Valószínőségszámítás ZH-k

Átírás

1 Szak: Informatika II. Tárgy: Valószínûségszámítás és mat. stat..jzh.(5p) 5 színház, 5 mozi és kiállításra szóló jegyet osztanak ki aktív szervezı munkáért. A színház jegyek 6%-át, mozi jegyek 4%-át és a kiállításra szóló jegyek 8%-át informatikusoknak, a többit villamosmérnököknek szánják. a)ha a jegyek közül véletlenszerően kiválasztunk egyet, mi a valószínősége annak, hogy informatikus kapja. b)ha a jegyek közül véletlenszerően kiválasztunk egyet és azt informatikusnak akarják odaadni, mi a valószínősége, hogy színház jegy? c)ha a jutalmazni kívánt hallgatók közül kiválasztunk 6-t, mi a valószínősége annak, hogy köztük legalább két informatikus van? )(p) A [,] intervallumon véletlenszerően kiválasztunk két pontot. a) Mekkora annak valószínúsége, hogy x - y < 4? b) A ξ valószínőségi változó jelölje a két pont eltérését, adja meg ξ eloszlásfüggvényét. 3)(p) Határozza meg az a valós számot úgy, hogy a sőrőségfüggvénye lehessen. [ a;,6] x -, hax h(x) = ξ valószínőségi változó,különben 4)(3p) Két szabályos játékkockát egymás után feldob kétszer.. A ξ valószínûségi változó értéket vegyen fel, ha mindkét dobás 4, és értéket, ha nem ez következik be. Határozza meg a ξ valószínőségi változó várható értékét és szórását. Szak: Informatika II. Tárgy: Valószínüségszámítás és mat. stat. l.zh.(6p) Az informatika szakosok VMS vizsgáján a nappali tagozatos hallgató mellett a 8 esti tagozatos is részt vesz. A tapasztalatok alapján az estisek, valószínőséggel teszik le sikeresen a vizsgát, míg a nappalisoknál a valószínőség,3. a) Ha véletlenszerően kiválasztunk egy hallgatót, mennyi a valószínősége, hogy sikeresen vizsgázik? b) Ha egy sikertelen vizsgadolgozatot választunk, mennyi a valószínősége, hogy estis hallgató írta? c) Ha véletlenszerően kiválasztunk 5 vizsgadolgozatot az elmúlt három év VMS dolgozatai közül, mennyi a valószínősége, hogy köztük három sikeres?σ )(p) Egy fıiskolai hallgató nyáron főnyírás vállalásával egészíti ki ösztöndíját. A város környékén bárhova elmegy, ha két közel fekvı telek tulajdonosa hívja, és a két telek együttesen négyszögölnél nagyobb, de -nél kisebb. a)várhatóan mekkora területet kell átlagosan lenyírnia, és mekkora szórással számoljon? (A valószínőségi változó legyen a két telek együttes területe. b)mekkora a valószínősége, hogy a nyírandó terület 4 és 6 négyszögöl közé esik. A valószínőséget tüntesse fel a valószínőségi változó eloszlás- és sőrőségfüggvényének ábráján is.

2 A 3. feladatban szereplı eloszlás nem témája a mostani dolgozatnak: 3)(4p) Egy kis településen adott idıszakban, a valószínősége, hogy pontosan egy telefonhívás érkezik. a)ha ξ valószínőségi változó az adott idıszakban a telefonhívások számát jelöli, mekkora a várható értéke (Feltesszük, hogy ξ Poisson-eloszlást követ.) b)mekkora a valószínősége, hogy -nél több hívás lesz? c)mekkora a valószínősége, hogy l vagy 3 hívás lesz? Szak: Informatika II Tárgy: Valószínûségszámítás és mat stat..zh l)(8p) A Bridget Jones naplója" címő filmhez kapcsolódóan egy kérdıíves felmérést végeztek.ebbıl többek között kiderült, hogy a filmet megnézık 73%-a nı volt. Továbbá, hogy míg a nık 9/-ének, addig a férfiaknak csupán 3/-ének tetszett a film. a) Ha véletlenszerően kiválasztunk egy kérdıívet, mennyi a valószínősége, hogy az azt kitöltınek nem tetszett a film? b) Ha valakinek tetszett a film, mennyi a valószínősége, hogy az illetı férfi? c) Ha véletlenszerően kiválasztunk 4 kérdıívet, várhatóan hány kitöltınek tetszett a film? )(9p) ) (7p) Vizsgálja meg, az a, b paraméterek mely értékei mellett lehet a ξ> valószínőségi ax + b változó eloszlásfüggvénye az x a függvény. x a) Határozza meg a ξ sőrőségfüggvényét b) Határozza meg a ξ várható értékét c). Ábrázolja az eloszlásfüggvény és a sőrőségfüggvény ábráján a ξ <,5) valószínőséget. 3)(3p) A legfeljebb 8 egység kerülető téglalapok közül véletlenszerően választva mi a valószínősége, hogy a kiválasztottnak a területe 3 egységnél kisebb lesz. Szak: Informatika II. Tárgy: Valószínőségszámítás és matematikai statisztika. zhdátum: 3. III. 7.. (6p) Országos imfluenzajárvány van. A nagyvárosokban, ahol a lakosság 35%-a lakik, a legnagyobb a veszélyeztettség,, valószínőséggel kaphatja meg a vírust. Ezzel ellentétben az aprófalvakban, vagy tanyákon, ahol a lakosság %-a él, csupán, valószínőséggelbetegedhet meg valaki. A többi településen a megbetegedés valószínősége,7. a) Mekkora valószínőséggel választhatunk véletlenszerően az ország lakosai közül egy influenzást? b) Ha influenzás valaki, mennyi a valószínősége, hogy nagyvárosban lakik? c) 6 embert véletlenszerően kiválasztva, mennyi a valószínősége, hogy közülük 3 egészséges?

3 Megoldás i influenzás a kiválasztott személy N nagyvárosban lakik a kiválasztott személy A kis településen lakik a kiválasztott személy T egyéb településen lakik a kiválasztott személy a) i)=iω)=in+ia+it)=in)+ia)+it)=i N) N)+i A) A)+i T) T)= =,,35+,,+,7,55=,79 i N) N), 385 b) P ( N i) = = =, 4873 i), 79 c) ) =, 79 (, 79 ) = 9, 6 3. (8p). és. között két villamos a 47-es és a 49-es érkezik véletlenszerően a kettıs megállóba. A 47-es az a idıpontban fut be, a 49-es a b idıpontban fut be. A ξ valószínőségi változó legyen a két érkezési idı különbsége, a-b. Adja meg és rajzolja fel a ξ eloszlás- és sőrőségfüggvényét. Megoldás ξ=a-b ξ: [- ; ] ξ< x a b < x a <b+x ha <x< ( x) ξ < x) =, ha <x< ξ<)= a b <)= ξ>)= a b >)= 3

4 ( x) ξ < x) =, ha <x< ξ< )= a b < )= ξ < ) = =, hax < ( x + ), ha < x F( x) = ( x ) +, ha < x, hax > x +, f ( x) = F'( x) = x +,, ha < x < ha < x egyébként 3. (6p) A KIN kupán az egyik feladat, hogy az A és I csapat egy-egy tagja szkanderezzen egymással. Az gyız, aki háromszor legyızi a másikat. A ξ valószínőségi változó jelölje a mérkızések számát. 4

5 a) Adja meg ξvalószínőségi változó eloszlását, ha tudjuk, hogy annak a valószínősége, hogy az I-beli legyızi a másik csapat tagját,55? b) Mekkora a ξ valószínőségi változó várható értéke és szórása? Megoldás a) ξ: 3, 4, 5 ξ=3: AAA vagy BBB ξ=4: ABAA BBAB B 3 helyen lehet A 3 helyen lehet ξ=5 ABABA BAABB B 4-bıl helyen lehet A 4-bıl helyen lehet 3 3 ξ = 3) =, 55 +, 45 =, ξ = 4) =, 55, 45 +, 45, 55 =, , ξ = 5) =, 55, 45 +, 55, 45 =, , 3675,575+,375+,3675= b) M(ξ)=3,575+4,375+5,3675=,775+,5+,837=4, 3 D ( ξ) = xi pi M ( ς) = 7, , =, 639 i= D(ξ)=,783 Szak: Informatika II. Tárgy: Valószínûségszámítás és mat. stat. a.zh Dátum:4.X.6. :.(4p) A televíziónézési szokásokat vizsgálva az Okos Közvéleménykutató Intézet megállapította, hogy az ujonnan indult Tripla Nulla TV nézettsége nem várt eredményt mutat: a televíziónézık %-a választja. Fıleg az éjszakai mősorait preferálják. Míg más adóknál a nézıknek csupán 8%-a választja a késı esti mősorokat, addig a Tripla Nulla esetén,38 valószínőséggel az éjjeli adás vonzza ıket. a) Ha véletlenszerően kiválasztunk egy televíziónézıt, mi a valószínősége annak, hogy a mősorok közül éjszakait választ? b)ha egy televíziónézı nappal kapcsolja be a készüléket, mi a valószínősége, hogy a Tripla Nulla TV adását választja? c) Véletlenszerően kiválasztunk 5 televíziónézıt. Mekkora a valószínősége, hogy legalább kettı a TNT (Tripla Nulla TV) éjszakai adását szokta nézni? Megoldás: B: éjszakai mősort néz A: TNT nézı A: más csatorna nézıje A):, A):,79 A B):,38 A B):,8 a) B)=? B)=,*,38*,79*,8=,43 b) B)=-B)=,857 B A)=(,*,6)/(,857)=,59 c) Binomiális eloszlás B(X,Y) X:5 nézı Y: TNT éjszakai adását nézi,*,38,8 B(5;,8)= ( 5 ),8 *,9 3 +( 5 3),8 3 *,9 +( 5 4),8 4 *,9 +( 5 5),8 5 *,9,543. 5

6 )(8p) Gyerekek bementek egy elkerített erdıs természetvédelmi területre, mely téglalap alakúnak tekinthetı 5km és km hosszú oldalakkal, s melynek kijáratai a sarkoknál, a téglalap csúcsainál vannak. Több órai bolyongás után ki akartak menni. Mekkora a valószínősége, hogy közelebb voltak valamelyik kijárathoz, mint a terület középpontjához? Megoldás: ( ; ) Z H Z3 Szakaszfelezı F3(,5;,5) F3(7,5 ;,5) K(5;,5) Átló; n(;) Merıleges a szakaszfelezıre N(,)! Z M Z5 F4(7,5 ; 3,75) Ez a terület van F(,5 ; 3,75) a középponthoz közelebb. Z4 ( ; 5) A fenti adatok alapján az értékek a következık: Z(3,5 ; 5) Z(3,5 ; ) Z3(6,75 ; ) Z4(6,75 ; 5) Z5(8,5 ;,5) T = 3,5*5 + *,5*5/ = 5. H~Z és Z közötti hossz=3,5. M~magasság=,5. keresett)= 5 / 5 =,5. 3)(5p) Egy kisgyerek egy egységnyi oldalhosszúságú medencében játszik. A ξ valószínőségi változónak, mely a kisgyereknek a legközelebbi 4-8x, ha x ] ;,5 [ oldaltól való távolságát jelöli, a sőrőségfüggvénye az f(x) =, egyébként a)határozza meg az eloszlásfüggvényt. b)határozza meg a ξ, <,) valószínőséget, és ábrázolja az eloszlásfüggvény és sőrőségfüggvény grafikonján. c) Várhatóan milyen messze lesz a kisgyerek a legközelebbi oldaltól? Mekkora a szórás? Megoldás: x a) F (x)= x f(t)dt =,, ha x < (4-8t)dt = [4x-4x ] F(x)= 4x 4x, ha < x,5,, ha,5 < x b) ξ-, <,) =, < ξ <,3 ) = F(,3) F(,) = (4*,3-4*,3 ) (4*, 4*, ) =,48. 6

7 ,,8,6,4 F(X) X,,-tól,5-ig,-es lépésközzel. (4 ; ) f(x) ( ;,5),5 c) M(ξ)= xf ( x) dx = x ( 4 8x) dx = [x -8/3*x 3 ] = (*,5 8/3*,5 3 ) =, ,5 M(ξ )= x f ( x) dx = x ( 4 8x) dx = [4/3x 3 -*x 4 ] = (4/3*,5 3 *,5 4 ) =, D (ξ) = M(ξ )- M (ξ)=, ,77777=, D(ξ) =,7. 4)(3p) A Tripla Nulla TV vetélkedı mősorának utolsó fordulójába egy szuper Lány és Fiú került be. Itt kérdésekre kell válaszolniuk. Ha helyes a válasz, kapnak egy pontot, ha nem helyes, vagy semmit sem tudnak mondani, a másik versenyzı kapja a pontot (anélkül, hogy megszólalna). A gyıztes az lesz, aki három pontot összegyőjt. Az elızıek alapján tudjuk, hogy a Lány,6 valószínőséggel győjt össze egy pontot. Maximum hány kérdés dönti el a versenyt?mennyi lesz a feltett kérdések várható száma? Megoldás: Maximum 5 kérdés dönti el a választ. 7

8 ζ (játszmák/kérdések száma) : 3 4 5,6 3 +,4 3 ( 3 )*(,6 3 *,4 +,6*,4 3 ) ( 5 3)*(,6 *,4 3 +,6 3 *,4 ) M(ζ)=3*(,6 3 +,4 3 )+4*( ( 3 )*(,6 3 *,4 +,6*,4 3 )) +5*( ( 4 )*(,6 *,4 3 +,6 3 *,4 )) = 4,656. 8