Gyakorló feladatok a Sztochasztika alapjai kurzushoz

Átírás

1 Gyakorló feladatok a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. Kombinatorikus valószín ség 1.1. a. Egy szabályos dobókockáta feldobva mennyi az alábbi események valószín sége? A = hatost dobunk; B = 4-nél nagyobbat dobunk; C = páros számot dobunk. b. Két szabályos dobókockát feldobva mennyi a következ események valószín sége? D = két azonos számot dobunk; E = pontosan egy hatost dobunk; F = egy páros és egy páratlan számot dobunk Magyarországon az autók rendszáma három bet b l és három számjegyb l áll. A bet k az angol ábécé 26 bet jéb l kerülnek ki, de az els bet nem lehet U, X és Y. (Ezen bet k a motorkerékpároknak, az utánfutóknak és a lassú járm veknek vannak fenntartva.) A számjegyekre nincsen korlátozás. Hány különböz rendszám írható fel ezen szabályok szerint? Ha véletlenszer en választunk egy lehetséges rendszámot, akkor mennyi annak a valószín sége, hogy minden bet mássalhangzó és minden számjegy páratlan? Mennyi az esélye, hogy a rendszámban található magánhangzó és páros számjegy is? 1.3. Négy barátn, Anna, Bori, Cili és Dóri véletlenszer sorrendben leül egymás mellé egy padra. Mennyi annak a valószín sége, hogy Anna és Dóri a pad két szélére kerül? Mennyi az esélye annak, hogy Anna közvetlenül Dóri jobbjára kerül, illetve annak, hogy Anna és Dóri egymás mellé kerül? 1.4. Két testvér ugyanabba a 27 f s osztályba jár. Egy gyors sorakozónál mindenki találomra áll be. Mi a valószín sége, hogy a két testvér egymás mellé kerül? Mennyi az esélye annak, hogy pontosan tizen állnak közöttük? 1.5. Bet kockákból kirakjuk a KÖRÖMPÖRKÖLT szót, majd a bet ket véletlenszer en összekeverjük. Mennyi annak a valószín sége, hogy visszakapjuk az eredeti szót? Mi annak az esélye, hogy a PÖRKÖLT szó részszóként kiolvasható? 1.6. Egy vendégl egyik asztalánál 9 vendég ül, és mindenki rendel egy italt, összesen 3 sört, 4 vörös és 2 fehér bort. A pincér találomra osztja ki az italokat. Mennyi a valószín sége, hogy mindenki olyan italt kap, amilyet kért? 1.7. Feldobunk 6 dobókockát. Mekkora valószín séggel lesz a dobott számok összege pontosan 36? Mennyi az esélye, hogy a dobott számok összege nagyobb, mint 34? Mekkora a valószín sége annak, hogy a dobott számok között vannak azonosak? 1.8. A születésnap paradoxon. A Sztochasztika alapjai gyakorlaton a csoportok 30 f re lettek meghirdetve. Mennyi annak az esélye, hogy egy 30 f s csoportban mindenki az évnek ugyanazon a napján született? Mennyi annak a valószín sége, hogy a csoportban lesz két ember, aki azonos napon született? (A szök napoktól és az ikertestvérekt l most tekintsünk el.) 1

2 1.9. Piri néni nagyon szereti a kertjét, különösen a tulipánjait. Žsszel a legszebb tulipánok közül kiválaszt 5 pirosat, 4 narancssárgát és 2 fehéret, és felszedi a hagymákat. Sajnos a hagymák a téli tárolás során összekeverednek. A következ tavasszal Piri néni véletlenszer en kiválaszt 7 hagymát, és kiülteti ket. Mennyi az esélye annak, hogy a kiválasztot hagymák között a. pontosan 4 piros lesz; b. pontosan 4 piros, 2 narancssárga és 1 fehér lesz; c. lesz fehér; d. lesz piros; e. pontosan két különböz szín fog majd el fordulni, és ezek 4 illetve 3 tulipánon jelennek meg? Az ötöslottón mennyi az esélye annak, hogy a. telitalálatot érünk el; b. pontosan k találatot érünk el, ahol k = 0, 1,..., 5; c. kihúzzák a 12-es és a 80-as számot; d. kihúzzák a 12-es és a 80-as számot, és a 12 a második legkisebb nyer szám; e. öt egymást követ számot húznak ki? Egy gyárban a makaront úgy csomagolják, hogy egy-egy dobozba két csokis, egy málnás és egy narancsos sütemény kerül. Anna a három barátn jével öt napon keresztül minden nap vásárol egy doboz makaront, és a süteményeket véletlenszer en kiosztják egymás között. Mennyi annak az esélye, hogy Anna az öt nap folyamán a. hétf n, szerdán és csütörtökön csokis, a többi napon nem csokis makaront kap; b. pontosan 3 csokis makaront kap; c. összesen 2 csokis, 2 málnás és 1 narancsos makaront kap; d. egyszer sem kap málnás makaront; e. legalább egyszer kap csokis vagy narancsos makaront? Egy 32 lapos kártyacsomagból kihúzunk 6 lapot. Mennyi annak a valószín sége, hogy a kihúzott lapok között a. pontosan 2 ász lesz; b. pontosan 3 piros lesz; c. pontosan 3 piros, 2 zöld és 1 makk lesz; d. lesz legalább egy ász; e. lesz ász vagy lesz piros? Oldjuk meg a feladatot visszatevéssel és visszatevés nélkül is. 2

3 1.13. Egy óvodás csoportba 9 gyerek jár, köztük egy testvérpár. Hányféleképpen lehet a gyerekeket egy négy-, egy három- és egy kétf s csoportba besorolni? Ha véletlenszer a besorolás, akkor milyen valószín séggel fog a két testvér ugyanabba a csoportba kerülni? Visszatevéssel húzunk egy olyan urnából, melyben 3 piros és 5 zöld golyó található. a. Mennyi annak a valószín sége, hogy az els piros golyót harmadikra húzzuk ki? Mennyi az esélye, hogy az n-edik húzásra kapjuk az els pirosat? b. Mennyi annak az esélye, hogy három húzás során kapunk legalább egy pirosat? Mi annak a valószín sége, hogy n húzásból kapunk pirosat? c. Hányat húzzunk, ha az a célunk, hogy 95 százalékos valószín séggel a kihúzott golyók között legyen piros? Többször egymás után feldobunk két szabályos dobókockát. Azt mondjuk, hogy egy dobás dupla, ha két azonos értéket kapunk. a. Mennyi az esélye, hogy az els dupla pontosan az ötödik dobásra jön? Mi annak a valószín sége, hogy az els duplát pontosan az n-edik dobásra kapjuk? b. Mennyi annak a valószín sége, hogy az els öt dobás során kapunk legalább egy duplát? Mekkora eséllyel kapunk legalább egy duplát az els n dobás során? c. Hányszor dobjuk fel a kockát, ha az a célunk, hogy legalább 90% valószín séggel a dobások között legyen legalább egy dupla? Egy urnában 4 piros és n zöld golyó található. Kihúzunk két golyót az urnából. a. Mennyi annak az esélye, hogy a kiválasztott golyók mindegyike piros? Mekkora legyen n értéke, ha az a cél, hogy ez a valószín ség kisebb legyen, mint 0,1? b. Mennyi annak az esélye, hogy a kiválasztott golyók között van piros? Mekkora legyen n értéke, ha az a cél, hogy ez a valószín ség kisebb legyen, mint 0,1? Oldjuk meg a feladatot visszatevéses és visszatevés nélküli húzásra is Egy vizsgán a vizsgázó a 100 lehetséges kérdésb l n-re tudja a választ. Mekkora valószín séggel fogja teljesíteni a vizsgát, ha a. két kérdést kap, és megbukik, ha valamelyikre nem tud válaszolni; b. két kérdést kap, melyek közül elég az egyikre válaszolni? Az egyes vizsgáztatási módok esetén a vizsgázó hány kérdésre tanulja meg a választ, ha az a célja, hogy legalább 80% eséllyel teljesítse a vizsgát? 3

4 2. A valószín ség általános tulajdonságai 2.1. Öt héten keresztül játszunk az ötöslottón. Jelölje A i azt az eseményt, hogy az i-edik héten nyerünk valamennyi pénzt. Fejezzük ki az alábbi eseményeket az A 1,..., A 5 események segítségével. Fogalmazzuk meg a B 1, B 2, B 4 események tagadását is. a. B 1 = minden héten nyerünk; b. B 2 = egyik héten sem nyerünk; c. B 3 = az utolsó héten nyerünk el ször; d. B 4 = a második héten nyerünk, de a negyedik héten nem; e. B 5 = pontosan négyszer nyerünk Az A m, a B n és a C p esemény azt jelöli, hogy három könyvsorozat kötetei közül az els b l m, a másodikból n, a harmadikból pedig p darabot veszünk, ahol m, n és p nemnegatív egész számok. (Például A 3 az az esemény, hogy az els sorozatból pontosan 3 könyvet veszünk.) Hogyan lehet formalizálni a következ eseményeket? a. Az els sorozatból pontosan 1, a másodikból pontosan 3 könyvet veszünk. b. Egy könyvet sem veszünk. c. Veszünk könyvet az els sorozatból. d. Mindhárom sorozatból veszünk könyvet. e. Vagy veszünk legalább 2 könyvet az els sorozatból, vagy nem veszünk semmit. f. Pontosan 2 könyvet veszünk összesen a második és a harmadik sorozatból Próbagyártás után két szempontból vizsgáljuk a késztermékeket. Tudjuk, hogy 0,25 annak a valószín sége, hogy egy véletlenszer en kiválasztott gyártmány anyaghibás, míg 0,4 annak az esélye, hogy mérethibás. A gyártmányok 10 százaléka nem felel meg egyik szabványnak sem. Ha véletlenszer en kiválasztunk egy gyártmányt, akkor mennyi annak a valószín sége, hogy a. a gyártmány anyaghibás, de megfelel a méretszabványnak; b. a gyártmánynak van valamilyen hibája; c. a gyártmány pontosan egyfajta hibája van? d. a gyártmány hibátlan? 2.4. Egy faluban három sportolási lehet ség van, foci, kosárlabda és pingpong. A lakosok 25%-a focizik, 40%-a kosárlabdázik, és 45%-a pingpongozik. Az emberek tizede szokott focizni és kosárlabdázni is, ötödük szokott focizni és pingpongozni is, továbbá negyedük szokott kosárlabdázni és pingpongozni is. Mindhárom sportot a lakosság 5%-a zi. Véletlenszer en kiválasztunk egy lakost, és megkérdezzük t le, hogy melyik sporttevékenységet szokta végezni. Mennyi annak a valószín sége, hogy a megkérdezett ember 4

5 a. focizik vagy pingpongozik; b. focizik, de nem kosárlabdázik; c. pontosan kett sportot z; d. semmit sem sportol? 2.5. A király lovagjai nehéz feladatot kapnak, meg kell menteniük a király lányát a sárkány fogságából. Mivel igazából egyik lovagnak sincs kedve ezen nemes küldetéshez, sorsolással döntik el, hogy ki induljon el a feladat elvégzésére. A sárkányt háromféleképpen lehet legy zni, er vel, fürgeséggel vagy ravaszsággal. A lovagok 19%-a er sebb, 25%-a gyorsabb és 28%-a ravaszabb a sárkánynál. Huszaduk egyszerre er sebb és gyorsabb, tizedük er sebb és ravaszabb, nyolcaduk pedik gyorsabb és ravaszabb a sárkánynál. Azt is tudjuk, hogy a lovagok mindössze 3%-a rendelkezik a fenti erények mindegyikével. Mennyi a valószín sége, hogy a kiválasztott lovag a. er sebb vagy gyorsabb a sárkánynál; b. pontosan kétféleképpen tudja legy zni a sárkányt, és ezek egyike a ravaszság; c. legalább kétféleképpen le tudja gy zni a sárkányt; d. semmilyen módszerrel sem tudja kiszabadítani a királylányt? 2.6. Egy cég három különböz változatot szállít egy adott termékb l a vele szerz désben álló boltoknak. Ebben a hónapban a boltok fele rendelt az 1. típusból, és 57% nem rendelt a 2. típusból. A boltok 22%-a rendelt az 1. és a 2. változatból is, továbbá negyedrészük rendelt az 1. és a 3. típusú termékekb l is. A boltok 14%-a mindegyik típusból rendelt, míg 0,12 részük egyikb l sem. A boltok 6%-a olyan, hogy rendelt a 2. és 3. típusból is, de az 1.-b l nem. Mennyi annak a valószín sége, hogy egy véletlenszer en kiválasztott boltba kell szállítani a 3. változatból? A boltok hányad része rendelt csak az 1. típusból? Egy véletlenszer bolt esetén mennyi az esélye, hogy pontosan egy típust rendeltek a termékb l? 2.7. Legyen A és B olyan esemény, melynek valószín sége 0,7 illetve 0,8. Ezen információ birtokában meg tudjuk határozni egyértelm en a P (A B) és a P (A B) valószín séget? Ha nem, akkor adjunk alsó és fels korlátot ezekre a valószín ségekre. A megoldást illusztráljuk Venn-diagrammal Egy vállalat úgy próbálja meg népszer síteni az általa forgalmazott chipset, hogy a zacskókba a Micimackó cím mese guráit rejti el: Micimackót, Malackát, Tigrist és Fülest. Minden zacskóban pontosan egy gura található, és minden gurának azonos a gyakorisága. Mi addig vásáróljuk a terméket, míg meg nem kapjuk a teljes kollekció, tehát míg végül mindegyik gurából lesz legalább egy darab. Mennyi annak az esélye, hogy ehhez elég 4 darab chipset kell megvenni? Mi annak a valószín sége, hogy elég 6 zacskót megvásárolni? 2.9. Tízszer feldobunk egy szabályos dobókockát. Mennyi a valószín sége, hogy a tíz dobás során az 1, 2, 3, 4, 5, 6 értékek mindegyike el fordul? 5

6 3. Geometriai valószín ségi mez k, feltételes valószín ség és két esemény függetlensége 3.1. Egy edénygyár mai napi tányértermelését a következ táblázat foglalja össze: leveses lapos salátás összesen hibátlan selejtes összesen Véletlenszer en kiválasztunk egy tányért min ségellen rzésre. Jelölje A i azt az eseményt, hogy az i-edik típusú termékb l választottunk, és legyen B az az esemény, hogy a kiválasztott tányér selejtes. Értelmezzük és határozzuk meg a következ valószín ségeket: P (A 2 B); P (A 1 A 3 B); P (B A 2 ); P (B A) a. Háromgyerekes családok körében vizsgáljuk, hogy hány ú és lány van a családban. Jelölje A azt az eseményt, hogy a vizsgált családban legfeljebb egy lány van, és legyen B az, hogy van ú és lány is. Feltehet, hogy a gyerekek azonos eséllyel születnek únak vagy lánynak. Mennyi az A esemény valószín sége? Mennyi A valószín sége, ha tudjuk, hogy B bekövetkezik? Ezek alapján mit mondhatunk a két esemény kapcsolatáról? b. Válaszoljuk az el z pont kérdéseire négygyerekes családok esetén Egy városban tíz autókölcsönz m ködik, ebb l háromnál lehet kisbuszt is bérelni. Egy ember kisbuszt szeretne bérelni, de nem tudja, hogy ezt melyik kölcsönz nél teheti meg, ezért elkezdi véletlenszer sorrendben felhívni ket. Mekkora annak a valószín sége, hogy pontosan három hívásra lesz majd szüksége? Mennyi az esélye ugyanennek, ha tudjuk, hogy az els hívás nem volt sikeres? 3.4. Egy óvodás csoportba 9 gyerek jár, köztük egy testvérpár, egy ú és egy lány. Egy foglalkozáson véletlenszer en kiválasztanak 4 gyereket. Mennyi a valószín sége annak, hogy a. a testvérpár mindkét tagját kiválasztják; b. a testvérpár mindkét tagját kiválasztják feltéve, hogy a ú ki lett választva; c. a testvérpár mindkét tagját kiválasztják feltéve, hogy legalább az egyikük ki lett választva? 3.5. Egy feladat a mobiltelefonok el tti id kb l. Az egyik barátunk egy adott estén 2/3 valószín séggel tartózkodik kocsmában. Ha kocsmában van, akkor egyenl eséllyel található meg az öt környékbeli kocsma valamelyikében. Tegyük fel, hogy négyet már megnéztünk, de nem taláktuk. Mennyi az esélye, hogy az ötödikben lesz? 6

7 3.6. A vihar véletlenszer helyen elszakít egy 20 km hosszú légvezetéket, ezért a vezeték két végér l egy-egy keres csapat indul, hogy felderítsék a szakadás helyét. A nehéz terep miatt az egyik csapat 4 km/h, a másik 6 km/h sebességgel halad. Tekintsük a következ eseményeket: A = a szakadás helyét a lasabban haladó csapat találja meg B = valamelyik csapat fél órán belül megtalálja a szakadás helyét Mennyi az A illetve a B esemény valószín sége? Mennyi az A esemény valószín sége, ha a B esemény bekövetkezik? Független egymástól az A és a B esemény? 3.7. Egy metróvonalon 10 perces követési id vel járnak a szerelvények. Ha egy véletlenszer id pontban megyünk ki az állomásra, akkor mennyi annak a valószín sége, hogy legfeljebb 5 percet kell várni? Mennyi az esélye ugyanennek, ha tudjuk, hogy a legutóbbi szerelvény már legalább 3 perce elment. Milyen kapcsolatban van az az esemény, hogy legfeljebb 5 percet kell várni, és az, hogy az el z metró már legalább 3 perce elment: kizáróak, függetlenek, vagy valamelyik maga után vonja a másikat? 3.8. Véletlenszer en választunk egy x értéket a [0, 1] intervallumon. Ez az érték egy x és egy 1 x hosszúságú szakaszra bontja az egységnyi hosszúságú intervallumot. Mennyi annak az esélye, hogy a szakaszok hosszának szorzata nagyobb, mint 5/36? 3.9. Ejt erny s ugrást hajtanak végre egy 500 m 2 terület mez n. Az ugrás akkor sikeres, ha az ugró a mez n kijelölt 10 m oldalhosszúságú négyzetben ér földet. Különdíjat kap az, aki a négyzet közepén megrajzolt 2 m sugarú körön belül érkezik. Feltehet, hogy az érkezés helye a mez n megfelel az egyenletességi hipotézisnek. Mekkora valószín séggel fog az ugró különdíjat kapni? Mennyi az esélye annak, hogy az ugró különdíjat kap, ha az ugrás sikeres? Milyen kapcsolat van az ugrás sikeressége és a különdíj megszerzése között: függetlenek, kizárják egymást, vagy valamelyik maga után vonja a másikat? Véletlenszer en választunk egy pontot az 5 egység oldalhosszúságú négyzetben. a. Mennyi annak az esélye, hogy a pont a legközelebbi oldaltól legfeljebb 1 egységnyire esik? Mennyi a valószín sége ugyanennek akkor, ha tudjuk, hogy a pont az északi oldalhoz van a legközelebb? Független egymástól az, hogy a pont a legközelebbi oldaltól legfeljebb 1 egységnyire esik, illetve az, hogy a pont az északi oldalhoz van a legközelebb. b. Mennyi az esélye annak, hogy a kiválaszott pont a négyzet geometriai középpontja, tehát a két átló metszéspontja lesz? Bekövetkezhet ez az esemény? Véletlenszer en rálövünk egy 10 centiméter sugarú kör alakú céltáblára. Tekintsük a következ eseményeket: A = a céltáblát a középponttól legfeljebb 7 centiméterre találjuk el B = a találat a középponttól legalább 5 centiméterre esik 7

8 Mennyi az A esemény valószín sége? Mennyi az A esemény valószín sége feltéve, hogy B bekövetkezik? Független a két esemény egymástól? Kizárják egymást? Esetleg valamelyik maga után vonja a másikat? Autóval végig akarunk menni egy 30 km hosszú egyenes útszakaszon, de balesetet szenvedünk egy véletlenszer helyen. A közelben egyetlen egy mobiltelefon átjátszó torony van, ez az út felénél az úttól 6 km távolságra található. A torony egy 10 km sugarú kör alakú területet képes kiszolgálni. Mennyi annak az esélye, hogy a baleset helye ebbe a körbe esik, és ezáltal telefonon segítséget tudunk hívni? Mennyi a valószín sége ugyanennek, ha a baleset az út els 5 kilométeres szakaszán történik? Legyen A és B pozitív valószín ség esemény. Mennyi az P (A B) feltételes valószín ség értéke, ha a. A és B kizáró események; b. B maga után vonja az A eseményt; c. A és B független események? Lehet a két esemény egyszerre kizáró és független? Legyen A tetsz leges esemény. Mutassuk meg, hogy A független a biztos eseményt l és a lehetetlen eseményt l Feldobunk két szabályos dobókockát. Mutassuk meg, hogy minden kimenetelnek azonos a valószín sége, tehát a kísérlet leírható klasszikus valószín ségi mez vel. (Feltehet, hogy a két dobás független egymástól.) Adott egy 10 6 kilométeres téglalap alakú város, melynek egyik sarkában található egy t zoltó állomás. Az állomást akkor riasztják, ha a t z a városban az állomástól légvonalban legfeljebb 4 kilométer távolságra üt ki. a. Ha a városban véletlenszer helyen van egy t zeset, akkor mennyi annak az esélye, hogy ezt az állomást fogják riasztani? b. Tegyük fel, hogy egy adott napon két egymástól független t zeset van a városban, melyek véletlenszer helyen történnek. Mennyi a valószín sége, hogy az állomást a kett közül pontosan egyhez fogják majd riasztani? Két héten keresztül játszunk az ötöslottón, mindkét alkalommal egy szelvényt töltünk ki. Mennyi annak az esélye, hogy az els héten elérünk legalább egy találatot? Mi a valószín sége ugyanennek a második héten? Mennyi az esélye annak, hogy vagy az els, vagy a második héten elérünk legalább egy találatot? 8

9 4. Több esemény függetlensége és a teljes valószín ség tétele 4.1. Egy útszakaszon egymás után három jelz lámpa irányatja a forgalmat. Az egyes lámpáknál egymástól függetlenül rendre 1/2, 2/3 illetve 3/4 valószín séggel kapunk pirosat. Mennyi az alábbi események valószín sége? a. Mindhárom lámpánál pirosat kapunk. b. Az els lámpánál pirosat kapunk, de a harmadiknál nem. c. Pontosan két lámpánál kapunk pirosat. d. Legalább két lámpánál pirosat kapunk. Feltéve, hogy pontosan két pirosat kapunk, mennyi annak az esélye, hogy a zöldet az els, a második, illetve a harmadik lámpánál kapjuk? 4.2. Piri néni kertjében három gyümölcsfa áll, egy körte-, egy barack- és egy cseresznyefa. A három fa egymástól függetlenül rendre 0,4, 0,6 illetve 0,2 valószín séggel kap el egy bizonyos betegséget. Határozzuk meg az alábbi események valószín ségét. a. Mindhárom fa megbetegszik. b. Sem a körte-, sem a cseresznyefa nem kapja el a betegséget. c. A három fa közül pontosan egy kapja el a betegséget. d. A három fa közül legfeljebb egy elkapja a betegséget. Feltéve, hogy a három fa közül pontosan egy kapja el a betegséget, mennyi annak az esélye, hogy a körte-, a barack- illetve a cseresznyefa a beteg? 4.3. Egy csatában az egyik harcoló fél ejt erny kkel próbál utánpótlást eljuttatni egy körbevett alakulathoz. Az er s szél miatt az ejt erny k egymástól függetlenül és véletlenszer helyen érnek földet a 15 km 2 terület csatatéren. Az alakulat egy 1 km 2 terület magaslaton védekezik, és az utánpótlást csak akkor kapják meg, ha az erny ezen a magaslaton ér földet. a. Mennyi annak az esélye, hogy egy adott ejt erny eljut az alakulathoz? b. Tegyük fel, hogy tíz ejt erny t dobnak le. Mennyi annak az esélye, hogy ezek közül pontosan egy erny jut el az alakulathoz? Mennyi annak a valószín sége, hogy az alakulat megszerez legalább egy ejt erny t? c. Hány ejt erny t dobjanak le ahhoz, hogy ezek közül az alakulat 95 százalékos eséllyel megszerezzen legalább egyet? 4.4. Oldjuk meg az és az feladatot a függetlenség alkalmazásával Egy vizsgán a hallgatók 10%-a bukott meg. A sikeres vizsgát tev hallgatók negyedrésze kapott jelest. Mekkora az esélye, hogy egy véletlenszer en kiválasztott hallgató jelest kapott? 9

10 4.6. Egy adott területen vegyszeres szúnyogírtást végeznek három egymás követ alkalommal. Az els permetezés után a szúnyogok 80%-a elpusztul, de az életben maradt rovaroknak n az ellenállóképessége a szerrel szemben. Ennek az a következménye, hogy a második permetezéskor az életben maradt szúnyogoknak már csak a 40%-a pusztul el, a harmadik írtásnál pedig csak a maradék 20%-a. Mennyi a valószín sége annak, hogy egy szúnyog túléli mindhárom permetezést? Feltéve, hogy egy szúnyog túlélte az els permetezést, mennyi a valószín sége annak, hogy a másodikat és a harmadikat is túléli? 4.7. Egy vacsora után n ember ki akarja sorsolni, hogy melyikük mosogasson. Fognak hát n egyforma gyufaszálat, az egyikb l letörnek egy darabot, majd valaki összefogja úgy a szálakat, hogy ne látszódjon, melyik a rövid. Ezek után mindeki húz egy-egy gyufaszálat, és az mosogat, aki a rövidebbet húzza. Igazságos ez a sorsolás, tehát a húzás sorrendjét l függetlenül mindenki 1/n valószín séggel kapja a rövid szálat? Vagy esetleg az els vagy az utolsó húzónak jobbak az esélyei? 4.8. Egy vizsgán a hallgatók egy 10 tételb l álló tételsorból húznak. A tételek közül 4 nehéz, ezeket a vizsgázók nem szeretik, és 6 könny. Egy adott napon hárman vizsgáznak, és visszatevés nélkül húznak egy-egy tételt. a. Mennyi annak az esélye, hogy az els vizsgázó könny tételt húz? b. Mennyi annak a valószín sége, hogy az els vizsgázó nehéz tételt húz, a második viszont könny t? Mennyi az esélye annak, hogy a második vizsgázó könny t húz? Feltéve, hogy a második vizsgázó könny tételt húz, mennyi az esélye, hogy el tte az els vizsgázó is könny t kapott? Befolyásolja a másodjára kihúzott tétel azt, hogy az els vizsgázó el tte mit húzott? c. Mennyi annak a valószín sége, hogy a három vizsgázó sorban egy könny, egy nehéz, és majd még egy könny tételt húz? Mennyi annak az esélye, hogy a harmadik vizsgázó könny tételt húz? d. Mennyi annak az esélye, hogy a három vizsgázó közül pontosan egy húz könny tételt? Feltéve, hogy pontsan egy húz könny tételt, mennyi annak az esélye, hogy az els hallgató kapja a könny tételt? Válaszoljunk a kérdésekre azzal a módosítással is, hogy a vizsgázók a tételeket visszatevéssel húzzák ki Egy üzemben három gép van, az els adja a termelés 20%-át, a második pedig a 30%-át. Az els gépnél 5% a selejtarány, a másodiknál és a harmadiknál gépnél 10%. Véletlenszer en kiválasztunk egy gyártmányt az üzem termeléséb l. Mennyi az esélye annak, hogy a kiválasztott termék a harmadik gépen készült és selejtes? Mennyi a valószín sége, hogy a kiválasztott termék selejtes? Feltéve, hogy a gyártmány nem selejtes, mennyi annak az esélye, hogy az els, a második illetve a harmadik gépen készült? 10

11 4.10. Egy csomagolóüzembe négy termel szállít almát. A leadott gyümölcs tizede származik az els, három tizede a második, és két ötöde a harmadik termel t l. Az egyes termel k esetén a leadott mennyiség 40, 50, 20 illetve 100 százaléka els osztályú. Ha véletlenszer en kiválasztunk egy almát, akkor mi annak a valószín sége, hogy a második termel hozta és másodosztályú? Mennyi az esélye, hogy a kiválasztott alma másodosztályú? Feltéve, hogy az alma másodosztályú, mennyi a valószín sége, hogy az els, a második, a harmadik, illetve a negyedik termel szállította? Lajosnak lejárt a bérlete, mégis felszáll az els járm re, ami hazaviszi. A megállóban 25% valószín séggel érkezik el ször busz, 40% valószín séggel troli, a többi esetben pedig villamos. A buszon 45% eséllyel jön ellen r, a trolin 10% eséllyel, a villamoson pedig 30% eséllyel. Mennyi annak az esélye, hogy hazafelé utazva találkozik ellen rrel? Otthon szomorúan meséli el, hogy megbüntették. Mennyi a valószín sége, hogy busszal utazott? A h t ben négy doboz tej van: egy friss; egy, ami egy hete lejárt, és biztosan romlott; továbbá van két doboz, ami egy napja járt le, és 0,3 valószín séggel romlottak. Véletlenszer en kiválasztunk egy doboz tejet. Mekkora az esélye, hogy ez a tej nem romlott? Ha megkóstoljuk a kivett tejet, és az romlottnak bizonyul, akkor mi a valószín sége annak, hogy az egy hete lejárt tejet vettük ki? Egy vizsgán minden tesztkérdéshez négy lehetséges válasz van megadva, melyek közül pontosan egy helyes. A vizsgázó 2/3 valószín séggel tudja a helyes választ a kérdésre, és ekkor megjelöli azt. A többi esetben a vizsgázó tippel, tehát véletlenszer en jelöl meg egy választ. A javítás során azt látjuk, hogy egy kérdésre a vizsgázó helyes választ adott. Mennyi a valószín sége, hogy a vizsgázó tippelt? Van két pénzérménk, egy szabályos, és egy olyan, ami 1/4 valószín séggel ad fejet. Véletlenszer en kiválasztok egy érmét, és feldobom. Mennyi annak az esélye, hogy fejet kapok? Feltéve, hogy fejet kaptam, mennyi a valószín sége, hogy a szabályos érmét választottam? Egy ritka betegséget ezer emberb l átlagosan egy kap el. A betegségre létezik egy 95%-os megbízhatóságú sz r teszt, azaz ekkora a valószín sége, hogy helyes eredményt ad, akár beteg valaki, akár egészséges. Egy ember megvizsgáltatja magát, és a teszt eserménye pozitív. Mennyi a valószín sége, hogy tényleg beteg? Egy üzemben három gép van, az els adja a termelés felét, a második a 40%-át. Az els és a második gépnél is a termékek 3%-a selejtes. A harmadik gép esetében hány százalék a selejtarány, ha tudjuk, hogy az üzemben termelt selejtes termékek közül 32,5% készült a harmadik gépnél? 11

12 5. Diszkrét valószín ségi változók 5.1. Mi legyen az a valós paraméter értéke, hogy az alábbi értékek valószín ségeloszlást alkossanak? a. p 1 = 0,15a, p 2 = 0,55a, p 3 = 0,25a, p 4 = 0,3a; b. p 0 = 0,25, p 2 = a, p 10 = a Két szabályos dobókockát feldobva legyen ξ a dobott értékek maximuma. Adjuk meg a ξ változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását. Határozzuk meg a 2 ξ változó várható értékét is Anna, Bori és Cili pizzát rendelnek, három különböz fajtát. Amikor a pizza megérkezik, véletlenszer en osztják ki egymás között a dobozokat. Jelölje ξ azt, hogy a lányok közül hányan kaptak olyan pizzát, amilyet rendeltek. Határozzuk meg a ξ változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását Feldobok egy szabályos pénzérmét. Ha az eredmény fej, akkor az érmét még egyszer, ha írás, akkor még kétszer dobom fel újra. Határozzuk meg az összesen kapott fejek számának eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását Egy gyárban három nagyteljesítmény dízelmotor üzemel, melyek egy adott id pontban egymástól függetlenül 0,5, 0,6 illetve 0,7 valószín séggel m ködnek. Jelölje ξ azt, hogy egy adott id pontban hány dízelmotor üzemel. a. Adjuk meg a ξ változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását. b. Amennyiben egy adott id pillanatban x dízelmotor üzelem, akkor a dolgozókat 50 x db zajterhelés éri. Határozzuk meg a zajterhelés átlagos értékét Egy kaszinóban a következ játékot lehet játszani. A játékos feldob egy szabályos dobókockát, és ha az eredmény 3-nál nagyobb, akkor nyer 1000 forintot, valamint jogot szerez egy újabb dobásra. Ha a második dobás nagyobb, mint 4, akkor további 2000 forintot kap, és dobhat egy harmadikat is. A játékos a harmadik alkalommal már csak akkor nyer, ha 6-ost dob, és ekkor további 6000 forint a nyereménye. Több dobásra nincsen lehet ség. Jelölje ξ az össznyereményt a játék során. a. Határozzuk meg a ξ változó eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását. Mennyi annak az esélye, hogy nyerünk legalább 3000 forintot? b. A kaszinó természetesen nem ingyen ajánlja fel a játéklehet séget, a játékért az els kockadobás el tt egy el re meghatározott díjat kell bezetni, ez a játék ára. Mennyi a játék igazságos ára? Egy protorientált kaszinó mennyi pénzt fog kérni a játékért? Hosszú távon a kaszinó által kiszabott ár megéri a játékosnak? 5.7. Szükségünk van egy m köd uxuskondenzátorra. Szerencsére ilyen berendezésb l öt is van nekünk raktáron, de ezek közül csak kett m köd képes, és nem tudjuk, hogy melyik az a kett. Éppen ezért egymás után bevizsgáljuk ket egészen addig, míg nem találunk egy m köd képeset. 12

13 a. Adjuk meg a bevizsgált uxuskondenzátorok számának eloszlását, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását. Mennyi annak az esélye, hogy legfeljebb két berendezést kell megvizsgálnunk? b. Egy-egy bevizsgálás 30 ezer forintunkba kerül. Határozzuk meg, hogy várhatóan mennyi pénzt költünk el összesen a bevizsgálásokra Adott egy fert z betegség, melyet az emberek 1% valószín séggel kapnak el. A betegségre kifejlesztettek egy tesztet, mely a vérben található antitestek alapján mutatja ki a betegség jelenlétét, de az eljárás drága, egy-egy tesztelés ezer dollárba kerül. Egy kórházban a következ módon végzik el a páciensek tesztelését. Nem egyesével tesztelik ket, hanem összevárnak tíz pácienst, és összeöntik a mintáikat. Ha az eredmény negatív, akkor egyik mintában sincs antitest, tehát mindeki egészséges. Ha a teszt eredménye pozitív, akkor ismét elvégzik a tesztet, de ezúttal már mind a tíz emberen külön-külön, hogy kiderüljön, kik betegek közülük. Határozzuk meg, hogy ezzel a módszerrel átlagosan mennyibe kerül egy páciens letesztelése Oldjuk meg az 5.5. feladat a. részét azzal a módosítással, hogy egy adott id pontban a három motor továbbra is egymástól függetlenül, de azonosan 0,6 valószín séggel üzemel. Lehet ség szerint alkalmazzuk valamelyik nevezetes diszkrét eloszlást. Ezzel a nevezetes eloszlással meg lehet oldani az eredeti feladatot is? Miért igen vagy nem? a. Egy ingatlanügynökségnél az eladott lakások 30%-át szokták a vev k hitel felvétele mellett zetni. A következ hétre 6 lakás van eladásra el jegyezve. A ξ valószín ségi változó jelölje a hitelkonstrukcióban értékesített lakások számát. Adjuk meg ξ eloszlását, várható értékét és szórását. Mi annak a valószín sége, hogy egynél több, de ötnél kevesebb lakáseladáshoz vesznek majd fel hitelt? b. Egy másik ingatlanügynökségnél a lakások 40%-át szokták eladni hitelfelvétel mellett, és náluk 8 eladás van el jegyezve a jöv hétre. Mennyi annak az esélye, hogy az els ügynökségnél pontosan 2, a másodiknál pedig pontosan 4 lakást adnak el hitelkonstrukcióban? (A két cégnél a lakáseladások száma független.) Addig dobunk fel két szabályos dobókockát újra és újra, míg duplát, tehát két azonos értéket nem kapunk. Mennyi annak az esélye, hogy az els duplát az ötödik dobásra kapjuk majd? Mi a valószín sége annak, hogy ötnél több dobás kell majd? Várhatóan hanyadik dobásra kapjuk majd az els duplát? Egy kisú kosarazni tanul, ezért elhatározza, hogy csak akkor megy el ebédelni, ha sikerül dobnia egy kosarat. A dobások egymástól függetlenek, és 15% annak a valószín sége, hogy egy dobással betalál. Jelölje ξ az ebédig történt dobások számát. Adjuk meg ξ eloszlását, várható értékét és szórását. Mennyi annak a valószín sége, hogy az els kosárhoz legfeljebb hármat kell dobnia? Lajos kulcscsomóján három kulcs van, ezek közül az egyik a lakásának a bejárati ajtaját nyitja. Egy este elmegy a barátaival italozni, és hazaérve azt tapasztalja, hogy 13

14 nem tudja megkülönböztetni a kulcsait. Elhatározza, hogy addig választ véletlenszer en újabb és újabb kulcsot, míg végül sikerül kinyitnia a lakás ajtaját. a. Adjuk meg a szükséges próbálkozások számának az eloszlását, ha Lajos nem jegyzi meg, hogy melyik kulccsal próbálkozott már korábban, hanem minden egyes alkalommal a három közül választ egyet véletlenszer en? Mennyi annak az esélye, hogy legfeljebb három próbálkozásra lesz majd szükség? Mennyi a próbálkozások számának a várható értéke és szórása? b. Miben változik az a. pont megoldása, ha Lajos minden egyes próbálkozás során 1/2 valószín séggel fejjel lefelé próbálja meg beleer ltetni a kulcsot a zárba? (Fejjel lefelé a jó kulccsal sem tudja kinyitni az ajtót.) c. Miben változik az a. pont megoldása, ha Lajos megjegyzi, hogy melyik kulccsal próbálkozott már korábban? Egy gyárban egy adott napon 50 terméket készítettek, ebb l 15 selejtes. Min ségellen rzéskor véletlenszer en kivesznek egyszerre 5 terméket, és megvizsgálják ket. Jelölje ξ a mintában talált selejtes termékek számát. Határozzuk meg a ξ változó eloszlását és várható értékét. Mennyi annak az esélye, hogy legfeljebb egy selejtes termék lesz a mintában? Egy szelvénnyel játszunk a Skandináv lottón, ahol 35 számból 7-et kell megjelölni. A szabályok szerint a számok két sorsoláson is részt vesznek, egy gépin és egy kézin, ez az úgynevezett ikersorsolás. Mindkét számsorsolás alkalmával 7 számot húznak ki, és akkor nyerünk pénzt, ha valamelyik sorsoláson elérünk legalább 4 találatot. a. Mennyi annak az esélye, hogy a gépi sorsoláson pontosan 4 találatot érünk el? Mekkora valószín séggel érünk el legalább 4 találatot? Mennyi a gépi sorsoláson a találatok számának a várható értéke? b. Mennyi annak az esélye, hogy a két sorsolás közül az egyiken nincs találatunk, a másikon pedig pontosan 1 találatot érünk el? Mekkora annak a valószín sége, hogy valamelyik soroláson lesz legalább 4 találatunk, tehát nyerünk pénzt? A randomizált keres algoritmusok a keres algoritmusoknak egy egyszer változata. Tegyük fel, hogy van egy adatbázisunk 1000 adatrekorddal, és a rekordok ötöde teljesít valamilyen tulajdonságot. Szükségünk lenne 1 darab olyan rekordra, mely rendelkezik a fenti tulajdonsággal. A keresést végrehajthatjuk olyan módon is, hogy véletlenszer en veszünk ki rekordokat az adatbázisból, és megnézzük, hogy a kiválasztott elemek megfelelnek-e számunkra. Az ilyen algoritmusok hatékonyságát mérhetjük egyrészt a futási id várható értékével, másrészt annak a valószín ségével, hogy az eljárás végén kapunk legalább egy megfelel rekordot. a. Véletlenszer en és visszatevéssel kiveszünk 50 rekordot. Mennyi az esélye, hogy lesz közöttünk olyan, ami rendelkezik a keresett tulajdonsággal? Mennyi annak az esélye, hogy pontosan 10 rekord fog rendelkezni ezzel a tulajdonsággal. Várhatóan hány rekord fog rendelkezni a keresett tulajdonsággal? 14

15 b. Oldjuk meg az a. feladatot visszatevés nélküli mintavételezéssel is. c. Addig veszünk ki újabb és újabb rekordokat visszatevéssel, míg olyat nem kapunk, ami rendelkezik a keresett tulajdonsággal. Adjuk meg a szükséges kiválasztások számának eloszlását és várható értékét. Mennyi annak az esélye, hogy legfeljebb 10 rekordot kell majd kivenni? Egy szerverre óránként véletlen számú, átlagosan 5 lekérdezés érkezik. Feltehet, hogy az egy órára es lekérdezések száma Poisson-eloszlást követ, és a különböz órákra jutó lekérdezések száma független egymástól. Mennyi annak a valószín sége, hogy egy adott óraban pontosan 3 lekérdezés történik? Mennyi az egy órára jutó lekérdezések számának a szórása? Mennyi az esélye, hogy két egymást követ órában pontosan 2 illetve 3 lekérdezés történi? Orvosi kutatások szerint az egységnyi nagyságú rádioaktív besugárzás véletlen számú mutációt okoz egy kromoszomán. A mutációk száma Poisson-eloszlást követ, és a besugárzások 13,5 százalékában nem történik egy mutáció sem. Az egységnyi nagyságó besugárzás átlagosan hány mutációt okoz? Mennyi annak az esélye, hogy a besugárzás hatására a várható értéknél több mutáció történik? A randomizált kommunikációs protokollokat f leg olyan hálózatokban alkalmazzák, ahol nagy számú szerver használ egy közös csatornát, és a szerverek azonos prioritással rendelkeznek. Tegyük fel, hogy minden szervernek van egy órája, melyek szinkronizálva vannak. A szerverek id egységenként egy adatcsomagot küldhetnek, és ha egy adott id egység során több szerver is küld csomagot, akkor ütközés történik, a csomagok tönkremennek. A slotted ALOHA protokoll szerint a szerverek bármikor küldhetnek csomagot. Ez azt jelenti, hogy egy adott id egységben akkor történik sikeres adatátvitel, ha pontosan 1 szerver kívánja használni a csatornát. a. Tegyük fel, hogy azon szerverek száma, melyek egy adott id pontban használni kívánják a csatornát, Poisson-eloszlást követ λ paraméterrel. Mekkora a csatorna kihasználtsága a λ paraméter függvényében, tehát egy-egy id egység során mekkora valószín séggel történik sikeres adatátvitel? Deriválással határozzuk meg, hogy milyen λ mellett lesz maximális a csatorna kihasználtsága, és adjuk meg a maximum értékét is. b. Mit tegyünk, ha ütközés történik? Az els ötlet az, hogy a szerverek várjanak egy kis id t, mondjuk 10 id egységet, és próbálkozzanak újra. Vegyük észre, hogy ez ismét csak ütközést okozna, hiszen minden szerver ugyanezt a szabályt követné. Egy lehetséges megoldás erre a problémára a CSMA (carrier sense multiple access), ami szerint a szerverek véletlen nagyságú ideig várakoznak. Ez úgy valósítható meg, hogy az ütközés után a szerverek egymástól függetlenül elkezdenek dobálni egy pénzérmét, mely p valószín séggel ad fejet, és csak az után próbálkoznak újra, hogy el ször fejet kapnak. Mennyi annak az esélye, hogy egy szervernek 5 id egységnél többet kell várnia? Mennyi a várakozási id várható értéke? Ha két szerver ütközött, akkor mennyi az esélye annak, hogy azonos lesz a két várakozási id, tehát ismét ütközni fognak? 15

16 6. Folytonos valószín ségi változók 6.1. Milyen a valós szám esetén lesz az alábbi f függvény egy ξ folytonos valószín ségi változó s r ségfüggvénye? Mi a ξ értékkészlete? Mennyi a P (ξ 4) és a P (ξ > 4) valószín ség értéke? Adjuk meg a ξ változó eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását. Az alábbi h függvény alkalmazásával adjuk meg az η = h(ξ) transzformált változó értékkészletét, várható értékét, eloszlás- és s r ségfüggvényét is. a. b. c. f(x) = f(x) = f(x) = { 1/x 2 + a, 1 x 5, 0, különben, { ax 2, 0 x 6, 0, különben, { 18/x 3, x a, 0, x < a, h(x) = 2x. h(x) = 1/x. h(x) = x Milyen a valós számok esetén lesz az alábbi F függvény egy ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye? Határozzuk meg, hogy a ξ valószín ségi változó diszkrét vagy folytonos-e, és ha igen, akkor adjuk meg az eloszlását illetve a s r ségfüggvényét. a. 0, x 0, a, 0 < x 3, F (x) = 1 a, 3 < x 5, 1, 5 < x. b. c. F (x) = { a 1/x 2, x > 1, 0, különben. 0, x 0, F (x) = x 2 /16, 0 < x a, 1, a < x Felajánlanak nekem egy befektetési lehet séget, ahol az eredmény nagysága nem garantált. Jelölje ξ a befektetés netto eredményét, tehát az eredménynek a kezdeti befektetési költséggel csökkentett értékét millió forintban kifejezve. Az el zetes kalkulációk alapján a ξ valószín ségi változó egyenletes eloszlást követ 1 és 4 között. 16

17 a. Adjuk meg a befektetés netto eredményének értékkészletét, s r ségfüggvényét és várható értékét. Mennyi annak az esélye, hogy bukunk a befektetésen? b. A pénzügyi matematikában az α Value-at-Rist ( VaR α ) egy olyan mutatószám, mely a befektetés kockázatát számszer síti, magyarul kockáztatott értéknek is szokták nevezni. Deníció szerint VaR α az az érték, melyre teljesül, hogy α valószín séggel fogunk ennél az értéknél nagyobbat bukni(!) a befektetésen. Ezt formálisan P ( ξ > VaR α ) = α alakban lehet felírni, hiszen ξ a befektetésen elbukott pénzösszeg. Tetsz leges α mellett adjuk meg a VaR α értéket az a. feladatrész s r ségfüggvényére. Mennyi a VaR 0,05 érték? (A most deniált VaR nem azonos a Var(ξ) értékkel, ez utóbbi a ξ változó varianciája!) 6.4. Egy boltban a narancsot a min ségt l függ en változó áron árulják. Feltehet, hogy az ár egyenletes eloszlást követ 200 és 400 forint között. a. Jelölje ξ a narancs árát egy véletlenszer en választott napon. Írjuk fel és ábrázoljuk a ξ változó s r ségfüggvényét és eloszlásfüggvényét. Átlagosan mennyibe kerül a narancs ebben az boltban? Mennyi az ár szórása? Mennyi annak a valószín sége, hogy a kilónkénti ár 350 forint alatt marad? b. Jelölje η azt, hogy 1000 forintból hány kiló narancsot tudunk vásárolni. Fejezzük ki az η valószín ségi változót a ξ segítségével. Mennyi annak az esélye, hogy a pénzünk elég 4 kiló narancsra? Határozzuk meg az η várható értékét, és fogalmazzuk meg a jelentését. Teljesül az az egyenl ség, hogy E(η) = 1000/E(ξ)? c. Határozzuk meg az η változó eloszlás- és s r ségfüggvényét is. Az η változó egyenletes eloszlású lesz? d. Oldjuk meg a b. feladatrészt azzal a módosítással, hogy a narancs kilós kiszerelés, tehát csak egész kilogrammokat tudunk vásárolni. (Ebben az esetben természetesen maradhat pénz a zsebünkben.) 6.5. Amikor telefonálok, a beszélgetéseim percekben kifejezett hosszúsága egy ξ valószín ségi változó, melynek s r ségfüggvénye { 0,5 0,08x, 0 x 2,5, f ξ (x) = 0, különben. a. Ábrázoljuk az f ξ s r ségfüggvényt, és határozzuk meg a ξ változó értékkészletét. Átlagosan milyen hosszúak a telefonbeszélgetéseim? b. A szolgáltatóval olyan szerz dést kötöttem, hogy a telefonhívásokért percenként 40 forintot kell zetnem. Fejezzük ki a hívás árát a hívás hosszának segítségével. A beszélgetéseim mekkora hányada drágább 50 forintnál? Átlagosan mennyibe kerül egy-egy telefonhívás? c. Határozzuk meg a hívás árának eloszlás- és s r ségfüggvényét is. (Tipp: El ször adjuk meg a ξ változó eloszlásfüggvényét.) 17

18 d. Régebben olyan szerz désem volt, hogy 10 forint volt a kapcsolási díj, és nem másodperc alapon számláztak, hanem 25 forintot zettem minden megkezdett percért. A hívások mekkora hányadáért zettem többet 50 forintnál? Átlagosan mennyibe került egy-egy hívásom Magyarországon az éves búzatermés közelít leg egyenletes eloszlást követ 3,5 millió és 5,5 millió tonna között. A nagyobb termésmennyiség alacsonyabb piaci árat jelent. Amennyiben a teljes búzatermés x millió tonna, akkor a modellünkben a búza tonnánkénti felvásárlási ára legyen mondjuk x ezer forint. a. Jelölje ξ az éves búzatermést millió tonnában kifejezve. Adjuk meg a ξ s r ségfüggvényét. Mennyi annak az esélye, hogy egy adott évben 5 millió tonnánál több búza terem? Mennyi az éves búzatermés várható értéke és szórása? b. Jelölje η a búza tonnánként felvásárlási árát ezer forintban kifejezve. Egy megfelel en választott h függvény segítségével írjuk fel az η változót a h(ξ) alakban. Mennyi annak az esélye, hogy a tonnánkénti felvásárlási ár 50 ezer forint alatt marad? Mennyi a felvásárlási ár várható értéke? c. Jelölje ζ a teljes búzatermés milliárd forintban kifejezett értékét. Egy megfelel en választott h függvény segítségével írjuk fel az a ζ változót h(ξ) alakban. Várható értékben mennyi a teljes hazai búzatermés forintban kifejezett értéke? Ez az érték egyenl az a. és a b. részben kapott várható értékek szorzatával? 6.7. Egy pénzfelvev automatához exponenciális id közönként, átlagosan 2 percenként érkeznek az ügyfelek. Mennyi annak az esélye, hogy két egymást követ ügyfél között 5 percnél több id telik el? Mennyi annak az esélye, hogy ez a követési id 5 és 10 perc közé esik? Feltéve, hogy már egy órája nem jött egy ügyfél sem, mennyi az esélye, hogy a következ 5 percen belül meg fog majd érkezni? 6.8. Egy adott típusú izzó élettartama exponenciális eloszlást követ ismeretlen λ paraméterrel. A tapasztalatok szerint az izzók 10%-a megy tönkre 500 óra használat során. Mekkora az izzók átlagos élettartama? Az izzók mekkora hányada éri el az 1000 órás élettartamot? Mennyi annak a valószín sége, hogy egy izzó élettartama 500 és 1000 óra közé esik? Feltéve, hogy egy izzó már órája m ködik, mennyi az esélye, hogy még 1000 órán keresztül világítani fog? 6.9. A rádioaktív anyagok atomjainak élettartama exponenciális eloszlást követ. A 60-as tömegszámú kobalt izotóp felezési ideje 5,27 év, tehát ennyi id alatt bomlik le a részecskék fele. Mennyi a 60 Co atom élettartamának várható értéke? A részecskék mekkora hányada bomlik le 52,7 év alatt? A részecskék mekkora hányada éri el az 52,7 éves kort és bomlik le utána 5,27 éven belül? Feltéve, hogy egy részecske nem bomlott le 52,7 év alatt mennyi annak az esélye, hogy a következ 5,27 év folyamán sem bomlik le? Mi lehet az elméleti oka annak, hogy a rádioaktív atomok élettartama exponenciális eloszlást követ? 18

19 7. A várható érték és a szórás tulajdonságai 7.1. Egy magyar vállalat rendszeresen küldföldr l szerez be egy alkatrészt, melynek ára 100 dollár. Jelölje ξ azt, hogy 1 dollár hány forintba kerül egy véletlenszer en választott napon. A Magyar Nemzeti Bank adatai szerint a ξ változó várható értéke 280, szórása 5. Határozzuk meg az alkatrész forintban kifejezett árának várható értékét és szórását Magyarországon a feln tt emberek testtömegének az átlaga 80 kg, a szórása 15 kg. Egy liftbe beszáll 8 ember, akikr l feltehet, hogy egymástól független a testtömegük. Határozzuk meg a 8 ember együttes testtömegének várható értékét és szórását. Ennyi információ birtokában meg tudjuk azt mondani, hogy a 8 ember össztömege mekkora valószín séggel éri el a 800 kg-ot, a lift maximális teherbírását? 7.3. Szegeden az éves csapadékmennyiség átlagos értéke 550 mm, szórása 100 mm. Feltehet, hogy a csapadék mennyisége az egyes években független egymástól. Várhatóan mennyi csapadék fog hullani Szegeden a következ három évben összesen? Mennyi a hároméves csapadékmennyiség szórása? Ennyi információ alapján meg tudjuk azt mondani, hogy a három év alatt milyen valószín séggel fog összesen 1800 mm-nél több csapadék hullani? 7.4. Egy biztosítótársaságnál egy adott típusú biztosítás esetében a kárérték egyenletes eloszlást követ 200 és 400 ezer forint között. Egy adott hónapban 100 egymástól független kárbejelentés érkezik. Mennyi az össz kárérték várható értéke és szórása? Ennyi információ alapján meg tudjuk azt mondani, hogy az össz kárérték mekkora valószín séggel esik 29 és 31 millió forint közé? 7.5. Egy Coca-Cola autómatában 50 doboz jéghideg üdít található. Egy forró nyári napon az emberek átlagosan 5 percenként vásárolnak egy doboz üdít t, a vásárlások között eltelt id szórása 3 perc. Várhatóan mennyi id alatt fogy el az üdít az autómatából? Mennyi ennek az id nek a szórása? Meg tudjuk azt mondani, hogy ez az id mekkora eséllyel esik 200 és 300 perc közé? 7.6. Addig dobok fel egy szabályos dobókockát, míg az 1, 2, 3, 4, 5, 6 értékék mindegyikét meg nem kapom legalább egyszer. Határozzuk meg a szükséges dobások számának várható étékét és szórását Egy játékautomatából egy mozgatható karral lehet plüsállatokat kiemelni, de ez egy kis szerencsét igényel. Az automatában 50 plüsállat van, egy játék 100 forintba kerül, és a próbálkozások egymástól függetlenül 20% valószín séggel lesznek sikeresek. Várhatóan hány játék alatt fogynak el a plüsállatok az automatából? Mennyi a játékok számának a szórása? Várhatóan mennyi pénz lesz az automatában, mire elfogynak a plüsállatok? Mennyi az automatában összegy lt pénz szórása? 19

20 8. A normális eloszlás és a centrális határeloszlás-tétel 8.1. Az alábbi ábrán ϕ a standard normális eloszlás s r ségfüggvénye. Határozzuk meg, hogy az f 1, f 2, f 3, f 4 s r ségfüggvények közül melyik tartozik az alábbi µ várható értékkel és σ szórással deniált normális eloszlásokhoz. Adjuk meg a kimaradt s r ségfüggvényhez tartozó várható értéket és szórást is. a. µ = 2, σ = 0,5 b. µ = 2, σ = 1 c. µ = 0, σ = 2 f 1 f 2 f Egy tejgyárban az 1 literes dobozos tej csomagolását egy automata tölt berendezés végzi. A dobozokba töltött mennyiség egy normális eloszlású valószín ségi változó, melynek várható értéke a névleges tartalom és szórása 10 ml. Ha véletlenszer en kiválasztunk egy dobozt, akkor mennyi annak az esélye, hogy a doboz tartalma legfeljebb 2,5%-kal tér el a névleges tartalomtól? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a tejesdobozok 99,5%-ka ebbe az intervallumba esik. Mennyi legyen a tölt berendezés szórása, ha azt szeretnénk, hogy a dobozoknak csupán 10%-a tartalmazzon 990 ml-nél kevesebb tejet? 8.3. Az IQ teszteket úgy állítják össze, hogy az eredmény a feln tt populáción belül normális eloszlást kövessen 100 pont várható értékkel és 15 pont szórással. A feln tt népesség mekkora hányadának esik az IQ pontszáma 90 és 120 közé? A Mensa egy nemzetközi egyesület, ahol a belépés feltétele a legalább 131 pontos IQ. A népesség hány százeléka felel meg ennek a követelménynek? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy az emberek 95 százalékának ebbe az intervallumba esik az IQ pontszáma Biológusok azt vizsgálták, hogy a szavannán él majmok reggelente milyen eloszlás szerint ébrednek fel, és másznak le a fáról. A meggyelések alapján azt találták, hogy az ébredési id egy olyan valószín ségi változó, mely normális eloszlást követ 0,75 óra szórással, továbbá a majmok 9 százaléka kel fel reggel 6 óra el tt. Átlagosan mikor ébrednek a majmok? A majmok mekkora hányada kel fel 8 óra után? Adjunk meg egy olyan id intervallumot, melyre teljesül, hogy a majmok 68 százaléka ebben az id intervallumban mászik le a fáról. (Valós kutatás alapján.) 8.5. Legyen ξ egy véletlenszer en kiválasztott feln tt ember szisztolés vérnyomása, és legyen η = lg ξ. A statisztikai adatok alapján a magyar népességen belül az η változó nomális eloszlást követ 2,05 várható értékkel és 0,1 szórással. Mennyi annak a valószín sége, hogy ξ értéke 90 Hgmm és 120 Hgmm közé esik? Mondjunk egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a lakosság 95 százalékának a vérnyomása ebbe az intervallumba esik. Tipp: tetsz leges a és b értékek esetén 0,5 P (a ξ b) = P (lg a η lg b). 20 ϕ f 3 x

21 8.6. A sztochasztika alapjai kurzust ebben a félévben körülbelül 400 hallgató vette fel, és a korábbi tapasztalatok alapján az egyes hallgatók 65% eséllyel teljesítik a kurzust. Várhatóan hányan fognak majd megbukni? Mennyi a bukott hallgatók számának a szórása? Mennyi a valószín sége, hogy ebben a félévben legfeljebb 120 hallgató fog majd megbukni? Mennyi annak az esélye, hogy legalább 130, de legfeljebb 160 bukás lesz? Adjunk meg egy olyan intervallumot, mely közelít leg 95% valószín séggel tartalmazza a bukott hallgatók számát Magyarországon az emberek 85 százaléka gyermekkorában átesik a bárányhiml n. Megkérdezünk 1000 feln ttet, hogy átesett-e gyermekkorában ezen a betegségen. Várhatóan hányan fognak majd igent mondani? Mennyi annak az esélye, hogy a megkérdezettek közül legalább 840, de legfeljebb 860 ember esett át a bárányhiml n. Mekkora a valószín sége annak, hogy a válaszadók legfeljebb 82 százaléka esett át a betegségen? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy az igennel válaszolók száma 99,75 százalék eséllyel ebbe az intervallumba esik Feldobunk 500 szabályos dobókockát. a. Mennyi a kapott hatosok számának a várható értéke és szórása? Mennyi annak a valószín sége, hogy legalább 100 hatos kapunk? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a hatosok száma 95% százalék valószín séggel ebbe az intervallumba esik. b. Mennyi a dobott értékek összegének a várható értéke és szórása? Mennyi annak az esélye, hogy a dobott számok összege 1650 és 1850 közé esik? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy a dobott számok összege 99,75% valószín séggel ebbe az intervallumba esik A 7.4. feladatban mennyi annak az esélye, hogy a teljes kárérték 29 millió és 31 millió forint közé esik? Adjunk meg egy olyan intervallumot, amely közelít leg 95% valószín séggel tartalmazza a teljes kárértéket A 7.5. feladatban mennyi annak az esélye, hogy 3 és fél órán belül kiürül az automata? Mennyi annak a valószín sége, hogy 4 óra elteltével még mindig van üdít az automatában? Adjunk meg egy olyan intervallumot, melyre teljesül, hogy közelít leg 68% valószín séggel tartalmazza azt, hogy mennyi id alatt ürül ki az automata A repül gépeknél az üzemanyag-fogyasztás szempontjából fontos tényez az utasok és a poggyász tömege. A statisztikai adatok szerint egy-egy utasnak és a személyes poggyászának az együttes tömege egy olyan valószín ségi változó, melynek a várható értéke 100 kg, szórása pedig 25 kg. (A különböz utasok tömege független egymástól.) Tegyük fel, hogy egy repül gépre 120 utas száll fel. Mennyi annak az esélye, hogy az utasok és a poggyász teljes tömege 12,8 tonna alatt marad? Mi a valószín sége, hogy a teljes tömeg kg és kg közé esik? Adjunk meg egy olyan intervallumot, mely 99,75% valószín séggel tartalmazza az utasok és a poggyász teljes tömegét. 21