Császár Szilvia. Exponenciális dichotómia

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Császár Szilvia Exponenciális dichotómia BSc szakdolgozat Témavezet : Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest, 2015

Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani Dr. Kovács Sándornak, hogy lehet séget adott nekem a szakdolgozat témájának megismerésére, feldogozására, és hogy a konzultációk alkalmával a dierenciálegyenletekhez kapcsolódó ismereteimet is b vítette, ami nélkülözhetetlen volt a dolgozat írásakor. Továbbá hálás vagyok, hogy bármikor rendelkezésemre állt, és választ adott a felmerül kérdéseimre. Budapest, 2015. május 31. Császár Szilvia 1

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. Alapfogalmak 5 2.1. Lineáris dierenciálegyenlet-rendszerek megoldása............. 5 2.2. Sajátértékek.................................. 7 2.3. Floquet-elmélet alapjai............................ 8 2.4. Stabilitás................................... 12 3. Exponenciális dichotómia 19 3.1. Deníciók................................... 19 3.2. Alapvet állítások............................... 26 3.3. (µ 1, µ 2 ) dichotómia.............................. 40 4. Exponenciális dichotómia létezése 43 4.1. Állandó együtthatós eset........................... 43 4.2. Periodikus együtthatómátrixszal deniált rendszer............. 50 4.3. Perturbált rendszer.............................. 52 5. Diszkrét idej rendszer exponenciális dichotómiája 64 6. A dichotómia és a stabilitás kapcsolata 72 Irodalomjegyzék 76 2

1. Bevezetés Dierenciálegyenlet-rendszerek vizsgálatakor fontos szempont az adott rendszer megoldásainak aszimptotikus viselkedése, illetve stabilitása. Legyen Ω R n tartomány, f C 1 (Ω, R n ), ξ Ω. Ismeretes, hogy az ẋ = f x (1.1) autonóm rendszer ξ egyensúlyi helyzete (f(ξ) = 0 R n ) aszimptotikusan stabilis, ha az f (ξ) Jacobi-mátrix minden sajátértékének valós része negatív. Legyen A C(R, R n n ) és tekintsük az ẋ = Ax (1.2) nem-autonóm rendszert. Az (1.2) rendszer esetében beszélhetünk a rendszer stabilitásáról, ugyanis megmutatható (vö. [2]), hogy lineáris dierenciálegyenlet-rendszer tetsz leges megoldása pontosan akkor stabilis, aszimptotikusan stabilis, ill. labilis, ha a triviális megoldása tehát a ξ = 0 R n egyensúlyi helyzete stabilis, aszimptotikusan stabilis, ill. labilis. Létezik azonban olyan homogén nem-autonóm rendszer, melyre az el bb említett, a Jacobi-mátrix sajátértékeit vizsgáló módszer nem használható. Egy ilyen a klasszikus Markus-Yamabe példa is (vö.: [1]). Legyen az (1.2) rendszer együtthatómátrixa A(t) = 2 + 2cos2 (t) 1 sin(2t) (t R) 1 sin(2t) 2 + 2sin 2 (t) alakú. Ekkor minden t R esetén A mindkét sajátértéke 1, ugyanis rögzített t esetén A karakterisztikus polinomja: z 2 sp(a)z + det(a) = z 2 + 2z + 1 = (z + 1) 2 (z C). Azonban a rendszer ϕ(t) = et cos(t) (t R) (1.3) e t sin(t) megoldása nem stabilis, ugyanis látni fogjuk majd a 2.1. következményben, hogy lineáris rendszerek esetében a stabilitásból következik a megoldások korlátos volta. Az (1.3)-ban megadott ϕ megoldás azonban nyilvánvalóan nem korlátos. 3

Tehát nem-autonóm rendszerek ilyenfajta vizsgálatát máshogy kell megközelítenünk. Az exponenciális dichotómia fogalma a stabilitás, ill. az aszimptotikus stabilitás fogalmának egy lehetséges általánosítását kínálja. O. Perron: Die Stabilitätsfrage bei Dierentialgleichungen cím 1930-ban megjelent cikke az exponenciális dichotómia kiindulóállomásaként is tekinthet. Ennek megjelenése után számos más szerz tanulmányozta a fogalmat, különböz deníciók léteznek, tételek, melyek szükséges és elégséges feltételeit adják az említett fogalom létezésének. Továbbá több elméleti illetve alkalmazott problémában is szerepet játszik az exponenciális dichotómia fogalma, illetve annak számos következménye. Egyik alkalmazása a stabilitás fogalmának általánosítása, illetve meghatározása nemautonóm rendszerek esetében, err l legtöbbet Coppel munkáiból ([4], [5], [6]) olvashatunk. Ezen túl példaként említhetjük még a lokális Hartman-Grobman tétel bizonyítását nem-autonóm lineáris rendszerekre (vö.: [3]). A dolgozat f témája az exponenciális dichotómia deniálása, létezése szükséges és elégséges feltételeinek adása különböz alakú lineáris dierenciálegyenlet-rendszerek esetében. A 3. fejezetben három különböz, de ekvivalens deníciót mutatunk, majd bizonyítunk néhány állítást, melyek általában valamelyik denícióból adódnak. Majd a 4. fejezetben 3 különböz esetben vizsgáljuk az exponenciális dichotómia létezését, minden esetben egy vagy több példában szemléltetve az adott módszert. Az 5. fejezetben diszkrét idej lineáris rendszer exponenciális dichotómiáját deniáljuk, itt is több ekvivalens megfogalmazásban. A 6. fejezetben pedig visszatérünk a stabilitás kérdéséhez, és néhány összefüggést mutatunk a stabilitás, ill az aszimptotikus stabilitás és a közönséges, ill. az exponenciális dichotómia között. 4

2. Alapfogalmak 2.1. Lineáris dierenciálegyenlet-rendszerek megoldása Adott n N és J R intervallum, tekintsük az A C(J, R n n ), ill. az f C(J, R n ) függvényekkel megadott ẋ = Ax + f (2.4) els rend inhomogén lineáris dierenciálegyenlet-rendszert, illetve a hozzá tartozó ẋ = Ax (2.5) homogén lineáris dierenciálegyenlet-rendszert. 2.1. Tétel. A homogén lineáris dierenciálegyenlet-rendszer (f 0) M 0 megoldáshalmaza n-dimenziós altere C 1 (J, R n )-nek. Így mivel M 0 véges dimenziós vektortér a homogén rendszer tetsz leges ϕ megoldásának el állításához elegend M 0 egy bázisát ismerni, azaz a homogén rendszernek n darab lineárisan független µ 1,..., µ n megoldását meghatározni. Ekkor ugyanis pontosan egy olyan α := (α 1,..., α n ) R n vektor van, hogy ϕ(t) = n α k µ k (t) k=1 (t J). 2.1. Deníció. A homogén rendszer esetében 1. az M 0 egy bázisát a homogén rendszer egy alaprendszerének nevezzük; 2. a Φ : J R n n mátrixérték függvényt a homogén rendszer alapmátrixának nevezzük, ha Φ oszlopai a homogén rendszer alaprendszerét alkotják, azaz ha µ 1,..., µ n alaprendszer, akkor Φ := [µ 1,..., µ n ] (2.6) alapmátrix. Ha Φ alapmátrix, akkor a denícióból következik, hogy det(φ(t)) 0 és Φ(t) = A(t)Φ(t) (t J). 5

2.1. Állítás. (Alapmátrix tulajdonságai) Ha Φ alapmátrixa a (2.5) rendszernek, akkor 1. tetsz leges c R n esetén ϕ := Φc megoldása a (2.5) rendszernek; 2. tetsz leges C R n n : det(c) 0 esetén ΦC is alapmátrixa a (2.5) rendszernek; 3. Ha Ψ is alapmátrixa a (2.5) rendszernek, akkor van olyan C R n n : det(c) 0, hogy Φ = ΨC; 4. Ha Ψ is alapmátrixa a (2.5) rendszernek, akkor Φ(t)Φ 1 (τ) = Ψ(t)Ψ 1 (τ) (t, τ J). Ismeretes, hogy tetsz leges (τ, ξ) J R n esetén az ẋ = Ax + f, x(τ) = ξ els rend lineáris kezdeti érték feladat teljes megoldása: ϕ(t) = Φ(t) { [Φ(τ)] 1 ξ + t τ [Φ(s)] 1 b(s)ds } 2.2. Deníció. Ha Φ alapmátrixa a (2.5) rendszernek, akkor a (t J). Λ(t, τ) := Φ(t)Φ 1 (τ) (t, τ J) mátrixot a (2.5) rendszer Cauchy-mátrixának nevezzük. Így a (2.4) teljes megoldás a alakban is felírható. ϕ(t) = Λ(t, τ)ξ + t τ Λ(t, s)b(s)ds (t J) 2.2. Állítás. (Cauchy-mátrix tulajdonságai) 1. A Cauchy-mátrix független az alaprendszer választásától. 2. Tetsz leges t, τ J esetén det(λ(t, τ)) 0. 6

3. Tetsz leges t, τ J esetén d Λ(t, τ) = A(t)Λ(t, τ). dt 4. Tetsz leges τ, σ, ρ J esetén Λ(τ, τ) = E n, Λ(τ, σ)λ(σ, ρ) = Λ(τ, ρ). A továbbiakban legyen J = [t 0, + ) (t 0 0) és jelölje Φ a homogén rendszer azon alapmátrixát, melyre Φ(t 0 ) = I teljesül. 2.2. Sajátértékek Legyen A R n n, jelölje I n az n n-es egységmátrixot, Θ n pedig az n n-es nullmátrixot. Az A sajátértékeinek halmaza, spektruma: σ(a) := {z C : zi n A szinguláris}, λ σ(a) χ A (z) = 0, ahol χ A (z) := det(zi n A) = ( 1) n det(a zi n ) (z C) az A karakterisztikus polinomja. A sajátértékek ismeretében a karakterisztikus polinom a következ képpen írható fel: ahol σ(a) = {λ 1,... λ r } = χ A (z) = ( 1) n n 1 + + n r = n, r (λ k z) n k (z C), k=1 r n k λ k = sp(a), k=1 n k=1 λ n k k = det(a), n k neve a λ k sajátérték algebrai multiplicitása. Tehát algebrai multiplicitással számolva n n-es mátrixnak pontosan n db sajátértéke van, és a sajátértékek összege az A nyoma, szorzata a determinánsa. 7

2.2. Tétel. (Cayley-Hamilton) A karakterisztikus polinom annullálja a mátrixot, azaz χ A (A) = Θ n. 2.1. Megjegyzés. Legyen p(z) := a 0 + a 1 z + + a k 1 z k 1 + a k z k (z C). Ekkor a p polinomnak az A R n n helyen vett helyettesítési értékén a p(a) := a 0 I n + a 1 A + + a k 1 A k 1 + a k A k mátrixot értjük. Az A minimálpolinomja (µ A ) az a legkisebb fokszámú, de legalább els fokú polinom, amely a mátrixot annullálja, azaz amelyre µ A (A) = Θ. 2.3. Tétel. A minimálpolinomjának gyökei A sajátértékei és A minden sajátértéke el fordul a gyökök között: χ A (λ) = 0 µ A (λ) = 0. A λ k sajátérték geometriai multiplicitása: g λk := dim Ker(A λ k I n ). 2.2. Megjegyzés. 1 g λk a λk és g λk = a λk λ k egyszeres gyöke µ A nak. 2.3. Floquet-elmélet alapjai Az exponenciális dichotómia létezéséhez szükséges és elégséges feltétel kimondásához és megértéséhez periodikus együttható mátrixú lineáris rendszer esetében szükség lesz a periodikus mátrixokkal kapcsolatos néhány alapvet eredményre a Floquet-elméletb l. Ezek megtalálhatóak [2]-ben. Legyen A C([0, + ), R n ) T -periodikus mátrixérték függvény (T > 0), azaz A(t + T ) = A(t) (t [0, )), 8

és tekintsük az ẋ = Ax (2.7) homogén lineáris rendszert. 2.3. Állítás. Ha Φ(t) (t [0, + )) alapmátrixa a (2.7) rendszernek, akkor Φ(t + T ) (t [0, + )) is alapmátrixa, azaz létezik C R n n, hogy Φ(t + T ) = Φ(t)C (t [0, + )), ahol C = Φ 1 (0)Φ(T ). Bizonyítás: Ha Φ alapmátrix, akkor Φ(t) = A(t)Φ(t) (t [0, + )), így az egyenletet felírva t + T -re kapjuk, hogy Φ(t + T ) = A(t + T )Φ(t + T ) (t [0, + )). Az együtthatómátrix periodikusságából Φ(t + T ) = A(t)Φ(t + T ) (t [0, + )), továbbá det Φ(t + T ) 0, azaz Φ(t + T ) is alapmátrix. Ekkor a 2.1. állítás 3. pontjának értelmében létezik olyan C R n n, hogy Φ(t + T ) = Φ(t)C (t [0, + )). (2.8) Ezt az egyenletet t = 0-ra alkalmazva: Φ(T ) = Φ(0)C = C = Φ 1 (0)Φ(T ). A 2.3. állításból következik, hogy C = Φ(T ), mivel feltettük, hogy Φ azt az alapmátrixot jelöli, melyre Φ(0) = I. Ezt visszaírva a (2.8) egyenl ségbe kapjuk, hogy Φ(t + T ) = Φ(t)Φ(T ) (t [0, + )). A C mátrixot a rendszer monodrómia mátrixának, vagy f mátrixának nevezzük. 9

2.3. Deníció. (i) A monodrómia mátrix λ 1,... λ n sajátértékeit a (2.7) rendszer karakterisztikus multiplikátorainak (vagy karakterisztikus tényez inek) nevezzük. (ii) A µ 1,... µ n számok a (2.7) rendszer karakterisztikus kitev i (vagy Floquet kitev i), ha teljesül rájuk, hogy λ 1 = exp{µ 1 T },..., λ n = exp{µ n T }. 2.4. Állítás. A karakterisztikus multiplikátorok egyértelm en meghatározottak, azaz ha C és C is monodrómia mátrixa a (2.7) rendszernek, akkor σ(c) = σ( C). Bizonyítás: Legyen Φ a (2.7) rendszer egy másik alapmátrixa, és legyen C az ehhez tartozó monodrómia mátrix, azaz C = Φ 1 (0) Φ(T ). Mivel Φ is alapmátrix, létezik egy reguláris U mátrix, hogy Φ = ΦU, és így C = Φ 1 (0) Φ(T ) = U 1 Φ 1 (0)Φ(T )U = U 1 CU, tehát C és C hasonlóak, így a sajátértékeik megegyeznek. 2.3. Megjegyzés. A karakterisztikus kitev k komplex értékek is lehetnek, és így ezek nem egyértelm en meghatározottak, mivel az exponenciális függvény 2πi szerint periodikus, ha értékkészlete C, azaz ha µ karakterisztikus kitev, akkor µ + k 2πi, (k Z) is T karakterisztikus kitev, ugyanis exp{µt } = exp{µt + k2πi} = exp{(µ + k 2πi )T }. T 2.4. Tétel. (Floquet) Tegyük fel, hogy a (2.7) rendszer együtthatómátrixa 2T periodikus. Ekkor létezik B R n n és P C 1 ([0, + ), R n n ) 2T -periodikus, P (0) = I-t teljesít függvény úgy, hogy a (2.7) rendszer alapmátrixa el áll Φ(t) = P (t)e Bt (t [0, + )) alakban. 10

Bizonyítás: Legyen B az a mátrix, amelyre e B2T = C 2 = Φ(2T ), ahol C a rendszer monodrómia mátrixa. Így az alapmátrixot Φ(t) = Φ(t)e Bt e Bt (t [0, + )) alakban felírva látható, hogy P (t) := Φ(t)e Bt (t [0, + )) választással kapjuk a tételben szerepl állítást, ha az így deniált P rendelkezik a tételben megadott tulajdonságokkal. Nyilván P (0) = Φ(0)e B0 = I, így már csak azt kell megmutatnunk, hogy P 2T -periodikus. P (t + 2T ) = Φ(t + 2T )e B(t+2T ) = = Φ(t)Φ(2T )e B2T e Bt = = Φ(t)e B2T e B2T e Bt = = Φ(t)e Bt = P (t) (t [0, + )). 2.5. Tétel. Tegyük fel, hogy a (2.7) rendszer együtthatómátrixa 2T -periodikus (T > 0). Ekkor létezik P C 1 ([0, + ), R n n ) 2T -periodikus, P (0) = I-t teljesít függvény úgy, hogy az x = P y 11

koordináta-transzformációval a (2.7) rendszer az ẏ = By állandó együtthatós rendszerbe vihet. Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy a 2.4. tételben deniált P függvény illetve B mátrix teljesítik ezeket a feltételeket. A P y + P ẏ = ẋ = Ax = AP y egyenl séget átrendezve az ẏ = P 1 (AP P )y azonosságot kapjuk. Ennek együtthatómátrixát átrendezve tetsz leges t [0, + ) esetén a P 1 (t)(a(t)p (t) P (t)) = (Φ(t)e Bt ) 1 [A(t)(Φ(t)e Bt ) (Φ(t)e Bt ) ] = = e Bt Φ 1 (t)[a(t)φ(t)e Bt Φ(t)e Bt + Φ(t)Be Bt ] = = e Bt Φ 1 (t)φ(t)be Bt = B egyenl séget kapjuk, tehát a megadott koordináta-transzformáció a rendszert valóban az ẏ = By rendszerbe viszi. 2.4. Stabilitás Mint hogy azt már a bevezet ben említettük, a dolgozat utolsó fejezetében megvizsgáljuk az exponenciális dichotómia és a stabilitás kapcsolatát. Ehhez szükségünk lesz majd néhány, a stabilitással kapcsolatos denícióra, tételre. 12

2.4. Megjegyzés. A dolgozat során, ha külön nem említünk módosítást, akkor a : R n R (2.9) jelölje az euklideszi normát, azaz x R n esetén x = n x 2 i, i=1 illetve az : R n n R (2.10) jelölje az euklideszi norma által indukált mátrixnormát, azaz A R n n esetén A = (λ max (A T A)) 1 2, ahol λ max (A T A) jelöli az A T A mátrix legnagyobb sajátértékét. A V indukált M mátrixnorma a következ képpen deniált: { } Ax V A M := sup : x R n, x 0 x V A dolgozatban használni fogjuk még az x 1 = n x i (x R n ), i=1 (A R n n ). vektornorma által x = max{ x i : i = 1,..., n} (x R n ) vektornormák által indukált A 1 A n = max{ a ij : j = 1,..., n}, i=1 n = max{ a ij : i = 1,..., n} j=1 mátrixnormákat, ahol A R n n. Legyen Ω R R n tartomány, f C 1 (Ω, R n ), és tekintsük az ẋ = f (id, x) (2.11) 13

dierenciálegyenlet-rendszert. (τ, ξ) Ω esetén a (2.11) rendszer x(τ) = ξ kezdeti feltételt teljesít megoldását jelölje ϕ( ; τ, ξ), és ennek értelmezési tartományát jelölje az I(τ, ξ) R intervallum. 2.4. Deníció. Legyen t 0 R, τ (t 0, + ). A (2.11) egy µ : (t 0, + ) R n megoldását Ljapunov értelmében stabilisnak nevezzük, ha minden ε > 0-hoz van olyan δ = δ(ε) > 0, hogy tetsz leges ξ R n, ξ µ(τ) < δ esetén, [τ, + ) I(τ, ξ) és ϕ(t; τ, ξ) µ(t) < ε (t [τ, + )). µ-t labilisnak nevezzük, ha nem stabilis. 2.5. Deníció. Legyen t 0 R, τ (t 0, + ). A (2.11) egy µ : (t 0, + ) R n megoldását aszimptotikusan stabilisnak nevezzük, ha stabilis és van olyan η > 0, hogy tetsz leges esetén [τ, + ) I(τ, ξ) és ξ R n, ξ µ(τ) < η lim ϕ(t; τ, ξ) µ(t) = 0. t + 2.6. Tétel. A (2.11) rendszer µ : (t 0, + ) R n megoldása pontosan akkor stabilis ill. aszimptotikusan stabilis, ha az ẏ(t) = f(t, y(t) + µ(t)) f(t, µ(t)) (t (t 0, + )) (2.12) rendszernek a (t 0, + ) intervallumon értelmezett triviális megoldása stabilis ill. aszimptotikusan stabilis. 14

Bizonyítás: Az y := x µ helyettesítéssel a (2.11) rendszer az ẏ = ẋ µ = f (id, x) f (id, µ) = f (id, y + µ) f (id, µ) alakot ölti, ami megegyezik a (2.12) rendszerrel. Továbbá a µ : (t 0, + ) R n megoldása a (2.11) rendszernek megegyezik a (2.12) rendszer (t 0, + ) intervallumon értelmezett triviális megoldásával. 2.7. Tétel. Legyen t 0 [, + ), A C((t 0, + ), R n n ), f C((t 0, + ), R n ). Ekkor az ẋ = Ax + f (2.13) lineáris rendszer tetsz leges megoldása pontosan akkor stabilis, ill. aszimptotikusan stabilis, ha a homogén rendszer triviális megoldása stabilis, ill. aszimptotikusan stabilis. Bizonyítás: Ha µ : (t 0, + ) R n a (2.13) megoldása, akkor az ẏ = [A(y + µ) + f] [Aµ + f] = Ay rendszer éppen a (2.13) rendszerhez tartozó homogén rendszer. Így az el z tételt alkalmazva kapjuk ezen tétel bizonyítását. Így lineáris rendszerek esetében beszélhetünk a rendszer stabilitásáról, ill. aszimptotikus stabilitásáról. 2.5. Állítás. A (2.13) rendszerhez tartozó homogén rendszer pontosan akkor 1. stabilis, ha minden s t 0 -hoz létezik K > 0 konstans úgy, hogy Φ(t)Φ 1 (s) K (t s) teljesül, illetve 2. aszimptotikusan stabilis, ha minden s t 0 -hoz létezik K, α > 0 konstans úgy, hogy Φ(t)Φ 1 (s) Ke α(t s) (t s). 15

A 2.5. állítás 1. pontjának következménye az alábbi, mely a korlátos megoldások létezésével határozza meg a (2.5) rendszer stabilitását. 2.1. Következmény. A (2.5) rendszer pontosan akkor stabilis, ha minden megoldása korlátos, azaz ha minden µ : [t 0, + ) R n megoldáshoz létezik K 0, hogy tetsz leges t [t 0, + ) esetén µ(t) K. Bizonyítás: 1. lépés: Tegyük fel, hogy a (2.5) rendszer stabilis. Ekkor a 2.5. állítás 1. pontja alapján tetsz leges t [t 0, + ) esetén létezik K > 0 konstans, hogy Φ(t)Φ 1 (t 0 ) K. (2.14) Indirekt tegyük fel, hogy a ξ R n pontból induló µ(t) = Φ(t)Φ 1 (t 0 )ξ (t t 0 ) megoldása a rendszernek nem korlátos. A (2.14) egyenl tlenség miatt azonban igaz a µ(t) Φ(t)Φ 1 (t 0 )ξ Φ(t)Φ 1 (t 0 ) ξ K ξ (t t 0 ) egyenl tlenség, így ellentmondásra jutottunk. 2. lépés: Tegyük fel, hogy minden megoldás korlátos. Ekkor tetsz leges alaprendszert választva az alaprendszerben lév megoldások is korlátosak, így az ezekb l alkotott alapmátrix is korlátos. Azaz tetsz leges Φ alapmátrixhoz létezik K > 0 konstans, hogy tetsz leges t t 0 esetén Φ(t)Φ 1 (t 0 ) K. A rendszer tetsz leges megoldása µ(t) = Φ(t)Φ 1 (t 0 )ξ (t t 0 ) alakú, ahol ξ R n alkalmas konstans vektor. Így minden t t 0 esetén µ(t) = Φ(t)Φ 1 (t 0 )ξ Φ(t)Φ 1 (t 0 ) ξ K ξ. (2.15) 16

Ha ε > 0 rögzített, akkor δ := ε választással ha K µ(t 0 ) 0 = ξ 0 δ teljesül, akkor a (2.15) egyenl tlenség miatt tetsz leges t t 0 esetén µ(t) 0 K ξ < K ε K = ε, azaz a (2.5) rendszer triviális megoldása stabilis, így a (2.5) rendszer stabilis. A bevezet ben láttunk egy példát, amelynél a stabilitás megállapításához nem használható a Jacobi-mátrix sajátértékeit vizsgáló módszer. A következ példa (vö.: [4]) is egy ilyen ellenpélda hivatott lenni, de most a 2.5. állítás segítségével mutatjuk meg hogy a példában szerepl rendszer nem stabilis. 2.1. Példa. Tekintsük a (2.5) rendszert, és tegyük fel, hogy a rendszer együtthatómátrixa A(t) = U 1 (t)a 0 U(t) (t R) módon deniált, ahol A 0 = 1 5, U(t) = cos(t) 0 1 sin(t) sin(t) cos(t) (t R). Ekkor minden t R esetén A és A 0 hasonlóak, így A mindkét sajátértéke 1. A rendszer alapmátrixa: Φ(t) = et (cos(t) + 1 sin(t)) 2 e 3t (cos(t) 1 sin(t)) 2 (t R), e t (sin(t) 1 cos(t)) 2 e 3t (sin(t) + 1 cos(t)) 2 az alapmátrix inverze: Φ 1 (t) = e t (sin(t) + 1 cos(t)) 2 e 3t (sin(t) 1 cos(t)) 2 e t (cos(t) 1 sin(t)) 2 e3t (cos(t) + 1 sin(t)) 2 (t R). A Φ(t)Φ 1 (s) 1 normát kiszámolva látszik, hogy a rendszer labilis a 2.5. állítás alapján, ugyanis az említett norma Φ(t)Φ 1 (s) 1 = K 1 e t s + K 2 e 3(t s) (t s) 17

alakú, ahol K 1, K 2 > 0 konstansok. Így rögzített s R esetén lim t + Φ(t)Φ 1 (s) = +, azaz nem teljesül rá a 2.5. állítás egyik pontja sem, így a példában megadott rendszer nem stabilis. A következ példában pedig a bevezet ben látott példához hasonlóan a 2.1. következményt felhasználva mutatjuk meg, hogy az adott rendszer nem stabilis, annak ellenére, hogy minden sajátértékének valós része negatív. 2.2. Példa. Tekintsük a (2.5) rendszert, és tegyük fel, hogy együtthatómátrixa 1 2 cos(4t) A(t) = 2 + 2 sin(4t) (t R) 2 + 2 sin(4t) 1 + 2 cos(4t) alakú. Tetsz leges t R esetén A mindkét sajátértékének valós része negatív, ugyanis karakterisztikus polinomja z 2 sp(a)z + det(a) = z 2 + 2z + 1 = (z + 1) 2 (z C). Azonban a ϕ(t) = et sin(2t) (t R) e t cos(2t) megoldás nem korlátos, így a bevezet ben látott példához hasonlóan a 2.1. következmény miatt a rendszer triviális megoldása nem stabilis, így a rendszer nem stabilis. 18

3. Exponenciális dichotómia Legyen J R intervallum, A C(J, R n n ), és tekintsük az ẋ = Ax (3.16) homogén lineáris dierenciálegyenlet-rendszert. A (3.16) rendszer esetében deniáljuk az exponenciális dichotómia fogalmát, majd néhány, a deníciókhoz kapcsolódó alapvet állítást mondunk ki. 3.1. Deníciók Különböz szerz knél különböz deníciókkal találkozhatunk, nézzünk meg ezek közül most hármat. Az els deníció megtalálható [3]-ban. 3.6. Deníció. (Exponenciális dichotómia) Legyen Φ a (3.16) rendszer alapmátrixa. Ha tetsz leges t, s J esetén Φ(t) és Φ 1 (s) felbontható a következ képpen: Φ(t) Φ 1 (s) Φ(t)Φ 1 (s) = Φ 1 (t) + Φ 2 (t), = Ψ 1 (s) + Ψ 2 (s), = Φ 1 (t)ψ 1 (s) + Φ 2 (t)ψ 2 (s), (3.17) és léteznek K, α > 0 konstansok úgy, hogy Φ 1 (t)ψ 1 (s) Ke α(t s) (t s), Φ 2 (t)ψ 2 (s) Ke α(t s) (s t) (3.18) ahol Φ 1 (t) = [ Φ 11 (t) ] [ Θ, Φ 2 (t) = Θ ] Φ 12 (t), Ψ 1 (s) = Ψ 11(s), Ψ 2 (s) = Θ, Θ Ψ 12 (s) (3.19) akkor azt mondjuk, hogy a (3.16) rendszernek exponenciális dichotómiája van a J intervallumon a K, α konstansokkal. A második deníció sokkal elterjedtebb a szakirodalomban, megtalálható például [4]-ben. 19

3.7. Deníció. (Exponenciális dichotómia) Legyen Φ a (3.16) rendszer alapmátrixa. Ha léteznek K 1, K 2, α 1, α 2 > 0 konstansok és P projekció úgy, hogy minden t, s J esetén teljesülnek a Φ(t)P Φ 1 (s) K 1 e α 1(t s) (t s), Φ(t)(I P )Φ 1 (s) K 2 e α 2(s t) (s t) (3.20) egyenl tlenségek, akkor azt mondjuk, hogy a (3.16) rendszernek exponenciális dichotómiája van a J intervallumon a K 1, K 2, α 1, α 2 konstansokkal és P projekcióval. 3.5. Megjegyzés. Ha a (3.20)-ban megadott egyenl tlenségek α 1 = 0 és α 2 = 0 konstansokkal teljesülnek, akkor azt mondjuk, hogy a (3.16) rendszernek közönséges dichotómiája van. A harmadik deníció a 3.7. denícióhoz hasonló, annál azonban kicsit általánosabb (vö.: [7]). 3.8. Deníció. (Exponenciális dichotómia) Azt mondjuk, hogy a (3.16) rendszernek exponenciális dichotómiája van a [t 0, + ) intervallumon, ha léteznek P (t) projekciók (t t 0 ), és K > 0, α 1 < α 2 konstansok úgy, hogy Λ(t, s)p (s) = P (t)λ(t, s) (t, s t 0 ), (3.21) továbbá teljesülnek a Λ(t, s)p (s) Ke α 1(t s) (t s t 0 ), Λ(s, t)(id P (t) Ke α 2(s t) (t s t 0 ) (3.22) egyenl tlenségek, ahol Λ a (3.16) rendszer Cauchy-mátrixa. 3.6. Megjegyzés. A 3.7. és a 3.8. deníciók közötti különbség, hogy míg az el bbiben szerepelt kikötés α 1, α 2 el jelére, addig az utóbbiban nem, így ebb l a szempontból mondható általánosabbnak a 3.8. deníció. A következ kben megmutatjuk, hogy a fenti 3 deníció ekvivalens, feltéve az el bb említett el jel megszorítást. 20

3.6. Állítás. Ha a 3.8. deníció feltételeit kiegészítjük az α 1 < 0 < α 2 el jel megszorítással, akkor a 3.6., 3.7. és 3.8. deníciók ekvivalensek. Bizonyítás: 1. A 3.7. és 3.6. deníciók ekvivalenciája: 1. lépés: Tegyük fel, hogy a 3.7. deníció teljesül K 1, K 2, α 1, α 2 > 0 konstansokkal és P projekcióval. Vegyük P Jordan-felbontását. Megmutatható, hogy σ(p ) = {0, 1}, ugyanis λ σ(p ), ha létezik x 0 vektor, hogy és mivel P projekció (P 2 = P ), így P x = λx, P 2 x = λx λp x = λx λ 2 x = λx λ(λ 1)x = 0. Az x 0 kikötés miatt λ = 0 vagy λ = 1. Továbbá létezik n független sajátvektor, azaz a Jordan blokkokat tartalmazó mátrixban nincs λ 1 λ... J =... 1 λ alakú blokk, mert erre nem teljesül a J 2 = J azonosság, így ha lenne ilyen blokk, akkor P -re sem teljesülne az azonosság, ami ellentmondás lenne. Így a Jordan alak felírható a következ képpen: P = V J k V 1, ahol V oszlopai a sajátvektorok, és J k = I k Θ Θ, Θ ha P -nek az 1 k-szoros sajátértéke. Ez a felbontás adja a Φ(t)P Φ 1 (s) (s, t [t 0, + )) mátrix egy alkalmas felbontását, amivel teljesül a 3.6. deníció. Legyen t, s [t 0, + ) tetsz leges, ekkor Φ(t)P Φ 1 (s) = Φ(t)V J k V 1 Φ 1 (s) = Φ(t)J Φ 1 k (s) = Φ(t)J k J Φ 1 k (s), (3.23) 21

ahol Φ = ΦV (3.24) szintén alapmátrix. Vegyük észre, hogy ΦJ k = Φ 11 Φ 21 Φ12 Φ22 J k = Φ 11 Φ 21 Θ, Θ így Φ 1 := Φ 11 Φ 21 Θ Θ választással pontosan olyan alakú mátrixot kapunk, ami a 3.6. denícióban szerepel. Hasonlóan J Φ 1 k = J k Φ 1 11 Φ 1 21 Φ 1 12 Φ 1 22 = Φ 1 11 Φ 1 12, Θ Θ így a 3.6. denícióban szerepl Ψ 1 mátrixot válasszuk a Ψ 1 := Φ 1 11 Φ 1 12 Θ Θ módon. Hasonlóan tetsz leges s, t [t 0, + ) esetén tekintsük a Φ(t)(I P )Φ 1 (s) = Φ(t)V (I J k )V 1 Φ 1 (s) = ΦJ n k J n k Φ 1 (3.25) felbontást, ahol Φ (3.24)-ben deniált, és J n k = Θ Θ Θ. I n k Így illetve ΦJ n k = Φ 11 Φ 21 J n k Φ 1 = J n k Φ12 Φ22 Φ 1 11 Φ 1 21 J n k = Θ Φ 12 Θ Φ, 22 Φ 1 12 Φ 1 22 = Θ Φ 1 21 Θ, Φ 1 22 22

így természetes módon adódik a Φ 2 := Θ Φ 12 Θ Φ, 22 és a Ψ 2 := Θ Φ 1 21 Θ választás. Az így deniált mátrixok teljesítik a (3.17) és a (3.19) feltételeket. Továbbá a (3.23) és (3.25) egyenl ségek miatt a (3.18) egyenl tlenségek teljesülése közvetlenül adódik a (3.20) egyenl tlenségekb l. 2. lépés: Tegyük fel, hogy a 3.6. deníció teljesül K, α > 0 konstansokkal, és hogy a Φ alapmátrix, illetve annak inverze felbontható Φ 1 22 Φ = Φ 1 + Φ 2, Φ 1 = Ψ 1 + Ψ 2 alakban, ahol tetsz leges t, s [t 0, + ) esetén [ ] Φ 1 (t) = Φ 11 (t) Θ), Φ 2 (t) = [ Θ ] Φ 12 (t), Ψ 1 (s) = Ψ 11(s), Ψ 2 (s) = Θ. Θ Ψ 12 (s) Tegyük fel továbbá, hogy Φ 11 (t) R n k (t [t 0, + ), k n) ekkor a (3.17) azonosságok miatt Ψ 11 (t) R k n (t [t 0, + )). Ekkor a 3.7. deníció teljesül a K 1 := K, K 2 := K, α 1 := α, α 2 := α konstansokkal és a P = I k Θ Θ Θ projekcióval ugyanis tetsz leges s, t [t 0, + ) esetén teljesülnek a következ azonosságok: Φ(t)P Φ 1 (s) = (Φ 1 (t) + Φ 2 (t))p (Ψ 1 (s) + Ψ 2 (s)) = = Φ 1 (t)p Ψ 1 (s) = = Φ 1 (t)ψ 1 (s), 23

és Φ(t)(I P )Φ 1 (s) = (Φ 1 (t) + Φ 2 (t))(i P )(Ψ 1 (s) + Ψ 2 (s)) = = Φ 2 (t)(i P )Ψ 2 (s) = = Φ 2 (t)ψ 2 (s), mivel i j esetén Φ i (t)ψ j (s) = 0, és Φ 1 (t)p Ψ 1 (s) = [ Φ 11 (t) ] Θ I k Θ Ψ 11(s) = Θ Θ Θ = Φ 11 (t)ψ 11 (s) = = Φ 1 (t)ψ 1 (s), és hasonlóan Φ 2 (t)(i P )Ψ 2 (s) = [ Θ ] Φ 12 (t) Θ Θ Θ I n k Θ = Ψ 12 (s) = Φ 12 (t)ψ 12 (s) = = Φ 2 (t)ψ 2 (s). Így a (3.18) egyenl tlenségekb l következik, hogy a (3.20) egyenl tlenségek is teljesülnek. 2. A 3.7. és 3.8. deníciók ekvivalenciája: 1. lépés: Tegyük fel, hogy a 3.7. deníció teljesül. Deniáljuk a P (t) := Φ(t)P Φ 1 (t) (t [t 0, + )) 24

projekciókat. Megmutatjuk, hogy ezekkel teljesülnek a 3.8. denícióban szerepl feltételek. Tetsz leges t, s [t 0, + ) esetén Λ(t, s)p (s) = Φ(t)Φ 1 (s)φ(s)p Φ 1 (s) = = Φ(t)P Φ 1 (t)φ(t)φ 1 (s) = = P (t)λ(t, s), ezzel beláttuk a (3.21) egyenl séget. Ugyanezzel az átalakítással kapjuk a Λ(t, s)p (s) = Φ(t)Φ 1 (s)φ(s)p Φ 1 (s) = Φ(t)P Φ 1 (s) (t, s [t 0, + )) azonosságot, így a (3.20) egyenl tlenségek közül az els b l rögtön kapjuk a Λ(t, s)p (s) K 1 e α 1(t s) (t s t 0 ) egyenl tlenséget. Hasonlóan tetsz leges t, s [t 0, + ) esetén Λ(s, t)(i P (t)) = Φ(s)Φ 1 (t)(φ(t)φ 1 (t) Φ(t)P Φ 1 (t)) = = Φ(s)Φ 1 (t)φ(t)(i P )Φ 1 (t) = = Φ(s)(I P )Φ 1 (t), így a (3.20) egyenl tlenségek közül a másodikat felhasználva kapjuk a Λ(s, t)(i P (t)) K 2 e α 2(s t) (t s t 0 ) egyenl tlenséget. Végül a K := max(k 1, K 2 ) választással látható, hogy valóban a (3.22) egyenl tlenségek teljesülnek. 2. lépés: Tegyük fel, hogy a 3.8. deníció teljesül. Legyen P := P (t 0 ). Megmutatjuk, hogy a 3.7. deníció igaz K 1 := K, K 2 := K, α 1 illetve α 2 konstansokkal és a P projekcióval. A (3.21) azonosságból s, t [t 0, + ) esetén P (t) = Λ(t, s)p (s)(λ(t, s)) 1 = Λ(t, s)p (s)λ(s, t), 25

amib l s = t 0 helyettesítéssel: P (t) = Φ(t)P Φ 1 (t) (t [t 0, + )). Az el z irány bizonyításánál látott azonosságokat használjuk most is, nevezetesen a következ ket: Λ(t, s)p (s) = Φ(t)P Φ 1 (s) (s, t [t 0, + )), Λ(s, t)(i P (t)) = Φ(s)(I P )Φ 1 (t) (s, t [t 0, + )) Így a (3.22) egyenl tlenségekb l kapjuk a (3.20) egyenl tlenségeket. 3.7. Megjegyzés. Ebb l a bizonyításból az is látszik, hogy a 3.8. denícióban szerepl P (t) projekciókat meghatározza a P (t 0 ) projekció, ugyanis ha P (t 0 ) adott, akkor a 3.8. deníció szerint minden t [t 0, + ) esetén teljesül a Λ(t, t 0 )P (t 0 ) = P (t)λ(t, t 0 ) egyenl ség, amib l így P (t) egyértelm en kifejezhet minden t [t 0, + ) esetén: P (t) = Λ(t, t 0 )P (t 0 )Λ(t, t 0 ). 3.2. Alapvet állítások A 3.7. denícióban szerepl egyenl tlenségek felírhatók egy másik, azokkal ekvivalens alakban (vö.: [4]). Az átírás azért jó, mert az ekvivalens egyenl tlenségek szemléletesebben mutatják, hogy mit is jelent az exponenciális dichotómia fogalma. 3.7. Állítás. A következ egyenl tlenségek ekvivalensek a 3.7. denícióban szerepl egyenl tlenségekkel: Φ(t)P ξ K 1 e α 1(t s) Φ(s)P ξ (t s, t, s J) Φ(t)(I P )ξ K 2 e α 2(t s) Φ(s)(I P )ξ (t s, t, s J) Φ(t)P Φ 1 (t) M (t J), (3.26) ahol K 1, K 2, M > 0 konstansok, ξ R n tetsz leges konstans vektor. 26

Bizonyítás: 1. lépés: Legyen ξ R n tetsz leges konstans vektor, és tegyük fel, hogy a (3.16) rendszernek exponenciális dichotómiája van a J intervallumon, K 1, K 2, α 1, α 2 konstansokkal. Ekkor tetsz leges t, s J, t s esetén: Φ(t)P ξ = Φ(t)P Φ 1 (s)p ξ Φ(t)P Φ 1 (s) Φ(s)P ξ K 1 e α 1(t s) Φ(s)P ξ, ezzel beláttuk a (3.26) egyenl tlenségek közül az els t. Hasonlóan tetsz leges t, s J, t s esetén a második egyenl tlenség is belátható: Φ(t)(I P )ξ = Φ(t)(I P )Φ 1 (s)p ξ Φ(t)(I P )Φ 1 (s) Φ(s)(I P )ξ K 2 e α 2(t s) Φ(s)(I P )ξ. A harmadik egyenl tlenség teljesülése nyilvánvaló: Φ(t)P Φ 1 (t) Φ(t) P Φ 1 (t) = P (t J). Ezzel az állítás szükséges feltételét beláttuk. 2. lépés: Tegyük fel, hogy teljesülnek az (3.26) egyenl tlenségek. Tekintsük közülük az els t a ξ := Φ 1 (s)x 0 (s J) választással, ahol x 0 R n tetsz leges rögzített vektor. Ekkor minden t, s J, t s esetén igaz a Φ(t)P Φ 1 (s)x }{{} 0 K 1 e α1(t s) Φ(s)P Φ 1 (s)x 0 }{{} ξ ξ K 1 e α 1(t s) Φ(s)P Φ 1 (s) x 0 K 1 M e α 1(t s) x 0 27

egyenl tlenség. Így a K := K 1 M választással tetsz leges x 0 R n vektor esetén beláttuk, hogy: Φ(t)P Φ 1 (s)x 0 Ke α 1(t s) x 0 (t, s J, t s). Az indukált norma deníciójából kapjuk a B Bx x (x R n \ {0}) egyenl tlenséget, ahol B R n n tetsz leges mátrix. Ezt alkalmazva B := Φ(t)P Φ 1 (s) (t, s J) mátrixra kapjuk a 3.7. denícióban szerepl els egyenl tlenséget. A másik egyenl tlenség bizonyítása teljesen hasonló, tekintsük a (3.26) egyenl tlenségek közül a másodikat a ξ := Φ 1 (s)x 0 (s J) választással, ahol x 0 R n tetsz leges rögzített vektor. Ekkor minden t, s J, s t estén igaz a Φ(t)(I P )Φ 1 (s)x 0 K 2 e α 2(s t) Φ(s)(I P )Φ 1 (s)x 0 K 2 e α 2(s t) Φ(s)(I P )Φ 1 (s) x 0 K 2 e α 2(s t) I + Φ(s)P Φ 1 (s) x 0 K 2 e α2(s t) ( I + Φ(s)P Φ 1 (s) ) x }{{} 0 N K 2 (N + M )e α 2(s t) x 0 egyenl tlenség. Így az L := K 2 (N + M ) választással tetsz leges x 0 R n esetén: Φ(t)(I P )Φ 1 (s)x 0 Le α 2(s t) x 0 (t, s J, s t), 28

így szintén az indukált norma deníciójából származó egyenl tlenségb l a B := Φ(t)(I P )Φ 1 (s) (t, s J) választással kapjuk a 3.7. denícióban lév második egyenl tlenséget. 3.2. Következmény. Tegyük fel, hogy a (3.16) rendszernek exponenciális dichotómiája van a P projekcióval, melyre rang(p ) = k. A 3.7. állítás els két egyenl tlensége azt mondja, hogy létezik egy V 0 R n altér, hogy a V 0 -ból induló megoldásokra, azaz a µ = Φ ξ (ξ V 0 ) alakú megoldásokra teljesül, hogy lim µ(t) = 0, t + és hasonlóan a V 1 := R n \ V 0 -ból induló, azaz a µ = Φ ξ (ξ V 1 ) alakú megoldásokra teljesül, hogy lim µ(t) = +. t + A harmadik egyenl tlenség ennek a két altérnek a szögér l ad információt, mégpedig hogy az origótól távolodva korlátos marad. Ez a tulajdonság a 3.8. denícióból is levezethet (vö.: [7]), s t mivel ebben a denícióban nem szerepel kikötés α 1 és α 2 el jelére vonatkozóan, általánosabb következmény is megfogalmazható. Tegyük fel, hogy J = [t 0, + ), és legyen t, s J. ξ Im P (s) esetén a Λ(t, s)ξ megoldás a Λ(t, s)ξ K 1 e α1(t s) ξ (t s) (3.27) 29

módon becsülhet. Ez azt jelenti, hogy a (3.16) rendszernek az (s, ξ) (ξ Im P (s)) pontból induló megoldásának exponenciális fels korlátja van. Hasonlóan, ha ξ Im(I P (s)), akkor a ψ(t) := Λ(t, s)ξ (t, s J) megoldásra ψ(t) Im(I P (t)) (t J). Ugyanis, ha ξ Im(I P (s)), akkor η R n : (I P (s))η = ξ, így minden s, t J esetén ψ(t) = Λ(t, s)ξ = Λ(t, s)(i P (s))η = = Λ(t, s)η Λ(t, s)p (s)η = Λ(t, s)η P (t)λ(t, s)η = = (I P (t))λ(t, s)η, ami pedig azt jelenti, hogy ψ(t) Im(I P (t)). következ becslés igaz: Ebben az esetben s t esetén a ξ = Λ(s, t)(i P (t))ψ K 2 e α 2(s t) ψ = K 2 e α 2(s t) Λ(t, s)ξ, (3.28) és így 1 K 2 ξ e α 2(s t) Λ(t, s)ξ. (3.29) A (3.29) egyenl tlenségb l ebben az esetben azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a (3.16) rendszer (s, ξ) (ξ Im(I P (s)) pontból induló megoldásainak exponenciális alsó korlátja van. Végül a 3.8. denícióban szerepl egyenl tlenségek közül az els t t = s esetre felírva a P (t) K (t t 0 ) (3.30) egyenl tlenséget kapjuk. Így, ha feltesszük a 3.7. denícióban szerepl kikötéseket α 1 -re és α 2 -re, akkor valóban megkapjuk a 3.2. következményben megfogalmazottakat. 30

3.8. Megjegyzés. Tetsz leges rögzített s 1, s 2 J esetén Im(P (s 1 )) = Im(P (s 2 )), és Im(I P (s 1 )) = Im(I P (s 2 )), ugyanis a (3.21) feltételb l adódóan P (s 1 ) P (s 2 ), (3.31) és I P (s 1 ) I P (s 2 ), (3.32) és hasonló mátrixokkal megadott lineáris leképezések képtere megegyezik. (3.32) eredményekb l az is következik, hogy A (3.31) és P (s) P (t 0 ), I P (s) I P (t 0 ), ahol s J = [t 0, + ), továbbá a 3.7. és 3.8. deníciók ekvivalenciájának bizonyításában látott konstrukció alapján P (t 0 ) = P, ahol a P a 3.7. denícióból való projekció. Így azt is beláttuk, hogy tetsz leges rögzített s J esetén P (s) P, I P (s) I P, így a 3.2. következményben írt két altér az Im(P ), Im(I P ) (3.33) alterek. 3.3. Következmény. A 3.2. következmény és az iménti, a P projekció képterével kapcsolatos megfontolások alapján azt mondhatjuk, hogy ha a (3.16) rendszernek exponenciális dichotómiája van, akkor a rendszernek pontosan az Im(P )-b l induló megoldásai korlátosak. 31

3.3. Példa. Tekintsük az ẋ(t) = 1 0 x(t) (t 0) 0 2 állandó együtthatós homogén lineáris dierenciálegyenlet-rendszert. hogy ez exponenciálisan dichotóm a K 1 = K 2 = 1, α 1 = 2, α 2 = 1, P = 0 0 0 1 Könnyen látható, konstansokkal és projekcióval. Továbbá rang(p ) = rang(i P ) = 1. A rendszer stabil, ill. instabil altere: E s E u = {(0, a) a R}, = {(a, 0) a R}. Látható, hogy ezek 1-dimenziós alterei R 2 -nek, és E s = Im(P ), ill. E u = Im(I P ). A rendszer alapmátrixa: Φ(t) = et 0 (t 0). 0 e 2t Így egy ξ Im(P )-b l induló megoldás µ s (t) = Φ(t) ξ = et 0 0 = 0 (t 0) 0 e 2t ξ 2 ξ 2 e 2t alakú, és hasonlóan egy ξ Im(I P )-b l induló megoldás µ u (t) = Φ(t) ξ = et 0 ξ 1 = ξ 1e t (t 0) 0 e 2t 0 0 alakú, így lim µ s(t) = 0, t + lim µ s(t) = 0. t + Továbbá a rendszer minden megoldása el áll µ(t) = Φ(t)ξ = et 0 ξ 1 = ξ 1e t (t 0) 0 e 2t ξ 2 e 2t ξ 2 32

alakban alkalmas ξ R 2 vektorral, így látható, hogy a µ megoldás pontosan akkor lesz korlátos, ha ξ = 0, ξ 2 azaz ha ξ Im(P ). A következ kben megmutatjuk, hogy ha a (3.16) rendszer exponenciálisan dichotóm, akkor tetsz leges megoldása felbontható egy nem növekv és egy nem csökken megoldás összegére. Legyen t [t 0, + ), és deniáljuk a következ altereket: S (t) := {Φ(t)P x 0 x 0 R n } = Im Φ(t)P, (3.34) S + (t) := {Φ(t)(I P )x 0 x 0 R n } = Im Φ(t)(I P ). (3.35) 3.8. Állítás. Az S (t) és S + (t) halmazok direkt összege R n, továbbá S (t) tartalmazza a nem növeked, és S + (t) a nem csökken megoldásait a (3.16) rendszernek. Bizonyítás: El ször belátjuk, hogy minden t t 0 esetén S (t) S + (t) = R n. Ehhez elég megmutatni, hogy tetsz leges t [t 0, + ) és µ megoldás esetén µ(t) el áll egy S (t) és egy S + (t)-beli elem összegeként, és hogy a két halmaz metszete csak a 0-ból áll. Legyen µ tetsz leges megoldása a (3.16) rendszernek, és legyen t t 0. Tegyük fel, hogy µ(t 0 ) = x 0 R n, ekkor µ felírható µ(t) = Φ(t)x 0 = Φ(t)P x 0 + Φ(t)(I P )x 0 alakban, amir l látható, hogy egy S (t) és egy S + (t)-beli elem összege. Legyen z S (t) S + (t) (t t 0 ). Ekkor létezik w 1, w 2 R n, hogy z = Φ(t)P w 1, z = Φ(t)(I P )w 2, amib l Φ(t)P w 1 = Φ(t)(I P )w 2. 33

Mivel Φ(t) reguláris, P w 1 = (I P )w 2. Felhasználva továbbá, hogy P projekció (P 2 = P ) kapjuk, hogy P w 1 = P 2 w 1 = P (I P )w 2 = P w 2 P 2 w 2 = P w 2 P w 2 = 0, amib l az adódik, hogy így z = Φ(t)P w 1 = 0, S (t) S + (t) = {0}. Most azt mutatjuk meg, hogy S (t) a nem növekv megoldásokat tartalmazza (tetsz leges t t 0 esetén). Legyen µ(t) S (t), amelyre µ(t) 0, azaz P x 0 0. Ekkor minden s t esetén µ(t) µ(s) = Φ(t)P x 0 Φ(s)P x 0 = Φ(t)P Φ 1 (s)φ(s)p x 0 Φ(s)P x 0 Φ(t)P Φ 1 (s) K 1 e α 1(t s), így minden s t esetén µ(t) K 1 e α 1(t s) µ(s), azaz a µ megoldás nem növeked. Hasonlóan legyen µ(t) S + (t), amelyre µ(t) 0, azaz (I P )x 0 0. Ekkor minden s t esetén így minden s t esetén azaz a µ megoldás nem csökken. µ(t) µ(s) Φ(t)(I P )Φ 1 (s) K 2 e α 2(s t), µ(s) 1 K 2 e α 2(s t) µ(t), 3.4. Példa. Tekintsük az ẋ = 1 0 x 0 1 34

állandó együtthatós lineáris rendszert. Ennek alapmátrixa Φ(t) = e t 0 (t R), 0 e t így a rendszer megoldásai Φ(t)ξ = e t 0 ξ 1 = e t ξ 1 = ξ 1 e t + ξ 2 0 (t R) (3.36) 0 e t e t ξ 2 0 e t ξ 2 alakúak, ahol ξ R 2 tetsz leges vektor. A (3.36) felbontásból látszik, hogy a rendszer tetsz leges megoldása felbontható egy nem csökken és egy nem növekv komponensre. A dolgozat során szinte mindenhol feltesszük, hogy az exponenciális dichotómia deníciójában szerepl intervallum J = [t 0, + ) (t 0 0). A következ állítás (vö.: [4]) miatt azonban erre a J-re bizonyított eredmények igazak maradnak J = [0, + ) feltevés mellett is. 3.9. Állítás. Ha a (3.16) egyenletnek exponenciális dichotómiája van a [t 0, + ) intervallumon, akkor a [0, + ) intervallumon is ugyanazzal a P projekcióval és α 1, α 2 > 0 kitev kkel. Bizonyítás: A 3.7. denícióban szerepl egyenl tlenségeket elég abban az esetben belátni, ha 0 s, t t 0, mert azt feltettük, hogy a [t 0, + ) intervallumon teljesülnek. Legyen t 0 N := exp A(u) du, így 0 Φ(t)Φ 1 (s) N (0 s, t t 0 ). Ha 0 s t 0 t akkor Φ(t)P Φ 1 (s) = Φ(t)P Φ 1 (t 0 )Φ(t 0 )Φ 1 (s) Φ(t)P Φ 1 (t 0 ) Φ(t)Φ 1 (s) 35

N Φ(t)P Φ 1 (t 0 ) NK 1 e α 1(t t 0 ) Hasonlóan ha 0 s t t 0 akkor NK 1 e α 1t 0 e α 1(t s). Φ(t)P Φ 1 (s) N 2 Φ(t 0 )P Φ 1 (t 0 ) = = N 2 K 1 N 2 K 1 e α 1(t 0 (t s)) N 2 K 1 e α 1t 0 e α 1(t s). Így teljesül a Φ(t)P Φ 1 (s) K 1 e α 1(t s) (0 s t) egyenl tlenség, ahol K1 := N 2 K 1 e α 1t 0. Hasonlóan belátható, hogy a 3.7. denícióban szerepl második egyenl tlenség is teljesül K2 := N 2 K 2 e α 2t 0 konstanssal, azaz: Φ(t)(I P )Φ 1 (s) K 2 e α 2(s t) (0 t s). A dolgozatban a Φ alapmátrixra feltesszük, hogy Φ(0) = I. (3.37) Ez a feltevés azért lehetséges, mert ha a 3.7. deníció egy P projekcióval teljesül, akkor nyilván teljesül bármely, a P mátrixszal hasonlóval is. Jelöljön Ψ egy olyan alapmátrixot, mellyel igaz a 3.7. deníció, de a (3.37) feltétel nem. Legyen P := Ψ 1 (0)P Ψ(0), amire P P, továbbá P -vel és a Φ := Ψ Ψ 1 (0) alapmátrixszal teljesül a 3.7. deníció, és látható, hogy Φ alapmátrixra teljesül a (3.37) feltétel. 36

A következ két lemmával (vö.: [7]) megmutatjuk, hogy ha a (3.16) rendszernek exponenciális dichotómiája van a P (t) (t t 0 ) projekciókkal, akkor a Q(t) := Λ(t, t 0 )Q(t 0 )Λ(t 0, t) (t t 0 ) (3.38) projekciókkal is, ha Im P (t 0 ) = Im Q(t 0 ). 3.1. Lemma. Tegyük fel, hogy a (3.16) rendszernek exponenciális dichotómiája van a [t 0, + ) intervallumon a K, α, konstansokkal és P (t) (t t 0 ) projekciókkal. Legyen Q(t 0 ) egy projekció, amire Im P (t 0 ) = Im Q(t 0 ), és deniáljuk a Q(t) := Λ(t, t 0 )Q(t 0 )Λ(t 0, t) (t t 0 ) projekciókat. Ekkor létezik K R, hogy P (t) Q(t) Ke (α 1 α 2 )(t t 0 ) (t t 0 ). Bizonyítás: Mivel feltettük, hogy Im P (t 0 ) = Im Q(t 0 ), felírható a következ egyenl tlenség: P (t 0 ) Q(t 0 ) = P (t 0 )(P (t 0 ) Q(t 0 ))(I P (t 0 )). A (3.22) egyenl tlenségeket használva kapjuk a következ becslést: P (t) Q(t) = Λ(t, t 0 )(P (t 0 ) Q(t 0 ))Λ(t 0, t) = = Λ(t, t 0 )P (t 0 )(P (t 0 ) Q(t 0 ))(I P (t 0 ))Λ(t 0, t) Λ(t, t 0 )P (t 0 ) (P (t 0 ) Q(t 0 )) (I P (t 0 ))Λ(t 0, t) = = Λ(t, t 0 )P (t 0 ) (P (t 0 ) Q(t 0 )) Λ(t 0, t)(i P (t)) K 2 (P (t 0 ) Q(t 0 )) e (α 1 α 2 )(t t 0 ) (t t 0 ). Ebb l következ en a K := K 2 (P (t 0 ) Q(t 0 )) választással beláttuk a lemmát. 37

3.2. Lemma. Tegyük fel, hogy a (3.16) rendszernek exponenciális dichotómiája van a [t 0, + ) intervallumon a K, α, konstansokkal és P (t) (t t 0 ) projekciókkal. Legyen Q(t 0 ) egy projekció, amire Im P (t 0 ) = Im Q(t 0 ). Ekkor a (3.16) rendszernek a Q(t) := Λ(t, t 0 )Q(t 0 )Λ(t 0, t) (t t 0 ) projekciókkal is exponenciális dichotómiája van. Bizonyítás: A lemma bizonyításához belátjuk, hogy a Q(t) projekciókra teljesülnek a 3.8. denícióban a P (t) projekciókra szerepl állítások. El ször belátjuk, hogy tetsz leges t, s [t 0, + ) esetén Λ(t, s)q(s) = Q(t)Λ(t, s). Λ(t, s)q(s) = Λ(t, s)λ(s, t 0 )Q(t 0 )Λ(t 0, s) = = Λ(t, t 0 )Q(t 0 )Λ(t 0, t)λ(t 0, s) = = Q(t)Λ(t, s). A (3.30) egyenl tlenségb l és a 3.1. lemmából következik, hogy Q(t) is korlátos. Továbbá Q(t) konstrukciója miatt Im P (t) = Im Q(t) is teljesül, mert ahogyan azt már említettük, a P (t) projekciókat egyértelm en meghatározza a P (t 0 ) projekció, és P (t) felírható a P (t) = Λ(t, t 0 )P (t 0 )Λ(t 0, t) alakban minden t [t 0, + ) esetén. Ezen kívül feltettük, hogy Im P (t 0 ) = Im Q(t 0 ), így tetsz leges t [t 0, + ) esetén Im Λ(t, t 0 )P (t 0 )Λ(t 0, t) = Im Λ(t, t 0 )Q(t 0 )Λ(t 0, t) Im P (t) = Im Q(t). 38

Továbbá igaz a P (t)q(t) = Λ(t, t 0 )P (t 0 )Λ(t 0, t)λ(t, t 0 )Q(t 0 )Λ(t 0, t) = = Λ(t, t 0 )Q(t 0 )Q(t 0 )Λ(t 0, t) = = Λ(t, t 0 )Q(t 0 )Λ(t 0, t) = Q(t) (t t 0 ), illetve az (I Q(t))(I P (t)) = I Q(t) P (t) + P (t)q(t) = I Q(t) P (t) + P (t) = (I Q(t)) (t t 0 ) azonosság. Így tetsz leges t s t 0 esetén Λ(t, s)q(s) = Λ(t, s)p (s)q(s) Λ(t, s)p (s) Q(s). Így Λ(t, s)p (s) normára alkalmazva a (3.22) egyenl tlenségek közül az els t kapjuk, hogy létezik olyan K konstans úgy, hogy Λ(t, s)q(s) Ke α 1(t s) (t s t 0 ), azaz beláttuk a (3.22) egyenl tlenségek közül az els t a Q(t) projekciókra. Hasonlóan t, s [t 0, + ) esetén Λ(s, t)(i Q(t)) = Λ(s, t)(i Q(t))(I P (t)) = = (I Q(s))Λ(s, t)(i P (t)) (I Q(s)) Λ(s, t)(i P (t)), így most Λ(s, t)(i P (t)) -re alkalmazva a (3.22) egyenl tlenségek közül a másodikat kapjuk, hogy létezik K konstans úgy, hogy Λ(s, t)(i Q(t)) Ke α 2(s t) (t s t 0 ), azaz beláttuk a (3.22) egyenl tlenségek közül a másodikat is a Q(t) projekciókra. 39

3.3. (µ 1, µ 2 ) dichotómia Ebben az alfejezetben megnézünk egy, a 3.6., 3.7. és 3.8. denícióknál általánosabbat. (vö. [8]): 3.9. Deníció. ((µ 1, µ 2 )-dichotómia) Legyen J = (ω, ω + ), (ω, ω + R) intervallum, és µ 1, µ 2 C(J, R). Azt mondjuk, hogy a (3.16) rendszernek (µ 1, µ 2 )-dichotómiája van a J intervallumon, ha létezik olyan P projekció és K 1, K 2 > 0 számok úgy, hogy t, s J esetén Φ(t)P Φ 1 (s) { t K 1 exp } µ 1 (τ)dτ (t s), Φ(t)(I P )Φ 1 (s) s { s K 2 exp } µ 2 (τ)dτ (s t). (3.39) t 3.9. Megjegyzés. Ha µ 1, µ 2 konstans függvények, akkor azt mondjuk, hogy a (3.16) rendszernek exponenciális dichotómiája van, ha µ 1, µ 2 < 0, és közönséges dichotómiája, ha µ 1 = 0 és µ 2 = 0. Ennek az általánosabb fogalomnak a létezésér l szól a következ tétel. 3.10. Állítás. Tegyük fel, hogy létezik ρ C(J, R) függvény és l 1, l 2 R (0 l 1, l 2 < 1) konstansok úgy, hogy valamely m-re (0 m n) fennállnak a következ egyenl tlenségek: m max {l 1 R(a jj ) + l 1 { min l 2 R(a jj ) i=1,i j a ij + m n a ij l 2 i=1 i=m+1,i j n i=m+1 Ekkor a (3.16) rendszernek (µ 1, µ 2 ) dichotómiája van, ahol { µ 1 = max l 1 R(a jj ) + m i=1,i j m µ 2 = min {l 2 R(a jj ) l 1 a ij i=1 a ij + l 2 n } a ij : j = 1,..., m l 1 ρ, } a ij : j = m + 1,..., n l 2 ρ. i=m+1 n i=m+1,i j } a ij : j = 1,..., m, } a ij : j = m + 1,..., n. 40

3.5. Példa. Tekintsük a (3.16) lineáris rendszert, a következ együtthatóval: 1 0 1/2 A(t) = t/2 t t 2 (t > 0). t/2 t 2 t Legyen m := 1, J = (0, ). Keressünk ρ C(J, R) függvényt, és l 1, l 2 [0, 1) konstansokat, hogy az állításban szerepl egyenl tlenségek teljesüljenek. m max {l 1 R(a jj ) + l 1 i=1,i j a ij + n i=m+1 } a ij : j = 1,..., m = max { l 1 ( 1) + t 2 + t 2} = max { t l1 } = t l1 l 1 ρ, { min l 2 R(a jj ) m n a ij l 2 i=1 i=m+1,i j } a ij : j = m + 1,..., n = min { l 2 t 0 l 2 (t + t 2 ), l 2 t t 2 l 2(t 2 + t) } = min { l 2 t 2, l 2 t 2 t 2} = l2 t 2 t 2 l 2ρ. Ezek alapján ρ-ra teljesülnie kell: azaz teljesülnie kell a egyenl tlenségnek, ami igaz, ha t 1 ρ(t) t 2 t (t > 0), (3.40) l 1 2l 2 t 1 t 2 t (t > 0), (3.41) l 1 2l 2 t 2 t ( 1 2l 2 + 1 l 1 ) + 1 0 (t > 0). Ehhez elég, ha a másodfokú kifejezés diszkriminánsa negatív, amib l l 1 -re és l 2 -re a következ feltételeket kapjuk még: l 1 > 2 3, l 2 > 1 2. 41

Így l 1 ( 2, 1), l 3 2 ( 1, 1) és ezekb l az intervallumokból tetsz leges értéket választva 2 l 1 -nek és l 2 -nek a (3.41) igaz lesz, válasszuk a következ értékeket: l 1 := 3 4, l 2 := 3 4. A rögzített konstansokat visszahelyettesítve látható, hogy a (3.41) teljesül: 4t 3 1 t2 2t 3. Mivel a (3.40)-ben egyenl ség is megengedett, a ρ függvényt választhatjuk a következ képpen: ρ(t) = 4t 3 Határozzuk most meg µ 1 és µ 2 függvényeket: { µ 1 (t) = max l 1 R(a jj ) + m i=1,i j 1 (t > 0). a ij + l 2 n i=m+1 } a ij : j = 1,..., m = { 3 max 4 ( 1) + ( t 2 + t 2 ) + 3 4 ( t 2 + t 2 ) = 7t 4 3 4, m µ 2 (t) = min {l 2 R(a jj ) l 1 a ij i=1 n i=m+1,i j } a ij : j = m + 1,..., n = min { t 3 4 0 + t2, t 1 2 t2} = t 1 2 t2. Tehát a (3.16) lineáris rendszernek, ha az adott A együtthatóval deniált, (µ 1, µ 2 )- dichotómiája van a (0, + )-n. 42

4. Exponenciális dichotómia létezése Legyen f C(J, R n ). A következ kben tekintsük a (3.16) homogén lineáris dierenciálegyenlet-rendszert és a hozzá tartozó ẋ = Ax + f (4.42) inhomogén lineáris dierenciálegyenlet-rendszert. Ebben a fejezetben az exponenciális dichotómia létezését vizsgáljuk különböz együtthatómátrixú lineáris dierenciálegyenlet-rendszerek esetében. A követend sorrendet [9] szolgáltatja: 1. A( ) A konstans mátrix, 2. A periodikus mátrix érték függvény, 3. az együtthatómátrix A + B alakú, ahol a B mátrix érték függvény bizonyos értelemben kis perturbáció. 4.1. Állandó együtthatós eset Tegyük fel, hogy a (3.16) rendszerben A(t) A R n n (t R) alakú, azaz tekintsük az ẋ = Ax (4.43) állandó együtthatós homogén lineáris dierenciálegyenlet-rendszert. Ha az A együtthatómátrix σ(a) spektruma felbontható két nem üres σ 1, σ 2 halmaz uniójára úgy, hogy léteznek α 1, α 2 konstansok úgy, hogy tetsz leges λ 1 σ 1 és λ 2 σ 2 sajátérték esetén Rλ 1 < α 1 < α 2 < Rλ 2, (4.44) akkor a (4.43) rendszernek exponenciális dichotómiája van a [0, + ) intervallumon. Fordítva, ha a (4.43) rendszernek exponenciális dichotómiája van [0, + ) intervallumon α 1, α 2 konstansokkal, akkor az A együtthatómátrix spektrumának létezik egy σ(a) = σ 1 σ 2 43

felbontás úgy, hogy a (4.44) teljesül. Továbbá ha a 3.7. deníciót tekintjük, azaz feltesszük, hogy 0 < α 1, α 2, akkor σ 1 az A stabil spektruma, σ 2 az A instabil spektruma. Megjegyezzük még, hogy ebben az esetben a 3.8. denícióban megadott P (t) projekciók is választhatóak P (t) P módon, ahol P az A spektrumának adott felbontásához tartozó spektrál projekció. Az el jel feltétellel megfogalmazott eredmény a szakirodalomban több helyen is megtalálható (pl.: [4], [9]) a következ alakban: 4.11. Állítás. A (4.43) rendszernek pontosan akkor van exponenciális dichotómiája a [0, + ) intervallumon, ha az A együtthatómátrix minden sajátértékének valós része nem nulla, azaz ha az A hiperbolikus, és pontosan akkor van közönséges dichotómiája a rendszernek, ha minden nulla valós rész sajátértéke az A minimálpolinomjának egyszeres gyöke. Mindkét esetben a P projekció a következ képpen áll el : P = 1 (zi A) 1 dz, 2πi γ ahol γ olyan egyszer, zárt, rektikálható görbe a bal félsíkban, melyre R(λ) int(γ), λ σ(a). 4.6. Példa. Tekintsük az 1 0 0 ẋ(t) = 0 2 5 x(t) (t [0, + )) (4.45) 0 0 3 állandó együtthatós homogén lineáris dierenciálegyenlet-rendszert. Az alapmátrix meghatározása: Az A együtthatómátrix sajátértékei és a hozzájuk tartozó sajátvektorok: 1 0 0 λ 1 = 1, v 1 = 0, λ 2 = 2, v 2 = 1, λ 3 = 3, v 3 = 1, 0 0 1 44

az A együtthatómátrix Jordan-normálalakja: 1 0 0 S 1 AS = 0 2 0 =: B, 0 0 3 ahol 1 0 0 S = 0 1 1. 0 0 1 Így az alapmátrix: e t 0 0 e At = e SBS 1t = Se Bt S 1 = 0 e 2t e 2t e 3t = Φ(t) 0 0 e 3t (t [0, + )), az alapmátrix inverze: e s 0 0 Φ 1 (s) = 0 e 2s e 2s e 3s 0 0 e 3s (s [0, + )). A P projekció meghatározásához el ször számítsuk ki az integrálandó mátrixot: 1 1 z 1 0 0 0 0 z 1 (zi A) 1 = 0 z 2 5 = 1 5 0 z 2 (z 2)(z+3). 1 0 0 z + 3 0 0 z+3 A γ görbe pedig legyen 3 körüli 1 sugarú körvonal, azaz γ : z+3 = 1. a 11, a 22 integrálja 0 lesz, mert 1, 2 int(γ), így 1 z 1 és 1 z 2 miatt az integráljuk 0. a 23 és a 33 integrálja: z+3 =1 1 2π z + 3 dz = 1 e it 3 + 3 ieit dt = 0 is reguláris int(γ) n, így a Cauchy-alaptétel 2π 0 idt = 2πi, az els egyenl ségnél a δ(t) = e it 3 (t [0, 2π]) helyettesítést használtuk fel, 5 (z 2)(z + 3) dz = 2πi 5 = 2πi, z 2 z= 3 z+3 =1 45

az z z 0 =ε f(z) z z 0 dz = 2πif(z 0 ) képletet használva. Az integrálandó mátrix még nem tárgyalt elemei pedig 0-k, így azok integrálja is 0 lesz. Tehát a projekció: 0 0 0 P = 0 0 1. 0 0 1 Nézzük meg ezzel a 3.7. denícióban szerepl egyenl tlenségeket: 0 0 0 Φ(t)P Φ 1 (s) = 0 0 e 3(t s) (t, s [0, + )), 0 0 e 3(t s) így például 1 normával számolva s, t [0, + ) esetén: Φ(t)P Φ 1 (s) 1 = e 3(t s) (s t). e (s t) 0 0 Φ(t)(I P )Φ 1 (s) = 0 e e 2(t s) 0 0 0 (t, s [0, + )), Szintén az 1 normával: Φ(t)(I P )Φ 1 (s) 1 = e (s t) (s t). Azaz a (4.46) rendszernek exponenciális dichotómiája van a [0, + ) intervallumon a K 1, K 2 = 1, α 1 = 3, α 2 = 1 konstansokkal. 4.7. Példa. Tekintsük az 0 1 1 ẋ(t) = 1 0 1 x(t) (t [0, + )) (4.46) 0 0 1 46

állandó együtthatós homogén lineáris dierenciálegyenlet-rendszert. Most az együttható mátrix nem hiperbolikus, de minden 0 valós rész sajátértéke egyszeres, ugyanis az A együtthatómátrix karakterisztikus polinomja: [ z 0 0 0 1 1 ] z 1 1 det 0 z 0 1 0 1 = det 1 z 1 = 0 0 z 0 0 1 0 0 z + 1 = z 2 (z + 1) + (z + 1) = (z + 1)(z 2 + 1) (z C), a karakterisztikus polinom gyökei: λ 1,2 = ±i, λ 3 = 1, mivel ezek mindegyike egyszeres gyök, a minimálpolinom megegyezik a karakterisztikus polinommal, így a minimálpolinom minden 0 valós rész gyöke egyszeres gyök. Így a 4.11. állítás második részének feltételei teljesülnek, azaz a rendszernek közönséges dichotómiája van a [0, + ) intervallumon. Nézzük meg, hogy milyen konstansokkal teljesül a deníció. Ehhez meg kell határozni a rendszer alapmátrixát, annak inverzét és az állítás alapján a P projekciót. Az alapmátrix meghatározása: Az imént láttuk az együtthatómátrix sajátértékeit, az ezekhez tartozó sajátvektorok pedig a következ k: 1 0 1 λ 1,2 = ±i, v 1,2 = 0 ± i 1, λ 3 = 1, v 3 = 0, 0 0 1 az A együtthatómátrix Jordan-normálalakja: 0 1 0 S 1 AS = 1 0 0 =: B, 0 0 1 ahol 1 0 1 S = 0 1 0, 0 0 1 47

így az alapmátrix pedig a következ : cos(t) sin(t) cos(t) e t e At = e SBS 1t = Se Bt S 1 = sin(t) cos(t) sin(t) = Φ(t) 0 0 e t (t [0, + )), az alapmátrix inverze: cos(s) sin(s) cos(s) e s Φ 1 (s) = sin(s) cos(s) sin(s) 0 0 e s (s [0, + )). A P projekció meghatározásához el ször számítsuk ki az integrálandó mátrixot: 1 z 1 z 1 z 1 1 z (zi A) 1 2 +1 z 2 +1 (z+1)(z 2 +1) = 1 z 1 = 1 z 1 (z C). z 2 +1 z 2 +1 z 2 +1 1 0 0 z + 1 0 0 z+1 A γ görbe legyen a 1 körüli 1 2 sugarú körvonal, azaz γ: z + 1 = 1 2. Az a 13 és az a 33 elemeken kívül a többi elem integrálja 0 lesz, vagy azért mert már maga az elem nulla, vagy pedig azért, mert létezik primitív függvénye int(γ)-n. A maradék két elem integrálja pedig: az z+1 = 1 2 képletet használva, és z+1 = 1 2 z 1 z 1 dz = 2πi = 2πi, (z + 1)(z 2 + 1) z 2 + 1 z= 1 z z 0 =ε f(z) z z 0 dz = 2πif(z 0 ) 1 2π z + 1 dz = 1 e it 1 + 1 ieit dt = a δ(t) = 1 2 eit + 1 helyettesítéssel. Így 0 0 1 P = 0 0 0 0 0 1 0 48 2π 0 idt = 2πi,

a keresett projekció. Tetsz leges t, s [0, + ) esetén 0 0 e (t s) Φ(t)P Φ 1 (s) = 0 0 0, 0 0 e (t s) így például 1 normával számolva: Φ(t)P Φ 1 (s) 1 = e 1(t s) (t s). Illetve tetsz leges t, s [0, + ) esetén cos(s t) sin(s t) cos(s t) Φ(t)(I P )Φ 1 (s) = sin(s t) cos(s t) sin(s t), 0 0 0 így szintén az 1 normával: Φ(t)(I P )Φ 1 (s) 1 cos(s t) + sin(s t) 2 (t s). Azaz a (4.46) rendszernek közönséges dichotómiája van a [0, + ) intervallumon a K 1 = 1, K 2 = 2, α 1 = 1, α 2 = 0 konstansokkal. 4.8. Példa. A következ rendszerre nem teljesül az állításnak egyik feltétele sem. Tekintsük a (4.43) rendszert a következ együttható mátrixszal deniálva: A = 0 1. 0 0 Mivel A fels háromszögmátrix, sajátértékei a f átlóban lév elemek, azaz σ(a) = {0}, tehát rögtön látszik, hogy az A együtthatómátrix nem hiperbolikus. Továbbá karakterisztikus polinomja χ A (z) = z 2 (z C), így az együtthatómátrix µ A minimálpolinomja a következ két polinom közül valamelyik: µ 1 (z) = z, µ 2 (z) = z 2. Mivel a minimálpolinom a legkisebb fokszámú polinom, amely a mátrixot annullálja, így ha µ 1 (A) = Θ, akkor µ A = µ 1, ha nem, akkor µ A = µ 2. µ 1 (A) = A Θ, 49

így az együtthatómátrix minimálpolinomja µ A (z) = z 2 (z C). Tehát a 0 a minimálpolinomnak kétszeres (nem egyszeres) gyöke, így a 4.43 tétel értelmében a megadott mátrixszal deniált állandó együtthatós homogén lineáris dierenciálegyenlet-rendszernek nincs sem exponenciális, sem közönséges dichotómiája a [0, + ) intervallumon. 4.2. Periodikus együtthatómátrixszal deniált rendszer Tekintsük a következ dierenciálegyenlet-rendszert: ẋ = Ax, (4.47) ahol A C([0, + ), R n ), T R : A(t + T ) = A(t) (t [0, + )), azaz tegyük fel, hogy a (3.16) rendszer együtthatómátrixa folytonos és T -periodikus. A periodikus együttható mátrixszal deniált rendszer exponenciális dichotómiája létezésének vizsgálatát az állandó együtthatós rendszerére vezetjük majd vissza a 2.5. tétel segítségével. A következ állítás szintén megtalálható több cikkben is, pl.: [4],[9]. 4.12. Állítás. A (4.47) rendszernek pontosan akkor van exponenciális dichotómiája a [0, + ) intervallumon, ha nem létezik 1 abszolút érték karakterisztikus multiplikátora. Bizonyítás: A 2.5. tétel alapján a (4.47) rendszer az ẏ = By (4.48) rendszerbe vihet át alkalmas koordináta-transzformációval, ahol B R n n, amelyre e BT = C, ahol C jelöli a (4.47) rendszer monodrómia-mátrixát. A 4.11. állításból tudjuk, hogy a (4.48) rendszernek pontosan akkor van exponenciális dichotómiája, ha 0 / σ(b), azaz a 0 nem karakterisztikus kitev, ami pedig pontosan azt jelenti, hogy nincs 1 abszolút érték karakterisztikus multiplikátor. 50

A 4.12. állítás segítségével már periodikus együttható mátrixú nem-autonóm rendszereknél is tudjuk vizsgálni az exponenciális dichotómia létezését. Nézzünk meg egy ilyet részletesen a következ példában. 4.9. Példa. Tekintsük a (4.47) rendszert az A(t) = 1 + cos(t) 0 2+sin(t) 1 1 (t [0, + )) periodikus együttható mátrixszal. A dierenciálegyenlet-rendszer alapmátrixa Φ(t) = e t (2 + sin(t)) 0 (t [0, + )). e t (1 + 2 sin(t) 1 cos(t)) 5 5 e t A karakterisztikus kitev k a B = Φ 1 (0)Φ(2π) mátrix sajátértékei, ezek meghatározásához így el ször a mátrixot kell megadnunk. B = 2 1 0 = 1 2 4 1 5 2e2π 0 4 2 e2π e 2π = 1 0 2e2π 0 = e2π 0, 4 4 2 5 5 e2π e 2π 0 e 2π tehát a karakterisztikus tényez k ρ 1 = e 2π, ρ 2 = e 2π. Ezek egyike sincs az egységkörvonalon, tehát a rendszer exponenciálisan dichotóm a P = 0 0 0 1 projekcióval. Tetsz leges s, t [0, + ) esetén: e Φ 1 1 (s) = s 0 2+sin(s) e s ( 1 cos(s), 2 sin(s) 1) 5 5 es (2 + sin(s)) Φ(t)P Φ 1 (s) = 1 2+sin(s) 0 0, e (t s) ( 1 cos(s) 2 sin(s) 1) 5 5 e (t s) (2 + sin(s)) 51

Φ(t)(I P )Φ 1 (s) = 1 2+sin(s) e (t s) (2 + sin(s)) 0. e (t s) (1 + 2 sin(s) 1 cos(s)) 5 5 0 Így a 3.7. denícióban szerepl normákra teljesülnek a következ egyenl ségek: Φ(t)P Φ 1 (s) 1 = e (t s) (s t), Φ(t)(I P )Φ 1 (s) = e (s t) (t s), mivel 1 5 cos(x) 2 5 sin(x) 1 = 1 + 2 5 sin(x) 1 5 cos(x) < 2 + sin(x), (4.49) ahogyan az 1. ábrán látható. 6 4 y 2 + sin(x) 1 + 2 5 sin(x) 1 5 cos(x) 1 5 cos(x) 1 2 5 sin(x) 2 5 5 10 15 20 2 x 1. ábra. A 4.49 egyenl tlenség bizonyítása. 4.3. Perturbált rendszer Tekintsük a (3.16) rendszer perturbációját, azaz az ẋ = (A + B)x (4.50) dierenciálegyenlet-rendszert, ahol B C(J, R n n ). Az exponenciális dichotómia egyik legfontosabb tulajdonsága, hogy perturbáció esetén örökl dik, azaz bizonyos feltételek mellett ha a (3.16) rendszer exponenciálisan dichotóm volt, akkor a (4.50) is az lesz. Ezek a bizonyos feltételek általában a perturbáló mátrix függvényre vonatkozó korlátossági feltételek. 52

Érezhet, hogy ez valóban fontos tulajdonság, mind az elmélet, mind az alkalmazások szempontjából. A téma fontosságát annak népszer sége is mutathatja, sok cikk és könyvfejezet foglalkozik a perturbált rendszer exponenciális dichotómiájának vizsgálatával. Ezek között vannak összefoglaló jelleg munkák, melyek valamilyen csoportosítás alapján közölnek eredményeket, például [13]-ban el ször az az eset tárgyalt, amikor A korlátos, majd utána az, amikor nemkorlátos, [10]-ben pedig el ször a [0, + ) intervallumon értelmezett rendszert vizsgálják, majd az egész R-en. [14] és [15] végtelen dimenziós Banach-téren értelmezett rendszerek esetében vizsgálja a tulajdonságot, [13] pedig tetsz leges Banach-térben ad szükséges és elégséges feltételt. További eredmények találhatóak még: [3], [4], [5], [16], [17]. A dolgozat ezen fejezete nagyrészt [10] felépítését követi, valós intervallumon értelmezett együtthatóval deniált lineáris rendszer exponenciális dichotómiájának létezését nézzük meg a [0, + ) intervallumon. Deniáljuk a következ függvényteret, melyet ezen alfejezet további részében használni fogunk: M J,T := {f : J R n f MJ,T := 1 T sup s J t+t t f(s) ds < +, f L 1 loc}, (4.51) ahol T > 0 rögzített konstans. 4.10. Megjegyzés. Más szerz knél (például [3], [4]) a (4.51) függvénytér T = 1 konstanssal deniált. A következ állítást (vö.: [4], [18]) a perturbált rendszerre vonatkozó tétel bizonyításában fogjuk majd felhasználni, de magában is hasznos, hiszen a (3.16) rendszerhez tartozó inhomogén rendszer esetében ad szükséges és elégséges feltételt az exponenciális dichotómia létezésére. 4.13. Állítás. Az ẋ = Ax + f (4.52) inhomogén rendszernek akkor és csak akkor létezik korlátos megoldása minden f M J,T esetén, ha a (3.16) homogén rendszer exponenciálisan dichotóm. 53

A következ állítás (vö.: [20]) azt mutatja meg, hogy ha a (3.16) rendszer exponenciálisan dichotóm és f C(J, R n ), akkor hogyan lehet megadni a (4.52) rendszer egy korlátos megoldását. 4.14. Állítás. Legyen f C(J, R n ). Ha a (3.16) rendszer exponenciálisan dichotóm, akkor a µ(t) = Γ(t, u)f(u)du (t J) (4.53) korlátos megoldása a (4.52) rendszernek, ahol s, t J esetén Φ(t)P Φ 1 (s) (t > s) Γ(t, s) = Φ(t)(I P )Φ 1 (s) (t < s). J (4.54) Bizonyítás: Γ deníciójából következik, hogy tetsz leges s, t J esetén: d d Γ(t, s) = Φ(t)P dt Φ 1 (s) (t > s) = dt d Φ(t)(I P dt )Φ 1 (s) (t < s) = A(t)Φ(t)P Φ 1 (s) (t > s) A(t)Φ(t)(I P )Φ 1 (s) (t < s) = = A(t)Γ(t, s), és d Γ(t, s) = ds Φ(t)P d ds (Φ 1 (s)) (t > s) Φ(t)(I P ) d ds (Φ 1 (s)) (t < s) = = A(t)Φ(t)P Φ 1 (s)a(s) (t > s) A(t)Φ(t)(I P )Φ 1 (s)a(s) (t < s) = továbbá: = Γ(t, s)a(s), Γ(t, t + 0) Γ(t, t 0) = Φ(t)(I P )Φ 1 (t) Φ(t)P Φ 1 (t) = I. 54

Megmutatjuk, hogy a (4.53)-ben deniált függvény megoldása a (4.42) rendszernek. Legyen a, b R, a < b és tegyük fel, hogy J = [a, b]. µ (t) = Γ(t, t + 0)f(t) + Γ(t, t 0)f(t) + t a d b Γ(t, s)f(s)ds + dt t d Γ(t, s)f(s)ds = dt = f(t) + J A(t)Γ(t, s)f(s)ds = A(t)µ(t) + f(t) (t J), így ha J véges, akkor a (4.53)-ben deniált függvény valóban megoldás. Legyen most J = (, + ). Megmutatjuk a (3.20) egyenl tlenségek felhasználásával, hogy Γ(t, s) ds K 1 α + K 2, α 2 így a (4.53) J = (, + ) esetén is értelmes. Γ(t, s) ds = J J = t Φ(t)P Φ 1 (s) ds + + Φ(t)(I P )Φ 1 (s) ds t t K 1 e α 1(t s) ds + + K 2 e α 2(s t) ds = t t = K 1 e α 1t lim c c [ = K 1 e α 1t e α 1 s lim c e α 1s ds + K 2 e α 2t α 1 ] t c + K 2 e α 2t lim c c + t lim c + [ e α 2 s α 2 e α 2s ds = ] c t = = K 1 α 1 e α 1t (e α 1t lim c eα 1c ) K 2 α 2 e α 2t ( lim c + e α 2c e α 2t ) = 55

= K 1 α 1 + K 2 α 2. Mivel Γ(t, s) 0, így ha a J egyik végpontja véges, az iménti becslés akkor is érvényben marad, ugyanis legyen t 0 0 tetsz leges, ekkor + t 0 Γ(t, s) ds + Γ(t, s) ds K 1 α 1 + K 2 α 2, Így a t 0 Γ(t, s) ds + Γ(t, s)f(s) ds Γ(t, s) ds K 1 α 1 + K 2 α 2. Γ(t, s) f(s) ds J J egyenl tlenségb l adódik, hogy a (4.53)-ben megadott megoldás tetsz leges J intervallum esetén érvényes. Továbbá a µ { K1 + K } 2 f α 1 α 2 egyenl tlenségb l adódik, hogy a (4.53)-ben megadott megoldás korlátos, ahol f := sup f(t) t J jelöli az f C(J, R n ) függvény maximum normáját a J intervallumon. 4.3. Lemma. Legyen γ egy nemnegatív, lokálisan integrálható függvény, és tegyük fel, hogy C 0 R, hogy T > 0 esetén 1 T t+t t γ(s)ds C 0 (t 0). Ekkor ha α > 0, akkor minden t 0 esetén fennállnak a következ egyenl tlenségek: t 0 + t e α(t s) γ(s)ds e α(t s) γ(s)ds 56 C 0T, (4.55) 1 e αt C 0T. (4.56) 1 e αt

A bizonyítás megtalálható [4]-ben illetve [3]-ban T = 1 esetén, azok alapján nézzük meg tetsz leges T > 0 esetén az állítás bizonyítását. Bizonyítás: A feltételb l következik, hogy t+(k+1)t t+kt e α(t s) γ(s)ds (4.57) e αt t+(k+1)t t+kt e αs }{{} e α(t+kt ) γ(s)ds e αt e α(t+kt ) t+(k+1)t γ(s)ds e αkt T C 0. t+kt } {{ } T C 0 A (4.56) egyenl tlenséget összegre bontva, majd az összeg minden tényez jét a (4.57) egyenl tlenséggel becsülve: + t e α(t s) γ(s)ds = + k=0 t+(k+1)t t+kt e αs γ(s)ds + k=0 e αkt T C 0 + = T C 0 e αkt = k=0 C 0T 1 e αt. Ezzel a (4.56) egyenl tlenséget beláttuk. A (4.55) egyenl tlenség bizonyítása hasonlóan történik. Szintén a feltétel felhasználásával kapjuk, hogy: t kt e α(t s) γ(s)ds t (k+1)t e αt t kt t (k+1)t e αs }{{} e α(t kt ) γ(s)ds 57

e αt e α(t kt ) t kt γ(s)ds e αkt T C 0. t (k+1)t } {{ } T C 0 Majd a (4.55) egyenl tlenséget összegre bontva és az összeg tagjait külön-külön becsülve a (4.3) segítségével kapjuk, hogy t 0 e α(t s) γ(s)ds t e α(t s) γ(s)ds = + t kt e αs γ(s)ds k=0 t (k+1)t + k=0 + e αkt T C 0 = T C 0 e αkt = Ezzel a (4.55) egyenl tlenséget is beláttuk. k=0 C 0T 1 e αt. Most pedig nézzük meg az alfejezet f tételét, mely megtalálható [10]. 4.8. Tétel. Tegyük fel, hogy a (3.16) rendszernek exponenciális dichotómiája van a J = [t 0, + ) intervallumon (t 0 0) a K 1, K 2, α 1, α 2 > 0 konstansokkal, P projekcióval. Továbbá tegyük fel, hogy { inf inf B K1 T t 0 t M 0 T >0 J,T 1 e + K } 2T < 1, (4.58) α 1T 1 e α 2T ahol J = [t 0, + ). Ekkor a (4.50) rendszernek exponenciális dichotómiája van a [0, + ) intervallumon a K 1 = K 2 = K 3 > 0, α 1 = α 2 = α 3 > 0 konstansokkal és Q projekcióval. Továbbá igaz az Y (t)qy 1 (t) Φ(t)P Φ 1 (t) (K 1 + K 2 )K 3 (t J), (4.59) egyenl tlenség, ahol Y a (4.50) rendszer alapmátrixa. Bizonyítás: A (4.58) egyenl tlenségb l következik, hogy t 0 t 0 és T > 0, hogy a J = [t 0, + ) intervallumon igaz a B MJ,T < { K1 T 1 e + K } 1 2T (4.60) α 1T 1 e α 2T 58

egyenl tlenség. Legyen f M J,T, és deniáljuk a T operátort a (T y)(t) = Γ(t, s)b(s)y(s)ds + Γ(t, s)f(s)ds (t J ) (4.61) J J módon. Ekkor a 4.3. lemma segítségével belátható, hogy T folytonos, hiszen + + T (y)(t) Γ(t, s)b(s)y(s)ds + Γ(t, s)f(s)ds t 0 t 0 t Γ(t, s) { B(s)y(s) + f(s) } + ds + Γ(t, s) { B(s)y(s) + f(s) } ds t t 0 t Γ(t, s) { B MJ,T y + f MJ,T } ds+ t 0 + + Γ(t, s) { B MJ,T y + f MJ,T } ds t { } { t B MJ,T y + f MJ,T t 0 K 1 e α 1(t s) ds + + t } K 2 e α2(t s) ds { K1 T ( B MJ,T y + f MJ,T ) 1 e + K } 2T. α 1T 1 e α 2T Továbbá a fenti egyenl tlenség segítségével az is belátható, hogy T kontrakció, ugyanis ha y, z C(J, R n ), akkor (T y)(t) (T z)(t) = J Γ(t, s)b(s)(y(s) z(s))ds B MJ,T y z Γ(t, s) ds J { K1 T B MJ,T 1 e + K } 2T y z α 1T 1 e α. 2T }{{} <1 59

Így T -nek egyértelm en létezik xpontja, azaz egyértelm en létezik y C(J, R n ), amelyre y(t) = T (y)(t) minden t J esetén, de ez pontosan azt jelenti a 4.14. állítás alapján, hogy ez az y korlátos megoldása az ẏ = (A + B)y + f (4.62) dierenciálegyenlet-rendszernek a J intervallumon. Így a 4.13. állításból következik, hogy a (4.50) rendszernek exponenciális dichotómiája van a J intervallumon, de akkor a 3.9. állításból tudjuk, hogy [0, + ) intervallumon is. Végül bebizonyítjuk a (4.59) egyenl tlenséget. Ehhez el ször alakítsuk át az egyenl tlenségben lév mátrixot a következ képpen: Y (t)qy 1 (t) Φ(t)P Φ 1 (t)+ + Φ(t)P Φ 1 (t)y (t)qy 1 (t) Φ(t)P Φ 1 (t)y (t)qy 1 (t) = = ( }{{} I Φ(t)P Φ 1 (t))y (t)qy 1 (t) =Φ(t)Φ 1 (t) Φ(t)P Φ 1 (t)( }{{} I Y (t)qy 1 (t)) = =Y (t)y 1 (t) Így a normára = Φ(t)(I P )Φ 1 (t)y (t)qy 1 (t) Φ(t)P Φ 1 (t)y (t)(i Q)Y 1 (t). Y (t)qy 1 (t) + Φ(t)P Φ 1 (t)y (t)qy 1 (t) = = Φ(t)(I P )Φ 1 (t) Y (t)qy 1 (t) + + Φ(t)P Φ 1 (t) Y (t)(i Q)Y 1 (t) K 2 e α 2(t t) K 3 e α 3(t t) + K 1 e α 1(t t) K 3 e α 3(t t) = = K 3 (K 2 + K 1 ). 60

Az alábbi a 4.58 tétel következménye, ez szintén a (4.50) rendszer exponenciális dichotómiájára ad elégséges feltételt (vö.: [10]). 4.4. Következmény. Tegyük fel, hogy a (3.16) rendszernek exponenciális dichotómiája van a J = [t 0, + ) intervallumon (t 0 0) a K 1, K 2, α 1, α 2 > 0 konstansokkal, P projekcióval. Továbbá tegyük fel, hogy lim sup B(s) < s + { K1 + K } 1 2. (4.63) α 1 α 2 Ekkor a (4.50) rendszernek exponenciális dichotómiája van a [0, + ) intervallumon a K 1 = K 2 = K 3 > 0, α 1 = α 2 = α 3 > 0 konstansokkal és Q projekcióval. Továbbá igaz az Y (t)qy 1 (t) Φ(t)P Φ 1 (t) (K 1 + K 2 )K 3 (t J) (4.64) egyenl tlenség, ahol Y a (4.50) rendszer alapmátrixa. Bizonyítás: A (4.63) egyenl tlenségb l látható, hogy valamely J intervallum esetén minden T > 0-ra B MJ,T < Legyenek c 0, α > 0 konstansok és tekintsük a g(t) = függvényt. Ennek deriváltjára teljesül a { K1 + K } 1 2. (4.65) α 1 α 2 c 0 t 1 e αt (t > 0) (4.66) g (t) = c 0(e αt 1 αt) e αt (1 e αt ) 2 > 0 (t > 0) (4.67) egyenl tlenség, hiszen a nevez pozitív, és a 2. ábra alapján látható, hogy a számlálóban lév kifejezés is pozitív. Így inf g(t) = lim g(t) = c 0 t>0 t 0 + α. (4.68) Mindezekb l következik, hogy inf T >0 B MJ,T { } < 1 e α 2T K1 T 1 e + K 2T α 1T 61

6 4 y e x 1 + x 2 2 1 2 3 4 5 x 2. ábra. A (4.67)-ben található tört számlálójának el jelét mutató ábra. < { K1 + K } 1 { 2 K1 T inf α 1 α 2 T >0 1 e + K } 2T α 1T 1 e α 2T { K1 + K } 1 { 2 K1 + K } 2 = 1. α 1 α 2 α 1 α 2 Tehát ebben az esetben is teljesül a (4.58) feltétel, így a 4.8. tétel miatt igaz a 4.4. következmény. A következ példában a (3.16) rendszert fogjuk vizsgálni olyan együtthatóval megadva, hogy a rendszer exponenciális dichotómiájára vonatkozóan a már korábban ismertetett 4.12. tételb l és a jelen fejezet f eredményéb l, a 4.8. tételb l (illetve annak a 4.4. következményéb l) is információt tudunk nyerni. Tehát az együttható periodikus lesz, de összegre fogjuk bontani úgy, hogy a 4.8. tételt is alkalmazni tudjuk. 4.10. Példa. Tegyük fel, hogy a (3.16) rendszer együtthatómátrixa a következ képpen deniált: A(t) = 2 + δ cos2 (t) 0 (t [0, + )). (4.69) 0 1 + δ sin 2 (t) Látható, hogy a (4.69) periodikus függvény, így a 4.12. állítás segítségével nézzük meg, hogy mikor lesz exponenciálisan dichotóm. A rendszer alapmátrixa: Φ(t) = exp{ 1 (δ sin(2t) + t(8 + 2δ)} 0 4 0 exp{ 1 (δ sin(2t) + t(4 2δ)} 4 62 (t [0, + )),

a monodrómia mátrix: C = Φ 1 (0)Φ(π) = 1 0 exp{ π (4 + δ)} 0 2, 0 1 0 exp{ π (δ 2)} 2 tehát a karakterisztikus multiplikátorok: µ 1 = exp{ π 2 (4 + δ)}, µ 2 = exp{ π (δ 2)}. 2 Így a 4.12. állítás alapján a rendszer pontosan akkor exponenciálisan dichotóm, ha µ 1 = exp{ π (4 + δ)} 1 δ 4, 2 és µ 2 = e π 2 (δ 2) 1 δ 2. Ezután bontsuk fel a (4.69) együtthatót a következ képpen: A(t) = 2 + δ cos2 (t) 0 = 2 0 + δ cos2 (t) 0 0 1 + δ sin 2 (t) 0 1 0 δ sin 2 (t) (t [0, + )). A 4.11. állításból tudjuk, hogy az ẋ = 2 0 x 0 1 rendszer exponenciálisan dichotóm a K 1 = K 2 = 1, α 1 = 1, α 2 = 2 konstansokkal a [0, + ) intervallumon. A 4.4. következmény pedig azt mondja, hogy a perturbált rendszer exponenciálisan dichotóm, ha δ = lim sup B(s) < K 1 + K 1 2 = ( 1 s + α 1 α 2 1 + 1 2 ) 1 = 2 3. 63

5. Diszkrét idej rendszer exponenciális dichotómiája Ebben a fejezetben azt nézzük meg, hogy az exponenciális dichotómia fogalma hogyan néz ki diszkrét idej dierenciálegyenlet-rendszereknél. Ehhez tekintsük az x(n + 1) = A(n)x(n) (n J Z) (5.70) rendszert, ahol tetsz leges rögzített n J esetén A(n) R d d, A(n) invertálható. Jelölje Φ az (5.70) rendszer alapmátrixát, ekkor Φ(n) = A(n 1)... A(0) (n J). A továbbiakban legyen J = Z + := {0,...}. 5.10. Deníció. Azt mondjuk, hogy az (5.70) rendszernek exponenciális dichotómiája van Z + -on, ha léteznek K, α > 0 konstansok és P projekció úgy, hogy minden m, n Z + esetén Φ(n)P Φ 1 (m) Ke α(n m) (n m), Φ(n)(I P )Φ 1 (m) Ke α(m n) (m n). [23]-ben található egy ett l nem sokban eltér deníció, érdemes azonban ezt is megnézni, mert a diszkrét idej rendszerek exponenciális dichotómiájának vizsgálatakor elterjedtek ehhez hasonló megközelítések, illetve ebben a fejezetben is mutatunk majd egy példát, amelynél kényelmesebb lesz ezt a deníciót ellen rizni. 5.11. Deníció. Azt mondjuk, hogy az (5.70) rendszernek exponenciális dichotómiája van Z + -on, ha léteznek K > 0, 0 < p < 1 konstansok és P projekció úgy, hogy tetsz leges m, n Z + esetén teljesülnek a Φ(n)P Φ 1 (m) Kp n m (n m), Φ(n)(I P )Φ 1 (m) Kp m n (m n). egyenl tlenségek. 5.15. Állítás. az 5.10. és az 5.11. deníciók ekvivalensek. 64

Bizonyítás: 1. lépés: Tegyük fel, hogy az 5.10. deníció teljesül. Ekkor az 5.11. deníció is igaz a p := e α konstanssal és természetesen ugyanazzal a P projekcióval és K konstanssal. Továbbá az így deniált p-re teljesül az 5.11. denícióban szerepl feltétel is, hiszen α > 0 α < 0 e α < 1, illetve az exponenciális függvény pozitív tulajdonsága miatt e α > 0, így 0 < p < 1. 2. lépés: Tegyük fel, hogy az 5.11. deníció teljesül. Legyen ( ) 1 α := log = log(p), p így 0 < p < 1 log(p) < 0 log(p) > 0, azaz az így deniált α konstans pozitív. Továbbá nyilvánvaló, hogy az 5.10. deníció teljesül α, K konstansokkal és P projekcióval, ahol K és P az 5.11. denícióból származnak. Tehát a két deníció valóban ekvivalens. Diszkrét idej rendszerek esetében is megadható az exponenciális dichotómia fogalma projekciók egy családjának létezésével (egy projekció létezése helyett), err l szól a következ állítás. 5.16. Állítás. Az (5.70) rendszernek pontosan akkor van exponenciális dichotómiája Z + -on a K, α pozitív konstansokkal és P projekcióval, ha léteznek K, α pozitív konstansok és projekciók egy P (n) (n Z + ) családja úgy, hogy minden m, n Z + esetén P (n + 1)A(n) = A(n)P (n) (5.71) Φ(n)Φ 1 (m)p (m) K e α (n m) Φ(n)Φ 1 (m)(i P (m)) K e α (m n) (n m), (5.72) (m n). (5.73) 65

Bizonyítás: 1. lépés: Tegyük fel, hogy az (5.70) rendszernek exponenciális dichotómiája van. Deniáljuk projekciók egy családját, majd megmutatjuk, hogy ehhez léteznek olyan konstansok, melyekkel teljesülnek az (5.71), (5.72), és (5.73) feltételek. Legyen P (n) = Φ(n)P Φ 1 (n) (n Z + ), ahol P az exponenciális dichotómiából származó projekció, továbbá az állításban szerepl konstansokat válasszuk K := K, α := α módon. Vegyük észre, hogy tetsz leges n Z + esetén teljesülnek a következ azonosságok: Φ(n + 1) = A(n)A(n 1)... A(0) = A(n)Φ(n), Φ 1 (n + 1)A(n) = A 1 (0)... A 1 (n 1)A 1 (n)a(n) = Φ 1 (n). Így tetsz leges n Z + esetén P (n + 1)A(n) = Φ(n + 1)P Φ 1 (n + 1)A(n) = = A(n)Φ(n)P Φ 1 (n) = A(n)P (n), azaz az (5.71) azonosság teljesül. Továbbá tetsz leges n, m Z + esetén teljesülnek a Φ(n)Φ 1 (m)p (m) = Φ(n)Φ 1 (m)φ(m)p Φ 1 (m) = = Φ(n)P Φ 1 (m), Φ(n)Φ 1 (m)(i P (m)) = Φ(n)Φ 1 (m)(i Φ(m)P Φ 1 (m)) = = Φ(n)Φ 1 (m)φ(m)(i P )Φ 1 (m) = = Φ(n)(I P )Φ 1 (m), azonosságok, így az 5.10. denícióban szerepl egyenl tlenségek teljesülése maga után vonja az (5.72) és az (5.73) egyenl tlenségek teljesülését. 66

2.lépés: Tegyük fel, hogy az 5.16. állításban szerepl feltételek teljesülnek. Legyen most is K := K és α := α és a denícióban szerepl projekciót pedig válasszuk P := P (0) módon. Az (5.71) feltételb l következik, hogy n, m Z + esetén P (m) = A(m)P (m)a 1 (n) =... = = A(m)... A(0)P (0)A 1 (0)... A 1 (m) = Így n, m Z + esetén a = Φ(m)P Φ 1 (m). Φ(n)P Φ 1 (m) = Φ(n)Φ 1 (m)p (m), Φ(n)(I P )Φ 1 (m) = Φ(n)Φ 1 (m)(i P (m)), azonosságokból és az (5.72) és (5.73) egyenl tlenségekb l következik, hogy a választott konstansokkal és projekcióval teljesülnek az exponenciális dichotómia 5.10. denícióban szerepl feltételei. A következ példában egy egyszer esetben vizsgáljuk az exponenciális dichotómia létezését, nevezetesen amikor az (5.70) rendszer állandó együtthatós és az együtthatómátrix diagonális. Legyen d = 2 és tegyük fel, hogy 1 / σ(a), azaz, hogy a rendszer együtthatómátrixa a következ alakú: A(n) A = eδ 1 0 (n Z + ), (5.74) 0 e δ 2 ahol δ 1, δ 2 R \ {0}. Nyilván az A mátrix invertálható, ugyanis A inverze: A 1 = e δ 1 0. 0 e δ 2 67

Határozzuk meg a rendszer alapmátrixát. Φ(n) = A(n 1)... A(0) = A n = enδ 1 0 (n Z + ), 0 e nδ 2 ugyanis diagonális mátrix k. hatványa egy olyan diagonális, mely f átlójának j. eleme a hatványozandó mátrix j. f átlóbeli elemének k. hatványa. Az alapmátrix inverze Φ 1 (n) = e nδ 1 0 (n Z + ). 0 e nδ 2 A P projekciót δ 1 és δ 2 el jelének függvényében a következ képpen határozzuk meg: I. δ 1 < 0 és δ 2 < 0 = P = 1 0, 0 1 II. δ 1 < 0 és δ 2 > 0 = P = 1 0, 0 0 III. δ 1 > 0 és δ 2 < 0 = P = 0 0, 0 1 V I. δ 1 > 0 és δ 2 > 0 = P = 0 0, 0 0 azaz röviden: P = χ {δ 1 <0} 0, (5.75) 0 χ {δ2 <0} ahol χ A jelöli az A halmaz karakterisztikus függvényét, 1 (x A), χ A (x) = 0 (x / A). Tegyük fel, hogy a II. eset áll fenn, azaz δ 1 < 0 és δ 2 > 0. Nézzük meg, hogy milyen konstansokkal teljesül az 5.10. deníció az imént meghatározott P projekcióval. Legyen 68

n, m Z + tetsz leges, ekkor: Φ(n)P Φ 1 (m) = enδ 1 0 1 0 Φ 1 (m) = 0 e nδ 2 0 0 = enδ 1 0 e mδ 1 0 = e δ 1 (n m) 0, 0 0 0 e mδ 2 0 0 és Φ(n)(I P )Φ 1 (m) = enδ 1 0 0 0 Φ 1 (m) = 0 e nδ 2 0 1 = 0 0 e mδ 1 0 = 0 0, 0 e nδ 2 0 e mδ 2 0 e δ 2(m n) így a denícióban szerepl mátrixnormákra felírhatóak a Φ(n)P Φ 1 (m) e δ 1 (n m) (n m), Φ(n)(I P )Φ 1 (m) e δ 2(m n) (m n). Ami azt jelenti, hogy a vizsgált rendszer exponenciálisan dichotóm a P projekcióval és a K = 1, α = min{ δ 1, δ 2 } konstansokkal. Általánosan az mondható az I.VI. esetekben, hogy a rendszer exponenciálisan dichotóm a (5.75) projekcióval és a K = 1, α = min{ δ 1, δ 2 } konstansokkal. A következ példában egy nem-autonóm rendszer exponenciális dichotómiáját vizsgáljuk. A példa megtalálható [23]-ben. 5.11. Példa. Legyen az (5.70) rendszer együtthatómátrixa a következ : 1 ) 3n A(n) = ( 2 +3n+1 2 3n2 +3n+1 ( ) 1 3n 2 +3n+1 2 2 (n Z). (5.76) 0 2 3n2 +3n+1 Megmutatjuk, hogy az így deniált rendszer exponenciálisan dichotóm a K = 2, p = 1 2 konstansokkal és a P = 1 1 0 0 69

projekcióval. A rendszer alapmátrixa: Φ(n) = ( 1 2 ) n 3 2 n3 ( 1 2 0 2 n3 ) n 3 (n Z). (5.77) Az 5.11. denícióban szerepl egyenl tlenségeket ellen rizzük le. Nézzük el ször a denícióban szerepl els egyenl tlenséget. Legyen n, m Z tetsz leges, ekkor n 3 Φ(n)P Φ 1 (m) = 2m3 2 m3 n 3, 0 0 így az 1 normát használva Φ(n)P Φ 1 (m) 1 = 2 m3 n 3 (n m). Kellene, hogy tetsz leges n m esetén teljesül a ( ) n m 2 m3 n 1 3 2 = 2 m n+1 2 egyenl tlenség, ami m = n esetén nyilvánvalóan igaz, m < n esetén pedig ekvivalens az m 3 n 3 m n + 1 (5.78) egyenl tlenséggel. Az (5.78) egyenl tlenség teljesülése látható a 3. ábrából. Hasonlóan megy az 5.11. denícióban szerepl második egyenl tlenség ellen rzése is. Legyen n, m, Z tetsz leges, el ször meghatározzuk a vizsgálandó mátrixot: Φ(n)(I P )Φ 1 (m) = 0 m 3 2n3, 0 2 n3 m 3 így a normát használva Φ(n)(I P )Φ 1 (m) = 2 n3 m 3 (n, m Z). Most a következ egyenl tlenségnek kell teljesülnie: ( ) m n 2 n3 m 1 3 2 = 2 n m+1 (n m), 2 ami n = m esetén nyilvánvalóan igaz, n < m esetén pedig ekvivalens a n 3 m 3 n m + 1, (5.79) egyenl tlenség fennállásával, aminek teljesülését a 4. ábra mutatja. 70

3. ábra. Az (5.78) egyenl tlenségben szerepl kifejezések ábrázolása. 4. ábra. Az (5.79) egyenl tlenségben szerepl kifejezések ábrázolása. 71