Dr. habil. Szabolci Rórt HOLIDŐS AGO ÖZELÍÉSE PADÉ SOROAL BEVEZEÉS Az emr tevékeyégéek matematikai leíráa már régóta taulmáyozott, é mid a mai aig érdeke területe a zabályozái redzerek vielkedée kutatááak. A zerző célja mutati az emri tevékeyég matematikai modellezée orá alkalmazott éháy matematikai modellt, rövide özefoglali a holtidő tagok közelítő matematikai modelljéek meghatározáára zéle kör alkalmazott Padé-aroimáció alaözefüggéeit. A műzaki gyakorlatba zite kizárólag az ú. előredű aroimációt zoká alkalmazi. Felmerül a kérdé: elegedő e a holtidő előredű közelítééek otoága, vagy a zigorúbb otoági követelméyek miatt magaabb redű aroimációt zükége alkalmazi, még aak árá i, hogy a közelíté lieári jellegét elvezítjük?! A zerző célja, hogy a gyakorlatba i jól alkalmazható matematikai iráyítátechikai módzert javaoljo eme robléma megoldáára, é egy kitütetett matematikai modell egítégével mutaa a módzer alkalmazááak ajátoágait. A kitűzött cél megvalóítáa érdeké a zerző új MALAB m-fájlt kézített, melyek egítégével mutatja az idő, é frekveciatartomáyli aalízi özehaolító eredméyeit. I. SZAIRODALMI ÁEINÉS A reülőgé-vezetők tevékeyégéek matematikai leíráával előzör McRuer é redel foglalkoztak hatóa. Mukájuk eredméyét mid a mai aig zéle kör alkalmazzák az automatiku reülézabályozó redzerek előzete tervezée, é a redzeraalízi orá. A zerzők úgy egyváltozó, mid többváltozó iráyítái redzerek i meghatározzák a ilóták matematikai modelljét, amely zeritük ok egyéb téyező mellett a követedő jel időli lefolyáától i léyege mérték függ. Bevezették a aer ilot fogalmát, ami azt jeleti, hogy az automatiku reülézabályozó redzerek tervezée orá a kormáyzái redzer tevékeykedő ilótát matematikai modelljével helyetteítik. A zerzők külöö figyelmet fordítaak az ú. recízió reüléi feladatok l. támadó, vagy védekező légi harc, földi célok támadáa, kötelékreülé, légi utátölté tb. vizgálata orá alkalmazható matematikai modellek mutatáára i []. A cikk elkézítéekor a matematikai elméleti alaokat or, G. A. é or,. M kéziköyve zolgáltatta []. McLea, D. köyvéek mellékleté rézletee foglalkozik a ilóták tevékeyégéek hagyomáyo, é moder matematikai é iráyítáelméleti leíráával. A ilóta holtidejéek közelítéére McLea előredű Padé-aroimációt alkalmaz, ami a gyakorlatba cak erő megkötéek é korlátok mellett alkalmazható a zabályozái redzerek vizgálata, é előzete zitézie orá [3]. Dorf, R. C. é Biho, R. H. tágabb értelem vizgálta az oerátorok matematikai modellezéét: meghatározták a külöféle közlekedéi ezközök é járművek l. zemélygékoci, motorkerékár, hajó, voat tb. vezetőiek matematikai modelljét. ermézetee eme modellek, általáo alakjukat Elméleti é gyakorlati vizgálatok orá alkalmazható idetifikált matematikia modell, amely jó közelítéel helyetteíti az igazi ilótát.
tekitve, azooak i lehetek, de az egye modellek araméterei zéle ektrumo zórva egymától akár léyege mérték i eltérhetek [4]. Lato, B. foglalkozik a holtidő matematikai leíráával i, több módzert i imertet a holtidő végtele orokkal törtéő közelítéére [5]. A zerző több haoló témájú cikket ublikált, amelyek előkézítették e cikk megíráát, é egy motiválták i eme muka elvégzéére. A [6] irodalom hagyomáyo é moder, ú. állaottere iráyítátechikai módzereket mutat a ilóta matematikai modellezéére. A [7] irodalom mutatja, hogya lehet meghatározi a ilóta egy kritiku araméterét, míg a [8] irodalom a reülőgé egy iráyítái catorájába, az oldaliráyú catorába komle módo vizgálja a ilóta tevékeyégét, é határozza meg a hajózó lehetége kritiku aramétereit. A cikk mutatott iráyítátechikai é matematikai roblémák megoldáára kézített új MALAB forrákód elkézítéét a [9,, ] irodalmak támogatták. II. HOLIDŐ ÖZELÍÉSE A PADÉ-APPROXIMÁCIÓ SEGÍSÉGÉVEL A diamiku redzerek holtidejéek közelítéére zámo módzer imert, amelyek közül a Padé aroimáció az egyik legelterjedtebb [8]. A holtidő közelítééek eme módzerét é alaözefüggéeit tekitük át az. ábrá.. ábra. A holtidő redzer modell-követéi hibájáak zármaztatáa. Az. ábrá a G átviteli függvéy a való holtidőt tartalmazó redzermodellt, míg a G ˆ átviteli függvéy a holtidő közelítő átviteli függvéyét jelöli. ovábbi vizgálataik orá feltételezzük, hogy a holtidő élküli G átviteli függvéy miimálfáziú, é ömagába tabili redzerdiamikát ad meg. A holtidő közelítééek roblémája a következő módo fogalmazható meg: az eredeti átviteli függvéy a G e G. G ˆ P d G,. átviteli függvéyű modellel közelíthető, ahol Pd Nd / Dd a holtidőt közelítő racioáli törtfüggvéy. E közelítéi robléma máik megfogalmazáa: határozzuk meg a holtidőt közelítő P d átviteli függvéy azo alakját, amely biztoítja az eredeti. holtidő redzer. modellel törtéő kellő otoágú aroimációját. A közelíté otoága az e hibajel alajá ítélhető meg: a G é a G ˆ redzerek meetére kacoljuk ugyaazt az u meeti jelet, majd az egye redzermodellek kimeeti jeleit vojuk ki egymából. A hibajel alajá megítélhető, hogy a G é a G ˆ redzerek meyire közelítik egymát. Má zóval, megállaítható, hogy a Pd
közelítő oliom milye otoággal rerezetálja a holtidőt. Szabályozátechikába ez a robléma a modell követéi feladat evet vieli. A modell követéi hiba MME az alábbi egyelet alajá határozható meg [, 5, 8, ]: MME ˆ u u e u u u y yˆ u,.3 ahol: y ŷ a hibajel máodik euklidézi ormája, u a meeti jel máodik euklidézi ormája. A.3 egyelet zerit a modell követéi hiba MME a kimeeti jel eergiája, é a meeti jel eergiája háyadoáak maimáli lehetége háyadoa. Szabályozátechikából imerete, hogy az MME értéke az alábbi özefüggéek alajá zámítható: ahol MME MME H MME,.4 L MME G Gˆ,.5 H H MMEL j u G j Gˆ j u G j e Pd j..6 öye látható, hogy kiértékű MME eeté a G é a G ˆ átviteli függvéyek Nyquit L diagramjai i ha G ömagába tabili jó közelítéel egyeek. Midezek alajá, az holidő tag közelítée a következőkée i megfogalmazható: határozzuk meg a holtidőt közelítő P d racioáli törtfüggvéy alakú átviteli függvéyt, amely biztoítja, hogy a közelíté otatlaága kiebb, mit egy defiiált kalár, amelyre igaz, hogy >. A holtidő Padé orral törtéő közelítéére a továbbiakba a következő egyeletet alkalmazzuk [, 5, 8]: e e P d N D d d k k k k k k c k c k k,.7 ahol a.7 egyelettel megadott Padé or együtthatóit az alábbi kélet egítégével zámíthatjuk: c k k!! ;,, 3, 4, ; k,,, 3,,..8! k! k! A Padé or fokzámára kizámított együtthatókat az. Melléklet tartalmazza... A Padé or aroimáció fokzámáak meghatározáa Szabályozái redzerek vizgálata, é előzete tervezée orá gyaklra felmerül a következő robléma: mi a Padé or miimáli fokzáma, amely eeté az aroimáció hiba a tűrémező lül maimáli?! Az aroimáció hiba a.6 egyelet alajá már köye kizámítható, vagyi: Model Matchig Error 3
e 4, ha j e P 4 e d j..9 4, ha e A.9 egyeletet felhazálva, a közelítéi fokzám meghatározáa az alábbi lééek törtéik:. léé: A G j frekveciafüggvéy abzulút érték függvéye alajá határozzuk meg az körfrekveciát, amelyre igaz, hogy [8]: é elő léé legye.. léé: mide eetére legye G j,,. 4 ma,,. e é e körfrekveciákra határozzuk meg a hibajel függvéyéek abzolút értékét, amely az alábbi özefüggé alajá i kizámítható: G ˆ G 3. léé: Vezeük a következő meyiéget e 4 j 4, ha e.. 4 j, ha e E ma ;,..3 Ha E, akkor fejezzük a zámítái műveletet. Eb az eet a közelítő Padé or azo fokzáma, amely kielégíti az előírt közelítéi otoágot, má zóval, teljeül az alábbi egyelőtleégi feltétel: MME..4 Ha az E egyelőtleégi feltétel em teljeül, akkor egygyel értékét, é a. léétől újra folytatjuk a zámítát. E műveleti ort midaddig folytatjuk, amíg teljeül, hogy E. 4. léé: yomtauk ki a hibajel L j G j e Pd j.5 frekvecia függvéyét, é igazoljuk, hogy aak maimáli értéke kiebb, mit. Nagy otoágú zámítáok orá a matematikai aroimáció otoága általába 4. Midazoáltal, zabályozátechikából imerete éldául, hogy a trazie időt az átmeeti függvéy tacioér értékéek %, vagy 5% -o tartomáyá lülre kerülékor mérjük. öyű láti tehát, hogy a matematikai közelíté otoága okkal zigorúbb, mit az iráyítáelméleti otoági követelméy, ezért a gyakorlatba komromizumot kell köti, hogy mely otoági követelméyt zereték teljeítei [8]. 4
III. A PILÓA EVÉENYSÉGÉNE NÉHÁNY EGYSZERŰBB MAEMAIAI MODELLJE A ilóta tevékeyégéek legegyzerűbb matematikai modellje, egy meeti jel követée eté, a. ábra felhazáláával, az alábbi egyelettel adható meg [, 3, 6, 7, 8]: ki Y e, 3. ahol a ilóta által követett meeti jel, ki a ilóta válazjele, a ilóta erőítéi téyezője, a ilóta tevékeyégéek holtideje.. ábra. A ilóta tevékeyégéek PH matematikai modellje. A. ábra, valamit a 3. egyelet alajá köye látható, hogy a ilóta tevékeyégét aráyo roorcioáli, holtidő H taggal PH lehet leíri [6, 7, 8]. Ha a reülőgé-vezető azo tulajdoágát i figyelem vezük, hogy redikcióra i kée, akkor a tevékeyégéek matematikai modelljét a 3. ábrá látható hatávázlattal adhatjuk meg. 3. ábra. A ilóta tevékeyégéek PDH matematikai modellje. ki Y e, 3. ahol redikció való differeciálái időálladó. A 3. egyelettel megadott matematikai modell aráyo-differeciáló-holtidő PDH. A továbbiakba vegyük figyelem a reülőgé-vezető izomredzeréek diamiku vielkedéét i, amelyet egytároló diamikával vezük figyelem. A reülőgé-vezető modellje a 4. ábrá látható. 4. ábra. A ilóta tevékeyégéek PDH matematikai modellje. 5
6 A 4. ábra alajá a reülőgé-vezető átviteli függvéye már köye felírható: ki e Y, 3.3 ahol a reülőgé-vezető izom-redzeréek időkéée. A 3.3 egyeletet zoká PDH modellek i evezi. A 4. ábra alajá a 3.3 átviteli függvéy az alábbi alakba i felírható: ki ki e Y. 3.4 A 3.4 egyelet alajá a holtidő meeti jele a következő özefüggé alajá zámítható:. 3.5 A 3.5 egyelet időtartomáyba a következő alakba írható fel:. 3.6 A 3.3 egyelet a holtidő közelítéére alkalmzzuk az -redű Padé-aroimációt. Az alábbi egyeletet kajuk: e Y ki. 3.7 A reülőgé-vezető tevékeyégéek modellezéére zéle kör alkalmazzák az állaottér rerezetáció alakokat. Vezeük az alábbi állaot-változókat [3, 6, 7, 8]: ki, 3.8. 3.9 A 3.3 3.9 egyeletek felhazáláával a reülőgé-vezető állaottere matematikai modellje már köye felírható, vagyi: 4, 3. ki. 3. Végezetül, ha figyelem vezük a reülőgé-vezető érzékelő/jelfeldolgozó/avatkozó idegizom redzeréek a matematikai modelljét i, akkor a ilóta tevékeyégéek hatávázlata az 5. ábráak megfelelőe adható meg [, 3, 6, 7, 8]: 5. ábra. A ilóta tevékeyégéek matematikai modellje.
7 Az 5. ábra alajá írjuk fel a reülőgé-vezető átviteli függvéyét: ki ki e Y. 3. A 3. egyelet az 3.3 kéttároló tag a reülőgé-vezető ideg-izom redzeréek egyzerűített matematikai modelljét adja meg [, 3, 6, 7, 8]. öye látható, hogy a 3. egyelet holtidő élküli PD alakú i Y 3.4 átviteli függvéye időtartomáyba az alábbi alakba írható fel:, 3.5. 3.6 Vezeük a következő állaot-változót: ki 3. 3.7 A 3. egyelet zerelő holtidőt aroimáljuk -redű Padé-orral, má zóval, e. 3.8 Helyetteítük a 3.8 egyeletet a 3. egyelet, é írjuk fel a kaott kifejezét időtartomáyba. Néháy egyzerű matematikai átalakítá utá az alábbi állaot-, é kimeeti egyeletet kajuk [, 3, 6, 7, 8]: 4 4 3 3, 3. 3 ki. 3. A 3. 3. alkalmaak arra, hogy idő-, é frekveciatartomáyba elvégezzük a mutatott matematikai modellek vizgálatát. A cikk további fejezetei eme vizgálatok eredméyeit mutatják.
IV. A REPÜLŐGÉP-VEZEŐ MAEMAIAI MODELLJÉNE VIZSGÁLAA IDŐAROMÁNYBAN A reülőgé-vezető tevékeyégéek egyik legfotoabb formája az alajel követé. Számo reüléi feladat l. félautomatiku jövetel lezállához, légi utátölté, légi harc, felzíi célok támadáa, kimagaágú tereköveté, kötelékreülé, műreülé tb. megoldáa orá a ilóta a zámára megjeleített alajelet követi, amelyek időli lefolyáukat tekitve külöféle jellegűek lehetek. A leggyakoribb lekövetedő alajelek a következők: egyégugráfüggvéy, egyégeégfüggvéy, fűrézjel, égyzögjel, harmoiku ziuzo jel. A zerző az időtartomáyli vizgálatai orá az ugráfüggvéy, a eég függvéy, é a égyzögjel vizgáló jeleket alkalmazza [9,, ]. Az előző fejezet mutatára kerültek a reülőgé-vezető leggyakrabba hazált matematikai modelljei. ekitettel a továbbiakba alkalmazadó vizgálati módzer általáo jellegére, az időtartomáyli vizgálatok orá e fejezet a 3.3 egyelettel megadott PDH modellt alkalmazza. A reülőgé-vezető eme matematikai modelljéek araméterei legyeek az alábbiak [, 3, 6, 7, 8]: ; ;,4;, 5. 4. A reülőgé-vezető PDH modelljéek vizgálata orá feltételeztük, hogy a holtidő aroimációja orá az -redű közelíté mellett a 4.-ed, é a 7-ed redű aroimációt alkalmazzuk. Így a reülőgé-vezető átmeeti függvéyét három diamiku modellre az. Melléklet egítégével i meghatározzuk. A reülőgé-vezető alajele, má zóval, a követi kívát meeti jele az egyégugrá jel, t t. A zámítógée zimuláció eredméye a [9,, ]. 6. ábra. A reülőgé-vezető átmeeti függvéyei. előredű egyedredű hetedredű Padé aroimáció A 6. ábrá jól látható, hogy az aroimáció fokzámáak emelkedée az átmeeti függvéy maimumáak övekedéét eredméyezi. A holtidő tartomáyába az átmeeti függvéyek, bár egyre agyobb frekveciájú legéekkel, de mégi közelítik az ideáli, zéruértékű átmeeti függvéyt. A 7. ábrá a reülőgé-vezető egyégeég meeti jelre adott válazfüggvéyei láthatóak az aroimáció külöféle fokzámai mellett. A vizgálatok orá a reülőgé-vezető meeti jele az t t volt [9,, ]. 8
7. ábra. A reülőgé-vezető egyégeég válazfüggvéyei. előredű egyedredű hetedredű Padé aroimáció A 7. ábra alajá köye látható, hogy az aroimáció fokzámáak emelkedéével a közelítéi hiba folyamatoa cökke, é a holtidő időtartomáyába a meeti jelre adott válazfüggvéy egyre jobba közelíti az ideáli zéru kezdeti értéket. Végezetül, vizgáljuk meg a reülőgé-vezető alajel követéi kéeégét, ha a követedő meeti jel f,3 Hz frekveciájú, vagyi /,3 erióduidejú égyzögjel. A zámítógée aalízi eredméye a 8. ábrá látható [9,, ]. 8. ábra. A reülőgé-vezető válazjele a égyzögjel meeti jelre. előredű.. egyedredű.. hetedredű Padé aroimáció A 8. ábra alajá megállaítható, hogy haolókée a korábbi meeti jelekre adott válazfüggvéyekhez az aroimáció fokzámáak emelkedée a válazjel maimáli értékéek övekedéét eredméyezi, vizot a holtidő tartomáyába egyre jobba közelíti az ideáli zéruértékű kimeeti jelet. 9
V. A REPÜLŐGÉP-VEZEŐ MAEMAIAI MODELLJÉNE VIZSGÁLAA FREVENCIAAROMÁNYBAN A frekveciatartomáyli vizgálatok orá feltételezzük, hogy a reülőgé-vezető által követedő jel harmoikua váltakozó, egyégyi amlitudújú, ziuzo jel. A zámítógée zimuláció eredméye a 9. ábrá látható [9,, ]. 9. ábra. A reülőgé-vezető Bode-diagramja. előredű.. egyedredű.. hetedredű Padé aroimáció A 9. ábra alajá megállaítható, hogy a vizgált frekveciatartomáyba az erőíté gyakorlatilag függetle az aroimáció fokzámától, é midhárom erőítéi gör együtt fut. i-, é közee frekveciáko a fázigörbék i együtt futak, majd f Hz frekveciától a görbék elválak egymától, é az aroimáció fokzámáak emelkedéével egyre cökke a fázizög értéke. VI. A REPÜLŐGÉP-VEZEŐ MAEMAIAI MODELLJEI VISELEDÉSÉNE ÖSSZEHASONLÍÓ ELEMZÉSE Az előze fejezet mutatott zámítógée zimulációt a reülőgé-vezető PDH modelljé hajtottuk végre, változtatva az aroimáció fokzámát. A gyakorlatba gyakra felmerül az a kérdé, hogy a reülőgé-vezető mely matematikai modelljét alkalmazzuk? Az automatiku reülézabályozó redzerek vizgálatáak elméletéből imert téy, hogy a reülőgé-vezető a reülőgé iráyítáa orá többcatorá iráyítái redzer, több állaot-változót i mauulál. Példáak okáért álljo mot itt a reülőgé félautomatiku lezállítáa, amikor a reülőgé-vezető zámo reüléi aramétert aracjelek alajá kézi avatkozáal iráyít. Ilye reüléi jellemző, a teljeég igéye élkül, a reüléi eég, a függőlege eég, a reüléi magaág, a lezállóályától mért távolág, a iklóályától mért zögeltéré, az iráyályától mért zögeltéré. A megoldadó reüléi feladat komleitááak övekedéével a reülőgé-vezető egyre egyzerűbb matematikai modelljét alkalmazhatjuk [, 3, 6, 7, 8].
Vizgáljuk meg a reülőgé-vezető külöféle matematikai modelljéek vielkedéét a holtidő máodredű Padé-orral törtéő közelítée eeté. A reülőgé-vezető matematikai modelljeit a 3. fejezet 3., 3., 3.3, é a 3. egyeletek adják meg. A reülőgé-vezető időtartomáyli vielkedééek vizgálatát korlátozzuk az átmeeti függvéy. ábra, az egyégeég meeti jelre adott válazjel. ábra, é a égyzögjel meetre adott válazjel. ábra aalíziére. A reülőgé-vezető meeti jele legye az t t egyégugrá jel. A reülőgé-vezető válazfüggvéyei külöféle redzermodellek eetére a. ábrá láthatóak.. ábra. A reülőgé-vezető átmeeti függvéyei. PH modell PDH modell PDH modell PDH modell Vizgáljuk meg, hogy a reülőgé-vezető hogya kée leköveti az egyégeég meeti jelet. A trazie aalízi orá a meeti jel legye a t t jel. A reülőgé-vezető válazjelei a. ábrá láthatóak.. ábra. A reülőgé-vezető válazjelei az egyégeég meeti jelre. PH modell PDH modell PDH modell PDH modell
Végezetül, vizgáljuk meg, hogy a reülőgé-vezető az előjelváltó égyzöjelet, mit meeti jelet hogya kée követi. A meeti jel f,3 Hz frekveciájú, egyégyi amlitúdójú égyzögjel. A reülőgé-vezető válazfüggvéye a. ábrá látható.. ábra. raiet Reoe of the Huma Pilot PH modell PDH modell PDH modell PDH modell A.,., é a. ábráko jól látható, hogy a 3. egyelettel megadott alamodell PH-modell vezett differeciáló D hatá PDH modell a trazie folyamatokba agy értékű túlledüléeket eredméyez. Ha a reülőgé-vezető matematikai modelljét egytároló taggal bővítjük PDH modell, akkor cökke a válazfüggvéyek legéi hajlama. Ha a reülőgé-vezető érzékelő/jelfeldolgozó/avatkozó ideg-izom redzeréek egyzerűített matematikai modelljét i figyelem vezzük, akkor az alaeethez kéet övekzik a trazie folyamatok legéi hajlama PDH modell. E vizgálatokat termézetee magaabb redő aroimáció modellekre i elvégezhetük, é a közelíté fokzámába araméterezett görereget kauk, amelyet már egyzerű kiértékeli, megvizgáli azok miőégi jellemzőit. A reülőgé-vezető fet mutatott trazie aalíziéből következik egy máik foto, é érdeke kérdékör: a holtidő adott otoágú közelítée orá milye legye a Padé-or fokzáma? E kérdékör megválazoláát a 7. fejezet taglalja. VII. A PADÉ-APPROXIMÁCIÓ MINIMÁLIS FOSZÁMÁNA MEGHAÁROZÁSA A.. fejezet már foglalkozott a Padé-aroimáció miimáli fokzámáak meghatározáával. Az. ábra alaá azoba kíálkozik egy máik, ikább gyakorlatia módzer i az adott otoágú Padé-aroimáció közelíté fokzámáak meghatározáára. Eme módzer léyege: haolítuk öze a holtidőt tartalmazó eredeti G, é a holtidő közelítő modelljét tartalmazó G ˆ
redzerek Nyquit-diagramjait, é addig öveljük a közelíté fokzámát, amíg az eredeti é a közelítő redzer Nyquit-diagramjai közötti külöbég a megadott otoági tűrémező em eik. ovábbi vizgálataik orá legye a közelíté otoágáak értéke a következő:,. 7. ekitettel arra, hogy a cikk módzert mutat, az egyzerűég miatt legye a reülőgé-vezető vizgálat tárgyát kéező matematikai modellje PH aráyo-egytároló-holtidő. ermézetee, vizgálataikat tetzőlege matematikai modellre elvégezhetjük. A reülőgé-vezető tevékeyégét leíró matematikaimodell mot a következő lez [, 3, 6, 7, 8]: ki Y G e. 7. A 7. egyelettel megadott átviteli fggvéy alaá a frekveciafüggvéy az helyetteítéel köye meghatározható [5]: j G A 7.3 egyelet j ki j j j e e P H jq j j j a G j frekveciafüggvéy való réze, míg a a G j frekveciafüggvéy kézete réze. H. 7.3 j j P H real e 7.4 j j Q H imag e. 7.5 Az. ábra alajá a reülőgé-vezető közelítő matematikai modelljét az alábbi átviteli fggvéy adja meg: ki Gˆ Pd. 7.6 Határozzuk meg a 7.6 közelító matematkai modell frekveciafüggvéyét, vagyi a 7.6 egyelet végezzük el az j helyetteítét: Gˆ j j j j ki j P d j. 7.7 j j j j A 7.7 kifejezé alajá köye látható, hogy a frekveciafüggvéy komle, é írjuk fel aak algebrai alakját i: 3
Gˆ j j j j P köz j j jqköz, 7.8 ahol j j j P köz j real 7.9 j j a G ˆ j frekveciafüggvéy való réze, míg j j j Q köz j imag 7. j j a G ˆ j frekveciafüggvéy kézete réze. öyű láti, hogy a holtidő Padé-aroimáció fokzámát addig zükége emeli, amíg egyidejűleg teljeülek az alábbi egyelőtleégi feltételételek: é P PH P, 7. köz Q QH Q. 7. köz A Padé-aroimáció azo fokzáma, amelyre előzör teljeülek a 7. 7. feltételek, az ú. miimáli fokzám, amelyet a közelíté megadott otoágáak biztoítáa érdeké a vizgálatok é a tervezéi feladatok megoldáa orá alkalmazi zükége. A Padé-aroimáció miimáli fokzáma Nyquit-diagram egítégével törtéő meghatározáára vegyük az alábbi éldát. Legye a reülőgé-vezető diamiku modellje a következő: Y G ki,5 e e, 4 7.3 A reülőgé-vezető 7.3 egyelettel megadott PH matematikai modelljét a 7.6 alakú G ˆ j közelítő egyelettel írjuk le. Határozzuk meg az eredeti holtidő, é a közelítő redzerdiamikai modellek Nyquit-diagramjait a Padé-aroimáció külöböző fokzámaira. A zámítógée aalízi eredméyét az aroimáció 6 fokzámaira az. táblázat tartalmazza. A Nyquit-diagramok meghatározáához válazuk a körfrekveciát a w rad / értékekre. A vizgált frekveciatartomáy jó közelítéel rerezetálja a reülőgé-vezető lehetége eriodiku meeti jeleit. Az. táblázatba mutatott eredméyek alajá köye megállaítható, hogy az aroimáció fokzámáak övelée cökketi a közelítéi hiba agyágát, amelyeket a. táblázatba foglaltuk öze. 4
A G j é a G ˆ j frekveciafüggvéyek Nyquit diagramjai. táblázat G j eredeti Nyquit diagram G ˆ j közelítő Nyquit diagram Aroimáció hiba.. táblázat Az aoimáció fokzáma Differeciák P Q 4,764 3,376,567,4369 3,37,97 4,4, 5, 5 3,679 6 5 4,5377 7 5,889 5
A. táblázatból köye kiolvaható, hogy 4 eeté a 7.-7. egyeletekkel megadott aroimáció hibák jól közelítik a 7. kifejezéel defiiált miőégi követelméyt, de a Nyquitfüggvéyek való rézeimek eltérée agyobb, mit az előírt %. Az 5 fokzámú közelíté eeté a való redzer G j, é a közelítő redzer G ˆ j Nyquit-függvéyeiek úgy a való, mit a kézete rézei értelmezett eltéréek kiebb értékűek, mit a 7. egyelettel megadott miőégi követelméy. Az. Melléklet felhazáláával az aroimácció 5 eetére a,5 holtidő közelítéére tehát az alábbi kifejezét alkalmazzuk:! 3! 3 4! 4 5! 5,5,5,5,5,5,5 e P! 4! 6! 8!! d! 3! 3 4! 4 5! 5,5,5,5,5,5! 4! 6! 8!!. 7.4 A 7.-7. egyeletekkel megadott hibajelek frekvecia függvéyei a 3. é a 4. táblázatba láthatóak. Az aroimáció hiba P PH P való réze 3. táblázat köz P j hibajel diagram, miőégi követelméy diagram 6
A 3. táblázat alajá megállaítható, hogy az aroimáció fokzámáak övekedéével cökke a közelítéi hiba. Megfigyelhető továbbá, hogy ugyaazo aroimáció eeté a vizgálati frekvecia övekedée a közelítéi hiba léyege övekedéét eredméyezi. A 4. táblázat a való G j, é a G ˆ j közelítő redzerdiamikai modell Nyquitdiagramjáak kézete rézeit foglalja öze az aroimáció külöféle fokzámaira. Figyeljük meg, hogy a frekvecia övekedéével, ugyaazo aroimáció fokzám mellett, övekzik a közelítéi hiba értéke i. Az aroimáció hiba Q QH Q kézete réze 4. táblázat köz Q j hibajel diagram, miőégi követelméy diagram A., 3. é a 4. táblázatokból egyértelműe megállaítható, hogy a 7.-7. feltételek egyidejűleg 5 eeté teljeülek, ezért a 7. miőégi követelméyel defiiált aroimáció miimáli fokzáma 5. 7
VIII. EREDMÉNYE, ÖVEEZEÉSE Ma még zámo vezérléi-, illetve zabályozái redzer em élkülözheti az emri vatkozát, illetve az emri tevékeyéget. Az emr okzor elleőrző-, vagy redzerfelügyelő zereet lát el, vagy akár aktíva rézt i vehet a zabályozái redzer iráyítáába. A zabályozái redzerek vizálata, é előzete tervezée felveti aak zükégét, hogy az emri tevékeyéget valamilye diamiku modellel írjuk le. A reülőgé-vezetők tevékeyégéek matematikai modellezée foto úgy a földi-, mit a légi üzemelteté zemotjából. A ilóta diamiku modelljéek általáo alakja függ azo redzer feléítéétől, amely a reülőgé-vezető tevékeykedik, függ a megoldára váró feladat özetettégétől, függ a kézettégi zittől, valamit a hajózó fizikai-, é zichikai állaotától. A cikk a zerző mutatta a reülőgé-vezetők legfotoabb matematikai modelljeit. A zerző rámutatott, hogy az egye matematikai modellek holtidejéek külöböző fokzámú aroimációja alavetőe folyáolja a diamiku redzerek vielkedéét úgy idő-, mit frekveciatartomáyba. A zerző levezette a holtidő adott otoágú, Padé-orral törtéő közelítééek alaözefüggéeit. Bár ez az elméleti módzer i gyara alkalmazott, é iteratív eljáráal köye algoritmizálható a megoldáa, a zerző egy látváyo gyakorlati módzert i mutatott a Padé-aroimáció miimáli fokzámáak meghatározáára. A cikk a zerző a Nyquit-diagramokat hazálta a holtidő adott otoágú modellezééhez zükége fokzám megállaítáára. Ha a reülőgé-vezető tevékeyégét PH-modell írja le, é a közelítei kívát holtidő,5, akkor a, otoágú közelíté elérééhez 5 fokzámú közelíté zükége. A holtidő oto közelítő matematikai modellel redelkezik, vizot emlieári lez a 7.4 kifejezéel megadott közelítő átviteli függvéy. FELHASZNÁL IRODALOM [] MCRUER, D.. RENDEL, E. S.: Mathematical Model for Huma Pilot Behavior, NAO Adviory Grou for Aeroace Reearch ad Develomet, AGARDograh AG 88, 974. [] ORN, G. A. ORN,. M.: Matematikai kéziköyv műzakiakak, Műzaki öyvkiadó, Budaet, 975. [3] MCLEAN, D.: Automatic Flight Cotrol Sytem, Pretice-Hall Iteratioal, New York-Lodo-oroto-Sydey- okyo-sigaore, 99. [4] DORF, R. C. BISHOP, R. H.: Moder Cotrol Sytem, Pretice Hall Iteratioal, Uer Saddle River, New Jerey,. [5] LANOS BÉLA: Iráyítái redzerek elmélete é tervezée, I., Egyváltozó zabályozáok, Akadémiai iadó, Budaet,. [6] SZABOLCSI RÓBER: A reülőgé-vezető hagyomáyo é moder matematikai modellezée a reülőgéek iráyítái redzeré, Új évzázad, új techológia Grieek a magyar Légierő tudomáyo koferecia kiadváya, 6. árili., Szolok CD-ROM. [7] SZABOLCSI RÓBER: A reülőgé-vezető reülébiztoág zemotjából kritiku aramétereiek meghatározáa, Debrecei Műzaki özleméyek, V. évf., 3. zám, 6/3, 3-4 o. [8] DR. HABIL. SZABOLCSI RÓBER: A reülőgé-vezető kritiku aramétereiek komle vizgálata az oldaliráyú iráyítái catorába, Reülétudomáyi özleméyek, XVIII. évf., 38. zám, 6/, 97-7 o. [9] MALAB 5. he Laguage of echical Comutig, Uer' Guide, he MathWork, Ic., 997. [] MALAB 6.5 he Laguage of echical Comutig, Uer' Guide, he MathWork, Ic.,. [] Cotrol Sytem oolbo 5. for Ue With MALAB Releae., Uer' Guide, he MathWork, Ic.,. 8
. MELLÉLE A Padé or együtthatói Az aroimáció fokzáma k együttható k 3 k 3 4 k 4 5 k 5 6 k 6 7 k 7 8 k 8 9 k 9 k k k 3 k 3 4 k 4 5 k 5 6 k 6 7 k 7 8 k 8 9 k 9 k c együttható k c k c! c 4! 3! 68 34 c 3 6! 4! c 4 8! 5! c 5! 6! c 6! 6658 7! c 7 4! 7978 8! c 8 6! 58984 c 9! 9 8! c!!! c! c! 4! c 3! 3 6! c 4! 4 8! c 5! 5 3! c 6! 6 3! c 7! 7 34! c 8! 8 36! c 9! 9 38!! c 4! 9