TRANZIENS KÁOSZ A HELYFÜGGÔ AMPLITÚDÓVAL GERJESZTETT OSZCILLÁTOR PÉLDÁJÁN

Átírás

1 roncsillagok nagy sûrûségû belsejében a hiperonok lényeges szerepe jászhanak, a izsgálaoknak aszrofizikai jelenôsége is an. A 2009-ben üzembe lépe J-PARC kaongyárban, az épíés ala álló darmsadi GSI, FAIR, PANDA rendszerben, alamin öbb más mûködô és ereze hipermag-laboraóriumban folyó izsgálaok remény nyújanak arra, hogy a közeljöôben fronáörés örénjen a hipermag-fizikában. Irodalom 1. H. Takahashi és ms., Phys. Re. Le. 87 (2001) O. Hashimoo, H. Tamura, Progr. Par. Nucl. Phys. 57 (2006) T. Nagae, Nucl. Phys. News 19/4 (2009) P. Gianoi, CERN Courier (April 2003) P. Franzini, M. Moulson, Annu. Re. Nucl. Par. Sci. 56 (2006) H. Lenske, Nucl. Phys. News 17/2 (2005) H. Tamura és ms., Phys. Re. Le. 84 (2000) 5963; Nucl. Phys. A 754 (2005) 58c. 8. J. K. Ahn és ms., Nucl. Insr. Meh A 457 (2001) 137; Nucl. Phys. A 761 (2005) D. J. Millener és ms., Phys. Re. C 31 (1985) T. Fényes és ms.: Aommagfizika I. Debreceni Egyeemi Kiadó, Debrecen E. Hiyama és ms., Phys. Re. C 53 (1996) K.-T. Brinkmann, P. Gianoi, I. Lehmann, Nucl. Phys. News 16/1 (2006) G. Léai, J. Cseh, P. Van Isacker, O. Juille, Phys. Le. B 433 (1998) 250. TRANZIENS KÁOSZ A HELYFÜGGÔ AMPLITÚDÓVAL GERJESZTETT OSZCILLÁTOR PÉLDÁJÁN Slíz Judi ELTE, TTK A szerzô poszgraduális csillagász hallgaó. E munka az ELTE TTK-n a aaszi félében hallgao Kaoikus mechanika II. címû speciális elôadás júniusban bemuao izsgadolgozaából fejlôdö ki. A szerzô köszöneé fejezi ki a árgy okaóinak, Gruiz Máronnak és Tél Tamásnak. A Fizikai Szemlében a közelmúlban a kaoikus mozgásokról megjelen cikkek [1 6] mind permanens káosszal, a kaoikus mozgás eszôlegesen hosszú ideig aró formájáal foglalkozak. Mos a kaoikus mozgások egy álalánosabban elôforduló fajájá, a ranziens káosz izsgáljuk meg. Gyakran alálkozunk ugyanis olyan jelenséggel, amikor a kaoikus iselkedés (bonyolul geomeria a fázisérben, elôrejelezheelenség) csak éges ideig ar. Ez a jelenség a ranziens káosz, amely a permanens káoszhoz hasonlóan felléphe mind disszipaí, mind konzeraí rendszerben. Ebben a cikkben disszipaí eseekkel foglalkozunk. Tranziens káosz eseén nyilán nem léezhe kaoikus arakor, hiszen az a kaoikus mozgás sohasem hagyná el, de mégis léezik egy olyan ponhalmaz a fázisérben, amelye a rajekóriák közül a hosszabb ideig kaoikusak nagyon megközelíenek. Ez a ponhalmaz a nyereghalmaz [7 8]. A ranziens káosz új mérôszáma az álagos élearam és ennek reciproka, a szökési ráa. Ezeke a mennyiségeke és a nyereghalmaz fogjuk megizsgálni néhány példán kereszül, neezeesen a parabolikus és a szinuszos helyfüggô ampliúdóal gerjesze harmonikus oszcilláor, alamin a konsans ampliúdóal gerjesze anharmonikus oszcilláor eseében. Miér fonos a ranziens káosz izsgálaa? Azér, mer jóal álalánosabb jelenség, min a permanens káosz: a káosz alójában sokkal szélesebb paraméerarományban an jelen, min a kaoikus arakorok ilága, és információ eszíünk el, ha csak a permanens káosz izsgálaára szoríkozunk. Azonkíül néhány jelenség, min például a kaoikus szórás, a ranziens káosz fogalma nélkül nem is lenne érheô. A parabolikus helyfüggésû erôel gerjesze harmonikus oszcilláor ranziens káosza Nézzük meg elôször a parabolikus helyfüggésû ampliúdóal gerjesze harmonikus oszcilláor. A dimenziólanío mozgásegyenle [1]: ẍ = β ẋ 1 ν 2 cosδ. (1) I β a súrlódási együhaó, ν egy nemlineariási paraméer, δ pedig a gerjeszési frekencia. A köekezô paraméerérékekkel ranziens káosz kapunk: β =, ν = 16,636, δ = 82. Vizsgáljuk meg ez a mozgás részleesebben! Nézzük meg a kiérés-idô diagramon, hogy ha különbözô 0, 0 (kiérés, sebesség) kezdôponokból indíjuk a mozgás, hogyan alakul és meddig ar a káosz! Mindhárom eseben jól láhaó (1. ábr, hogy hoszszabb-röidebb ideig aró kaoikusság uán a rajekória elszökik (megfelelô szimulációal könnyen beláhajuk, hogy a égelenbe ar). A kaoikus iselkedés idôarama erôsen függ aól, hogy honné indul a mozgás. Az 1.a és 1.b ábrá n láhaó rajekóriák kezdôponjai csak az koordináa öödik izedesjegyében különböznek, a kaoikusság idôarama közö mégis egy nagyságrendnyi elérés an! Láni fogjuk, hogy meg udjuk majd állapíani: álagosan mennyi ideig kaoikus a mozgás. Ha megizsgálunk még néhány kezdôponból indío rajekóriá (ezek i nincsenek felünee), az apaszaljuk, hogy hosszabb-röidebb ideig aró kaoikus kaargás uán azok is elszállnak a égelenbe. 6 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

2 c) ábra. Az ẍ = ẋ +(1 16,636 2 ) cos(82) mozgásegyenleû oszcilláor kiérés-idô ( ) diagramja az 0 =, 0 =, az 0 = 0001, 0 =, c) az 0 =, 0 = kezdôponból indía. Ha ugyanezeke a mozgásoka az (,) fázisérben az idôaramoka a T =2π/δ gerjeszési periódusidô öbbszöröseinek ée (azaz periódusidônkén, agy idegen kifejezéssel: sroboszkopikus leképezéssel) ábrázoljuk, az apaszaljuk, hogy ameddig a kaoikus mozgás ar, a különbözô kezdôfeléelekbôl indío rajekóriák egy bizonyos srukúra körül mozognak. Minél oább ar a káosz, annál öbb pon rajzolódik ki ebbôl a srukúrából (2. ábr. Ez a srukúra segíhe a kaoikus nyereghalmaz befoglaló aromány megsejésében. Ha a kezdôfeléelek széles körébôl indíunk el sok mozgás, és a idônél hosszabb élearamúak N ( ) számá meghaározzuk, majd az így kapo függény ábrázoljuk, akkor az kapjuk, hogy nöekedéséel N( ) elegendôen hosszú idô uán a radioakí bomlás szabályához hasonló eponenciális csökkenés mua [8]: N() e κ. (2) ábra. Az ẍ = ẋ +(1 16,636 2 ) cos(82) mozgásegyenleû oszcilláor mozgásának periódusidônkén (sroboszkopikus leképezéssel) készíe fázisérbeli képe az 0 =, 0 =, az 0 = 0001, 0 = kezdôponból indía. Az eseben (amely az 1.a ábrának felel meg), hosszabb ideig ar a káosz, öbb pon képzôdik le, min az 1.b ábrának megfelelô eseben. Ez az jeleni, hogy az egyre hosszabb kaoikus mozgásokhoz arozó kezdôfeléelek száma rohamosan (eponenciálisan) csökken. A κ együhaó a szökési ráa (ami a logarimikus ábrázolásban megjelenô egyenes negaí meredeksége), ennek τ reciproka pedig az álagos élearam (3. ábr. Tehá a kaoikus mozgások álagosan 17 idôegység (ami közelíôleg a T =2π/82 periódusidô késze- 3. ábra. Az ẍ = ẋ +(1 16,636 2 ) cos(82) mozgásegyenleû oszcilláornak az 0 (, +), 0 ( 0,7, +0,9) kezdôfeléelû arományán egyenleesen eloszo 10 6 kezdôponból indío rajekóriái közül a -nél hosszabb élearamúak N() száma a belsô ábra logarimikus skáláján ábrázola lineáris. Az egyenes meredeksége a szökési ráa: κ = 575, ennek reciproka pedig az álagos élearam: τ = N () log N ( ) SLÍZ JUDIT: TRANZIENS KÁOSZ A HELYFÜGGŐ AMPLITÚDÓVAL GERJESZTETT OSZCILLÁTOR PÉLDÁJÁN 7

3 rese) hosszúságúak. Az 1.a, 1.b ábra ranziens káosza ehá jóal hosszabb, min az álag, az 1.c eseén pedig röidebb. Célszerû a szökési ráa számíásának módjá a fázisérben is megfogalmazni. Az eljárás az, hogy a fázisér egy kierjed arományában nagyszámú pono oszunk el egyenleesen agy élelenszerûen, és izsgáljuk az ezen kezdôponokból induló rajekóriáka. Azon rajekóriák N () száma, amelyek ideig nem hagyják el a aromány, a (2) összefüggés köeik. Ráadásul a szökési ráa függelen a kezdôfeléelek arományának megálaszásáól mindaddig, amíg az áfed a nyereghalmazzal. Keressük meg a nyereghalmaz! Az erre kínál sziszemaikus eljárás [8] során meg kell nézni, hogy an-e a fázisérnek olyan részhalmaza, amelye az elég hosszú ideig (ami a gyakorlaban az álagos élearam 4 6-szoros el nem szökô rajekóriák megközelíenek. Ez a részhalmaz lesz a nyereghalmaz. Az idôaramoka a T =2π/δ gerjeszési periódusidô öbbszöröseinek ée megnézzük, hogy a még elég hosszú ideig is el nem szökô rajekóriák hol olak a fázisérben körülbelül fele annyi idô uán és kiinduláskor. A közbülsô idôhöz arozó ponhalmaz jó közelíéssel a nyereghalmaz. A kezdôponok kirajzolják a sabil sokaságo (az ezekbôl a kezdôponokból induló rajekóriák mind elérik a közbülsô idôponban kirajzol ponhalmaz, azaz a nyereghalmaz), míg a égsô idôponhoz arozó ponhalmaz a nyereghalmaz insabil sokasága, mer az ezekbôl oábbinduló rajekóriák a nyereghalmazól áolodnak, és a égelenben alálhaó arakorhoz aranak. A nyereghalmaz a neé onné kapa, hogy hasonlóan egy nyeregponhoz agy egy hiperbolikus ponhoz, sabil és insabil sokasággal rendelkezik. A 3. ábrán eponenciális csökkenés apaszalunk, és alóban, a izsgál aromány aralmazza a nyereghalmaz. Az egyszerûség kedéér a periódusidô egész számú öbbszöröseinél izsgáljuk a rajekóriák helyzeé, így mos az elôbb ismeree gondolamenee köee megnézzük, hogy azok a rajekóriák, amelyek még 8T idô eleléel is a églalapon belül annak, hol olak 3T -nél és a kezdei idôponban. (Ezek lesznek rendre az insabil sokaság, a nyereghalmaz, illee a sabil sokaság. A próbálkozások az muaák, hogy ebben az eseben nem a 8T felénél, ehá 4T -nél, hanem 3T -nél lesz a nyereghalmaz, agyis a rajekóriák iszonylag gyorsan elérik a nyereghalmaz, 4. ábra.) 0 0 c) 0 4. ábra. Az ẍ = ẋ +(1 16,636 2 ) cos(82) mozgásegyenleû oszcilláor fáziserének jellegzees alakzaai. A ábrán láhaó a nyereghalmaz, az ábrán a sabil, a c) ábrán pedig az insabil sokaság. A nyereghalmaz lokálisan mindig ké Canor-halmaz direk szorzaa: a ábra kinagyío részén jól láhaó a keôs Canorhalmaz szerkezee. 5. ábra. Az ẍ = ẋ +(1 16,636 2 ) cos(82) mozgásegyenleû oszcilláor nyereghalmazának sabil (szürke) és insabil (fekee) sokasága, amelyek közös ponjai adják a nyereghalmaz. Jól láhaó a frakálszerkeze [9]. 0 8 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

4 ábra. Az ẍ = ẋ + sin(μ) cos(4,1) mozgásegyenleû oszcilláor sroboszkopikus leképezéssel kapo kaoikus halmazai (kaoikus arakora agy nyereghalmaz a μ paraméer függényében, balról jobbra, felülrôl lefelé egyeséel halada μ =6ésμ = 30 közö. Láhaó, hogy a μ paraméer nöeléséel a kaoikus halmaz méree csökken, geomeriája iszon bonyolulabb lesz. Ha finomíjuk μ lépeésé, és megnézzük például a μ =10ésμ = 12 közöi aromány izedenkén lépee, akkor oábbi szabályalan álakozásban jönnek elô újabb kaoikus arakorok, illee nyereghalmazok. Az 5. ábra a nyereghalmaz és sokaságainak egy jellegzees ulajdonságá muaja. Neezeesen az, hogy a nyereghalmaz a sabil és insabil sokaságának a meszee adja ki. A szinuszos helyfüggô erôel gerjesze harmonikus oszcilláor ranziens káosza Mos nézzünk meg olyan eseeke, amikor a rajekóriák nem a égelenbe, hanem éges haárciklus arakorhoz aranak, amelyek képe a periódusidôkén e meszeen [7] néhány cikluspon. A káosz ilyenkor is ámenei, ehá ranziens, csak idôel nem a égelenbe szalad a rajekória, hanem a kezdôfeléelôl függelenül, periodikusan fog mozogni. Induljunk ki a szinuszos helyfüggésû ampliúdóal gerjesze harmonikus oszcilláor dimenziólanío mozgásegyenleébôl [1]: ẍ = 2β ẋ sin(μ) cos(δ), (3) ahol hasonlóan (1)-hez β a súrlódási együhaó, μ a nemlineariási paraméer, δ a gerjeszési frekencia. Ehhez a mozgásegyenlehez a β = 0,3, μ = 20, δ = 4,1 paraméerérékekkel permanens káosz arozik, ehá a rendszerben léezik kaoikus arakor [1]. A ranziens káoszra jellemzô, hogy a permanensen kaoikus mozgás eredményezô paraméerérékek közelében kialakul, de uána rendszerin a permanens káosz paraméerérékeiôl áol is léezni fog. Ha ehá a β,aμ agy a δ paraméer megálozajuk a feni érékekhez képes, akkor elôbb-uóbb ranziens káosz kapunk. Vizsgáljuk meg, hogy ha a gerjeszésre jellemzô ké paraméer (a μ dimenziólan nemlineariási paraméer és a δ dimenziólan gerjeszési frekenci közül egyszerre csak egye, például a μ- álozajuk a permanens kaoikus iselkedés eredményezô érék körül, hogyan alakul a fázisérbeli kép a μ =6ésaμ =30 közöi arományban (6. ábr! A 6. ábrán láhaó eseeke egyenkén megizsgála az apaszaluk, hogy különbözô kezdôponokból indía a mozgás, hosszabb-röidebb ideig aró kezdei kaoikusság uán ugyanazokra (de ermészeesen eseenkén más és más) haárciklus (agy kaoikus) arakorokra funak be a rajekóriák. A haárciklus arakorok mos nem a égelenben annak, hanem éges alakzaok, amelyeknek képe az alkalmazo srobosz- SLÍZ JUDIT: TRANZIENS KÁOSZ A HELYFÜGGŐ AMPLITÚDÓVAL GERJESZTETT OSZCILLÁTOR PÉLDÁJÁN 9

5 kopikus leképezésen néhány cikluspon. Bármely periodikus arakor ciklusponjai könnyen megkaphajuk, ha bármely, ahhoz az arakorhoz induló kezdôponból elindíunk egy rajekóriá, és megnézzük a hosszú idô uáni kiérés-idô függényé. A nyereghalmazoka befoglaló erülee próbálgaással sejeük meg, és az kapuk, hogy a kaoikus mozgás a fázisér ( 1, 1), ( 1, 1) arományában lesz. Majd ez a aromány lefedük egy erüleel, amelyikbôl kiáguk a ciklusponok megfelelô kis sugarú környezeé, és megizsgáluk, hogy a korongokkal kiágo erüleen egyenleesen eloszo sok, például kezdôponból indío rajekória mennyi idô uán éri el a korongoka, és közben milyen pályá ír le. A nyereghalmazoka az elôzô fejezeben ismeree sziszemaikus eljárással [8] keresük meg, de a számíógépes fuásidô leröidíése céljából annyi egyszerûsíéssel, hogy keesebb, csak 10 4 kezdôponból indíouk a rajekóriáka, miel mos csupán a nyereghalmaz geomeriájá akaruk megmuani, nem részlees szerkezeé. A 6. ábrán jól lehe láni, hogy a élelenszerûen kiálaszo paraméerarományban 25 esebôl 10 eseben ranziens káosz apaszalunk. (Ezek a nem erôeljesen kirajzolódó, szakadásoka aralmazó alakzaok (nyereghalmazok) rendre a μ =6,7,8,9,11,12, 19, 28, 29, 30 nemlineariási paraméerérékhez aroznak.) Tehá gyakori jelenségrôl an szó, amelynek fonos megállapíani a örényszerûségei. A 6. ábrán erôeljesen kirajzolódó alakzaok kaoikus arakorok, amelyek rendre a öbbi nemlineariási paraméerérékhez aroznak. Ezekben az eseekben permanens káosz apaszalunk, legalábbis a izsgál idôegységig [10]. A 6. ábra áblázaának alakzaai izsgála feleôdik az a kérdés, hogy eseleg minden kaoikus iselkedés egyszer abbamarad, csak elegendôen hosszú ideig kellene izsgálódnunk? Ez eseünkben sem uduk eljes bizonyossággal eldöneni. A ábláza eseei izsgála az apaszaluk, hogy a nagy μ érékekhez arozó τ álagos élearam ké nagyságrenddel nagyobb, min a kis μ érékekhez arozó. Táblázaosan összefoglala: μ τ (T) c) ábra. Az ẍ = ẋ cos(0,97) mozgásegyenleû nemlineáris, állandó ampliúdóal gerjesze oszcilláor fáziserének jellegzees alakzaai. A ábrán láhaó a nyereghalmaz, az ábrán a sabil, a c) ábrán pedig az insabil sokaság. Az alakzaoka úgy kapuk, hogy megnézük a még a c) a 2 =86T idôponban is kaoikus mozgásoka, hogy hol olak az 0 =0,ésa 1 =43T idôponban. 8. ábra. Az ẍ = ẋ cos(0,97) mozgásegyenleû nemlineáris, állandó ampliúdóal gerjesze oszcilláor sroboszkopikus leképezéssel kapo nyereghalmazának sabil (szürke) és insabil (fekee) sokasága, amelyek meszésponja adja ki a nyereghalmaz. Anharmonikus oszcilláor: nemlineariás a rugóerôben Végezeül izsgáljuk meg az ẍ = ẋ cos (0,97 ) (4) mozgásegyenleû, állandó ampliúdóal gerjesze anharmonikus oszcilláor ranziens káoszá (7. és 8. ábr! Az elôbbiekben ismereeek szerin elôször megsejeük, hogy a nyereghalmaz az (25, 65), FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

6 ( 5, 5) églalapon belül an. A próbálgaással kapo három ciklusponal kiágo églalapról 10 6 kezdôponból indíounk rajekóriáka, és megkapuk az eponenciális csökkenés a korongokkal kiágo églalapon belül: κ =0692, τ =144 ( 20T = 40π/0,97). Láhaó, hogy ebben az eseben a τ =20T iszonylag kis érék, azaz a káosz álagos élearama röid. Összehasonlía a izsgál eseeke megállapíhajuk, hogy a legröidebb káosz-élearam a égelenben alálhaó arakor eseén lépe fel (ez ol a parabolikus ampliúdóal gerjesze harmonikus oszcilláor esee, τ =2T ), a leghosszabb pedig a szinuszos ampliúdójú gerjeszésnél ol (τ = 5000T ). Záró gondolaok A ranziens káosz ilágunkban a permanens káosznál jóal gyakrabban fellépô jelenség, ezér nagyon fonos örényszerûségeinek felárása. A rajekóriák lászólagos össze-issza mozgása ideig-óráig ar csupán, azuán beáll a reguláris mozgás. De gyakran a mozgásnak éppen az a szakasza érdekel bennünke, amíg még nem szabályos. A ranziens káosz jelenségére rengeeg példa sorolhaó fel a fizika egymásól legáolabb esô erüleeirôl. Ilyen jelenség például a hidrodinamikában a folyadékba kerülô szennyezôdés alakálozása [7], agy miel nemcsak a disszipaí, hanem a hamiloni rendszerekben is fellép a ranziens káosz gyakran modellezheôk ranziens káosszal a csillagászai korláozo háromes-problémában a kisbolygók, üsökösök mozgásai, például egy aszeroida idôleges befogásakor, agy elszökés elôi mozgásának izsgálaakor. A csillagászaban nem ismerelen a ragadósság neû mozgásforma sem (angolul sickiness), amikor a rezonanciák haárán bizonyos kaoikus kisbolygópályák hosszú ideig úgy iselkednek, minha regulárisak lennének [11]. Irodalom 1. Slíz J.: Helyfüggô ampliúdóal gerjesze harmonikus oszcilláor kaoikus iselkedése. Fizikai Szemle 60/4 (2010) Biró I.: Mágneses ingák kísérlei anulmányozása. Fizikai Szemle 56/1 (2006) Gruiz M., Tél T.: Káoszról kicsi bôebben. Fizikai Szemle 55/6 (2005) Békéssy L. I., Busya Á.: Fizikai keôsinga izsgálaa. Fizikai Szemle 55/5 (2005) Gruiz M., Tél T.: A káosz. Fizikai Szemle 55/5 (2005) Göz G.: A pillangó-effekus a káosz felfedezése a meeorológiában. Fizikai Szemle 43/12 (1993) Tél T., Gruiz M.: Kaoikus dinamika. Nemzei Tankönykiadó, Budapes, T. Tél, M. Gruiz: Chaoic Dynamics. Cambridge Uniersiy Press, Kecskés L.: Egy ölnyi égelen. Nemzei Tankönykiadó, Budapes, W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Veerling: Numerical Recipes in Pascal. Cambridge Uniersiy Press, Érdi B.: A Naprendszer dinamikája. ELTE Eöös Kiadó, Budapes, A FELÜLETI ARANY-DEKORÁCIÓS REPLIKATECHNIKA Megemlékezés a hallei elekronmikroszkópia 50 ées éfordulója kapcsán Malicskó László MTA, SZFKI Jelen cikkben a krisályfelüleek aomos srukúrájának megismerésében 1958-ól az elsô jelenôs eredményeke leheôé eô konencionális ranszmissziós elekronmikroszkópos (TEM) arany-dekorációs replikamódszerrôl kíánunk megemlékezni. Bár ez a módszer az 1980-as éek égéôl, a különféle pászázó szondás mikroszkópok megjelenéséôl már alig használaos, de a módszerrel elér legfonosabb eredmények néhány példán kereszüli megemlíése és bemuaása udományörénei szemponból anulságos lehe noember án a némeországi Halléban Heinz Behge ünnepi kollokium az elekronmikroszkópia 50 ée Halle (Saale)- ban címmel megemlékezés aroak ( Jelen írásommal iszeleeljes köszöneeme kíánom kifejezni néhai Heinz Behge professzor úrnak és munkaársainak az Audekorációs, majd egyéb elekronmikroszkópos echnikák sajá émáimra örénô alkalmazásában 30 éen á nyújo barái segíségükér. A felülei Au-dekorációs módszer megjelenésének elôzményei Az 1920-as és 40-es éek köz a krisályok azaz haároló lapjaik nöekedésének, illee leépülésének (oldódás, párolgás) magyarázaára ké, NaCl-modellre kidolgozo, aomos szemléleû elméle alakul ki. A Kossel Sranski-elméle kimuaa, hogy az úgyneeze lépcsôs és könyökös aomos srukúrájú lapokon mindig jelen annak oábbi épíôelemek, ionok, aomok csalakozására energeikailag kedezô aomi pozíciók. Így ezen lapok folyonos nöekedése úlelíe anyafázisban bizosío. Az aomosan sima lapok nöekedéséhez azonban felülei lépcsôkezdemények kialakulása szükséges [1 3]. A Volmer Sranski Kaise-, illee 2D nukleációs (2DN) elméle szerin az aomosan sima krisálylapokon adszorbeálódo épíôelemek ermikus flukuá- MALICSKÓ LÁSZLÓ: A FELÜLETI ARANY-DEKORÁCIÓS REPLIKATECHNIKA 11