eljes mozgás helye csak a nulladik módussal számolni: még azonos ömegek eseén is öbb min 98% súllyal a nulladik módus gerjed. Nem ez a helyze a b) kezdei feléelnél, amikor már m 0,1M melle is öbb min 3%, m 0,3M eseén pedig már közel 10% a felharmonikusok súlya. Annak, hogy egy ado ömegarány melle a b) eseben nagyobb súllyal gerjednek a felharmonikusok, min az a)-ban, igen szemlélees oka an: az a) kezdei feléel hasonlí a nulladik módusra, míg a b) nem. A nulladik módushoz arozó elmozdulás közelí az egyenleesen nöekôhöz, így az a) eseben a magasabb módusoknak csak azér kell megjelenniük, hogy a keô közöi kis elérés kompenzálják. Ugyanakkor az alapmódushoz egy közel egyenleesen nöekô sebességeloszlás arozik, így a b) eseben a felharmonikusoknak olyan súllyal kell gerjedniük, hogy az alapmódus sebességé a égpon kiéeléel mindenü nullára egészísék ki. Ha i is lenne egy x/l sebességeloszlás a rugó menén, az a) esehez hasonlóan nagy súllyal gerjedne a nulladik módus. Összefoglalandó az eddigieke Elmondhajuk: az egyik égén rögzíe, ökéleesen rugalmas, de éges ömegû rugóból és egy hozzá erôsíe esbôl álló rendszer mozgásá egy egy-dimenziós rugalmas közeg problémájakén árgyaluk. A rugó modellezô rugalmas közeg mozgásá egy szokásos hullámegyenle írja le, amelyhez az egyik ég rögzíése, illee a másik éghez csalakozó es mozgásá leíró Newon egyenle peremfeléelkén jelenik meg. Meghaározuk a rendszer normál módusai és az a szabály, amellyel ezek a kezdei feléelekhez illeszheôk. Ké egyszerû, de lényegesen különbözô kezdei feléel jelenô feladaban az alapharmonikus és a felharmonikusok iszonyá részleesen elemezük. A mozgások leírása azzal le olna eljes, ha a normál módusoka felösszegezzük. Ez az összegzés numerikusan bármikor, de analiikusan, zár alakban csak exrém kis rugóömeg haáreseben égezheô el. Szerencsére a rugó és a es mozgásának részleei más módon is felderíheôk. Ez lesz munkánk második részének árgya. EGY REMÉNYTELENNEK TÛNÔ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN Tél András, BME, Mecharonika alapszak, III. éfolyam Tél Tamás, ELTE, Elmélei Fizikai Tanszék A modern mûszaki problémákban, így például a robook erezésekor gyakran lépnek fel irányíási, ezérlési feladaok. Ezek közül különösen érdekesek azok, amelyek során egy eredendôen insabil állapoba kell eljuani a rendszer. Az alábbiakban bemuaunk egy elsô láásra reményelennek ûnô mechanikai feladao, amelynek megoldásához a modern fizika mára már klasszikussá ál eredményei adnak segísége. A ezérlési felada Tekinsünk egy egyenes menén harmonikus rezgômozgás égzô m ömegû ese, amelynek rugóállandója egy elôír D() függény szerin álozik idôben. Az x( ) kiérés-idô függény meghaározó mozgásegyenle [1] csak a kiérésôl függ, hanem az idôfüggô rugóállandó pillananyi érékéôl is. 1 Az (1) egyenle jobb oldala explicien is függ az idôôl, a differenciálegyenle nem auonóm, agyis a mozgás folyaásá nem csak a es pillananyi helyzee és sebessége haározza meg, hanem egy külsô haás is. Az egyenle olyan ípusú, min a gerjesze rezgéseke leíró egyenleek [1], csak az idôfüggés nem egy külsô erôben, hanem a rugóállandóban jelenik meg. A mechanikai összenergia a súrlódás hiányában sem állandó, hiszen a rugóállandó idôbeli álozása mia a rendszer energiá nyerhe agy eszíhe. Tegyük föl ráadásul, hogy a rugóállandó idôben monoon módon csökken, egy idô uán elôjele ál, s aól kezde égig negaí marad. Az egyszerûség kedéér egységnyi ömege ekine, s alkalmasan megálaszo idôegysége használa, ez kifejezhejük úgy is, hogy a mozgásegyenlee az mẍ() = D() x(), (1) ẍ() = d k() x() () ahol a pon az idô szerini deriálás jelöli. Az ennek az egyenlenek elege eô rendszer manapság érzékelôk (szenzorok) és beaakozó egységek (akuáorok) segíségéel könnyen megépíheô, bármilyen is a D( ) függény. A rugóra haó erô mos ehá nem alakba írjuk. I d > 0 a nulla pillanahoz arozó kezdei rugóállandó, és k () az idôbeli álozás leíró 1 A rugóállandó szóhasznála annyiban jogos, hogy D() oábbra is függelen a kiérésôl. TÉL ANDRÁS, TÉL TAMÁS: EGY REMÉNYTELENNEK TŰNŐ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN 409
A d k ( ) = Aanh ( ) Numerikus eredmények A speciális d érékek megalálásához álalában csak numerikus módszerekkel juhaunk. Rögzísük ezér elôször a kezdôfeléel oly módon, hogy a mozgás mindig egységnyi kiéréssel indul, kezdôsebesség nélkül: k 0 0 c 1. ábra. A konkré példakén álaszo k() rugófüggény alakja. A kriikus c = anh 1 (d/a) 1/ éréknél a rugófüggény éréke megegyezik a kezdei rugóállandóal, az eredô rugóállandó i zérus, ennél nagyobb idôkre negaí. A rugó ehá > c -re aszíóá álik. rugófüggény, amely nulláról indul és monoon módon ar a d-nél nagyobb A érékhez. Konkréan álasszuk a k () rugófüggény k() =A anh = A sinh cosh (3) alakúnak, amely egy egyszerû, folyonos áálás ír le 0ésA > d közö. A rugófüggény alakjá és a d kezdei érékhez aló iszonyá az 1. ábra muaja. A () egyenlehez arozó ezérlési probléma a köekezô: éges kezdei kiéréssel indía, ado A melle, elérheô-e d alkalmas megálaszásáal, hogy a es hosszú idô uán megálljon? Miel a kezdei rugóállandó az A nagyságú inerallumban álozha, ez az inerallumo az operációs arománynak neezzük. Egy ezérlési felada során az A éréke rögzíjük. A megoldás azér ûnik elsô ránézésre reményelennek, mer az eredô rugóállandó egy idô uán ( > c -re) negaí, a rugó aszíó, s a aszíó rugók álalános ulajdonsága, hogy egyre áolabbra juaják a ese, amely formálisan ehá kifu a égelenbe. A ezérlés leheôségében azonban mégis reménykedheünk, ha egy speciális feléel eljesül. Ha a c pillanaban a es nem áolodik az origóól, hanem közeledik hozzá, méghozzá elegendôen nagy sebeséggel, akkor elôfordulha, hogy eheelensége mia ez a közeledés megarja, s ámbár az eredô rugóállandó abszolúéréke nô, az eredô erô nagysága,. ábra. A numerikusan meghaározo kiérés-idô függény különbözô d kezdei rugóállandókkal. Az egyes görbék melle a hozzájuk arozó d éréke üneük fel. A d = 55 éréknél megalósul a ezérlés: a es megáll az origóban. A kis fekee négyzeek a c pillanaoka jelölik, amelyek egyben az x() görbe inflexiós ponjai, hiszen i ẍ =0.Ad = 55,5 és 55 érékekre c =3,05, illee,70. 1 x(0) = 1, ẋ(0) = (0) = 0. 55,5 55,01 (4) Az, hogy a kezdei kiérés egységnyi, nem jelen megszoríás, mer a hosszegység szabadon álaszhaó (más szóal, az a áolságo ekinjük hosszegységnek, amelybôl a es indul). A ezérlés ezek uán egyelen mennyiség, a d kezdei rugóállandó megálaszásáal égezheô el. A mozgás numerikus inegrálásához a Newon-egyenle szimulálására jól beál negyedrendû RungeKua-módszer [] álaszouk, rögzíe h lépésközzel. A negyedrendû jelzô arra ual, hogy egy ierációs lépés h 4 érékig ponos (a hiba nagyságrendje h 5 ). Ez elegendô ponosságo bizosí, iszonylag röid fuási idôkkel, a h = 0,01 álaszással. Miel nagyobb d érékek melle a kriikus c idô nagyobb, a es hosszabb ideig rezeg, érdemes az A -hoz közeli d érékek izsgálaáal kezdeni. Az A = 56, 55 < d < 56 álaszás melle a kriikus pillanahoz körülbelül másfél rezgés uán érünk el (a frekencia közben lassan csökken, hiszen a [d k()] rugóállandó is csökken). Ekkor d < 55,5-re, a kiérés negaí, a sebesség pozií, de annyira nagy, hogy a es a negaí rugóerô ellenére jelenôs sebességgel halad á az origón, s aól kezde gyorsula fu a égelenbe (. ábra). A d = 55 érék felé közelede ez a kifuás egyre lassul. d = 55,0001 melle az x () függény már közelí a -engelyhez, de kis szög ala ámeszi. A d = 55 érékre a görbe numerikus ponossággal belesimul a -engelybe, amin a. ábrán is láhajuk. Ekkor ehá sikeres a ezérlés! Az, hogy az k() d x() csökkenhe, ha x () elegendôen kicsi és megfelelô üemben csökken. Így ehá egészen kiéeles eseekben, bizonyos d érékek melle, leheséges az, hogy a es hosszú idô uán az origóhoz arson, megálljon. x 0 1 55,0001 54,9999 55 A ezérlés olyan beaakozási forma, amelyben a beáplál ada uán a rendszernek szemben a szabályozással nincs isszahaása önmagára. 54,99 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 410 FIZIKAI SZEMLE 010 / 1
ilyen d érékek mennyire kiéelesek, jól lászik abból is, hogy d = 54,9999 és d = 54,99-ra a kiérés a negaí égelenbe ar. A c éréknél fellépô sebesség ekkor már nem elég ahhoz, hogy a es a negaí irányból eljusson az origóig, s miuán az megközelíe isszafordul, a aszíó rugó egyre messzebbre áolíja. 0 = sx sabil sokaság insabil sokaság = sx Az insabil állapo izsgálaa, a fázisér Ez a apaszala jól muaja, hogy az origó erôsen insabil állapo. Vizsgálaára érdemes használni a dinamikai rendszerek módszeranából ismer eszközöke [3]. Tekinsük elôszöris a () mozgásegyenle hosszú idô eleléel érényes alakjá. Miel -re k()aza konsans érékhez ar, az egyenle jobb oldalán (A d)x áll. Miel A > d, a zárójel pozií, érdemes ez s -kén jelölni: s = A d. (5) Az s mennyiség a aszíási paraméer. A mozgásegyenle ezzel a röidíe jelöléssel ẍ = s x (6) alakú, és egy idôben konsans állandójú aszíó rugó haásá írja le. Hosszú idô eleléel a kiérés álalában nagy. A sikeres ezérléshez közeli eseekben azonban a (6) egyenle érényes x << 1 eseén is. Tegyük fel, hogy ilyen eseel an dolgunk, s indísuk újra az idôszámíás akkor, amikor a es már egy kis x 0 koordináájú és kis 0 sebességû állapoba kerül. Célunk ezzel annak megérése, hogy milyen a mozgás az origó környékén. Vegyük észre, hogy a (6) egyenle auonóm, ráadásul (éppen ezér) megoldhaó analiikusan. Min minden lineáris, állandó együhaós, homogén differenciálegyenlenek, megoldása keresheô exponenciális alakban. Az x = exp(λ) feleéssel a λ = ±s megszoríásra juunk, agyis a λ kieô csak a aszíási paraméer, s, agy annak elleneje, s lehe. Az álalános megoldás ezen alapmegoldások lineáris kombinációja. Könnyen ellenôrizheô, hogy a (6) egyenle x (0) = x 0, (0) = 0 kezdôfeléel kielégíô megoldása x() = sx 0 0 s e s sx 0 0 s e s (7) alakú. A megoldás ehá ké exponenciális összege, amelyek közül egy idô uán a pozií kieôjû, exp(s) ag álik dominánssá. Ez írja le a égelenhez arás. Mindez azonban csak akkor igaz, ha az sx 0 + 0 együhaó nem nulla. Bizonyos kezdôfeléelekre azonban fennállha, hogy sx 0 + 0 = 0, s ekkor x() =x 0 e s. (8) Ilyenkor ehá a es egyre csökkenô sebességgel az origóhoz ar. Ennek az esenek kell ehá megalósulnia sikeres ezérlés eseén. 0 x 3. ábra. Az origó (nyeregpon) és környezee a fázisérben, a jellegzees kereszalakza. A mozgás a onalakon a nyilakkal jelöl irányba örénik. Az origóba bejuni csak a sabil sokaság menén lehe. Az origó körüli iselkedésrôl áekinô képe a fázisérben kaphaunk, ahol a = ẋ sebessége ábrázoljuk az x kiérés függényében. Feni eredményünk az muaja, hogy a = (9) egyenes menén elhelyezkedô ponok éppen eljunak az origóba, ha x << 1. Vagyis, ha jól meghaározo sebeséggel lökjük az insabil állapo felé a ese, akkor az megáll. A nulla sebesség elérése elileg égelen hosszú ideig ar, de gyakorlailag az 1/s idô néhányszorosa uán a es már nagyon jó közelíéssel megközelíi a nyugalmi állapoo. Az egyenesen kíüli kezdôfeléelek mind a égelenbe ezenek. A = sx egyenes menén leô ponoknak megan az a sajáos ulajdonsága, hogy eseükben sx 0 0 = 0, és ôk egyelen exponenciálisan nöekô függény szerin áolodnak, x () =x 0 e s. A fázisér = sx egyenese a feniek szerin az a speciális mozgás írja le, amely az origóba örénô eljuásnak felel meg. Ez a görbé ezér az origó sabil görbéjének, a dinamikai rendszerek szóhasználaáal sabil sokaságának [3] híjuk. A = sx egyenes, amelynek menén az eláolodás a leggyorsabb, az origó insabil sokasága. A 3. ábrán is láhaó, hogy a fázissíko a sabil és insabil sokaságok négy síknegyedre oszják. Álalában is igaz [3], hogy a mechanikában elôforduló minden auonóm rendszer insabil állapoa ilyen ípusú. A kereszalakza megjelenése az fejezi ki, hogy az insabiliás sohasem ökélees. A fázisér egy elhanyagolhaóan csekély mérékû arományából (a eljes sík egy onalából) mindig el lehe juni az insabil állapoba. (A hegyére állío ceruza állapoá insabilnak mondjuk, pedig kezdei kiéríés eseén o is alálhaunk egy megfelelô kezdôsebessége, amellyel meglöke az éppen megáll a függôleges helyzeben.) Az insabil állapook ehá mindig nyeregponok a fázisérben, olyan ponok, amelyekhez arozik sabil és insabil sokaság. 3 3 A sabil sokaságra szoríkoza az origó sabilnak muakozik, a eljes fázissíkon azonban insabil. sx TÉL ANDRÁS, TÉL TAMÁS: EGY REMÉNYTELENNEK TŰNŐ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN 411
8 4 (Az is mondhajuk, hogy az igazi fázisér 3 dimenziós, amelye x, és a rugóállandóban megjelenô idô feszí ki, s mi az igazi, önmagá nem meszô sokaságnak az (x,) síkra e eüleé lájuk.) A rugóállandó-spekrum 0 4 8 1 0 1 x 4. ábra. A d =50ésad =50±10 4 érékekhez arozó megoldások képe a fázisérben. Ezek jó közelíéssel kirajzolják az origóba aró sabil sokaságo, de miel d = 50+10 4 melle a megoldás hosszú idô uán a pozií, d =50 10 4 -re iszon a negaí égelenbe ar, az insabil sokaság egy darabja is jól láhaóá álik. Ponozo onallal berajzoluk a = ±sx egyeneseke is, amelyek a sokaságok origó körül érényes alakjai adják meg. A = sx insabil ágól a numerikus megoldás nem különbözeheô meg, hiszen hosszú idô uán a (6) egyenle nagy x-ekre is érényes. A = sx görbe iszon alóban csak az origó környékén érini a szimulálással kapo sabil sokaságo. Számunkra a sabil sokaság bír különös jelenôséggel, hiszen a ezérlés csak ezen görbe menén lehe sikeres. Örülheünk annak, hogy alakjá a (9) összefüggés szerin egzakul ismerjük, de ez csak akkor igaz, ha a es már közel kerül az origóhoz. Mi mondhaunk az origóól áol esô ponok ezérlési esélyérôl? A folyonosság mia feléelezhejük, hogy az origó sabil sokasága a eljes () egyenle fáziserében is léezik. Ha ehá nem köjük magunka a >> 1 feléelhez, az eredei nem auonóm egyenle fáziserében is alálunk egy olyan görbé, amely hosszú idô uán befu a (9) egyenesbe, s azon kereszül az origóba. Ez a sabil sokaságo numerikusan kell megkeresni, s a kérdés az, hogy a (4) kezdôfeléel ado d melle ráesik-e az origó sabil sokaságára. Azon d érékek, amelyekre ez eljesül, a ezérlés bizosíó d érékek. A 4. ábra muaja, hogy d = 55 eseén az (1,0) pon alóban raja an az origóba ezeô sabil sokaságon. Auonóm rendszerekben a sabil sokaság nem meszhei önmagá. Miel azonban rendszerünk nem auonóm, öbb meszéspono is megfigyelheünk. 5. ábra. A d = 7 (a), 31 (b) és 47 (c) ezérlés bizosíó érékekhez arozó megoldások képe a fázisérben. Alauk a megfelelô x() függény láhaó. A ké ábrázolás közöi kapcsola bemuaására a kiérés-idô függény elforgauk, hogy a ké x engely párhuzamos legyen. A kriikus idôk rendre c = 0,37, 0,96 és 1,56. Ponozo onallal a fáziséren berajzoluk a = ±sx egyeneseke is. 8 8 8 a) b) c) 4 4 4 0 4 8 1 0 1 x 0 1 3 4 5 Vizsgáljuk ezek uán, léezik-e még másik, ezérlésre alkalmas d érék A = 56 melle. Ez numerikusan úgy ehejük meg, hogy programo írunk, amely az összes d éréke megizsgálja Δd = 0,01 lépésenkén a 0 < d < A operációs arományban. Minden egyes d -hez numerikusan meghaározza az x () függény, s rögzíi annak éréké egy késô idôponban (például = 30-ban). A program, amely a LabView grafikus programnyelen íródo [4], újabb és újabb d érékeke esz mindaddig, amíg az nem érzékeli, hogy a késôbbi idôponban fele x érék elôjele különbözik az elôzô d-hez arozó elôjeléôl. Ekkor megáll és kiírja az uolsó d éréke, amelynek környékén léeznie kell egy ezérlés megalósíó éréknek, hiszen i simul hozzá az x () függény a -engelyhez (agyis ugyanaz zajlik le, min a. ábrán, csak más d -re). Ezzel a módszerrel összesen még három ezérlésre alkalmas d éréke alálunk, amelyek 7, 31, és 47. A kiérés-idô függény ezekre rendre negyed, háromnegyed és önegyed rezgés uán ar az origóba. A fázisérbeli képen ennek megfelelôen az origó elérése elôi rajzola egyre bonyolulabb, és egyre öbb meszéspon figyelheô meg (5. ábra). Vegyük észre, hogy az alacsonyabb d érékekre az origó egyre insabilabb, az (5) aszíási paraméerre rendre a 7, 5 és 3 érékeke kapjuk. Ennek megfelelôen a nyeregponra jellemzô kereszalakza egyre meredekebb a fázissíkon. Az A = 56 paraméer eseén ehá összesen négy ezérlés bizosíó kezdei rugóállandó éréke alálunk a (4) kezdôfeléellel. Az ilyen ípusú feladaok a 0 4 8 1 0 1 x 0 1 3 4 5 0 4 8 1 0 1 x 0 1 3 4 5 41 FIZIKAI SZEMLE 010 / 1
1. ábláza A rugóállandó-spekrum különbözô A-kra A λ d n n max 1 4 3, 11 1 30 6 5, 1, 9 56 8 7, 31, 47, 55 3 sajáérék-problémák körébe aroznak: megoldások csak bizonyos diszkré d n = d 0, d 1,, d nmax érékek melle alálhaók. Az A paraméer más érékei melle is ugyanez a jellege lájuk. A apaszala az, hogy A nöeléséel nô a sajáérékek száma. Az 1. áblázaban összefoglaljuk néhány jellegzees A paraméer melle a alál d n sajáérékeke, a rugóállandó-spekrumoka. A áblázaból öbb érdekes szabályosság olashaó ki. Ado A melle az (n +1)-edik és az n -edik sajáérék különbsége például 8 egész számú öbbszöröse. Egyszerû összefüggésre juunk, ha észreesszük, hogy a izsgál A érékek ké egymás uáni egész szám szorzaakén írhaók, A = λ (λ 1), (10) ahol λ > 1. Az ado λ-hoz arozó elsô sajáérék mindig λ 1, és d n+1 d n =4λ 8(n +1). Ezek uán könynyen felismerheô az álalános szabály: d n = λ (λ 1) (λ n 1), (11) amely n = 0-ól a maximális n max =[(λ 1)/] érékig érényes, ahol a szöglees zárójel az egész rész jelöli. A d n sajáérékhez arozó (5) aszíási paraméer: s n = λ n 1, amibôl lászik, hogy minél kisebb n, annál insabilabb a probléma. Miel minden pozií szám írhaó a (10) alakban, érheô és numerikusan is ellenôrizheô, hogy a (11) rugóállandó-spekrum eszôleges alós λ-ra is érényes. Mi a kapcsola a modern fizikáal? Térjünk mos á egy másik kérdéskörre, a kanummechanikai energiasajáérék-problémára (a figyelmes Olasó bizonyára már amúgyis észreee a ké felada hasonlóságá). Min ismer, az egydimenziós, sima V(x) poenciálban mozgó m ömegû részecske E energiájá a m ψ (x) = E V(x) ψ(x) (1) sacionárius Schrödinger-egyenle haározza meg [57], ahol a Planck-állandó és a esszô az x helykoordináa szerini deriálás jelöli. A ψ(x) hullámfüggénynek folyonosan differenciálhaónak kell lennie, és köö állapoban nagy áolságokban nullához kell arania. Ez az egyenle mikroszkopikus részecskékre onakozik, és idôôl függelen. Hogyan eheô össze a () makroszkopikus ezérlési problémáal, amely a klasszikus fizika Newon-egyenlee? Az ilyen áolesô problémák közöi leheséges kapcsola felderíésében nélkülözheelen segíség az egyenleek dimenziólaníása [3]. A módszer nagyon egyszerû, és sok más eseben (például egyenleek numerikus megoldásra alkalmas alakjának megalálásában) is hasznos. Az alapgondola az, hogy minden problémának megan a sajá jellegzees hosszúságagy idôskálája. A Schrödinger-egyenle eseén ilyen jellegzees skála lehe a poenciál jellemzô méree, például félszélessége. Tekinsük áolságegységnek ez az a mikroszkopikus hossza az SI-rendszer méer (agy nanoméer) egysége helye. Ez formálisan az jeleni, hogy elégezzük az x axranszformáció. Az új x álozó a dimenziólan helykoordináa, amely megadja, hogy a áolság hányszorosa a a hosszegységnek. A bonyolul jelölésálás elkerülése érdekében jelöljük V (x ), ψ(x)-szel a poenciál- és a hullámfüggény dimenziólan helykoordinááal kifejeze alakjá is. Ha ennek szellemében esszôel kíánjuk jelölni a dimenziólan x szerini deriála is, akkor figyelembe kell enni, hogy minden egyes eredei x szerini deriálás egy a -al aló oszás hoz be. Miel készeres deriálásról an szó, a dimenziólan helyálozóban érényes Schrödinger-egyenle ψ (x) = E V(x) ψ(x). ma (13) Mos mindké oldal energia mérékegységû. A bal oldalon álló E = /(ma ) konsans ekinheô a probléma jellegzees energiaérékének. Ha a jobb oldalon leô energiá és poenciál ebben az E egységben mérjük, akkor helyeük az e = E /E, (x) = V (x )/E dimenziólan energia- és dimenziólan poenciálfüggény jelenik meg, és a ψ (x) = e (x) ψ(x) (14) egyenlere juunk. Az aomi méreekre jellemzô a = 10 10 m-rel, m =9 10 31 kg elekronömeggel és a = 10 34 Js Planck-állandóal számola az energiaegység E =510 19 J 3 ev, ami alóban aomi köésekre jellemzô energiaérék. Az E összenergia ennek néhányszorosa, így a dimenziólan egyenle már nem függ az eredei skálákól, nem marad benne semmilyen mikroszkopikus paraméer. Ezen a ponon felismerhejük, hogy a (14) dimenziólan Schrödinger-egyenle a már eddig is izsgál () egyenlehez hasonló, sô alakjuk az x csere uán eljesen megegyezik! Érdemes megjegyezni, hogy a ezérlés dimenziós (1) egyenleé, amelye a D()= D K() felbonással az mẍ() = D K() x() (15) alakban írhaunk, hasonló eljárással hozhajuk a () alakra. A rugóállandó idôbeli álozásának nyilán TÉL ANDRÁS, TÉL TAMÁS: EGY REMÉNYTELENNEK TŰNŐ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN 413
Y( x ) 1 0 1 an egy jellegzees ideje τ, amely lehe például az az idô, amely ala a rugóállandó éréke a felére csökken. Az idô τ egységeiben mére, a D = m/τ rugóállandó-egysége kapjuk, amellyel (15)-bôl ()-re juunk. 4 A dimenziólan egyenleek ekialenciájának felismerése uán ermészeesen izsgálnunk kell a kezdei és peremfeléeleke is. A ezérlés feléelekén megköeel x( ) = 0 megköés eljesen megfelel a hullámfüggény normálhaóságáal kapcsolaos ψ( x )= 0 peremfeléelnek. A ezérlési probléma kezdôfeléelének kanummechanikai megfeleleése öbb figyelme igényel. A Schrödinger-egyenle a eljes V(x) poenciál izsgálja, s nem szoríkozik annak csak a pozií (x > 0) koordináákhoz arozó felére. Páros poenciálfüggények, azaz V (x )=V ( x) eseén, a szimmeria mia udjuk, hogy léezniük kell páros hullámfüggényeknek, s ezek a függények az origóban ízszines érinôjûek. Ôk, az x csere érelmében ponosan megfelelnek a (4) mechanikai kezdôfeléelnek. A páros sajáfüggényekhez a eljes e n energiaspekrum páros n indexû érékei rendelheôk. A páralan indexû energiaérékek az origóban elûnô ponszimmerikus hullámfüggényekhez aroznak. 5 A ké probléma közöi megfeleleés ehá az, hogy ha azonos alakú a dimenziólan k () és (x) függény, azaz, ha k( )= (x=) ésha (x ) páros, akkor a dimenziólan spekrumok megfelelnek egymásnak; a (4) kezdôfeléelhez arozó ezérlési probléma dimenziólan spekruma a d n = e n szabály szerin kaphaó meg az e n dimenziólan kanummechanikai spekrumból. A példakén használ (3) függénycsalád a kanummechanikában a (x) =λ (λ 1) 1 1 cosh x 6 4 x c 0 x c 4 6 x 6. ábra. A. ábra d = 55 érékhez arozó x() függénye páros kierjeszéséel kapo ψ(x) függény. Ez a (x) = 56 anh x poenciálhoz (felsô görbe) arozó Schrödinger-egyenle heedik sajáfüggénye (n = 6), amely az e 6 = d 3 = 55 sajáérékhez arozik. Az x c = c kriikus áolságo is felüneük. Ez a klasszikus fordulópon, amelyen úl a hullámfüggény már sohasem hullámzik. (16) dimenziólan poenciálnak felel meg, az úgyneeze RosenMorse-poenciálnak [7, 8]. 6 Még egyszerûbb példá kapunk a parabolikus k() = rugófüggény, (x) =x dimenziólan poenciál eseén, amely a V (x) = 1/m ω x harmonikus oszcilláor problémának felel meg az E = ω/, a = /(m ω) egységálaszással. A rugóállandó-spekrum e 6 =55. ábláza A ezérlési és a kanummechanikai felada megfeleleése Newon-egyenle Schrödinger-egyenle karakeriszikus idô τ kiérés függény x() rugófüggény K() dimenziólan idô rugóállandó egység D az operációs inerallum hossza A rugóállandó-spekrum d n = D n /D sikeres ezérlés karakeriszikus áolság a hullámfüggény ψ(x) poenciálfüggény V(x) dimenziólan áolság x energiaegység E a (x) poenciálgödör mélysége A 60 30 0 30 60 energiaspekrum e n = E n /E sajáállapo megalálása az ismer [5, 6] lineáris E n = ω(n +1/), e n =n+1 spekrumból köekezôen d n =4n+1 alakú. 7 Sajnos, az egzakul megoldhaó kanummechanikai problémák száma csekély [6, 7], ezér csak nagyon rikán számíhaunk arra, hogy a d n spekrum kifejezheô egyszerû képleel. A ázol numerikus eljárás azonban mindig célhoz eze. Feleheô az a kérdés is, hogy milyen kanummechanikai feladao oldunk meg a k () függény megálaszásáal. Miel az idô pozií, a poenciálnak pedig negaí x koordináákra is érelmezenek kell lennie, az mondhajuk, hogy (x )=k(=x ), negaí x -ekre pedig (x) = ( x ). Vagyis, a (4) kezdôfeléelnek elege eô ezérlési felada a k ()-nak megfelelô poenciál páros kierjeszésé aralmazó energiasajáérék-problémának felel meg, és abban is a páros sajáérékeke adja meg d n. Így a d n -hez arozó ezérel x () kiérés-idô függény páros kierjeszése a x helyeesíés uán a (x ) poenciál n-edik sajáállapoához arozó hullámfüggény adja meg (6. ábra). x ( ) 4 Makroszkopikus m = 1 kg, τ = 1 s adaokkal D = 1 kg/s = 1 N/m. 5 Ezeke az x(0)=0,(0) = 1 kezdôfeléellel kaphanánk meg a ezérlési problémában, de ezzel a kezdôfeléel-családdal a erjedelmi korláok mia nem foglalkozunk. 6 Ennek dimenziólan energiaspekruma egzakul ismer az e n = λ(λ 1) (λ n 1) alakban, 0 n (λ 1). 7 Ha k() =λ, (x) =λ x, ahol λ > 0 eszôleges szám, akkor az E = ω/(λ), a = λ/(mω) álaszással az e n =(n+1)λ dimenziólan spekrumra juunk, amelybôl d n =(4n +1)λ. Ugyanez köekezik (11)-bôl is a nagy λ haáreseben, éges n-ekre. Ennek oka az, hogy a (3) rugófüggény parabolikusan indul: k() =λ(λ 1),és nagy λ-ra λ(λ 1) λ. 414 FIZIKAI SZEMLE 010 / 1
3 1 0 1 3 0 1 1 0 x 1 7. ábra. Sikeres ezérlés 0 = 1 kezdôfeléel melle a d 0 = 9,56 paraméerrel. A fázisérbeli kép ala a kiérés-idô függény láhaó. Szaggao onallal a 0 =0,d 0 = 7 ese görbéi is berajzoluk az öszszehasonlíhaóság érdekében, s kisebb arományban, min az 5.a ábrán. A c kriikus idô megfelelôje az x c kriikus áolság. Ez az a helykoordináa, ahol az összenergia megegyezik a poenciális energiáal, agyis, ahol a klasszikus fizika örényeinek elege eô részecske isszafordulna. Az, hogy a kanummechanikai feladaban a részecske éges alószínûséggel lehe az x c -nél nagyobb áolságban is, az alagúeffekus jelensége. Éppen ez az a aromány, ahol a ezérlési feladaban a rugóállandó negaí! A ezérlési és a kanummechanikai probléma megfeleleésének legfonosabb gondolaai foglalja össze a. ábláza. A ezérlési felada álalánosabb, min a kanummechanikai felada Vizsgáljuk mos meg, hogyan alakul a ezérlési felada, ha az x(0) = 1 helyzebôl nulláól elérô 0 0 kezdôsebességgel indíjuk a ese. A 0 = 1 érékkel A = 56-ra a numerikus megoldás köee az apaszaljuk, hogy d = 7 körül nem sikeres a ezérlés, de d = 9,56-ra sikeressé álik. Ez szemléleesen is érheô, hiszen, ha a es kezdeben haározoan áolodik az origóól, akkor a kriikus idô (amely függelen 0 -ól) elele uán még iszonylag messze an az origóól, így a aszíó erô d = 7 körül még kiei a pozií égelenbe. Az origó pozií irányból aló lassú elérése csak alamelyik nagyobb d éréknél álik leheôé. A 7. ábrán a kiérés-idô függényen kíül a fázisérbeli rajzolao is láhajuk, amely opológiailag azonos a d =7, 0 =0 3. ábláza Kezdôsebesség-függô rugóállandó sajáérékek A = 56-ra (λ =8) 0 d n ( 0 ) 11,389; 33,063; 48,035; 55,305 1 9,56; 3,087; 47,539; 55,163 0 7,000; 31,000; 47,000; 55,000 1 3,575; 9,851; 46,438; 54,83 ; 8,708; 45,877; 54,637 érékhez arozóal (5.a ábra). Az (1, 0 ) kezdôpon ermészeesen raja an az origó sabil sokaságán, ha d = 9,56. Ez a megfigyelés az sugallja. hogy minden egyes 0 dimenziólan sebességhez arozha egy d n ( 0 ) rugóállandó-spekrum. A numerikus apaszala ez aláámaszja, amin az a 3. ábláza néhány esere bemuaja. Az a szabály olashaó le, hogy pozií kezdôsebességek az eredei sajáérékeke nöelik, a negaíak csökkenik. Különösen érdekes a 0 = ese, amikor nem alálunk sajáéréke a 0 < d < 7 arományban. A kezdôsebesség ekkor olyan nagy negaí szám már, hogy a pozií érékek felôl oszcillálás nélkül az origóba aró megoldás már nem is léezhe. Nagyobb n-ekre a kezdôsebesség haása egyre kisebb, a függények egyre késôbb csengenek le, és rájuk a kezdei meredekség-álozás kisebb haással an. A ezérlési és a kanummechanikai probléma feni összehasonlíása alapján felmerül a kérdés: mondhajuk ezek uán, hogy a 0 0 eseekkel a (x) =k(=x) poenciál újabb kanummechnikai sajáérékeke fedezünk fel? Semmiképpen sem! A ezérlés éges meredekséggel induló x() függényének x engelyre e ükrözéséel kapo páros kierjeszése ugyanis megörik az origóban. Ez nem feleleheô meg kanummechanikai hullámfüggények, hiszen ψ-nek differenciálhaónak kell lennie (különben például nem lenne egyérelmûen érelmezheô rá az impulzusoperáor: a deriálási operáor haása). A leonhaó konklúzió az, hogy a ezérlési probléma bôebb, min a kanummechanikai, 8 mer öbb megoldása léezik, min a kanummechanikainak, hiszen minden 0 érékhez (nem csak 0 = 0-hoz) arozha egy rugóállandó-spekrum. Ennek oka, hogy a klasszikus x() függényre keesebb megszoríás léezik, min a hullámfüggényre. Ugyanakkor azonban a ezérlési probléma minden egyes 0 -nál ugyanolyan (akár analiikus) módszerekkel oldandó meg, min a Schrödinger-egyenle. Annak más oldalról örénô megilágíására, hogy a kanummechanikai probléma megoldása bonyolulabb, öbb megköésnek esz elege, min a mechanikai, érdemes röiden kiérni az álalános, azaz nem 8 Hacsak nem éelezünk fel az origóban még egy 0 -al arányos Dirac-dela poenciál is. Az azonban, hogy az amúgyis mikroszkopikus eredei problémában egy még sokkal kisebb haóáolságú kölcsönhaás is beépísünk, nehezen moiálhaó. TÉL ANDRÁS, TÉL TAMÁS: EGY REMÉNYTELENNEK TŰNŐ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN 415
páros, egyelen minimumú (x ) poenciál eseére. Válasszuk az origó a poenciál minimumának. A pozií és a negaí x érékekhez arozó poenciálból pozií idôkre ké különbözô rugófüggény definiálhaó k 1 ()= (=x>0) és k ()= (= x>0). Miel a hullámfüggénynek mind a pozií, mind a negaí égelenben el kell ûnnie, a megfelelô ezérlési feladaban ké különbözô differenciálegyenlee kell megoldanunk, mindkeô pozií idôkre, s ugyanazzal a d-el: ẍ i () = d k i () x i (), i =1,. (17) A kezdôfeléel az, hogy az 1-es eseben x 1 (0)=1, 1 (0) = 0, a másik eseben iszon x (0) = 1, (0) = 0, ugyanis az x megoldás x-engelyre aló ükrözéséel kapo eljes megoldás: ψ(x>0) = x 1 (=x), ψ(x<0) = x (= x) csak így lehe folyonosan deriálhaó az origóban. Az energiaspekrum megalálása az jeleni, hogy minden egyes éges 0 és d melle égig kell próbálnunk, hogy ezérelheô-e mindké felada egyszerre. Összefoglalás Megmuauk, hogy léezik egy idôfüggô ezérlési felada, amely szoros hasonlóságo mua az egydimenziós kanummechanikai energiasajáérék-problémáal, amennyiben a helykoordináában páros poenciáloka izsgálunk. Még ekkor is, a ezérlési feladanak jóal öbb diszkré megoldása léezik, min a kanummechanikainak, mer a ezérel részecskének lehe kezdôsebessége is. A sikeres ezérlés mindig egy insabil pon (az origó) elérésé jeleni, ami csakis a sabil sokaság menén leheséges. A ezérlés feléele ehá úgy fogalmazhaó meg, hogy a kezdôfeléel essen rá az origó sabil sokaságára. A dinamikai rendszerek szemlélee új megilágíásba helyezi a klasszikus kanummechanikai energiasajáérék-problémá is. Köszönenyiláníás Köszönjük Varga Balázs anár úrnak (Eöös József Gimnázium, Budapes), hogy olyan modern fizikai óráka aro, amelyek alapján a 11-edikes diákban felmerül a kérdés: mi lehe a Schrödinger-egyenle idôbeli megfelelôje. Ez ezee el a bemuao gondolamenehez. Irodalom 1. Nagy Károly: Elmélei Mechanika. Nemzei Tankönykiadó, Budapes, 00.. W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Veerling: Numerical Recipes in C: The Ar of Scienific Compuing. Cambridge Uniersiy Press, 00. 3. Tél Tamás, Gruiz Máron: Kaoikus Dinamika. Nemzei Tankönykiadó, Budapes, 00. 4. hp://ni.com/labiew 5. Marx György: Kanummechanika. Mûszaki Könykiadó, Budapes, 1971. 6. F. Consaninescu, E. Magyari: Kanummechanika Feladaok. Tankönykiadó, Budapes, 197. 7. L. D. Landau, E. M. Lifsic: Kanummechanika. Tankönykiadó, Budapes, 1978. 8. N. Rosen, P. M. Morse, Phys. Re. 15 (193) 10. A FIZIKA TANÍTÁSA KÖZÉPISKOLAI DEMONSTRÁCIÓS KÍSÉRLETEK ELEMZÉSE Wiedemann László Budapes A görög filozófiai felfogás szerin az axiomaikus gondolkodás és annak eredményei bírnak csupán igazságaralommal. Az empíriáal szemben ariszokraikus módon elzárkózak, szine lenézék az. A megismerés folyamaa az újkorban épül oább, és kellô filozófiai súly kap Bacon és Hume munkássága álal, amikor az empíria is a megismerés hieles módszeréé, hieles eszközzé álik. Az empíria anyaga adja az axiomaikus gondolkodás arópillérei és frissíi az axiómáka, ahogy ez manapság elképzeljük. Galileinél eôzik ez a keôsség a módszeresen égigi kísérleezésben és elmélealkoásban. Ezálal bôülnek a ermészeudományban az igazságkriériumok. Megfigyelés és kísérle az egyik oldalon, elmélealkoás a másik oldalon. Fizikaörénei elôadásaiban Simonyi Károly professzor mindig nyomaékkal emele ki a kísérleezés fonosságá; úgy monda gyakran, hogy Galilei e egy lejô, agyis nemcsak elképzele, agy az ideájá ekinee, hanem kézbeee és méréseke égze ele. A sorra kerülô kísérleek nem kuaás célúak, hanem igazoló, illee a örény érényességé aláámaszó kísérleek. A aníásban fôleg ilyenek szerepelnek, de elôfordulnak fizikai mérések, mérô-kísérleek is. I sohasem felfedezésrôl an szó, hanem ezeésrôl. Naiiás felfedezéskén aposzrofálni az iskolai fizikai méréseke. Inkább uánérzésrôl an szó, jelenôs kuaók eljárásai isméeljük meg célirányos módszerani egyszerûsíésben. Empíria és kísérle elôzees, onakozó elmélei ismereek nélkül semmi sem ér. A dolog érelméhez kell eljuni. Ez nem nyerhejük a láányosság szépségéel agy egyszerû manipulációal. A láoak mö- 416 FIZIKAI SZEMLE 010 / 1