Elméleti Mechanika "A" szintű kurzus az ELTE fizika BSc. másodéves hallgatói számára Györgyi Géza Kézirat alapján az anyag nagy részét L A TEX-be jegyezték és számos ábrát készítettek: Balogh Ferenc, Bíró Gábor, Fábián Gábor, Kapás Kornél, Kálmán Dávid, Kukucska Gergő, Márkus Bence Gábor, 2017. szeptember 18. 21:26:22 Nem végleges anyag, fejlesztés alatt áll.
i Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Bevezetés 3 2.1. Nagyságrendek............................................. 3 2.2. A klasszikus mechanika érvényessége................................. 4 2.3. Jelölések................................................ 5 3. Newton törvényei 6 4. Galilei-féle relativitás 11 5. Gyorsuló koordinátarendszerek, mozgásegyenletek átszámítása 12 5.1. Transzlációsan gyorsuló rendszer.................................... 12 5.2. Forgó rendszer azonos origóval..................................... 12 5.2.1. Vektorok transzformációja................................... 13 5.2.2. Sebességek átszámítása..................................... 14 5.2.3. Általános vektor időderiváltjának átszámítása......................... 15 5.2.4. Gyorsulások átszámítása.................................... 16 5.3. Tehetetlenségi gyorsulások és erők................................... 18 5.4. Tehetetlenségi erők a Földön...................................... 19 5.4.1. A Föld forgása és szöggyorsulása................................ 19 5.4.2. Tehetetlenségi erők becslése.................................. 19 5.4.3. A Coriolis-erő hatásai...................................... 21 6. Bevezetés a mechanika variációs elveibe 24 6.1. A variációszámítás elemei....................................... 24
2017. szeptember 18. 21:26:22 ii TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 6.1.1. Funkcionálok.......................................... 24 6.1.2. A variációszámítás alapfeladata................................ 25 6.1.3. Jelölések, elnevezések...................................... 26 6.1.4. Stacionaritás.......................................... 27 6.1.5. Diszkretizáció, Euler Lagrange-egyenlet............................ 28 6.1.6. A stacionárius funkcionál mint a határok függvénye...................... 31 6.1.7. Variációs probléma nem rögzített határpontok mellett..................... 33 6.1.8. A legrövidebb út a síkon.................................... 34 6.1.9. Az Euler Lagrange-egyenlet diszkretizáció nélkül...................... 37 6.1.10. Speciális esetek......................................... 40 6.1.11. Példák............................................. 41 6.1.12. Értelmezés........................................... 45 6.1.13. Kiterjesztések.......................................... 45 6.1.14. Kényszerfeltételek és a Lagrange-féle multiplikátorok módszere................ 47 6.2. Lagrange-féle mechanika........................................ 53 6.2.1. Potenciálos erők hatására mozgó tömegpontok........................ 53 6.2.2. A Hamilton-elv Descartes-koordinátákkal........................... 56 6.2.3. Holonom kényszerek figyelembe vétele általános koordinátákkal................ 57 6.2.4. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett: mozgásegyenletek általános koordinátákkal. 59 6.2.5. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett II: a Lagrange-multiplikátorok módszere... 62 6.2.6. A mozgásegyenlet transzformációja általános koordinátákra: a kényszererők eliminálása... 63 6.2.7. Az általános koordináták szerinti stacionaritási feltétel éppen a mozgásegyenlet........ 64 6.2.8. Megmaradási tételek...................................... 67 6.2.9. Példák a Lagrange-féle mechanikára.............................. 69 7. Egydimenziós konzervatív rendszer 77 7.1. Mozgásegyenlet és energiamegmaradás................................ 77
2017. szeptember 18. 21:26:22 iii TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 7.2. A mozgásegyenlet megoldása..................................... 79 7.3. Fázistér I: pályák globális szemléltetése................................ 81 7.3.1. Harmonikus oszcillátor..................................... 81 7.3.2. Általános potenciál....................................... 82 7.4. Inverz probléma: a periódusidőből visszakövetkeztetünk a potenciálra................ 84 7.5. Anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás és dimenzióanalízis........... 87 7.5.1. Perturbált harmonikus potenciál................................ 87 7.5.2. Periódusidő sorfejtése - vezető korrekció............................ 88 7.5.3. Dimenzióanalízis: periódusidő a tiszta hatvány potenciálban.................. 90 7.6. Fázistér II: stabilitásvesztés, bifurkációk................................ 91 7.6.1. Másod-negyedfokú potenciál.................................. 91 7.6.2. Vasvilla (pitchfork) bifurkáció................................. 92 7.6.3. Első-harmadfokú potenciál................................... 93 7.6.4. Tangens bifurkáció....................................... 94 7.7. Síkinga................................................. 97 7.7.1. Mozgásegyenlet......................................... 97 7.7.2. Kis rezgések.......................................... 98 7.7.3. Fázistér szerkezete....................................... 98 7.7.4. Időfüggés............................................ 99 7.7.5. Lengések periódusideje..................................... 100 7.8. Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel............................... 103 7.8.1. Harmonikus gerjesztés..................................... 104 7.8.2. Általános gerjesztés: megoldás Fourier-transzformációval.................... 105 7.8.3. Általános gerjesztés: megoldás Green-függvénnyel....................... 106 7.8.4. Rezonáns gerjesztés....................................... 109 7.9. Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása....................... 110 7.9.1. Másod-harmadfokú potenciál.................................. 111
2017. szeptember 18. 21:26:22 iv TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 7.9.2. Másod-negyedfokú potenciál.................................. 113 7.9.3. Általános perturbáció: a szukcesszív approximáció módszere Green-függvénnyel........ 115 8. Csillapított mozgások 118 8.1. Súrlódási erő sűrű közegben...................................... 118 8.2. Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus............... 118 8.2.1. Disszipációs függvény descartes-i koordinátákkal........................ 118 8.2.2. Disszipációs függvény általános koordinátákkal........................ 120 8.2.3. Az energia megváltozása.................................... 122 8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor................................... 125 8.3.1. Gyenge csillapítás (2ω 0 > α).................................. 125 8.3.2. Erős csillapítás (2ω 0 < α)................................... 128 8.3.3. Anharmonikus határeset (2ω 0 = α).............................. 128 8.4. Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor............................. 130 8.4.1. Harmonikus gerjesztés..................................... 130 8.4.2. Általános gerjesztés....................................... 134 9. Síkmozgások 2D 136 9.1. Potenciálmozgás csillapítással..................................... 136 9.2. Lissajous-görbék............................................ 137 9.3. Anharmonikus potenciálok....................................... 139 10. Centrális mozgások 140 10.1. Alapok................................................. 140 10.2. Síkbeli mozgás............................................. 141 10.3. Hatvány potenciál........................................... 142 10.4. Kepler-mozgás............................................. 144 10.5. A pályák alakja............................................. 145
2017. szeptember 18. 21:26:22 v TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 10.5.1. A hodográf........................................... 145 10.5.2. A pályák polárkoordinátás egyenlete.............................. 146 10.5.3. Az energia........................................... 147 10.5.4. Derékszögű koordinátás egyenlet................................ 147 10.6. A pályák fajtái............................................. 149 10.7. Kepler törvényei............................................ 150 10.8. Ellipszispályák időfüggése....................................... 151 10.8.1. Egzaktul............................................ 151 10.8.2. Perturbációszámítással ɛ szerint................................ 152 10.8.3. Bolygók excentricitása..................................... 153 10.8.4. A Laplace Runge Lenz-vektor................................. 153 10.9. Szórásszámítás............................................. 155 10.9.1. A V (r) = αm /r potenciál................................... 155 10.10. Hatáskeresztmetszet.......................................... 156 10.11. Rutherford-szórás............................................ 159 10.12. Fázistér................................................. 160 11. Fizikai dimenziók 163 11.1. Mozgásegyenletek dimenziótlanítása, mechanikai hasonlóság..................... 163 11.2. Dimenzióanalízis............................................ 164 12. Pontrendszerek: szimmetriák és megmaradási tételek 165 12.1. A Lagrange-függvény megváltozása a koordináták transzformációjakor................ 165 12.2. Időeltolás................................................ 166 12.3. Koordinátatranszformációk....................................... 166 12.3.1. Térbeli eltolás.......................................... 167 12.3.2. Térbeli forgatás......................................... 167 12.4. Általános szimmetria.......................................... 168
2017. szeptember 18. 21:26:22 vi TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 12.5. Összefoglalás............................................. 169 12.6. Kéttestprobléma............................................ 170 13. Kényszerek 172 13.1. Virtuális elmozdulások és a D Alembert-elv.............................. 172 13.1.1. Tömegpont........................................... 172 13.1.2. Pontrendszer több kényszer hatása alatt............................ 173 13.2. Egyensúly................................................ 174 13.3. Kényszerek osztályozása........................................ 175 13.4. Lagrange-féle elsőfajú egyenletek.................................... 176 13.5. Energiatétel kényszerek jelenlétében.................................. 177 14. Kényszerek általános koordinátákkal 177 14.1. Holonom kényszerek.......................................... 177 14.2. Anholonom kényszerek......................................... 179 14.3. Kényszermozgás görbén és felületen.................................. 181 15. Kis rezgések az egyensúly körül 184 15.1. Sajátrezgések konzervatív, időfüggetlen rendszerben.......................... 184 16. A Hamilton-függvény és a kanonikus formalizmus 189 16.1. Legendre-transzformáció egy változóban................................ 189 16.2. Legendre-transzformáció több változóban............................... 190 16.3. Paramétertől való függés........................................ 190 16.4. Hamilton-egyenletek potenciálmozgásokra............................... 191 16.5. Időbeli változás a pálya mentén.................................... 193 16.6. Ciklikus koordináta........................................... 193 16.7. Részleges Legendre-transzformált: a Routh-függvény......................... 193
2017. szeptember 18. 21:26:22 vii TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 16.8. Kvadratikus kinetikus energia..................................... 195 16.9. Példák hamiltoni rendszerekre..................................... 195 16.9.1. Egydimenziós potenciálmozgás................................. 195 16.9.2. Mozgás kúpfelületen...................................... 196 16.9.3. Csillapított rezgés Lagrange- és Hamilton-formalizmussal................... 196 16.9.4. Töltött részecske mozgása elektromágneses térben...................... 197 16.10. Variációs elv a fázistérbeli trajektóriák felett.............................. 198 16.11. Liouville tétele............................................. 198 16.12. Poisson-zárójelek............................................ 199 16.12.1. Definíció............................................ 199 16.12.2. Tulajdonságai.......................................... 200 16.12.3. Mozgásállandók......................................... 200 16.12.4. Tömegpont impulzusmomentuma............................... 201 16.13. A hatás mint a kezdő- és végpont függvénye a pálya mentén..................... 202 16.14. Hamilton Jacobi-egyenlet....................................... 202 16.14.1. Levezetése........................................... 202 16.14.2. A trajektória meghatározása.................................. 203 16.14.3. A geometriai optika eikonál-egyenlete............................. 203 16.15. Adiabatikus invariáns.......................................... 205 16.15.1. Egydimenziós hamiltoni rendszer................................ 205 16.15.2. Fázistérbeli terület....................................... 205 16.15.3. Lassan változó paraméter.................................... 206 16.15.4. Harmonikus oszcillátor és az 1/r potenciál........................... 206 16.15.5. Kvantummechanikai kitekintés: a korrespondencia elv..................... 208 17. Merev testek 209 17.1. Szögsebesség invarianciája....................................... 209
2017. szeptember 18. 21:26:22 viii TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 17.2. Tehetetlenségi nyomaték tenzor.................................... 209 17.3. Impulzusmomentum.......................................... 212 17.4. Mozgásegyenletek........................................... 212 17.4.1. Teljes impulzus......................................... 212 17.4.2. Teljes impulzusmomentum................................... 213 17.4.3. Energiamegmaradás...................................... 213 17.5. Lagrange-formalizmus......................................... 214 17.6. Erőmentes pörgettyűk......................................... 215 17.6.1. Gömbi pörgettyű........................................ 215 17.6.2. Rotátor............................................. 215 17.6.3. Szimmetrikus pörgettyű.................................... 216 17.7. Euler-egyenletek: mozgásegyenletek főtengelyrendszerben....................... 217 17.8. Súlyos pörgettyű............................................ 219 17.8.1. Euler-szögek.......................................... 219 17.9. A szimmetrikus súlyos pörgettyű mozgásegyenletei.......................... 221 17.10. A precesszió szemléletes magyarázata................................. 226 17.11. Aszimmetrikus erőmentes pörgettyű.................................. 229 18. Egydimenziós rugalmas kontinuum 230 18.1. Előfeszített rugókkal kapcsolt testek: 2D lánc és folytonos határesete, a hiperlineáris húr...... 230 18.2. Hamilton-elv a kontinuum mechanikában............................... 232 18.3. A kontinuum Hamilton-elv kiterjesztései................................ 233 18.3.1. Magasabb dimenziók...................................... 234 18.3.2. Magasabb deriváltak...................................... 234 18.4. A húr kis rezgései: harmonikus közelítés................................ 234 18.5. Hullámegyenlet............................................. 236 18.5.1. Haladó megoldás........................................ 236
2017. szeptember 18. 21:26:22 ix TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 18.5.2. Szabad vég........................................... 237 18.5.3. Rögzített vég.......................................... 237 18.5.4. Megoldás Fourier-sorral rögzített végek mellett........................ 238 19. Vékony rudak hajlítása 241 19.1. A Lagrange-féle sűrűségfüggvény és a mozgásegyenlet harmonikus közelítésben........... 241 19.2. Két végén feltámasztott előfeszítésmentes (F = 0) rúd hajlása.................... 243 19.3. Befogott rúd szabad végét húzzuk merőlegesen............................ 245 19.4. Hosszirányban összenyomott rúd Euler-féle instabilitása........................ 246 20. Kétdimenziós kontinuum: membránok 247 20.1. Feszített membránok transzverzális rezgései.............................. 247 21. Háromdimenziós rugalmas kontinuum, a deformáció és a feszültség tenzora 249 21.1. A deformációtenzor definíciója..................................... 249 21.2. A deformációtenzor értelmezése.................................... 250 21.3. Rugalmas energia............................................ 251 21.4. Feszültségtenzor............................................ 253 21.5. Izotróp test mozgásegyenlete...................................... 256 22. Hullámok rugalmas testekben 261 22.1. Longitudinális hullám.......................................... 261 22.2. Torziós hullám............................................. 261 22.3. Térbeli hullámegyenlet......................................... 262 22.4. Belső csillapodás............................................ 263 23. Áramló közegek alapfogalmak és mozgásegyenletek 265 23.1. Kontinuitás............................................... 265
2017. szeptember 18. 21:26:22 x TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 23.2. Állapotegyenlet............................................. 266 23.3. Hidrodinamikai derivált......................................... 266 23.4. Feszültségtenzor............................................ 267 23.5. Navier Stokes-egyenlet......................................... 267 23.6. Összefoglalva.............................................. 268 24. Ideális ill. összenyomhatatlan folyadék 269 24.1. Ideális: nem súrlódó, adiabatikus.................................... 269 24.2. Összenyomhatatlan........................................... 269 24.3. Ideális, összenyomhatatlan....................................... 270 25. Bernoulli-egyenlet ideális folyadékban 270 25.1. Stacionáris áramlás (v t = 0) konzervatív erőtérben:......................... 270 25.2. Összenyomhatatlan folyadék...................................... 271 25.3. Nyomási függvény........................................... 271 25.4. Bernoulli-törvény barotróp folyadékban................................ 272 25.5. Mikor tekinthető összenyomhatatlannak egy áramlás?......................... 273 26. Örvényesség, cirkuláció 274 26.1. Örvényvektor.............................................. 274 26.2. Örvényvonal, cső és fonal..................................... 275 26.3. Thomson (Kelvin) örvénytétele..................................... 275 27. Síkbeli áramlások - örvénymentes, összenyomhatatlan, stacionárius 276 27.1. z-től független síkmetszet...................................... 276 27.2. Komplex függvények.......................................... 277 27.3. Komplex sebesség........................................... 278 27.4. Példák................................................. 278
2017. szeptember 18. 21:26:22 xi TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK 27.5. Cirkuláció................................................ 280 A. A forgásmátrix időderiváltjai és a tehetetlenségi erők 282 A.1. Két dimenzió.............................................. 282 A.2. Három dimenzió............................................ 282 A.2.1. Az ortogonális mátrix kettős szerepe.............................. 282 A.2.2. A forgásmátrix differenciálegyenlete, és ennek megoldása egyenletes forgás esetén...... 283 A.2.3. Gyorsulások átszámítása: a hagyományos módszer....................... 285 B. Egydimenziós mozgások 285 B.1. Mozgás fordulópont közelében..................................... 285 B.1.1. Közel lineáris potenciál..................................... 286 B.1.2. A fordulópont lokális maximum: közel kvadratikus potenciál................. 287 B.2. A mozgásegyenlet megoldása részletesen............................... 287 B.3. Mozgás potenciálgödör alján: a harmonikus oszcillátor........................ 289 B.3.1. Mozgásegyenlet......................................... 289 B.3.2. A harmonikus oszcillátor mozgásegyenletének megoldása................... 290 B.3.3. Az energiamegmaradás alapján................................. 290 B.3.4. Exponenciális próbafüggvény behelyettesítésével........................ 291 B.3.5. Periódusidő........................................... 292 B.3.6. Általános kvadratikus potenciál................................. 292 B.4. Periódusidő általános alakja negyedfokú perturbáció mellett...................... 292 B.4.1. Amplitúdófüggés........................................ 293 B.4.2. Energiafüggés.......................................... 293 B.4.3. Nagy kitérések......................................... 294 B.4.4. "Lágyuló" potenciál: ɛ < 0.................................... 294 B.4.5. Globális függvénymenet..................................... 295 B.5. Optimalizált perturbációszámítás................................... 295
2017. szeptember 18. 21:26:22 xii TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK B.5.1. Kvadratikus perturbáció: a rugóállandót perturbáljuk..................... 296 B.5.2. Módosítjuk a perturbálatlan potenciált............................. 296 B.5.3. A hiba minimalizálása..................................... 297 C. Hamiltoni mechanikai kiegészítés 299 C.1. Tömör jelölés a szimplektikus mátrix segítségével........................... 299 C.2. Mozgásállandók generálása....................................... 301 C.2.1. Kapcsolat a kvantummechanikával............................... 301
2017. szeptember 18. 21:26:22 1 1. Előszó 1 ELŐSZÓ Az Az emelet szint kurzus sorozat első tantárgya az Elméleti Mechanika A, az ELTE fizikus képzés része több, mint fél évszázada. Míg számos kiváló mechanika tankönyv létezik, az ELTE-n előadott Elméleti Mechanika tárgyból eddig nem készült közreadható jegyzet. E hiányt igyekszünk most pótolni. A tárgyat Tél Tamás professzor adta elő korábban, a szerző az ő órajegyzetére és más tankönyvekre támaszkodott, valamint a saját kútfejéből merített. Lelkes és felkészült hallgatók a kurzus nagy részét L A TEX-be írták, s ez képezte az itt közreadott jegyzet alapját. Ez egyben a vetített előadás diasorozata, nem olyan részletes, mint egy könyvszerű jegyzet, de törekedtünk arra, hogy önállóan használható legyen. Az előadás hallgatóságának az ajánljuk, hogy a diákon általában a címeket, egyenleteket, ábrákat figyeljék, hosszabb szöveget ne kezdjenek olvasni, a magyarázat az előadó dolga. A jegyzetet fejlesztjük, véleményeket, jelzéseket hibákról, vagy éppen jónak ítélt részekről szívesen vesszük. Elméleti Mechanika A jelenleg a második évfolyam első félévében tartatik. Megelőzik és megalapozzák az első évben az ELTE fizika BSc. alap ill. emelt szintű, pont- és kontinuummechanika, valamint a matematikai módszereket tárgyaló kurzusok. A 2017-18. tanévtől kezdve az Elméleti Mechanika A kettéválik alap- és emelt szintű kurzusokra. E jegyzetben (*) jelöli az emelt szint fejezeteit. Jelen kurzus nagyrészt az első évben megismert témaköröket, fizikai rendszereket tárgyalja azzal a különbséggel, hogy itt egyrészt variációs elvekre építünk, másrészt egyes jelenségeket részletesebben leírunk. Mivel az elsős mechanika kurzusok óraszámának 2/3-a áll a rendelkezésünkre, több ott tárgyalt részt nem, vagy rövidebben említünk. Számos fogalom bevezetésekor is építünk az első éves anyagra. Példaként említjük a rugalmas feszültség tenzorát, melyet az elsős kurzus definiált és fizikai jelentését megvilágította, e jegyzetben pedig a feszültségtenzort a korábbi tárgyalásnál lényegesen rövidebb módon, klasszikus térelméleti, variációs alapon vezetjük be, majd ennek a korábbival való ekvivalenciáját mutatjuk ki. Az Elméleti Mechanika tematikájának több elsős kurzuséval való jelentős átfedése megengedi a vetítéses előadást. Amellett, hogy a korában elhangzott alapok felidézésében gyorsabban haladhatunk a diák segítségével, az előadó az új részek magyarázatára, megvilágítására nagyobb figyelmet és hangsúlyt fordíthat. Ügyelünk arra, hogy az új technikai
1 ELŐSZÓ 2017. szeptember 18. 21:26:22 2 részek előadásának sebessége befogadható szinten maradjon. A vizsgaanyag alap szinten a jegyzet (*)-gal nem jelölt fejezetei, emelt szinten az összes, melyekből arányos terjedelmet választunk tételként egy-egy hallgatónak a vizsgán. A függelék nem vizsgaanyag, de ha valaki abból is tájékozott, javíthat az eredményén. A hallgatónak a jegyzetben nem szereplő, azon túlmutató elméleti mechanikai ismeretei tovább emelhetik a vizsga fényét. A jegyzetben számos gyakorló feladat szerepel, [1-7] nehézségi fokokkal. A vizsgán mellékkérdésként gyakorló példát is feltehetek. A szövegben jelöljük, hogy a 2017/18. tanév őszi félévének során mikor tárgyaltunk valamely anyagrészt. Például a 2017.09.13 2017.09.15 jelzésig jutottunk a szept. 13-i előadás végén, s onnan folytattuk a 15-i óra elején. Forrásainkat és az ajánlott irodalmat az alábbi jegyzékben soroltuk fel. Nagy Károly: Elméleti Mechanika, Tankönyvkiadó 1985, 2002 Budó Ágoston: Mechanika, Tankönyvkiadó 1965 Landau-Lifsic: Elméleti Fizika I., Mechanika, Tankönyvkiadó 1974 Landau-Lifsic: Elméleti Fizika VI., Hidrodinamika, Tankönyvkiadó 1980 Landau-Lifsic: Elméleti Fizika VII., Rugalmasságtan, Tankönyvkiadó 1974 R. Feynman: Mai Fizika 1., 2., 7. kötet, Műszaki Kiadó 1968 Tél-Gruiz: Kaotikus Dinamika, 3. fejezet, Nemzeti Tankönyvkiadó 2002 Kecskés Lajos: Egy Ölnyi Végtelen, Nemzeti Tankönyvkiadó 2002 Wikipédia
2017. szeptember 18. 21:26:22 3 2. Bevezetés 2 BEVEZETÉS 2.1. Nagyságrendek Röviden áttekintjük a távolság és idő nagyságrendjeit. Távolságok (m) Kvark 10 18 (attométer, jele "am"; atten dánul 18) Atommag sugara 10 15 (femtométer, jele "fm", alternatív neve "fermi"; femten dánul és norvégül 15) Fényév (kb. a Naprendszer gravitációs sugara) 10 16 (10 peta; a görög "penta"-ból az "n"-et elhagyva) Tejút átmérője 10 21 (zetta; heptá görögül 7, az első betű "z"-re cserélve, hogy az ABC végére kerüljön) Az Univerzum megfigyelhető átmérője 10 27 (100 G fényév) Ismeretterjesztő könyv: Ph. Morrison: "Powers of Ten". Fordítás: "A tízes hatalma" :? Idők (s) Elemi részecske élettartama 10 24 (jokto; októ görögül 8) Univerzum életkora 10 17 (100 peta) (14 Gév) Sebességek (m/s) c = 3 10 8 > v
2017. szeptember 18. 21:26:22 4 2.2 A klasszikus mechanika érvényessége 2 BEVEZETÉS 2.2. A klasszikus mechanika érvényessége Közepes távolságok 10 6 m < l < 10 16 m Kvantummechanika Általános relativitáselmélet Közepes idők 10 6 s < t < 10 13 s Lassú (nemrelativisztikus) mozgás v < 10 5 m/s Folytonos mozgás ideája: t 0. A limesz absztrakció, a valóságban lim l t nem létezik [ t > 10 8 s] Fizikai mennyiség: Amelyet mérési utasítással definiálhatunk. A mechanika alapmennyiségei: távolság, idő, tömeg. Tapasztalatok összegzése: A tér euklideszi, 3 dimenziós, homogén, izotrop. Az idő 1 dimenziós, homogén, és független a tértől.
2017. szeptember 18. 21:26:22 5 2.3 Jelölések 2 BEVEZETÉS 2.3. Jelölések A skalárokat egyszerű dőlt szimbólumok jelölik, pl. a, ω (2.1) a vektorokat vastag dőltek, pl. a, A, ω, 0, (2.2) ahol az utolsó a nullvektor. A mátrixok jele álló vastag, pl. A, Ω, 1, (2.3) az utóbbi az egységmátrix. Az időderivált gyakran pont, pl. df/dt = f = (f), (2.4) míg más argumentum szerinti derivált lehet vessző, pl. df/dx = f. (2.5) A deriváltban és integrálban használt d betű áll, ugyanis nem önálló mennyiséget jelöl, hanem a differencia kezdőbetűje. Parciális deriváltakat többféleképpen rövidíthetünk, mint pl. f/ x = x f = f x. (2.6) Az utóbbi különösen tömör, figyelmeztetés után fogjuk alkalmazni, nem összetévesztendő komponenst jelölő indexszel. Az ebből következik ill. a megfelelnek egymásnak jelei ill.. (2.7)
2017. szeptember 18. 21:26:22 6 3. Newton törvényei 3 NEWTON TÖRVÉNYEI Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (A természetfilozófia [=fizika] matematikai alapelvei) Nem az eredeti alakjukat adjuk meg. 1. ábra. Az első kiadás címlapja (1687) Definíció: Inercia (tehetetlenségi) rendszer az, amelyben minden magára hagyott test megőrzi sebességét. I. törvény: Létezik inerciarendszer. A következő törvény inerciarendszerben érvényes. (A II. törvény inerciarendszerhez kötött, a III-IV. minden rendszerben fennáll.) II. törvény: gimnáziumban is tanultuk 2017.09.12 2017.09.15
3 NEWTON TÖRVÉNYEI 2017. szeptember 18. 21:26:22 7 Newton: "A sebesség, amelyet egy adott erő létre tud hozni adott anyagon, egyenesen arányos az erővel és az idővel, továbbá fordítottan arányos az anyaggal." Formulával: az anyag itt anyagmennyiséget, azaz tömeget jelent. Ma használt ekvivalens alakjai F = ma = m d2 r dt 2 ahol a jobb végi kifejezésben a p = mv impulzus szerepel. v F t m, (3.1) = m r = dp dt, (3.2) Természetesen a fenti formula csak akkor alkalmazható törvényként, ha a benne szereplő mennyiségek definiáltak. Az r(t) trajektóriát kimérhetjük, ezért értjük, azonban mit jelent F és m? Próbatest: az egységnyi tömegű etalon (m p = 1) legyen 1l víz. Definíció: Az erő a próbatest gyorsulása F = a p Ennek alapján erőtörvények állapíthatók meg, pl. F (r, v, t), egyszerű esetben F (r), ez a sztatikus erőtér, ld. a 2. ábrát. Az erőmérést alakváltozásra is visszavezethetjük, ennek révén dinamométer kalibrálható, s más, akár nem sztatikus erőt is mérhetünk. A 3.2 törvényhez a következőképpen juthatunk el. Különböző testekre ható azonos erők: Bizonyosodjunk meg dinamométerrel arról, hogy a testekre azonos erők hatnak (pl. azonosan deformált rugók ereje, azonosan feltöltött testekre ható elektrosztatikus tér). A megfigyelések szerint azonos erővel hatva különböző testekre ezek azonos irányú de különböző nagyságú gyorsulást szenvednek (ld. 3. ábrán egy adott helyen).
3 NEWTON TÖRVÉNYEI 2017. szeptember 18. 21:26:22 8 2. ábra. Sztatikus erőtér: különböző helyeken különböző erők hatnak. 1 m m m 3. ábra. Különböző tömegű testek gyorsulásai adott sztatikus erőtérben az 1. és 2. helyen (a jobb láthatóság kedvéért az azonos helyhez tartozó vektorokat elcsúsztatva ábrázoltuk). 2 m m m Különböző (ismert) erők: Ha az 1,2,... helyeken ugyanazon anyagra (tömegpontra) különböző erők hatnak, akkor F 1 a 1 = F 2 a 2 azaz e hányadosok azonosak! Egy másik anyagi pontra = = m, (3.3) F 1 a 1 = F 2 a 2 = = m, (3.4)
3 NEWTON TÖRVÉNYEI 2017. szeptember 18. 21:26:22 9 s hasonlót kapunk további pontokban, azaz fenti hányadosok a testekre jellemző állandók. Emlékezzünk arra, hogy a gyorsulások mérésének nincs elvi akadálya. Ha azonos pontokban különböző testekre különböző erők hatnak, azaz az m testre ható erő az i. helyen F i, s a gyorsulás ott a i, akkor is azt tapasztaljuk, hogy a testre jellemző állandó. F 1 a 1 = F 2 a 2 = = m (3.5) Valamely erő mellett megmérhetjük egy test tehetetlen tömegét, m = erő / gyorsulás, majd ennek felhasználásával, további erők hatásainak a leírásához használhatjuk az F = ma törvényt. Tehát ez először definíció az m méréséhez, azután az m és az F ismeretében pedig a gyorsulást megadó mozgástörvény. A fizikai törvények általában egyrészt kísérletileg definiálják a bennük szereplő mennyiségek egy részét, másrészt, ezek megismerése után, jóslatot tesznek további kísérletek kimenetelére. Ha az F (r, v, t) függvény ismert, akkor másodrendű differenciálegyenletet kapunk pontszerű testek r(t) trajektóriájára. A kezdeti feltételek (KF): r(0), v(0), ezek általában a mozgást egyértelműen meghatározzák Arisztotelésztől Keplerig sokan feltételezték az F v arányosságot. Ez nem egyezett a tapasztalattal, ezért próbálkoztak különféle F f(v) alakokkal. Mai szemmel nyilvánvaló, hogy ilyen feltevések nem elfogadhatók: elsőrendű differenciálegyenletben az r(0) elég lenne a mozgás meghatározásához, ezért a ferde hajítás sokféle pályáját sem magyarázná meg. Newton deizmusa: Isten teremt és kezdeti feltételeket ad. Erre miért nem hivatkoznak a kreacionisták? Pedig tudós vallotta, ezért jó példa lehetne a hívő álláspontra, azaz a teremtésre, melyet a fizika törvényeinek megfelelő mozgás követ. Azért nem idézik, mert a csillagok és naprendszerek keletkezésének elmélete általánosan elfogadott, még ha a részleteken folyik is vita.
3 NEWTON TÖRVÉNYEI 2017. szeptember 18. 21:26:22 10 Megjegyzés: Elvileg semmi sem zárja ki, hogy magasabb rendű differenciálegyenlet írja le a mozgást, a másodrendűt a tapasztalat tünteti ki. III. törvény Hatás-ellenhatás elve Megfigyelés: Két kölcsönható test gyorsulásai ellentétes irányúak és nagyságuk fordítottan arányos a tömegeikkel. A II. törvény szerint ebből következően az egyikre ható erő éppen ellentétes a másikra hatóval. A B 4. ábra. F AB = F BA Erővel testek hatnak más testekre. A II. törvényben F egy kiszemelt testre ható erő, amely testnek a gyorsulását okozza. A III. törvény szerint ha két test hat kölcsön, akkor megjelenik a másik testre ható F erő. Hangsúlyozzuk a nyilvánvalót, éspedig a két erő nem ugyanazon testre hat. Ha érdeklődő gyereknek magyarázzuk az erő-ellenerő elvét, az visszakérdezheti, hogy mi gyorsítja a testeket, hiszen ellentétes erők ugyanazon testre hatva nyomban kioltanák egymást. Természetesen különböző testekre ható erők ellentétéről beszélünk. Megjegyzés: Két mozgó töltés között ható Lorentz-erők a III. törvényt általában nem teljesítik. Ez azzal kapcsolatos, hogy nemcsak egymásnak, hanem a térnek is impulzust adnak át, mely jelenségről részletesen az elektrodinamika ad számot. IV. törvény: Ugyanazon testre ható erők vektoriálisan összeadódnak. Kettőnél több test páronkénti kölcsönhatásakor az egy testre ható erőket vektoriálisan összeadva kapjuk az erre ható teljes F erőt, mely a gyorsulását okozza. Ennek nem egyetlen ellenereje van, hanem a III. törvény páronként érvényes, azaz a teljes F -et összetevő erők ellenerői mintegy szét vannak osztva a többi test között.
2017. szeptember 18. 21:26:22 11 4. Galilei-féle relativitás 4 GALILEI-FÉLE RELATIVITÁS A K inerciarendszer, a K hozzá képest egyenletes v 0 sebességgel mozog: r 0 (t) = v 0 t (4.1) Mivel a gyorsulás a második derivált, ezért a második Newton-törvény alakja a két rendszerben azonos, tehát K is K' K 5. ábra. A mozgást különböző koordinátarendszerekből írhatjuk le. Itt K egyenletes relatív sebességgel mozog K-hoz képest, nem fordul el. inerciarendszer. Megjegyzés: F nem függ a vonatkoztatási rendszertől, pl. alakváltozás méri.
5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2017. szeptember 18. 21:26:22 12 Galilei-transzformáció a = d2 r dt 2 r = r v 0 t, t = t, = d dt ( r v 0 ) = r = a. (4.2) Mivel m a testre jellemző: F = ma = ma = F. (4.3) Tehát ha K inerciarendszer, akkor K is az. 5. Gyorsuló koordinátarendszerek, mozgásegyenletek átszámítása Ugyanazon fizikai hely K-ban r, K -ben r. 5.1. Transzlációsan gyorsuló rendszer A K gyorsul, de nem forog K-hoz képest 5.2. Forgó rendszer azonos origóval r = r 0 + r a = a 0 + a. (5.1) A forgásmátrix alábbi tulajdonságai a vektorszámítás kurzuson szerepeltek, melyeket itt a tehetetlenségi erők levezetésében játszott szerepük miatt idézünk fel. Egyes technikai részleteket az A függelékbe gyűjtöttünk.
5.2 Forgó rendszer azonos origóval 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2017. szeptember 18. 21:26:22 13 5.2.1. Vektorok transzformációja A K és K egymáshoz képest el van forgatva míg origóik egybeesnek, s ugyanazon hely mért komponenseiből áll az r ill. az r. Ezeket lineáris transzformáció köti össze r = Or, (5.2) ahol O valamely 3 3-as mátrix. Más szóval, az r és az r ugyanazon "fizikai" vektor K ill. K -beli reprezentációja, melyet két dimenzóban a 6. ábra illusztrál. y y r K x 6. ábra. Koordinátarendszer forgatása két dimenzióban: ugyanazon vektornak az r = (x, y) a K, az r = (x, y ) a K -ben mért koordinátái. ϕ K x Az elforgatott koordinátarendszerben a vektorok hossza és az általuk bezárt szögek nem változnak, azaz az (5.2) kifejezésben bevezetett O a skalárszorzatot invariánsan hagyja r 1 r 2 = Or 1 Or 2 = r 1 O T Or 2 = r 1 r 2 O T O = 1 O T = O 1 ortogonális mátrix, (5.3) ahol 1 az egységmátrix. Az ortogonalitás feltétele ugyanez magasabb dimenziókban. Az A függelékben néhány részlettel egészítjük ki a forgatások tárgyalását.
2017. szeptember 18. 21:26:22 14 5.2 Forgó rendszer azonos origóval 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 5.2.2. Sebességek átszámítása Ha a forgatás időfüggő, akkor a sebesség K-beli komponensekkel írva v = r = (Or ) = Or + Or = v ( ) + OO T r. (5.4) Az időderivált és az időfüggő forgatás természetesen nem felcserélhető. Az (5.4) egyenlet jobb végén új vesszős jelölést vezettünk be, azaz v ( ) = Or. (5.5) Ez (5.2) szerint a K -höz képesti időderivált, azaz az r sebesség a K-beli komponensekkel felírva. Ha következetesen akarjuk jelölni, a v ( ) vektornak a K -beli komponensei r = v ( ) lenne, ilyet alább nem használunk. Tankönyvekben előfordul az (5.5) kifejezésre a v jelölés, de ez ebben a jegyzetben a v vektor K -beli komponenseit jelenti. Vizsgáljuk (5.4) második tagját. Az ortogonalitás OO T = 1 feltételét deriválva kapjuk ( OO T ) = 0 OO T + O O T = OO T + ( OO T ) T = 0. (5.6) Felhasználtuk, hogy mátrixokra is alkalmazható a deriválás szorzatszabálya, valamint azt, hogy a deriválás és a transzponálás felcserélhető. Vezessük be az Ω = OO T (5.7) mátrixot, melyre (5.6) alapján nyerjük Ω = Ω T, (5.8)
2017. szeptember 18. 21:26:22 15 5.2 Forgó rendszer azonos origóval 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... azaz az Ω mátrix antiszimmetrikus, részletesen 0 ω 3 ω 2 Ω = ω 3 0 ω 1. (5.9) ω 2 ω 1 0 Az (5.4) egyenletet tehát ekképpen írhatjuk v = v ( ) + Ωr = v ( ) + ω r (v 1 = v ( ) 1 + ω 2 r 3 ω 3 r 2, etc.) (5.10) 5.2.3. Általános vektor időderiváltjának átszámítása Az (5.10) kifejezés nemcsak a helyvektorra, hanem általános b vektorra is érvényes b = Ob + ω b, azaz v b = v ( ) b + ω b, (5.11) ahol a b sebessége v b. Az egyenletekben a K rendszerben mért koordináták szerepelnek. Ha b együtt forog K -vel, akkor nyilván v ( ) b = 0 és ezért b = ω b. Ezzel lényegében azt mutattuk meg, hogy a forgás egy adott pillanatban a szögsebesség vektorával jellemezhető, mely csupán az O forgásmátrixtól és a deriváltjától függ, viszont független attól, milyen b vektor forgását írjuk le. A 7. ábra mutatja a koordinátarendszerek egy általános helyzetét. Összefoglalásképpen, egy vektor v b sebessége az ω-vel forgó koordinátarendszerhez viszonyított sebességének és a forgásból származó sebességének az összege. E vektorokat bármely koordinátarendszerből leírhatjuk, az (5.11) formulában a K rendszerbeli alakjuk szerepelt. Tankönyvekben elterjedten a v ( ) b mennyiségre a d b/dt formulát is használják, nem magától értetődő jelölés.
5.2 Forgó rendszer azonos origóval 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2017. szeptember 18. 21:26:22 16 y y ω K x K x z z 7. ábra. Az ω értelmezése: K forog K-hoz képest az ω pillanatnyi szögsebesség vektor körül. 5.2.4. Gyorsulások átszámítása Először vizsgáljuk a szöggyorsulás vektorát β = ω = Oω + ω ω = Oω = β ( ), (5.12) tehát a K-beli és a K -beli szöggyorsulás ugyanazon fizikai vektor. Ezalatt azt értjük, hogy K-beli és a K -beli komponenseit egymásba az O mátrix transzformálja, mely tulajdonság az ω-val nem párhuzamos vektorok sebességeire nem áll fenn.
2017. szeptember 18. 21:26:22 17 5.2 Forgó rendszer azonos origóval 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... A K rendszerbeli gyorsulás a = r = d2 dt 2 Or = d dt (O r + Or ) = }{{} Or + 2Or }{{} + Or }{{}, (5.13) a ( ) 2Ωv ( ) OO T r ahol a K -beli gyorsulás K-beli reprezentációját a ( ) -vel jelöltük. Az (5.7) definíciót differenciálva nyerjük Ω = ( OO ) T = OO T + O O T. (5.14) Az egységmátrix 1 = O T O alakját beillesztjük a második tagba, azután az Ω (5.7) definíciójának, majd az antiszimmetriájának felhasználásával nyerjük OO T = Ω O O T = Ω OO T OO T = Ω ΩΩ T = Ω + Ω 2. (5.15) Ezt az (5.13)-ba helyettesítve a gyorsulás átszámításának képletéhez jutunk a = a ( ) + 2Ωv ( ) + Ωr + Ω 2 r. (5.16) Itt az a ( ) a forgó K koordinátarendszerben észlelt gyorsulás, azaz a K -höz viszonyított sebesség K -höz viszonyított deriváltja, a K-beli komponenseivel értve. Minden vektort a K-beli komponenseivel értettünk. Az (5.16) egyenletet az Ωv ( ) = ω v ( ), azonosságok alapján vektor alakban írhatjuk Ωr = β r, Ω 2 r = ω (ω r) (5.17) a = a ( ) + 2ω v ( ) + β r + ω (ω r). (5.18) Ha a K transzlációsan is gyorsul a 0 -lal K-hoz képest, akkor (5.18) nyilvánvalóan kiegészül a = a 0 + a ( ) + 2ω v ( ) + β r + ω (ω r). (5.19)
5.3 Tehetetlenségi gyorsulások és erők 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 5.3. Tehetetlenségi gyorsulások és erők Most a K -beli gyorsulást fejezzük ki, melyre kapjuk (5.18) alapján a ( ) = a a 0 + 2v ( ) ω + r β ω (ω r). (5.20) Itt az a ( ) mellett a tehetetlenségi gyorsulás tagok jelennek meg. Elnevezéseik: a 0 : transzlációs tehetetlenségi r β : Euler- 2v ( ) gyorsulás. (5.21) ω : Coriolis- ω (ω r) : centrifugális A K-beli gyorsulás (5.18) képletében megjelenő ω (ω r) a centripetális gyorsulás, a centrifugális ellentettje. Az előző a valódi gyorsulás egy összetevője, míg a második a forgó rendszerben észlelt gyorsulás egy tagja. A centrifugális gyorsulást kifejthetjük ekvivalens formulákkal Ω 2 r = ω (ω r) = ω 2 r ω(ω r) = (ω 2 1 ω ω)r = ω 2 P r = ω 2 r, (5.22) ahol a diadikus szorzat jelölése, a P definíciója leolvasható, azaz az ω tengelyre merőlegesen vetítő projektor, és r az r-nek az ω-ra merőleges komponense. Az utóbbi nagysága r = ρ a forgástengelytől mért távolság, mellyel a centrifugális gyorsulás gimnáziumból ismert képlete ω 2 ρ. Az (5.20) egyenlet alapján megadhatjuk a II. Newton-törvényt gyorsuló koordinátarendszerre. Felhasználva, hogy F = ma, a K -ben észlelt (tömeg gyorsulás)-ra kapjuk ma ( ) = F ma 0 + 2m(v ( ) ω) + m(r β) mω (ω r). (5.23) Eszerint az F -hez tehetetlenségi erők adódnak, melyeket a gyorsulásokhoz hasonlóan nevezünk. Emlékeztetünk arra, hogy minden tag komponenseit K-ban értettük. A II. Newton-törvény tehát gyorsuló koordinátarendszerben úgy egészítendő ki, hogy a valóságos erőkhöz a fenti tehetetlenségi erőket hozzáadjuk. 2017. szeptember 18. 21:26:22 18
5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2017. szeptember 18. 21:26:22 19 Megjegyzés: Az F erő "fizikai" vektor, átszámítása K és K között a komponensek ortogonális transzformációjával történik. 5.4. Tehetetlenségi erők a Földön 5.4.1. A Föld forgása és szöggyorsulása 2017.09.15 2017.09.19 A földi tehetetlenségi erők becsléséhez a szögsebesség és szöggyorsulás numerikus értékeire van szükségünk. A Föld szögsebessége ω F = 2π 24ó = 2π 86400s = 7, 27 10 5 s 1. (5.24) Elsősorban az árapály jelenség hatására a Föld forgása lassul, a szöggyorsulás átlagos értéke β F = 4, 8 10 22 s 2 ω F (t) ω F (0) + β F t. (5.25) Százmillió évenként kb. 40 perccel hosszabbodik a nap, a hosszabbodás mértéke most 15 25µs/év. Jelentősek az ingadozások, például az eljegesedéskori jégsapkák leolvadását követően a kéreg emelkedett. Ezért az elmúlt tízezer évben a Föld lapultsága csökkent, ez a forgást gyorsító hatás. 5.4.2. Tehetetlenségi erők becslése A keringés hatása a forgáshoz képest elhanyagolható. Az egyenlítőn a legnagyobb a centrifugális gyorsulás. Nehézségi gyorsulás: 10 m/s 2. Centrifugális: ωf 2 R F sin ϑ 0, 034 sin ϑ m/s 2, ahol ϑ-t a 8. ábra mutatja és R F = 6371 km a Föld átlagos sugara.
5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2017. szeptember 18. 21:26:22 20 8. ábra. É D irányban mozgó tömegpont: milyen irányú a Coriolis gyorsulás? A Coriolis-gyorsulás É D irányú mozgás esetén (v = 10 m/s-ot véve): 2vω F cos ϑ 14, 5 10 4 cos ϑ m/s 2. Euler-gyorsulás: β F R F sin ϑ 10 15 sin ϑ m/s 2. A Coriolis-gyorsulás okozta relatív hiba a gravitációs gyorsuláshoz képest: 15 10 4 /10 0, 15 A Föld inerciarendszer 3 jegy pontosságig. Eötvös-effektus: NY K irányú mozgás hatására változik a súly. Ezt többféleképpen magyarázhatjuk, pl. (a) a Földhöz rögzített rsz.-ben a felszínre merőleges Coriolis-erő komponens jelent meg; (b) azon rsz. szögsebessége, melyben a test nyugszik, módosult az ω F -hez képest, ezért a centrifugális erő változott. 5.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy forgó gömb felszínén a Coriolis-gyorsulás helyi vízszintes síkbeli vetületének nagysága mindig 2vω F cos ϑ a sebesség irányától függetlenül! [3] 5.2. Gyakorló feladat. Keringési gyorsulások: Becsüljük meg azt a tehetetlenségi gyorsulást a Földön, amely (a) a Földnek a Nap körüli, (b) a Földnek a Föld-Hold rendszer közös tömegközéppontja körüli, (c) a Naprendszernek a Galaktika centruma körüli keringéséből származhat! Miképpen módosul az (5.23) földi mozgásegyenlet, ha az a-b hatásokat figyelembe vesszük (ezek az árapály erők)? A szükséges adatoknak nézzenek utána. [1-2-2-2]
5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2017. szeptember 18. 21:26:22 21 5.4.3. A Coriolis-erő hatásai É D mozgás az É/D-i féltekén jobbra/balra tér el, ld. 9. ábra. Ez minden irányú mozgásra is érvényes, pl. ilyenkor a vasúti kerekek a jobb/bal oldalon erősebben kopnak. A kádban lefolyó víz merre örvénylik? Északi féltekén balra? A Simpson család egyik epizódjában is előkerül: Ausztráliában fordítva? Ez legenda, a Coriolis-hatás csekély, más perturbáció határozza meg az örvénylés irányát! 9. ábra. Különböző féltekéken mozgó test pályájának eltérülése; ciklonban és anticiklonban a levegő forgásiránya felülről nézve melyik féltekén milyen irányú a csavarodás? Örvények Ciklon: felfelé áramlás beszívja a felszíni levegőt, alacsony nyomású; ha tenger felett keletkezik, akkor páradús, felhőképen jól látható. Anticiklon: lefelé áramlás körül alakul ki, magas nyomású, száraz, ezért a felhőképen nem jelenik meg. Különböző féltekéken ellenkező a forgásirány, melyet a Coriolis-eltérítés állít be. Tipikus szélirányok Passzátszél (trade wind) a Föld felszínén. Futóáramlat (jet stream) 7-16 km magasságban.
5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2017. szeptember 18. 21:26:22 22 ~30 Eq. 10. ábra. (a) Az egyenlítői felmelegedés hatására kialakuló feláramlás és a kb. 30 szélességen zajló leáramlás következtében létrejövő légkörzések, az ún. Hadley-cellák átlagos szerkezete a forgástengelyt tartalmazó sík metszetében, napéjegyenlőség idején. (A jelölt szög földrajzi szélesség.) (b) A passzát és nyugati szelek iránya a Föld felületén a délre ill. északra áramló légtömegekre ható Coriolis-erő következménye. (c) 3d szemléltetés (NASA). A valóságban a sarkokhoz közeli cellahatárok nem körök, hanem időben változó, szabálytalanul kanyargó vonalak. Az innen leváló ciklonok a mérsékelt égövre vándorolva ezek időjárására lényeges hatást gyakorolnak.
5.4 Tehetetlenségi erők a Földön 5 GYORSULÓ KOORDINÁTARENDSZEREK... 2017. szeptember 18. 21:26:22 23 11. ábra. Felhőképek 2016.08.19-20-án. A baloldali ciklon pozitív irányban forog, a jobb alsó száraz terület anticiklonális, a peremén kivehető a negatív forgásirány.
6. Bevezetés a mechanika variációs elveibe 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE A variációszámítás matematikai módszerének segítségével a XVIII. században a newtoni mechanika olyan átfogalmazása vált lehetővé, amely számos problémát könnyebben megfogalmazhatóvá és megoldhatóbbá tett. A variációs elvek fizikai tartalma ugyanaz, mint a Newton-egyenleteké, technikailag azonban gyakran kezelhetőbb alakúak. A XX. században a klasszikus mechanika variációs megfogalmazása a kvantummechanika leírásában kulcsszerepet játszott. A számítógépek elterjedésével külön jelentőségre tesz szert klasszikus mechanikai problémák variációs optimumfeladatként való megfogalmazása, amely a mozgásegyenletek hatékonyabb numerikus megoldását teheti lehetővé. Az alábbiakban először a variációszámítás módszerét vezetjük be, majd rátérünk mechanikai alkalmazására. Noha első évfolyamon a variációszámítás egyes matematikai alapjai elhangoztak, az alábbi bevezetést önmagában is használhatónak szánjuk, ezért némi átfedés elkerülhetetlen. 6.1. A variációszámítás elemei 6.1.1. Funkcionálok A legegyszerűbb funkcionál valós függvényekhez rendel valós számokat F : függvény szám, jelölése: s = F [y(x)]. (6.1) A funkcionál függvények terén értelmezett függvény. Funkcionálokat korábban is ismertünk, ilyenek az egy- vagy többszörös határozott integrálok, például F [y(x)] = b a y(x) dx; F [y(x)] = b y(x a x ) y 2 (x) e y(x ) dx d x ; F [y(x)] = b a f(y(x), x) dx. (6.2) Az utóbbi esetben a kétváltozós f függvény megadása definiálja az F funkcionált. E típust általánosíthatjuk oly 2017. szeptember 18. 21:26:22 24
2017. szeptember 18. 21:26:22 25 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE módon, hogy az f függhessen az y deriváltjaitól is, pl. F [y(x)] = b a f(y(x), y (x), y (x), x) dx. (6.3) A különféle deriváltak fellépése nem változtat azon, hogy a teljes kifejezés az y(x) függvény menetétől függ, ezért F argumentumába változatlanul y(x) írandó. A funkcionálban nem feltétlenül lép fel integrál, erre példa a Dirac-delta funkcionál Ezt integrálként átértelmezve vezetjük be a Dirac-delta függvényt 6.1.2. A variációszámítás alapfeladata F D [y(x)] = F D [y(x)] = y(0) (6.4) b a δ(x) y(x) dx, a < 0 < b. (6.5) Történetileg a variációszámítás problémáját először a következőképpen fogalmazták meg. Tekintsük az alábbi funkcionált S[y(x)] = x1 x 0 L (y(x), y (x), x) dx, (6.6) melyet egy adott L(u, v, w) háromváltozós függvény definiál. Az S, L jelölésekkel a későbbi mechanikai mennyiségekkel való összhang kedvéért vezettük be. Ezután azt kérdezzük, milyen y(x) mellett van S-nek szélsőértéke, minimuma vagy maximuma, amennyiben a végpontokban az y(x 0 ) = y 0, y(x 1 ) = y 1 (6.7)
2017. szeptember 18. 21:26:22 26 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE értékeket rögzítjük. A kérdés általánosabban is megfogalmazható, éspedig S stacionárius pontját is kereshetjük, azaz olyan y(x) függvényt, amelytől való kicsiny eltérésektől S lineáris rendben nem függ ezt a tulajdonságot rövidesen közelebbről megvizsgáljuk. Az S funkcionál természetesen függ az integrálási tartománytól is, ezt nem mindig jelöljük. A határokat itt az egyszerűség kedvéért rögzítettük, más peremfeltételek (PF-ek) mellett is definiálhatók variációs problémák. 6.1.3. Jelölések, elnevezések Ha az olvasónak kétségei lennének afelől, miszerint a (6.6) kifejezésben az y és az y függvényektől való függés miképpen értendő, ezt könnyen megmagyarázhatjuk. A háromváltozós L(u, v, x), (6.8) függvényből az integrandust valamely x-nél az u = y(x) és v = y (x) helyettesítéssel kapjuk. Használni fogjuk az y és y szerinti parciális deriváltakat, melyek értelme L y = L(u, y (x), x), (6.9) u u=y(x) L L(y(x), v, x) = y. (6.10) v v=y (x) Ezek igen gyakran fordulnak elő, ezért rövidíteni fogjuk őket ily módon F = L y, p = L y. (6.11) A később a mechanikában használatos terminológiát az egyszerűség kedvéért a jelen bevezetőben is használjuk, éspedig az extremizálandó S funkcionált hatásnak, az L integrandust Lagrange-függvénynek, az F deriváltat kanonikus
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE erőnek, a p mennyiséget kanonikus impulzusnak nevezzük. Az L, F, p mennyiségek egy adott y(x) esetén az y és y függvényeken keresztül, továbbá közvetlenül is függnek x-től. A S funkcionál argumentumait, mint fent láttuk, szögletes zárójel keríti, melybe az integrálás végpontjait gyakran nem írjuk be. A funkcionálnak a stacionárius y(x) függvényen felvett értéke már csak a végpontok függvénye, melyet gömbölyű zárójellel írunk. Néha csupán a zárójelet írjuk ki az alábbi ekvivalens jelentésekkel. S[... ] = S[y(x)] = S[y(x); x 0, y 0, x 1, y 1 ], (6.12) S(... ) = S(x 0, y 0 ; x 1, y 1 ) = S[y(x); x 0, y 0, x 1, y 1 ] y(x)=stac.. (6.13) 6.1.1. Példa. Síkgörbe minimális hossza, mint variációs feladat. Természetesen tudjuk, hogy a minimális hosszú görbe az egyenes, de a példa jól illusztrálja a variációszámítást. Az elemi hossz a 12. ábráról leolvashatóan dl = Keressük azt az y(x) függvényt, amely minimalizálja a hosszt. A görbe végpontjainak rögzítése a megoldást egyértelművé teszi. innen adott P 0 = (x 0, y 0 ) és P 1 = (x 1, y 1 ) kezdő- és végpontok között a hossz az y(x) függvény funkcionálja S[y(x)] = 6.1.4. Stacionaritás P1 P 0 dl = x1 x 0 dx cos ϕ = 1 + tg 2 ϕ dx = 1 + y 2 (x) dx, (6.14) 1 + y 2 (x) dx. (6.15) Röviden: Valamely funkcionál stacionárius pontja az egyváltozós függvény zérus deriválttal jellemzett, azaz stacionárius pontjával ϕ 12. ábra. A dl infinitezimális ívhossz. 2017. szeptember 18. 21:26:22 27
2017. szeptember 18. 21:26:22 28 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE analóg. A stacionaritás a lokális szélsőértéknél tágabb fogalom, sima függvényeknek nem a határon felvett lokális szélsőértéke egyben stacionárius. Hasonlóan, sima funkcionálok belső extrémumai egyben stacionárius pontok ez utóbbi pontok természetesen függvények. Hosszabban: A sima függvények példáját véve, egy pont stacionárius, ha a függvény deriváltja azon a helyen zérus. Eltűnő derivált jellemzi a lokális szélsőértéket is, s ezen felül inflexiós pontot is jelezhet. Miként azt jól tudjuk, valamely függvény deriváltja a megváltozása lineáris tagjának az együtthatója f(x 0 + δx) = f(x 0 ) + δf(x 0 ) f(x 0 ) + f (x 0 )δx. (6.16) Ha a függvénynek x 0 lokális minimuma vagy maximuma, azaz extrémuma, akkor a δx eltérésben lineáris tag eltűnik, f (x 0 ) = 0. (Ez csak "belső" pontra érvényes, a függvény az értelmezési tartomány határán is felvehet szélsőértéket a derivált eltűnése nélkül.) A derivált eltűnéséből nem következik, hogy ott lokális extrémum található, a pont lehet inflexió is. Általában nevezhetjük a zérus deriváltú helyet stacionárius pontnak, ez arra utal, hogy a függvényérték eltérése a pont kis környezetében lineáris rendnél csekélyebb. Hasonlóan, valamely többváltozós f(x 1,..., x n ) függvény stacionárius pontjának nevezhetjük azt az x helyet, amelyben a függvény minden argumentuma szerinti parciális deriváltak eltűnnek, f / x j = 0, j = 1,..., n. Lokális minimum és maximum ilyen, emellett nyeregpontok és inflexiós pontok is lehetnek stacionáriusak. A variációszámítás 6.1.2 alapfeladatában, a szélsőértékhez nem ragaszkodva azt is kérdezhetjük, milyen y(x) mellett lesz S[y(x)] stacionárius, azaz mely y(x) függvény körüli kis változtatások mellett nem változik S[y(x)] értéke első rendben. A lokális extrémumok a stacionaritás speciális esetei. Annak vizsgálatához, hogy a stacionárius hely (azaz y(x) függvény) szélsőérték-e, s ha igen, maximum vagy minimum, másodredű számításokra van szükség, amelyek e jegyzet keretit túllépik. 6.1.5. Diszkretizáció, Euler Lagrange-egyenlet A 6.1.2-beli problémát diszkretizációval visszavezethetjük az ismert parciális deriválásra, majd folytonos határátmenettel kapjuk az eredeti, funkcionálokra vonatkozó probléma megoldását. Diszkretizáljuk az y(x) függvényt oly
2017. szeptember 18. 21:26:22 29 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE módon, hogy az x tengelyen bevezetjük az x (n) = x 0 + n x (6.17) osztópontokat, melyek valamely kicsiny x távolságra vannak egymástól (a végpont x 1 = x 0 + N x). A keresett y(x) függvény értékei y (n) = y(x (n) ), a határokon y 0 = y (0) és y 1 = y (N). Ekkor (6.6) közelítőleg [ ] N 1 S N y (0), y (1),..., y (N) ; x 0, x 1 = x 0 S[y(x); x 0, x 1 ] = L n=0 x1 ( y (n), y(n+1) y (n) ), x (n) x x x 0 L (y(x), y (x), x) dx. (6.18) Vegyük észre, hogy az x 1 végpont nem szerepel a szumma utolsó, n = N 1 tagjában sem, mégis függ tőle S N, hiszen adott x 0 és N esetén x 1 állítja be a x értékét. Most jelöltük az S funkcionál függését a végpontoktól is. A stacionaritási feltétel minden n = 1,..., N 1 belső függvényértékre 0 = S N[... ] y (n) = ( L y 1 L n x y + 1 ) L n x y x, (6.19) n 1 ahol az y és y szerinti deriváltak argumentumait jelző n alsó index azt jelenti, hogy a (6.18) szumma n indexű tagjának argumentumait helyettesítjük be a deriváltakba. Ha az olvasónak meglepő, hogy a (6.19) formulában szerepel az y, noha ezt diszkrét módon közelítettük, akkor emlékeztetünk arra, hogy a L/ y jelölés az L második argumentuma szerinti deriváltját fedi, melyet természetesen a diszkretizáció esetén is használhatunk. A (6.19) egyenletből a felbontás finomításával nyerjük az Euler Lagrange-egyenletet E(y, y, y, x) = L y d dx L = F p = 0, (6.20) y
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2017. szeptember 18. 21:26:22 30 ahol az E az ún. Euler Lagrange-kifejezés, melyet az utána következő formula definiál, azaz a (6.11) kifejezéssel bevezetett F kanonikus erőnek és a p kanonikus impulzus deriváltjának különbsége. Innen látható is az utóbbi elnevezések eredete, éspedig velük a stacionaritási feltétel Newton II. törvényéhez hasonló alakban áll elő. Ha tehát adott L esetén az y(x) megoldja az Euler Lagrange-egyenletet, akkor rá nézve az S[y(x)] funkcionál stacionárius, más szóval az y(x) stacionárius függvénye az S[y(x)] funkcionálnak. A fenti Euler Lagrange-egyenlet általában tartalmazza y (x)-et, ezért másodrendű differenciálegyenlet a stacionárius y(x)-re, melyet adott végpontokbeli y(x 0 ) = y 0, y(x 1 ) = y 1 (6.21) értékek mellett kell megoldanunk. Ezek határfeltételek, helyettük a differenciálegyenletnél szokásos KF-ek, például az x 0 pontban y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = v 0 is egyértelművé tehetik a megoldást. Megjegyzés: A stacionaritás lokális tulajdonság. Egy funkcionálnak több stacionárius függvénye létezhet, hasonlóan ahhoz, miként egy egyváltozós függvénynek több lokális minimuma, maximuma és vízszintes érintőjű inflexiós pontja lehet. Megjegyzés: Az alapfeladat csak azt követeli meg, hogy y(x) legyen egyszer differenciálható, az Euler Lagrangeegyenlet megoldása azonban kétszeresen az. Ez nem ellentmondás, az S[y(x)] funkcionál stacionárius helye simább, mint valamely általános argumentuma. 6.1. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, ha a (6.18)-beli szumma helyett szebb, szimmetrikus S N [... ] = N 1 n=0 L ( y (n+1) + y (n) 2, y(n+1) y (n), x(n+1) + x (n) ) x, (6.22) x 2 formulát használjuk, akkor a folytonos határátmenetben szintén a (6.20) feltétel adódik. Ez a folytonos egyenletnek a diszkretizáció részleteitől való függetlenségét mutatja. [3]
2017. szeptember 18. 21:26:22 31 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.1.6. A stacionárius funkcionál mint a határok függvénye Ha a szóban forgó (6.6) funkcionálba visszahelyettesítjük a (6.20) olyan y(x) megoldását, mely a végpontokban teljesíti a y(x 0 ) = y 0 és y(x 1 ) = y 1 feltételeket, akkor a funkcionál stacionárius értékét mint a végpontok függvényét kapjuk (tömör jelöléssel utalunk arra, hogy S nem funkcionál, hanem függvény) S(... ) = S(y 1, x 1 ; y 0, x 0 ). (6.23) Hasznos összefüggéseket állíthatunk fel ennek a határpontok szerinti deriváltjaira. a. A végpont y 1 értéke szerinti derivált A (6.18) kifejezésnek az y 1 = y (N) szerinti differenciálása adja, melyből a felbontás finomításával nyerjük S N [... ] = 1 y (N) x L y x S(... ) = p(x 1 ), (6.24) N 1 y 1 azaz a végpont szerinti derivált éppen az abban a pontban vett kanonikus impulzus. Ismételjük, miszerint az S(... ) az S[... ] funkcionálnak az y(x) stacionárius függvény helyén vett értéke, mint a végpontok függvénye. 2016.09.20 2016.09.22 b. A végpont x 1 helye szerinti derivált Ha az x 1 végpontot egy kicsiny x hosszal megnöveljük, akkor a hatásintegrál megváltozása vezető rendben S L x1 x. (6.25)
2017. szeptember 18. 21:26:22 32 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Ugyanezen növekményt kell kapnunk, ha a (6.23) differenciálját képezzük a stacionárius y(x) megoldás mentén A S két kifejezését egyenlővé téve nyerjük Érdemes bevezetnünk az S S(... ) y 1 + S(... ) ( x p(x 1 ) y (x 1 ) + S(... ) ) x. (6.26) y 1 x 1 x 1 S(... ) x 1 = (L p y ) x1. (6.27) E = p y L (6.28) mennyiséget, melynek a kanonikus energia nevet adjuk. Általában adott y(x) esetén, azaz nem feltétlenül a stacionárius y(x) függvény mellett ugyanezzel a kifejezéssel definiálható E, ilyenkor is az x adott függvénye. Az E-t Beltramifüggvénynek is nevezik, később látni fogjuk a fizikai energiával való kapcsolatát. Ezzel a jelöléssel a stacionárius funkcionálra nyerjük S(... ) x 1 = E(x 1 ). (6.29) c. A hatás teljes differenciálja A fentiek alapján kapjuk a stacionárius funkcionál differenciálját az (x 1, y 1 ) végpontok függvényeként ds(... ) = p(x 1 ) dy 1 E(x 1 ) dx 1. (6.30)
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2017. szeptember 18. 21:26:22 33 6.2. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy S(... )-nek az y 0 és x 0 kezdőértékek szerinti deriváltjait az ellentett előjelű formulák adják, azaz S(... ) y 0 = p(x 0 ), S(... ) x 0 = E(x 0 ). [3] Összefoglalásul, az S funkcionál stacionárius értékének teljes differenciálja a határpontok megváltoztatásával szemben ds(y 1, x 1 ; y 0, x 0 ) = p(x 1 ) dy 1 E(x 1 ) dx 1 p(x 0 ) dy 0 + E(x 0 ) dx 0. (6.31) E reláció a később tárgyalandó hamiltoni mechanikában játszik fontos szerepet. 6.1.7. Variációs probléma nem rögzített határpontok mellett A fenti összefüggések megengedik kiterjesztenünk a variációs feladatot olyan esetekre is, melyekben valamely végpont koordináta nincs rögzítve. Ilyenkor az S(y 1, x 1 ; y 0, x 0 ) függvényt még a szabad argumentuma szerint is stacionáriussá kell tennünk, azaz S deriváltjának el kell tűnnie, melyből az alábbi egyszerű feltételeket nyerjük. Ha például az x 0, x 1 és y 0 adott, de megengedjük, hogy az y 1 végpont tetszőleges legyen, akkor a végpont rögzítése helyett a stacionaritás feltételét alakban kell alkalmaznunk. p(x 1 ) = 0 (6.32) Másik példánkban csak az x 1 szabad, midőn x 0, y 0, y 1 rögzített. Ekkor a stacionaritás a E(x 1 ) = 0 (6.33)
2017. szeptember 18. 21:26:22 34 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE feltételt követeli meg. Harmadszorra, ha a végpontokról csupán annyit tudunk, hogy valamely előírt y 1 = h(x 1 ) (6.34) görbén fekszik, akkor a (6.30) kifejezést a stacionaritás követelménye szerint zérussal egyenlővé téve nyerjük h (x 1 ) = E(x 1) p(x 1 ). (6.35) Ez esetben tehát nem rögzíthettük a végpontot, hanem az x 1 -nek teljesítenie kell a (6.35) feltételt. Hangsúlyozzuk, hogy a határfeltételek az olyan y(x) függvényekre vonatkoznak, amelyek a (6.20) Euler Lagrangeegyenletet megoldásai. Megjegyzés: A fentiek a stacionaritási feltétel kiterjesztései, tehát lokális tulajdonságok. Például előfordulhat, hogy a végpontra kényszerfeltételt előíró görbe érintőjére több helyen teljesül a (6.35), ilyenkor több stacionárius megoldás létezik. 6.1.8. A legrövidebb út a síkon Természetesen tudjuk a választ, egyenes szakasz, mindazonáltal a példával a variációszámítás módszerét jól illusztrálhatjuk. a. Rögzített végpontok között Az y(x) görbe menjen át a P 0 = (x 0, y 0 ) és P 1 = (x 1, y 1 ) rögzített végpontokon. Ekkor a minimalizálandó funkcionált (6.15) adja (itt feltesszük, hogy y(x) egyértékű) P1 x1 x1 S[y(x)] L[y(x)] = dl = 1 + y 2 (x) dx L(y(x), y (x), x) dx. (6.36) P 0 x 0 x 0
2017. szeptember 18. 21:26:22 35 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Mivel az L nem függ expliciten az y-tól, ezért a (6.20) Euler Lagrange-egyenlet szerint p = L y = y 1 + y 2 = sin ϕ = áll. ϕ = áll., (6.37) ahol ϕ az érintő irányszöge. Tehát a vonal egyenes, y(x) = αx + β, ahol a konstansokat a határpontokhoz való illesztéssel kapjuk. 6.3. Gyakorló feladat. Végezzük el a határpontokhoz való illesztést, majd számítsuk ki a minimális hosszt (melyre természetesen az L(y 1, x 1 ; y 0, x 0 ) = (x 1 x 0 ) 2 + (y 1 y 0 ) 2 formulát kell kapnunk). [2] b. Ha a függvény végpontja nem rögzített: szabad y 1 Ekkor a P 1 pont egy, az y tengellyel párhuzamos egyenes mentén mozoghat, miközben P 0 fix. Minimalizálnunk kell az y 1 szerint is, tehát (6.32) alapján fennáll p(x 1 ) = sin ϕ x1 = 0. (6.38) Mivel ϕ végig állandó, ezért a megoldásgörbe az x tengellyel párhuzamos szakasz, mely nyilvánvaló tényt egy kisiskolás is felismerne. 6.4. Gyakorló feladat. Az előző gyakorló feladatban kérdezett L(y 1, x 1 ; y 0, x 0 ) deriváltja y 1 szerint valóban p(x 1 )? [1] 6.5. Gyakorló feladat. Legyen mindkét y 0, y 1 érték szabad. Ekkor mi a stacionaritás feltétele, s teljesíthető-e? [2]
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2017. szeptember 18. 21:26:22 36 c. Ha az integrálási tartomány végpontja nem rögzített: szabad x 1 Ekkor a P 1 pont egy, az x tengellyel párhuzamos egyenes mentén mozoghat, miközben P 0 fix. Most minimalizálnunk kell az x 1 szerint, ehhez először meghatározzuk a (6.28) kanonikus energiát ahonnan (6.29) alapján kapjuk E(x) = p y L = sin ϕ tg ϕ 1/ cos ϕ = cos ϕ, (6.39) L(... ) x 1 = E(x 1 ) = 0 ϕ = π/2. (6.40) Tehát a minimális úthosszt az y tengellyel párhuzamos szakaszon mérhetjük, miként azt előre ki is találhattuk. 6.6. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük, hogy az (a) alatti gyakorló feladatban expliciten felírt L(y 1, x 1 ; y 0, x 0 ) deriváltja x 1 szerint valóban az (6.27) szerint (6.40)-be írt kifejezés? [2] Megjegyzés Ezen az egyszerű példán könnyen átláthatjuk a teljesen szabad P 1 végpont esetét, éspedig a legrövidebb, zérus hosszat akkor kapjuk, amikor P 1 = P 0, azaz a határpontok egybeesnek. Másfelől, a határfeltételeket formálisan véve, a (b) és (c) feltételeknek egyszerre kellene fennállniuk, ez azonban nyilvánvalóan nem lehetséges. A stacionaritási feltételek az L = 0 körül nem teljesülhetnek, ugyanis a 6.3-ban szereplő formula nem analitikus P 1 = P 0 körül. Az L = 0 a globális minimum, de nem stacionárius, a koordináták kis kitéréseire nem másod-, hanem elsőrendűen kicsiny a növekménye. Ennek egydimenziós analógja az L(x) függvény minimuma az origóban, amely nyilvánvalóan nem stacionárius pont. Ezzel a megjegyzéssel a határfeltételek formális alkalmazásának veszélyeire kívántuk felhívni a figyelmet.
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2017. szeptember 18. 21:26:22 37 d. Ha az integrálási tartomány végpontja nem rögzített: az (x 1, y 1 ) végpont egy előírt y = h(x) görbén mozoghat A (6.35) szerint a kényszerfeltétel görbéjének érintője h (x 1 ) = E(x 1) p(x 1 ) = 1 y (x 1 ). (6.41) Jelölje a görbe h(x 1 ) pontbeli érintőjének irányszögét ψ, akkor a fenti reláció szerint tg (ψ) = ctg ϕ ψ ϕ = π/2. (6.42) Azt a szemléletes eredményt kaptuk tehát, hogy valamely görbéhez kötött végpont esetén a stacionárius hosszúságú y(x) egyenes éppen merőleges a végpontban a görbére. Ilyen pont több lehet, ezzel tehát azt is illusztráltuk, hogy a stacionaritás nem feltétlenül jelent globális szélsőértéket, hanem lokális tulajdonság. 6.1.9. Az Euler Lagrange-egyenlet diszkretizáció nélkül a. Funkcionálderivált Az előzőekben a funkcionálok stacionaritási feltételét az x-beli diszkretizációval, parciális deriváltak eltűnésével, majd a folytonos limesz képzése révén állítottuk elő Az alábbiakban a szokásosabb, közvetlen módszert idézzük fel funkcionál stacionárius pontjának meghatározásához. A (6.6) kifejezéssel bevezetett S[y(x)] funkcionál stacionárius y(x) argumentum függvényét keressük: változtatjuk (variáljuk) az y(x)-et, s vizsgáljuk, mikor lesz az S[y(x)] funkcionál megváltozása vezető rendben zérus. Számítsuk ki az S funkcionál δs megváltozását, ha az argumentum függvényt módosítjuk ekképpen y(x) y(x) + δy(x). (6.43) A δy(x)-et a függvény variációjának nevezzük, melyre az alapfeladat keretében az alábbi feltételeket rójuk ki:
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE y(x)-től függetlenül választjuk, legyen kicsi a variációban első rendig fejtünk sorba, δy(x 0 ) = δy(x 1 ) = 0 a végpontok rögzítettek, ott a variáció zérus. A módosított funkcionál a (6.6) definíció alapján a következő S[y(x) + δy(x)] = S[y(x)] + δs[y(x)] S[y(x)] + x 1 x 0 [ ] L L δy + y y δy dx = S[y(x)] + x 1 x 0 [F δy + pδy ] dx, (6.44) ahol csak a variációban lineáris tagokat tartottuk meg, s a kanonikus erő és impulzus (6.11) jelölését használtuk. (Az y és δy függvények x argumentumát gyakran nem írjuk ki.) A δs megváltozásra parciális integrálással nyerjük azaz x 1 δs[y(x)] = (F p x 1 ) δy dx + pδy. (6.45) x x 0 0 Nevezzük funkcionális vagy variációs deriváltnak azt, ami az integrandusban δy-t szorozza δs = x 1 x 0 δs δy δy dx + p δy x 1 x 0, (6.46) δs δy = F (y, y, x) (p(y, y, x)) = E(y, y, y, x) (6.47) éppen a (6.20)-ben definiált Euler Lagrange-kifejezés. Itt jelöltük azt is, miszerint az E-ben általában második derivált is fellép. 2017. szeptember 18. 21:26:22 38
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2017. szeptember 18. 21:26:22 39 Megjegyzés: A funkcionálderiváltat a közönséges derivált analógiájára vezettük be. A funkcionál (6.46) megváltozásában az argumentum-függvény δy(x) megváltozása integrál alatt szerepel, ezért célszerű a funkcionálderiváltat az integrandusban a δy(x)-et szorzó függvényként definiálni. b. Stacionaritás A hatás stacionaritásának feltétele (6.46) eltűnése. Mivel az integrandusban a δy(x) függvény belső pontjait a határoktól függetlenül variáljuk, azért a stacionaritás megköveteli külön az integrál és külön a határtagok eltűnését. Az első feltételből δs δy = E = 0, (6.48) Euler Lagrange-egyenlet, megegyezően a diszkretizáció alapján kapott (6.20) feltétellel. A variáció alapfeladata szerint a határokon a függvény δy variációja eltűnik, ez esetben (6.46) jobboldalán a határtagok is zérusak, így lineáris rendben a funkcionál δs variációja zérus. A stacionaritás feltételének kiterjesztését nem rögzített határpontok esetére vizsgáltuk a 6.1.7 részben. Az egyik eredmény a fentiekből azonnal leolvasható, éspedig, ha az y(x) értékét valamely x j (j = 0 vagy j = 1) végpontban nem rögzítjük, akkor (6.47) mellett (6.46) megfelelő határtagját tetszőleges δy j mellett zérussá kell tennünk, amelyhez a feltételt szükséges kirónunk. Ez j = 1 mellett azonos a (6.32) előírással. p(x j ) = 0 (6.49) Azt, hogy a stacionárius y(x) vajon extrémum-e, s ha igen, maximum vagy minimum, globálisan vagy csak lokálisan, általában nem fogjuk vizsgálni. A kérdés megfordítottja is érdekes, éspedig vajon egy extrémum stacionáriuse, melyre ellenpéldát a végpont rögzítése nélküli minimális hossz problémájában láttunk.
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2017. szeptember 18. 21:26:22 40 6.1.10. Speciális esetek 1. L(y, y, x) = L(y, x). Ekkor p = 0, és az Euler Lagrange-egyenlet alakja nem differenciálegyenlet, hanem implicit egyenlet y(x)-re. 2. L(y, y, x) = L(y, x). Most F = 0, ezért az Euler Lagrange-egyenlet ez általában elsőrendű differenciálegyenlet y(x)-re. E = F (y, x) = 0, (6.50) E = p = 0 p(y, y, x) = áll., (6.51) 3. L(y, y, x) = L(y, y ). Ekkor a stacionaritás feltétele elsőrendű differenciálegyenletként állítható elő. Tekintsük ugyanis az y(x) megoldás mentén az L-et mint x függvényét, melynek deriváltja [L(y(x), y (x))] = L y y + L y y = F y + py = p y + py = (p y ), (6.52) ahol a harmadik egyenlőséghez felhasználtuk a stacionaritás F = p egyenletét. Mindkét szélső formula teljes derivált x szerint, ezért a különbségük integrálja, amely éppen a (6.28) formulával bevezetett kanonikus energia, független az x-től, azaz E(x) = p y L = áll. (6.53) Hangsúlyozzuk, hogy e reláció azt mondja ki, miszerint E a stacionárius függvény mentén állandó x-ben. Így előállt az Euler Lagrange-egyenlet egy integrálja, amely adott állandó E mellett y-ra elsőrendű differenciálegyenlethez vezet. Megjegyzés: Korábban a kanonikus energia formuláját a stacionárius helyen felvett funkcionál értékének az x 1 végpont szerinti deriváltjaként kaptuk, ld. (6.29). Ebből az az érdekes speciális reláció adódik, miszerint ha egyrészről
2017. szeptember 18. 21:26:22 41 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE az x 1 végpont határozatlan, másrészről az L integrandus nem függ expliciten az x-től, akkor a stacionaritási feltétel és a megmaradási tétel kombinációja a E(x) 0 azonosságot eredményezi. (Ez teljesült a határozatlan x 1 végpont melletti legrövidebb síkgörbére, amely természetesen egy, az y tengellyel párhuzamos szakasz.) 4. L(y, y, x) = [g(y, x)], azaz az L teljes derivált x-ben. Ezt (6.6)-ba helyettesítve kapjuk, hogy S nem függ az y(x)-től, azaz S = g(y(x), x) x 1 = áll. δs x 0 δy = E 0. (6.54) Ha tehát két függvény teljes deriváltban különbözik, akkor funkcionális deriváltjaik azonosak és ezért a stacionaritási feltételeik is azonosak, a megoldások pedig legfeljebb a különböző peremfeltételek miatt különbözhetnek. 6.7. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a 4. esetben a funkcionálderiváltat a (6.47) formula alapján is! [3] 6.1.11. Példák 6.1.1. Példa. Újból a legrövidebb út a kanonikus energiával: Görbe ívhosszát a (6.15) funkcionál adja, melyből, mint már láttuk L(y, y, x) = 1 + y 2 = 1/ cos ϕ p = sin ϕ. (6.55) Mivel az L nem függ expliciten x-től, ezért az energiafüggvény x-ben állandó, melyből az egyenes következik, azaz E = p y L = cos ϕ = áll. ϕ = áll. (6.56) 6.1.2. Példa. Minimális forgásfelület: Két koaxiális kör keret között hártyát feszítünk. Milyen alakú lesz a minimális forgásfelület?
2017. szeptember 18. 21:26:22 42 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Előre tudjuk, hogy a gyűrűk kellő távolítása esetén a hártya elszakad, ezt a megoldásnak is mutatnia kell. A minimalizálandó funkcionál legyen a forgásfelület A területe per 2π, ahol x1 x1 A = 2π S[y] = 2π y dl = 2π y 1 + y 2 dx. (6.57) x 0 Vegyük észre, hogy az integrandus az előző példabeli (6.36) y-szorosa. A Beltrami-függvény ezért a (6.56) kifejezés y-szorosa x 0 y E = = áll., (6.58) 1 + y 2 y 0 y 1 x 0 x 1 13. ábra. Minimális felületű hártya melyből y -t kifejezve elsőrendű, szeparábilis differenciálegyenletet kapunk. (Mivel E < 0, a jelölést egyszerűsíti, ha E ezután az abszolút értéket jelenti: E E.) Megoldását közvetlenül előállíthatjuk, ha felidézzük, hogy ezért sh x = ch x, 1 + ch 2 x = ch 2 x, (6.59) y(x) = E ch x a E. (6.60) éppen a keresett függvény. Az állandókat az y(x 0 ) = y 0, y(x 1 ) = y 1 határfeltételre kell illesztenünk. 6.8. Gyakorló feladat. Oldjuk meg a (6.58) differenciálegyenletet integrálással! [3] Vizsgáljuk a szimmetrikus esetet, ekkor x 0 = x 1, y 0 = y 1 adott és a = 0 tehát y(x) = E ch x E y 1 x 1 = E x 1 ch x 1 E. (6.61)
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2017. szeptember 18. 21:26:22 43 Tehát a z = x 1 /E értékére kell megoldanunk adott y 1 /x 1 mellett y 1 = ch z x 1 z = C(z), (6.62) mely a C(z)-t definiálja, ld. 14. ábra. Két megoldás közül a kisebb z a fizikai a következő értelemben. Közeli gyűrűk, azaz y 1 /x 1 1 esetén a minimális felület közel y 1 sugarú, 2x 1 hosszú hengerpalást. Ez (6.61) első egyenletéből y E-nek felel meg, innen z = x 1 /E 1, ezt nagy C(z) értékekre a baloldali ág inverzéből kapjuk. Csökkenő y 1 /x 1 mellett ezen az ágon haladva elérjük C(z) minimumát, amelynél kisebb y 1 /x 1 értékekre nincs összefüggő minimális felület. C(z) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 z 14. ábra. A C(z) függvény. Szemléletünkkel mindez összhangban van. Ha a gyűrűk túl távol helyezkednek el, közöttük nem kifeszülnek, hanem (szerencsés esetben) a gyűrűk határolta körlapokká ugranak össze a hártyák, melyek területe A 0 = 2πy 2 1. Az összefüggő felület létezésének feltétele y 1 C(z )x 1, ahol z a C(z) minimumhelye. 6.9. Gyakorló feladat. Adjuk meg az összefüggő felület létezésének a feltételét numerikusan! (Ehhez transzcendens egyenletet szükséges megoldanunk.) [3] 6.10. Gyakorló feladat. Engedjük a jobb oldali gyűrű keretet szabadon csúszni, azaz legyen x 1 szabad, míg y 1 rögzített. Nyilvánvaló, hogy a szabadon mozgó keret az x 0 helyre csúszik, azaz a minimumot az x 1 = x 0 eset állítja elő. Hogyan kapjuk ezt meg képlettel a variációs feltételből? [3] 6.11. Gyakorló feladat. A gyakorlaton látott példához kapcsolódva: Milyen feltételt jelent a pályára az, ha a brachisztochron problémában az alsó pont x 1 koordinátáját rögzítjük, de az y 1 -et nem? [3]
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.1.3. Példa. Fermat-elv A fény változó törésmutatójú közegben adott végpontok között a minimális optikai úthosszhoz tartozó pályán terjed. Optikai úthossz (2D-ben az y(x) pálya egyrtékű szakaszaira): S F [y(x)] = n(r) dl = n(x, y) 1 + y 2 (x) dx = L F (y, y, x) dx. (6.63) A kanonikus energia a Lagrange-függvény explicit x-függése esetén nem állandó! Az Euler Lagrange-egyenletek F F = L F y = n 1 + y y 2, p F = L F ny = y, (6.64) 1 + y 2 E F = δl F δy = F F p F = 0. (6.65) Abban a speciális esetben, amidőn a törésmutató csak az egyik irányban változik, ebbe irányíthatjuk az x tengelyt, azaz n = n(x). A fényút érintőjének irányszögét ϕ-vel jelölve kapjuk p F = ny 1 + y 2 = n sin ϕ = áll. (6.66) Ha a törésmutató szakaszonként állandó, akkor ez éppen a Snellius Descartes-törvény a határokon. A törvényt eredetileg Ibn Szál fedezte fel (Bagdad, 984). Megfordítva, infinitezimális szakaszokon állandó törésmutatóra a Snellius Descartes-törvényből a Fermat-elv következik az n = n(x) esetben. Végül az izotrópia alapján az elvet általánosíthatjuk tetszőleges helyfüggő n(r) törésmutatóra a (6.63) formában. 2016.09.22 2016.09.29 Megjegyzés: mivel a fázissebesség v = c/n, a Fermat-elv azt a pályát jelöli ki, amelyre a fázis terjedéséhez szükséges idő minimális. 6.12. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy síktükrön történő visszaverődésnél a beesési és a visszaverődési szögek egyenlősége esetén lesz a legrövidebb az út, ha a kezdő- és végpontot rögzítjük! [3] Alexandriai Hérón megmutatta, hogy tükrök tetszőleges elrendezésében a fénysugár útvonala a lehetséges legrövidebb adott két végpont között. 2017. szeptember 18. 21:26:22 44
2017. szeptember 18. 21:26:22 45 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.1.12. Értelmezés A minimalizáló pályára másodrendű differenciálegyenletet kaptunk, amelynek megoldását adott határpontok mellett keressük. Az Euler Lagrange-egyenletet azonban adott KF mellett is megoldhatjuk. Matematikailag különböző problémák, melyek adott fizikai kérdés esetén ekvivalensek lehetnek. Adott kezdőpont mellett, ha a végpont is adott, a kezdeti derivált meghatározott, ha azonban a KF-be ez utóbbit vesszük, s egyértelmű a megoldás, ugyanazon végpontba érkezünk: ekvivalens paraméterezések. Korábban filozófiai jelentőséget tulajdonítottak a különbségnek: 6.1.13. Kiterjesztések a. Több függvény funkcionálja végpontok adottak teleologikus (céltételező) elv, KF adott kauzális (oksági) elv. A szélsőértéket több {y k (x)} N k=1 függvénytől függő funkcionál extremizálásával keressük S[y 1,..., y N ] = L (y 1,..., y N, y 1,..., y N, x) dx. (6.67) A határokat nem írjuk ki, de kikötjük, hogy ott az y k (x) függvények értéke adott, mint a 6.1.2 fejezetbeli alapfeladatban. Mindegyik függvény szerinti variáció eltűnik 0 = E k = δs = L ( ) L F δy k y k y k k p k, (6.68) melyben az utolsó formula a kanonikus erő és impulzus jelölését általánosítja több komponensre, s most az E k Euler Lagrange-kifejezés is többkomponensű mennyiség.
2017. szeptember 18. 21:26:22 46 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE A kanonikus energia is általánosítható, az skalár értékű függvény marad, éspedig, ha az L nem függ expliciten az x-től, akkor N E = p k y k L = áll.. (6.69) k=1 6.13. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy E-nek az x szerinti deriváltja a stacionárius pályákon valóban zérus! Útmutató: általánosítsuk a (6.52)-beli eljárást több y k (x) függvény esetére. [3] b. Magasabb deriváltak A funkcionálban az y [n] magasabb deriváltak is felléphetnek. A legegyszerűbb eset S = L(y, y, y, x) dx, (6.70) amikor is δs = [ L L δy + y y δy + L y δy ] dx = δy [ L y ( ) ( ) ] L L + dx + határ tagok. (6.71) y y Ha a határon δy = 0 és δy = 0, akkor az Euler Lagrange-egyenlet általánosított alakját kapjuk E = δs δy = L y ( ) ( ) L L + = 0. (6.72) y Ez általában negyedrendű differenciálegyenlet, melynek megoldásához négy határfeltételre van szükség y(x 0 ) = y 0, y(x 1 ) = y 1, y (x 0 ) = v 0, y (x 1 ) = v 1. Ekvivalensen négy KF-re van szükség, pl. y, y, y, y a kezdőpontban. y
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2017. szeptember 18. 21:26:22 47 6.14. Gyakorló feladat. Ha az x 1 végpontban y -t nem rögzítjük v 1 -re, hanem ezen érték szabad, akkor milyen feltételt kell kirónunk a stacionaritás teljesítéséhez? Útmutató: írjuk ki (6.71) határtagjait, melyekből a keresett feltételt kiolvashatjuk. [4] 6.1.14. Kényszerfeltételek és a Lagrange-féle multiplikátorok módszere Tegyük fel, hogy (6.67) stacionárius argumentumait további feltételek, ún. kényszerfeltételek együttes teljesülése mellett keressünk. Álljon fenn a y 1,..., y N változó függvények között a következő kényszerfeltétel ϕ(x, y 1,..., y N ) = 0. (6.73) Lényeges, hogy itt a kényszer csak a variálandó y k függvények értékei, de nem a deriváltjai között ír elő megszorítást ez a holonom kényszer. A fenti egyenlet adott x mellett a függvényértékeket lényegében egy hiperfelületre korlátozza. A kényszerek kezelésére a Lagrange-féle multiplikátorok módszerét alkalmazzuk. (i) Az eljárást először függvény stacionaritási vizsgálatán mutatjuk be. Keressük f(x, y) stacionárius pontját az y = y(x) előírt görbe mentén (az y koordináta, az y(x) függvény kiírt argumentummal a mellékfeltétel), azaz d f f(x, y(x)) = dx x + f y y (x) = 0. (6.74) E reláció szemléletesen azt jelenti, hogy a szóban forgó f függvény leggyorsabb változásának iránya és az előírt y(x) görbe f = ( x f, y f) (6.75) (1, y (x)) (6.76)
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE érintővektora merőlegesek egymásra. Más szóval, az f a kényszer érintője mentén nem változik lineáris rendben, a kényszer betartása mellett stacionárius! Következésképpen f a görbe normálisának irányába mutat. Ha a mellékfeltételt a ϕ(x, y) = y(x) y = 0 (6.77) alakba írjuk, akkor a görbe normálisa ϕ(x, y) = (y (x), 1), végül a fentiek alapján (ii) A fentiekkel ekvivalens eredményre jutunk, ha az f ϕ. (6.78) f λ (x, y, λ) = f(x, y) + λϕ(x, y) (6.79) által definiált függvény stacionaritási feltételét követeljük meg mindhárom változójában. Ekkor nyerjük melyek azonosak a (6.77,6.78) feltételekkel. A λ eliminálása után f x + λy (x) = 0, f + λ ϕ = 0, ϕ = 0, (6.80) f y λ = 0, f x + f y y (x) = 0 (6.81) éppen (6.74), az (i) pontban felírt feltétel adódott. A (6.79)-ben bevezetett λ-t Lagrange-féle multiplikátornak hívjuk, s a módszert is erről nevezték el. 6.15. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a Lagrange-multiplikátor módszere tetszőleges N-dimenziós változótól függő f(r) függvény stacionárius pontjának meghatározására is alkalmas valamely ϕ(r) = 0 mellékfeltétel előírása esetén. Útmutató: fejezzük ki a mellékfeltételből az egyik koordinátát. [3] 2017. szeptember 18. 21:26:22 48
2017. szeptember 18. 21:26:22 49 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.16. Gyakorló feladat. Írjunk elő több mellékfeltételt, ϕ m (r) = 0, 1 m M, ahol M < N, s ezzel demonstráljuk a Lagrange-multiplikátorok módszerét. [3] (iii) A fentiekkel analógiában, (6.67) típusú funkcionálok a (6.73) előírása melletti stacionárius pontjának meghatározásához a következő kiegészített funkcionált vezetjük be S λ = S + λϕ dx = (f + λϕ) dx = f λ dx, (6.82) ahol λ függhet az x-től, s az indexbe írt λ a kiegészített függvényt különbözteti meg. A stacionaritás feltételei δs λ = δs + λ ϕ = f + λ ϕ ( ) f = 0, δy k δy k y k y k y k y k (6.83) δs λ δλ = ϕ = 0, (6.84) amelyek megoldandók az y 1 (x),..., y N (x), λ(x) függvényekre. Több kényszerfeltétel fennállásakor minden feltétel mellé egy-egy multiplikátort vezetünk be. Megjegyzés: A (6.83) egyenletben fellépő, λ-val arányos tag a (6.73) hiperfelület normálisának irányába mutat, nagyságát pedig az a λ adja meg, amelyet a (6.83) és a (6.84)) egyenletek megoldásával kapunk. Az eredeti S funcionális deriváltja tehát az előírt felület normálisával párhuzamos, másszóval zérus az felületet érintő síkra vett komponense, amelyet el is várunk a felületre korlátozott stacionárius pontban. Ez a kép konkrét fizikai jelentést nyer akkor, amikor a Lagrange-formalizmus keretében mozgásegyenleteket kényszerek jelenlétében fogalmazunk meg. Speciális eset: integrális mellékfeltétel Φ = ϕ dx = 0, (6.85) amikor is S λ = f dx + λ ϕ dx, (6.86)
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE azaz λ nem függ x-től. 6.1.4. Példa. Láncgörbe: Milyen alakú a felfüggesztett lánc (kötél)? A potenciális energiát minimalizáljuk adott hossz mellett. Ha g a nehézségi gyorsulás és ν a hosszegységre eső tömeg (lineáris sűrűség), akkor V [y] = g y dm = νg y dl = νg y 1 + y 2 dx, (6.87) miközben rögzített a hossz L[y] = 1 + y 2 dx = L 0. (6.88) Ekkor a mellékfeltétel Φ[y] = L[y] L 0 = 0, azonban a konstanst elhagyhatjuk az y szerint variálandó funkcionálból, s így kapjuk a µ = νg jelöléssel S λ =V + λl = f λ dx, (6.89) f λ =(µy + λ) 1 + y 2. (6.90) Bevezetve az ỹ(x) = y(x) + λ/µ jelölést nyerjük f λ = µỹ 1 + ỹ 2. (6.91) Ez éppen a minimális forgásfelület variációs problémájában megjelent (6.57) függvény, melyhez tartozó stacionaritási problémát már megoldottuk ỹ = y + λ/µ = C ch x a C. (6.92) 2017. szeptember 18. 21:26:22 50
6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Ez az általában aszimmetrikus láncgörbe. Három feltételünk van, a két végpont helye és a görbe hossza, melyekből a λ, a, C paraméterek meghatározandók L 0 = x1 x 0 y 0 =y(x 0 ), y 1 = y(x 1 ), (6.93) x1 1 + y 2 dx = ch x a x a x 1 dx = C sh. (6.94) x 0 C C x 0 Speciális eset a szimmetrikus felfüggesztés, amikor is y 0 = y 1, x 0 = x 1. Ekkor a = 0 és és bevezetve a z = x 1 /C jelölést kapjuk L 0 = 2 C sh x 1 C, (6.95) L 0 = 2x 1 sh z z = 2x 1 D(z). (6.96) A D(z) függvényt a 15. ábra mutatja. Mivel D(z) 1, azért a megoldhatóság feltétele L 0 2x 1. Ez nyilvánvaló, a lánc legyen hosszabb, mint a két végpont távolsága. Az L 0 és x 1 ismeretében tehát a C előáll a (6.95) transzcendens egyenlet megoldásaként. Végül a λ-t határozzuk meg a végpont magasságából. A (6.92) alapján y 1 = C ch x 1 C λ/µ. (6.97) D(z) 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 z 15. ábra. A D(z) függvény. 2017. szeptember 18. 21:26:22 51
2017. szeptember 18. 21:26:22 52 6.1 A variációszámítás elemei 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Megjegyzés: A korábban kiszámított minimális forgásfelület síkmetszete is láncgörbe. A felfüggesztett lánc esetén azonban a teljes hosszt mellékfeltétellel rögzítettük, a két probléma nem azonos variációs feladat! Ezt az is mutatja, hogy a forgásfelület kettő, a lánc három illesztési paramétert tartalmaz. 6.17. Gyakorló feladat. Milyen alakú a lánc, ha az x 1 pontban nem rögzítjük y 1 -et, azaz a P 1 végpont függőleges sínen mozoghat. [3] 6.18. Gyakorló feladat. Milyen alakú a lánc, ha a P 1 végpont függőleges sínen mozoghat, amelyen rugó tartja. Ennek potenciális energiája legyen U(y 1 ) = k y 2 1/2. [6] Analógia a Fermat-elvvel: A láncgörbe problémája, amelyben formálisan hasonló a f = (µy + λ) 1 + y 2, (6.98) n = µy + λ (6.99) lineárisan változó törésmutatójú közegbeli fényterjedéssel, azzal a különbséggel, hogy a fény pályájának hossza nem rögzített, hanem λ adott). Ehhez hasonló a törésmutató forró felület fölötti levegőben, melyben a ferdén beeső fény láncgörbét leírva mutat délibábot. Összefoglalva az eddig tárgyalt példákat, azt a figyelemre méltó eredményt kaptuk, hogy gyűrűk között kifeszülő hártya metszete, felfüggesztett lánc, délibábot mutató fénysugarak alakja egyaránt láncgörbe.
2017. szeptember 18. 21:26:22 53 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.19. Gyakorló feladat. Paraméterezzük közegben haladó fénysugár pályát az x helyett az l geometriai ívhosszal és keressük a pálya egyenletét r(l) alakban! Ekkor az S F [r(l)] = n(r(l)) dl funkcionál naív módon képzett variációs deriváltját zérussal egyenlővé téve nyilvánvalóan helytelen eredményt kapunk. Az L F funkcionált tehát ki kell egészítenünk valamely mellékfeltétellel, amely figyelembe veszi azt a tényt, hogy az integrálási változó éppen az ívhossz. Írjuk fel a minimális optikai úthossz feltételét, az Euler Lagrange-egyenletet, s vegyük figyelembe, hogy a geometriai ívhossz nincs rögzítve. [7] Ezzel a variációszámítás módszerébe történő bevezetés végére értünk. 6.2. Lagrange-féle mechanika Könnyen látható, hogy potenciálos erőknek kitett tömegpontok newtoni mozgásegyenletei az előző részben vizsgált variációs elv alakjába átfogalmazhatók. Az így nyert Hamilton-elvet később mellékfeltételek esetére is kiterjesztjük, s ezzel a klasszikus mechanikai számításokhoz legszélesebb körben használt variációs elvhez jutunk. Noha az elvet Hamiltonról nevezték el, a koncepciót első megfogalmazója után Lagrange-féle mechanikának hívjuk. 6.2.1. Potenciálos erők hatására mozgó tömegpontok a. Szabad részecske Először tekintsünk egy szabad tömegpontot, ez az eset a térben állandó potenciálnak felel meg. Tömegpontnak nevezzük a három koordinátával leírható, elhanyagolható méretű, adott tömeggel rendelkező részecskét. Mint jól tudjuk, ennek szabad, azaz erőmentes mozgását állandó sebesség jellemzi. Vezessük be a hatás funkcionált S[r(t)] = L(r(t), r(t)) dt = m 2 t1 t 0 v 2 dt, (6.100) amelynek integrandusát Lagrange-függvénynek nevezzük (a v = r jelölést használtuk). Írjuk elő, hogy S extremális
2017. szeptember 18. 21:26:22 54 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE a fizikai r(t) pályán rögzített végpontok mellett! Ekkor az i = 1, 2, 3 komponensekre 0 = δs = d L δr i dt r = m r i, (6.101) i azaz gyorsulása zérus. A variációs derivált eltűnése valóban állandó sebességű mozgást ír elő! b. 1D potenciálmozgás Tekintsünk egyenes mentén mozgó, 1D tömegpontot. Ez potenciálos erőtérben mozog, ha a reá ható erő előáll V (x, t) F (x, t) = x alakban. Külön jelöltük, hogy a potenciál függhet az időtől. Válasszuk a Lagrange-függvényt a következőképpen A hatás variációs deriváltja zérus, ha Ez éppen a Newton-egyenlet. 0 = δs δx = L x d L dt x (6.102) L = m x 2 V (x, t). (6.103) 2 = V (x, t) x m x = F m x. (6.104)
2017. szeptember 18. 21:26:22 55 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE c. Több részecske 3D potenciálmozgása Álljon rendszerünk N tömegpontból, ekkor a potenciál általános alakja s a k-adik tömegpontra ható erő i-edik komponense Vegyük fel a Lagrange-függvényt a következő alakban ahonnan a stacionaritás feltétele L(r 1,..., r N, r 1,..., r N, t) = 0 = δs = L d δr ki r ki dt valóban a Newton-egyenlet i-edik komponense a k-adik részecskére. Tömörebb vektor jelöléssel a k-adik részecskére ható erő amely a (6.106) komponenseit foglalja össze. A (6.108) vektoriálisan is írható 0 = δs = L d δr k r k dt V (r 1,..., r N, t), (6.105) F ki = V r ki. (6.106) N k=1 m k 2 r k 2 V (r 1,..., r N, t), (6.107) L r = V m k r ki = F ki m k r ki. (6.108) ki r ki F k = V r k = k V, (6.109) L r = V m k r k = F k m k r k. (6.110) k r k
2017. szeptember 18. 21:26:22 56 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE A k = 1,..., N tömegpontokra végül a Newton-egyenlet vektor alakját kapjuk. A impulzusokkal írva p k = L r = m k r k (6.111) k p k = F k. (6.112) Ezeket az egyenleteket régóta ismerjük, az újdonság most az, hogy értelmezhetők a fent bevezetett hatásfunkcionál stacionaritási feltételeként. 2016.09.29 2016.10.04 6.2.2. A Hamilton-elv Descartes-koordinátákkal Az előzőek alapján kimondjuk a potenciálmozgásokra érvényes Hamilton-elvet. Képezzük a Lagrange-függvényt a következő módon L = K V, (6.113) ahol K a kinetikus és V a potenciális energia. Változói általában a koordináták és a sebességek, mint az idő függvényei, és expliciten az idő L = L (r 1,..., r N, r 1,..., r N, t). (6.114) Adott kezdő és végső időpont között definiáljuk a hatásfunkcionált s a pályák végpontjait is rögzítettnek tekintjük S [r 1 (t),..., r N (t)] = t1 t 0 L dt, (6.115) r k (t 0 ) = r k0, r k (t 1 ) = r k1. (6.116)
2017. szeptember 18. 21:26:22 57 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE A hatás természetesen függ a kezdő és végső időpontoktól, valamint az ott adott pozícióktól is ezt nem tüntettük fel (6.115) baloldalán. A Hamilton-elv azt mondja ki, hogy a fizikailag megvalósuló mozgás mentén a hatás stacionárius, azaz a hatásnak a pályák szerinti funkcionális deriváltja eltűnik δs δr k = 0. (6.117) Egyelőre potenciálmozgásokra láttuk, hogy ez az elv ekvivalens a Newton-egyenletekkel, mellékfeltételekkel kiegészítve pedig a 6.2.3. fejezetben általánosítjuk. Megjegyzés: Lemondhatunk a végpontok rögzítéséről, ekkor a parciális integráláskor fellépő határtagokat is figyelembe kell venni. A következő feltétel N L t 1 δs r N [ L δr k d ] L k r k dt δr k dt = 0 (6.118) k=1 t 0 = k=1 független δr k variációk mellett valóban a (6.110) mozgásegyenleteket adja. Ha előírhatjuk a végpontokon a variációk eltűnését, akkor előnyös az eredeti δs = 0 megfogalmazás, hiszen így egyetlen skalár funkcionál stacionaritási feltételét kapjuk. 6.2.3. Holonom kényszerek figyelembe vétele általános koordinátákkal Mechanikai rendszerünk helyzetét gyakran fölösleges a tömegpontok 3N Descartes-koordinátájával megadni, hanem ehhez elegendő kevesebb, célszerűen megválasztott koordináta. Ilyen helyzettel akkor állunk szemben, ha a 3N koordináta között kényszerek állnak fenn, melyek kifejezhetők M feltétellel, úgymint r k Φ l (r 1,..., r N, t) = 0, l = 1,..., M. (6.119) Az általánosság kedvéért megengedtük az időfüggést is. A rendszer szabadsági fokainak száma tehát f = 3N M. (6.120)
2017. szeptember 18. 21:26:22 58 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE A (6.119) hiperfelületeket határoz meg a 3N dimenziós térben, az ilyen kényszereket holonomnak nevezzük. Tegyük fel, hogy q 1,..., q f ún. általános koordinátákat választhatunk oly módon, hogy a (6.119) mellékfeltételek automatikusan teljesüljenek r k = r k (q 1,..., q f, t), k = 1,..., N. (6.121) Ez azt jelenti, hogy ha a Φ l -ek (6.119) formuláiba helyettesítjük a (6.121) függvényeket, akkor azok azonosan eltűnnek Ezt tekinthetjük az általános koordináták fő hasznának. Φ l (q 1,..., q f, t) 0, l = 1,..., M. (6.122) A következő lépés a Lagrange-függvény átírása az általános koordinátákra. A (6.121) függvényt idő szerint deriválva a descartes-i sebességeket kifejezhetjük az általános koordinátákkal és ezek időderiváltjaival, azaz az általános sebességekkel r k = f l=1 r k q l Ezeket és a (6.121) kifejezéseket (6.114)-ba helyettesítve kapjuk q l + r k, k = 1,..., N. (6.123) t L (r 1,..., r N, r 1,..., r N, t) = L (q 1,..., q f, q 1,..., q f, t), (6.124) azaz a Lagrange-függvényt, mint az általános koordináták és sebességek függvényét. (A jobb- és baloldalon nyilvánvalóan különböző függvények állnak, különböző számú argumentummal, de mivel fizikailag azonos mennyiségekről van szó, mindkettőt L-lel jelöltük.) 6.2.1. Példa. Síkinga: Általános iskolából ismert példával kezdjük. Egyelőre nem látszik, miért hasznos a Lagrangeformalizmus, ez bonyolultabb rendszerek esetén fog kiviláglani. A felfüggesztési ponttól mért descartes-i koordináták között fennáll az alábbi kényszer Φ(r) = x 2 1 + x 2 2 l 2 = 0. (6.125)
2017. szeptember 18. 21:26:22 59 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Ezt automatikusan teljesítjük a q 1 = ϕ választással A descartes-i sebességkomponensek és a sebességnégyzet előáll x 1 = l sin ϕ, x 2 = l cos ϕ Φ(ϕ) 0. (6.126) x 1 = lϕ cos ϕ, A tömegpont kinetikus és potenciális energiája megadja a Lagrange-függvényt K = mv2 2 x 2 = lϕ sin ϕ v 2 = x 2 1 + x 2 2 = l 2 ϕ 2. (6.127) = ml2 2 ϕ 2, V = mgx 2 = mgl cos ϕ, (6.128) L = K V = ml2 2 Megjegyzés: Az általános koordinátázás nem egyértelmű. ϕ 2 + mgl cos ϕ. (6.129) 6.20. Gyakorló feladat. Ezt illusztráljuk azzal, hogy válasszuk az x 1 Descartes-koordinátát a q 1 általános koordinátának, és állítsuk elő vele a Lagrange-függvényt! [2] A lehetséges általános koordinátázás közül azt érdemes bevezetni, amellyel a számítások a legegyszerűbbek. 6.2.4. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett: mozgásegyenletek általános koordinátákkal Fogalmazzuk meg a Hamilton-elvet az általános koordináták segítségével! A q j (t) általános koordináták és q j (t) sebességek függvényeként (6.124)-ban előállt Lagrange-függvényt használva a hatás az általános koordináták trajektóriáinak funkcionálja (a koordináták időfüggését nem jelöltük az integrandusban) S[q 1 (t),..., q f (t)] = t1 t 0 L (q 1,..., q f, q 1,..., q f, t) dt. (6.130)
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Ez a hatás éppen az a funkcionál, amelyet úgy kapunk az r k (t) descartes-i trajektóriák funkcionáljából, hogy ezen trajektóriák között az M darab kényszert kirójuk. Először tegyük fel, hogy a hatás stacionaritása valójában extrémum. Szemléletesen nyilvánvaló, hogy a kényszerekkel megszorított r k (t) trajektóriákra a hatás extrémum feltétele megegyezik a kényszereknek automatikusan eleget tevő q j (t) trajektóriákon felvett extremummal. Ezt az utóbbiakra felírt Euler Lagrange-egyenletekkel fejezzük ki δs = L d δq j q j dt L q = 0, (6.131) j melyek a kényszereknek eleget tevő mozgás egyenletei. Miként a descartes-i koordináták variációit, az általános koordinátákéit is rögzített végpontok mellett értjük. Bevezethetjük az általános erőket és a kanonikus vagy általános impulzusokat F j = L q j, p j = L q j, (6.132) melyekkel a mozgásegyenletek a tömör p j = F j (6.133) alakban írhatók. Az általános koordinátákkal tehát hasonló formula adja a mozgásegyenletet, mint a descartes-iakkal, viszont az M kényszerfeltétel automatikus figyelembe vétele miatt kevesebb, 3N M = f számú komponensből áll. A (6.131), azaz ekvivalensen (6.133) másodrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer a q 1 (t),..., q f (t) trajektóriákra. A trajektóriát a variációs elv rögzített végpontok között határozza meg, azonban gyakran célszerűbb a mozgásegyenletet adott KF-ből kiindulva megoldani határfeltételek : q j (t 0 ), q j (t 1 ), kezdeti feltételek : q j (t 0 ), q j (t 0 ). 2017. szeptember 18. 21:26:22 60
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE A két módszer matematikailag különbözik, de fizikai tartalmuk ekvivalens, ha ugyanahhoz a pályához vezetnek. 6.2.2. Példa. Síkinga: A Lagrange-függvényt (6.128) adja, az általánosított impulzus és erő a következő A mozgásegyenlet A Beltrami-függvény állandósága fejezi ki az energiamegmaradást L = ml2 ϕ 2 + mgl cos ϕ, (6.134) 2 p ϕ = L ϕ = ml2 ϕ, F ϕ = L = mgl sin ϕ. (6.135) ϕ p ϕ = F ϕ ml ϕ = mg sin ϕ. (6.136) E = ϕp ϕ L = ml2 ϕ 2 mgl cos ϕ = K + V = E. (6.137) 2 Megjegyzés: A Newton-egyenletekből indulva fel kellett volna vennünk az inga rúdjában ébredő kényszererőt, s ennek eliminálása után jutottunk volna a ϕ-re vonatkozó mozgásegyenlethez. Ezt a Hamilton-elvből a kényszererő felírása nélkül megkaptuk! 6.21. Gyakorló feladat. Tekintsünk olyan ingát, amelynek rúdja időben változó hosszúságú. Más szóval, az inga rúdjába helyezett valamely szerkezettel, melynek súlya elhanyagolható, a rúd hosszát időben adott módon változtatjuk, azaz a rúd hossza l(t) expliciten ismert időfüggvény. Írjuk fel a mozgásegyenletet! [3] Összefoglalásul azt mondhatjuk, hogy a rendszert célszerűen leíró általános koordinátákat választottunk, ezekre változócserével áttértünk a hatásfunkcionálban, s végül így kerestük az extremumát. Itt kiviláglott a Hamilton-elv előnye, éspedig skaláris mennyiségekből ilyenek a hatás ill. a Lagrange-függvény indulva könnyebben térhettünk át az általános koordinátákra, mintha a descartes-i mozgásegyenleteket kellett volna átírnunk. Ez utóbbi eljárást a következő két alfejezetben mutatjuk be. 2017. szeptember 18. 21:26:22 61
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.2.5. Hamilton-elv holonom mellékfeltételek mellett II: a Lagrange-multiplikátorok módszere Noha az általános koordinátáktól függő hatás stacionaritásának feltételét az (6.131) Euler Lagrange-egyenlet magától értetődően fejezi ki, ezt le is vezethetjük a descartes-i koordinátákról az általános koordinátákra való áttéréssel. Ezzel az eljárással egyrészt a kényszererők számítására is fényt vetünk, továbbá a nyert relációk segítségével a későbbiekben a variációs formalizmust kiterjeszthetjük disszipatív erőkre is. A Hamilton-elvet a mellékfeltételekkel együtt megfogalmazhatjuk oly módon, hogy a (6.114) Descartes-koordinátáktól függő L Lagrange-függvényt a (6.119) kényszerekkel kiegészítjük M L λ = L + λ l Φ l, (6.138) l=1 ahol λ l (t) az l-edik kényszerfeltételhez tartozó, az időtől általában függő multiplikátor. A kényszerekkel kiegészített L λ Lagrange-függvény argumentumai L λ = L λ (r 1..., r N, r 1,..., r N, λ 1,..., λ M, t), (6.139) benne a multiplikátorok időderiváltjai nem lépnek fel. Az eredeti L és a kényszerekkel kiegészített L λ Lagrangefüggvények a megfelelő hatásfunkcionálokat definiálják S [r 1 (t),..., r N (t)] = L dt, (6.140) S λ [r 1 (t),..., r N (t), λ 1 (t),..., λ M (t)] = L λ dt, (6.141) ahol az argumentumokat csak a baloldalon jelöltük. A kényszerekkel kiegészített S λ hatás extrémumfeltétele a descartes-i koordináták és a multiplikátorok szerinti Euler Lagrange-egyenletek. Az előbbiek alakja δs λ = δs + δr k δr k M l=1 Φ l λ l = L d r k r k dt L M r + k l=1 A multiplikátorok szerinti variációs deriváltak eltűnése éppen a (6.119) kényszerekkel ekvivalens. λ l Φ l r k = 0. (6.142) 2017. szeptember 18. 21:26:22 62
2017. szeptember 18. 21:26:22 63 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.22. Gyakorló feladat. Írjuk fel a Hamilton-elvet síkingára Descartes-koordinátákkal úgy, hogy a kényszert multiplikátorral vesszük figyelembe. Adjuk meg a descartes-i mozgásegyenleteket, s mutassuk meg, hogy ezek ekvivalensek a szögre felírt mozgásegyenlettel. [3] Megjegyzés: A multiplikátoros tagok a (6.142) mozgásegyenletben a L/ r k potenciálos erőhöz adódnak, azaz maguk is erőknek foghatók fel, ezért nyilvánvalóan kényszererőként értelmezhetjük őket. Ezek teszik lehetővé a (6.119) feltételek betartását, s kézenfekvő az a feltevés, hogy az l indexű tag az l-edik kényszer által a k-adik tömegpontra kifejtett kényszererő. Mint alább megmutatjuk, az általános koordináták bevezetésével éppen a kényszererőket küszöbölhetjük ki s jutunk ezeket nem tartalmazó mozgásegyenletekhez. A kényszererők vizsgálatával később foglalkozunk. 6.2.6. A mozgásegyenlet transzformációja általános koordinátákra: a kényszererők eliminálása Tegyük fel, hogy bevezettük a q 1,..., q f általános koordinátákat az 6.2.3 fejezetben leírtak szerint, azaz velük a kényszerek automatikusan teljesülnek. Először is vegyük észre, hogy ha beszorozzuk a (6.142) egyenletet a r k q j (6.143) deriválttal és összegzünk k-ra, akkor a multiplikátorokat tartalmazó rész minden l-re kiesik. Ugyanis k Φ l r k r k q j = Φ l q j 0, (6.144) ahol felhasználtuk a (6.122) relációt, azaz a Φ l -ek azonosan zérus voltát. Fennmarad tehát k δs λ δr k r k q j = k L r k r k q j k ( ) d L rk dt r k q j = k δs δr k r k q j = 0. (6.145)
2017. szeptember 18. 21:26:22 64 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Azt mondhatjuk, a r k / q j -vel való szorzással a kényszererőkre merőleges vetítést végeztünk, melynek révén ez utóbbiakat elimináltuk a mozgásegyenletekből. Ezért az eredeti S hatást is írhatjuk e variációs kifejezésbe. 6.2.7. Az általános koordináták szerinti stacionaritási feltétel éppen a mozgásegyenlet. Az alábbiakban közvetlen számítással megmutatjuk, hogy az általános koordináták szerinti stacionaritási feltétel valóban a kényszererők eliminálása után a fentiekben kapott (6.145) mozgásegyenletekkel ekvivalens. Fel fogjuk használni a (6.121,6.123) alapján adódó, következő relációkat r k q = r k r k, = 2 r k q l + 2 r k j q j q j l q j q l q j t = d r k, (6.146) dt q j ahol a q j ill. q j szerinti parciális deriváltakat úgy értjük, ahogyan azt a Lagrange-formalizmusban megszoktuk, azaz a másik mennyiséget, s az összes többi, nem j indexű függvényt és az időt állandónak hagyjuk. Vizsgáljuk most a hatás általános koordináták szerinti funkcionálderiváltját! Ebben nem szükséges felvennünk multiplikátorokkal a kényszereket, ugyanis ezeket az általános koordináták automatikusan kielégítik. A variációs derivált δs = L d δq j q j dt L q. (6.147) j Ennek tagjait a derékszögű koordinátákon keresztül történő differenciálással fejezhetjük ki L = [ L r k + L ] r q j k r k q j r k, (6.148) k q j d L dt q = d [ ] L r j dt k r k k q = d [ ] L r j dt k r k = [ ] d L rk k q j k dt r + L d r k q j k r k k dt q j = [ ] d L rk k dt r + L r k q j k r k, (6.149) k q j
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE amelyben több helyütt felhasználtuk a (6.146) relációkat. A hatás funkcionálderiváltja tehát δs = L d L δq j q j dt q = [ L d ] L rk j k r k dt r = δs r k = 0, (6.150) k q j k δr k q j a (6.145) egyenlet szerint eltűnik. Vegyük észre, hogy a descartes-i és általános koordináták szerinti variációs deriváltak között kapott (6.150) összefüggés a közvetett függvény parciális deriválási szabályának analógja. Éppen ezt kapnánk a 6.1.5 fejezetben bemutatott eljárással, amelyben az argumentum-függvény diszkretizációját követően parciális deriváltakat képeztünk, majd ezek határátmenetével vezettük be a funkcionálderiváltat. A fenti levezetés diszkretizáció nélkül, funkcionálokkal való számítás révén vezetett el a (6.131) mozgásegyenlethez, azaz igazolta, hogy az Euler Lagrange-egyenlet az általános koordinátákban is fennáll. Megjegyzések (1) Ha a Hamilton-elv extremum-feltétel, akkor (6.131) mozgásegyenlet szemléletből következik, miként azt a 6.2.4 fejezetben említettük. Azt ugyanis nyilvánvalónak tekinthetjük, hogy a hatásfunkcionál extremumfeltétele koordinátacsere után is fennáll, azaz a descartes-i koordinátákról a kényszereket figyelembe vevő általános koordinátákra való áttérés után is extremumot keresünk, melynek feltétele szükségképpen Euler Lagrange-egyenletek alakjában áll elő. A fenti levezetés azt mutatja, hogy a kényszerek által szűkített altérben nemcsak az extremum-, hanem az általánosabb stacionaritási feltétel is érvényes marad az általános koordinátákkal kifejezve. (2) Érdemes hangsúlyozni, hogy a koordinátacsere időfüggő relációkat is megengedett a descartes-i és általános koordináták között. (3) A mellékfeltételek multiplikátorral való felvétele eredményeképpen a kényszererőkre is kaptunk formulákat, melyeket majd a kényszerek részletesebb vizsgálatakor használunk. (4) Később a Hamilton-elv disszipatív kiterjesztésében a variációs deriváltak átszámítása kulcsszerepet fog játszani. Az általános koordináták bevezetése a Hamilton-elv alkalmazási körét lényegesen kiszélesíti. Az elv szerint ugyanis a hatás, mint a lehetséges pályák funcionálja stacionarius a fizikailag megvalósuló pálya mentén. E pályákat kényszerfeltételek esetén azonban jól választott általános koordinátákkal célszerű megadni, s ekkor megmutatkozik annak előnye, hogy a Hamilton-elv egy skaláris mennyiség stacionaritását írja elő. Ha ugyanis a hatásfunkcionálba a Descartes-koordináták helyébe megfelelő változócserével az általános koordinátákat írjuk, akkor a hatásnak a kényszer 2017. szeptember 18. 21:26:22 65
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2017. szeptember 18. 21:26:22 66 melletti stacionárius pályán felvett értéke nem változik, de a funkcionált célszerűbben paraméterezett pályák szerint variálhatjuk. Foglaljuk össze a Hamilton-elv előnyeit! A rendszer fizikai tulajdonságait egyetlen, skalár értékű függvénybe, a Lagrange-függvénybe foglaltuk. Változócserével más, célszerűbb paraméterezésre térhetünk át a variációs elv megtartásával. A cserét egyszerűbb elvégezni a csak első időderiváltat tartalmazó Lagrange-függvényben, mint a mozgásegyenletekben, melyekben második deriváltak is szerepelnek. Kényszerek is figyelembe vehetők megfelelő változókra, azaz általános koordinátákra való áttéréssel. Kikerültük azon kényszererők számítását, amelyeket olyan kényszerek gyakoroltak, melyeket általános koordinátákkal vettünk figyelembe. További olyan kényszerek, amelyeket az általános koordinátákkal nem vettünk figyelembe, a multiplikátorok módszerével ezután is kiróhatók, s az általuk gyakorolt kényszererők számíthatók. (ld. később). A Hamilton-elvet és abból a mozgásegyenlet levezetésének módszerét gyakran Lagrange-formalizmusnak nevezik. Megjegyzés: Általános koordináták esetén is lemondhatunk a végpontok rögzítéséről, ekkor a parciális integráláskor fellépő határtagokat is figyelembe kell venni. A mozgásegyenletek általában a következő variációs feltétellel ekvivalensek δs f j=1 p j δq j t 1 t 0 = f j=1 ( Fj p j ) δqj dt = 0. (6.151) Csak akkor kapjuk egyetlen skalár funkcionál stacionaritási feltételét, ha a végpontokban az általános koordináták rögzíthetők.
2017. szeptember 18. 21:26:22 67 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.2.8. Megmaradási tételek a. Ciklikus koordináta Ekkor A q j -t ciklikus koordinátának nevezzük, ha a Lagrange-függvényben expliciten nem szerepel, azaz F j = L q j = 0. (6.152) p j = d L dt q = 0 p j = áll. (6.153) j Ha a tér invariáns a q j koordináta eltolásával szemben, azaz homogén, akkor azon koordinátához tartozó kanonikus impulzus megmarad. b. Idő homogenitása Ha L expliciten nem függ az időtől, azaz a potenciál időfüggetlen, akkor a (6.69) Beltrami-függvény invariáns. Ennek fizikai jelentése az energia E = j L q j q L = j j q j p j L. (6.154) Ellenőrzésképpen végezzük el az idő szerinti deriválást. A megvalósuló, stacionárius pálya mentén de dt = ( q j p j + q j p j ) ( L q j + L ) j j q j q q j = 0, (6.155) j azaz E valóban állandó. Itt felhasználtuk p j (6.132) definícióját és a (6.133) mozgásegyenletet.
2017. szeptember 18. 21:26:22 68 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.23. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy általában de/dt = L/ t! [2] 6.2.3. Példa. Időfüggetlen potenciál: A Lagrange-függvény az impulzus s a Beltrami-függvény L = N k=1 m k 2 r k 2 V (r 1,..., r N ), (6.156) p k = L r = m k r k, (6.157) k valóban a rendszer energiája. E = k p k r k L = N k=1 m k 2 r k 2 + V, (6.158) 6.2.4. Példa. Kvadratikus kinetikus energia az általános sebességekben: Ha a kényszerek miatt a rendszert a q 1,..., q f általános koordinátákkal jellemezhetjük, akkor r k (q 1,..., q f ) r k (q) r k = j r k (q) q j q j, (6.159) ahonnan a kinetikus energiát ekképp írhatjuk K = k m k 2 r k 2 = k m k 2 ij r k (q) q i r k(q) q j q i q j 1 2 i,j m ij (q) q i q j. (6.160)
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE Ez kvadratikus az általános sebességekben q-függő együtthatókkal, s az utolsó egyenlőség definiálja az m ij ún. tömegmátrixot. Ez nem függ expliciten az időtől, ha a koordinátatranszformációk időfüggetlenek. Mivel L = K V, az impulzusok p j = i m ji (q) q i, (6.161) tehát az energia E = j p j q j L = K + V. (6.162) Ez időben állandó, ha sem a tömegmátrix, sem a potenciál nem függ expliciten az időtől. 6.2.9. Példák a Lagrange-féle mechanikára 6.2.5. Példa. Egyenesen csúszó tömegpont rugóhoz rögzítve. A 16. ábra szerint rugó végén levő m tömeg egyenes sín mentén súrlódásmentesen mozoghat, melytől d távolságra rögzítjük a rugó másik végét. A k állandójú rugó feszítetlen hossza l d. A Lagrange-függvény A mozgásegyenlet L = K V = m 2 x 2 k ( x2 + d 2 2 l ) 2. (6.163) p = mx = F = L ( ) x = kx l 1. (6.164) x2 + d 2 d 00 11 00 11 00 11 01 01 x 16. ábra. Egyenesen mozgó tömegpont rugó végén. 6.24. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy F éppen a rugóerő x irányú vetülete. [2] 2017. szeptember 18. 21:26:22 69
2017. szeptember 18. 21:26:22 70 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.25. Gyakorló feladat. Fejtsük sorba az erőt vezető rendben kis x mellett, és adjuk meg a mozgásegyenletet az l < d és l = d esetekben. Mekkora a kis rezgések frekvenciája? [3] 6.26. Gyakorló feladat. Az l > d esetben határozzuk meg az egyensúlyi helyzeteket és azok körül a kis rezgések frekvenciáját. [3] 2016.10.04 2016.10.06 6.2.6. Példa. Síkmozgás centrális potenciálban Használjunk polárkoordinátákat a potenciál centrális, ha csak az r rádiuszvektor r hosszától függ Sebességek átszámítása f = 2, q 1 = r, q 2 = ϕ, (6.165) V (r) = V (r). (6.166) x =r cos ϕ, y = r sin ϕ, (6.167) x = r cos ϕ rϕ sin ϕ, (6.168) y = r sin ϕ + rϕ cos ϕ. (6.169) A Lagrange-formalizmus előnye, hogy elegendő a sebességeket átszámítani általános koordinátákra, a gyorsulásokra nincs szükség. A sebesség négyzete v 2 = x 2 + y 2 = r 2 + r 2 ϕ 2, (6.170) a Lagrange-függvény L = K V = m ( r 2 + r 2 ϕ 2) V (r) = L (r, r, ϕ). (6.171) 2
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2017. szeptember 18. 21:26:22 71 Mivel ϕ ciklikus koordináta F ϕ = L ϕ = 0 p ϕ = L ϕ = mr2 ϕ = N = áll., (6.172) ez az impulzusmomentum. Mivel L az időeltolásra invariáns, az energia megmarad. A kinetikus tag kvadratikus a sebességekben, azért E = K + V = m 2 ( r 2 + r 2 ϕ 2) + V (r) = m 2 r 2 + N 2 2mr + V (r) = m 2 2 r 2 + V eff (r), (6.173) amely szerint a radiális kinetikus energia mellett egy effektív potenciál jelenik meg. Visszavezettük a problémát effektív 1D rendszerre, s azonnal elsőrendű differenciálegyenletet kaptunk az r(t) pályára! Illusztrálásul még felírjuk a radiális Euler Lagrange-egyenletet F r = L r = V (r) + mr ϕ 2, L r = p r = mr, (6.174) ahonnan az impulzusmomentum behelyettesítésével p r = F r mr = V (r) + N 2 mr = V eff(r). (6.175) 3 Nem meglepő módon az energiában fellépő effektív potenciál jelenik meg a mozgásegyenletben is, melyet egyébként az energia idő szerinti deriválásával is előállíthatunk. 6.27. Gyakorló feladat. Írjuk fel a mozgásegyenleteket a V (r, ϕ) nem feltétlenül centrális potenciálra! [2]
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.2.7. Példa. Mozgásállandó visszahelyettesítése a Hamilton-elvbe. Várakozás: Miután függvény extremizálása (általánosabban stacionárius pontja keresése) esetén a megoldás egy részét visszahelyettesíthetjük, majd a redukált probléma stacionárius pontját kereshetjük, hasonlót várunk funkcionáloknál is. Csakhogy a mechanikában csak akkor írhatjuk elő egy funkcionál stacionaritását, ha a végpontokban a trajektória rögzített, különben a mozgásegyenletet (6.151) adja. A következő példa megvilágítja azt, megmaradó mennyiség visszahelyettesítésével hogyan juthatunk az effektív Lagrange-függvényhez. Helyettesítsük be az impulzusmomentumot a Lagrange-függvénybe, ezzel ϕ-t elimináltuk L = K V = m ( r 2 + N 2 ) V (r). (6.176) 2 m 2 r 2 Vizsgáljuk ϕ variációját ϕ = N δϕ = 2Nδr δϕ t 1 mr 2 mr 3 t0 = dt δϕ = dt 2Nδr mr 3, (6.177) tehát tetszőleges δr(t) variációk mellett a határokon a polárszög variációja általában nem zérus. Következésképpen a mozgásegyenlet (6.151) alakjához szükséges visszanyúlnunk, amely szerint δs p ϕ δϕ t 1 t0 = δs + N dt 2Nδr mr 3 = δs dt δr r N 2 = 0. (6.178) mr2 Ez ekvivalens azzal, hogy az általánosított erőt kiegészítettük egy 2N 2 δr/mr 3 taggal, azaz a Lagrange-függvényhez hozzáadtuk a N 2 /mr 2 kifejezést. Eszerint az effektív Lagrange-függvény L eff = L N 2 mr = m ( r 2 N 2 ) V (r) = m r 2 V 2 2 m 2 r 2 eff, (6.179) 2 azaz éppen az effektív potenciált kell levonni a kinetikus energiából. A megmaradó mennyiséget, azaz a részleges megoldást nem helyettesíthetjük egyszerűen vissza a Lagrange-függvénybe! 2017. szeptember 18. 21:26:22 72
2017. szeptember 18. 21:26:22 73 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 6.2.8. Példa. Kettős inga: Csuklóval megtört síkinga. A szabadsági fokok száma f = 2, az általános koordináták q 1 = ϕ 1, q 2 = ϕ 2 (6.180) a 17. ábra szerint. Az m 1 kinetikus és potenciális energiája K 1 = m 1l 2 1 2 ϕ 2 1, V 1 = m 1 gl 1 cos ϕ 1. (6.181) Az m 2 járulékához kifejezzük a descartes-i koordinátákat (y lefelé mutat) x 2 =l 1 sin ϕ 1 + l 2 sin ϕ 2, (6.182) y 2 =l 1 cos ϕ 1 + l 2 cos ϕ 2, (6.183) majd a sebességeket x 2 =l 1 ϕ 1 cos ϕ 1 + l 2 ϕ 2 cos ϕ 2, (6.184) y 2 = l 1 ϕ 1 sin ϕ 1 l 2 ϕ 2 sin ϕ 2, (6.185) melyekkel az energiák 17. ábra. A kettős inga. K 2 = m [ 2 l 2 2 1 ϕ 2 1 + l 2 2ϕ 2 ] 2 + 2l 1 l 2 ϕ 1 ϕ 2 (cos ϕ 1 cos ϕ 2 + sin ϕ 1 sin ϕ 2 ), (6.186) }{{} cos(ϕ 1 ϕ 2 ) V 2 = m 2 g (l 1 cos ϕ 1 + l 2 cos ϕ 2 ). (6.187)
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE A Lagrange-függvény a mozgásegyenleteket származtatja, melyek tömör alakja L = K V = K 1 + K 2 V 1 V 2 (6.188) F j = L = d L ϕ j dt ϕ = p j. (6.189) j 6.28. Gyakorló feladat. Vezessük le a mozgásegyenleteket! [1] (A pontszám nem elírás, a feladat beugró példának nem használható.) Energiamegmaradás: mivel L/ t = 0 és a K kvadratikus az általános sebességekben, azért E = p 1 ϕ 1 + p 2 ϕ 2 L = K + V = áll. (6.190) 6.29. Gyakorló feladat. Az energia kifejezése részletesen? [1] A mozgásegyenletek megoldása formulával (integrállal, kvadratúrával) általában nem adható meg. Numerikus megoldásuk azt mutatja, hogy a rendszerben létrejöhet kaotikus, azaz véletlenszerű mozgás. Általában két szabadsági fokú rendszer potenciálos kölcsönhatása kaotikus mozgáshoz vezet. A jelenség különlegessége abban áll, hogy expliciten adott, determinisztikus mozgásegyenletek vezérlik, ugyanakkor a trajektória véletlenszerűen viselkedik. Ez szemmel látható, valamint kvantitatív statisztikai vizsgálatokkal is kimutatható. Numerikus megoldást általunk beállítható KF mellett láthatunk a következő internet kötésen (a lejátszáshoz Java szükséges): http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html. Vegyük észre, hogy e lapon a mozgásegyenleteket a Newton-törvény alapján hosszas eljárással szerkesztik meg. A Lagrange-mechanika ennél lényegesen rövidebb módszert kínál! 2017. szeptember 18. 21:26:22 74
2017. szeptember 18. 21:26:22 75 6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE További numerikus demonstráció található itt: http://www.tapdancinggoats.com/double-pendulum. A Lagrange-formalizmust részletesen diszkutálja http://scienceworld.wolfram.com/physics/doublependulum. html. 6.30. Gyakorló feladat. Kísérjük figyelemmel valamelyik internetes oldal grafikus megoldását. Készítsünk statisztikát arról, hogy az inga végpontja milyen gyakran vált térfelet, azaz az x 2 koordináta előjelet. A térfél váltogatását hasonlítsuk össze a pénzfeldobás statisztikai tulajdonságaival, melyek számszerűsítésének részletei a megoldóra vannak bízva. A megoldás alaposságától függően a pontszám [0 7]. 6.2.9. Példa. Töltött részecske mozgása elektromágneses térben Vizsgáljuk az alábbi Lagrange-függvénnyel leírható tömegpontot ahol A és φ adott függvények. A mozgásegyenletek p i = mr i + e c j F i = L r i = j L = m 2 r 2 + e A(r, t) r eφ(r, t), (6.191) c e c ( ia j ) r j e i φ, j A i r j + e c ta i m r i = e i φ + e c p i = L r = mr i + e i c A i, (6.192) j ( i A j j A i ) }{{} ε ijk E k r j e c ta i, (6.193) ahol B = rot A. Például A = 1 yb z xb z 1 A 2 2 A 1 = B z, B x = B y = 0 (6.194) 2 0
6.2 Lagrange-féle mechanika 6 BEVEZETÉS A MECHANIKA VARIÁCIÓS ELVEIBE 2017. szeptember 18. 21:26:22 76 Ha mármost elektromos térerősségnek nevezzük az vektorteret, akkor a mozgásegyenlet alakja E = 1 c A t φ (6.195) mr = ee + e r B. (6.196) c Ez éppen a korábbi tanulmányaink során megismert Lorentz-erő, melyben B a mágneses indukció vektora. Konklúziónk tehát az, hogy a (6.191) kifejezéssel adott Lagrange.függvény, a (6.195) által definiált elektromos, és az A vektorpotenciál által előállított mágneses erőtér a Lorentz-erő által gyorsított töltés mozgásegyenletéhez vezet. 6.31. Gyakorló feladat. A mágneses és elektromos mező nem változik az ún. mértéktranszformáció bevezetésével, azaz ha az A térhez egy skalártér gradiensét adjuk, s a φ potenciált is megfelelően módosítjuk. (a) Adjuk meg az E és B tereket invariánsan hagyó transzformációt expliciten. (b) Mutassuk meg, hogy a Lagrange-függvény egy teljes időderivált hozzáadásával módosul. Ily módon is látható, hogy a mértéktranszformáció a mozgásegyenleten nem változtat. [2-2] 6.32. Gyakorló feladat. A fent kapott p kanonikus impulzus egy része a tömegpont mv mozgásmennyisége mellett egy további tagot tartalmaz. Mi lehet ennek a fizikai értelmezése, vajon ez minek az impulzusa? Vegyük észre, hogy az előző feladatbeli mértéktranszformáció megváltoztatja a kanonikus impulzust értelmezésünknek ezzel a ténnyel összhangban kell lennie. [3] (A feladat mély, messzire vezető fizikai problémát feszeget. A pontszámot úgy állítottuk be, hogy egyedül ne legyen elegendő beugró példaként benyújtani.) 6.33. Gyakorló feladat. Írjuk fel a 6.2.4 példában adott, tömegmátrixszal felírt kinetikus energiát tartalmazó rendszer mozgásegyenletét. [3] 2016.10.06 2016.10.11
2017. szeptember 18. 21:26:22 77 7. Egydimenziós konzervatív rendszer 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Tömegpont 1D potenciálmozgása. Legyen a potenciál időfüggetlen, nincs súrlódás (egy szabadsági fok, f = 1). 7.1. Mozgásegyenlet és energiamegmaradás A potenciál additív konstans erejéig definiált. Ismétlés: Energia Lagrange-függvény: L =K V = m x 2 V (x), (7.1) 2 kanonikus impulzus: p = L x = m x, erő: F = L x = V (x), (7.2) mozgásegyenlet: p =F mx = V (x). (7.3) E = K + V = 1 2 m x 2 (t) + V (x(t)) = áll. (7.4) Az E V (x) mérhető, nem függ V (x) nullszintjétől. A mozgás megengedett tartománya x-ben: A KF x 0 = x(t 0 ), v 0 = x(t 0 ), amelyek meghatározzák az energiát E V (x) = 1 2 m x 2 0 (7.5) E = 1 2 mv2 0 + V (x 0 ). (7.6) A mozgás a 18. ábrán jelölt "B,C" szakaszok belsejében periodikus, az "A,D" tartományokon nem korlátos.
7.1 Mozgásegyenlet és energiamegmaradás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER V(x) E c2 E c1 A ] [ ] [ ] [ B C D x 18. ábra. Mozgás 1D potenciálban (az ábrán jelölt, a teljes B ill. C intervallumokra kiterjedő pályák periódusideje végtelen, a belső pályáké véges). Az energiamegmaradás 1D-ben ekvivalens a II. Newton-törvénnyel, lényegében annak az integálja. Előnye, hogy elsőrendű differenciálegyenlet, ezért közvetlenül megoldható. Ha magasabb dimenziós mozgás visszavezethető 1D-re, akkor effektív 1D mozgásról beszélünk. Ha azt időfüggetlen potenciál határozza meg, akkor a problémát a fentiekhez hasonlóan oldhatjuk meg. Ilyet láttunk a 6.2.6. példában, amelyben a centrális potenciálbeli mozgást visszavezettük a rádiusz effektíven 1D mozgására. 7.1. Gyakorló feladat. Az 1D potenciálmozgás egyenletéből integrálással állítsuk elő az energiamegmaradást. [2] 2017. szeptember 18. 21:26:22 78
2017. szeptember 18. 21:26:22 79 7.2 A mozgásegyenlet megoldása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.2. A mozgásegyenlet megoldása A mozgásegyenlet a sebesség abszolút értékét adja meg x = Megjegyzés: Elsőrendű, közönséges, szeparábilis differenciálegyenlet Az x(t 0 ) = x 0 KF-hez illeszkedő megoldása implicit alakban t t 0 dt g(t) = 2 (E V (x)). (7.7) m x(t) = f(x(t))g(t). (7.8) t dt x/f(x) = t 0 x x 0 dx/f(x). (7.9) Fizikai irodalomban elterjedt az a jelölés, melynél az integrálási változót a felső határral azonosnak vesszük, ha nem okoz félreértést. Továbbá az integrál dt mértéke rögtön az integráljel után került, az integrandust ilyenkor egyértelmű módon kell lezárni. A (7.9) megoldás a (7.7) mozgásegyenletre, g(t) 1 mellett alkalmazható, azzal a különbséggel, hogy most az x szerinti integrál csak növekedhet, amelyet dx jelez. Tehát m t t 0 = 2 x x 0 dx m E V (x) 2 x x 0 ± dx E V (x). (7.10) A t mindenképpen növekszik, akkor is, ha x csökken, azaz dx > 0. Fordulópontnak nevezzük a legközelebb elért olyan x F helyet, melyre E = V (x F ). (7.11)
7.2 A mozgásegyenlet megoldása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Itt vált dx előjelet, az x(t) pálya visszafordul. A (7.10) integrál útvonalfüggő! A mozgás véges, ha az x 0 kiindulópont mindkét oldalán egy-egy legközelebbi fordulópontot találunk, ezek legyenek F és x (+) F. A fordulópontokban x ( ) E = V (x ( ) F ) = V (x (+) F ), (7.12) a mozgás ezek között periodikus. A periódusidő a két fordulópont között eltöltött idő kétszerese, ez (7.10) alapján T = 2m x (+) F x ( ) F dx V (x F ) V (x). (7.13) Ha nincs mindkét oldalon véges fordulópont, akkor a tömegpont a végtelenbe távozik. Ennek időtartama lehet véges vagy végtelen, attól függően, hogy ha a (7.10) jobboldalán a felső határ divergál, akkor az improprius integrál létezik-e. A B függelékben megvizsgáljuk a fordulópontok közelében történő mozgást. Két fő esetet különböztethetünk meg, éspedig ha a fordulópontban potenciál közel lineáris parabolikus időfüggésű trajektória; kvadratikus potenciál exponenciális időfüggés. Hangsúlyozzuk, hogy a (7.7) mozgásegyenlet az abszolút érték miatt csak az x(t) monoton szakaszain tekinthető szokásos szeparábilis differenciálegyenletnek. Intuitíven értjük, hogy a fordulópontok között a mozgás periodikus, a B függelékben kissé precízebben megszerkesztjük a megoldást. A kvadratikus potenciálban mozgó részecskét nevezzük harmonikus oszcillátornak. Ilyen mozgás valósul meg lokális potenciálminimum közelében is. A B függelék a megoldásra kétféle módszert mutat: egyrészt az energiamegmaradás differenciálegyenletét oldjuk meg, másrészt exponenciális próbafüggvény alakjában keressük a megoldást. 2017. szeptember 18. 21:26:22 80
2017. szeptember 18. 21:26:22 81 7.3 Fázistér I: pályák globális szemléltetése 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.3. Fázistér I: pályák globális szemléltetése A fázistér a mozgás elterjedt szemléltetése az (x, v) síkon. Eddig kerestük az x(t), v(t) függvényeket, most az (x(t), v(t)) paraméteres görbéket ábrázoljuk: ezek a fázistérbeli trajektóriák. Egyenletük v = tükörszimmetrikus az x tengelyre. A különböző görbéket E paraméterezi. 7.3.1. Harmonikus oszcillátor Ha a potenciál V (x) = 1 2 mω2 x 2, akkor 2 (E V (x)) (7.14) m E = 1 2 mv2 + 1 2 mω2 x 2 = 1 2 mω2 A 2 (7.15) v v x x x x x t x t 19. ábra. Fázistér, és a hozzá tartozó v(t) és x(t) függvények az x(0) = 0, v(0) > 0 KF mellett.
2017. szeptember 18. 21:26:22 82 7.3 Fázistér I: pályák globális szemléltetése 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Az x v összefüggés ellipszis: v 2 A 2 ω + x2 = 1. (7.16) 2 A2 A fázistérbeli pályát és az időbeli trajektóriákat a 19. ábra szemlélteti. Általában stabil x egyensúly közelében (V (x ) > 0) ilyen a mozgás, x : elliptikus fix pont! Ilyen a tipikus konzervatív stabil egyensúly, körülötte kis rezgéseket folytat a tömegpont, a fázistérben ellipsziseket jár be. Növekvő E növekvő átmérőjű pályákat határoz meg, ld. 20. ábra. Az E meghatározza az ellipszist, amelyen végtelen sok KF-ből indított mozgás történhet. 7.3.2. Általános potenciál 20. ábra. Fázistérbeli pályák különböző E energiák mellett. A potenciált és a fázistérbeli trajektóriákat a 21. ábra szemlélteti. Különböző fázistérbeli trajektóriák különböző E energiákhoz tartoznak, ezért nem metszhetik egymást. 7.2. Gyakorló feladat. A 21. ábrán a potenciál és a fázistér rajza nem teljesen illik össze. Hol a hiba? [1] 7.3. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy lokális maximum közelében (ahol V (x ) < 0) a pályák hiperbolák! [3] Az x instabil, hiperbolikus fix pont. Általában szeparátrixnak nevezünk egy pályát (az ábrákon az energiáját E c -vel jelöltük), ha átmegy legalább egy hiperbolikus fix ponton, végtelen idő szükséges a bejárásához, kvalitatíven különböző pályákat választ el. 7.3.1. Példa. Másod-harmadfokú potenciál: V (x) = k 2 x2 + λx 3, ld. 22. ábra.
7.3 Fázistér I: pályák globális szemléltetése 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2017. szeptember 18. 21:26:22 83 E 4 v E 4 E 3 E 3 E 2 E 1 E 1 E 2 x E>E 4 21. ábra. Általános potenciál és a fázistér. Szeparátrixok (E c ): E 2 (piros), E 4 (zöld). 7.3.2. Példa. Másod-negyedfokú potenciál: V (x) = k 2 x2 + λx 4. "Lágyuló" (λ < 0), ld. 23. ábra, ill. "keményedő" (λ > 0) rugó. Pályák kétféle szemléltetésének összehasonlítása: Időfüggvények Fázistér (t,x) illetve (t,v) (x,v) x(t),v(t) v(x) időbeli változás geometriai szerkezet egyedi pályák globális áttekintés
7.4 Inverz probléma 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER V(x) v E c E c x x 22. ábra. Másod-harmadfokú potenciál λ < 0 mellett és fázistérbeli pályák. A piros vonal a szeparátrix. V(x) v E c E c x x 23. ábra. Másod-negyedfokú potenciál (λ < 0) és fázistérbeli pályák. A piros vonal a szeparátrix. 7.4. Inverz probléma: a periódusidőből visszakövetkeztetünk a potenciálra Tekintsünk egy potenciálvölgyet a 24. ábra szerint, azaz legyen V (0) = 0, és V (x) monoton csökkenjen a negatív és nőjön a pozitív félegyenesen. A két inverz ág legyen x 1 (V ) 0 és x 2 (V ) 0, adott E energián a fordulópontok 2017. szeptember 18. 21:26:22 84
2017. szeptember 18. 21:26:22 85 7.4 Inverz probléma 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER x 1 (E), x 2 (E) (a korábbitól eltérő jelöléssel). A (7.13) periódusidőt felbontjuk kétoldali járulékokra és az integrálban az x V változócserét hajtjuk végre x 2 T (E) (E) dx 0 V = 2m E V (x) = x dv E 1(V ) + x dv 2(V ) E V E V = x 1 (E) E 0 [x 2(V ) x 1(V )] E dv E V = E 0 0 x dv (V ), (7.17) E V ahol bevezettük az inverz ágak különbségfüggvényére a következő jelölést x(v ) = x 2 (V ) x 1 (V ). (7.18) A periódusidő tehát azonos olyan potenciálvölgyekre, melyeknek ugyanazon V energiákhoz tartozó x(v ) szélessége azonos. E x 1 x 2 24. ábra. Két monoton szakaszból álló potenciál. Fordítsuk meg a kérdést! Feltéve, hogy ismerjük a periódusidőt, mint az energia függvényét, miképpen számíthatjuk vissza a potenciált, pontosabban ennek inverz ágainak a különbségét, amely a periódusidőt meghatározza? Először is vizsgáljuk a (7.17) formulában fellépő, F (V ) G(E) típusú, lineáris függvénytranszformációt x G(E) = E 0 F (V ) dv E V. (7.19) Ennek további, G(E) H(U) transzformáltja H(U) = U 0 G(E) de U E = U 0 de E U E 0 F (V )dv E V = U 0 dv F (V ) U V de (U E)(E V ), (7.20)
2017. szeptember 18. 21:26:22 86 7.4 Inverz probléma 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER ahol a 0 < V < E < U egyenlőtlenségeket megtartva az integrálások sorrendjét felcseréltük. Az E szerinti integrálás tartományát a (0, 1) intervallumra képezhetjük a z változóra áttérve E = V + (U V ) z 2 de = 2(U V )z dz és U 1 de (U E)(E V ) = 2 V 0 (U E)(E V ) = z(u V ) 1 z 2 dz U = π H(U) = π 1 z 2 0 dv F (V ). (7.21) Érdekes módon az E-re vett integrál a végpontoktól függetlennek adódott. Végezetül azt az egyszerű eredményt kaptuk, miszerint a kétszer alkalmazott (7.19) transzformáció az eredeti függvény integráljának π-szeresét adja. Ennek alapján lazán szólva a (7.19) formulát egy szorzó erejéig az integrálási művelet négyzetgyökének tekinthetjük. Mindezek alapján a fent vizsgált, egymást követő függvénytranszformáltak és a (7.17) formulában szereplő fizikai mennyiségek között a következő megfeleltetést tehetjük (itt H argumentumát V -nek választjuk) F (V ) = x (V ), G(E) = T (E)/ 2m, H(V ) = π x(v ). (7.22) Mivel az utóbbi két függvényt is a (7.19) reláció köti össze x(v ) = 1 π 2m V 0 T (E)dE V E. (7.23) arra az eredményre jutottunk, hogy a T (E) periódusidő meghatározza az inverz ágak x(v ) különbségét, azaz a potenciálvölgy szélességét minden adott V energia mellett. Ha feltesszük, hogy a potenciál szimmetrikus, akkor azt a T (E) egyértelműen definiálja. Mindezzel arra adtunk példát, hogy egy fizikai rendszeren mérhető mennyiség, azaz esetünkben az 1D oszcillátor periódusideje alapján a mozgást meghatározó erőtérre következtethetünk. Megjegyzés: A fenti (7.19) eredmény Niels Henrik Abel norvég matematikus nevéhez fűződik.
2017. szeptember 18. 21:26:22 87 7.5 Anharmonikus oszcillátor perturbációszámítás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.4. Gyakorló feladat. Adjunk meg egy nem szimmetrikus, kvadratikusnál bonyolultabb V (x) potenciált expliciten, melyhez állandó periódusidő tartozik! [4] 2016.10.11 2016.10.13 7.5. Anharmonikus oszcillátor periódusideje: perturbációszámítás és dimenzióanalízis A perturbációszámítás az elméleti fizika legelterjedtebb módszerei közé tartozik. Elsőként a véges mozgások periódusidejének számításán keresztül mutatjuk be az eljárást. Ezen túl a periódusidő számítása a dimenzióanalízisre is jó példával szolgál. 7.5.1. Perturbált harmonikus potenciál A kvadratikus potenciálhoz kis perturbációt adunk V (x) = k 2 x2 + ɛv(x), (7.24) majd a periódusidőt ɛ szerint sorba fejtjük. Ehhez feltesszük, hogy a mozgás során V (x) ɛv(x), a sorfejtés kis paraméterét később, a számítás során azonosítjuk. A v(x)-et energia dimenziójúnak vesszük, ennélfogva ɛ dimenziótlan szám. Legyenek a fordulópontok most A +, A A periódusidőt felbontva kapjuk (x 0) T (E) = T + (E) + T (E) = 2m E = V (A + ) = V ( A ). (7.25) A + 0 dx E V (x) + 2m A 0 dx E V ( x). (7.26)
2017. szeptember 18. 21:26:22 88 7.5 Anharmonikus oszcillátor perturbációszámítás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Észrevesszük, hogy a perturbáció az integrandusokban szereplő potenciálban és az integrálok felső határait képező amplitúdókban is megjelenik első lépésként a felső határból kiküszöböljük. Vizsgáljuk a T + járulékot! Bevezetve az x = A + sin u [ dx = A + cos udu ], ω = k m, α = ɛ ka 2 + (7.27) jelöléseket nyerjük T + = 2m A + 0 dx (k/2)(a 2 + x 2 ) + ɛ[v(a + ) v(x)] = 2 ω π/2 0 cos udu cos 2 u + 2α[v(A + ) v(a + sin u)]. (7.28) Ha ɛ = 0, visszakapjuk a harmonikus oszcillátor fél periódusidejét, T + = π/ω = T/2. A fenti integrál felső határa rögzített, a perturbáció csak az integrandusban lép fel, melyet az alábbiakban fejtünk sorba vezető rendben. 7.5.2. Periódusidő sorfejtése - vezető korrekció Használjuk fel, hogy (1 + y) 1/2 = 1 y 2 + O(y2 ), ahonnan T + = 2 ω π/2 0 [ 1 α v(a +) v(a + sin u) cos 2 u A korrekcióban a kitérést közelíthetjük a perturbálatlan értékkel E = k 2 A2 + + ɛv(a + ) A + = ] du + O(α 2 ). (7.29) 2E 2E k + O(ɛ) A + A A 0 = k. (7.30)
2017. szeptember 18. 21:26:22 89 7.5 Anharmonikus oszcillátor perturbációszámítás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Tehát 2π ω + 2ɛ ωe T = T + + T = 2π ω + 2α ω π/2 0 π/2 0 v(a 0 sin u) v(a 0 ) + v( A 0 sin u) v( A 0 ) du + O(ɛ 2 ) cos 2 u v s (A 0 sin u) v s (A 0 ) du = 2π cos 2 u ω + 2ɛ ωe I(A 0) = 2π ω + 4ɛ ωka 2 0 I(A 0 ) = 2π ω ahol v s (x) = (v(x) + v( x))/2 a perturbáció szimmetrikus része, s I(A)-t is definiáltuk. ( 1 + 2ɛ ) I(A πka 2 0 ) 0 (7.31) Következésképpen a páratlan v(x) az ɛ-ban első rendben nem módosítja a periódusidőt. A "féloldalas" idők, T +, T változhatnak, de amennyivel a trajektória "siet" az egyik oldalon, annyival "késik" a másikon. 7.5. Gyakorló feladat. Köbös perturbáció: v(x) = b x 3. (a) Mutassuk meg, hogy T +/ π ω (b) Határozzuk meg T korrekcióját ɛ 2 rendig! [5] ( ) 1 4ɛbA 0 πk + O(ɛ 2 )! [3] 7.6. Gyakorló feladat. Általános hatvány perturbációt tekintsünk a v(x) = b x β alakban, s írjuk fel a periódusidő vezető korrekcióját. [3] 7.5.1. Példa. Negyedfokú perturbáció: v(x) = b x 4 = v s (x). Az integrált el tudjuk végezni I(A 0 ) =b A 4 0 T = 2π ω π/2 0 ( du sin4 u 1 cos 2 u 1 3bA2 0ɛ 2k + O(ɛ 2 ) = b A 4 0 ) = 2π ω π/2 0 ( du (1 + sin 2 u) = c A 4 0 1 3bEɛ k 2 + O(ɛ 2 ) ) ( π 1 + 1 ) = 3π 2 2 4 ba40 = 3πbE2, (7.32) k 2. (7.33)
2017. szeptember 18. 21:26:22 90 7.5 Anharmonikus oszcillátor perturbációszámítás 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER A potenciál perturbációja a periódusidő energiafüggését eredményezi! A korrekció kicsiny, ha ɛbe/k 2 = ɛba 2 0/2k 1. (7.34) Ez éppen az a feltétel, hogy a legnagyobb kitérésnél is legyen a perturbáló potenciál jóval kisebb a harmonikusnál, azaz ka 2 0 ɛba 4 0. 7.7. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük, hogy e kifejezések valóban dimenziótlanok! [1] 7.8. Gyakorló feladat. Lássuk be, hogy a fenti feltétel teljesülése esetén v(x) valóban sokkal kisebb a harmonikus potenciálnál a fordulópontok között! [2] 7.9. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a periódusidő valamely általános V 0 (x) potenciál ɛv 1 (x) perturbációja (V 1 a korábbi v-nek felel meg) esetén első rendig T 0 + ɛt 1, ahol T0 T 1 = dt V 1 (x 0 (t)), (7.35) E 0 melyben a perturbálatlan x 0 pályán kívül általános esetben a T 0 periódusidő is függhet az E energiától. Ellenőrizzük, hogy visszakapjuk-e a harmonikus V 0 (x) potenciálra a (7.31) eredményt? [7] Megjegyzés: A függelék B.4 fejezetében a potenciál negyedfokú perturbációja esetén a periódusidőt a lineáris közelítésen túlmenően vizsgáljuk. Továbbá a B.5 alfejezetben bemutatjuk az ún. optimalizált perturbációszámítást. Nevezetesen a vezető korrekció perturbatív számítását egy további paraméter bevezetése mellett végezzük, majd a perturbatív közelítés hibáját e paraméter függvényében minimalizáljuk. Mindezzel csak a vezető perturbáció számítását igénylő, pontosságban azonban ezt felülmúló eljárást nyertünk. 7.5.3. Dimenzióanalízis: periódusidő a tiszta hatvány potenciálban. Az energia E = mv2 2 + b x β. (7.36)
2017. szeptember 18. 21:26:22 91 7.6 Fázistér II: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER A paramétereknek egyetlen idő dimenziójú kombinációja létezik. β hossz: E/b, sebesség: E/m idő: m/e β E/b. (7.37) A periódusidő csak az utóbbi kifejezéssel lehet arányos, tehát m T (E) β E 1 β 1 2. (7.38) b β >/< 2 keményedő/lágyuló potenciál a harmonikushoz képest. 7.10. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy az m, E, b mennyiségekből dimenziótlan kombináció nem állítható elő! Ezt a tényt hallgatólagosan felhasználtuk a (7.38)-ben: a jobboldalt függvény nem, csak numerikus állandó szorozhatja. [1] 7.11. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a periódusidőt a (7.13) integrálformulájából! Legfeljebb dimenziótlan integrált hagyhatunk kijelölve. [3] 7.6. Fázistér II: stabilitásvesztés, bifurkációk A potenciál valamely paraméterének változtatása esetén egy korábban stabil fix pont elvesztheti a stabilitását és új fix pontok jöhetnek létre. 7.6.1. Másod-negyedfokú potenciál Vizsgáljuk a V (x) = µx 2 /2 + αx 4 /4 (7.39) potenciált, ahol α > 0 állandó és µ-t változtatjuk. A µ előjelétől függően kvalitatíven különböző trajektóriákat a 25. ábrán illusztráljuk.
7.6 Fázistér II: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2017. szeptember 18. 21:26:22 92 V(x) V(x) x v v x x (a) (b) 25. ábra. Másod-negyedfokú potenciál és fázistérbeli pályák, a: µ < 0, az origó stabil (elliptikus); b: µ > 0, az origó instabil (hiperbolikus), a szeparátrix energiája E c = 0. 7.6.2. Vasvilla (pitchfork) bifurkáció Az egyensúlyi helyzetek a µ paraméter függvényében a 26. ábrán láthatók. A µ < 0 esetén stabil fix pont µ = 0-ban elveszti stabilitását és µ > 0 esetén további két stabil fix pont jelenik meg. A vasvilla művészi ábrázolását a 27. ábra illusztrálja.
2017. szeptember 18. 21:26:22 93 7.6 Fázistér II: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Megjegyzés: Stabil és instabil pontok egyszerre jelennek meg. Stabilitási index: { +1... stabil, s = 1... instabil. A 26. ábráról leolvasható, hogy az összes fix pontra vett összeg N j x* s j =állandó: (7.40) µ < 0 : N = 1, s 1 = 1, (7.41) µ > 0 : N = 3, s 1 = 1, s 2 = s 3 = 1. (7.42) 26. ábra. Bifurkációs diagram: fixpontok a paraméter függvényében. : stabil, - -: instabil. µ 7.12. Gyakorló feladat. Adjuk meg a µ > 0 esetén megjelenő egyensúlyi helyzetek formuláját µ függvényében a (7.39) potenciálra! [2] 7.13. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a másod-harmadfokú V (x) = k 2 x2 + α 3 x3 potenciálbeli stabil és instabil egyensúlyi helyzeteket az α függvényében! Találunk-e bifurkációt? A helyzetet tisztázhatja, ha az egyensúlyi helyzeteket az 1/α függvényében ábrázoljuk. [2] 7.6.3. Első-harmadfokú potenciál Másfajta bifurkációt találunk az első-harmadfokú potenciálban. Tekintsük rögzített α > 0 mellett a V (x) = kx + α 3 x3 (7.43) potenciált, melynek egyensúlyi helyzetei V (x ) = k + αx 2 = 0 { nincs k < 0 x = ± k k 0. α (7.44)
7.6 Fázistér II: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Most a k = 0-ban megjelenik két fixpont. Mivel V 00 (x ) = 2x, azért a pozitív x stabil, a negatív instabil. 7.14. Gyakorló feladat. Ábrázoljuk a potenciált és a tipikus fázistérbeli trajektóriákat k <, =, > 0 esetén! [2] 7.6.4. Tangens bifurkáció Az egyensúlyi helyzetek a k függvényében a 28. ábrán láthatók. A stabilitási indexek minden k-ra PN j sj = 0. Az q x-et a komplex síkra kiterjesztve azt mondhatjuk, a k < 0 esetben imaginárius x = ± k/α fix pontok a k = 0-ban az origóban "találkoznak", majd a valós tengelyen maradva távolodnak onnan. 2016.10.13 J I 2016.10.18 27. ábra. Vasvilla és hiperrealizmus [Wikipedia], bal: Grant Wood: American Gothic, 1930.; jobb: Ismeretlenek, napjainkban. 2017. szeptember 18. 21:26:22 94
2017. szeptember 18. 21:26:22 95 7.6 Fázistér II: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER x* nincs N=2 a N=0 k 28. ábra. (a) Bifurkációs diagram: fix pontok a paraméter függvényében. Stabil:, instabil: - - -. (b) A fix pontok menete a komplex síkon, midőn k negatívról pozitívra vált. b x* 7.6.1. Példa. Vasvilla bifurkáció: centrifugális szabályozó adott szögsebességgel forgó, merev karú inga (ld. 30. ábra): L = K V, K = m ( l 2 ϕ 2 + l 2 ω 2 sin 2 ϕ ), V = mgl cos ϕ. (7.45) 2 A mozgásegyenlet ml 2 ϕ = mgl sin ϕ + ml 2 ω 2 sin ϕ cos ϕ. (7.46) Megjegyzés: Együtt forgó koordinátarendszerből leírva ugyanezt kapjuk, a második tag a centrifugális erő érintő irányú vetülete. Automatikusan kiadódott a lagrange-i mechanikából! Egyensúlyi helyzetek (ld. 29. ábra) sin ϕ = 0 vagy cos ϕ = g lω 2. (7.47)
2017. szeptember 18. 21:26:22 96 7.6 Fázistér II: stabilitásvesztés, bifurkációk 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Kitérés (ϕ > 0) csak ϕ * g π/2 ω > ω c = (7.48) l esetén lehetséges. Megjegyzés: A mozgás az egyensúlyi helyzeten kívül a ϕ változóban effektíven 1D: ω V eff (ϕ) = mgl cos ϕ 1 2 ml2 ω 2 sin 2 ϕ, (7.49) ω E = 1 ml2ϕ 2 + V eff (ϕ) = állandó. (7.50) 2 ω 29. ábra. Centrifugális szabályozó bifurkációs diagramja. ϕ l ϕ m a b 30. ábra. (a) Centrifugális szabályozó és (b) egyszerűsített modellje, a forgó felfüggesztésű inga; (c) James Watt szerkezete. c
2017. szeptember 18. 21:26:22 97 7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.15. Gyakorló feladat. Illusztráljuk a bifurkációt a potenciál görbéjével az ω <, =, > ω c esetekre! [1] 7.16. Gyakorló feladat. Az inga felfüggesztési pontját d sugarú körön forgatjuk függőleges tengely körül (az első éves emelt szintű mechanika kurzuson vizsgált példa). Írjuk fel a Lagrange-függvényt és a mozgásegyenletet! [3] 7.17. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a tehetetlenségi erők könnyedén meghatározhatók a Lagrangemechanika révén. Ehhez vegyük fel a kinetikus energiát az m r+ω r 2 /2 alakban, ahol ω(t) az explicit időfüggéssel adott szögsebesség, és r a forgó rendszerbeli helyvektor, amelyet válasszunk most általános koordinátának. [4] 7.7. Síkinga Tömegpont adott hosszú, súlytalan rúddal felfüggesztve síkmozgást végezhet. Az anharmonikus mozgás egyszerű példája, mozgásegyenletével már a középiskolában megismerkedtünk. Az alábbiakban néhány elemi tulajdonságát idézzük fel, azután a periódusidőt előállítjuk végtelen sorfejtés alakjában. 7.7.1. Mozgásegyenlet A Lagrange-függvény és az energia L = 1 ml2ϕ 2 + mgl cos ϕ, (7.51) 2 E c V( ϕ) E = 1 ml2ϕ 2 mgl cos ϕ = áll. (7.52) 2 π π ϕ A szeparátrix energiája E c = mgl, E < E c leng, (7.53) E > E c körbe fordul. (7.54) 31. ábra. Síkinga potenciálja.
2017. szeptember 18. 21:26:22 98 7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.7.2. Kis rezgések ahol Ha ϕ 1 akkor cos ϕ 1 ϕ 2 /2, akkor közelítőleg (a potenciálbeli állandót elhagyva) L = 1 ml2ϕ 1 2 2 mglϕ2, ϕ = ω 2 ϕ, (7.55) E = 1 ml2ϕ + 1 2 2 mglϕ2, (7.56) ω = g/l, T = 2π l/g. (7.57) A ϕ-ben harmonikus oszcillátort kaptunk, ez a matematikai inga. 7.7.3. Fázistér szerkezete A trajektóriák egyenlete az E energián (ld. 32. ábra) Ec ϕ E>E c E<E c ϕ ϕ = 2/ml 2 E + mgl cos ϕ. (7.58) π π Ha a maximális kitérés ϕ 0 < π, akkor és E = mgl cos ϕ 0 < mgl = E c (7.59) ϕ = 2g/l (cos ϕ cos ϕ 0 ), (7.60) 32. ábra. Síkinga fázistere.
2017. szeptember 18. 21:26:22 99 7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER A szeparátrixon E = E c, az inga éppen nem fordul körbe, azaz ϕ 0 = π és ϕ g 2g = l (cos ϕ + 1) = l cos ϕ 2. (7.61) Ha E > E c, akkor az inga körbe fordul. Minden fizikai mennyiség periodikus ϕ-ben. Kétféle ekvivalens szemléltetés: Fázistérbeli cella ismétlődik, 33a. ábra, Hengeren értelmezzük, 33b. ábra. ϕ ϕ ϕ a b ϕ 33. ábra. (a) Periodikus (b) hengeres nézet. 7.7.4. Időfüggés C = E E c = E mgl { < 1 leng C = cos ϕ0 > 1 körbefordul (7.62)
7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Implicit egyenlet ϕ(t)-re t t 0 = l ϕ 2g ϕ 0 Sorfejtések lehetségesek pl. az egyensúlyi helyzet körül C = 1 + ɛ, a szeparátrix körül C + cos ϕ = 2 cos 2 (ϕ/2) + C 1, C = 1 + ɛ. 7.7.5. Lengések periódusideje a. Az elliptikus integrál E < E c, C = cos ϕ 0 : l T = 4 2g ϕ 0 0 dϕ C + cos ϕ. (7.63) dϕ. (7.64) cos ϕ cos ϕ0 Küszöböljük ki a fordulópont ϕ 0 szögét a felső határból! Vezessük be a k = sin ϕ 0 új paramétert, és végezzük el a 2 ϕ ψ változócserét sin ψ = 1 k sin ϕ cos ψ dψ = 1 2 2k cosϕ dϕ (7.65) 2 cos ϕ =1 2 sin 2 ϕ ( 2, cos ϕ cos ϕ 0 = 2 sin 2 ϕ 0 2 ϕ ) sin2 = 2 ( k 2 k 2 sin 2 ψ ) = 2k 2 cos 2 ψ. (7.66) 2 A periódusidő π/2 l π/2 cos ψ dψ 1 l dψ l T = 4 1 2g cos ϕ = 4 2k 2 2k cos ψ g 1 k 2 sin 2 ψ = 4 K(k), (7.67) g 0 ahol K(k) az elsőfajú teljes elliptikus integrál. Kvalitatív menetét és a periódusidőt a 34. ábra szemlélteti. 2017. szeptember 18. 21:26:22 100 0
7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2017. szeptember 18. 21:26:22 101 π/2 K(k) 1 k ¾ T Õ 1 k 34. ábra. (a) Az elliptikus integrál K(k); (b) k(ϕ 0 ); (c) a periódusidő. π ϕ 0 π ϕ 0 b. A periódusidő sora Az elliptikus integrálok tulajdonságait speciális függvények jegyzékei ismertetik. Alább bemutatjuk, hogyan határozható meg a K(k) Taylor-sora. Hatvány kifejtése (1 + x) n = n j=0 ( ) n x j j 1 1 x = ( ) 1/2 ( x) j, (7.68) j=0 j ahol ( ) 1/2 = 1 j j! ( 1 ) ( 1 ) 2 2 1... ( 1 ) 2 j + 1 = ( 1) j (2j 1)!!, (7.69) 2j!!
2017. szeptember 18. 21:26:22 102 7.7 Síkinga 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER melyet j = 0 esetén 1-nek értelmezünk. A periódusidő l T = 4 g Kiszámítjuk az integrált Végeredményképpen kapjuk ( ) 1/2 π/2 l ( k 2 ) j sin 2j ψ dψ = 4 j=0 j 0 g j=0 I j = π/2 0 sin 2j ψ dψ = = cos ψ sin 2j 1 ψ π/2 0 π/2 0 2j (2j 1)!! k (2j)!! cos ψ sin 2j 1 ψ dψ + (2j 1) π/2 0 π/2 cos 2 ψ sin 2j 2 ψ dψ 0 sin 2j ψ dψ. (7.70) =(2j 1) (I j 1 I j ) (7.71) I j = 2j 1 I j 1 =... = 2j l T (ϕ 0 ) = 2π g (2j 1)!! π (2j)!! 2. (7.72) j=0 ( ) 2 (2j 1)!! k 2j, (7.73) (2j)!! ahova a k = sin(ϕ 0 /2)-t helyettesítjük be. A sor konvergens, ha k < 1, ez éppen a lengés feltétele. A vezető tagok l T (ϕ 0 ) = 2π g ( 1 + 1 4 sin2 ϕ 0 2 + 9 64 sin4 ϕ 0 2 +... ). (7.74)
2017. szeptember 18. 21:26:22 103 7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER A kitérésben O(ϕ 4 0) rendig: k = sin ϕ 0 2 = ϕ 0 2 1 ϕ 3 0 3! 8 + = ϕ 0 2 ϕ3 0 48 +..., (7.75) k 2 = ϕ2 0 4 ϕ4 0 48 +..., (7.76) k 4 = ϕ4 0 16 +..., (7.77) ( l T (ϕ 0 ) =2π 1 + ϕ2 0 g 16 + 11 ) 3072 ϕ4 0 +.... (7.78) A sorfejtés használhatóságát javítja az, hogy az együtthatók kicsik. Becslések: ϕ 0 <0, 4 (30 ) ϕ2 0 l < 0, 01 T 2π 1%-on belül (7.79) 16 g ϕ 0 <1, 3 (80 ) a vezető korrekció 10%-on belül. (7.80) 7.18. Gyakorló feladat. Ellenőrizzük a negyedfokú tag együtthatóját! [2] 7.19. Gyakorló feladat. Korábban kiszámítottuk az x 4 -es perturbáció hatását első rendig. Összhangban van a jelen eredménnyel? [1] 7.8. Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel Az alábbiakban a harmonikus oszcillátort vizsgáljuk időfüggő külső gerjesztő erő jelenlétében. L = 1 2 m x 2 1 2 mω2 0x 2 + mxf(t) x + ω 2 0x = f(t), (7.81)
7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER ez lineáris, inhomogén differenciálegyenlet. Az inhomogén és a homogén egyenlet egy-egy megoldásának összege az inhomogén egyenletet megoldása. Ezért az inhomogén egyenlet általános megoldása x(t) = x h (t) + x p (t), x h (t) = A sin(ω 0 t + δ) : x p (t) : a homogén egyenlet általános megoldása, az inhomogén egy "partikuláris" megoldása. (7.82) Adott külső gerjesztő erő esetén a feladat egy partikuláris megoldás meghatározása. Ha a kiindulásképpen vett partikuláris megoldás a KF-hez van illesztve, akkor elértük célunkat. Ha nem így lenne, akkor hozzáadhatjuk a homogén egyenlet x h általános megoldását, amelynek paramétereivel a KF-t teljesíthetjük. 7.8.1. Harmonikus gerjesztés A gerjesztő erő legyen tisztán koszinuszos Keressünk egy partikuláris megoldást a következő alakban mellyel f(t) = F 0 cos Ωt. (7.83) x p (t) = x 0 cos Ωt, (7.84) Ezzel x 0 ( Ω 2 + ω 2 0) cos Ωt = F 0 cos Ωt x 0 = x p (t) = F 0 ω 2 0 Ω 2 (7.85) F 0 cos Ωt. (7.86) ω0 2 Ω2 Fázistolás: ha Ω > ω 0, akkor az együttható negatív, ez a gerjesztő erőhöz képest π fázistolást jelent. Rezonancia: Ω = ω 0, ekkor az amplitúdó végtelen. 2017. szeptember 18. 21:26:22 104
2017. szeptember 18. 21:26:22 105 7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.8.2. Általános gerjesztés: megoldás Fourier-transzformációval. A Fourier-transzformációt (FT) a következő konvenció szerint alkalmazzuk x(t) = 1 2π x ωe iωt dω x ω = x(t)e iωt dt (7.87) Idézzük fel a Dirac-delta szimbólumot δ(t) = 1 2π melynek segítségével látható, hogy valóban eiωt dω, x(t) = 1 2π eiωt dω δ(t t 0) f(t) dt = f(t 0 ), (7.88) x(t )e iωt dt. (7.89) 7.20. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a δ ɛ (t) = 1 2π eiωt ɛω2 dω függvényt, és mutassuk meg, hogy valóban δ ɛ(t t 0 ) f(t) dt f(t 0 ), ha ɛ 0! [3] Egy partikuláris megoldás meghatározása céljából alkalmazzuk a FT-t a mozgásegyenletre. Felhasználva, hogy a kétszeres időderivált FT-ja nyerjük x(t) + ω 2 0x(t) = f(t) (7.90) x(t) [ x] ω = ω 2 x ω (7.91) (ω 2 0 ω 2 )x ω = f ω. (7.92)
2017. szeptember 18. 21:26:22 106 7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER Tehát x(t) = 1 f ω 2π ω0 2 ω 2 eiωt dω. (7.93) 7.8.1. Példa. Harmonikus gerjesztés f(t) = F 0 cos Ωt = F 0 2 ( e iωt + e iωt) f ω = πf 0 [δ(ω Ω) + δ(ω + Ω)], (7.94) x(t) = Valóban visszakaptuk a (7.86) rezgést, az oszcillátor felveszi a gerjesztő frekvenciát. 7.8.3. Általános gerjesztés: megoldás Green-függvénnyel Fourier-transzformáltak szorzatát vizsgáljuk Visszatranszformálva kapjuk C(t) = A(t )e iωt B(t )e iωt e iωt dt dt dω = 2π C(t) = F 0 cos Ωt (7.95) ω0 2 Ω2 C ω = A ω B ω. (7.96) A(t )B(t t )dt A(t )B(t )δ(t t t )dt dt (7.97) A(t t )B(t )dt [A B](t), (7.98)
2017. szeptember 18. 21:26:22 107 7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER ez a konvolúció művelete, melyet -gal jelölünk. Az utolsó azonosságot az integrálási változó cseréjével kapjuk. Ezzel azt demonstráljuk, hogy miképpen A ω és B ω felcserélhetők voltak C ω definíciójában, a konvolúció formulájában is felcserélhető A(t) és B(t). Ennek alapján az előző szakaszban FT-val kapott megoldás időfüggését is előállíthatjuk. A (7.92) szerint x ω = Vezessük be a harmonikus oszcillátor Green-függvényét G ω = 1 G(t) = 1 ω0 2 ω 2 2π f ω ω 2 0 ω 2. (7.99) e iωt dω. (7.100) ω0 2 ω2 A (7.93) formulával összevetve látható, hogy G(t) az f ω = 1, azaz az f(t) = δ(t) gerjesztésnek megfelelő megoldás. A keresett partikuláris megoldás végül konvolúció alakjában áll elő x ω = G ω f ω x(t) = dt G(t t )f(t ) = [G f](t). (7.101) A Green-függvény a Dirac-delta gerjesztéshez tartozó megoldás, amellyel a (7.101) képlet szerint az általános gerjesztéshez tartozó egy partikuláris megoldást állíthatunk elő. Határozzuk meg G(t)-t közvetlenül a G(t)+ω 2 0G(t) = δ(t) (7.102) egyenletből! Keressünk olyan megoldást, amely a gerjesztés előtt zérus és mindenütt folytonos G(t) = { 0, ha t < 0, B sin ω 0 t, ha t > 0, (7.103)
7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER majd integráljuk a mozgásegyenletet / τ G+ω0G 2 = δ(t) dt τ 0, (7.104) τ G(τ) G( τ) + ω02τg(0) 2 1 G(0 + ) = Bω 0 = 1. (7.105) A KF-hez illeszkedő megoldás tehát ahol bevezettük a Heaviside-függvényt G(t) = θ(t) ω 0 sin ω 0 t, (7.106) θ(t) = { 0, ha t < 0, 1, ha t > 0. (7.107) 7.21. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy G(t) a (7.100) FT formulával összhangban van! Útmutató: célszerű a θ(t) = (1/2πi) dω e iωt /ω integrálelőállítást használni. [3] A gerjeszett harmonikus oszcillátor egy partikuláris megoldását tehát állítja elő. x(t) = ω 1 0 t sin ω 0(t t ) f(t ) dt (7.108) Vegyük észre, hogy a Green-függvény a homogén általános megoldással kiegészítve változatlanul kielégíti a (7.102) egyenletet! A fenti Green-függvény a KF speciális választásának felel meg, amelyben a gerjesztés előtt az oszcillátor nyugalomban van, így a retardált Green-függvényt kaptuk. 2016.10.18 2016.10.20 2017. szeptember 18. 21:26:22 108
2017. szeptember 18. 21:26:22 109 7.8 Harmonikus oszcillátor külső gerjesztéssel 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.22. Gyakorló feladat. Győződjünk meg arról, hogy (7.108) valóban megoldja a mozgásegyenletet! [1] 7.23. Gyakorló feladat. Tekintsük a G a (t) = ω 1 0 θ( t) sin ω 0 t függvényt, és mutassuk meg, hogy ez is a δ(t) gerjesztéshez tartozó megoldás! Ez az avanzsált Green-függvény. [2] 7.24. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a retardált és az avanzsált Green-függvények különbsége a homogén egyenlet megoldása, ahogy annak lennie kell. [2] 7.8.4. Rezonáns gerjesztés Ha Ω = ω 0, akkor a (7.86) szinguláris. Ez azt jelenti, hogy tartósan ható rezonáns gerjesztés elvben divergáló amplitúdójú rezgést hoz létre. Mindazonáltal véges megoldást kell kapnunk, ha a rezonáns gerjesztés f(t) = θ(t)f 0 cos ω 0 t, (7.109) azaz a t = 0 időpontban kapcsoljuk be, melyet megelőzően az oszcillátor nyugalomban volt. a. Állandó variálásának módszerével Keressük az x(0) = 0, KF-nek megfelelő megoldást a következő alakban t > 0 mellett x(0) = v 0 (7.110) x(t) = a(t) sin ω 0 t. (7.111) Ez az állandó variálásának módszere. A mozgásegyenletbe helyettesítve x = a sin ω 0 t + ω 0 a cos ω 0 t, (7.112) x = a sin ω 0 t + 2aω 0 cos ω 0 t aω0 2 sin ω 0 t = aω0 2 sin ω 0 t + F 0 cos ω 0 t, (7.113)
2017. szeptember 18. 21:26:22 110 7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER ahonnan az azonos szögfüggvények együtthatóit egyenlővé téve és a megoldást a KF-hez illesztve nyerjük a = F 0, a = 0 a(t) = F 0t + v ( 0 F0 t x(t) = + v ) 0 sin ω 0 t. (7.114) 2ω 0 2ω 0 ω 0 2ω 0 ω 0 A tisztán szinuszos tag a homogén egyenlet megoldása, mely a KF-hez illesztést tette lehetővé. A megoldás növekvő amplitúdójú rezgés, ez a fizikai tartalma a korábban a rezonanciánál fellépő végtelen amplitúdónak! 7.25. Gyakorló feladat. Van-e x(t) = b(t) cos ω 0 t alakú megoldás, ahol b(t) polinom? [2] b. Megoldás Green-függvénnyel Használjuk a Green-függvény (7.106) alakját x(t) = F 0 t ω sin ω 0(t t ) cos ω 0 t dt = F 0 t 0 0 ω 0 0 = F 0t 2ω 0 sin ω 0 t + F 0 2ω 0 t [ sin ω 0 t cos 2 ω 0 t cos ω }{{} 0 t sin ω 0 t cos ω 0 t }{{} 1 2 (1+cos 2ω 0t 1 ) 2 sin 2ω 0t ] dt (7.115) 0 sin ω 0(t 2t ) dt. (7.116) Mivel az integrál eltűnik, éppen megkaptuk a (7.114) partikuláris megoldást a v 0 = 0 esetben. Az itt kapott és a (7.114) partikuláris megoldások különbsége valóban a homogén egyenlet megoldása, mint azt el is vártuk. 7.9. Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása Az eddigiekben a perturbációszámítást a periódusidő vizsgálatára alkalmaztuk. Ennél bonyolultabb feladat az időfüggő trajektóriák közelítő meghatározása, melyet alább ismertetünk. Az általános perturbáció tárgyalása nem egyszerű, itt a köbös és a negyedfokú perturbáló potenciálok speciális esetit vizsgáljuk.
7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2017. szeptember 18. 21:26:22 111 7.9.1. Másod-harmadfokú potenciál Tekintsük az alábbi potenciált V (x) = k 2 x2 + ɛb 3 x3, (7.117) amelyben a köbös tag kis perturbáció, azaz ɛ 1, s a b -t éppen azért vettük fel, hogy ɛ dimenziótlan lehessen. A mozgásegyenlet A megoldást a következő alakban keressük x = ω0x 2 ɛbx 2, ahol b = b /m, ω 0 = k/m. (7.118) x(t) = x 0 (t) + ɛx 1 (t), ahol x 0 (t) = A cos ω 0 t. (7.119) Az egyszerűség kedvéért kihagytuk a cos alól a fázist, melyet a KF-hez való illesztéshez természetesen fel kell venni. A mozgásegyenletbe helyettesítve és csak az ɛ-ban lineáris tagokig menve kapjuk Az O(1) tagok kiesnek. Az ɛ-nal arányos tagok összehasonlításával x 0 + ɛx 1 = ω0x 2 0 ω0ɛx 2 1 ɛbx 2 0 + O(ɛ 2 ). (7.120) x 1 + ω 2 0x 1 = bx 2 0. (7.121) Tehát a pálya x 1 (t) korrekciója harmonikus oszcillátor, melyet az ismert perturbálatlan x 0 (t) megoldás külső gerjesztő erőként hajt meg. Felhasználva, hogy cos 2 ω 0 t = 1 2 (1 + cos 2ω 0t) (7.122)
2017. szeptember 18. 21:26:22 112 7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER nyerjük x 1 + ω0x 2 1 = A2 b 2 (1 + cos 2ω 0t). (7.123) Ez egy konstans és egy harmonikus külső gerjesztő erő összegének kitett harmonikus oszcillátor. Egy partikuláris x 1 (t) megoldás az egyes gerjesztésekhez tartozó megoldások összege, melyeket a (7.86) megoldóképlet alapján írhatunk fel x 1 (t) = A2 b 2ω 2 0 A2 b 2 1 ω 2 0 4ω 2 0 cos 2ω 0 t. (7.124) Végül (7.118) nyerjük a trajektóriát az ɛ-ben lineáris rendig x(t) = A cos ω 0 t + ɛa2 b 2ω 2 0 [ 1 3 cos 2ω 0t 1] + O(ɛ 2 ). (7.125) Az alapharmonikus mellett egy állandó és egy kétszeres frekvenciájú felharmonikus jelent meg, és kiadódott a közelítés jóságát meghatározó kis dimenziótlan paraméter ɛab ω 2 0 1. (7.126) A periódusidő nem változott ɛ rendig, összhangban a korábban a páratlan potenciálokra kapott eredményünkkel. 7.26. Gyakorló feladat. A fenti megoldás fogyatéka, hogy egy speciális KF-nek felel meg. Általánosítsuk az eredményt tetszőleges KF-re. [4]
2017. szeptember 18. 21:26:22 113 7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 7.9.2. Másod-negyedfokú potenciál A potenciál legyen most melyben a mozgásegyenlet a következő V (x) = k 2 x2 + ɛ b 4 x4, (7.127) x = ω 2 0x ɛbx 3, (7.128) ahol a (7.118) jelöléseit használtuk. A periódusidő ɛ rendben a (7.33) kifejezés szerint megváltozik. Keressük a megoldást a következő alakban melyet a mozgásegyenletbe helyettesítve kapjuk x(t) = x 0 (t) + ɛx 1 (t), ahol x 0 (t) = A cos ω 0 t, (7.129) x 0 + ɛx 1 = ω0x 2 0 ω0ɛx 2 1 ɛbx 3 0 + O(ɛ 2 ). (7.130) Az O(ɛ) tagok összege eltűnik x 1 + ω 2 0x 1 = bx 3 0 = ba 3 cos 3 ω 0 t. (7.131) Az x 1 (t) perturbáció itt is harmonikus oszcillátor, melyet külső gerjesztésként az x 0 (t) perturbálatlan trajektória hajt meg. A koszinuszt kifejtve kapjuk cos 3 ϕ = (eiϕ + e iϕ ) 3 8 = 1 ( e 3iϕ + 3e iϕ + 3e iϕ + e 3iϕ) = 1 8 4 cos 3ϕ + 3 cos ϕ, (7.132) 4
2017. szeptember 18. 21:26:22 114 7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER ahonnan x 1 + ω 2 0x 1 = ba3 4 (3cos ω 0t + cos 3ω 0 t). (7.133) A megoldás a két, ω 0 és 3ω 0 harmonikus gerjesztéshez tartozó megoldások összege. Az alapfrekvenciával történő gerjesztés rezonáns! A megoldás (7.86) képletét alkalmazva x 1 (t) = 3bA3 t sin ω 0 t b1a3 8ω 0 4 1 ω 2 0 9ω 2 0 cos 3ω 0 t, (7.134) ahonnan x(t) = x 0 (t) + ɛx 1 (t) = A cos ω 0 t 3ɛbA3 t sin ω 0 t + ɛba3 cos 3ω 8ω 0 32ω0 2 0 t + O(ɛ 2 ). (7.135) Ezzel tehát megkaptuk a perturbációban lineáris rendig a trajektóriát. Noha korábban láttuk, hogy a periódusidő is módosult lineáris rendben, ez nem nyilvánvaló a fenti formulából. A periódusidő perturbációjának megvilágításához tekintsük az alábbi, perturbált frekvenciájú harmonikus rezgést cos [(ω 0 + ɛω 1 )t] = cos ω 0 t cos ɛω 1 t sin ω 0 t sin ɛω 1 t cos ω 0 t ɛω 1 t sin ω 0 t + O(ɛ 2 ). (7.136) A (7.135) első két tagja éppen ilyen, ahol ω 1 = 3A2 b 8ω 0. (7.137)
7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2017. szeptember 18. 21:26:22 115 7.27. Gyakorló feladat. Győződjünk meg arról, hogy ez megfelel a periódusidőre vonatkozó korábbi direkt eredménynek! [1] Végül a megoldást írhatjuk a következő alakban x(t) A cos(ω 0 + ɛω 1 )t + ɛabω 1 12ω 0 cos 3ω 0 t. (7.138) A perturbált alapfrekvencia mellett egy harmadik felharmonikus is megjelent! Az A-t kiemelve kapjuk a korrekció dimenziótlan együtthatóját, melyre a közelítés érvényességének feltétele ɛω 1 12ω 0 = ɛba2 32ω 2 0 << 1. (7.139) 7.28. Gyakorló feladat. A perturbált trajektóriát egészítsük ki olymódon, hogy az a KF-et ne változtassa meg. [3] 7.29. Gyakorló feladat. Írjuk fel cos n ϕ függvényt szinusz és koszinusz függvények lineáris kombinációjaként! [3] Megjegyzés: A (7.135) közelítés csak ɛω 1 t 1 időkig jó, sokkal nagyobb időkre divergál, viszont a (7.138) formula korlátos, a hibája nagy időkre csupán a fázis elcsúszásából fog származni. Azáltal, hogy a trajektória egyik korrekcióját a perturbált frekvenciával sikerült kifejeznünk, megszüntettük a divergenciát! Az x(t) pálya sorfejtésének formuláját természetesen változatlanul csak ɛ rendig hihetjük el. Vegyük észre, hogy a koszinusszal ɛ-ban magasabb rendeket is generáltunk, mely rendekben a pálya korrekcióit egzatul nem ismerjük. Az így nyert elcsúszó fázis azonban fizikailag szemléletesebb. 7.9.3. Általános perturbáció: a szukcesszív approximáció módszere Green-függvénnyel. Tetszőleges perturbáló ɛv(x) potenciál esetén a mozgásegyenlet x + ω 2 0x = ɛv (x) ɛf(x). (7.140)
7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER 2017. szeptember 18. 21:26:22 116 A gerjesztett harmonikus oszcillátor megoldása a harmonikus rezgéshez adódó, a gerjesztés által indukált partikuláris megoldás, amelyet a Green-függvénnyel állíthatunk elő. A homogén egyenlet megoldása a nulladrendű trajektória a gerjeszett egyenleté pedig x 0 = A cos ω 0 t, (7.141) x(t) = x 0 (t) + ɛ[g f(x)](t), (7.142) ahol a konvolúció jelölését és a harmonikus oszcillátor Green-függvényét használtuk. (A retardált Green-függvényt (7.106) adja, a KF-hez illesztés céljából a homogén oszcillátor általános megoldásának bevételével egyelőre nem foglalkozunk.) Ily módon az x(t) trajektóriára implicit egyenletet kaptunk, amelyből szukcesszív approximáció révén a pálya sorfejtését állíthatjuk elő. Az O(ɛ) közelítést akkor kapjuk, ha a jobboldalon x(t) helyébe x 0 (t)-t írunk x(t) = x 0 (t) + ɛx 1 (t) + O(ɛ 2 ) = x 0 (t) + ɛ[g f(x 0 )](t) + O(ɛ 2 ). (7.143) A jobboldalon fellépő G(t) és f(x 0 (t)) függvényeket expliciten ismerjük, tehát az x 1 (t) korrekciót előállítottuk. 7.30. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy a köbös és negyedfokú perturbációkkal fent előállított közelítő megoldások ebből a formulából is megkaphatók. [2+2] A következő közelítéshez a (7.142) egyenlet jobboldalán az x(t) megoldást ɛ rendig pontosan helyettesítjük vissza x(t) = x 0 (t) + ɛ[g f(x 0 + ɛx 1 (t))](t) = x 0 (t) + ɛ[g f(x 0 )](t) + ɛ 2 [G (f (x 0 ) x 1 )](t) + O(ɛ 3 ). (7.144) Összefoglalásképp a pálya x(t) = x 0 (t) + ɛx 1 (t) + ɛ 2 x 2 (t) +... (7.145)
2017. szeptember 18. 21:26:22 117 7.9 Anharmonikus oszcillátor időfüggő perturbációszámítása 7 EGYDIMENZIÓS KONZERVATÍV RENDSZER sorfejtésében fellépő első három függvény x 0 (t) = A cos ω 0 t, x 1 (t) = [G f(x 0 )](t), x 2 (t) = [G (f (x 0 ) [G f(x 0 )])](t). (7.146) Másodiknál magasabb rendben a pálya korrekciója több tag járulékainak összege. 7.31. Gyakorló feladat. Állítsuk elő az ɛ 3 rendű x 3 (t) korrekciót Green-függvénnyel! [4] 7.32. Gyakorló feladat. A KF-hez olymódon illeszthetünk, hogy az egyes rendekben x j (t)-hez a homogén egyenlet általános megoldását más-más paraméterekkel hozzáadjuk. Írjuk fel ɛ rendben az x(0) = A, x(0) = 0 KF teljesülésének feltételét általános f(x) mellett. [4] Ebben a fejezetben megmutattuk, hogy szukcesszív approximációval a pálya tetszőleges rendű korrekcióját a Green-függvény segítségével előállíthatjuk. A gerjesztett oszcillátor Green-függvénye ezáltal a perturbációszámításban különös jelentőségre tesz szert. Ennek fizikai háttere az, hogy a perturbáción keresztül a magasabb rendű korrekciókat az alacsonyabb rendű trajektóriák mintegy külső meghajtásnak tekinthető módon gerjesztik. Az itt vázolt mechanizmus a fizikai mozgásokra általánosabban, nemcsak a klasszikus mechanikában érvényes.
2017. szeptember 18. 21:26:22 118 8. Csillapított mozgások 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 8.1. Súrlódási erő sűrű közegben Noha tömegpontot tekintünk, kis véges kiterjedést megengedünk ahhoz, hogy rá közegellenállásból származó súrlódási erő hathasson. Ez utóbbi sűrű közegben is sebességekre közel lineáris Ezért 1D potenciálmozgás esetén a mozgásegyenlet a következő A tömegpont energiájának csökkenése a disszipált teljesítmény E = d ( 1 dt 2 m x ) 2 + V (x) F s γv. (8.1) m x = γ x V (x). (8.2) = m x x + xv (x) = γ x 2 = F s x. (8.3) Mint azt várjuk, ez éppen a súrlódási erő által a tömegponton végzett teljesítmény. Ez negatív, ellentettje a test által a környezeten végzett munkának. Az energia mindaddig csökken, amíg x 0. 8.2. Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8.2.1. Disszipációs függvény descartes-i koordinátákkal Vegyük észre, hogy F s = R (v), ahol R(v) = 1 2 γv2. (8.4)
2017. szeptember 18. 21:26:22 119 8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK Formálisan tehát a disszipatív mozgásegyenletet ekképpen származtathatjuk d L dt x = L x R x Az R-et disszipációs vagy Rayleigh-féle függvénynek is hívják. m x = V (x) γ x. (8.5) Több 3D tömegpontra, Descartes-koordinátákban a közegellenállási erőt a következő disszipációs függvényből származtathatjuk R = 1 N γ j v j 2, (8.6) 2 j=1 ahol γ j a j-edik pontra érvényes súrlódási együttható (ezek között lehetnek azonosak). A képlet hasonló a kinetikus energiához, de a variációszámításbeli szerepe más, itt A teljes mozgásegyenletek tehát F sj = R v j = γ j v j. (8.7) L d L r j dt r = R j r. (8.8) j Az S = L dt hatást használva és bevezetve a D = R dt (8.9)
2017. szeptember 18. 21:26:22 120 8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK disszipációs funkcionált az eredményt a tömör alakban írhatjuk. δs = δd δr j δr (8.10) j Ezzel az eredeti Hamilton-elven, a hatás stacionárius pontját kereső eljáráson túlmentünk, "kívülről" tettünk a mozgásegyenletekhez disszipatív erőket, melyeket szintén egyetlen skalár funkcionál variációjából származtattunk. A disszipatív erők azonban nem a trajektóriák, hanem a sebességek szerinti variációkból származnak. Az így kapott mozgásegyenlet a Hamilton-elv disszipatív rendszerekre való kiterjesztése, amely mindazonáltal nem áll elő általában egyetlen funkcionál stacionaritási feltételeként. 8.2.2. Disszipációs függvény általános koordinátákkal A variációszámítás disszipációs függvénnyel való kiegészítése eddig formális konstrukciónak tűnhetett, hiszen eleve feltettük a sebességgel ellentétes, vele arányos közegellenállási erőt. Ezért csupán esztétikai jelentősége volt annak, hogy variáció alakjában is fel tudtuk ugyanezt írni. Az R disszipációs függvény igazi előnye az általános koordináták bevezetésekor világlik ki. Mint alább bemutatjuk, R általános koordinátákkal való felírása után belőle variációval éppen az általánosított koordinátákra vonatkozó mozgásegyenletekben fellépő súrlódási erőket nyerjük. Az általános koordinátákra való áttérés a 6.2.6 fejezetben megadott eljárással történik. A hatást most Lagrangemultiplikátoros tagokkal egészítjük ki, melyek a kényszereket figyelembe veszik, s az így nyert S λ -t használva δs λ δr j = δd δ r j. (8.11) A (6.146) szerint az r j (q 1, q 2,..., q f, t) Descartes-koordinátákra mint az általános koordináták függvényeire fennáll r j = r j q i q. (8.12) i
2017. szeptember 18. 21:26:22 121 8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK ahonnan (6.145) és (8.11) alapján kapjuk j δs λ δr j r j q i = j δs δr j r j q i = j δd r δr j j q. (8.13) i Egyrészről (6.150) szerint a baloldal S variációja q i szerint, másrészről, mivel r j -k a q i lineáris függvényei, a jobboldal D variációja q i szerint (változatlan q j -k mellett), mindezért nyerjük A Lagrange-féle és a disszipációs függvényekkel felírva δs = δd δq i δq. (8.14) i L d L q i dt q = R i q. (8.15) i Általános koordinátákkal a disszipatív mozgásegyenleteket tehát a descartes-i koordinátás (8.8) formula analógiájaként kaptuk, hasonlóan a korábban tárgyalt konzervatív esethez! Ezt a disszipációs függvény bevezetésének köszönhettük. A korábban bevezetett általános erők és impulzusok formuláit felidézzük, majd célszerűen az általános súrlódási erőket definiáljuk F j = L q j, p j = L q j, Mindezután a csillapított rendszer mozgásegyenletei a F sj = R q δd j δq. (8.16) j p j = F j + F sj (8.17)
2017. szeptember 18. 21:26:22 122 8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK alakban is írhatók. A fentiekben kiviláglik a disszipációs függvény előnye. Amiként a mozgásegyenleteket általános koordinátákkal konzervatív esetben a Lagrange-függvényből egyszerűen megkaphattuk, azokat hasonlóan egyszerű módon egészíthetjük ki az általános koordinátákban felírható disszipatív erőkkel a disszipációs függvény felhasználásával. Ha a súrlódási erő nemlineáris a sebességben, amely effektus ritkább közegben ill. nagyobb sebességek mellett válhat lényegessé, akkor a descartes-i disszipációs függvény nem marad kvadratikus. Mindazonáltal a fenti eljárás használható, nevezetesen az általános koordinátákra való áttéréskor ekkor is a Hamilton-elv (8.14) kiterjesztése alkalmazandó. 8.2.3. Az energia megváltozása Korábban az energia megmaradását mutattuk meg explicit időfüggést nem tartalmazó Lagrange-függvény esetében disszipáció nélkül. Most engedjük meg mindkettőt E = d p j q j L = p j q j + p j q j L dt j j j t j = ( ) L q j + F sj L j q j t L q j = L j q j t + j L q j q j j L q q j j F sj q j, (8.18) ahol a harmadik egyenlőséghez felhasználtuk a (8.17) formulát. A L tag a külső konzervatív erők által a rendszerbe t táplált, míg j F sj q j a rendszer által a súrlódási erőkön keresztül végzett teljesítmény. Az energiaváltozást a disszipációs függvénnyel tehát tömören kifejezhetjük E = L t j R q q j. (8.19) j
2017. szeptember 18. 21:26:22 123 8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK Kvadratikus disszipációs függvény, azaz a sebességekben lineáris súrlódási erők esetén amely alapján R = 1 2 i,j R ij (q 1,..., q f ) q i q j, (8.20) E = L 2R. (8.21) t A disszipációs függvény ezzel közvetlen fizikai jelentést nyert, éspedig a kétszerese éppen a pálya mentén leadott disszipációs teljesítmény. 8.1. Gyakorló feladat. Adjunk egyszerű példát olyan rendszerre, amelyben a disszipált teljesítmény arányos a kinetikus energiával! [1] 8.2.1. Példa. Síkinga közegben: Feltéve, hogy csak a tömegpontra kifejtett közegellenállás a disszipáció egyetlen forrása (vékony rúdon felfüggesztett tömegpont) L = 1 ml2ϕ 2 + mgl cos ϕ, 2 R = 1 γl2ϕ 2, (8.22) 2 ahonnan A disszipációs teljesítmény ml 2 ϕ = mgl sin ϕ γl 2 ϕ. (8.23) E = 2R = γl 2 ϕ 2. (8.24)
2017. szeptember 18. 21:26:22 124 8.2 Variációs elv disszipatív rendszerekre: a Lagrange Rayleigh-formalizmus 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 8.2. Gyakorló feladat. Bizonyosodjunk meg arról, hogy a (8.23) súrlódási tagja éppen az F s = γv erőből származó járulék az inga mozgásegyenletéhez. [1] 8.2.2. Példa. Rugóval összekötött tömegpontok 1D-ban: Ha nincs közegellenállás, viszont a rugót a megnyúlási sebességének és az η belső súrlódási együtthatónak a szorzataként előálló belső súrlódási erő fékezi, akkor mozgásegyenletek a következő Lagrange- és Rayleigh-függvényből származtathatók L = 1 2 m 1x 2 1 + 1 2 m 2x 2 2 1 2 k(x 1 x 2 ) 2, R = 1 η( x 1 x 2 ) 2. (8.25) 2 8.3. Gyakorló feladat. Írjuk fel a mozgásegyenleteket! [2] 8.4. Gyakorló feladat. Módosítsuk a Rayleigh-függvényt oly módon, hogy vegye figyelembe a tömegpontokra ható közegellenállást γ 1 éa γ 2 súrlódási együtthatókkal! [2] 8.5. Gyakorló feladat. Rugóval egy ponthoz rögzített, vízszintesen mozgó felfüggesztésű inga csillapított mozgása: írjuk fel a disszipációs függvényt és a mozgásegyenletet, ha az inga végén a tömegpont súrlódó közegben mozog (súrlódási együttható: γ) és a rugót a megnyúlási sebességével arányos belső súrlódási erő fékezi (belső súrlódási együttható: η). [4] 8.6. Gyakorló feladat. A 6.2.5 példában szereplő elrendezésben vegyük figyelembe a rugó belső súrlódását η együtthatóval. Írjuk fel a Rayleigh-függvényt, majd ennek segítségével a mozgásegyenletet! Linearizáljuk a mozgásegyenletet kis kitérésekre, s diszkutáljuk az l = d ill. l < d eseteket. [4] 8.7. Gyakorló feladat. Határozzuk meg a disszipatív közegben mozgó kettős inga disszipációs függvényét és írjuk fel a mozgásegyenleteket! (Csak az egyes tömegpontok súrlódnak, a felfüggesztő rudak közegellenállását hanyagoljuk el, s a tömegpontokat jellemző súrlódási együtthatók különbözhetnek.) [4 ] 8.8. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, miként alkalmazható a Lagrange Rayleigh-formalizmus nemlineáris súrlódási erőkre. Adjuk meg a Rayleigh-függvényt 3D tömegpontra, ha a súrlódási erő a sebességgel ellentétes irányú és a: állandó nagyságú (Coulomb súrlódás); b: a sebesség négyzetével arányos (ritka közegre jellemző ellenállás). Az a esetben vegyünk fel tapadási és csúszási súrlódási erőket az általános iskolában megismert módon és diszkutáljuk a problémát. [3-2]
2017. szeptember 18. 21:26:22 125 8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 8.3. Csillapított harmonikus oszcillátor Az alábbiak az egyensúly kis környezetében, itt kvadratikus minimummal rendelkező, általános potenciálra is érvényesek. A Lagrange- és a sűrű közegbeli disszipációs függvény L = m 2 x 2 k 2 x2, R = 1 2 γ x 2, (8.26) a mozgásegyenlet pedig m x = kx γ x x = ω 2 0x α x, ahol α = γ/m. (8.27) A mozgásegyenlet állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenlet, ezért keressük a megoldást x e λt (8.28) alakban, amelynek behelyettesítésével nyerjük λ 2 + αλ + ω0 2 = 0 λ ± = α α 2 ± 2 4 ω2 0 (8.29) A λ ± ráták a paraméterektől függően lehetnek komplexek vagy valósak. 8.3.1. Gyenge csillapítás (2ω 0 > α) A két ráta komplex, egymásnak konjugáltjai λ ± = α 2 ± iω, ahol ω = ω 2 0 α2 4 < ω 0, (8.30)
2017. szeptember 18. 21:26:22 126 8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK tehát az általános megoldás x(t) = A + e λ +t + A e λ t = e α 2 t (A 1 cos ωt + A 2 sin ωt). (8.31) Megjegyzés: A relaxációs ráta α/2, nem pedig α! A relaxációs idő τ = 2/α, amely elteltével az amplitúdó e-ad részére csökken. Jósági tényező: a frekvencia és a csillapítási tényező viszonya konvenció szerint Q = Im λ 2 Re λ = ω α. (8.32) 8.9. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy Q az amplitúdó e π 0, 043-ad részére csökkenésének ideje alatt végzett oszcillációk száma. [1] 2016.10.20 2016.10.25 A súrlódási erő teljesítménye arányos a kinetikus energiával. E = 2R = γx 2 = 2γ K, (8.33) m 8.10. Gyakorló feladat. Hányad részére csökken az energia a T periódusidő Q-szorosának elteltével? [2] A trajektóriát az x(0) = x 0 és az x(0) = v 0 KF-hez illesztve kapjuk ( x(t) = e α 2 t x 0 cos ωt + e α 2 t ω 1 v 0 + αx ) 0 sin ωt. (8.34) 2
8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 2017. szeptember 18. 21:26:22 127 E (a) T t (b) 35. ábra. (a) Az energia lefutása az időben és (b) tipikus fázistérbeli pálya gyenge csillapítás mellett. 8.11. Gyakorló feladat. Adjuk meg a disszipált teljesítmény képletét a (8.34) általános megoldás alapján! [2] Az energia tipikus időbeli változását a 35/a. ábra mutatja. Fázistér: A mozgás az (x = 0, v = 0) egyensúlyi helyzethez tart, ez tehát vonzó határhalmaz, azaz attraktor, ld. 35/b. ábra. A konzervatív rendszerbeli elliptikus fix pontot most vonzó fix pont váltja fel. Általában disszipatív rendszerekben bonyolultabb attraktorok is megjelenhetnek, kaotikus mozgás különös attraktorhoz tart. Megjegyzés: Már Galilei észrevette, hogy a csillapodás alatt állandó a periódusidő, éspedig hosszabb, mint csillapodás nélkül.
2017. szeptember 18. 21:26:22 128 8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 8.3.2. Erős csillapítás (2ω 0 < α) λ ± = α 2 ± β, ahol β = α 2 4 ω2 0, (8.35) valós, tisztán lecsengő trajektória. A KF-hez illesztett formulát (8.34) alapján közvetlenül megkaphatjuk az behelyettesítéssel iβ = ω, cos iβ = ch β, sin iβ = i sh β (8.36) ( x(t) = e α 2 t x 0 ch βt + e α 2 t β 1 v 0 + αx ) 0 sh βt. (8.37) 2 Mivel β < α/2, azért mindkét tag lecseng nagy időkre. A mozgást a 36. ábrán illusztráljuk. 8.12. Gyakorló feladat. Vegyük észre a fázistérbeli ábrán elkövetett hibát! [2] 8.3.3. Anharmonikus határeset (2ω 0 = α) Ekkor β = ω = 0, és az egyetlen ráta λ ± = α/2. Így nem kapunk automatikusan két lineárisan független megoldást, ezért alkalmazzuk az állandó variálásának módszerét x(t) = a(t)e α 2 t. (8.38) Innen x = ae α 2 t α α 2 ae 2 t, ( x = a αa ) + α2 4 a e α 2 t. (8.39)
8.3 Csillapított harmonikus oszcillátor 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK (a) 36. ábra. (a) Fázistér és (b) időbeli lefutás erős csillapítás esetén x 0 = 0 és v 0 > 0 mellett. (b) A mozgásegyenlet tehát x + αx + α2 4 x = 0 a aα + α2 4 a + α a α2 2 a + α2 4 a = 0 a = 0 a(t) = a 0 + a 1 t. (8.40) 8.13. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy dn [g(t)h(t)] = ( ) n n dt n k=0 k g [k] (t)h [n k] (t)! [3] 8.14. Gyakorló feladat. Határozzuk meg adott KF mellett x(t)-t! [3] 2017. szeptember 18. 21:26:22 129
8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 2017. szeptember 18. 21:26:22 130 8.15. Gyakorló feladat. Mutassuk meg, hogy ugyanezt kapjuk bármely ω 0 korábbi megoldásból az ω 0 limeszben! [2] 8.4. Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor Gerjesszük mf(t) külső erővel a csillapított oszcillátort L = 1 2 m x 2 1 2 mω2 0x 2 + xmf(t), R = 1 mαx 2 x + αx + ω 2 2 0x = f(t). (8.41) 8.4.1. Harmonikus gerjesztés Vizsgáljunk külön egy tagot s egy hozzá tartozó partikuláris x megoldást A mozgásegyenletbe helyettesítés után Magától értetődő jelöléssel írhatjuk f(t) = F 0 cos(ωt) = F 0 (e iωt + e iωt )/2. (8.42) f(t) = F 0 e iωt x(t) = Xe iωt x(t) = ( x(t) + x (t))/2 = Re x(t). (8.43) XΩ 2 + iαωx + ω 2 0X = F 0 X = X = 1 a + ib = Ae iδ A = F 0 ω 2 0 Ω 2 + iαω. (8.44) 1 a2 + b 2 = F 0 (ω 2 0 Ω 2 ) 2 + α 2 Ω 2, (8.45) a + ib = eiδ A tg δ = b a = αω ω 2 0 Ω 2 x(t) = Xe iωt = Ae i(ωt δ). (8.46)
8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 2017. szeptember 18. 21:26:22 131 δ A α=0.2 ω 0 α=0.5 ω 0 α=ω 0 π α 1 α 0=0 α 2 π/2 α 3 F 0 /ω 0 2 Ω 0 (a) A rezonanciagörbe. Ω ω 0 (b) A fázistolás α 0 = 0 < α 1 < α 2 < ω 0 < α 3 mellett. Ω 37. ábra. Csillapított harmonikus oszcillátor. A valós gerjesztéshez tartozó partikuláris megoldás x(t) = Re x(t) = Re Ae i(ωt δ) = A cos(ωt δ). (8.47) Az A amplitúdót és a δ fázistolást különböző α-k mellett a 37. ábra mutatja. Megjegyzés: Mivel az arctg értékkészlete konvenció szerint a ( π/2, π/2) intervallum, azért Ω-ban folytonos függvényt a következő alakban írhatunk δ = arctg { αω 0, ha Ω < ω0 2 Ω + ω0, 2 π, ha Ω > ω 0. (8.48) A fázistolás δ = π/2, ha Ω = ω 0.
8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 2017. szeptember 18. 21:26:22 132 (a) 38. ábra. Gerjesztett csillapított oszcillátor. (a) Trajektóriák a fázistérben határciklushoz tartanak. (b) A rendszer energiájának időbeli változása: energiafelvétel és -leadás. (b) Az inhomogén mozgásegyenlet általános megoldását a homogén egyenlet (8.31) általános megoldásának hozzáadásával nyerjük, például gyenge csillapítás mellett x(t) = A cos(ωt δ) + e α 2 t (B cos ωt + C sin ωt). (8.49) Nagy időkre csak az első tag marad meg. A formula csillapítás nélkül is érvényes. Ha a külső és a saját frekvencia hányadosa irracionális (azaz a két frekvencia inkommenzurábilis), a trajektória nem periodikus, hanem ún. kváziperiodikus. A csillapított oszcillátor fázistérbeli tipikus pályájáit ill. ezeken az energia időfüggését a 38. a-b ábra mutatja.
2017. szeptember 18. 21:26:22 133 8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 8.16. Gyakorló feladat. Illesszük a t = 0-ban felvett KF-hez az általános megoldást! (Ez formális kérdés, ugyanis tartósan ható külső gerjesztés esetén általában nem bír jelentőséggel a KF.) [3] 8.17. Gyakorló feladat. Adjuk meg s ábrázoljuk az energia időbeli változását a kezdetben nyugalomban levő tömegpont esetén az alul- ill. túlcsillapított, valamint az anharmonikus határesetben. [4] a. Rezonancia Milyen Ω = Ω 0 gerjesztő frekvencia mellett maximális az amplitúdó? A (8.45) gyök alatti kifejezése ekkor minimális [ (ω 2 Ω 2 0 Ω 2 ) 2 + α 2 Ω 2] = 2(Ω 2 0 ω0) 2 + α 2 = 0 Ω 0 = ω0 2 α 2 /2. (8.50) Ω0 Itt maximum természetesen csak az ω 0 α/ 2 esetben található. A maximális amplitúdó A(Ω 0 ) = F 0 α ω0 2 α 2 /4 = F 0 αω. (8.51) Összefoglalásul, három különböző jellegzetes frekvenciát találtunk ω 0 a csillapítás nélküli sajátfrekvencia, itt δ = π/2, ω = ω0 2 α 2 /4 a gyengén csillapított oszcillátor sajátfrekvenciája, Ω 0 = ω0 2 α 2 /2 itt maximális az amplitúdó. (8.52) 8.18. Gyakorló feladat. Számítsuk ki a félértékszélességet, azaz annak az intervallumnak a hosszát, amelynek széleit a csúcs értékének fele jelöli ki. Mivel közelíthetjük kicsiny α mellett, s ez a jósági tényezővel milyen kapcsolatban áll? [4]
2017. szeptember 18. 21:26:22 134 8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 8.4.2. Általános gerjesztés A Green-függvény módszerével oldjuk meg x(t) = [G f](t) = G(t t )f(t )dt, (8.53) ahol a retardált Green-függvény G(t) a Dirac-delta gerjesztéshez tartozó (folytonos) megoldás G + αg + ω0g 2 = δ(t), G(t < 0) 0. (8.54) Az egyenletet τ és τ között integrálva és a τ 0 limeszt véve kapjuk G(t) +τ τ +O(τ) = 1 G(0 + ) = 1. (8.55) A KF most is G(0) = 0 és G(0 + ) = 1. A (8.34) és (8.37) általános megoldást a KF-hez illesztve kapjuk G(t) = θ(t)e α 2 t { 1 /ω sin ωt, ha ω 0 > α /2, 1/β sh βt, ha ω 0 < α /2. (8.56) A Green-függvény behelyettesítésével (8.53) tetszőleges gerjesztésre előállítja a trajektóriát. 8.19. Gyakorló feladat. Adjuk meg a Green-függvényt az anharmonikus határesetben (ω 0 = α /2)! [1] 8.20. Gyakorló feladat. A kezdetben nyugalomban levő csillapított oszcillátorra hassunk a t = 0-ban bekapcsolt gerjesztő erővel, f(t) = θ(t)f 0 cos Ωt. Határozzuk meg a trajektóriát! [3] Megjegyzés: A mozgásegyenlet Fourier-transzformációjával is felírhatjuk a Green-függvényt ( ω 2 + iαω + ω 2 0 ) xω = f ω, (8.57)
8.4 Gerjesztett, csillapított harmonikus oszcillátor 8 CSILLAPÍTOTT MOZGÁSOK 2017. szeptember 18. 21:26:22 135 ahonnan G ω = A G(t)-nek a (8.56)-ben adott kifejezése éppen ezen G ω Fourier-transzformáltja. 1 ω 2 0 ω 2 + iαω. (8.58) 8.21. Gyakorló feladat. Írjuk fel az avanzsált Green-függvényt, vagyis azt, amely a δ(t) erőhatást követően azonosan zérus! Ennek van-e, s ha igen, mi a Fourier-transzformáltja? [2-2] Megjegyzés: A 7.9.3 fejezetben leírt szukcesszív approximáció módszere a csillapított mozgásra is alkalmazható a perturbált harmonikus potenciál esetén a (8.56) Green-függvénnyel.
9. Síkmozgások 2D 9 SÍKMOZGÁSOK 2D 9.1. Potenciálmozgás csillapítással E fejezetben tömegpont 2D potenciálmozgását vizsgáljuk. Először súrlódási erőt is figyelembe veszünk, később ezt elhagyjuk s a konzervatív rendszerre szorítkozunk. A következő Lagrange- és disszipációs függvényekből indulunk ki L = m 2 r 2 V (r), R = mα 2 r 2. (9.1) A mozgásegyenlet δs δr = δd δr m r = V (r) mα r. (9.2) Egyensúlyi helyzet: r, ha V r = 0. Potenciálgödör mélyén (r stabil egyensúlyi helyzet) α = 0 oszcillál r körül, α > 0 relaxál r -hoz. Válasszuk r = 0-nak és fejtsük sorba a potenciált ahol a következő jelölést használtuk V (r) V (0) + 1 2 V ij = 2 V (r) x i x j A V ij mátrix szimmetrikus, ezért ortogonális transzformációval diagonalizálható. ( V11 x 2 + 2V 12 xy + V 22 y 2), (9.3) (x 1 = x, x 2 = y). (9.4) 0 2017. szeptember 18. 21:26:22 136
9.2 Lissajous-görbék 9 SÍKMOZGÁSOK 2D 2017. szeptember 18. 21:26:22 137 9.1. Gyakorló feladat. Fejezzük ki a sajátértékeket és a sajátvektorokat két dimenzióban a V ij mátrixelemekkel! [2] Tekintsük a harmonikus potenciált a diagonalizáló koordinátákkal V (r) = m 2 (ω2 1x 2 + ω2y 2 2 ). (9.5) A mozgásegyenletek x = ω1x 2 αx, y = ω2y 2 αy. (9.6) A csillapítást hagyjuk el (α = 0), ekkor a megoldást írhatjuk a következő alakban amelynek energiája x(t) = A 1 sin(ω 1 t + δ), y(t) = A 2 sin ω 2 t, (9.7) E = m 2 ( x 2 + y 2 ) + V (r) = m 2 (ω2 1A 2 1 + ω 2 2A 2 2). (9.8) 9.2. Lissajous-görbék A fázistér 4D, a pályákat szemléltethetjük valamely metszetben. Legyen és egy A 1 sugarú henger palástjára rajzoljuk fel az ϕ = ω 1 t, (9.9) y(ϕ) = A 2 sin ω 2 t = A 2 sin ω 2 ω 1 ϕ (9.10)
2017. szeptember 18. 21:26:22 138 9.2 Lissajous-görbék 9 SÍKMOZGÁSOK 2D görbét folytonosan növekvő ϕ mellett a 39.a. ábra szerint. Ha a görbét a ϕ = 0 pozícióhoz képest δ szöggel visszafelé forgatott függőleges síkra vetítjük, akkor a vízszintes koordináta vetülete éppen x(ϕ) = A 1 sin(ϕ + δ). (9.11) A síkvetület az (x, y) síkbeli pálya, ezt nevezzük Lissajous-görbének, ld. 40. ábra. A fenti kifejezések a pályát ϕ- vel paraméterezik. A pályák a hengeren záródnak, ha ω 2 ω 1 = p racionális, tehát a Lissajous-görbék is zártak. Ha ω 2 q ω 1 irracionális, akkor a pálya nem zárt, idővel lefedi a hengert. A Lissajous-görbék érzékenyek a hangolásra: kis racionális frekvencia hányadosok jól detektálhatók. (A digitális grafika előtti analóg eljárás.) (a) Az y(ϕ) a hengeren. (b) Felülnézet: vetítés függőleges síkra. 39. ábra. Lissajous-görbe szerkesztése. A henger elfordításával különböző δ-kat állíthatunk be.
9.3 Anharmonikus potenciálok 9 SÍKMOZGÁSOK 2D 2017. szeptember 18. 21:26:22 139 40. ábra. Lissajous-görbék. Felső sor: ω 1 = ω 2 (az amplitúdók egyenlők), rendre δ = 0, 0 < δ < π 2, δ = π 2 ; alsó sor: 2ω 1 = ω 2, rendre δ = 0, δ = π 8, δ = π 4. 9.2. Gyakorló feladat. Adjuk meg a pálya egyenletét az (x,y) síkban ω 1 = ω 2 mellett különböző δ-kra! [2] 9.3. Anharmonikus potenciálok Centrális potenciál: V (r) = V (r) alább tárgyaljuk. Általános V (r) potenciálban a mozgás tipikusan kaotikus. 2016.10.25 2016.10.27