XVII. SZILÁRD LEÓ NUKLEÁRIS TANULMÁNYI VERSENY Beszámoló, II. rész

Átírás

1 osan megszûn Ez alapján közelíôleg egy évben kimondoan csak a avaszi óraáállíásnak köszönheôen álagosan 43 GWh érékkel csökken az országos villamosenergia-fogyaszás Hasonlóképpen számolunk mind az 5 évben az ôszi óraáállíásnál mindegyik napra majd a kapo érékek álagá veük A számíások alapján az ôszi óraáállíás uáni héen 4 GWh/nap álagos fogyaszáscsökkenés adódo ami körülbelül 5-6 hé ala fokozaosan megszûn Ez alapján közelíôleg egy évben kimondoan csak az ôszi óraáállíásnak köszönheôen álagosan körülbelül 4 GWh érékkel csökken a hazai villamosenergia-fogyaszás Konklúzió Kerekíve 00 GWh lehe országosan az óraáállíások mia megakarío villamos energia éves szinen Viszonylag egyszerû becslésekkel sikerül ehá nagyságrendileg meghaározni az óraáállíások kövekezében jelenkezô villamosenergia-megakaríás A becsléseink ponosságá fokozni lehene ha például még hosszabb idôszako vizsgálnánk; az idôjárási saiszikai adaok és a napi világos órák ényleges számának haásával örénô korrekciós módszer alkalmaznánk illeve figyelembe vennénk hogy mikor esnek ünnepnapok héköznapra vagy mikor vannak szombai munkanapok sb Ez azonban már nagyon komplikál lenne Összegzés Az óraáállíások legfôbb indoka hogy ezzel villamos energiá lehe megakaríani A hazai villamosenergiafogyaszási adaok elemzése alapján a anulókkal arra a megállapíásra juounk hogy saiszikailag ényleg van csökkenés az országos villamosenergia-fogyaszásban az óraáállíások mia Irodalom MAVIR ZR honlapja: hps://wwwmavirhu/web/mavir/home Közponi Saiszikai Hivaal energiagazdálkodás: hps://wwwksh hu/energiagazdalkodas XVII SZILÁRD LEÓ NUKLEÁRIS TANULMÁNYI VERSENY Beszámoló II rész Sükösd Csaba BME Nukleáris Technika Tanszék 6 felada kiûze: Sükösd Csaba Egy programozó egy számíógépes szimulációban a radioakív izoóp bomlásá nem a viszonylag hosszú számíási idô igénylô exponenciális függvénnyel szerené kiszámíani Mivel a szorzás sokkal gyorsabb számíógépes mûvele ezér arra gondol hogy a szimulációban az akiviás csökkenésé úgy fogja figyelembe venni hogy az éppen akuális akiviás éréké minden másodpercben egyszerûen megszorozza 098-dal a) Bizonyísuk be hogy ez is exponenciális bomlás modellez! b) Hány másodperc lesz ezen izoóp felezési ideje? c) Mennyivel kellene megszorozni másodpercenkén (098 helye) a mindenkori akiviás hogy 0 perces felezési idô kapjunk? a) Legyen az i -edik másodpercben az akiviás a i és szorozzuk meg minden másodpercben k -val (A konkré példában k 098) Ekkor nyilván a i+ ka i vagy másképpen Az akiviás egymás uáni érékei ehá mérani soro- zao alkonak mivel az egymás köveô agok hányadosa állandó Ebbôl kövekezôen az n -edik idôpillanaban meglévô akiviás: a n a 0 k n (n 0 ) a i a i k Ha az idô egységé τ-val jelöljük (a példánkban s mer másodpercenkén frissíünk) akkor az elel idô: n τ azaz n τ Ez visszahelyeesíve kapjuk: a() a 0 k Innen már lászik hogy az akiviás valóban a idô exponenciális függvénye b) Ahhoz hogy a felezési idô is meg udjuk mondani a k alapról á kell érjünk ½ alapra Azaz úgy kell meghaározzuk a T felezési idô hogy a 0 T a 0 -val egyszerûsíve és mindké oldal logarimálva: Ebbôl T kifejezheô: T τ τ a 0 k τ T lg τ lgk lg lgk τ lg lgk 39 FIZIKAI SZEMLE 04 /

2 Az adaoka behelyeesíve adódik: T [s] lg lg098 [s] s c) A 0 perces felezési idô 600 s Ezér amibôl 600 [s] [s] lg lgk lgk lg Ebbôl pedig kapjuk hogy k felada kiûze: Ujvári Sándor Amikor a radioakiviás felfedezék meg akarák haározni a sugárzás alkoó részecskék ulajdonságai Marie Curie írja le az a módszer hogy kéféle elekromos és mágneses érben éríeék el a sugaraka és a kéféle eléríés adaaiból ki udák számíani az akkor még ismerelen részecskék sebességé és a ölés/ ömeg arány A rádium α-sugárzásának ulajdonságai Des Coudres mére meg Az alábbi mérési adaok felhasználásával haározzuk meg az alfa-részecske kiinduló sebességé és fajlagos ölésé! (Az α-részecske ömegé és ölésé adakén nem lehe felhasználni mer akkor még nem ismerék) Adaok: az elekromos eléríés kísérlei elrendezése: légüres érben elhelyeze kondenzáorlemezek közö a lemezekkel párhuzamosan haladó sugárzás a kondenzáoról D 05 m ávolságban a lemezekre merôlegesen elhelyeze foólemezen deekálák ideig repül az y irányú elolódás lemezek közöi része: y a y sebessége y irányban: E m l v 0 Innen egyenleesen egyenes vonalban halad a ré- szecske mer nincs rá haó erô Haározzuk meg ezen repülés idejé! v y a y El mv 0 D v 0 innen az ez idô alai ovábbi elolódás: y v y ElD mv 0 Az elekromos ér álal okozo összes elolódás: y y y E l ElD m v 0 mv 0 El mv 0 l D A mágneses ér álal eléríe részecske pályasugara kiszámíásához használjuk a v 0 B mv 0 r () y összefüggés amibôl r mv 0 B () l A kondenzáorlemezek l 0 cm hosszúságúak volak a érerôsség a lemezek közö E 0 6 N/C az eléríés nagysága y 97 mm A mágneses eléríésnél a B 0 T mágneses indukciójú mezôben az α-részecske pályájának sugara r 7 m vol Elôször haározzuk meg az elekromos eléríés méréké! A részecskére haó erô F E az y irányú gyorsulás a y E m a részecske a lemezek közö l v 0 D Fejezzük ki a fajlagos ölés ()-bôl: és ()-bôl is: m yv 0 El l A keô egyenlôvé éve az α-részecske kezdei sebes- sége: m v 0 Br D El l D v 0 Bry m s A FIZIKA TANÍTÁSA 393

3 A fajlagos ölés: m v 0 Br I kaegóriájú feladaok C kg 8 felada kiûze: Sükösd Csaba Tekinsük a párkelés jelenségé amikor egy gammafoon elekron-poziron pár kel miközben önmaga megszûnik Bizonyísuk be hogy ha csak ez a három részecské (foon elekron poziron) ekinjük akkor nem eljesíheô egyszerre az energia- és lendülemegmaradás! Elsô pillanaban úgy lászik hogy a megmaradási éelek kielégíheôk mivel a végállapoban ké részecske (elekron és poziron) kelekezik és ezek kelekezési szöge(i) újabb paraméer(ek) ami mia az egyenlerendszer elvileg megoldhaó Nézzük azonban meg közelebbrôl! A lendülemegmaradás mia a p +p vekoregyenlenek eljesülnie kell azaz a három részecske lendülevekorai vekorháromszöge alkonak Ez az jeleni hogy egy síkba is esnek Koordináarendszerünke válasszuk úgy hogy a z -engely merôleges legyen erre a síkra ekkor valamennyi vekor z-koordináája nulla azaz csak x- és y -koordináájuk lesz A foon lendüleének abszolú éréke legyen p hf c és ez a lendülevekor muasson az x -engely irányá- ba A kelekeze elekron-poziron pár eredô lendüleének is ekkorának kell lennie emia az eredô lendüle y -engely irányú veülee nulla kell legyen A leheô legálalánosabb eseben nem használjuk ki a ké kelekezô részecske szimmeriájá azaz nem éelezzük fel hogy a bejövô irányhoz képes szimmerikusan kelekeznek Legyen az egyik részecske lendüleének abszolú éréke a lendülevekor x-engellyel bezár szöge ϑ A másik részecskéé p azx-iránnyal bezár szöge pedig ϕ (lásd ábra) p A lendülemegmaradás egyenleei ehá: az y -irányú veüleekre p az x -irányú veüleekre pedig j J sinϑ p sinϕ p cosϑ p cosϕ Az energiamegmaradás (relaiviszikus képleekkel számolunk): x () Szorozzuk be az () egyenlee c -vel és pc- helyee- sísük be az energiamegmaradás egyenleének bal oldalába: pc c mc p c mc Láhaó hogy ez az egyenle semmilyen feléelek mel- le sem eljesíheô hiszen m > 0 mia az egyenle jobb oldala mindenképpen nagyobb min c+p c az egyenle bal oldala pedig bármely szögek eseén kisebb vagy egyenlô min c+p c Ezzel bebizonyíouk hogy semmilyen módon sem leheséges az energia- és lendülemegmaradás egyszerre eljesíeni A valóságban csak úgy mehe végbe párkelés ha egy negyedik parner az aommag is jelen van és ávesz lendülee (valamin elhanyagolhaó nagyságú energiá) c cosϑ p c cosϕ c mc p c mc 9 felada kiûzék: Radnói Kaalin Kis Dániel Péer A béa-bomlás során elekronok lépnek ki az aommagból Régen az gondolák hogy ezek az elekronok énylegesen benne volak korábban is az aommagban a) Muassuk meg a dobozbazár-elekron modell alapján hogy ez nem leheséges! Adjunk becslés egy az aommag mérearományába esô dobozba (a 0 4 m) zár elekron mozgási energiájára! b) Legfeljebb mekkora lehe a hogy a bezár elekron mozgási energiája egy poziron-elekron pár udjon keleni? Lehene-e ennél kisebb arományba lokalizálni az elekron? Az a oldalhosszúságú dobozba zár elekron helykoordinááinak bizonyalansága Δx Δy Δz a / A Heisenberg-féle haározalansági reláció alapján a lendülebizonyalanság: Δ p Δ p x Δ p y Δ p z 3 h a a) A kapo képle alapján az aommag-arományú dobozban lévô elekron bezárságából eredô mozgási energia: c Δ p m c 4 mc 3468 MeV Az elekron nem vesz rész az erôs kölcsönhaásban A Coulomb-kölcsönhaás erôsségére pedig a kövekezô egyszerû meggondolás ehejük: aomi méreekben (0 0 m) a Coulomb poenciális energiák nagyságrendje abszolú érékben 0 Z [ev] Mivel Z < 00 ez az jeleni hogy még a legnagyobb rendszámú aomban is az elekronok köési energiája kev nagyságrendû A Coulomb poenciális energia /r-rel arányos ezér az aommag méreében (0 4 m) nagyságrendben ez (abszolú érékben) ízezerszeresére növekszik Azaz ~0 394 FIZIKAI SZEMLE 04 /

4 MeV nagyságrendû lenne még a legnagyobb rendszámú magban is az elekron megköésére hivao negaív poenciális energia Ez pedig nem elegendô a MeV-es bezárságból fakadó mozgási energia kompenzálására Az aommag és az elekron közö ehá nincs olyan kölcsönhaás amely ilyen mozgási energia melle köö állapoban udná arani az elekron b) A párkeléshez szükséges minimális energiá a kineikus energia bizosíja amely relaiviszikus eseben c Δ p m c 4 mc mc ahonnan a lendüle kifejezheô: Δ p 8m c A lendülebizonyalanságra kapo ké relációból kifejezheô a kerese méreparaméer: ahol az elekron redukál Compon-hullámhosz- sza A kapo összefüggésbôl leolvashaó hogy a jelze haár ala a kvanumnyüzsgés már olyan nagy hogy elekron-poziron pár kelene Természeesen ez az elekron-poziron pár is be lenne zárva a dobozba (min az eredei elekron) emia ezeknek is olyan nagy lenne a mozgási energiája hogy újabb elekron-poziron pároka kelenének és így ovább Láhaó hogy nincs érelme bizonyos mérenél kisebb méreekre koncenrál elekronról beszélni A kapo érék az aommag sugarának nagyságrendjébe esik és ez összhangban van azzal miszerin az elekron nem lokalizálódha az aommagban a 3 h 8 mc a min λ e 3 8 h mc 3 8 λ 37 e 0 4 m 0 felada kiûze: Szûcs József Egy TeV-es és egy 4 TeV-es ulrarelaiviszikus proonnyaláb fronálisan üközik a) A leheséges rugalmas részecskeüközések közül mekkora szögben repülnek szé azok a proonok amelyekben az üközés uán szérepülô részecskék energiája azonos lesz? b) Mekkorák ezen proonok elérülési szögei? A eljes energia melle a nyugalmi energia (körülbelül GeV 0 3 TeV) elhanyagolhaó Így a részecskék eljes energiájá E pc közelíéssel számolhajuk Írjuk fel a részecskék üközésére a megmaradási örvények egyenleei! Energiamegmaradás: E E E E ahol E E E E 3TeV Lendüle-megmaradás: E c E c E c E c A lendülemegmaradás vekorábrája alapján: üközés elõi lendüleek D 4 TeV/c TeV/c a TeV/c a 3 TeV/c F 3 TeV/c üközés uáni lendüleek cosα α705 3 A részecskék szérepülési szöge: α 4 A részecskék elérülési szögei: Φ α 705 valamin Φ 80 Φ 095 Junior (II kaegóriájú) feladaok 8 felada kiûze: Sükösd Csaba Egyelen maghasadási reakció eljes energiája a kövekezô formákban szabadul fel (a számok álagos érékeke jelenenek): A hasadási öredékmagok (hasadványok) mozgási energiája összesen: ~68 MeV A radioakív hasadási ermékek bomlásaiból származó elekronok álal elvi összes energia ~8 MeV A hasadáskor kelekezô neuronok álal elvi energia összesen ~5 MeV A hasadás pillanaában kelekeze γ-foonok álal elvi energia összesen ~7 MeV A radioakív hasadási ermékek bomlásainak γ-sugárzása álal elvi energia összesen ~7 MeV A radioakív hasadási ermékek bomlásaiból jövô anineurínók álal elvi energia összesen ~0 MeV Egy 000 MW hôeljesíménnyel hosszú ideje mûködô reakor leállíunk Ismer hogy az akív zóná még folyamaosan hûeni kell A feni ábláza alapján a leállíás uán még legfeljebb mekkora hôeljesíményre kell számíanunk? A feni ábláza alapján a maghasadási reakcióban felszabaduló eljes energia (a feni folyamaok összege) 05 MeV Ezen energia egy része azonnal más része a hasadási ermékek radioakiviása mia csak valamivel késôbb szabadul fel egy harmadik résszel pedig nem kell hôeljesímény formájában számoljunk mer elávozik (anineurínók álal elszállío 0 MeV) A ábláza alapján az energiák megoszlása: MeV (80/95 93%) a hasadás pillanaában kelekezik A láncreakció leállíása uán ezzel már nem kell számolni A FIZIKA TANÍTÁSA 395

5 A hasadási ermékek radioakiviása mia az akuális maghasadás uán valamikor késôbb MeV energia szabadul fel Ez a eljes energia 5/95 77%-a Miuán a reakor már elég hosszú ideje mûködik ezér felehejük hogy a hasadási ermékek akiviásában már beáll a radioakív egyensúly (azaz ugyanannyi kelekezik a hasadások során min amennyi elbomlik a radioakiviása mia) Ezér a 000 MW hôeljesíményhez ezek is hozzájárulnak Emia a reakor leállíása uán azonnal az ezekbôl származó hôeljesímény még megmarad Vagyis legfeljebb 77%-nyi azaz 54 MW hôeljesíményre kell számísunk 9 felada kiûze: Radnói Kaalin a) Mekkora azon foon energiája frekvenciája hullámhossza amely a H-aom harmadik gerjesze állapoának alapállapoba örénô legerjeszésekor kelekezik? b) Mekkora sebességgel lökôdik hára a kezdeben nyugalomban lévônek ekine aom a foon kibocsáásakor? Mekkora mozgási energiá kap ezálal? a) A hidrogénaomo n 4-rôl kell legerjeszeni m -re azaz az alapállapoba A Rydberg-formula szerin f c λ R H m n ahol R H /m a Rydberg-állandó Ebbôl a foon frekvenciája f cr H m n Hz 4 míg hullámhossza λ c f A foon energiája pedig m E hf J b) A visszalökôdö aom lendülee megegyezik a foonéval így annak sebessége v H míg mozgási energiája p h λ m H v H h λ m H 45 m s m H v H J 0 felada kiûze: Papp Gergely Milyen régen üzemelhee Oklóban a ermészees reakor ha udjuk hogy ma a ermészees urán %-á alkoja a -ös izoóp a láncreakcióhoz 9U 9U 35 pedig 3%-os 9U: 38 arány kell? Adaok: T év T év / / Az egyszerûség kedvéér 5-ös és 8-as alsó index jelöli az egyes izoópokhoz arozó érékeke A nukleáris bomlás egyenlee a ké izoópra: () ( 0 ) () ( 0 ) T 5 A felada szövege megada a felezési idôke és a korabeli ( 0 )/ ( 0 ) 3% arány Ma a ermészees uránban a 35-ös izoóp részaránya 070% azaz /( + ) 070% Ebbôl kövekezik hogy / 070/(00 070) 0754% Ez a lépés nem okoz komoly numerikus elérés de elvi jelenôsége van! Ha valaki 070%-kal számol ovább az csak akkor fogada el a Versenybizoság ha megindokola hogy ez nem sokban ér el a ényleges érékôl Mivel a ké idôponban ve izoóparány ado ezér prakikus a ké bomlásegyenlee eloszani egymással: () () N ( ) 5 0 ( 0 ) T 5 I minden mennyiség ismer csak -re kell megoldani az egyenlee: logx () log N ahol x 8 () ( 0 ) T 5 ( 0 ) I megjegyezzük hogy eszôleges alapú logarimus használhaó ami a legkényelmesebben rendelkezésre áll a számológépen x érékében az uránizoóp-arányok hányadosa szerepel ehá hagyhajuk az arányoka százalékban ezzel x 048 és így logx/log 048 (bármilyen logarimussal) Az idô mérékegységé a felezési idô mérékegysége haározza meg az (/T ) mia ezér legprakikusabb milliárd évben számolni Ezzel az idô száméréke Mivel a felezési idô milliárd évben vol ezér az ered- mény is abban kapjuk Tehá az izoóparányok alapján az oklói ermészees reakor ~7 milliárd éve üzemelhee Folyajuk FIZIKAI SZEMLE 04 /