillaghullások száma Poisson-eloszlású. Mennyi annak a valószínűsége, hogy negyedóra alatt két csillaghullást látunk? 5. Folytonos valószínűségi változók 7. Legyen {, ha x f ξ (x) = a, ha x >. x Határozzuk meg az a valós számot úgy, hogy f valamely ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen! 8. Legyen {, ha x f ξ (x) = a, x4 ha x >. a) Határozzuk meg az a valós számot úgy, hogy f valamely ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen! b) Írjuk föl a ξ eloszlásfüggvényét! c) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! d) Számoljuk ki a P (ξ < ) valószínűséget! 9. Legyen, ha x f ξ (x) = a 5a + 8, x ha x >.

5 a) Határozzuk meg az a valós számot úgy, hogy f valamely ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen! b) Írjuk föl a ξ eloszlásfüggvényét! c) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! d) Számoljuk ki a P (ξ ) valószínűséget! 5. Legyen { a cos x, ha < x < π f ξ (x) =, egyébként. a) Határozzuk meg az a valós számot úgy, hogy f valamely ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye legyen! b) Írjuk föl a ξ eloszlásfüggvényét! c) Számoljuk ki ξ várható értékét és szórását! d) Számoljuk ki a P (ξ > 1) és a P ( < ξ < 1, ) valószínűségeket! e) Határozzuk meg a ξ harmadik momentumát! f) Számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy ξ a várható érténél nagyobb értékét vesz fel! 1. Egy egységnyi sugarú, kör alakú céltáblára lövések érkeznek. Tegyük fel, hogy minden lövés a céltáblába talál és hogy a találat helye egyenletes eloszlású a céltáblán. Jelölje a találat helyének távolságát a céltábla középpontjától. Adjuk meg a valószínűségi változó eloszlásfüggvényét! Egyenletes eloszlás. Legyen ξ egyenletes eloszlású az [1, ] intervallumon! a) Írjuk fel és ábrázoljuk ξ eloszlásfüggvényét! b) Írjuk fel és ábrázoljuk ξ sűrűségfüggvényét! c) Határozzuk meg ξ várható értékét és szórását!. Egy villamosmegállóba 15 percenként érkeznek villamosok. A villamosmegállóba érkezve látjuk, hogy 1 percen belül nem jön villamos. Legyen ξ a várakozási idő hossza. a) Írjuk föl a ξ eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét! b) Számoljuk ki a várható értékét és szóránégyzetét. c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy 5 percnél kevesebbet kell várkoznunk? d) Számoljuk ki annak a valószínűségét, hogy legalább 7 percet kell várnunk? Exponenciális eloszlás

6 6 4. Egy ξ valószínűségi változó jelentse annak az útnak a hosszát, amelyet egy gépkocsi az első műszaki hibáig megtesz. Tegyük föl, hogy ξ exponenciális eloszlású és várható értéke 5 km. a) Írjuk fel a ξ eloszlás- és sűrűségfüggvényét! b) Számoljuk ki, mennyi annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó a várható értéknél kisebb értéket vesz fel? 5. Egy radioaktív anyag bomlását vizsgáljuk. Legyen a valószínűségi változó értéke egy tetszőleges atom bomlásáig eltelt idő, és annak a valószínűsége, hogy az atom x éven belül elbomlik P (ξ < x) = 1 e x. a) Határozzuk meg a valószínűségi változó várható értékét és szórását! b) Határozzuk meg a bomlás felezési idejét! 6. Bizonyos típusú izzólámpák tönkremeneteléig eltlet égési időtartam hosszát tekintsük egy ξ valószínűségi változónak. Megállapították, hogy ξ exponenciális eloszlású és szórása 1 óra. a) Írjuk fel a ξ eloszlás- és sűrűségfüggvényét! b) Határozzuk meg a ξ várható értékét! c) Számoljuk ki, mennyi annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó a várható értéknél kisebb értéket vesz fel? 7. Annak a valószínűsége, hogy egy benzinkútnál 6 percnél többet kell várni,,1. A várakozási idő hossza exponenciális eloszlású. Mennyi a valószínűsége, hogy a benzinkúthoz érkezve percen belül sorra kerülünk? Normális eloszlás 8. Egy embercsoport magasságainak átlaga 175 cm, 4 cm-es szórással. A testmagasság nagysága normális eloszlásúnak tekinthető. a) Mennyi a valószínűsége, hogy egy találomra kiválasztott ember testmagassága az átlagtól kevesebb, mint cm-el tér el? b) Mennyi a valószínűsége, hogy egy kiválasztott ember testmagassága legalább 17 cm? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott ember testmagassága 17 cm és 177 cm közé esik? 9. Egy csomagológép 1 kg tömegű sajtot csomagol. A sajtok tömege normális eloszlásúnak tekinthető, melynek szórása 5 dkg. Mennyi a valószínűsége, hogy egy sajtdarab súlya a) 96 dkg-nál több; b) 1,5 kg-nál kevesebb; c) 98 dkg és 1, kg közé esik?

7 7 6. Valószínűségi vektorváltozók 4. A (ξ, η) valószínűségi változó lehetséges értékeit a (,), (,4), (4,), (4,4) pontok által meghatározott négyzet belsejében levő egész koordinátájú pontok adják. A vektorváltozó e pontokat egyenlő valószínűséggel veszi fel a négyzet középpontja kivételével, mely négyszer akkora valószínűséggel következik be, mint a többi. a) Írjuk fel a (ξ, η) eloszlását! b) Határozzuk meg a peremeloszlásokat! c) Számoljuk ki ξ és η várható értékét! d) Számoljuk ki ξ és η szórásnégyzetét! e) Írjuk fel ξ η eloszlását! f) Független-e ξ és η? g) Számoljuk ki a cov(ξ, η) és a corr(ξ, η) értékeket! h) Adjuk meg ξ + η eloszlását! 41. Egy dobozban 1-től 1-ig számozott golyókat helyeztünk el. Véletlenszerűen kihúzunk egy golyót. A ξ valószínűségi változó értéke legyen -1, ha páratlan számot húzunk, és 1, ha párosat húzunk. Az η értéke legyen, ha nem osztható öttel, és 1, ha osztható öttel a kihúzott szám. a) Írjuk fel a (ξ, η) eloszlását! b) Határozzuk meg a peremeloszlásokat! c) Független-e ξ és η? d) Számoljuk ki a cov(ξ, η) és a corr(ξ, η) értékeket! e) Adjuk meg ξ + η eloszlását! 4. Legyen f ξ,η (x, y) = { c(x + y), ha x, y [, 1], egyébként függvény valamely (ξ, η) valószínűségi vektorváltozó sűrűségfüggvénye! a) Határozzuk meg a c konstans értékét! b) Írjuk fel a perem-sűrűségfüggvényeket! c) Írjuk fel a perem-eloszlásfüggvényeket! d) Határozzuk meg az együttes eloszlásfüggvényt! e) Számoljuk ki ξ és η várható értékét! f) Számoljuk ki ξ és η szórásnégyzetét! g) Határozzuk meg ξ η várható értékét!

8 8 h) Határozzuk meg a koordináták kovarianciáját és korrelációs együtthatóját! i) Független-e ξ és η? 7. Markov egyenlőtlenség, Csebisev egyenlőtlenség, Nagy számok törvénye 4. Egy ξ valószínűségi változó várható értéke, szórása 1. Adjunk becslést a P (ξ ], 6[) valószínűségre! 44. Egy ξ valószínűségi változó várható értéke,, szórása 1,6. Adjunk becslést a P (, 8 < ξ < 5, 6) valószínűségre! 45. Egy pozitív értékű valószínűségi változó várható értéke 5, szórása. Legfeljebb mekkora valószínűséggel vesz fel 1-nál nagyobb értéket? Legalább mekkora valószínűséggel esik az [, 8] intervallumba? 46. A dohányzó lakosság napi cigarettafogyasztása várható értéke darab, szórása 6 darab. Legalább mennyi annak a valószínűsége, hogy a tényleges fogyasztás 11 és 9 darab közé esik? 47. Egy üzletben lévő automata élettartamának várható értéke 5 év, szórása,5 év. Legfeljebb mennyi annak a valószínűsége, hogy az automata élettartam legalább egy évvel eltér a várható értéktől? 48. Egy postahivatalban egy meghatározott időben az eladott újságok száma Poissoneloszlású λ = 8 várható értékkel. Adjunk becslést a P (6 < ξ < 1) valószínűségre, ha ξ az eladott újságok száma. 49. Egy gyufagyárban a dobozokat automata gép tölti. Az egyes dobozokban lévő gyufaszálak száma egy ξ valószínűségi változó, amelynek eloszlása a tapasztalatok szerint a következő: darabszám valószínűség,5,1,15,4,15,1,5 a) A Csebisev egyenlőtlenség segítségével adjunk becslést a P (48 < ξ < 5) valószínűségre! b) Az eloszlás alapján számoljuk ki a fenti valószínűség pontos értékét! 5. Egy ξ valószínűségi változó várható értéke 4, szórása 6. Adjunk becslést a P (ξ ], 8[) valószínűségre! 51. Egy ξ valószínűségi változó várható értéke 1, szórása 4. Legalább mennyi a valószínűsége, hogy a ξ a ]8, 1[ intervallumba esik? 5. Egy ξ valószínűségi változó Poisson-eloszlású λ = 16 paraméterrel. Adjunk alsó becslést a P (8 < ξ < 4) valószínűségre!

9 5. Egy augusztusi éjszakán az óránkénti csillaghullások száma λ = 1 paraméterű Poissoneloszlású valószínűségi változó. Adjunk alsó becslést a P (6 < ξ < 18) valószínűségre! 54. Egy ξ valószínűségi változó várható értéke, szórása 1. Legfeljebb mekkora valószínűséggel, tér el a ξ a várható értéktől abszolút értékben legalább egységgel? Mekkora ennek a valószínűségnek a pontos értéke, ha a valószínűségi változó normális eloszlású? Mekkora a valószínűségnek a pontos értéke, ha a valószínűségi változó exponenciális eloszlású? 55. Egy esemény valószínűsége,4. Hány kísérletet kell elvégezni ahhoz, hogy az esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága és valószínűsége közötti eltérés legalább 98%-os valószínűséggel,1-nél kisebb legyen. 56. Szabályos dobókockát egymás után feldobunk. Hány dobást kell végeznünk ahhoz, hogy a 6-osdobás relatív gyakorisága az 1 valószínűséget,1-nél kisebb hibával, legalább 95%-os valószínűséggel közelítse 6 meg. 57. Szabályos dobókockát egymás után feldobunk. Hány dobást kell végeznünk ahhoz, hogy a 4-osdobás relatív gyakorisága az 1 valószínűséget,1-nél kisebb hibával, legalább 98%-os valószínűséggel közelítse 6 meg. 58. Szabályos pénzérmét egymás után feldobunk. Hány dobást kell végeznünk ahhoz, hogy a fej-dobások relatív gyakorisága az 1 valószínűséget,1-nél kisebb hibával, legalább 9%-os valószínűséggel közelítse meg. 59. Egy célpontra 5 lövést adunk le. A találat valószínűsége,. Milyen határok közé esik legalább 9%-os valószínűséggel a találatok száma? 6. Egy célpontra lövést adunk le. A találat valószínűsége,4. Milyen határok közé esik legalább 9%-os valószínűséggel a találatok száma? 61. Egy pénzérmét 1-szor feldobunk. Milyen határok közé esik legalább 9%-os valószínűséggel a találatok száma? 6. Egy szabályos pénzérmét 1-szor feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a fej-dobások száma 95 és 15 közé esik? 6. Hányszor kell egy szabályos pénzérmét feldobni ahhoz, hogy az írásdobások számának relatív gyakorisága legalább 95% valószínűséggel a ], 1,, 6[ intervallumba essen? 8. Központi határeloszlás tétel Egy csillagász egy m távolságra lévő objektum távolságát méri. Méréseinek eredményei független, azonos eloszlású valószínűségi változók m várható értékkel és fényév szórással. Hányszor kell mérnie, hogy az átlag legalább, 5 fényév pontos legyen legalább 95% valószínűséggel? Adjunk becslést a központi határeloszlástétel segítségével, majd érdekesség képpen a Csebisev-egyenlőtlenség segítségével is!

10 1 65. Tegyük föl, hogy egy tanfolyamra jelentkező diákok száma Poisson eloszlású, λ = 1 paraméterrel. Becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy 1-nál többen jelentkeznek! 66. Egy újságárus egy nap alatt eladott újságainak száma Poisson-eloszlású, λ = 5 paraméterrel. Becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy 6-nál több újságot ad el egy nap! 67. Tegyük föl, hogy egy bizonyos korcsoportban az átlagos diasztolés vérnyomás érték 8, szórása 8 Hgmm. Mi a valószínűsége annak, hogy egy fős mintában az átlag diasztolás vérnyomásérték nagyobb, mint 85 Hgmm? 68. Az előző feladat adatai alapján határozzuk meg, hogy a fős mintáknak milyen átlagértékei fogják közre az eloszlás 95%-át! 69. A 66. feladat adatait felhasználva hány fős mintára van szükség ahhoz, hogy a mintaátlagok 95%-a a populációs átlagtól Hgmm-nél jobban ne térjen el? 7. Egy telefonközpontba óránként átlagosan 5 hívás érkezik. Az óránként hívások száma Poisson-eloszlású. Becsüljük meg annak a valószínűségét, hogy egy óra alatt 4-nél kevesebb hívás érkezik! 71. Dobjunk fel egy szabályos pénzérmét egymás után 1-szer. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a fej-dobások számának eltérése a várt 5-tól legalább 1-zel eltér. Adjunk becslést a központi határeloszlástétel és a Csebisev-egyenlőtlenség segítségével is! 7. Dobjunk fel egy szabályos pénzérmét egymás után -szer. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a fej-dobások számának eltérése a várt 1-től legalább 8-nal eltér. Adjunk becslést a központi határeloszlástétel és a Csebisev-egyenlőtlenség segítségével is! 7. Egy szabályos dobókockát 1-szer feldobunk egymástól függetlenül. Adjunk jó becslést a centrális határeloszlástétel segítségével arra, hogy az összeg 18 és 1 közé esik! 9. Becsléselmélet 74. Egy bizonyos gyártmányú elem élettartamára vonatkozóan az alábbi mérési eredmények adódtak: 4, 45, 5, 48, 4, 5 óra. a) Adjuk meg az empirikus eloszlásfüggvényt! b) Adjunk becslést az élettartam várható értékére és szórására! c) Tudjuk, hogy az elemek élettartama normális eloszlást mutat. Adjunk meg olyan intervallumot, amely a várható értéket,95 valószínűséggel tartalamazza!

11 75. Egy tóban a halakat betegség támadta meg, mely az egyes egyedeket,5 valószínűséggel támadja meg. Egy véletlen halászat során 1 haltetemet fogtak ki. Adjunk maximum likelihood becslést a betegség előtt a tóban élő halak számára! 76. Augusztusban öt éjszakán át figyeltük meg a hullócsillagok számát. A kapott minta: 4,, 7,, 4. A hullócsillagok száma Poisson-eloszlást követ. Készítsünk maximum likelihood becslést az elosztlás paraméterére az adott minta alapján! 77. Egy céllövő p valószínűséggel talál el egy célponot egy lövésből. Adjunk maximum likelihood becslést p-re, ha az első találat k-adikra következik be! 78. Egy alkatrészekből álló sokaság hat mintapéldányának a teljes élettartama: 9, 45, 67, 5, 5, 6 hónap. Tegyük fel, hogy az élettartam exponenciális eloszlású, ismeretlen λ paraméterrel. Adjunk maximum likelihood becslést λ-ra! 11

12 1 Megoldások 1. a) Az eseménytér az összes elemi események halmaza, azaz Ω = {(1, 1), (1, ), (1, ), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (, 1), (, ),..., (6, 6)}. b) A kedvező esetek száma 15, az összes esetek száma 6 = 6, így a keresett valószínűség A hatoslottón 45 számból kell kiválasztanunk 6-öt, így az összes esetek száma ( ) Négy találatosunk úgy lehet, hogy négy számot eltalálunk, kettőt pedig nem, így a kihúzott 6 nyerőszámból 4-nek kell megegyeznie olyannal, amit bejelöltünk, a 9 nem nyerőszámból pedig kettőnek kell megegyeznie általunk bejelölttel. Így a keresett valószínűség ( )( ) ( ) A dobott számok különbségének abszolútértéke, 1,,, 4 vagy 5 lehet, így a kedvező esetek (1, 6), (6, 1). Az összes esetek száma: 6 = 6. Tehát a keresett valőszínűség 6 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a dobott számok összege 7, B-vel azt az eseményt, hogy az összeg páratlan. Ekkor A B = A. Először az A esemény valószínűségét határozzuk meg. Két dobókockával dobva az összes esetek száma 6. A dobott számok összege hatféleképpen lehet 7, így P (A) = 1/6. A feltétel valószínsűsége 1/. A feltételes valószínűség definícióját használva a keresett valószínűség. P (A B) = P (A B) P (B) = 1

13 6. Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy a dobott számok összege 8, B-vel azt az eseményt, hogy az összeg páros. Ekkor A B = A. Először az A esemény valószínűségét határozzuk meg. Két dobókockával dobva az összes esetek száma 6. A dobott számok összege ötféleképpen lehet 8, így P (A) = 5/6. A feltétel valószínűsége 1/. A feltételes valószínűség definícióját használva a keresett valószínűség. P (A B) = P (A B) P (B) = Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy egy kiválasztott játékosnak nem jut király, B-vel azt az eseményt, hogy a rákövetkező játékosnak nem jut király. Az A B esemény valószínűsége ( )( )( )( ) ( )( ) P (A B) = A B esemény valószínűsége P (B) = ( )( )( )( ) = ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) = ( )( ) ( ) 48 1 ( ). 5 1 A feltételes valószínűség definíciója szerint P (A B) = ( ) 5 1 ( ) a keresett valószínűség. 8. a) Az eredmény a teljes valószínűség tételét felhasználva adódik: ; b) az eredmény a Bayes-tétel felhasználásával adódik: a) A teljes valószínűség tétele szerint a keresett valószínűség

14 14 b) A Bayes-tétel felhasználásával a keresett valószínűség, Az összterület egy egységnyi oldalú négyzet területe, a kedvező terület egy.75 egységnyi hosszúságú befogókkal rendelkező egyenlő szárú derékszögű háromszög területe. Így a keresett valószínűség P (x + y <.75) = 4 4 = 9 16 = Az összeterület egy oldalhosszúságú négyzet területe, a kedvező terület egy egységnyi oldalhosszúságú befogókkal rendelkező egyenlő szárú derékszögű háromszög területe. Így a keresett valószínűség ( x + y P ) < 1 = P (x + y < ) = 1.

15 15 1. A keresett valószínűség: 5 sin 1 5 π = 4π 1. Az összterület egy oldalhosszúságú négyzet területe, a kedvező terület az x y <.5 tartománynak az előbbi négyzetbe eső része. A keresett valószínűség tehát P ( x y <.5) = = a) Az eloszlás P (ξ = k) = 1, k = 1,..., 6. 6

16 16, ha x 1 1/6, ha 1 < x /6, ha < x b) Az eloszlásfüggvény: F ξ (x) = /6, ha < x 4 4/6, ha 4 < x 5 5/6, ha 5 < x 6 1, ha x > 6. c) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá d) A várható érték lim F ξ(x) =, x lim F ξ (x) = 1. x Eξ = = 7. e) A szórásnégyzethez először a második momentumot számoljuk ki: Ebből Eξ = = D ξ = Eξ (Eξ) = 91 6 f) A harmadik momentum ξ várható értéke: ( ) 7 = = 5 1. Eξ =

17 a) A ξ valószínűségi változó értéke lehet,1,. A megfelelő valószínűségek: P (ξ = ) = 1 4, P (ξ = 1) = 1, P (ξ = ) = 1 4., ha x 1/4, ha < x 1 b) Az eloszlásfüggvény: F ξ (x) = /4, ha 1 < x 1, ha x >. c) Az a) pontban a valószínűségek összege 1, így eloszlást kaptunk. d) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá e) A várható érték lim F ξ(x) =, x lim F ξ (x) = 1. x Eξ = = 1. A ξ szórásnégyzetéhez először ξ második momentumát számoljuk ki: Eξ = =, így D ξ = Eξ (Eξ) = 1 = 1. f) Ebből a szórás 1. ( ) E ξ =

18 a) A ξ valószínűségi változó értéke lehet,1, vagy. Ezek valószínűségei: P (ξ = ) = 1 8, P (ξ = 1) = 8, P (ξ = ) = 8, P (ξ = ) = 1 8,., ha x 1/8, ha < x 1 b) Az eloszlásfüggvény: F ξ (x) = 4/8, ha 1 < x 7/8, ha < x 1, ha x >. c) Az a) pontban a valószínűségek összege 1, így eloszlást kaptunk. d) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá e) A várható érték lim F ξ(x) =, x lim F ξ (x) = 1. x Eξ = =. A ξ szórásnégyzetéhez először ξ második momentumát számoljuk ki: Eξ = = 4 8 =, így Ebből a szórás. D ξ = Eξ (Eξ) = ( ) = 4.

19 19 f) ( ) E ξ = a) Az eloszlás ( P ξ = 1 ) = 18 ( 8, P ξ = 1 ) = 8, P (ξ = ) = 8, P (ξ = 8) = 1 8., ha x 1/8 1/8, ha 1/8 < x 1/ b) Az eloszlásfüggvény: F ξ (x) = 4/8, ha 1/ < x 7/8, ha < x 8 1, ha x > 8. c) Az előbbi függvény monoton növekvő, balról folytonos, továbbá d) A várható érték lim F ξ(x) =, x lim F ξ (x) = 1. x Eξ = = A ξ szórásnégyzetéhez először ξ második momentumát számoljuk ki: ( ) 1 Eξ = 1 ( ) = , így D ξ = Eξ (Eξ) = A szórás a szórásnégyzetből vont négyzetgyök. ( ) A várható érték ( )( ) 5 85 ( )( ) 5 85 ( )( ) ( ) + ( ) ( ) + 1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) a) Az eloszlás + 1 P (ξ = k) = ( ) ( 1 k ) ( ( ) ) k ( 1 1 6) 1 k, (k =, 1,..., 1). 5 ( ). 9 5

20 b) A várható érték Eξ = =, ami azt jelenti, hogy 1 dobásból várhatóan kétszer kapunk hatost. A szórásnégyzet D ξ = = 5, a szórás Dξ = = 5. c) Annak valószínűsége, hogy -nél kevesebb hatost dobunk ( ) 1 5 P (ξ < ) = P (ξ = ) + P (ξ = 1) = ( ) 11 5 =, a) Az eloszlás P (ξ = k) = b) A keresett valószínűség ( 5 k P (ξ = ) + P (ξ = ) = ) ( 5 ( 5 ) k ( 1 5) 5 k, (k =, 1,, ) ) ( 5 ) ( 1 5) + c) Lehetetlen esemény, így a keresett valószínűség. 1. a) Az eloszlás P (ξ = k) = 4k k! e 4. b) A várható érték, illetve a szórásnégyzet c) A keresett valószínűség P (ξ > 4) = 1 P (ξ 4) = d) A keresett valószínűség Eξ = 4, Dξ =. ( 5 ) ( 5 ) ( 1 ) 5 = 1 ( P (ξ = ) + P (ξ = 1) + P (ξ = ) + P (ξ = ) + P (ξ = 4) ). P ( < ξ < 5) = P (ξ = ) + P (ξ = 4).. Legyen n = 1, p =, 1. Mivel az elemszám nagy, és a valószínűség kicsi, ezért Poisson-eloszlással számolhatunk, és ilyenkor λ = n p = 1. A keresett valószínűség P (ξ ) = 1 P (ξ < ) = 1 ( P (ξ = ) + P (ξ = 1) ).

21 . A meghibásodások átlagos száma óra alatt, így n =, p =, 1, λ = np =, amiből a keresett valószínűség P (ξ = ) = e = 1 e Legyen n = 1, p =, 5. Mivel az elemszán nagy, ezért Poisson-eloszlással számolhatunk, és ilyenkor λ = n p = 5. a) P (ξ = 4) = ( 5)4 e 5 4! b) P (ξ 4) = 1 P (ξ < 4) = 1 ( P (ξ = ) + P (ξ = 1) + P (ξ = ) ) 5. Legyen n = 1, p =, 5. Mivel az elemszán nagy, ezért Poisson-eloszlással számolhatunk, és ilyenkor λ = n p =, 5. P (ξ 1) = 1 P (ξ = ) = 1, 5 e,5 =! 1 e 6. Jelölje ξ a negyedóránkénti csillaghullások számát! Ekkor Eξ = = λ, amiből P (ξ = ) = 1, 5 e 1,5! 7. Az f ξ függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény, ha a teljes számegyenesen az integrálja 1. Ezt felhasználva 1 = a dx = a lim x c c [ x x dx = a lim c ] c [ 1 = a lim c x ] c = a 8, amiből a = 8.

22 8. a) Mivel f ξ sűrűségfüggvény, ezért 1 = a dx = a lim x4 c c [ x x 4 dx = a lim c ] c [ 1 = a lim c x ] c = a 81, amiből a = 81. b) Mivel F ξ (x) = x f ξ (t) dt = x [ 81 t dt = 81 t4 ] x [ 7 = t ] x = 1 7 x,, ha x így az eloszlásfüggvény F ξ (x) = 1 7, ha x >. x

23 c) A várható érték Eξ = xf ξ (x) dx = x 81 x 4 dx = [ 81 x dx = 81 lim x c A szórásnégyzethez először kiszámoljuk a második momentumot. Eξ = x f ξ (x) dx = x 81 [ x dx = 81 x 1 dx = 81 lim 4 x c 1 amiből a szórásnégyzet d) A keresett valószínűség 9. a) Mivel f ξ sűrűségfüggvény, ezért 1 = így az a 5a + 8 x [ x = (a 1 5a + 8) lim c 1 D ξ = Eξ (Eξ) = 7 9 = 45. P (ξ < ) = F ξ () =. dx = (a 5a + 8) lim c ] c c x dx = = (a 5a + 8) lim c a 5a + 8 = 1 egyenlet megoldásával kapjuk, hogy a 1 =, a =. [ ] c 1 x ] c ] c = 9. = 7, = a 5a + 8,

24 4 b) Mivel F ξ (x) = x f ξ (t) dt = x [ t 1 t dt = 1 ] x [ = t, ha x így az eloszlásfüggvény F ξ (x) = 1, ha x >. x ] x = 1 x, c) Mivel Eξ = xf ξ (x) dx = x x dx = x dx = = lim [ln x ] c c = lim (ln c ln ) =, c ezért a várható érték nem létezik, tehát a szórás sem. d) A keresett valószínűség P (ξ ) = 1 F ξ () = 1 = 1.. a) Mivel f ξ sűrűségfüggvény, ezért 1 = π π a cos(x) dx = a cos(x) dx = a [sin(x)] π =, így ellentmondáshoz jutottunk, következésképpen nem létezik olyan a, melyre az adott függvény sűrűségfüggvény lenne.

25 5 1. Az eloszlásfüggvény. a) ξ eloszlásfüggvénye b) A sűrűségfüggvény, ha x F ξ (x) = x, ha < x 1 1, ha x > 1., ha x 1 x 1 F ξ (x) =, ha 1 < x 1, ha x >. 1 f ξ (x) =, ha 1 < x <, egyébként. c) Eξ = 1 + =, D ξ = ( 1), Dξ = 1. 1, ha < x 1 x 1. a) Az eloszlásfüggvény F ξ (x) =, ha 1 < x , ha x > 15. 1, ha 1 < x < 15 A sűrűségfüggvény f ξ (x) = 14, egyébként. b) A várható érték 8, a szórásnégyzet 49. c) d) P (ξ < 5) = F ξ (5) = 7. P (ξ > 7) = 1 P (ξ < 7) = 1 F ξ (7) = 1 7 = a) Mivel Eξ = 5, ezért λ = 1, melyből az eloszlásfüggvény 5 {, ha x F ξ (x) = 1 e 1 5 x, egyébként, a sűrűségfüggvény {, ha x f ξ (x) = 5 x, egyébként. 1 5 e 1

26 5. a) Mivel λ = 1, így Eξ =, D ξ =, Dξ =. 6 b) P (ξ < 5) = F ξ (5) = 1 e = 1 1 e. b) Az F ξ (x) = 1 egyenlet megoldásából kapjuk, hogy x = 1, 8 év. 6. Felhasználva, hogy λ = 1 a feladat az előzőekhez hasonlóan oldható meg. 1 a) Az eloszlásfüggvény {, ha x F ξ (x) = 1 e 1 1 x, egyébként, a sűrűségfüggvény {, ha x f ξ (x) = 1 x, egyébként, 1 1 e 1 b) A várható érték Eξ = 1. c) P (ξ < Eξ) = P (ξ < 1) = F ξ (1) = 1 1 e. 7. Mivel, 1 = P (ξ > 6) = 1 P (ξ 6) = 1 F ξ (6) = 1 ( 1 e 6λ) = e 6λ, ezért Ezt felhasználva λ = ln(, 1) 6. P (ξ ) = F ξ () = 1 e λ ln(,1) = 1 e 6 = 1, 1 =, a) A keresett valószínűség P ( ξ 175 < ) = P ( < ξ 175 < ) = P (17 < ξ < 178) = ( ) ( ) = F ξ (178) F ξ (17) = Φ Φ = = Φ (1) Φ ( 1) = Φ (1) 1. b) A keresett valószínűség ( ) P (ξ > 17) = 1 F ξ (17) = 1 Φ ( = 1 Φ ) = Φ ( )

27 7 c) A keresett valószínűség ( ) ( ) P (17 < ξ < 177) = F ξ (177) F ξ (17) = Φ Φ = ( ) ( = Φ Φ ) ( ) = Φ a) ( ) ( ), P (ξ >, 96) = 1 P (ξ <, 96) = 1 F ξ (, 96) = 1 Φ = 1 Φ., 5 5 b) ( ) 1, 5 1 P (ξ < 1, 5) = F ξ (1, 5) = Φ = Φ (1)., 5 c) ( ) ( ) 1, 1, 98 1 P (, 98 < ξ < 1, ) = F ξ (1, ) F ξ (, 98) = Φ Φ =, 5, 5 ( ) ( = Φ Φ ) ( ) = Φ a) A kontingencia-táblázat: Ebből p = 1 1. b) ξ és η peremeloszlása: ξ\η 1 1 p p p p 4p p p p p P (ξ = 1) = p, P (ξ = ) = 6p, P (ξ = 1) = p, P (η = 1) = p, P (η = ) = 6p, P (η = ) = p. c) Eξ = 1 p + 6p + p = 4p =, Eη = 1 p + 6p + p = 4p =, d) Eξ = 1 p + 6p + p = 54p = 4, 5, Eη = 1 p + 6p + p = 54p = 4, 5,

28 8 amiből D ξ = 4, 5 4 =, 5, Dξ =, 5 D η = 4, 5 4 =, 5, Dη =, 5 e) f) Nem függetlenek. g) Mivel P (ξ η = 1) = 1 1, P (ξ η = ) = 1 6, P (ξ η = ) = 1 6, P (ξ η = 4) = 1, P (ξ η = 6) = 1 6, P (ξ η = 9) = 1 1. cov(ξ, η) = E(ξη) Eξ Eη = (p + 4p + 6p + 16p + 1p + 9p) 4p 4p =, Mivel a kovariancia nulla, ezért a korrelációs együttható is nulla. h) ξ + η eloszlása P (ξ + η = ) = 1 1, P (ξ + η = ) = 1 6, P (ξ + η = 4) = 1, P (ξ + η = 5) = 1 6, P (ξ + η = 6) = a) A kontingencia-táblázat: Ebből p = 1 1. b) ξ és η peremeloszlása: ξ\η 1-1 4p p 1 4p 4 P (ξ = 1) = 8p, P (ξ = 1) = p, P (η = ) = 8p, P (η = 1) = p. c) Nem függetlenek. d) Mivel cov(ξ, η) = E(ξη) Eξ Eη, ezért ki kell számolnunk ξ, η és ξη várható értékét! Eξ = 1 5p + 1 5p =, Eη = 8p + 1 p = p, Eξ η = 1 p + 1 p =. A kapott eredményeket felhasználva cov(ξ, η) = p =.

29 9 A korrelációs együtthatóhoz meg kell határoznunk ξ és η szórását. Dξ = 1p = 1, Dη = 4 p 4p = 5 = 5 Ebből e) ξ + η eloszlása corr(ξ, η) = cov(ξ, η) DξDη =. P (ξ + η = 1) = 5, P (ξ + η = ) = 1 1, P (ξ + η = 1) = 5, P (ξ + η = ) = a) Mivel 1 1 = c = c ezért c = 1. b) Mivel ezért 1 [ 1 x + x 1 x + y dy dx = c ] 1 1 ( 1 = c + 1 ] y=1 [xy 1 + y dx = c y= ) = c, [ x x + y dx = + xy ] x=1 x= = 1 + y, y + 1 f η (y) =, ha < y < 1, egyébként. ( ) 1 + x dx = Hasonlóan x + 1 f ξ (x) =, ha < x < 1, egyébként. c) F η (y) = y f η (t) dt = y t + 1 dt = [ t + t ] y = y + y, (y > ), így az η-hoz tartozó perem-eloszlásfüggvény y + y, ha y F η (y) =, ha y <.

30 Hasonlóan x + x, ha x > F ξ (x) =, ha x. d) Ha x, y, akkor F (x, y) =. Ha x, y ], 1], akkor F (x, y) = = x y x f(u, v) dv du = uy + y du = Ha x > 1, y ], 1], akkor F (x, y) = = 1 y u + v dv du = [ u y + y u Ha y > 1, x ], 1], akkor F (x, y) = = 1 x ] 1 u + v du dv = [ v x + x v ] 1 x y [ u y + y u 1 = y + y. 1 = x + x. u + v dv du = ] x ] y [uv + v x = x y + xy. du = 1 ] y [uv + v du = uy + y du = ] x [uv 1 + u dv = xv + x dv = Így az eloszlásfüggvény, ha x, vagy y x y + xy, ha < x 1, < y 1 F (x, y) = x + x, ha < x 1 y + y, ha < y 1 1, ha x > 1, és y > 1. e) Eξ = 1 ( x x + 1 ) 1 dx = x + 1 [ ] x 1 x dx = + x =

31 1 Hasonlóan Eη = 1 ( y y + 1 ) 1 dy = y + 1 [ ] y 1 y dy = + y = f) A szórásnégyzethez előbb a második momentumot kell kiszámolnunk: Ugyanígy Eξ = Eη = 1 1 ( x x + 1 ) 1 dx = x + 1 [ ] x 4 1 x dx = 4 + x = ( y y + 1 ) 1 dy = y + 1 [ ] y 4 1 y dy = 4 + y = g) Így E(ξη) = D ξ = D η = 5 1 ( 7 1 xyf(x, y) dy dx = 1 1 ) = xy(x + y) dy dx = = 1 1 h) A kovariancia x y + xy dy dx = a korrelációs együttható 1 [ x y cov(ξ, η) = E(ξη) EξEη = corr(ξ, η) = ] y=1 1 + xy x dx = y= + x dx = 1. cov(ξ, η) DξDη = i) Nem függetlenek, mert f ξ,η (x, y) f ξ (x)f η (y). 4. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva Jelen esetben Eξ =, P ( ξ Eξ < ε) 1 D ξ ε. Dξ = 1, így P ( ξ < 4) = = 1 144,

32 44. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva Jelen esetben Eξ =,, P ( ξ Eξ < ε) 1 D ξ ε. Dξ = 1, 6, így P ( ξ, <, 4) A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva Jelen esetben Eξ =,, P ( ξ Eξ ε) D ξ ε. Dξ = 1, 6, így 1, 6, 4 = 5 9. P (ξ > 1) = P (ξ 5 > 5) 4 5. Másrészt P (ξ [, 8]) = P ( ξ 5 ) 1 4ξ = A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva Jelen esetben Eξ =, P ( ξ Eξ < ε) 1 D ξ ε. Dξ = 6, így P (11 < ξ < 9) = P ( ξ < 9) = = A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva Jelen esetben Eξ = 5, P ( ξ Eξ ε) D ξ ε. Dξ =, 5, így P ( ξ 5 > 1), 5 1 =, Mivel ξ Poisson-eloszlású 8 paraméterrel, ezért Eξ = 8, D ξ = 8, így P (6 < ξ < 1) = P ( ξ 8 < ) 1 8 = = a) P (48 < ξ < 5) = P ( ξ 5 < ) 1 = 1 1 = 1. b) A táblázatból P (48 < ξ < 5) =, 1 +, 15 +, 4 =, 65

33 5. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva Jelen esetben Eξ = 4, P ( ξ Eξ < ε) 1 D ξ ε. Dξ = 6, így P ( < ξ < 8) = P ( ξ 4 < 4) = = 5 4, így a Csebisev-egyenlőtlenség nem mond semmit. 51. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva Jelen esetben Eξ = 1, P ( ξ Eξ < ε) 1 D ξ ε. Dξ = 4, így P (8 < ξ < 1) = P ( ξ 1 < ) = 1 4 =, így a Csebisev-egyenlőtlenség nem mond semmit. 5. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva P ( ξ Eξ < ε) 1 D ξ ε. Jelen esetben Eξ = 16, Dξ = 16, így P (8 < ξ < 4) = P ( ξ 16 < 8) = 1 4 =, így a Csebisev-egyenlőtlenség nem mond semmit. 5. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva P ( ξ Eξ < ε) 1 D ξ ε. Jelen esetben Eξ = 1, Dξ = 1, így P (6 < ξ < 18) = P ( ξ 1 < 6) = 1 4 =, így a Csebisev-egyenlőtlenség nem mond semmit.

34 4 54. A Csebisev-egyenlőtlenséget felhasználva Jelen esetben Eξ =, Normális eloszlás esetén P ( ξ Eξ < ε) 1 D ξ ε. Dξ = 1, így P ( ξ > ) 1 = 1 9. P ( ξ > ) = 1 P ( ξ < ) = 1 P ( 1 < ξ < 5) = ( ) ( ) 5 1 = 1 Φ + Φ = 1 Φ () + 1 Φ(4) = Φ() + Φ(4) 1 1 Hasonlóan számolható ki exponenciális eloszlás esetén is a valószínűség. 55. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni: ( ) k P n p ε p q ε n. Jelen esetben p =, 4, q =, 6, ε =, 1, így ( ) k P n, 4, 1, 4, 6, 1 n. A szükséges kísérletek számát a, 4, 6, 1 n <, egyenlőtlenség megoldásával kapjuk. 56. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni: ( ) k P n p ε p q ε n. Jelen esetben p = 1, q = 5, ε =, 1, így 6 6 ( k P n 1 ) 6, , 1 n. A szükséges kísérletek számát a , 1 n <, 5 egyenlőtlenség megoldásával kapjuk.

35 5 57. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni: ( ) k P n p ε p q ε n. Jelen esetben p = 1, q = 5, ε =, 1, így 6 6 ( k P n 1 ) 6, , 1 n. A szükséges kísérletek számát a , 1 n <, egyenlőtlenség megoldásával kapjuk. 58. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni: ( ) k P n p ε p q ε n. Jelen esetben p = 1, q = 1, ε =, 1, így ( k P n 1 ) 6, 1 1 1, 1 n. A szükséges kísérletek számát a 1 1, 1 n <, 8 egyenlőtlenség megoldásával kapjuk. 59. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni: ( ) k P n p ε p q ε n. Jelen esetben p =,, q =, 7, n = 5, így ( ) k P 5, ε,, 7 ε 5. Az ε értéke az egyenlőtlenség megoldásával adódik.,, 7 ε 5 <, 1

36 6 6. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni: ( ) k P n p ε p q ε n. Jelen esetben p =, 4, q =, 6, n =, így ( ) k P, 4 ε, 4, 6 ε. Az ε értéke az, 4, 6 ε <, 1 egyenlőtlenség megoldásával adódik, mely után k értéke meghatározható, mely utána k értéke 58 k A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni: ( ) k P n p ε p q ε n. Jelen esetben p =, 5, q =, 5, n = 1, így ( ) k P 1, 5 ε, 5, 5 ε 1. Az ε értéke az, 5, 5 ε 1 <, 1 egyenlőtlenség megoldásával adódik, mely után k értéke meghatározható. 6. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni: ( ) k P n p ε 1 p q ε n. Jelen esetben p =, 5, q =, 5, n = 1, így ( ) k P 1, 5 ε 1 Másrészt ε k 1 1 ε,, 5, 5 ε 1. melyből 5 1ε k 5 + 1ε. Az ε értékét megkapjuk az 5 + 1ε = 15 egyenletből. Így adódik, hogy ε =, 55. Tehát a keresett valószínűség, 5, 5, 55 1

37 7 6. A megoldáshoz a nagy számok törvényét fogjuk használni: ( ) k P n p ε p q ε n. Jelen esetben p =, 5, q =, 5, ε =, 1, így ( ) k P n, 5 ε A szükséges dobások számát az n >, 5, 1, 5, egyenlőtlenség megoldásával kapjuk: n > 5., 5, 5, 1 n. 64. A központi határeloszlás-tételt alkalmazva ( ) ( ) ξ ξ n, 95 P m n, 5 ξ ξ n nm = P n, 5 = ( ξ ξ n nm = P n, 5 ) ( n n = P 4 ξ ) ξ n nm n, n 4 amiből ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n, 95 Φ Φ = Φ 1 + Φ = Φ 1, így ( ) 1, 95 n, 975 = Φ. 4 Ebből n 1, 96 4, amiből kapjuk, hogy n 61, 5, tehát legalább 6 mérés szükséges. A Csebisev-egyenlőtlenséggel is elvégezzük a becslést. A szórásnégyzet. n ( ) ( ) ξ ξ n P m n, 5 ξ ξ n = 1 P m n >, n, 5 = 1 16 n, amiből n. 65. Ha ξ i (i=1..1) független, Poisson-eloszlású valószínűségi változók 1-paraméterrel, akkor ξ ξ 1 1-paraméterű, Poisson-eloszlású. P (ξ > 1) = 1 P (ξ ξ 1 1) = ( ξ ξ 1 1 = 1 P ) = 1 Φ(, 5) =,.

38 8 66. Ha ξ i (i=1..5) független, Poisson-eloszlású valószínűségi változók 1-paraméterrel, akkor ξ ξ 5 5-paraméterű, Poisson-eloszlású. P (ξ > 6) = 1 P (ξ ξ 5 6) = ( ξ ξ 5 5 = 1 P Ha ξ i (i=1..) független valószínűségi változók, akkor 68. ) ( ) = 1 Φ. 5 5 P (ξ > 85) = 1 P (ξ 85) = 1 P (ξ ξ 85) = ( ) ( ) ξ ξ = 1 P = 1 Φ =, 116., 95 = P Legyen ( ξ ξ 8 8 x = ) a 8 8 = 8 ( ) a 8 = Φ 8 a 8 8, ( Φ ) a 8 8. így, 95 = Φ(x) Φ( x) = Φ(x) 1, amiből x = 1, 96. Tehát 1, 96 = a 8 8. Ebből a = 88, 77, tehát 71, 4 és 88, 77 közé esnek az átlagértékek fős mintára van szükség. 7. A korábbiakhoz hasonlóan. 71. A Csebisev-egyenlőtlenséggel P ( ξ Eξ > 1) 1 D ξ 1 = 1 4. A központi határeloszlás-tétel segítségével: P ( ξ Eξ > 1) = 1 P ( ξ Eξ < 1) = 1 P ( ξ 5 < 1) = ( ) ( ) = 1 P (49 < ξ < 51) = 1 Φ + Φ = Φ(). 5 5

39 7. A Csebisev-egyenlőtlenséggel P ( ξ Eξ > 8) D ξ 8. A központi határeloszlás-tétel segítségével: P ( ξ Eξ > 8) = 1 P ( ξ Eξ < 8) = 1 P ( ξ 1 < 8) = ( ) ( ) = 1 P (9 < ξ < 18) = 1 Φ + Φ Legyen Ekkor így, ha az i-edik dobás, 4, ha az i-edik dobás 4, ξ i = 6, ha az i-edik dobás 6,, ha az i-edik dobás 1,,5. Eξ i = 1 6 ( ) =, D ξ = 1 16 ( ) 4 = 6, P (18 ξ ) = P 16 1 i=1 ξ i 1 1 i=1 D ξ i i=1 Eξ i = Φ 1 16 Φ a) Az empirikus eloszlásfüggvény, ha x 4 1, ha 4 < x 45 1, ha 45 < x 48 F ξ (x) =, ha 48 < x 5 5, ha 5 < x 5 6 1, ha x > 5. b) Az átlag A szórásnégyzet x = = 46, = σ = (46, 6 4) + (46, 5 45) + (46, 5 48) + (46, 5 5) + (46, 5 5), 6 9

40 4 a korrigált szórásnégyzet σ = (46, 6 4) + (46, 5 45) + (46, 5 48) + (46, 5 5) + (46, 5 5). 5 c) A keresett konfidencia-intervallum s n s n x u α < m < x + u α. n n 75. A likelihood függvény Mivel ezért Mivel L(n + 1) L(n) L(n) = ( ) n p k (1 p) n k. k ( ) n + 1 L(n + 1) = p k (1 p) n+1 k, k = ( ) n + 1 (1 p) k ( ) = n + 1 (1 p). n n k + 1 k n + 1 (1 p) > 1 n k + 1 pontosan akkor teljesül, ha n < k 1. Így n maximum likelihood becslése p [ ] [ ] k 1 n = p 1 =, 5 1, így 199 vagy a jó megoldás. 76. A likelihood függvény L(λ) = 5 k=1 P (ξ = x k ) = λ4 4! e λ λ! e λ λ7 7! e λ λ! e λ λ4 4! e λ = A loglikelihood függvény ln L(λ) = ln λ ln(4!!7!!4!) 5λ. λ 4!!7!!4! e 5λ. Az előbbi függvény λ-szerinti deriváltja ln L(λ) λ = λ 5, aminek a zérushelye λ = 4.

41 A likelihood függvény A loglikelihood függvény melynek a p-szerinti deriváltja ln L(p) p melynek zérushelye p = 1 k. 78. A likelihood függvény A loglikelihood függvény melynek parciális deriváltja melynek zérushelye λ = L(p) = p(1 p) k 1. ln L(p) = ln p + (k 1) ln(1 p), L(λ) = = 1 p 1 (k 1), 1 p 6 λe λx i = λ 6 e 11λ. i=1 ln L(λ) = 6 ln λ 11λ, ln L(λ) λ = 6 λ 11,