Szakdolgozat. Láz József András

Átírás

1 Szakdolgozat Láz József András 2010

2 Eötvös Lóránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Elméleti Fizikai Tanszék Monte-Carlo szimulációk Készítette: Láz József András fizika BSc szakos hallgató Témavezető: Dr. Katz Sándor Budapest, 2010

3 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék 1. Bevezetés A Monte-Carlo módszerek története Felhasználásai egyéb területeken Térelméleti alkalmazás Elmélet Monte-Carlo szimulációkról általában Markov láncok Algoritmusok A Metropolis algoritmus A h fürd (heatbath) Over-relaxáció Molekuláris dinamika Modellek Ising modell O(N) modell Jellemz k Autokorreláció Példák Eredmények Mágnesezettség függése h mérséklett l Hiszterézis Ising modell szuszceptibilitása O(2) és O(3) szimulációja Szuszceptibilitás Termalizáció Az O(2) modell megoldása h fürd vel Az O(3) modell megoldása h fürd vel Korrelációs függvények Összefoglalás 24 A. Jackknife módszer 26 1

4 1 BEVEZETÉS 1. Bevezetés Szakdolgozatom témájául a Monte-Carlo módszereket választottam, mert ez a témakör a szimulációkban mind fontosabb lesz. Ezt a szimulációs technikát egyre több és több helyen használják, úgy mint zikában, kémiában, biológiában, közgazdaságtanban és egyéb helyeken. A módszert használják pusztán elméleti számolásokhoz is, de gyakorlati alkalmazásai is nagy számmal akadnak. Sok területen akadnak olyan feladatok, melyeknek egzakt megoldása vagy nem ismeretes vagy nem is létezik, ezért ezeket csak numerikus szimulációkkal lehet kezelni. Ilyen feladatok megoldásához kínálnak a Monte-Carlo módszerek hatékony technikát A Monte-Carlo módszerek története Az ötlet, hogy a véletlen felhasználásával bizonyos mennyiségeket kiszámíthatunk már a 18. században felvet dött, amikor Comte de Buon rájött, hogy ha egy köt t t dobál egy vonalas sz nyegre, akkor statisztikai megfontolásokkal meghatározható a π értéke. A modern korban ismét felvet dött a véletlen használatának lehet sége. Az ötlet Enrico Fermit l és Stanislaw Ulamtól származik, de kifejlesztéséhez jelent sen hozzájárult Neumann János is. A 40-es években a Los Alamos-i laboratóriumban azt a problémát vizsgálták, hogy a neutronsugárzás miképpen halad át bizonyos anyagokon. Megvolt a problémához fontos minden adat, a megoldást mégsem lehetett analitikusan megadni. Ekkor Neumann és Ulam felvetették, hogy a problémát oldják meg számítógépen valószín ségi módszerekkel. Mivel Los Alamosban minden projekt titkos volt, ennek is kellett egy fed név, a választás a "Monte-Carlo"-ra esett. A legels alkalmazások a Manhattan projekt keretein belül történtek, ám számítógépek nélkül ekkor még igen kezdetlegesen t l már rendelkezésre álltak számítógépek, és elkezdhették tanulmányozni a módszereket részletesebben. Az 50-es években (szintén Los Alamosban) a hidrogénbomba kifejlesztéséhez is használták. A módszer ezek után kezdett elterjedni. Kezdetben véletlen számokat tartalmazó táblázatokat használtak, ezért a véletlenszám generátorok megjelenése nagy lökést jelentett a módszer használatában. [1] 1.2. Felhasználásai egyéb területeken Az els alkalmazások katonai területen történtek Los Alamosban. Kés bb is sokat használta az amerikai katonaság, így a U.S. Air Force és a hozzá kapcsolódó RAND Corporation (Research and Development Corp.). Ez a két szervezet talált olyan területeket, ahol hasznosíthatóak voltak ezek a módszerek és el is kezdték szélesebb körben alkalmazni. A kémia területén komplex elegyek viselkedését vizsgálják, ami kiterjed például az önszervez dés jelenségére, sajátságos mintázatok kialakulására, oszcillációkra, kaotikus viselkedésre. Irreverzíbilis fázisátalakulások vizsgálatára is lehet ség van, ami hasonlóságot mutat a zikai fázisátalakulásokkal. Jelent s alkalmazás továbbá az irreverzíbilis polimerizáció vizsgálata. Mivel az evolúció maga is véletlen folyamat, szimulálásához elengedhetetlen a véletlen bevonása. Populációgenetikában vizsgálható különböz vagy azonos területen él populációk biológiai tulajdonságainak változása. Rácson modellezett makromolekulák, fehérjék geometriája, térbeli elrendez dése számítható ki (lattice protein). 2

5 1.3 Térelméleti alkalmazás 1 BEVEZETÉS Ezeken kívül felhasználásai vannak még a közgazdaságban, t zsdei szimulációkban, orvosi területeken és egyéb, olyan komplex területeken, mint például a hálózatok vagy a közlekedés. [3] 1.3. Térelméleti alkalmazás Elméleti számításokhoz a zika területén többek közt a térelméletek témakörében talált felhasználásra a Monte-Carlo módszer. A térelméletekben olyan rendszert vizsgálunk, amelyet több tér és egy id dimenzióban egy ismert Lagrange-s r ség ír le. A klasszikus megoldás a hatás minimalizálásával kapható meg. A kvantált eset lényegesen bonyolultabb. Ekkor minden lehetséges térkonguráció szerepet kap, ami funkcionálintegrálra vezet. Euklideszi térid használata esetén az egyes kongurációk e S súllyal jelennek meg, ahol S a klasszikus hatás. Az ehhez hasonló problémák analitikusan csak speciális esetekben oldhatók meg, ezért egyszer sítésekhez kell folyamodnunk. A folytonos tér és id koordináták helyett egy rácsot vezetünk be. A rácsot egy rácsállandónak nevezett paraméter jellemzi (a), amely megadja, hogy az egyes rácspontok egymástól milyen távol esnek. Így a rácsot az alábbi halmaz értelmezi: { Λ = x x } µ a Z ahol x µ az x vektor egy komponense. Ezen a rácson egy skalármez hatása a következ módon írható fel S = 1 a { 4 µ φ (x) µ φ (x) + m 2 φ (x) 2} + g 2 x x a 4 φ (x) 4 ahol φ (x) a rács pontjaihoz rendelt térmennyiség, µ φ (x) pedig a szomszédos rácspontok µ-edik koordinátája mentén vett dierenciahányadosa. Ilyen hatás mellett felírhatjuk a rendszer funkcionál integrálját ˆ Z = dφ (x) e S x Ezzel a rendszer egy statisztikus zikai modell alakját ölti, ahol a hatás megfeleltethet βe-nek (ahol E a rendszer teljes energiája) és Z az állapotösszeg. Így a térelméleti funkcionálintegrál ekvivalens egy statisztikus zikai rendszer állapotösszegének meghatározásával. Ilyen módon a statisztikus zikai számításokhoz használt módszerek megfelel ek a térelméleti számítások során is. A folytonos mennyiségek ilyen módon történ diszkretizálását hívjuk a térelmélet rácsregularizációjának. Ez lehet vé teszi, hogy numerikusan kezelhessük a problémát és így számítógépekkel kereshessük meg a megoldást. Szakdolgozatomban Monte-Carlo algoritmusokat mutatok be és vizsgálok meg. Azonban a térelméleti modellek bonyolultsága, illetve megfelel ismeretek hiányában ezeket a módszereket egyszer bb statisztikus zikai modelleken vizsgálom: az Ising modellen és az O(N) modell speciális esetein. 3

6 2 ELMÉLET 2. Elmélet 2.1. Monte-Carlo szimulációkról általában Legyen adott egy tetsz leges dimenziójú és méret rács, melyben minden rácsponthoz egy vagy több zikai mennyiséget rendelünk. Ezeket a zikai mennyiségeket valamilyen módon sorbarendezhetjük, ezért általánosan csak egy indexszel hivatkozunk rájuk (S i ). Ha minden rácspontban minden zikai mennyiség határozott értéket vesz, akkor ezt egy rácskongurációnak nevezzük, és {S i }-vel jelöljük. Úgy is mondhatjuk, hogy a rácskonguráció (mikroállapot) egy teljes részletességgel meghatározott állapot. A rácsban az egyes rácspontok kölcsönhatnak. A kölcsönhatás eredményeképpen a rendszerhez rendelhetünk egy energiát. Ezt az energiát az energiafunckionál adja meg, amely a rácspontokhoz rendelt zikai mennyiségek függvénye (a rácskonugráció függvénye): E ({S i }). Az energiafuncionál határozza meg, hogy milyen zika modellt vizsgálunk. Ezekben a szimulációkban általában feltesszük, hogy a rendszer egy T h mérséklet h tartállyal érintkezik. Egy ilyen rendszer viselkedését szeretnénk Monte-Carlo módszerekkel vizsgálni. A numerikus szimulációkban az els dleges célunk, hogy bizonyos mennyiségek várható értékét határozzuk meg, amelyek majd kés bbi számolás alapjául szolgálnak. Legyen egy ilyen keresett mennyiség A, ekkor a várható értéke: Â = A = 1 A ({S i }) e βe({s i}) Z {S i } Z = {S i } e βe({s i}) (1) ahol Z az állapotösszeg, β = 1/k B T és {S i } egy adott rácskonguráció. Mivel a gyakorlatban ez a szumma a rácskongurációk nagy száma miatt nem végezhet el, ezért az összes rácskongurációk halmazából mintavételeznünk kell. Mivel {S i } el fordulásának valószín sége Z 1 exp ( βe ({S i })), ezért bizonyos rácskonguáriók el fordulása adott h mérsékleten valószín bb mint másoké. Meg kell találni a módját, hogy a mintavételezett rácskongurációkhoz tartozó A mennyiség eloszlása ugyanolyan legyen mint az (1)-es egyenlet szummájában. Ha gy jtöttünk N különböz mintát a rácskon- gurációkból és így az A mennyiségb l a megfelel eloszlással, akkor ezen mennyiség egy becslését egyszer átlagképzéssel számíthatjuk ki: A = 1 N A várható értéket pedig végtelen sok minta segítségével kaphatnánk meg: 2.2. Markov láncok 1 Â = lim N N Mivel új rácskongurációkat megfelel eloszlással generálni nehéz, ezért numerikus szimulációkban Markov folyamatokkal generálunk újakat. A Markov folyamat olyan sztochasztikus folyamat, ahol az egymást követ állapotokra igaz az, hogy egy állapot csak 4 i A i i A i

7 2.2 Markov láncok 2 ELMÉLET az azt megel z t l függ, korábbiaktól nem. Egy Markov folyamat egymás utáni állapotainak összességét nevezzük Markov láncnak. A láncra kétféleképpen is gondolhatunk: tekinthetünk rá úgy, hogy a lánc elemei a rendszer id ben egymás után következ állapotai, de felfoghatjuk úgy is, mint egy adott id pillanatban lev kongurációeloszlásból vételezett minták. Egy Markov folyamatra jellemz az átmeneti valószín ség, ami azt a valószín séget adja meg, hogy a folyamat a {S k } állapotból az {S l } állapotba kerül, ahol a Markov folyamat egyes állapotai a különböz rácskongurációk. Jelöljük P ({S l } {S k })-val az átmeneti valószín séget. Az átmeneti valószín ségekb l egy átmeneti mátrixot készíthetünk, amelynek elemei W lk = P ({S l } {S k }) Tekintsünk a Markov folyamatra most úgy, hogy nem tudjuk egy adott lépésben melyik rácskongurációban van a rendszer, csak az egyes rácskongurációk valószín - ségét ismerjük az adott lépésben. Rendezzük továbbá az egyes állapotok eloszlásbeli valószín ségét egy vektorba, tehát legyen P (i) l-edik komponense az {S l } állapot el fordulásának valószín sége a Markov lánc i-edik lépésében. Ekkor az állapotok egy új eloszlását a P (i + 1) = WP (i) adja. Egy ilyen Markov-folyamat egymás után következ állapotait használjuk fel arra, hogy mintát vegyünk a megfelel rácskonguráció eloszlásból. Azonban csak bizonyos átmeneti valószín ség folyamatokra lesz igaz az, hogy az állapotai a kívánt eloszlásúak. Az átmeneti valószín ségre a következ knek kell teljesülniük 1 : 1. részletes egyensúly: P ({S l } {S k }) e βe({s k}) = P ({S k } {S l }) e βe({s l}) 2. er s ergodicitás: P ({S l } {S k }) > 0 minden k, l-re. Ezen feltétel szerint tetsz leges rácskongurációból elérhet bármelyik másik nem 0 valószín séggel. 3. normáltság: P ({S l } {S k }) = 1 l vagyis a rendszer biztosan átmegy valamilyen rácskongurációba. A részletes egyensúly feltétele azt fejezi ki, hogy azon állapotok közül, amelyek az{s l }- ben vannak, ugyanannyi kerül át az {S k } állapotba, mint az {S k } állapotban lev k közül az {S l }-be. Ez feltétel azért szükséges, mert ha a rendszer minden makroszkópikus paramétere állandó, akkor elvárjuk, hogy az újonnan generált kongurációk eloszlása maradjon végig ugyanaz. Esetünkben az exp ( βe ({S k })) kifejezés egy 1/Z szorzótól eltekintve megadja azt a valószín séget, hogy a rendszer az {S k } állapotban tartózkodik, vagyis nem más mint P k, tehát a részletes egyensúly feltételét úgy is írhatjuk, hogy W lk P k = W kl P l (2) 1 A megadott feltételek elégségesek, de nem szükségesek a helyes eloszlás eléréséhez. 5

8 2.3 Algoritmusok 2 ELMÉLET Szummázzuk ki a (2)-es egyenletet k-ra. Majd jobboldalon kihasználva az átmeneti valószín ség normáltságát kapjuk, hogy WP = P A részletes egyensúly feltételéb l tehát következik, hogy a Markov folyamat során a rácskongurációk eloszlása nem változik meg. Ezért az eloszlás állandóságához ez a feltétel nem szükséges, de elégséges Algoritmusok A Metropolis algoritmus Ez a legegyszer bb algoritmus, amellyel úgy is lehet új rácskongurációkat generálni, hogy szinte semmi közelebbit nem tudunk a rendszert alapvet en jellemz zikai mennyiségeir l. Mindössze az energiafunkcionált kell tudnunk kiszámítani egy adott rácskon- gurációban. Az algoritmus a következ : legyen adott az i-edik rácskonguráció. Számítsuk ki a rácskonguráció energiáját, ez legyen E i. Válasszunk ki egy tetsz leges (véletlen) rácspontot. Változtassuk meg a rácspont paramétereit tetsz legesen (véletlen módon) úgy, hogy a rácspont minden lehetséges állapota egyenl valószín séggel választható. Számítsuk ki az teljes rács energiáját ezzel az új megváltoztatott rácsponttal, ez legyen E i+1. Ezek után döntünk, hogy elfogadjuk-e az új rácskongurációt, vagy nem. Az átmeneti valószín ség a következ lesz: { 1 ha E i+1 < E i P (S i+1 S i ) = (3) e β(e i+1 E i ) ha E i+1 E i Belátható, hogy ez az átmeneti valószín ség normált. Az (er s) ergodicitás sérül az algoritmusban, hiszen egy rácspont megváltoztatásával nem juthatunk el tetsz leges rácskongurációhoz. Azonban algoritmus véges sokszori alkalmazásával már igen, hiszen így minden rácspont sorra kerül legalább egyszer és ha ezt tekintjük a Markov folyamat egy lépésének, akkor már nem sérül az ergodicitás. A részletes egyensúly triviálisan teljesül A h fürd (heatbath) Az algoritmusban kiválasztunk egy tetsz leges rácspontot, amelynek új értéket szeretnénk adni. Kiszámítjuk a rendszer állapotösszegét úgy, hogy a kiválasztott rácsponton kívül az összeset változatlanul hagyjuk. Legyen a kiválasztott spin lehetséges állapotainak halmaza C. 1. Ha a spin lehetséges állapotai diszkrétek, akkor Z = Z 0 S C e βe(s) 2. Ha a spin lehetséges állapotai folytonosak, akkor ˆ Z = Z 0 6 dse βe(s) S C

9 2.3 Algoritmusok 2 ELMÉLET Itt Z 0 a többi rácspont járulékának S független része. Ezután P (S) = Z 0e βe(s) Z valószín ség eloszlással választunk a rácspontnak új paramétereket. Ezzel az algoritmussal kevesebb lépésb l kaphatunk jobban eltér, új kongurációkat, azonban megfelel eloszlással adni új értékeket a rácspont paramétereinek gyakran nehéz feladat Over-relaxáció Tegyük fel, hogy van a vizsgált rendszernek egy olyan szimmetriája, amelyet felhasználva úgy tudunk egy vagy több rácspont paramétert megváltoztatni, hogy a teljes rendszer energiája nem változik meg. Ezt a tulajdonságot felhasználva, egyéb számítások nélkül tudunk új rácskongurációkat generálni. Az algoritmus annyiból áll, hogy egy véletlenszer en választott rácspont paramétereit megváltoztatjuk az említett módon. Ez a módszer egy olyan Metropolis algoritmus szerinti lépésnek felel meg, amelynél a rácspont paraméterének értékét nem véletlenszer en választjuk, hanem egy adott szabály szerint irányítottan. Mivel egy ilyen lépésnél az energia nem változik, a (3)-ban szerepl átmeneti valószín ség mindig 1. Az algoritmus használatának feltétele még, hogy a spin régi és új helyén egyezzen meg az integrálási mérték. Ez az algoritmus önmagában nem használható, mivel nem ergodikus, ezért általában h fürd vel keverve szokták használni, így azonban rendkívül gyorsan járja be a rendszer a rácskongurációk széles skáláját Molekuláris dinamika Ezen algoritmus az el bbiekt l eltér abban a tekintetben, hogy míg az el z ek egy lépésben egy-egy rácspontot változtattak meg, ez utóbbi a teljes rácskongurációt megújítja egy lépésben. Ezért nevezzük az el bbieket lokális algoritmusoknak, ezt pedig globálisnak. Az algoritmust csak olyan rendszer esetén lehet használni, amelyben a térmennyiségek folytonos értékeket vehetnek fel. Az S i rácspontbeli térmennyiségek mellé vezessünk be egy segédteret, amit π i -vel jelölünk (π i ( ; + )). Ez az új mennyiség olyan szerepet tölt be, mint az S i térmennyiség kanonikusan konjugált párja. A rendszer állapotösszege a következ : ˆ Z 1 = ds i exp ( βe (S i )) i Képezzük a következ konstanst: ˆ ( Z 2 = dπ i exp i i π 2 i 2 ) ezzel szorozva Z 1 -t ˆ ˆ ( ( Z = Z 1 Z 2 = ds i dπ i exp βe (S i ) + i i π 2 i 2 )) 7

10 2.4 Modellek 2 ELMÉLET A kitev ben lev kifejezést tekintsük egy (új) rendszer H Hamilton-függvényének, ahol βe a potenciális energia, és i π2 i /2 a mozgási energia. Z éppen ezen új rendszer állapotösszege. Ebben a rendszerben az S i illetve π i változók hipotetikus, klasszikus részecskék koordinátáinak és impulzusainak felelnek meg. Mivel a klasszikus mozgás során az energia nem változik, így a Hamilton-féle mozgásegyenletek megoldása egy overrelaxációs (mikrokanonikus) lépést valósít meg. π i t = H S i S i t = + H π i Speciálisan H/ π i = π i. Ezek után az algoritmus a következ. π i -knek h fürd vel új értékeket adunk a rács minden pontjában, ami könnyen megtehet, mert π i -nek egyszer Gauss-eloszlása van P (π i ) = 1 2π exp ( π2 i 2 Ezzel meghatározhatjuk a rendszer energiáját a Hamilton-függvényb l. A következ kben megoldjuk a mozgásegyenleteket egy bizonyos ideig, ezzel új értékeket adunk S i -knek minden rácspontban. Ha a mozgásegyenleteket meg tudnánk oldani egzaktul, H állandó maradna, azonban a megoldás során véges t idej lépésekkel fejlesztjük az egyenletet egy el re meghatározott ideig, ezért H változik valamennyit. Ha túl sokat változik, az új rácskongurációt nem fogadhatjuk el. Az elfogadás valószín sége { 1 ha H < 0 P = e β H ha H 0 Fontos, hogy a kanonikus egyenletek megoldásakor megmaradjon a fázistérfogat. A kanonikus egyenletek egzakt megoldásakor ez teljesülne, ám az id diszkretizációja miatt nem feltétlenül. A leapfrog algoritmus egy olyan algoritmus, amellyel úgy oldhatjuk meg a kanonikus egyenleteket diszkrét id lépések mellett, hogy a fázistérfogat állandó marad. Tegyük fel, hogy ismerjük S i (t)-t és π i (t)-t. Ezek után a következ kifejezéseket kell kiszámítanunk ebben a sorrendben: S i ( t + t 2 ) = + H π i t t π i (t + t) = H S i t+ t 2 ) + S 2 i (t) t + π i (t) S i (t + t) = + H π i t+ t t 2 + S i ( t + t 2 Ezt elvégezve t-vel léptettük el re az id t. Ezt folytatjuk az el re meghatározott ideig, ami általában 1. Minél s r bben osztjuk fel az 1-et t id közökre, annál pontosabban marad meg H ( H t 2 ), ezért n a valószín sége, hogy az újonnan generált kongurációt megtartjuk Modellek Ising modell Tekintsünk egy D dimenziós négyzetes rácsot, melynek rácspontjaiban kétállapotú objektumok vannak. Erre a rácsra gondolhatunk úgy, hogy a rácspontok helyén feles spin atomok vannak és a rácsponthoz rendelt zikai mennyiség a spin két állapota (+1 vagy 1). A rácspontok egymással kölcsönhatnak, de minden rácspont csak az 8 )

11 2.4 Modellek 2 ELMÉLET els szomszédjával. Ilyen módon a rendszerhez rendelhetünk egy E energiát a következ kifejezéssel E = JS i S j BS i i,j i ahol J a csatolási állandó, és B a küls mágneses tér. i, j arra utal, hogy az összegzést a szomszédos spinekre kell elvégezni. Ha a modell fázisátmenetét vizsgáljuk, akkor a küls mágneses téret 0-nak kell választanunk. A J csatolási állandó többféle értéket vehet fel. Ha J > 0, a modell ferromágneses anyagnak lesz modellje. Ekkor az csökkenti az energiát, ha a szomszédos spinek egy irányban állnak. Ha J < 0, a modell antiferromágneses anyagnak lesz modellje. Ekkor az a kedvez bb állapot, ha a szomszédos spinek ellentétesen állnak. A modellnek 1 és 2 dimenziós rács esetén van egzakt megoldása, azonban egy 2000-es eredmény valószín vé tette, hogy magasabb dimenziókban nincs egzakt megoldás [5] O(N) modell Ezen modellt szintén egy D dimenziós rácson értelmezzük. A rácspontokban lev spinek azonban egy N dimenziós gömbfelületen helyezkedhetnek el úgy, hogy minden spin hossza 1, vagyis Sij 2 = 1 j ahol S ij az i-edik spin j-edik Descartes-koordinátája. Mivel a spinek N dimenziós egységvektorok, polárkoordinátarendszerben leírhatók N 1 darab szöggel. A spinek kölcsönhatásaként az energiafunkcionál a szomszédos spinek skalárisszorzataként áll el : E = JS i S j BS i i,j i Jellemz k A számolásokban többféle határfeltételt is alkalmazhatunk. Lehetséges, hogy a rács szélére "falat" teszünk vagyis el írjuk, hogy a legszéls spin azon szomszédja, amelyik nem a rácsban van, határozott értékkel rendelkezzen, de használhatunk periodikus határfeltételt is. Ha S (x, y, z,...) egy spin koordinátái a rácsban (x, y, z,... = 0,..., N 1) és N a rács egy oldaléle, akkor S (N, y, z,...) = S (0, y, z,...), stb. Az egyik fontos mennyiség amit kiszámíthatunk, az a mágnesezettség. Ising modell esetén i M = S i V O(N) modell esetén pedig i M = S i V A mágnesezettség jellemezi az spinkongurációk statisztikus viselkedését. A 2 és magasabb dimenziós Ising modellekben a fázisátalakulást a mágnesezettség vizsgálatával határozhatjuk meg. Mind a két modellre igaz, hogy az alacsonyh mérséklet fázis 9

12 2.5 Autokorreláció 2 ELMÉLET jellemz je, hogy a spinek többsége egy irányba áll. Ilyenkor a mágnesezettség 0-tól jelent sen különböz szám. Magas h mérsékleten a spinek rendezetlenül állnak, ezért a mágnesezettség közel lesz 0-hoz. A két fázis között általában fázisátalakulás gyelhet meg, melynek rendje D-t l függ. Mivel fázisátalakulás során a rendszer érzékenyebb lesz, a mágnesezettség szórása megnövekszik. A mágnesezettség szórásának térfogatszorosa a szuszceptibilitás 2.5. Autokorreláció χ = V ( M 2 M 2) Numerikus szimulációkban rendkívül fontos, hogy egy algoritmus mennyire hatékony. Ideális esetben olyan módon kell új kongurációt generálni, hogy az ne függjön az el z kongurációktól, csak a legutóbbitól, ami követelménye annak, hogy a generálás Markov-láncban menjen végbe. Általában egy eloszlásból úgy választunk ki új kongurációkat Markov-láncok segítségével, hogy az el z n csak egy kicsit módosítunk. A gyakorlatban ezért mindig fognak függni a láncban egymástól távolabb lev kongurációk is. Legyen M egy olyan mennyiség, amelyet egy kongurációhoz rendelhetünk, valamilyen M = M ({S j }) függvény szerint. Kiszámíthatjuk ezen mennyiség autokorrelációs függvényét abban a sokaságban, amelyet generáltunk. F (n) = ( ) Mi M i+n Mi 2 i Ez általában exponenciálisan lecseng függvény lesz, amelyet jellemez egy karakterisztikus hossz: F (n) = A exp ( n/ξ) Ezt a ξ-t nevezzük autokorrelációnak. Ha az autokorreláció nagy, az azt jelenti, hogy az egymás után következ kongurációk egymástól csak kevéssé térnek el. Ilyenkor általában a rendszer a használt algoritmussal csak lassan járja be a lehetséges kongurációk halmazát. Ilyen algoritmusokat nem tekintünk hatékonynak Példák Autokorreláció vizsgálatakor fontos, hogy a különböz algoritmusok ugyanazzal a sebességgel generálják a mágnesezettséget, hiszen csak így vethet össze az eredményük. Ha egy kevésbé hatékony algoritmust hosszabb ideig hagyunk futni miel tt a generált spinkongurációból kiszámítanánk az M mágnesezettséget, akkor látszólag olyan autokorrelációt érhetünk el, mintha egy sokkal hatékonyabb algoritmust futtattunk volna rövidebb ideig. O(2) és Ising modell autokorrelációját számoltam. Ising modell autokorrelációja látható az 1. ábrán. Meggyelhet, hogy Ising modell esetén a Metropolis algoritmus jobb hatásfokú, de csak a kritikus h mérséklet környékén különbözik jelent sen a h fürd t l. O(2) modell esetén (2. ábra) már a h fürd algoritmus produkál kisebb autokorrelációs hosszt, amely szerint ez az algoritmus hatékonyabb. Vizsgálhatjuk az autokorrelációt másképp is. Legyen S i (t) az i-edik helyen lev spin a t id ben, ahol t most a szimulációs id t méri, vagyis egy id egység arányos a térfogattal. Ekkor a korrelációs függvény, amelyet minden rácspontban kiszámítunk C (i, t) = S i (t) S i (t + t) S i (t) S i (t + t) 10

13 2.5 Autokorreláció 2 ELMÉLET és ezt a teljes rácsra kiátlagolva C ( t) = 1 V C (i, t) i Erre a függvényre szintén exponenciális lecsengést várunk t-ben, így itt is megadható egy korrelációs hossz. Ez a korrelációs hossz szintén azt fejezi ki, hogy mennyire gyorsan változik meg a zikai mennyiség (itt mágnesezettség) id ben. A 3. ábrán látható, hogy az autokorrelációt így számítva Ising modell esetén a Metropolis algoritmus bizonyul jobbnak. Az ábráról kiderül, hogy az így számított autokorreláció más jelleg, például a fázisátmenet környékén a két algoritmus ugyanazt az autokorrelációt adja. Látható az is, hogy az autokorreláció a fázisátmenet közelében a legnagyobb, nagy térfogatra divergál. Ez a kritikus lelassulás jelensége. 70 Metropolis hofurdo autokorrelacio T 1. ábra. 2 dimenziós Ising modell autokorrelációja Metropolis és h fürd algoritmusokkal V = 60 2 esetén 11

14 2.5 Autokorreláció 2 ELMÉLET 60 Metropolis hofurdo autokorrelacio T 2. ábra. 2 dimenziós O(2) modell autokorrelációja Metropolis és h fürd algoritmusokkal V = 30 2 esetén 2.4 hofurdo Metropolis korrelacios hossz, ξ T 3. ábra. Autokorreláció a 2 dimenziós Ising modellnél 30 2 térfogaton 12

15 3 EREDMÉNYEK 3. Eredmények Az alábbiakban az Ising és az O(N) modell szimulációja során elért eredményeimet ismertetem. A továbbiakban a csatolási állandó J = 1 és a küls tér B = Mágnesezettség függése h mérséklett l A mágnesezettség Ising modell esetén M = 1 V i S i. Alacsony h mérsékleten minden spin egy irányba áll, ezért a mágnesezettség összeadódik, míg magas h mérsékleten, rendezetlenül állnak, és kioltják egymást. A kett között 2 dimenziós modell esetén másodrend fázisátmenet zajlik. A 4. ábrán 2 dimenziós Ising modell mágnesezettsége látszik a h mérséklet függvényében. A T = 2.25 h mérséklet környékén történ levágás a térfogat növekedtével egyre élesebb lesz magnesezettseg homerseklet 4. ábra. A mágnesezettség a h mérséklet függvényében 2 dimenziós Ising modell esetén V = térfogaton 3.2. Hiszterézis Hiszterézist a egy rendszer általában akkor produkál, ha egy folyamat olyan gyorsan játszódik le, hogy a rendszer egyensúly állapotát nem képes felvenni. Ezt a jelenséget spinrendszerek esetében is el lehet idézni. Tekintsük a generált spinkongurációk láncát egy id beli folyamatnak. Akkor tekintünk egy spinkongurációt újnak, ha várhatóan már a teljes térfogatban minden spin legalább egyszer új értéket kapott. Nagyobb térfogatú spinrendszer esetén több lépést kell Metropolis vagy h fürd algoritmusokból elvégezni, hogy ugyanolyan mérték változást érjünk el, ezért az id egységet célszer a térfogattal arányosnak választani. Mivel az alkalmazott lokális algoritmusok egy spint csak bizonyos valószín séggel fordítanak át, ezért az id egységet a térfogat néhányszorosának kell választanunk. Hogy pontosan mit választunk id egységnek, az nagyban függ a konkrét algoritmustól. 13

16 3.3 Ising modell szuszceptibilitása 3 EREDMÉNYEK A termalizáció az a folyamat, ami alatt a rendszer eléri a termikus egyensúlyát. Ehhez id kell, amelynek nagysága változatos, függ a rendszer kezdeti állapotától, térfogatától, az alkalmazott algoritmustól és a h mérséklett l. A termalizáció általában káros, mert a folyamat során a rendszer nem az adott h mérséklethez tartozó egyensúlyi spinkongurációkat veszi fel, ezért ilyenkor nem mintavételezünk. Az 5. ábrán látható a 2 dimenziós Ising modell termalizációja rendezett állapotból. Az ábrán látható vonaltól balra lev mágnesezettségeket a kés bbi számítások során nem használjuk fel. A teljesen rendezetlen állapotból a rendszer nehezen tud átmenni a teljesen homogén állapotába, mert el bb doménesedik. Hiszterézis meggyelését a doménesedés ellehetetleníti, ezért célszer egy kis küls mágneses teret alkalmazni, hogy a doménesedést elkerüljük. 3 dimenziós Ising modell hiszterézisét vizsgáltam h fürd algoritmussal. A rendszer térfogata V = 40 3 volt. A fentiek alapján a gyorsan változó folyamat most azt jelenti, hogy T = h mérsékletlépésekben haladva minden h mérsékleten a 0.3 V -vel egyez mennyiség spinre futtattam le az algoritmust. Az eredmény a 6. ábrán látható. Fontos megjegyezni, hogy véges térfogaton a hiszterézis léte nem zikai jelenség, hanem az alkalmazott algoritums hatékonyságát jellemzi. Jelen esetben megállapíthatjuk, hogy az alkalmazott 0.3V lépés nem elegend az egyensúly eléréséhez magnesezettseg lepes (0.1V) 5. ábra. 2 dimenziós Ising modell termalizációja rendezett állapotból V = és T = 2.26 esetén 3.3. Ising modell szuszceptibilitása Ising modell esetén a szuszceptibilitást a mágnesezettség szórása adja a következ képpen χ = V ( M 2 M 2) A jobb kiértékelhet ségért a szuszceptibilitást a mágnesezettség abszolútértékének szórásából számoltam. A szuszceptibilitáson jól meggyelhet a fázisátmenet, illetve a 14

17 3.3 Ising modell szuszceptibilitása 3 EREDMÉNYEK futesi szakasz hutesi szakasz magnesezettseg homerseklet 6. ábra. A hiszterézis jelensége Ising modellben kritikus h mérséklet körüli divergencia a térfogat növekedésével. Kritikus h mérsékletnek nevezzük azt a h mérsékletet, amelyen a végtelen térfogatú rendszer fázisátmenete végbemegy. A 7. ábra mutatja a 2 dimenziós Ising modell különböz térfogatokhoz tartozó szuszceptibilitását a h mérséklet függvényében. A maximum helyeket és maximum értékeket Gauss-görbe illesztésével határoztam meg. A kritikus h mérséklet meghatározása úgy történt, hogy a szuszceptibilitások maximum helyeit ábrázoltam 1/V függvényében, majd extrapoláltam az 1/V = 0-ba. Így T c = ± nek adódott. A végesméret skálázási elmélet szerint a kritikus h mérséklet nagy térfogaton a T c (L) T c L 1/ν képlet szerint viselkedik, ahol L a rács oldaléle, T c (L) az a h mérséklet, ahol a szuszceptibilitásnak maximuma van L oldal él rácsban, és ν egy a rendszerre jellemz paraméter [4]. A T c (L) T c görbe L függvényében a 8. ábrán látható, erre L 1/ν alakú görbét illesztve ν = 1.06 ± Az elmélet szerint a szuszceptibilitás a kritikus h mérséklet közelében a végtelenhez tart, ha a térfogat n. A 9. ábrán látható, hogy ha 1/V 0, akkor 1/χ max 0. Az egzakt érték T c = 2/ sinh 1 (1) = és ν = 1 [6]. A kritikus h mérsékletet nem sikerült pontosan visszaadni, aminek oka valószín leg a abban keresend, hogy az alkalmazott térfogatok nem voltak elég nagyok. 15

18 3.3 Ising modell szuszceptibilitása 3 EREDMÉNYEK 1200 V=60 2 V=100 2 V=150 2 V= szuszceptibilitás hõmérséklet 7. ábra. A 2 dimenziós Ising modell szuszceptibilitása 0.1 cl -1/ν T c (L)-T c 0.01 L ábra. A kritikus h mérséklet az élhossz függvényében logaritmikus skálán a 2 dimenziós Ising modellnél 16

19 3.3 Ising modell szuszceptibilitása 3 EREDMÉNYEK /χ max /V 9. ábra. A szuszceptibilitás maximumának reciproka a térfogat reciprokának függvényében a 2 dimenziós Ising modellnél 17

20 3.4 O(2) és O(3) szimulációja 3 EREDMÉNYEK 3.4. O(2) és O(3) szimulációja Szuszceptibilitás Az O(2) modellt 2 dimenziós rácson vizsgáltam. Mivel most a mágnesezettség egy vektor, melynek O(N) modell esetében N komponense van, ezért a szuszceptibilitás egy tenzor lesz, melynek komponensei χ ij = V ( M i M j M i M j ) Azonban, hogy jól tudjuk kezelni a szuszceptibilitást, érdemes a mágnesezettség vektor szórásaként értelmezni: χ = V ( M 2 M 2) Belátható, hogy az így deniált szuszceptibilitás éppen a fenti tenzor spurja. A modellt Metropolis és h fürd algoritmusokkal vizsgáltam. Azt szeretnénk, hogy amikor a lehetséges kongurációk halmazából mintavételezünk, a rendszer járja be a teljes kongurációs teret. Emiatt várjuk, hogy M = 0, hiszen a rendszernek fel kell vennie az adott h mérséklethez tartozó nagyságú mágnesezettség vektort minden irányban. A Metropolis algoritmusnak megvan az a hátrányos tulajdonsága, hogy ha a rendszert rendezett állapotból indítjuk, a h mérséklet csökkenésével megtartja a mágnesezettség irányát, míg a h fürd algoritmusnál ez nem következik be, és a mágnesezettség vektor iránya változik. Ez a spontán szimmetriasértés jelensége, ami miatt Metropolis algoritmusnál M 0, míg h fürd esetén közel M = 0, alacsonyabb h mérsékletek esetén is. Ez ahhoz vezet, hogy a szuszceptibilitás nem ugyanakkora a két algoritmus esetében. Ezt kiküszöbölhetjük, ha a szuszceptibilitást átdeniáljuk a mágnesezettség abszolútértékével a következ re: χ = V ( M 2 M 2) A mágnesezettség nagysága már ugyanaz mindkét algoritmus esetén. Ez némiképp megváltoztatja a szuszceptibilitás viselkedését, de a kritikus h mérsékletet nem, hiszen ugyanazon a h mérsékleten fog a rendszer minden paramétere divergálni. A kritikus h mérsékletet szintén úgy határoztam meg, hogy a szuszceptibilitások maximumhelyeit ábrázolva 1/V függvényében 1/V = 0-ba extrapoláltam. Ez alapján a kritikus h mérséklet T c = ± nek adódott. A 10. ábrán látható az egyes élhosszakhoz tartozó kritikus h mérséklet, amelyre a fent leírt módon igaz, hogy T c (L) T c L 1/ν. Az illesztés szerint ν = 0.66 ± Az irodalmi érték T c = 0.89 [8], az eltérés valószín leg a kis térfogatokban keresend. O(3) modell esetén az el z ekhez hasonló módon elvégezhet ek az illesztések, eszerint T c = ± és ν = ± Termalizáció Az O(2) modell esetén a szimulációt véletlenszer spinelrendez désb l, ugyanakkor alacsony h mérsékletr l indítottam. A rendszer ilyenkor megpróbálja felvenni a küls h mérséklethez tartozó egyensúlyi állapotát, amit termalizációnak hívunk. Speciálisan itt az egyensúlyi állapot a homogén állapot. Mivel azonban nincs kitüntetve semmilyen irány, a rendszer bizonytalan és nem tudja, milyen irányú vegye fel a homogén mágneses állapotát. A termalizáció nagyon sokáig elhúzódhat, ugyanis a véletlenszer elrendez désben domének jönnek létre, melyekben a mágnesezettség nagy területen homogén. 18

21 3.4 O(2) és O(3) szimulációja 3 EREDMÉNYEK 0.1 cl -1/ν T c -T c (L) 0.01 L ábra. A kritikus h mérséklet az élhossz függvényében logaritmikus skálán a 2 dimenziós O(2) modellnél Itt a spinek lokálisan egyensúlyban vannak, ezért tömegesen nehezen fordulnak át egy másik irányba. Elég sok id (a térfogat több százszorosa, akár ezerszerese) elteltével azonban ez megtörténik, és a rendszer teljesen homogén lesz (11. ábra). Ha alacsony h mérsékletr l indítjuk a szimulációt, a termalizáció elkerülése miatt optimálisabb lenne minden spint azonos irányból indítani, azonban ez spontán szimmetriasértést jelentene, amit általában ugyancsak el kell kerülnünk. A doménesedés jelensége minden modell esetén problémát okoz Az O(2) modell megoldása h fürd vel A szimulációban B = 0-t használtam. A megoldás során nem tételezünk fel semmit arról, hogy hány dimenziós a rács, a szimulációban D = 2 volt. A h fürd algoritmus alkalmazásakor el ször véletlenszer en kiválasztunk egy spint. Ezen spin állapotösszegét kell kiszámítanunk úgy, hogy rendszer többi spinjét változatlanul hagyjuk. Legyen a kiválasztott spin S i, az állapotösszege ˆ Z 2π ˆ 2π = dϕe βe = Z dϕ exp +βjs i ahol Z 0 az állapotösszeg S i független része és i,j S j a kiválasztott spin szomszédjainak összege, amit jelöljünk Σ-val. A ϕ változóról térjünk át egy olyan elforgatott χ szögre, amit Σ-tól mérünk, valamint gyelembe vesszük, hogy S i = 1, ekkor Z Z 0 = ˆ 2π 0 i,j S j dχ exp (βj Σ cos χ) = 2πI 0 (βj Σ ) ahol I 0 (x) az els fajú módosított Bessel-függvény, valamint kihasználtuk, hogy I 0 ( x) = I 0 (x). Ezek után a választott spin helyére a f (ϑ) = Z 0 exp (βj Σ cos χ) eloszlással Z 19

22 3.4 O(2) és O(3) szimulációja 3 EREDMÉNYEK M lepes (15V) 11. ábra. A doménesedés jelensége termalizáció során O(2) modellnél T = 0.95 h mérsékletnél kell egy új szöget választanunk, majd χ-t visszaforgatni az eredeti ϕ-vel jellemzett koordinátarendszerbe. Az új szög generálását megfelel eloszlással a következ képpen tehetjük meg. Megkeressük f (χ) maximumát (ez f max = f (0) = Z 0 exp (βj Σ )) és Z képezzük az f(χ) f max hányadost, amivel bevezettünk egy olyan új g (χ) függvényt, amely érték készlete már a [0 : 1] intervallum (g (χ) = exp (βj Σ (cos χ 1))). Ezek után generálunk véletlenszer en egy (χ r, g r ) [0 : 2π] [0 : 1] számpárt és megnézzük, hogy a számpár teljesíti-e a g r < g (χ r ) feltételt. Ha teljesíti, a χ r szöget elfogadjuk a spin új szögének, ha nem új számpárt generálunk. Ezzel adott eloszlású számok generálását visszavezettük a geometriai valószín ség fogalmára. Azonban ez a módszer egyre kevésbé hatékony magasabb dimenziókban, illetve olyan jelleg eloszlásokra, amelyek egy érték körül csúcsosodnak, másutt pedig elenyész valószín ség ek Az O(3) modell megoldása h fürd vel Ismét B = 0-t használunk, és megtartjuk a Σ = i,j S j jelölést. Az állapotösszeg kiszámításához elforgatjuk a koordinátarendszerünket úgy, hogy az új koordinátarendszer z-tengelye Σ irányú legyen, így a ϑ szög ezen vektorral bezárt szöget jelenti. Ebben a koordinátarendszerben egy tetsz leges vektor skalárisszorzata Σ-val nem függ az el bbi vektor ϕ szögét l. Az állapotösszeg a következ lesz ˆ Z π ˆ 2π = dϕ sin ϑdϑ exp (βj Σ cos ϑ) Z bevezetve az u = cos ϑ változót az integrálás elvégezhet és a K = βj Σ jelöléssel Z = 2π ek e K Z 0 K 20

23 3.5 Korrelációs függvények 3 EREDMÉNYEK Ezzel a s r ségfüggvény, amely szerint az új szögeket generálnunk kell a f (ϑ, ϕ) = Z 0 Z exp (K cos ϑ) sin ϑ Látszik, hogy a ϕ szög eloszlása egyenletes lesz a [0 : 2π]-ben, ezért elég csak a ϑ szög eloszlásával foglalkoznunk. Készítsük el a ϑ szög kumulatív eloszlás függvényét: F (ϑ) = ˆ ϑ ismét áttérve az u változóra kapjuk, hogy 0 Z 0 Z exp (K cos ϑ ) sin ϑ dϑ F (u) = ek e Ku e K e K Az F (u) = y kifejezést invertálva kapjuk, hogy u = cos ϑ = 1 K ln [ e K y ( e K e K)] Ezzel a kifejezéssel éppen megfelel eloszlású ϑ szöget generálhatunk, ha egyenletesen választunk y-t a [0 : 1] intervallumból. Miután megkaptuk az új ϑ és ϕ szögeket, a hozzájuk tartozó vektort egy lineáris transzformációval vissza kell forgatnunk az eredeti koordinátarendszerbe Korrelációs függvények Értelmezzük egy rácson a kétpont-korrelációs függvényt: C (i, j) = S i S j S i S j ahol az átlagolást a rácskongurációk sokaságára kell elvégezni. Ezen függvény megadja, hogy az i-edik és j-edik spin mennyire van szoros kölcsönhatásban egymással. Fázisátalakulás esetén ezen kölcsönhatás hatótávolsága megn és két távoli rácspont között is jelent s lehet a korreláltság. A korrelációt a szimulációban úgy számoltam, hogy egy adott rácskongurációban minden rácspontban kiszámítottam a C (i, x) = S i S i+ x S i S i+ x mennyiséget, ahol az átlagolást az összes olyan szomszédra kell elvégezni, amelyik az S i spint l x távolságra van. Ez D dimenziós rács esetén 2D szomszéd. Ebb l el állítható átlagolással a C ( x) = 1 C (i, x) 2DV függvény, ami azt adja meg, hogy átlagosan mi lesz két olyan spin korrelációja, amelyik egymástól x távolságra van. A C ( x) korreláció a távolsággal exponenciálisan csökken, vagyis közelíthet A exp ( x/ξ) i 21

24 3.5 Korrelációs függvények 3 EREDMÉNYEK alakú függvénnyel, ahol ξ-t korrelációs hossznak hívjuk. Ez a hossz függ a h mérséklett l, illetve a vizsgált rács térfogatától, a kritikus h mérséklet környékén divergál. Minden térfogaton más h mérsékletnél veszi fel a maximumát, végtelen térfogaton pedig éppen a kritikus h mérsékleten válik szingulárissá. A 12. ábrán látható az O(2) modell C ( x) függvényére illesztett exponenciális alak T = 0.9 esetén. Végesméret skálázási elmélet szerint ha L, akkor a korrelációs hossz maximuma a rács élhosszával lineárisan n. A 13. ábrán látható, hogy 2 dimenziós Ising modell esetén a korrelációs hosszak maximumai az élhosszal nagyjából lineárisan változnak. 1 Ae -x/k 0.1 korrelacio szomszed 12. ábra. Az O(2) modell korrelációs függvényére illesztett exponenciális T = 0.9 h mérsékleten és V = 30 2 térfogaton 22

25 3.5 Korrelációs függvények 3 EREDMÉNYEK 9 8 korrelacios hossz maximuma L (elhossz) 13. ábra. A korrelációs hosszak maximuma a h mérséklet függvényében 2 dimenziós Ising modell esetén V = 60 2 térfogattal 23

26 4 ÖSSZEFOGLALÁS 4. Összefoglalás Szakdolgozatomban bemutattam a Monte-Carlo módszerek alapvet algoritmusait és egyszer alkalmazásait néhány zikai modellen. Tettem ezt azért, mert ezek a szimulációs módszerek napjaink számítási kapacitásai mellett mind több helyen találnak alkalmazásra, ezért mindenképpen hasznos megismerkedni velük. Szakdolgozatom megírása során a motivációt mégis a zika adta, hiszen nagy számban fordulnak el olyan problémák, melyeknek nem ismerjük az egzakt megoldását, esetleg nincs is, ezért ezeket a problémákat csak numerikusan tudjuk kezelni, illetve megoldani. Ilyen számítások fordulnak el például a kvantumtérelméletben, amelynek kutatása napjain élvonalába tartozik. A kvantumtérelméletet a gyakorlatban egy rácson szimulálják, ezért lehetnek az általam vizsgált egyszer spinmodellek jó alternatívák, amelyeken Monte-Carlo módszereket tanulmányozhatom. Általában 2 dimenziós rácsokat vizsgáltam, a kvantumtérelméletben azonban szükség lesz tér és id dimenziókra, amelyek a rács méretét jelent sen megnövelik. A szakdolgozat elkészítése közben megtanultam az itt bemutatott módszerek lényegét, elméleti megalapozását. A dolgozatban bemutatott modelleket több algoritmussal is vizsgáltam, ezáltal megtanultam a módszereket alkalmazni, miközben kiismertem tulajdonságaikat és az alkalmazásuk közben felmerül problémákat, illetve lehetséges megoldásaikat. Foglalkoztam különböz módszerek autokorrelációjának számításával, ami legjobb mér száma az algoritmusok hatékonyságának. Ez alapján lehet levonni következtetéseket arra vonatkozóan, hogy egy-egy modell vagy probléma számításainál melyik a legmegfelel bb algoritmus. A dolgozat elkészítése során megszerzett ismeretek jó alapot adnak a további vizsgálódásokra a Monte-Carlo szimulációk irányában. 24

27 HIVATKOZÁSOK HIVATKOZÁSOK Hivatkozások [1] Wikipedia: Monte Carlo methods ( [2] I. Montvay and G. Münster: Quantum Fields on a Lattice (Cambridge University Press, 1994) [3] David P. Landau, Kurt Binder: A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics (Cambridge University Press, 2009, third edition) [4] Akira Ukawa: Lectures on lattice QCD at nite temperature, Uehling Summer School 1993: [5] Istrail, Sorin (2000), "Statistical mechanics, three-dimensionality and NPcompleteness. I. Universality of intractability for the partition function of the Ising model across non-planar surfaces (extended abstract)", Proceedings of the Thirty- Second Annual ACM Symposium on Theory of Computing, ACM, pp. 8796, MR [6] L. Onsager: A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition, Phys. Rev., Vol. 65, 1944, p.117 [7] S. H. Schenker, J. Tobochnik: Monte Carlo renormalization-group analysis of the classical Heisenberg model in two dimensions, Phys. Rev. B, Vol. 22, Nov. 1980, p.4462 [8] P. Olsson: Monte Carlo analysis of the two-dimensional XY model. II. Comparison with the Kosterlitz renormalization-group equations, Phys. Rev. B, Vol. 52, Aug. 1995, p.4526 [9] N. D. Mermin, H. Wagner: Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic Heisenberg models, Phys. Rev. Lett., Vol.17, 1966, p

28 A JACKKNIFE MÓDSZER A. Jackknife módszer Numerikus szimulációkban a célunk egy zikai mennyiség meghatározása. A zikai mennyiséghez hiba is tartozik melynek meghatározása fontos feladat. Ezen bizonytalanság meghatározása lehet ség szerint minél több adat szórásából történik, amely adatokat a szimuláció többszöri megismétlésével nyerhetnénk. A gyakorlatban gyakran nem áll rendelkezésre elegend er forrás ahhoz, hogy a szimulációt megismételjük. A jackknife módszer lényege, hogy a szimuláció egyszeri futtatása során keletkezett adatokat úgy használhatjuk fel, mintha több futtatásból keletkeztek volna. Ez lehet vé teszi, hogy kiszámíthassuk bizonyos mennyiségek bizonytalanságát. Legyen egy mennyiségünk A amelyet a szimuláció során N-szer mintavételeztünk (A 1, A 2,...,A N ). Ezen mennyiségek átlaga N Ā = 1 N i=1 A i Bevezetjük a jackknife átlagot, amit minden egyes mintához hozzárendelhetünk úgy, hogy az átlagból kihagyjuk azt az egy mintát: A J(s) = 1 N 1 Ezzel kaptunk N különböz átlagot. Ha az A mennyiségnek valamilyen y (A) függvényét szeretnénk meghatározni, akkor a legjobb becslése ȳ = y ( Ā ). Érdekel minket y szórása ȳ körül. Ennek meghatározásához elkészítjük y jackknife becsléseit is: y J(s) = y ( A J(s) ) ezekkel pedig y jackknife átlaga: ȳ J = 1 N J ahol N J y jackknife becsléseinek száma. Itt úgy számoltunk, hogy a jackknife átlagból csupán egy A s mintát hagyunk ki, de kihagyhatunk több mintát is. Ha például 5 mintát hagyunk ki, akkor a jackknife átlagok száma N J = N/5 lesz. Az y mennyiség szórásának egy becslését számíthatjuk ki a jackknife átlagok segítségével σ 2 J = N J 1 N J N j i=1 N J i=1 i s y J(i) A i ( yj(i) ȳ J ) 2 Speciális esetben, ha y (A) = A, akkor σ 2 J pont az A mennyiség szórása lesz. [2] 26

29 NYILATKOZAT Név: Láz József András ELTE Természettudományi Kar, szak: ETR azonosító: LAJPAAT.ELTE Szakdolgozat címe: Monte-Carlo szimulációk fizika BSc A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelelő idézés nélkül nem használtam fel. Budapest, 2010 május a hallgató aláírása