1. Operácó kutatás Az operácó kutatás 1940 ó ta smeretes. Bár a techka felő dés, a termelés folamatok szervezése már korábba s géelte a matematka eszkö zö k felhaszálását, - amelekbe fellelhető k az operácó kutatás saátossága - tudatos alkalmazására a II vlágháború folamá került sor. Első sorba katoa célokra haszálták. A másodk vlágháború utá előszö r a hadseregbe, mad a gazdaság életbe s teles polgárogot ert. Tö bb meghatározás smert a fogalmára. Az operácó kutatás em külö tudomáág, haem tudomáos magatartás a szervezés, gazdaság, mű szak eleségekkel szembe. A műszak, gazdaság és szervezés folamatok, eleségek vzsgálatát elető se megkö íthetük, ha a redelkezésükre álló - sokszor ge agszámú - alapadatokat az smert matematka eszkö zö k felhaszálásával redszerbe foglaluk és kezelhető vé tesszük. Az operácó kutatásra első sorba az ellemző, hog tudomáos eszkö zö ket, mó dszereket, valamt korszerű techkát alkalmaz. Első két a matematkát kell megemlíte, amel az operácó kutatás leghatékoabb tudomáos eszkö ze. Fotos szerepet átszk még a matematka statsztka és számítástechka. Az adott folamat, eleség szempotábó l alapvető cél a lehető legobb megoldás kválasztása, tehát valamle optmum elérése. Az par, gazdaság szervezetek szö vevées volta matt ezt a célt csak tudomáos alapoko fekvő módszerekkel lehet bztosíta. Az operácó kutatás ellegzetessége, hog mdg eg ól körülhatárolható teles redszerre voatkozk. Ile alapo,, a legkülöbözőbb par, közeledés, gazgatás stb. redszerekre alkalmazható. Az operácókutatás defícóa : Az operácó kutatás tudomáos eszkö zö kkel, techkával, mó dszerekkel vzsgála valamel redszer műkö désével kapcsolatos problémákat abbó l a célból, hog az optmáls megoldást meghatározza. Tehát a dö tések meghozatalához ad ge ag segítséget az operácó kutatás sorá kdolgozott elképzelés. Ie származk az a megfogalmazás, hog az operácó kutatás a dötések előkészítéséek tudomáa.
2. Gráfelmélet alapfogalmak Gráf: Eg hálózatot (gráfot) a csúcsok N halmaza és az élek E halmaza defál G ( N, E ). Dgráf: ráított hálózat (x,) x=kezdőpot =végpot (, x) E, él=csúcspotok redezett pára, amel megada a két csúcspot között mozgás lehetséges ráát; Lác: élek ola sorozata, amelbe az egmást követő bármel két élek egetle közös csúcsa va. Út: ola lác, amelbe az utolsó él kvételével mdegk él végpota azoos a sorozatba következő él kezdőpotával. Lege [N,E] dgráf és lege s,t N Lege x0, x1,..., xk 1, xk... xm N ola potsorozat melre x0 s, xm t és x, k 1 xk A mde =1..m eseté. Ekkor azt moduk, hog x0, x1... x m eg s-ből t-be vezető út P s t s x, x... x t 1 2 ( x, x )( x, x )...( x, x ) 1 2 2 3 p 1 p p Lege l ( x, x ) szakasz hossza az s potból a t potba meő út hossza l( Ps t ) l( x1, x2) l( x2, x3)... l( xp 1, x p) Kör: ola út amelek kezdő és végpota azoos p 1 1 l( x, x ) Vágás: lege [N,E] dgráf és osszuk az N pothalmazt az S,T dszukt (két halmaz metszete zérus) két em üres halmazra Jelölék (S,T)-vel azo élek összességét amelek S-ből dulak és T-be érkezek Az (S,T) élhalmazt az [N,E] dgráf (S,T) vágásáak evezzük S T N S T 0 Elválasztó vágás: ha s, t N potok olaok, hog s S és t T akkot azt moduk, hog (S,T) vágás az s,t potokat elválaszta S T N S T 0 1
3. Hálózat és eze megfogalmazott feladatok A hálózat folamok témakörbe ola optmalzálás feladatokkal foglalkozuk, amelek gráfok ll. hálózatok segítségével s megfogalmazhatók, ebből következőleg gráfelmélet eszközökkel s kezelhetők. Bevezetésképpe tektsük az alább egszerű szállítás feladatot. Három termelőtől (T) akaruk elszállíta bzoos árut ég fogasztóhoz (F). Valamle okál fogva a,, vszolatokba em lehet szállíta. A termelőktől a fogasztókhoz redre 30, 50, 40 teherautó elszállítadó meségű árut kell elszállíta. A fogasztók gée redre 40, 20, 50, 30 teherautó meségű áru. A fet adatokat a termelők kíálatáak ll. a fogasztók keresletéek szoktuk evez. Az alább táblázat mutata, hog a termelők telephele és a megredelőhelek között eg teherautó meségű árut mekkora költséggel szállíthatuk el. A tltott vszolatokat a táblázatba - ellel elöltük. Feladatuk a következő: Aduk meg azt a szállítás tervet, amelél az áruk a termelőktől a fogasztókhoz törtéő elszállítása a legksebb költséggel valósul meg! A feladat matematka megfogalmazását az alábbakba aduk meg. A matematka megfogalmazáshoz három dolgot kell meghatározuk, ezek a következők: dötés változó megállapítása, a dötés változók lehetséges értéket meghatározó feltételek felírása, végül aak a függvéek a felírása, amelek értéke szert dötük a lehetséges megoldások közül (ezt a függvét célfüggvéek evezzük). 1. Dötés változó megállapítása: Lege a dötés változó az, hog az eges telephelekről az eges megredelőhelekre me teherautó árumeséget szállítuk. Jelölük ezeket az kétdexes változókkal, amel a termelőtől az fogasztóhoz szállított meséget mutata. A dötés változókat az alább táblázatba foglalhatuk. 2. Feltételek meghatározása: Természetes feltétel, hog az összes dötés változó emegatív. Először a kíálat feltételeket határozzuk meg. Az eges termelőktől elszállítadó meséget az eges sorokba lévő dötés változók összege ada, amelek egelőek kell le a termelők kíálatával. A kereslet feltételek meghatározásáál fgelembe kell ve, hog a termelők összkíálata ksebb, mt a fogasztók összkereslete ( ), íg a fogasztók em
mdegkéek az géét lehet teles mértékbe kelégíte. Az eges fogasztókhoz szállítadó meséget az eges oszlopokba lévő dötés változók összege ada, amel ksebbek vag egelőek kell le a fogasztók keresletével. 3. Célfüggvé meghatározása: Tegük fel, hog a szállítás költség leársa változk a szállítadó meséggel. Jelöle a szállítás egségköltséget a termelőtől az fogasztóhoz, ekkor a termelőtől az fogasztóhoz az meségű áru szállítás költsége. Itt vettük fgelembe a leartás feltételezést. A szállítás összköltsége pedg az eges vszolatok szállítás költségéek az összege. A probléma matematka modelle tehát a következő: A termelőket, a fogasztókat eg-eg pottal, az eges termelők és fogasztók között szállítás kapcsolatot pedg eg-eg íllal reprezetálhatuk a síko. Ezt mutata az alább ábra.
A fet alakzatot gráfak, potosabba ráított gráfak evezzük. Amebe a kapcsolatokra ráíruk a szállítás egségköltségeket, akkor hálózatot kapuk. A fetebb felírt szállítás feladat eg leárs programozás feladat, íg a leárs programozás smert módszereek bármelkével megoldható. Vszot azt s tuduk, hog ez eg redkívül specáls szerkezetű leárs programozás feladat, mvel az egütthatómátrxa csupá 0 és 1 értékeket tartalmaz és ezeket s megfelelő szabálossággal. A szállítás feladat tehát specáls szerkezetéél fogva gráfok segítségével s reprezetálható.
4.Legrövdebb úttal kapcsolatba megfogalmazott feladatok, faépítő algortmus A probléma megfogalmazása A P út hosszával kapcsolatba leggakrabba a következő feladatokat fogalmazzuk meg: a. Határozzuk meg az rögzített potok között azt a Pst utat, amelre (1.1) mmáls.vts, b. Határozzuk meg a rögzített potból a hálózat összes (vag rövde ) potába a legrövdebb Ps utakat. (Ez az ú. mmáls kfeszítő fa.) Vs Va V c. Keressük meg a hálózat mde (rövde ) potpára között a P legrövdebb hosszúságú utakat, azaz határozzuk meg a multtermáls mmáls hosszúságú utat az adott ráított gráfba. Vaa, V, d. Határozzuk meg a fet a c feladatok valamelk változatára az első k számú legrövdebb utat, amelet arra haszáluk, hog a felhaszáló a saát tapasztalata alapá a beduguló legrövdebb út utá a másodk, harmadk, stb. legrövdebb utat választa. Megegezzük, hog az a. és a b. feladat csak az eléredő cél szempotából külöbözk, a két feladatot azoos elárásokkal oldhatuk meg. A c. feladat az a. vag b. feladatokat megoldó algortmusok többször alkalmazásával s megoldható.
A szakrodalomba a feladat fotosságáak megfelelőe sokszáz ckk található a problémakörrel kapcsolatba. A sokféle módszer közül tt csak az alapvető elárásokat és a közlekedés hálózatok célara kfelesztett, tárolás és futás dő szempotából leggazdaságosabb elárásokat smertetem. Tovább részletes összefoglaló olvasható még a [21, 22, 39, 41, 54, 80], szakrodalmakba. 1.2. Mmáls hosszúságú út két pot között Itt az potból a potba meő legrövdebb út meghatározásával foglalkozuk. A külöbség a mmáls kfeszítő fával szembe az algortmus befeezésébe va. Itt az algortmus befeeződk, ha a t pot végleges potecál értéket kapott,. A másk esetbe az algortmus befeezéséek feltétele. Vs Vt Tt eseté,vata 1.3. Faépítő módszerek A feezetbe tárgalt módszerek mdegke eg mmáls összhosszúságú (Shortest Path SP) fát határoz meg. Eek csúcspota eg előre rögzített s pot, amel tartalmazza a hálózat összes potát (ha a hálózat összefüggő), és az s potból bármelk potg a legrövdebb Ps útvoalból áll. Ezt a fát s gökérpotú mmáls hosszúságú kfeszítő fáak, rövde mmáls fáak evezzük. Ezek az algortmusok a fetekbe megfogalmazott a. és b. feladat megoldását szolgáltaták. Ha mde -re végrehatuk az algortmust, akkor a c. feladat megoldását s megkapuk.v V Vs 8
határozzuk meg az s-ből t potba meő legrövdebb utat határozzuk meg s-ből az összes több potba vezető legrövdebb utat határozzuk meg a legrövdebb utakat az összes poto keresztül Faépítés, Dkstra-féle elárás: x P pothoz hozzáredelük eg potecált, ( x ) a kezdőpotból az x -g meő legrövdebb távolság, ( x ) ebbe az esetbe em határoztuk meg a távolságot, 2 halmazra osztuk P-t S x ( x ) T x ( x ) S T N S T 0 Legrövdebb út algortmus (L) L0 s s T N s ( s) 0 ( x ) x T ; L 1 keressük azo x potokat amelekre ( x, x ) E, x E, x T x deglees potecál ( x ) ( x ) t( x, x ) x m ( x ) határozzuk meg azt a -t amel a kezdőpothoz a legközelebb va L 2 s s x, T T x, ( x ) x kválasztott pot L 3 t S ha t S kész, () t a legrövdebb út s-től, ellekező esetbe L 1 -től kell úrakezde Maxmáls hosszúságú kfeszítő fa (F): az algortmus ugaaz, mt az előbbél, de L3ba eltérés va F0 L0 F1 L1 F2 L 2 F 3 ha T=0 késze vaguk, egébkét F 1 -él foltatuk, 2 /2 lépés szükséges (Flod-)Warshall algortmus: c 1 vesszük az első potot és végrehatuk az L algortmust, vesszük a 2. potot és végrehatuk az algortmust, mdaddg követük ezt az elárást, míg az összes potot meg em határoztuk c 2 megézzük, hog az 1-es potot bevova --be meő útba rövdebbet kapuk-e mad a 2-es potot vouk be és íg tovább mad végül az összes potot bevouk
5.Tervütemezés feladattípusok, a terv-ütemháló defícóa A gráfelmélete alapuló ú. hálódagramos módszerek alkalmazása elősegít az optmáls dötés előkészítést, hatékoa támogata bármel mukaszervezet vezetéséek főbb fukcót: a tervezés, szervezés, ráítás és elleőrzés feladatát. Alapvető hálómodellek: CPM (Crtcal Parth Method =krtkus út módszer) PERT (Program Evaluato ad Revew Techque = program értékelés és felülvzsgálat techka). Továbbfelesztett modellek: MPM, PEP, MOST, CPM-COST, PERT-COST. A hálós módszer léege: a mukafolamatot részekre, tevékeségekre botuk rögzítük a fotosabb állapotokat, ezeket eseméekek evezzük feltáruk a tevékeségek (eseméek) között soros lletve párhuzamos kapcsolatokat, mad ábrázoluk eg gráfak lletve mátrxak megfelelőe a tevékeségekhez dőtartamot, erőforrás adatokat redelük, s elvégezzük a kokrét modellre voatkozó számításokat. A terv alapá megszervezzük a mukafolamatot. Végrehatás közbe aktualzáluk a hálót úg, hog a tervezett végrehatás dő lehetőleg e övekede. A hálós módszerek osztálozása: a. számszerűsítés szert: logka: csak kapcsolatot feez k techka: számszerű adatokat, súlokat s tartalmaz b. alkalmazott gráf szert: esemé oretált: ha a gráf potaak az eseméek ábrát feleltetk meg (CPM,PERT) tevékeség oretált: ha a gráf potaak a tevékeségek ábrát feleltetk meg (MPM) c. meghatározottság szert: determsztkus: ha adatfatákkét egetle határozott-determált adatot redelek a tevékeséghez (CPM,MPM) sztochasztkus: az adatokál a véletle hatását s számításba veszk (PERT). Terütemháló defícóa: az ráított gráfak 1 db kezdő és 1 db végpota va. Nem tartalmaz ráított kört. A kezdőpotból mde eges esemé elérhető. Bármel közbülső pottól a végpotg el lehet ut. Ncs párhuzamos él.
6.Krtkus út algortmus, dőtartalékok Me a m dő amkorra befeeződk a terv? Krtkus út: s kezdőpotból a t végpotba a leghosszabb út. A legkorább kezdés p, a legkésőbb befeezés q, ha p q akkor krtkus esemé, az ezeket összekötő út az ú krtkus út, ahol cs dőtartalék. A krtkus úthoz tartozó tevékeségeket krtkus tevékeségekek evezzük. Az eges tevékeségek legkorább kezdés dőpotáak meghatározása: az eges eseméekhez, a gráf potahoz redelhető mmáls számérték, p elöle az eges eseméekhez tartozó mmáls értéket, a belőle duló tevékeségek legkorább kezdés dőpotát, t x elöle az x és eseméeket összekötő tevékeség dőtartamát. Algortmus: L 0 p 1 0 S 1 T=V-S L 1 H ( x, ) x S, T, cs ola T amelre (, ) E azo éleket tektük, amelek végpotába csak S-ből vezet út L 2 ( x, ) H -ra kszámoluk p p t L 3 p max p, x x ahol p maxmáls L 4 p végleges L 5 ha T=0 kész, egébkét L 1 -től foltatuk. S S T T Legkésőbb befeezés meghatározása: az eges eseméekhez, a gráf potahoz redelhető maxmáls számérték, mde eges tevékeséget ekkorra be kell feez, hog a proekt e borulo. q elöle az eges eseméekhez tartozó maxmáls értéket, az odavezető tevékeségek legkésőbb befeezés dőpotát. A gráf duálsát vesszük, az éleket megfordítuk ugaazzal a számmal. Az algortmus sorá vsszafelé haladuk a gráfo. Algortmus L 0 q p S T=V-S L 1 H ( x, ) x S, T, cs ola T amelre (, ) E L 2 ( x, ) kszámoluk q qx t x L 3 q m q, T T ahol q maxmáls L 4 q végleges L 5 ha T=0 kész, egébkét L 1 -től foltatuk. H -ra S S Maxmáls (teles) tartalékdő: m =q p t evel később kezdhető meg a t tevékeség az -edk esemé legkorább megvalósulása utá, hog a -edk esemé legkésőbb megvalósítás határdeét még bztosítsa. Szabad (saát) tartalékdő: s =p p t evel később kezdhető meg a t tevékeség az -edk esemé legkorább megvalósulása utá, hog a -edk esemé legkorább megvalósulását e késleltesse. Bztos (mmáls) tartalékdő: b =p q t evel később kezdhető meg a t tevékeség az -edk esemé legkésőbb megvalósítás határdee utá, hog a -edk esemé legkorább megvalósítását bztosítsa.
Feltételes dőtartalék: f =q q t evel később kezdhető meg a t tevékeség az - edk esemé legkésőbb megvalósítása utá, hog a -edk esemé legkésőbb megvalósítását bztosítsa.
7.Leárs programozás feladat l. prog. feladat az alább alakba a x... a x b 11 1 1 1... P : prmál( alakú) feladat a x... a x b m1 1 m m x 0... x 0 változók emegatvzása 1 ( c x... c x ) max célfg. max malzálása 1 1
8.Dualtás problémaköre, dualtás tétel Prmál feladat Duál feladat ' A x b A: m A c A : m m x 0 b R 0 c R ' ' m c x max c, x R b m b, R tétel:a duál feladat duála maga a kduló prmál feladat bz.: ' ' ' ' ' c x c x c x A x b A' c A' c A' x b A x b x 0 0 0 x 0 x 0 max b m b max m max duál képzés azoos átalakítás duál képzés azoos átalak. Dualtás tétel: Ha eg prmál-duál feladat pár egkéek létezk megegedett megoldása és véges optmuma, akkor ugaez feáll a máskra s, és a két feladat optmum értéke egelő. Általáos prmál-duál megfeleltetés szabál: Ha a prmál feladatba eg feltétel egelőség alakú, akkor a megfelelő változó a duál feladatba cs em egatvtással korlátozva, lletve ha a prmál feladat eg változóa cs em egavttással korlátozva, akkor a duál feladat megfelelő feltétele egelőség alakú.
9.Játékelmélet modellek, Neuma tétel Neuma Jáos pókerez szeretett, és kezdettõl fogva érdekelte, hog ha már az osztást befolásol em tuduk mkét blöffölük. A probléma felírásához ma szemmel ézve kézefekvõ módo a matematkát haszálta, fõ érdeme azoba az elméletek a átékoko messze túlmeõ általáosítása volt. A mmax tételt bzoító elsõ publkácóába a már a apakba s haszált ormáls alakot (ormal form) haszála a átékok leírására (Neuma [1928]). Kétszeméles zéróösszegű áték: lege az I. átékosak m db, a II. átékosak db lehetséges stratégáa; az eges stratégapárok választása eseté a áték eredméét a kfzetés mátrx tartalmazza; az I.ek célszerű azt az stratégát választaa amelre a m a 1max k m 1 k maxmum megvalósul; a II.ek célszerű azt a stratégát választaa, amelre a m max a k mmum megvalósul; Ezek között mdg feáll a egelőtleség; 1 k 1 m Ha a egelőséggel telesül akkor (,k) stratégapár íg törtét megválasztása mdkét átékos számára elfogadható lesz; ekkor ez esetbe az (,k) stratégapárt optmálsak, az egmással egelő és számokat a áték tszta értékéek evezzük. sormmumok maxmuma, oszlopmaxmumok mmuma,, kfzetés mátrx a a... a 11 12 1 a a... a 21 22 2 a a... a m1 m2 m Ha eg kfzetés mátrx eseté -ba em áll egelőség, más elv szert kell a átékosokak stratégát választauk. Az ú elv a stratégák véletleszerű választása, másképp fogalmazva a stratégák keverése. Eze azt értük, hog az I.es az 1,2, m stratégák közül eg az x1, x2... x m valószíűségekkel leírt dszkrét valószíűség eloszlás szert választ eget véletleszerűe, azaz valóába a dszkrét valószíűség eloszlások m m x x R, x 1, x 0, 1... m halmazából választ eg elemet. A II.es pedg az 1 1,2, stratégák közül, eg az 1, 2... valószíűségekkel leírt dszkrét valószíűség eloszlás szert választ eget véletleszerűe, azaz valóába a dszkrét eloszlások R, 1, 0, k 1... halmazából választ eg elemet! Ez felolda ezt az k 1 aomálát. k k Mt állít a kétszeméles zéróösszegű átékról Neuma Jáos tétele? m max m. x 1 k 1 a x k k m m max. x 1 k 1 a x ahol és lásd előző kérdés. Tetszőleges k k valós számokból álló kfzetés mátrx eseté az előbb relácó mdg egelőséggel érvées!