fizikai szemle 2011/1

Átírás

1 fizikai szemle 2011/1

2 A Y G K A Az Eötös Loránd Fizikai Társulat haonta megjelenô folyóirata. Támogatók: A Magyar Tudományos Akadémia Fizikai Tudományok Osztálya, a Nemzeti Erôforrás Minisztérium, a Magyar Biofizikai Társaság, a Magyar Nukleáris Társaság és a Magyar Fizikushallgatók Egyesülete Fôszerkesztô: Szatmáry Zoltán Szerkesztôbizottság: Bencze Gyula, Czitroszky Aladár, Faigel Gyula, Gyulai József, Horáth Gábor, Horáth Dezsô, Iglói Ferenc, Kiss Ádám, Lendai János, Németh Judit, Ormos Pál, Papp Katalin, Simon Péter, Sükösd Csaba, Szabados László, Szabó Gábor, Trócsányi Zoltán, Turiné Frank Zsuzsa, Ujári Sándor Szerkesztô: Füstöss László Mûszaki szerkesztô: Kármán Tamás A folyóirat címe: szerkesztok@fizikaiszemle.hu A lapba szánt írásokat erre a címre kérjük. A folyóirat honlapja: TARTALOM Fényes Tibor: A hipermagok fizikája 1 Slíz Judit: Tranziens káosz a helyfüggő amplitúdóal gerjesztett oszcillátor példáján 6 Malicskó László: A felületi arany-dekorációs replikatechnika 11 Koács Tamás: Egyszerűen bonyolult a Sitniko-probléma 15 Woynaroich Ferenc: Hogyan is mozog egy tömeges rugó? II. 20 A FIZIKA TANÍTÁSA Schronk Edina: Aladdina csodalámpája 26 Sükösd Csaba: XIII. Szilárd Leó Nukleáris Tanulmányi Verseny beszámoló 1. rész 32 HÍREK ESEMÉNYEK 36 T. Fényes: The physics of hypernuclei J. Slíz: Transient chaotic behaiour of an oscillator with position-dependent amplitude feeding L. Malicskó: The replique technique of surface decoration with gold T. Koács: Simply complex: the Sitniko Problem F. Woynaroich: What kind of motion will a spring of finite mass display? II. TEACHING PHYSICS E. Schronk: Aladdina s magic lamp Cs. Sükösd: Report on the XIII. Leo Szilárd Contest in nuclear physics Part I. EVENTS T. Fényes: Die Physik der Hyperkerne J. Slíz: Transientes Chaos bei einem mit ortsabhängigen Amplituden angeregter Oszillator L. Malicskó: Die Repliktechnik der Oberflächendekoration mit Gold T. Koács: Einfach kompliziert: das Sitniko-Problem F. Woynaroich: Wie eigentlich bewegt sich eine Feder endlicher Masse II. PHYSIKUNTERRICHT E. Schronk: Aladdinas Zauberlampe Cs. Sükösd: Bericht über den XIII. Leo-Szilárd-Wettbewerb in Kernphysik. Teil I. EREIGNISSE A címlapon: A Mátrába terezett, graitációs hullámokat detektáló Einstein Teleszkóp. (Somogyi-Tóth Dániel légifotójának felhasználásáal.) T. Fõnes: Fizika áerhüder Ú. Sliz: Perehodnxj haotiöeákij reóim oácillütora á zaiáüwej ot poloóeniü amplitudoj ozbuódeniü L. Maliöko: Poerhnoátnxe zolotnxe pokrxtü tehnike replik T. Koaö: Proáto û áloónaü problema Sitnikoa F. Vojnaroiö: Dióenie pruóinx koneönoj maááx? û II. OBUÖENIE FIZIKE Õ. Sronk: Volsebnaü lampa Aladinx Ö. Súkésd: Otöet o XIII. átudentákom konkuráe im. L. Áilarda po üdernoj fizike. Öaáty peraü PROIÁHODÍWIE ÁOBXTIÍ Fizikai Szemle MAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT U T R DOMÁNYOS A D É A M I megjelenését anyagilag támogatják: Nemzeti KulturálisAlap Nemzeti Ciil Alapprogram M A A FIZIKA BARÁTAI

3 Fizikai Szemle MAGYAR FIZIKAI FOLYÓIRAT A Mathematikai és Természettudományi Értesítõt az Akadémia 1882-ben indította A Mathematikai és Physikai Lapokat Eötös Loránd 1891-ben alapította LXI. éfolyam 1. szám január A HIPERMAGOK FIZIKÁJA Fényes Tibor MTA ATOMKI, Debrecen 1 A hiperonok olyan barionok, amelyekben ritka (agy más nehezebb) kark is an. Egy ritka kark tartalmú a Λ 0, Σ ±, Σ 0, két s-kark tartalmú a Ξ, Ξ 0, három s -kark tartalmú az Ω -hiperon. Léteznek c-, illete b-karkot tartalmazó hiperonok is, ezeket alsó indexszel jelölik. Például a Λ c+ bájos barion udc alenciakarkokat tartalmaz. Hipermagnak olyan atommagot neezünk, amelyben alamelyik nukleon d- agy u -alenciakarkja helyett nehezebb (s-, c-) kark an. Például, ha az atommag egy neutronjában az udd-alenciakarkok közül egy d -karkot s -karkkal helyettesítünk, Λ-hiperont 1 tartalmazó hipermag áll elô. A hipermagokat hagyományosan a Z rendszámmal (agy az elem jeléel), az A barionszámmal (ami a nukleon- és hiperonszám összege) és a hiperon jeléel jelölik. Például a Λ7 Li azt jelenti, hogy Z =3,A = 7 és az atommagban egy neutron helyett egy Λ-hiperon található. Eddig fôleg olyan hipermagokat állítottak elô, amelyekben egy ritka (s -) kark an, de hírt adtak már kétszeres-λ hipermag létérôl is ( ΛΛ6 He, Takahashi és mts. [1]). Nehéz kark(ok) megjelenése az atommagban új szabadsági fok(ok) jelentkezéséel jár. A hipermagok izsgálata több szempontból is fontos. a) Miel a Λ-hiperonra nem áll fenn a Pauli-tiltás, a hiperon az atommag belsejébe is beépülhet. Ez új lehetôséget ad mélyen kötött állapotok izsgálatára. b) Nagy sûrûségû maganyagban (például neutroncsillagokban) alószínûleg hiperonok is annak. Így a hiperon-nukleon, hiperon-hiperon kölcsönhatások ismerete asztrofizikai szempontból is fontos. c) A hipermagok szerkezetének megértéséhez kulcskérdés a ΛN-kölcsönhatás pontos ismerete (N a nukleon jele). Vizsgálandó, hogy hogyan alakul a spin-spin, spin-pálya és tenzor kölcsönhatás erôssége a ΛN -kölcsönhatásban. Vizsgálandó toábbá a ΛΛ-, ΛΣ-, hiperon-hiperon kölcsönhatások természete is. d) Amikor egy Λ-hiperon megjelenik egy atommagban, annak mérete, alakja, szimmetriái, héj- és csomószerkezete, kollektí mozgása megáltozhat. Ha egy Λ-hiperon az atommag belsô pályájára épül be, magához onzhatja a szomszédos nukleonokat, ami az atommag összezsugorodásához ezethet. Mindez jórészt még feltáratlan terület. e) A Λ-hiperon beépülhet az atommag belsejébe, ahol a nukleáris környezetben effektí sajátságai megáltozhatnak. A hipermagokban fellépô mágneses dipólsugárzás tanulmányozása adatokat szolgáltathat például a g Λ effektí giromágneses tényezôre. Az elsô hipermagot Danysz és Pwiewski észlelte ban egy kozmikus részecskék által kiáltott magreakcióban. Az elmúlt étizedek során mesterségesen is elôállítottak hipermagokat, de ehhez nagyenergiájú gyorsítókra olt szükség és iszonylag keés laboratóriumban foglalkoztak hipermag-kutatással. A közeljöôben lényeges elôrelépés árható ben üzembe lépett a J-PARC (Japan P roton Accelerator Research C omplex) gyorsító, ami 30 (késôbb 50) GeV-es nagy intenzitású (15 μa) protonnyalábot szolgáltat. Ezzel a korábbiakhoz képest nagyságrendileg intenzíebb kaon- és pionnyalábok állíthatók elô, ilágiszonylatban ez lesz az elsô alódi kaongyár. Az 1,1 1,8 GeV-es, intenzí kaonnyalábok megnyitják az utat a hiper- és kétszeresen hipermagok széleskörû izsgálata elôtt. Nagy reményekre jogosítanak fel a németországi GSI, PANDA (Antip roton Annihilation at Darmstadt), az olaszországi DAΦNE, FINUDA (a késôbbiekben SuperB), a J-laboratórium (Jefferson National Accelerator Facility, USA) hipermag-kutatási programjai is, több más (például MAMI-C, Mainz) programmal együtt. FÉNYES TIBOR: A HIPERMAGOK FIZIKÁJA 1

4 s-kark csere nk (, p ) L ss-párkeltés + + n( p, K ) L + L pe (, ek ) mk ( ) = 493,68 MeV/ c K n u s d d u 2 m( ) = 139,57 MeV/ c p 2 u p d s d L u mn ( ) = 938,57 MeV/ c 2 m( L) = 1115,7 MeV/ c p + n u d d d u e u g p d u mp ( ) = 938,27 MeV/ c 2 1. ábra. Λ-hipermag elôállításához ezetô három reakció sematikus ábrázolása karkszinten. Az ábrán a hadronok tömegei is fel annak tüntete. A hipermagok elôállítása, kísérleti berendezések u s s d L u K + e u K + s s d L u Hipermagokat sokféle (mezon, elektron, proton, nehéz ion) reakcióal lehet elôállítani. Eddig fôleg (K, π ), (π +, K + )és(e, e K + ) reakciókat használtak elôállításukra, amelyek karkszinten az 1. ábrá n látható átalakulásokhoz ezettek. Néhány reakció hatáskeresztmetszetét (σ/sr) az átadott impulzus (p) függényében a 2. ábra mutatja. K -nyalábokkal nagyon jó hatáskeresztmetszet érhetô el, de a nagyenergiájú protonokkal létrehozott reakciókban a pionok nagyságrendekkel nagyobb hozammal állnak elô, mint a kaonok, így a (π +, K + ) reakció is alkalmas hipermag-izsgálatokra. Minden reakciótípusnak megan a maga elônye, kölcsönösen kiegészítik egymást. A (K, π ) reakció különösen alkalmas helyettesítési szerepre, ebben a neutron ugyanazon pályán (a keringési impulzusnyomaték áltozása nélkül) átalakulhat Λ-á. Ezzel szemben a (π +, K + )és (e, e K + ) reakciók nagyobb bombázó részecske impulzusátadással járnak és könynyebben gerjesztenek nagy spinû hipernukleáris állapotokat. A (K, π )és(π +, K + ) reakciók a céltárgy egy neutronját, míg az (e, e K + ) egy protonját alakítják át Λ-hiperonná (1. ábra). 2 s/sr mb/sr mb/sr nb/sr röptében (, p ) L nk (, p ) K stop + + n( p, K ) L pe (, e K) 2. ábra. Hipermagok elôállításához ezetô néhány reakció hatáskeresztmetszete (σ/sr) az átadott impulzus függényében. Hashimoto, Tamura [2] alapján. + L ( pk, + ) átadott impulzus (MeV/ c) 3. ábra. A J-PARC szupraezetô kaon- (SKS) és hiperlabda γ-spektrométerei, bal oldalon felülnézeti, jobb oldalon oldalnézeti ábrázolásban. Q kadrupól-, D dipólmágnes, DK driftkamra, TOF repülési idôt mérô berendezés. Hashimoto, Tamura [2] alapján p K g L Cserenko-detektor TOF Li (, ) Li Q5Q6 K + DK Q7Q8 p + A hipermagok izsgálhatók reakció- és γ-spektroszkópiai módszerekkel. A reakcióizsgálatokban meg lehet határozni a hipermag tömegét, a reakció hatáskeresztmetszetét, különbözô szögeloszlásokat stb. A γ-spektroszkópia ugyanakkor kitûnô eszköz a níórendszerek felderítésére, spin-paritások meghatározására, a ΛN-kölcsönhatás tulajdonságainak tanulmányozására. γ-spektroszkópiai módszerekkel csak a nukleonemisszió alatti níók izsgálhatók, de nagyságrendileg jobb feloldással, mint reakciókban. Így a módszerek hasznosan kiegészítik egymást. Hipermagok izsgálatára sokféle kísérleti berendezést használtak. Ezek közül csak hármat ismertetünk: a japán J-PARC (Tokai), az olasz DAΦNE, FINUDA (Róma) és az amerikai Jefferson-laboratórium (Newport News, Virginia) berendezéseit. szupraezetõ kaon-spektrométer J-PARC DK TOF Cserenko-detektor rés m DK hiperlabda 7 Li céltárgy Q10 TOF Q9 D2 nyalábspektrométer DK plasztik detektor p + g 7 Li céltárgy hiperlabda spektrométer BGO Ge DK 20 cm K + SKS 2 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

5 a) m+ p - szcintillátorok belsõ (céltárgy) tartomány driftkamrák He gáz Európában a Frascati Nemzeti Laboratóriumban (Olaszország) folynak hipermag-izsgálatok, a FINU- DA programban (Gianotti [4], Franzini, Moulson [5]). A köetkezôkben ezt ismertetjük röiden. A Laboratóriumban mûködô φ-gyárban elektron- és pozitronnyalábokat ütköztetnek = 1020 MeV energiáal, amelynél a φ ss, J PC =1 ektormezonok éles rezonanciát mutatnak. A gyorsító cm 2 s 1 luminozitásának köszönhetôen naponta körülbelül 12 millió φ-mezon elôállítására képes. A φ-mezon közepes élettartama, τ = 1, s, 49%-ban K (su) +K + (us) töltött kaonokba bomlik. A K -mezonokat lefékezik, majd 10 cm K stop A X Z A Λ X Z π b) 5cm + K + K Si m-sáos detektor céltárgy (például C) + e e ütközés Si m-sáos detektor szcintillátor ( K ± detektálás) Be nyalábcsõ 4. ábra. a) A hipermagok izsgálatára szolgáló FINUDA detektor a Frascati Nemzeti Laboratóriumban. b) A detektor belsô (céltárgy) tartománya kinagyíta. A metszet irányára merôleges mágneses tér lehetôséget ad a töltött részecskék impulzusának meghatározására. A Si-mikrosáos detektorok és driftkamrák lehetôé teszik a részecskepályák meghatározását. CERN Courier (2004. április) alapján. A J-PARC szupraezetô kaon- és hiperlabda γ-spektrométere (3. ábra). A J-PARC 30 (késôbb 50) GeV-es protonszinkrotronának intenzí (~15 μa-es) nyalábját alkalmas céltárgyra irányíta pion és kaon másodlagos nyalábok nyerhetôk, körülbelül 1/500 kaon/pion arányban. Kétfokozatú elektrosztatikus szeparátorral ezt az arányt 1-re (agy nagyobbra) jaítják, így iszonylag tiszta töltött kaonnyaláb nyerhetô, körülbelül 1,8 GeV energiáig. A izsgálatokhoz felhasználhatók a (π +, K + ), (K, π )és(k, K + ) reakciók. Ez utóbbial két s-karkot tartalmazó hipermagok is elôállíthatók. A (π +, K + γ) reakciónál a nyalábspektrométerrel mérik a π +, a szupraezetô kaonspektrométerrel a kaon, a hiperlabda spektrométerrel a γ-sugárzás spektrumát. A hiperlabda spektrométer 14 n-típusú koaxiális Ge-detektort tartalmaz, BGO sapkáal a Compton-háttér lenyomására. Vizsgálni kíánják a 12 C(K, K + 12 ) Ξ Be reakcióal elôállított, két s-karkot tartalmazó hipermagot, alamint a könnyû hipermagok gerjesztési níórendszereit (K, π ) reakcióal (Nagae [3]). reakcióal elôállítják a izsgálandó hipermagot. A Λ 0 (uds) részecske a legkönnyebb hiperon, közepes élettartama szabad térben 2, s, 63,9%-ban pπ, 35,8%-ban n π 0 -ba bomlik gyenge bomlással, de an néhány nagyon gyenge bomlásmódja is, például Λ nγ, amelyre az elágazási arány 1, A FINUDA detektor metszetrajza a 4. ábrá n látható. Az elektron-pozitron ütközésben K K + -párok állnak elô. A K -mezonok energiája ~16 MeV. Az alacsony energiájú K -mezonok lefékezôdnek egy ékony (~300 mg/cm 2 ) céltárgyban és (K stop, π ) s-karkcsere reakcióal kölcsönhatnak az atommagokkal. A kilépô π -mezonok impulzusát széles térszögben, jó feloldással (Δp/p ~ ) mérik, majd meghatározzák a hipermag-állapotok energiáit. Az ellentétes irányokban kirepülô K - és K + -mezonok azonosítása és detektálása felhasználható a háttér csökkentésére. Mérhetôk a K + μ + ν μ bomlás müonjainak, alamint a hipermagok bomlástermékeinek adatai is. A berendezés impulzusáteresztése olyan, hogy a megengedett hipermag-állapotok teljes spektruma izsgálható jó feloldással és nagy hasznos térszögben. A izsgálatok lehetôséget adnak a ΛN NN (nem mezonos) bomlás pontos izsgálatára is, ami jelentôs intenzitással csak maganyagban megy égbe. Ez a folyamat alapetô ismeretet szolgáltat a ritkaságáltoztató barion-barion gyenge kölcsönhatásra. A Jefferson-laboratórium (e, e γ)-izsgálatokra épített nagy feloldású kaonspektrométerének sematikus rajza az 5. ábrá n látható. Mind a kaonspektrométer, mind a szórt elektronok spektrométere Δp/p = impulzusfeloldást tesz lehetôé. Néhány eredmény Eddig fôleg Λ-hipermagokat állítottak elô, többségükben könnyû elemeknél ( Λ3 H, Λ4 H, Λ4 He,, 40 ΛCa), de annak ismert nehéz hipermagok is ( 139 ΛLa, 208 ΛPt, 209 ΛBi). Összesített számuk körülbelül 40. A hipermagok fontos jellemzôje a tömeg (M hiper ). Ha (π +, K + ) reakciót használunk elôállításukhoz, a belépô pion és kilépô kaon impulzusektoraiból (p π és p K ) a relatiisztikus kinematika alapján kiszámítható a hipermag tömege: FÉNYES TIBOR: A HIPERMAGOK FIZIKÁJA 3

6 Cserenkodetektor g e -nyaláb DK TOF nagy feloldású kaon-spektrométer D Q2 driftkamra hodoszkóp 5. ábra. A Jefferson-laboratórium (USA) nagy feloldású kaonspektrométere (HKS) (e, e K + ) reakcióal égzendô hipermag-kutatásokhoz. Q1, Q2 kadrupól, D dipól mágnes. DC helyérzékelô driftkamra, TOF repülési idôt mérô berendezést jelöl. Hashimoto, Tamura [2] alapján. M hiper = E π M A E K 2 e Q m mágnes céltárgy e -nyaláb (1,8 GeV) p 2 π p 2 K 2 p π p K cosθ, ahol E π és E K a pion, illete kaon teljes energiája, θ a kaon szórási szöge, M A a céltárgymag tömege. Innen a Λ-hiperon kötésenergiája (B Λ ) egyszerûen leezethetô, ha feltesszük, hogy a magtörzs alapállapotban an: B Λ = M törzs M Λ M hiper, ahol M törzs a törzsmag, M Λ a Λ-hiperon tömege. Hazai eredmény az atommagok kötési energiájára onatkozó Weizsäcker-féle félempirikus tömegformula olyan kiterjesztése, amellyel a Λ-hipermagok a csak nukleonokat tartalmazó atommagokkal egységes formában írhatók le (Léai, Cseh, Van Isacker és Juillet [13]). E sémában a párenergia tagot egy Majorana-tag áltja fel, amely a proton, neutron és Λ-hiperon egyenrangúságát feltételezô SU(6) szimmetriáal áll összhangban. Az eljárás konzisztenciájára utal az, hogy a kísérletileg megfigyelt kötési energiától aló eltérés hasonló az ismert tömegû 1909 csak nukleonokat tartalmazó atommagra és 38 Λ-hipermagra. Kísérletileg meghatározták a Λ-hiperon kötési (szeparációs) energiáját különbözô s-, p-, d-, f-, g-héjakon a tömegszám (A) függényében. Az összesített eredmények a 6. ábrán láthatók. E L ( MeV ) L Pb 139 L La 89 L Y f L 51 L V 40 L Ca d L 28 L Si 5 10 g L B L 9 LBe 0 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 A 2/3 6. ábra. A Λ-hiperon szeparációs energiái (E Λ )aza 2/3 függényében (A tömegszám) a hipermag s g alhéjaira. Pontok hibákkal: különbözô kutatócsoportok eredményei. A görbék az s-héjon ~28 MeV felé konergálnak, ami a Λ-hiperon kötésenergiája a maganyagban. Lenske [6] alapján. A hipermagok γ-spektroszkópiai izsgálata lehetôséget ad gerjesztési níórendszereik részletes felderítésére. A(π +, K + γ)és(k, π γ) reakcióknál a γ-spektrum koincidenciában izsgálható a kilépô K +, illete π mezonokkal. Például fékezési Doppler-módszerrel meg lehet határozni a redukált B (E2) és B (M 1) átmeneti alószínûségeket, majd a bomlási elágazások ismeretében a hipermag-állapotok élettartamát. Lehet mérni szögkorrelációt, γ-sugárpolarizációt és más jellemzôket is. Néhány hipermag parciális níórendszere a 7. ábrán látható. Az észlelt γ-átmenetek két csoportba oszthatók. Például a 7 Li(π +, K + γ) Λ7 Li esetén a Λ spinátforduláshoz tartozik a míg Λ héjak közöttiek az s L p L 16 L O 13 L C 3/2 M1 1/2 1, 7/2 M1 5/2 ; 5/2 E2 1/2 1, 1/2 2 M1 3/2, 1/2 2 M1 1/2 1 átmenetek. Az átmenetek izsgálata részletes információt szolgáltat a spin-spin, spin-pálya és tenzor kölcsönhatások jellegére és erôsségére. A izsgálatok még nem tekinthetôk lezártnak, de a ΛN tenzor kölcsönhatásnál már látszik, hogy a mezoncsere-leírás mûködôképes. A hipermagokat szcintilláló nyomképkamráal is izsgálták. A 7.e f ábrákon a Λ-, Σ + -hiperon keletkezésének és bomlásának nyomai láthatók; a Σ + -hiperon bomlása elôtt protonon szóródott. A kísérletek azt mutatják, hogy a spin-pálya kölcsönhatás a Σ + p rugalmas ütközésben lényegesen erôsebb, mint a Λp ütközésnél. Ha a Λ-hiperon beépül az atommagba, a mezonos Λ πn bomlásmód fékezett az emittált nukleon Paulitiltása miatt. A középnehéz magokban a nem mezonos ΛN NN az uralkodó bomlásmód. A Λp np, illete Λn nn gyenge bomlásokban a Λ és n tömegkülönbség miatt nagy energia (~176 MeV) szabadul fel és a kilépô 4 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

7 a) Li (, K ) (MeV) 3, /2 + T =1 T =1 3,88 M1 M1 2, /2 + 2,520 M1 5/2 + 2, Li E2 M1 7 Li 3/2 + 0,692 1/ , K ) p, K ) szóródás p-on, + + majd n 7. ábra. a d) Hipermagok γ-spektrumai (Tamura és mts. [7] alapján). e f) szcintillációs nyomképkamráal felett hipermag-események (Ahn és mts. [8] alapján). np-, illete nn-párok egyértelmûen azonosíthatók a szögeloszlás és energiakorrelációk alapján. A b) c) d) 13 C( K, ) E1 E1 4, /2 + 5/2 + 4, E2 1/ C 13 C e) p1/2 p3/2 K + + 1/2 3/2 11,10 10,95 3,040 f) Be 6,176 3/2 1/2 16 O p K + 0 Γ n (Λn nn) Γ p (Λp np) 9 Be ( K, ) E2 9 Be E2 3/2 + 5/ O( K, ) + M1 1/ M O 0 p + + 3,067 3,024 6,560 0,026 0 arányra nyert kísérleti eredményt sikerült értelmezni mezon- (kaon-) cseremechanizmus figyelembeételéel. A ΛN-effektí kölcsönhatási potenciál a Λ-hipermag p -héjánál a köetkezô alakba írható (Millener és mts. [11]): ahol V ΛN (r) =V 0 (r) V Λ (r) l ΛN s Λ V T (r) S 12, V σ (r) s Λ s N V N (r) l ΛN s N S 12 =3 σ Λ r σ N r r 2 σ Λ σ N. Az s Λ, p N hullámfüggények szerinti radiális integrálás a megadott öt tagra lehetôséget ad a p-héjon leô hipermagok níóenergiáinak számítására. Fordíta is eljárhatunk, ekkor kísérleti adatokból meghatározható a jelzett öt tag radiális integrálja, amit a néhánytestrendszerekre közetlenül is ki lehet számítani szabad kéttest-kölcsönhatásokból (lásd például Fényes és mts. [10] VI.8.2. pontot). Így köetkeztetés onható le a ΛN -kölcsönhatás erôsségére. A izsgálatok azt mutatják, hogy a ΛN -kölcsönhatás sokkal gyengébb, mint az NN. Amikor egy Λ-hiperon jelenik meg az atommagban, megáltozhat alakja, mérete, héj- és csomószerkezete stb. Ezek a hatások is tanulmányozhatók, ha ismerjük a níósémákat és a B (E 2) redukált átmeneti alószínûségeket. Miel a Λ-hiperonra nem hat a Pauli-tiltás, beépülhet a legbelsô s -pályára és maga köré onzhatja a nukleonokat. Ez az atommag összezsugorodásához ezet. Így például a 6 He-ban léô neutronhalo a Λ7 He hipermagban árhatóan eltûnik (Hiyama és mts. [11]). A B (M 1) redukált átmeneti alószínûség meghatározása lehetôséget ad a Λ-hiperon effektí g-faktorának (mágneses nyomatékának) meghatározására is. Az egy s-karkot tartalmazó Λ-hiperonon kíül ugyancsak egy s -karkot tartalmaznak a Σ ± -ésσ 0 -hiperonok, amelyek tömege némileg nagyobb a Λ-hiperonénál (m Λ = 1115,7, m Σ0 = 1192,6 MeV/c 2 ). Két s -karkot tartalmaznak a Ξ 0 (m Ξ0 = 1314,9 MeV/c 2 )és Ξ (m Ξ = 1321,7 MeV/c 2 ) hiperonok. Eddig csak egy Σ hipermag létérôl adtak hírt, a Ξ hipermag létezéséel kapcsolatban pedig megoszlanak a élemények. A J-PARC program egyik elsô célkitûzése, hogy 12 C(K, K + ) 12 ΞBe reakcióal elôállítsák és izsgálják a 12 ΞBe hipermagot (Nagae [3]). Európában a GSI, HESR nagyenergiájú tárológyûrûben antiprotonok atommagokkal aló ütközéséel akarnak egy agy több s -karkot tartalmazó atommagokat létrehozni és részletes spektroszkópiai izsgálatnak aláetni. Jelenleg c -karkot tartalmazó atommagokról nincsenek kísérleti adataink. A HESR- PANDA programban bájos barionokat [mint például Λ c+ (cud)-t] tartalmazó magok, alamint D ±,0 -mezon atommag kölcsönhatások izsgálata is szerepel (Brinkmann és mts. [12]). Összefoglalás, kitekintés Jelenleg 3000 (benne ~300 stabil) atommagról annak kísérleti információink, ugyanakkor az ismert hipermagok száma mindössze ~40. Így a hiperon(ok)at is tartalmazó atommagok elôállítása és izsgálata hatalmas új kutatási terület a magfizika számára. Az atommagba beépülô hiperonra nem hat a Paulitiltás. A hiperon mélyen kötött állapotba is beépülhet és ezzel új adatokat szolgáltathat az atommag belsejérôl. A hipermagok spektroszkópiai izsgálata lehetôséget nyújt a hiperon-nukleon, illete hiperon-hiperon kölcsönhatások tanulmányozására. Miel a neut- FÉNYES TIBOR: A HIPERMAGOK FIZIKÁJA 5

8 roncsillagok nagy sûrûségû belsejében a hiperonok lényeges szerepet játszhatnak, a izsgálatoknak asztrofizikai jelentôsége is an. A 2009-ben üzembe lépett J-PARC kaongyárban, az építés alatt álló darmstadti GSI, FAIR, PANDA rendszerben, alamint több más mûködô és terezett hipermag-laboratóriumban folyó izsgálatok reményt nyújtanak arra, hogy a közeljöôben frontáttörés történjen a hipermag-fizikában. Irodalom 1. H. Takahashi és mts., Phys. Re. Lett. 87 (2001) O. Hashimoto, H. Tamura, Progr. Part. Nucl. Phys. 57 (2006) T. Nagae, Nucl. Phys. News 19/4 (2009) P. Gianotti, CERN Courier (April 2003) P. Franzini, M. Moulson, Annu. Re. Nucl. Part. Sci. 56 (2006) H. Lenske, Nucl. Phys. News 17/2 (2005) H. Tamura és mts., Phys. Re. Lett. 84 (2000) 5963; Nucl. Phys. A 754 (2005) 58c. 8. J. K. Ahn és mts., Nucl. Instr. Meth A 457 (2001) 137; Nucl. Phys. A 761 (2005) D. J. Millener és mts., Phys. Re. C 31 (1985) T. Fényes és mts.: Atommagfizika I. Debreceni Egyetemi Kiadó, Debrecen E. Hiyama és mts., Phys. Re. C 53 (1996) K.-T. Brinkmann, P. Gianotti, I. Lehmann, Nucl. Phys. News 16/1 (2006) G. Léai, J. Cseh, P. Van Isacker, O. Juillet, Phys. Lett. B 433 (1998) 250. TRANZIENS KÁOSZ A HELYFÜGGÔ AMPLITÚDÓVAL GERJESZTETT OSZCILLÁTOR PÉLDÁJÁN Slíz Judit ELTE, TTK A szerzô posztgraduális csillagász hallgató. E munka az ELTE TTK-n a taaszi félében hallgatott Kaotikus mechanika II. címû speciális elôadás júniusban bemutatott izsgadolgozatából fejlôdött ki. A szerzô köszönetét fejezi ki a tárgy oktatóinak, Gruiz Mártonnak és Tél Tamásnak. A Fizikai Szemlében a közelmúltban a kaotikus mozgásokról megjelent cikkek [1 6] mind permanens káosszal, a kaotikus mozgás tetszôlegesen hosszú ideig tartó formájáal foglalkoztak. Most a kaotikus mozgások egy általánosabban elôforduló fajtáját, a tranziens káoszt izsgáljuk meg. Gyakran találkozunk ugyanis olyan jelenséggel, amikor a kaotikus iselkedés (bonyolult geometria a fázistérben, elôrejelezhetetlenség) csak éges ideig tart. Ez a jelenség a tranziens káosz, amely a permanens káoszhoz hasonlóan felléphet mind disszipatí, mind konzeratí rendszerben. Ebben a cikkben disszipatí esetekkel foglalkozunk. Tranziens káosz esetén nyilán nem létezhet kaotikus attraktor, hiszen azt a kaotikus mozgás sohasem hagyná el, de mégis létezik egy olyan ponthalmaz a fázistérben, amelyet a trajektóriák közül a hosszabb ideig kaotikusak nagyon megközelítenek. Ez a ponthalmaz a nyereghalmaz [7 8]. A tranziens káosz új mérôszáma az átlagos élettartam és ennek reciproka, a szökési ráta. Ezeket a mennyiségeket és a nyereghalmazt fogjuk megizsgálni néhány példán keresztül, neezetesen a parabolikus és a szinuszos helyfüggô amplitúdóal gerjesztett harmonikus oszcillátor, alamint a konstans amplitúdóal gerjesztett anharmonikus oszcillátor esetében. Miért fontos a tranziens káosz izsgálata? Azért, mert jóal általánosabb jelenség, mint a permanens káosz: a káosz alójában sokkal szélesebb paramétertartományban an jelen, mint a kaotikus attraktorok ilága, és információt eszítünk el, ha csak a permanens káosz izsgálatára szorítkozunk. Azonkíül néhány jelenség, mint például a kaotikus szórás, a tranziens káosz fogalma nélkül nem is lenne érthetô. A parabolikus helyfüggésû erôel gerjesztett harmonikus oszcillátor tranziens káosza Nézzük meg elôször a parabolikus helyfüggésû amplitúdóal gerjesztett harmonikus oszcillátort. A dimenziótlanított mozgásegyenlet [1]: ẍ = x β ẋ 1 ν x 2 cosδt. (1) Itt β a súrlódási együttható, ν egy nemlinearitási paraméter, δ pedig a gerjesztési frekencia. A köetkezô paraméterértékekkel tranziens káoszt kapunk: β =0,4, ν = 16,636, δ = 0,682. Vizsgáljuk meg ezt a mozgást részletesebben! Nézzük meg a kitérés-idô diagramon, hogy ha különbözô x 0, 0 (kitérés, sebesség) kezdôpontokból indítjuk a mozgást, hogyan alakul és meddig tart a káosz! Mindhárom esetben jól látható (1. ábra), hogy hoszszabb-röidebb ideig tartó kaotikusság után a trajektória elszökik (megfelelô szimulációal könnyen beláthatjuk, hogy a égtelenbe tart). A kaotikus iselkedés idôtartama erôsen függ attól, hogy honnét indult a mozgás. Az 1.a és 1.b ábrá n látható trajektóriák kezdôpontjai csak az x koordináta ötödik tizedesjegyében különböznek, a kaotikusság idôtartama között mégis egy nagyságrendnyi eltérés an! Látni fogjuk, hogy meg tudjuk majd állapítani: átlagosan mennyi ideig kaotikus a mozgás. Ha megizsgálunk még néhány kezdôpontból indított trajektóriát (ezek itt nincsenek feltüntete), azt tapasztaljuk, hogy hosszabb-röidebb ideig tartó kaotikus kaargás után azok is elszállnak a égtelenbe. 6 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

9 x x x 0,6 0,4 0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,6 0,4 0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,6 0,4 0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 a) t b) t c) t 1. ábra. Az ẍ = x 0,4ẋ +(1 16,636x 2 ) cos(0,682t) mozgásegyenletû oszcillátor kitérés-idô (x t) diagramja a) az x 0 = 0,1, 0 = 0,1, b) az x 0 = 0,10001, 0 = 0,1, c) az x 0 = 0,2, 0 = 0,5 kezdôpontból indíta. Ha ugyanezeket a mozgásokat az (x,) fázistérben az idôtartamokat a T =2π/δ gerjesztési periódusidô többszöröseinek ée (azaz periódusidônként, agy idegen kifejezéssel: stroboszkopikus leképezéssel) ábrázoljuk, azt tapasztaljuk, hogy ameddig a kaotikus mozgás tart, a különbözô kezdôfeltételekbôl indított trajektóriák egy bizonyos struktúra körül mozognak. Minél toább tart a káosz, annál több pont rajzolódik ki ebbôl a struktúrából (2. ábra). Ez a struktúra segíthet a kaotikus nyereghalmazt befoglaló tartomány megsejtésében. Ha a kezdôfeltételek széles körébôl indítunk el sok mozgást, és a t idônél hosszabb élettartamúak N (t ) számát meghatározzuk, majd az így kapott függényt ábrázoljuk, akkor azt kapjuk, hogy t nöekedéséel N(t ) elegendôen hosszú idô után a radioaktí bomlás szabályához hasonló exponenciális csökkenést mutat [8]: N(t) e κt. (2) 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 a) 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 x b) 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 x 2. ábra. Az ẍ = x 0,4ẋ +(1 16,636x 2 ) cos(0,682t) mozgásegyenletû oszcillátor mozgásának periódusidônként (stroboszkopikus leképezéssel) készített fázistérbeli képe a) az x 0 = 0,1, 0 = 0,1, b) az x 0 = 0,10001, 0 = 0,1 kezdôpontból indíta. Az a) esetben (amely az 1.a ábrának felel meg), hosszabb ideig tart a káosz, több pont képzôdik le, mint az 1.b ábrának megfelelô b) esetben. Ez azt jelenti, hogy az egyre hosszabb kaotikus mozgásokhoz tartozó kezdôfeltételek száma rohamosan (exponenciálisan) csökken. A κ együttható a szökési ráta (ami a logaritmikus ábrázolásban megjelenô egyenes negatí meredeksége), ennek τ reciproka pedig az átlagos élettartam (3. ábra). Tehát a kaotikus mozgások átlagosan 17 idôegység (ami közelítôleg a T =2π/0,682 periódusidô kétsze- 3. ábra. Az ẍ = x 0,4ẋ +(1 16,636x 2 ) cos(0,682t) mozgásegyenletû oszcillátornak az x 0 ( 0,4, +0,6), 0 ( 0,7, +0,9) kezdôfeltételû tartományán egyenletesen elosztott 10 6 kezdôpontból indított trajektóriái közül a t-nél hosszabb élettartamúak N(t) száma a belsô ábra logaritmikus skáláján ábrázola lineáris. Az egyenes meredeksége a szökési ráta: κ = 0,0575, ennek reciproka pedig az átlagos élettartam: τ = Nt () log Nt ( ) t t SLÍZ JUDIT: TRANZIENS KÁOSZ A HELYFÜGGŐ AMPLITÚDÓVAL GERJESZTETT OSZCILLÁTOR PÉLDÁJÁN 7

10 rese) hosszúságúak. Az 1.a, 1.b ábra tranziens káosza tehát jóal hosszabb, mint az átlag, az 1.c esetén pedig röidebb. Célszerû a szökési ráta számításának módját a fázistérben is megfogalmazni. Az eljárás az, hogy a fázistér egy kiterjedt tartományában nagyszámú pontot osztunk el egyenletesen agy életlenszerûen, és izsgáljuk az ezen kezdôpontokból induló trajektóriákat. Azon trajektóriák N (t) száma, amelyek t ideig nem hagyják el a tartományt, a (2) összefüggést köetik. Ráadásul a szökési ráta független a kezdôfeltételek tartományának megálasztásától mindaddig, amíg az átfed a nyereghalmazzal. Keressük meg a nyereghalmazt! Az erre kínált szisztematikus eljárás [8] során meg kell nézni, hogy an-e a fázistérnek olyan részhalmaza, amelyet az elég hosszú ideig (ami a gyakorlatban az átlagos élettartam 4 6-szorosa) el nem szökô trajektóriák megközelítenek. Ez a részhalmaz lesz a nyereghalmaz. Az idôtartamokat a T =2π/δ gerjesztési periódusidô többszöröseinek ée megnézzük, hogy a még elég hosszú ideig is el nem szökô trajektóriák hol oltak a fázistérben körülbelül fele annyi idô után és kiinduláskor. A közbülsô idôhöz tartozó ponthalmaz jó közelítéssel a nyereghalmaz. A kezdôpontok kirajzolják a stabil sokaságot (az ezekbôl a kezdôpontokból induló trajektóriák mind elérik a közbülsô idôpontban kirajzolt ponthalmazt, azaz a nyereghalmazt), míg a égsô idôponthoz tartozó ponthalmaz a nyereghalmaz instabil sokasága, mert az ezekbôl 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,2 0,4 0,6 toábbinduló trajektóriák a nyereghalmaztól táolodnak, és a égtelenben található attraktorhoz tartanak. A nyereghalmaz a neét onnét kapta, hogy hasonlóan egy nyeregponthoz agy egy hiperbolikus ponthoz, stabil és instabil sokasággal rendelkezik. A 3. ábrán exponenciális csökkenést tapasztalunk, és alóban, a izsgált tartomány tartalmazza a nyereghalmazt. Az egyszerûség kedéért a periódusidô egész számú többszöröseinél izsgáljuk a trajektóriák helyzetét, így most az elôbb ismertetett gondolatmenetet köete megnézzük, hogy azok a trajektóriák, amelyek még 8T idô elteltéel is a téglalapon belül annak, hol oltak 3T -nél és a kezdeti idôpontban. (Ezek lesznek rendre az instabil sokaság, a nyereghalmaz, illete a stabil sokaság. A próbálkozások azt mutatták, hogy ebben az esetben nem a 8T felénél, tehát 4T -nél, hanem 3T -nél lesz a nyereghalmaz, agyis a trajektóriák iszonylag gyorsan elérik a nyereghalmazt, 4. ábra.) a) 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 x b) 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 x 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 c) 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 x 4. ábra. Az ẍ = x 0,4ẋ +(1 16,636x 2 ) cos(0,682t) mozgásegyenletû oszcillátor fázisterének jellegzetes alakzatai. A b) ábrán látható a nyereghalmaz, az a) ábrán a stabil, a c) ábrán pedig az instabil sokaság. A nyereghalmaz lokálisan mindig két Cantor-halmaz direkt szorzata: a b) ábra kinagyított részén jól látható a kettôs Cantorhalmaz szerkezete. 5. ábra. Az ẍ = x 0,4ẋ +(1 16,636x 2 ) cos(0,682t) mozgásegyenletû oszcillátor nyereghalmazának stabil (szürke) és instabil (fekete) sokasága, amelyek közös pontjai adják a nyereghalmazt. Jól látható a fraktálszerkezet [9]. 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 x 8 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

11 1,0 0,5 0,0 0,5 1,0 1,0 0,5 0,0 0,5 1,0 1,0 0,5 0,0 0,5 1,0 1,0 0,5 0,0 0,5 1,0 1,0 0,5 0,0 0,5 1,0 1 0,5 0 0, ,5 0 0, ,5 0 0, ,5 0 0, ,5 0 0,5 1 x x x x x 6. ábra. a) Az ẍ = x 0,6ẋ + sin(μx) cos(4,1t) mozgásegyenletû oszcillátor stroboszkopikus leképezéssel kapott kaotikus halmazai (kaotikus attraktora agy nyereghalmaza) a μ paraméter függényében, balról jobbra, felülrôl lefelé egyeséel halada μ =6ésμ = 30 között. Látható, hogy a μ paraméter nöeléséel a kaotikus halmaz mérete csökken, geometriája iszont bonyolultabb lesz. Ha finomítjuk μ léptetését, és megnézzük például a μ =10ésμ = 12 közötti tartományt tizedenként léptete, akkor toábbi szabálytalan áltakozásban jönnek elô újabb kaotikus attraktorok, illete nyereghalmazok. Az 5. ábra a nyereghalmaz és sokaságainak egy jellegzetes tulajdonságát mutatja. Neezetesen azt, hogy a nyereghalmazt a stabil és instabil sokaságának a metszete adja ki. A szinuszos helyfüggô erôel gerjesztett harmonikus oszcillátor tranziens káosza Most nézzünk meg olyan eseteket, amikor a trajektóriák nem a égtelenbe, hanem éges határciklus attraktorhoz tartanak, amelyek képe a periódusidôként ett metszeten [7] néhány cikluspont. A káosz ilyenkor is átmeneti, tehát tranziens, csak idôel nem a égtelenbe szalad a trajektória, hanem a kezdôfeltételtôl függetlenül, periodikusan fog mozogni. Induljunk ki a szinuszos helyfüggésû amplitúdóal gerjesztett harmonikus oszcillátor dimenziótlanított mozgásegyenletébôl [1]: ẍ = x 2β ẋ sin(μx) cos(δt), (3) ahol hasonlóan (1)-hez β a súrlódási együttható, μ a nemlinearitási paraméter, δ a gerjesztési frekencia. Ehhez a mozgásegyenlethez a β = 0,3, μ = 20, δ = 4,1 paraméterértékekkel permanens káosz tartozik, tehát a rendszerben létezik kaotikus attraktor [1]. A tranziens káoszra jellemzô, hogy a permanensen kaotikus mozgást eredményezô paraméterértékek közelében kialakul, de utána rendszerint a permanens káosz paraméterértékeitôl táol is létezni fog. Ha tehát a β,aμ agy a δ paramétert megáltoztatjuk a fenti értékekhez képest, akkor elôbb-utóbb tranziens káoszt kapunk. Vizsgáljuk meg, hogy ha a gerjesztésre jellemzô két paraméter (a μ dimenziótlan nemlinearitási paraméter és a δ dimenziótlan gerjesztési frekencia) közül egyszerre csak egyet, például a μ-t áltoztatjuk a permanens kaotikus iselkedést eredményezô érték körül, hogyan alakul a fázistérbeli kép a μ =6ésaμ =30 közötti tartományban (6. ábra)! A 6. ábrán látható eseteket egyenként megizsgála azt tapasztaltuk, hogy különbözô kezdôpontokból indíta a mozgást, hosszabb-röidebb ideig tartó kezdeti kaotikusság után ugyanazokra (de természetesen esetenként más és más) határciklus (agy kaotikus) attraktorokra futnak be a trajektóriák. A határciklus attraktorok most nem a égtelenben annak, hanem éges alakzatok, amelyeknek képe az alkalmazott strobosz- SLÍZ JUDIT: TRANZIENS KÁOSZ A HELYFÜGGŐ AMPLITÚDÓVAL GERJESZTETT OSZCILLÁTOR PÉLDÁJÁN 9

12 kopikus leképezésen néhány cikluspont. Bármely periodikus attraktor cikluspontjait könnyen megkaphatjuk, ha bármely, ahhoz az attraktorhoz induló kezdôpontból elindítunk egy trajektóriát, és megnézzük a hosszú idô utáni kitérés-idô függényét. A nyereghalmazokat befoglaló területet próbálgatással sejtettük meg, és azt kaptuk, hogy a kaotikus mozgás a fázistér x ( 1, 1), ( 1, 1) tartományában lesz. Majd ezt a tartományt lefedtük egy területtel, amelyikbôl kiágtuk a cikluspontok megfelelô kis sugarú környezetét, és megizsgáltuk, hogy a korongokkal kiágott területen egyenletesen elosztott sok, például kezdôpontból indított trajektória mennyi idô után éri el a korongokat, és közben milyen pályát ír le. A nyereghalmazokat az elôzô fejezetben ismertetett szisztematikus eljárással [8] kerestük meg, de a számítógépes futásidô leröidítése céljából annyi egyszerûsítéssel, hogy keesebb, csak 10 4 kezdôpontból indítottuk a trajektóriákat, miel most csupán a nyereghalmaz geometriáját akartuk megmutatni, nem részletes szerkezetét. A 6. ábrán jól lehet látni, hogy a életlenszerûen kiálasztott paramétertartományban 25 esetbôl 10 esetben tranziens káoszt tapasztaltunk. (Ezek a nem erôteljesen kirajzolódó, szakadásokat tartalmazó alakzatok (nyereghalmazok) rendre a μ =6,7,8,9,11,12, 19, 28, 29, 30 nemlinearitási paraméterértékhez tartoznak.) Tehát gyakori jelenségrôl an szó, amelynek fontos megállapítani a törényszerûségeit. A 6. ábrán erôteljesen kirajzolódó alakzatok kaotikus attraktorok, amelyek rendre a többi nemlinearitási paraméterértékhez tartoznak. Ezekben az esetekben permanens káoszt tapasztaltunk, legalábbis a izsgált idôegységig [10]. A 6. ábra táblázatának alakzatait izsgála feletôdik az a kérdés, hogy esetleg minden kaotikus iselkedés egyszer abbamarad, csak elegendôen hosszú ideig kellene izsgálódnunk? Ezt esetünkben sem tudtuk teljes bizonyossággal eldönteni. A táblázat eseteit izsgála azt tapasztaltuk, hogy a nagy μ értékekhez tartozó τ átlagos élettartam két nagyságrenddel nagyobb, mint a kis μ értékekhez tartozó. Táblázatosan összefoglala: μ τ (T) ,2 0,1 0,0 0,1 0,2 0,2 0,1 0,0 0,1 0,2 0,2 0,1 0,0 0,1 0,2 a) 0,03 0,04 0,05 0,06 x b) 0,03 0,04 0,05 0,06 x c) 0,03 0,04 0,05 0,06 x 7. ábra. Az ẍ = x 0,1ẋ 15625x 3 + cos(0,97t) mozgásegyenletû nemlineáris, állandó amplitúdóal gerjesztett oszcillátor fázisterének jellegzetes alakzatai. A b) ábrán látható a nyereghalmaz, az a) ábrán a stabil, a c) ábrán pedig az instabil sokaság. Az alakzatokat úgy kaptuk, hogy megnéztük a még a c) a t 2 =86T idôpontban is kaotikus mozgásokat, hogy hol oltak az a) t 0 =0,ésab)t 1 =43T idôpontban. 8. ábra. Az ẍ = x 0,1ẋ 15625x 3 + cos(0,97t) mozgásegyenletû nemlineáris, állandó amplitúdóal gerjesztett oszcillátor stroboszkopikus leképezéssel kapott nyereghalmazának stabil (szürke) és instabil (fekete) sokasága, amelyek metszéspontja adja ki a nyereghalmazt. 0,2 Anharmonikus oszcillátor: nemlinearitás a rugóerôben Végezetül izsgáljuk meg az 0,1 0,0 ẍ = x x 3 0,1 ẋ cos (0,97 t) (4) 0,1 mozgásegyenletû, állandó amplitúdóal gerjesztett anharmonikus oszcillátor tranziens káoszát (7. és 8. ábra)! Az elôbbiekben ismertetettek szerint elôször megsejtettük, hogy a nyereghalmaz az x (0,025, 0,065), 0,2 0,03 0,04 0,05 0,06 x 10 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

13 ( 0,25, 0,25) téglalapon belül an. A próbálgatással kapott három ciklusponttal kiágott téglalapról 10 6 kezdôpontból indítottunk trajektóriákat, és megkaptuk az exponenciális csökkenést a korongokkal kiágott téglalapon belül: κ =0,00692, τ =144 ( 20T = 40π/0,97). Látható, hogy ebben az esetben a τ =20T iszonylag kis érték, azaz a káosz átlagos élettartama röid. Összehasonlíta a izsgált eseteket megállapíthatjuk, hogy a legröidebb káosz-élettartam a égtelenben található attraktor esetén lépett fel (ez olt a parabolikus amplitúdóal gerjesztett harmonikus oszcillátor esete, τ =2T ), a leghosszabb pedig a szinuszos amplitúdójú gerjesztésnél olt (τ = 5000T ). Záró gondolatok A tranziens káosz ilágunkban a permanens káosznál jóal gyakrabban fellépô jelenség, ezért nagyon fontos törényszerûségeinek feltárása. A trajektóriák látszólagos össze-issza mozgása ideig-óráig tart csupán, azután beáll a reguláris mozgás. De gyakran a mozgásnak éppen az a szakasza érdekel bennünket, amíg még nem szabályos. A tranziens káosz jelenségére rengeteg példa sorolható fel a fizika egymástól legtáolabb esô területeirôl. Ilyen jelenség például a hidrodinamikában a folyadékba kerülô szennyezôdés alakáltozása [7], agy miel nemcsak a disszipatí, hanem a hamiltoni rendszerekben is fellép a tranziens káosz gyakran modellezhetôk tranziens káosszal a csillagászati korlátozott háromtest-problémában a kisbolygók, üstökösök mozgásai, például egy aszteroida idôleges befogásakor, agy elszökés elôtti mozgásának izsgálatakor. A csillagászatban nem ismeretlen a ragadósság neû mozgásforma sem (angolul stickiness), amikor a rezonanciák határán bizonyos kaotikus kisbolygópályák hosszú ideig úgy iselkednek, mintha regulárisak lennének [11]. Irodalom 1. Slíz J.: Helyfüggô amplitúdóal gerjesztett harmonikus oszcillátor kaotikus iselkedése. Fizikai Szemle 60/4 (2010) Biró I.: Mágneses ingák kísérleti tanulmányozása. Fizikai Szemle 56/1 (2006) Gruiz M., Tél T.: Káoszról kicsit bôebben. Fizikai Szemle 55/6 (2005) Békéssy L. I., Bustya Á.: Fizikai kettôsinga izsgálata. Fizikai Szemle 55/5 (2005) Gruiz M., Tél T.: A káosz. Fizikai Szemle 55/5 (2005) Götz G.: A pillangó-effektus a káosz felfedezése a meteorológiában. Fizikai Szemle 43/12 (1993) Tél T., Gruiz M.: Kaotikus dinamika. Nemzeti Tankönykiadó, Budapest, T. Tél, M. Gruiz: Chaotic Dynamics. Cambridge Uniersity Press, Kecskés L.: Egy ölnyi égtelen. Nemzeti Tankönykiadó, Budapest, W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling: Numerical Recipes in Pascal. Cambridge Uniersity Press, Érdi B.: A Naprendszer dinamikája. ELTE Eötös Kiadó, Budapest, A FELÜLETI ARANY-DEKORÁCIÓS REPLIKATECHNIKA Megemlékezés a hallei elektronmikroszkópia 50 ées éfordulója kapcsán Malicskó László MTA, SZFKI Jelen cikkben a kristályfelületek atomos struktúrájának megismerésében 1958-tól az elsô jelentôs eredményeket lehetôé teô konencionális transzmissziós elektronmikroszkópos (TEM) arany-dekorációs replikamódszerrôl kíánunk megemlékezni. Bár ez a módszer az 1980-as éek égétôl, a különféle pásztázó szondás mikroszkópok megjelenésétôl már alig használatos, de a módszerrel elért legfontosabb eredmények néhány példán keresztüli megemlítése és bemutatása tudománytörténeti szempontból tanulságos lehet noember án a németországi Halléban Heinz Bethge ünnepi kollokium az elektronmikroszkópia 50 ée Halle (Saale)- ban címmel megemlékezést tartottak ( Jelen írásommal tiszteletteljes köszönetemet kíánom kifejezni néhai Heinz Bethge professzor úrnak és munkatársainak az Audekorációs, majd egyéb elektronmikroszkópos technikák saját témáimra történô alkalmazásában 30 éen át nyújtott baráti segítségükért. A felületi Au-dekorációs módszer megjelenésének elôzményei Az 1920-as és 40-es éek közt a kristályok azaz határoló lapjaik nöekedésének, illete leépülésének (oldódás, párolgás) magyarázatára két, NaCl-modellre kidolgozott, atomos szemléletû elmélet alakult ki. A Kossel Stranski-elmélet kimutatta, hogy az úgyneezett lépcsôs és könyökös atomos struktúrájú lapokon mindig jelen annak toábbi építôelemek, ionok, atomok csatlakozására energetikailag kedezô atomi pozíciók. Így ezen lapok folytonos nöekedése túltelített anyafázisban biztosított. Az atomosan sima lapok nöekedéséhez azonban felületi lépcsôkezdemények kialakulása szükséges [1 3]. A Volmer Stranski Kaise-, illete 2D nukleációs (2DN) elmélet szerint az atomosan sima kristálylapokon adszorbeálódott építôelemek termikus fluktuá- MALICSKÓ LÁSZLÓ: A FELÜLETI ARANY-DEKORÁCIÓS REPLIKATECHNIKA 11

14 klasszikus felületi dekorációt is alkalmaza, azonban az atomos szintû felületi lépcsôstruktúrák láthatóá tétele és részletes tanulmányozhatósága a dekoráló szemcsék akkori nem kellôen kis mérete miatt nem olt elérhetô. A TEM felületi arany-dekorációs replikatechnika 1. ábra. NaCl-modell kristályra b = a [100], illete b =(a/2)[110] típusú Burgers-ektorú csaardiszlokációk kibukkanási pontjából kiinduló félégtelen, két-, illete egyatomos felületi lépcsô és a belôle Frank szerint kialakuló spirális nöekedési lépcsô ázlata. (a jelöli a rácsállandót). ciója köetkeztében kétdimenziós, atomos magasságú szigetecskék keletkeznek. Ha a 2D szigetecskék sugara egy, a túltelítettségtôl függô kritikus sugarat elér, ezen 2D magok a lap mentén spontán nöekedôképesek és biztosítják a nöekedéshez szükséges lépcsôkezdeményeket [2 4]. A kristályplaszticitásra az 1930-as éektôl kidolgozott diszlokációs elmélet szerint kristályok sima lapjaira kibukkanó csaardiszlokációk a lapokon félégtelen (a diszlokáció Burgers-ektorának nagyságától függôen) atomos agy kétatomos felületi lépcsôt okoznak (Burgers, 1939). A Frank által késôbb felismert és Burton, Cabrera által kidolgozott úgyneezett BCF-, illete csaardiszlokációs nöekedés elmélet ( ) szerint a félégtelen felületi lépcsô a korábbi 2DN elmélet alapján, spirális lépcsôsor formájában (1. ábra) elee folyamatosan biztosítja az energetikailag kedezô helyeket az egyébként sima kristálylapok permanens nöekedéséhez, [2, 5 7]. Az éldiszlokációk felületre kibukkanási helyeinek nöekedésbeli szerepe akkoriban még nem tisztázódott. A BCF-elmélet megjelenése után az 50-es éekben a kristálynöekedési irodalomban erôteljes nöekedési, illete maratási spirál adászat indult meg. Ebben szerephez jutott a klasszikus felületi dekorációs módszer is (például [8]). A Kossel Stranski-elmélet alapján ugyanis már árható olt, hogy a kristályfelületen optikai mikroszkópiáal közetlenül nem látható lépcsôfigurák a felületre megfelelô körülmények közt lecsapatott idegen anyag heterogén 3D magképzôdéséel, azaz felületi dekorációal láthatóá tehetôk. A jósolt atomos felületi alakzatokhoz hasonló sokatomos alakzatokat megfigyeltek ugyan optikai (például [8]), pásztázó és felületi replikás transzmiszsziós elektronmikroszkópos (TEM) módszerekkel, a NaCl (100) hasítási lapjaira nagyákuumban lecsapatott arany magképzôdésének izsgálata során Bassett (1958) megállapította, hogy a felületre csak néhány atomrétegnyi aranyat felpárologtata az arany nem összefüggô rétegként, hanem kis, néhány nm méretû kristálykák formájában kondenzálódik. Az aranyszemcsék elsôsorban a felületi lépcsôk mentén alakulnak ki és h = 0,3 nm magas felületi lépcsôket is dekorálni képesek [9]. (Az arannyal párologtatott felületre folytonos ékonyréteget képezô, az aranyszemcséket lokálisan fixáló szenet kondenzála, a leoldott, szénfilmbe ágyazott aranyszemcsék az Au-dekorációs szénreplika TEM-ben jól láthatóak.) Az 1950-es éek égén Halléban Heinz Bethge professzor munkatársaial a fent említett felületi struktúrák elektronmikroszkópos izsgálatáal foglalkozott. A Bethge-csoport Bassett új Au-dekorációs 2. ábra. NaCl (100) atomosan sima lapján a 2D magképzôdéses nöekedés két fázisának Au-dekorációs TEM képe: a) egyedi 2D magok, illete szigetecskék életlenszerû keletkezése, Δμ = 0,21 ev túltelítettség mellett 0,5 ML (molekularétegnyi) ránöesztés után, b) a szigetecskék koagulációja, Δμ = 0,21 ev túltelítettség mellett, 0,8 ML nöés után [12]. a) b) 1 m 1 m 12 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

15 replikamódszerét azonnal átette és néhány éen belül nemzetközi hírneet biztosító sikerrel alkalmazta a NaCl-modell, majd más kristályok atomos szintû nöekedési, párolgási felületi struktúráinak és egyéb felületi folyamatainak, alamint kristályhibáinak szisztematikus, kalitatí és kantitatí izsgálatára [10, 11]. A Bethge-iskola eredményes munkásságának is köszönhetôen az arany-, illete a különféle kristályokhoz alkalmasabb nemesfém és más partner anyaggal történô felületi dekorációs replikás felületi struktúraizsgálatok a ilág számos kutatóhelyén megindultak, és a pásztázó atomerô mikroszkópia (AFM) megjelenéséig (1987) a felület nanométer szintû geometriai struktúraizsgálatban kiemelkedô szerepet játszottak. A toábbiakban példaként a Bethgeiskola (kristálynöekedési 2DN és csaardiszlokációs elméletét atomos szinten igazoló) néhány alapetô eredményét mutatjuk be. 1 m NaCl (100) lapjának gôzfázisú nöekedési stádiumai 2DN mechanizmus szerint NaCl (100) atomosan sima, csaardiszlokáció-mentes laprészeire nagyákuumban precízen szabályozott túltelítettség mellett NaCl-gôzt lecsapata a 2D magképzôdéses nöekedési folyamat atomos szinten tanulmányozható olt. A kísérletsorozatokból a köetkezô kalitatí eredmény adódott: a kristálylapon kezdetben, 0,5 monorétegnyi (ML) lecsapatás után, a Volmer Stranski Kaise-elmélet szerinti kisebb-nagyobb atomos szigetecskék keletkeznek (a 2.a ábrán apró fekete pettyek Au nanokristálykák által dekorált négyzetszerû alakzatok) életlenszerû felületi eloszlásban. Toábbnöekedés során ezek egybenônek (2.b ábra), egyre nagyobb, összefüggô atomos kristályréteg-szigeteket alkota. A legkisebb detektált szigetecskesugarak (kritikus 2D magsugár) mérése alapján meghatározható olt azok kantitatí túltelítettség-függése, amely az elmélet szerinti hiperbolikus csökkenést mutatta [12]. Megjegyezzük, hogy az atomosan sima lapok leépülése párolgása, oldódása során a felületi magokhoz hasonlóan, felületi akanciákból összeálló 2D gödrök, úgyneezett felületi lyukmagok keletkeznek. 3. ábra. NaCl (100) lapján b =(a/2)[110] Burgers-ektorú csaardiszlokáció kibukkanási pontja körül kialakult egyatomnyi magasságú, Au-dekorált körspirál leépülési lépcsôsor. ([13]-ban a 11. fotó.) ábrán jól látszik, hogy a négyzetes spirállépcsôsor szélsô, egyenes lépcsôi két-két környezô egyatomos körlépcsôel egyesülnek. A Bethge-csoport izsgálatai során az éldiszlokációk korábban tisztázatlan szerepére is fény derült. Kiderült, hogy az éldiszlokációk NaCl (100) felületre kibukkanási helyeinek szabálytalan ionelrendezôdése nöekedésnél, illete leépülésnél permanens 2D felületi mag, illete lyukmag képzôdési hely, amely körül elemi egyatomos körlépcsôsor alakul ki (5. ábra). 4. ábra. NaCl (100) lapján b = a [100] Burgers-ektorú csaardiszlokáció kibukkanási pontja körül kialakult kétatomos magasságú, Audekorált négyzetes spirál leépülési lépcsôsor. ([13]-ban a 4. fotó részlete.) NaCl (100) lapján diszlokációs elemi nöekedési, illete leépülési lépcsôsor-alapformák NaCl (100) sima hasítási lapjára nagyákuumban az elôbb említett körülmények közt NaCl-gôzt lecsapata, illete a lapot lepárologtata kellô ideig, majd arannyal dekorála, tipikus, a BCF-elmélet által jósolt (1. ábra) egy- és kétatomos magasságú elemi spirál lépcsôsor olt megfigyelhetô. A 3. ábrán a központi egyatomos magasságú körspirál lépcsôi közt két bezárt csaardiszlokációs lépcsôkezdemény is an. A 4. 1 m MALICSKÓ LÁSZLÓ: A FELÜLETI ARANY-DEKORÁCIÓS REPLIKATECHNIKA 13

16 1 m 6. ábra. Kettôs dekorált körspirál lépcsôsor NaCl (100) lapján. A szaggatott és folytonos onalköz 350 C hômérsékleten 14 perc alatti lépcsôelmozdulást jelez. ([11]-ben a 17.6 ábra.) 1 m 5. ábra. NaCl (100) lapján b =(a/2)[110] Burgers-ektorú éldiszlokáció körül kialakult, Au-dekorált, koncentrikus, egyatomos párolgási körlépcsôsor. ([10]-ben a 21. oldal 20. ábrája.) Atomos nöekedési és párolgási lépcsôk tangenciális sebességfüggése a lépcsôközi táolságtól 7. ábra. Egyatomos lépcsôsor tangenciális nöekedési sebességének függése a lépcsôközi táolságtól [14]. (nm/perc) C 14 perc y 0 (nm) A BCF-elmélet gôzbôl nöekedésre, illete párolgásos leépülésre kidolgozott felületi diffúziós modellje szerint egy y 0 lépcsôközi táolságú felületi lépcsôsorfelület menti t tangenciális mozgási sebessége az y 0 -nak elméletspecifikus th(cy 0 ) alakú függénye, ahol C konstans. A BCF diffúziós elmélet direkt kantitatí kísérleti kontrollja lehetett tehát ezen t (y 0 ) függés kimutatása. A mérést kettôs dekorációs módszerrel sikeresen elégezték. A módszer a köetkezô olt: NaCl (100) hasítási lapját elôzetesen nagyákuumban lepárologtata, illete elônöeszte, a lapon a diszlokációk körül a fent már említett párolgási, illete nöekedési lépcsôsorok keletkeznek. Keés arany lecsapatásáal néhány kisméretû aranyszemcséel a lépcsôk pillanatnyi helyzetét megjelölték (6. ábrá n a szaggatott onal). Ezután jól meghatározott túltelítettség mellett a lépcsôsort adott ideig toábbpárologtatták, illete -nöesztették. Ezt a éghelyzetet kissé nagyobb és több aranyszemcsét eredményezô lecsapatással rögzítették (6. ábrá n a folytonos onal). A két lépcsôhelyzet közt mért táolságból és idôbôl a tangenciális sebesség meghatározható olt. A 7. ábra a méréssorozat BCF felületi diffúziós modellt igazoló eredményét mutatja [13]. Megemlítendô, hogy Magyarországon az 1960-as és 80-as éek közt tudomásom szerint az MTA Mûszaki Fizikai Kutató Intézet Vékonyréteg Osztálya és a BME Kísérleti Fizika Tanszékén az MTA Kristálynöekedési Kutatócsoport munkatársai alkalmazták szisztematikusan és sikeresen a fenti módszert fém, félezetô ékonyrétegek, illete optikai egykristályok nöekedési folyamatainak és kristályhibáinak izsgálatára. Irodalom 1. W. Kossel: Die molekularen Vorgaenge beim Kristallwachstum. In: M. Falkenhagen: Quantentheorie und Chemie. Leipziger Votraege, 1928, B. Honigmann: Gleichgewichts- und Wachstumsformen on Kristallen. Steinkopf Verl. Darmstadt, Malicskó L.: A kristálynöekedés elméleti alapjai. Fizikai Szemle 12, (1962) M. Volmer: Kinetik der Phasenbildung. T. S. Verl. Dresden u. Leipzig, 1939, és F. C. Frank: The influence of dislocations on crystal growth. In: Crystal Growth. Discussion of the Faraday Society. No. 5, 1949, és W. K. Burton, N. Cabrera: Crystal growth and surface structure, Parts I and II. Ibid W. K. Burton, N. Cabrera, F. C. Frank, Phil. Trans. Roy. Soc. A243 (1951) B. Mutaftschie: Crystal growth and dislocations. In: Dislocations in Solids. (Ed. F. R. N. Nabarro) Vol. 5. North-Holland Publ. Co., Amsterdam, 1980, G. G. Lemmlejn, N. V. Gliki, Dokladi AN SSSR 94 (1954) G. A. Bassett, Phil. Mag. 3 (1958) H. Bethge: Phys. Stat. Sol. 2 (1962) és Elektronenmikroskopie in der Festkörperphysik. (Hrsg. on H. Bethge, J. Heydenreich) Verl. der Wissenschaften, Berlin, K. W. Keller, J. Cryst. Growth 78 (1986) K. W. Keller: Dissertation. Halle, K. W. Keller: Surface microstructures and processes of crystal growth obsered by electron microscopy. In: Crystal Growth and Characterisation. (Eds. R. Ueda, J. B. Mullin) North-Holland, Amsterdam, FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

17 EGYSZERÛEN BONYOLULT A SITNIKOV-PROBLÉMA Koács Tamás Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems Drezda, Németország Miért probléma, ha ilyen egyszerû? Nézzük meg elôször, hogy tényleg egyszerû-e? Egy tömegpontról akkor mondjuk, hogy Sitniko-féle mozgást égez, ha egy egyenes mentén mozog, mégpedig olyan egyenes mentén, amely két egyenlô tömegû, egymás körül keringô égitest közös tömegközéppontján halad át. Itt mindjárt kiderül, hogy csillagászati példáról an szó. Amikor problémáról beszélünk, burkoltan a harmadik égitest mozgására agyunk kíáncsiak, amit a két fôkomponens (az egyenlô tömegû égitestek) graitációs hatása befolyásol (1. ábra). A Newton-féle graitációs erô centrális, azaz az adott tömegpontok között húzott egyenes mentén hat [1]. Ebbôl és a Sitniko-rendszer szimmetrikus elrendezésébôl köetkezôen a kis tömegû égitestre ható két erô eredôje alóban a függôleges egyenesbe esik. Tehát a mozgás tényleg egy egyenes mentén zajlik. Ha a két fôkomponens körpályán kering (azaz táolságuk minden idôpillanatban állandó marad), akkor a harmadik égitestre az egyenes bármely pontján a fôsíktól (a két nagy tömegû test keringési síkja) mért táolságáal arányos erô hat. Ezen erô hatására a tesztrészecske (kis tömege miatt neezhetjük így is) a tömegközéppont körül harmonikus rezgômozgást égez. Körpályát feltételeze a rendszer nem tûnik túlságosan bonyolultnak. Szép példája a középiskolai harmonikus oszcillátornak, bár a megoldás egy kicsit bonyolultabb alakú, ahogy azt már 1911-ben megmutatták [2]. Azonban nem életlenül hiatkoznak problémaként a rendszerre. Ha megengedjük, hogy a fôkomponensek keringjenek egymás körül, amit egy kettôs csillagrendszer esetében joggal feltételezünk, és nem ragaszkodunk a görögök által tökéletesnek élt körpályához, akkor a harmadik, kis tömegû égitest mozgásában drasztikus áltozásokat figyelhetünk meg. És ne gondoljunk arra, hogy nyolcas alakban agy alami kusza pályán kezd el ándorolni. Mindégig az egyenes mentén marad, de mozgása oly rendszertelenné álik, hogy azt a mai fizikában használatos kaotikus szóal illethetjük. És mindez csupán azért, mert a fôkomponensek ellipszispályán keringenek egymás körül, agy másképp megfogalmaza, idôben áltozik a táolságuk, hol közelebb kerülnek egymáshoz (pericentrum környékén, ahogy a csillagászok mondják), hol pedig eltáolodnak egymástól (apocentrum környékén). Még egy fontos köetkezménnyel jár az, hogy gerjesztett rendszerrel an dolgunk. Neezetesen, a harmadik test mechanikai energiája a mozgás során nem állandó. Az ilyen rendszerek dinamikai iselkedéséel bôebben [3] foglalkozik. Ennyi ismerettel a hátunk mögött már nyugodtan mondhatjuk, hogy a Sitniko-probléma alóban probléma. Hiszen annak esetek, és ezek a tipikus esetek, amikor bizony bonyolult lehet az egyenes onalú mozgás is. Természetesen ebben a bonyolultságban nyilánul meg a rendszer dinamikai iselkedésének a szépsége, amelyet az írás köetkezô részében ismerhet meg az Olasó. Mielôtt azonban a probléma alaposabb izsgálatába fognánk, egy mondatot kell ejteni a rendszer néadójáról is. K. Sitniko orosz matematikus olt, aki elsôként bizonyította az égi mechanika híres rendszerérôl, a háromtest-problémáról, hogy benne oszcillátormozgás is lehetséges [4]. Ezért róla neezték el ezt a speciális elrendezést. Hosszú tél röid nyár, röid tél hosszú nyár? Ha az ember kaotikus iselkedéssel találja szembe magát egy dinamikai rendszer izsgálata során, értem itt ez alatt, ha a kitûzött feladat megoldása idôben rendszertelen áltozást produkál, akkor néhány jól beált módszert fel kell adni és helyettük újakat kell beezetni. Itt három dolgot fogok röiden megemlíteni, amelyeket az Olasó szinte minden, káosszal foglalkozó tankönyben sokkal részletesebben is megtalál [3]: az idôbeli iselkedés helyett a rendszer fázisterének tanulmányozása a célraezetô, 1. ábra. A Sitniko-probléma elrendezése. Két egyenlô (m ) tömegû égitest egymás körül Kepler-pályán kering, relatí táolságuk 2r. A harmadik elhanyagolhatóan kis tömegû égitest (P 3 ) a fôkomponensek síkjára merôleges, azok tömegközéppontján áthaladó, egyenes mentén mozog. m r z O P 3 r m Köszönet illeti Gruiz Mártont stilisztikai jaaslataiért. KOVÁCS TAMÁS: EGYSZERŰEN BONYOLULT A SITNIKOV-PROBLÉMA 15

18 6p 4p 2p j 0 j 2. ábra. A stroboszkopikus leképezés ázlatosan. A háromdimenziós fázisteret a gerjesztés periódusáal megegyezô idônként fényképezzük le (a mozgásegyenlet dimenziótlanítása után a Sitnikoprobléma esetén ez éppen 2π), és csak az ezekhez a portrékhoz tartozó kitérés-sebesség párokat tartjuk meg. Az ábráért köszönet Tél Tamásnak és Gruiz Mártonnak. a fázistérben leképezéseken látható jól az a geometriai struktúra, amely a kaotikus iselkedést jellemzi, égül, az egyenleteket számítógéppel, numerikusan kell megoldani, miel egyszerû alakú megoldásaik nem léteznek. A köetkezôkben a fázistér alakzatainak megismerésén keresztül derítjük fel a probléma különbözô mozgástípusait. A rendszert leíró mozgásegyenletben egyetlen függô áltozó an, a harmadik égitest fôsíktól mért táolsága, ezért mondhatjuk, hogy egy szabadsági fokú a rendszer. Ez részben igaz is akkor, amikor a kettôsök körpályán keringenek, ha azonban a gerjesztés is megjelenik (ellipszisen mozog a kettôs), akkor azt mondjuk, hogy másfél szabadsági fokú a rendszer. Az idô a plusz fél. Adott szabadsági fokú rendszer fázistere a szabadsági fokok számának kétszerese, miel minden egyes szabadsági fokhoz tartozik egy helykoordináta és egy sebesség, amelyek a fázisteret kifeszítik. Ebbôl a szempontból az idô kicsit furcsa mennyiség, de a szabályhoz alkalmazkodik, úgyhogy a fél szabadsági foka egy fázistér-dimenziót ér. A Sitniko-probléma fázistere tehát háromdimenziós, a kitérés, az ehhez tartozó sebesség és az idô, agy a helyette beezethetô fázis, ami a fôkomponensek pillanatnyi helyzetére jellemzô. E három adat egyértelmûen jellemzi a rendszer állapotát. Vagyis a mozgásegyenlet megoldása adott pillanatban ebben a 3-dimenziós térben egyetlen pont, köete a mozgást pedig egy folytonos fázisgörbe (trajektória). A kaotikus iselkedés tanulmányozásához, ahogy már említettem, leképezéseket célszerû beezetni. Gerjesztett rendszerek esetén ez iszonylag egyszerû, mert csak a gerjesztés periódusát kell a mintaétel egységének álasztani, és így információesztés nélkül kaphatunk képet a dinamikai iselkedésrôl. A x Sitniko-probléma esetében ez a háromdimenziós fázistér feldarabolását jelenti az idôtengely (agy a fázistengely) mentén. Az effajta leképezést stroboszkopikus leképezésnek neezik, hiszen adott idô elteltéel nézünk csak rá a rendszerre, és mentjük el a kitérés-sebesség (z, ) adatpárokat (2. ábra). Az elneezést a hasonló elen mûködô stroboszkóplámpa ihlette. Most nézzük meg, hogy milyen szerkezetû egy ilyen stroboszkopikus metszet, fázisportré (3. ábra). Láthatunk rajta önmagukba záródó közel koncentrikus görbéket (amelyek szigeteket alkotnak), azok közepén elhelyezkedô pontokat, a görbék között astag sötét sáokat, alamint szétszórt rendezetlenül elhelyezkedô pontokat. A köetkezôkben azt ismerjük meg, hogy milyen mozgást reprezentálnak ezek az alakzatok. A tökéletes mozgás Haladjunk belülrôl kifelé. A zárt görbék minden esetben egy pontot fognak közre a fázistérképen. Ezek a pontok a periodikus mozgásoknak felelnek meg. Ez 3. ábra. Fázisportrék különbözô excentricitásra. a) 0,1-es pályalapultság (az ellipszis körtôl aló eltérése) mellett a Sitniko-probléma egy fázisportréja. Középen koncentrikus zárt görbék (a legbelsô régió nincs ábrázola), majd a ciklusoknak megfelelô szigetek kétoldalt. b) A 2:1-es rezonancia (z = 1, 84, = 0) jobb oldali szigete e = 0,093-ra. 2,0 a) 1,5 1,0 0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 0,4 0,2 0,0 0,2 0, z b) 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 z 16 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

19 pályasíktól mért táolság sebesség idõ 2 b) a) idõ 4. ábra. Kitérés-idô a), sebesség-idô b) görbék 2:1-es rezonanciában. A stroboszkopikus leképezés metszeteinek a függôleges szaggatott onalak felelnek meg. Láthatjuk, hogy minden második metszeten kapjuk ugyanazt a kitérés-sebesség párt. az a mozgástípus, mely során a harmadik égitest éppen ugyanabba a pozícióba, ugyanakkora sebességgel érkezik issza minden egyes fénykép készítésekor (hasonlóan, mint az ingaóra ingája). Helyesebben szóla ez a megfogalmazás csak egyetlen pontra érényes. Vannak olyan periodikus pályák, amelyek minden második fényképen lesznek ugyanazon a helyen, agyis az 1., 3., 5. stb. fényképeken egy adott helyen jelennek meg, a páros számúakon pedig egy másik helyen. Az ilyen periodikus mozgásoknak két pont felel meg a fázisportrén, ahogy az látszik is a fô sziget két oldalán jobbról és balról nagyjából z = ±1,84 és = 0 helyeken. Az, hogy ez a mozgás két pontot ad a metszeten azt jelenti, hogy amíg ugyanabba a pozícióba ugyanazzal a sebességgel megérkezik a részecske két fényképezés történik, azaz a fôkomponensek két keringést égeznek. Az elsô keringés égén a tesztrészecske a z = 1,84, = 0 pontban található, a második égén pedig a z = 1,84, =0 pontban. Az effajta mozgást kettes ciklusnak, agy a csillagászatban használt 2:1-es rezonanciának mondjuk, miel a tesztrészecske és a fôkomponensek periódusideje racionális arányban állnak egymással. Így már kitalálható, hogy az egyetlen pont az 1:1-es rezonanciának felel meg, ahol a tesztrészecske ahogy azt már láttuk egy fôkomponens-keringés alatt tesz meg egy teljes periódust. A harmadik égitest kitérésidô diagramján mindezt ellenôrizhetjük is (4. ábra). A mozgás kezdôfeltételétôl függôen, ezeken kíül természetesen még számtalan különbözô rezonancia található [5]. Káziperiodikus pályák A köetkezô mozgástípus nem annyira szabályos, mint az elôzô részben bemutatott tökéletesen periodikus. Ezek a pályák a fázisportrén zárt görbéket rajzolnak ki. Ez annak felel meg, hogy mozgása során a harmadik test a tömegközéppont körüli kitéréseket égez ugyan, de soha, egyik fényképezéskor sem tér issza ugyanabba a pontba, ugyanazzal a sebességgel. Másképp monda, a mozgás több periodikus megoldás összege, ilyenkor a fôkomponensek keringési periódusa és a tesztrészecske periódusa nem racionális arányban állnak egymással. Az ilyen mozgásokat közel-periodikusnak, agy idegen szóal káziperiodikusnak mondjuk. Az elneezésben benne an, hogy a mozgás iszonylag rendezett, de nem tökéletesen ismétli önmagát. Az, hogy közel-periodikus egy mozgás a fázisportrén többek között abban nyilánul meg, hogy az általuk formált zárt görbék éppen a periodikus pályákat reprezentáló pontok körül alakulnak ki. Mindörökké káosz Bár a harmadik test energiája nem marad meg a mozgás során, általánosabb értelemben a dinamika mégis konzeratí, ugyanis a súrlódás hiánya miatt a fázistérfogat nem áltozik, konzerálódik (lásd Liouilletétel). Ezért soroljuk a Sitniko-problémát is a konzeratí rendszerek közé. Az 1960-as éekben kimondott és bizonyított matematikai tétel határozza meg, hogy a konzeratí rendszerekben a fázisportré zárt görbéi közül melyek maradnak meg hosszú ideig, és melyek azok, amelyek a rendszert érô zaaró hatás (jelen esetben a kettôsök pályalapultsága) köetkeztében felbomlanak, és törmelékként astag sáokat hagynak maguk után [3, 6 8]. Ezekben a sáokban a mozgás idôben rendezetlen, azaz a fényképezés pillanatában a sáon belülre majdnem bárhoa eshet a pont. Ez a fajta mozgás tehát még tökéletlenebb, mint a közel-periodikus megoldások oltak. Ezek a mozgások a kaotikus iselkedés megtestesítôi a rendszerben. A kis tömegû égitest éges térrészben marada égez rendezetlen mozgást, azaz a tömegközéppontátmenetek rendezetlenül köetik egymást. Az effajta mozgás érdekessége, hogy mindégig (permanensen) kaotikus marad, és a részecske a tömegközéppont körül égtelen hosszú ideig, szabálytalan idôközökkel oszcillál. Ez annak köetkezménye, hogy a fázisportrén a görbék nem metszhetik egymást, ellenkezô esetben a megoldás nem egyértelmû. Tehát a kaotikus sáokból a pontok nem ándorolhatnak el a fázis- KOVÁCS TAMÁS: EGYSZERŰEN BONYOLULT A SITNIKOV-PROBLÉMA 17

20 tér tetszôleges területeire, mert ahhoz keresztezniük kellene az ôket körüleô közel-periodikus mozgásoknak megfelelô zárt görbéket (lásd 3.b ábra). Köetkezésképpen a tesztrészecske a fôkomponensek síkjától lefelé és felfelé csak meghatározott határok között mozoghat. Fentebb említettem, hogy a kaotikus mozgás során a trajektória majdnem bárhoá eljuthat a fázistér egy meghatározott részében. A majdnem szó annak köszönhetô a mondatban, hogy ha nagyító alá tesszük ezeket a sáokat, láthatjuk, hogy kisebb skálán is jelen annak a káziperiodikus mozgás szigetei, mintegy beágyaza a kaotikus sáokba (5. ábra), és ez, bármekkora nagyítót is használunk, megmarad. Azt mondjuk, hogy a kaotikus sáok önhasonló alakzatok, nagyságrendekkel áltoztata a felbontást ugyanazt a struktúrát kapjuk. Hasonlóan a szigetek partonalához, a Hold felszínének kráterezettségéhez, agy éppen a karfiol mintázatához. Az ilyen alakzatokat fraktáloknak neezzük [9, 10]. Látható tehát, hogy a kaotikus iselkedés megjelenéséel a fázistérben meghatározott alakzatok rajzolódnak ki. Kantitatí izsgálatok kimutatták, hogy a dinamika és a geometria rendezetlen mozgás esetén is szoros kapcsolatban áll egymással. Itt mutatkozik meg a kaotikus iselkedés tanulmányozásában a fázistér használatának elônye, mert ahogy láthatjuk a rendezett mozgás egyszerû fázistérbeli megnyilánulásai mellett a bonyolult iselkedésnek komplex, de jól meghatározható alakzatok felelnek meg. Akik elszöknek A fázisportré szerkezetének kialakításában látszólag jelentéktelen szereplônek tûnnek a szigetek között és körül soha nem belül elhelyezkedô rendezetlenül szétszórt pontok (3.a és 3.b ábra). Ha az Olasó tüzetesebben megnézi az ábrákat, akkor láthatja, hogy a zárt görbék között nincsenek ilyen pontok. Ott a kaotikusan iselkedô pályák életlenszerû pontjai a kaotikus sáot rajzolják ki, amelynek jól meghatározott szerkezete an, mint azt feljebb láttuk. Akkor ajon milyen mozgásnak felelnek meg a szétszórt pontok? A korábbiakban már megismert kaotikus iselkedés, bármeddig is figyeljük a rendszert, mindégig ugyanazt a fajta iselkedést mutatja. A permanens káosz jelenségéel a fizikusok már a múlt század derekán tisztában oltak, az 1980-as éek közepétôl azonban egyre inkább elôtérbe került a kaotikus iselkedés azon fajtája, amely csak éges ideig tart, majd a kezdeti rendezetlenség után iszonylag egyszerû mozgásba torkollik. Ezt a jelenséget éges idejû agy másképpen tranziens káosznak neezik. Eleinte disszipatí rendszerekben kutatták a jelenséget, miel azok fázisterében találhatók olyan alakzatok, amelyek mintegy onzzák a trajektóriákat, és miközben a fázisgörbék megközelítik ezeket az objektumokat, a mozgás kaotikus jelleget ölthet (miután elérték azokat, a bonyolult mozgás megszûnhet) ,02 0,01 0,00 0,01 0,02 1,58 1,585 1,59 1,595 1,6 z a) b) 2 1,586 1,5865 1,587 1,5875 z 5. ábra. A 3. ábra kinagyított részlete. A kaotikus sáot sûrûn bejárja a trajektória, de annak szigetek amelyek tiltott tartományok. Ez az egymásba ágyazott struktúra a felbontás nöeléséel is megmarad. A kaotikus sáok fraktálhalmazt alkotnak a fázistérben. Vagyis, ha a rendszer idôbeli iselkedését sokáig köetjük, akkor a kezdetben rendszertelenül iselkedô mozgás rendezetté álhat. Súrlódásmentes esetben is kimutatták a jelenséget. Ezekben a rendszerekben a éges idejû káosz szórási jelenségként realizálódik. Azaz a izsgált részecske, tömegpont kezdetben szabályos mozgást égez, majd megközelíti a szórócentrumot, ott éri alamiféle fizikai hatás, majd e hatás köetkeztében kidobódik, elhagyja a szórási tartományt, és mozgása ismét egyszerûé álik. Itt a éges idejû kaotikus iselkedés a szórócentrum közelében figyelhetô meg. Nézzük példának a Sitniko-problémát. Ebben, konzeratí rendszer léén, árható szórási jelenség. Valahonnan magasról beejtjük a tesztrészecskét a tömegközéppont felé. Eleinte nagyon kis gyorsulással indul hiszen még elég táol an a fôkomponensektôl, és azok hatása így még igen kicsi. A tömegközéppont közelébe ére, ahol táolsága már összemérhetô a kettôs relatí táolságáal, a fôkomponensek graitációs hatása egyre inkább érényesül, és a harmadik égitest mozgása eleszti addigi (iszonylag egyszerû) jellegét. Elkezd oszcillálni a tömegközéppont körül, majd alamennyi idô múla eltáolodik a 18 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

21 z 0,1 b) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 3 a) 2 2:1 rezonancia 0,6 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 z 6. ábra. A kaotikus nyereghalmaz e = 0,57-re. a) A nyereghalmaz Cantor-felhô típusú objektum, fraktáltulajdonságai jól meghatározhatók. Látszik, hogy keésbé sûrûn tölti ki a fázisteret, mint a kaotikus sáok. Mérete iszont kiterjedtebb, és a hozzá tartozó mozgás dinamikai tulajdonságai is instabilabbak, kaotikusabbak, mint a permanens káoszé. b) Az a) panel kinagyított részlete. fôsíktól, és elhagyja a rendszert (felfelé agy lefelé) ismét egyszerû mozgással. A korábban említett szétszórt pontok a fázisportrén azoknak a szóródó pályáknak felelnek meg, amikor a részecske hosszabb-röidebb idô után elhagyja a rendszert. Ahogy a égtelen idejû kaotikus iselkedésnek is egy meghatározott geometriájú alakzat, a kaotikus sá felel meg a fázistérben, úgy a tranziens káoszért is egy jól definiálható objektum felel. Ezt neezzük kaotikus nyereghalmaznak. Ennek egyik fontos tulajdonsága, hogy ez is fraktálhalmaz, akárcsak a kaotikus sáok. Geometriája azonban eltérô jellegû. Azt mondjuk, hogy a kaotikus nyereghalmaz kettôs agy összetett fraktál, mert mindkét irányban mére, dimenziója tört szám. Természetesen ez is önhasonló, mint minden más fraktál (6. ábra). A tranziens jelenségek körében is megtalálták a kapcsolatot a mozgás dinamikai jellege, és a nyereghalmaz geometriai felépítése között. Itt kell megjegyezni, hogy ebben az összefüggésben szerepel egy eddig mellôzött, ám igen fontos tényezô, a káosz átlagos élettartama. Ez, mint nee is mutatja, azt adja meg, hogy ha sok-sok különbözô kezdôfeltételbôl induló mozgást izsgálunk a nyereghalmaz közelében, akkor azok átlagosan mennyi ideig mutatnak jelen problémánkban a fôsík közelében kaotikus iselkedést. Érdekes, hogy adott probléma, adott paraméterére ez az érték állandó bárhonnan is esszük a kezdôfeltételeket. Végezetül egy igen érdekes jelenséggel zárnám röid kalandozásunkat a Sitniko-probléma fázisterében. Említettem, hogy ha a numerikusan megszerkesztett nyereghalmaz (a 6. ábrán látható pontfelhô) alamely pontjából indítjuk a tesztrészecskét, akkor az megközelíti a tömegközéppontot, égez alahány, elôre meghatározhatatlan számú rendszertelen rezgést, majd egyszercsak elhagyja a rendszert. Felmerül a kérdés, találhatunk-e olyan kezdôfeltételt, amelybôl indíta a tesztrészecskét, az megközelíti a tömegközéppontot, és a toábbiakban mindörökké rendszertelen rezgéseket égez körülötte, azaz többé nem hagyja el a rendszert. A álasz, igen. E kezdôfeltételeknek maga a nyereghalmaz felel meg. A bökkenô csak az, hogy számítógéppel megtalálni nem lehet ezt az alakzatot, hiszen olyan égtelenül pontosan kellene álasztanunk a kezdôpontot, hogy arra a legtökéletesebb számítógép sem képes. Elméletileg tehát an kapcsolat a tranziens és permanens káosz között, gyakorlatilag azonban csak nagyon hosszú ideig oda ragadó mozgásokat mutathatunk ki számítógépes megoldásaink során. Láttak már ilyet? Eddigiekben csillagászati problémáról olt szó. Felmerülhet a kérdés az Olasóban, hol lehet megfigyelni ezt az égen? Sajnos a Sitniko-probléma annyira speciális elrendezésû, hogy ehhez hasonló mozgás az általunk ismert csillagrendszerekben nem alakult ki. Gyakorlati jelentôsége tehát itt éget is érhetne. Viszont egyszerûségének és a benne rejlô komplex dinamikai iselkedésnek köszönhetôen számtalan káosszal foglalkozó köny, dolgozat, közlemény tárgya olt már, amelyek során közelebb itte mind a szerzôket, mind az olasókat az egyszerû dinamikai rendszerekben megfigyelhetô kaotikus iselkedés megértéséhez, toábbgondolásához. Jelen dolgozatnak is az a célja, hogy felkeltse az Olasó érdeklôdését a dinamikai rendszerekben megfigyelhetô kaotikus iselkedés iránt. Irodalom 1. L. D. Landau, E. M. Lifsitz: Elméleti fizika I, Mechanika. Tankönykiadó, Budapest, W. D. MacMillan: An integrable case in the restricted problem of three bodies. Astronomical Journal 27 (1911) Tél T., Gruiz M.: Kaotikus dinamika. Uniersitas Nemzeti Tankönykiadó, Budapest, K. Sitniko: The existence of oscillatory motions in the treebody problem. Dokl. Akad. Nauk. 133 (1960) Koács T.: Kaotikus jelenségek égi mechanikai rendszerekben. doktori értekezés, papers/thesis.pdf 6. Érdi B.: A Naprendszer dinamikája. ELTE Eötös Kiadó, Budapest, F. Diacu, Ph. Holmes: Égi találkozások. A káosz és a stabilitás eredete. Akkord Kiadó, Budapest, E. Ott: Chaos in dynamical systems. Cambridge Uniersity Press, Cambridge, first edition, J. Gleick: Káosz Egy új tudomány születése. Göncöl Kiadó, Budapest, B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. Freeman, San Francisco, KOVÁCS TAMÁS: EGYSZERŰEN BONYOLULT A SITNIKOV-PROBLÉMA 19

22 HOGYAN IS MOZOG EGY TÖMEGES RUGÓ? II. Woynaroich Ferenc MTA SZFKI Emlékeztetô Egy egyik égén rögzített l hosszúságú, m tömegû D direkciós erejû rugóból és a másik égéhez rögzített M tömegû testbôl álló rendszer mozgását izsgáljuk. Ennek során a rugót egy ρ = m /l sûrûségû, és ε = Dl Young-moduluszú egy-dimenziós rugalmas közegnek tekintjük, amelynek egyes pontjait a rögzített égtôl mért x nyugalmi táolsággal paraméterezzük. A rugó pontjainak s (x,t) longitudinális elmozdulását az hullámegyenletet írja le, amelyben a hangsebesség 1. ábra. A rugó (longitudinális) deformációjának alakja az elsô néhány normál módusban m/m = 0,6 esetén s(x, t) 2 s(x, t) =0 c 2 t 2 x 2 c = ε ρ = Dl 2 m. (1) (2) A feladatot az elrendezésbôl adódó peremfeltételek teszik egyértelmûé: a rugó x = 0 ége rögzített, tehát s(x =0,t) =0, (3) a másik égén leô test mozgása pedig köeti Newton II. törényét, azaz ε s(x,t) x x = l = M 2 s(l,t) t 2. (4) Munkánk elsô felében megkerestük a rendszer sajátrezgéseit normál módusait (1. ábra), amelyek történetesen állóhullámok, és a rendszer mozgását ezekbôl építettük fel (ezek szerint fejtettük ki). Ez az eljárás minden kezdeti feltétel esetén alkalmazható, de nem feltétlenül szemléletes, miel a normál módusokra aló összegzés legalábbis analitikusan nehézségekbe ütközhet. Tipikusan ez a helyzet az elsô részben tárgyalt példákban, azaz az M tömegnél foga kihúzott, majd elengedett, illete az M -en keresztül meglökött rugó esetében. Pedig tanulságos lenne legalább az elején nyomon köetni a rugó mozgásának részleteit. Az ugyanis biztosan nem teljesen sima: a kezdetben (nyújta agy nyújtatlanul, de) nyugó rugó egyik égéel t = 0-ban történik alami (elengedjük, illete meglökjük), és ez a áltozás éges idô alatt terjed égig a rugón, és erôdik issza alahogy a égeken. Ennek nyomon köetésére alkalmas az a (normál módusos leírással egyébként ekialens) megközelítés, amely a rendszer mozgását ide-oda haladó hullámfrontok segítségéel adja meg. Mozgó hullámfrontok Az eljárás alapja az, hogy az (1) hullámegyenlet általános megoldása jobbra és balra haladó tetszôleges alakú hullámokból áll: s(x, t) =f t x c g t x c. (5) (Az egyértelmû szóhasználat kedéért úgy esszük, hogy a rugó bal ége a rögzített, míg az M tömeg a jobb oldali égen an.) f(t )ésg(t) alakját az köti öszsze, hogy teljesülniük kell a (3) és (4) peremfeltételeknek. Az elsô szerint míg a második szerint Itt g l t c α g t f(t) = g(t), l = α f l t c c α = c ρ M, f t l c. (6) (7) (8) és a az argumentum szerinti deriálást jelenti. (6) és (7) az egyes hullámoknak a megfelelô égekrôl aló isszaerôdését írják le. (6) szerint, ha a balra, illete jobbra menô hullám egy adott t 0 idôben g t 0 x és f c t 0 x c, sink x n l x mm / = 0,6 akkor egy késôbbi t idôben a jobbra menô hullám f t x = c f g t f t x, ha x < c(t c t 0 )(<l) x c, ha c(t t )<x < l, 0 (9) 20 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

23 ahol f g t x = g x t c c. (10) Az M tömegen aló isszaerôdés ennél bonyolultabb, mert az M mozgása miatt a hullám alakja torzul. Az ezt leíró (7) egyenlet f (t) ismeretében g(t )-re (például konstans ariálással) megoldható. 1 A megoldás g f t 1 A x = c t x/c z e αz t 0 l/c 0 t 0 l/c 0e αy α f 2l y f 2l y dy dz c c Δ 1 exp α (11) x l t t α 0 Δ g. c Itt és az integrálok alsó határaként megadott t 0 +l/c+0 azt jelenti, hogy ez a határ felülrôl közelít a t 0 +l/c értékhez. (Ennek jelentôségére késôbb isszatérünk.) Ha tehát egy t 0 idôben az f (t 0 x/c )ésag(t 0 + x/c) adott, akkor egy késôbbi t-ben g t x = c g (t) αg (t) φ (t) típusú egyenlet megoldásának lépései: A homogén egyenlet általános megoldása g re g hom (t) C 0 e αt. Az inhomogén egyenlet egy speciális megoldását g (t) C(t) e αt alakban keressük. Ezt behelyettesíte C(t) re a C (t) e αt φ(t) egyenletet kapjuk, amelynek megoldása: t C(t) e αy φ(y) dy C 1. Ezt felhasznála g(t) integrálással megkapható: g(t) g t g f t t t t 0 > l x, c x c, ha0<x < l c(t t ) 0 x c, ha l c(t t )<x < l. 0 A g f -ben szereplô két integrációs konstans, Δ és Δg a köetkezô módon illesztendô: Δg -t az határozza meg, hogy a balra menô hullámnak folytonosnak kell lennie, hiszen a rugó nem szakad el. Ebbôl g t 0 l l = g c f t 0 c, azaz Δ g = g C(z) e αz dz C 2. t 0 l c (12) (13) adódik. A Δ meghatározásakor két esetet kell megkülönböztetni. Egyrészt külsô behatás nélkül az M sebessége folytonos, mert a rugó csak éges erôel tud a testre hatni, így a éges M tömeg sebessége nem ugorhat. Ebbôl köetkezik, hogy lim f (t l/c) g f (t l/c) = t t 0 0 lim f (t l/c) g (t l/c). t t 0 0 (14) Az itt szereplô limeszek kiszámolásánál azonban figyelembe kell enni, hogy a rugó mentén a sebesség, így egyes argumentumoknál az f (t l/c ) ugorhat. 2 Ez égül is a Δ = lim t t 0 0f l t lim c t t 0 0f l t c (15) lim t t 0 0g l t c szabályt eredményezi. Ettôl különbözô eset, ha az adott t 0 pillanatban az M -et meglökjük úgy, hogy a sebessége M legyen. Ekkor a szabály lim t t 0 0f l l t g c f t = c (16) f l t 0 Δ = c M. (A késôbbiekben egy olyan példát fogunk izsgálni, amelyben mindkét lehetôségre figyelni kell.) A kezdeti feltételek most azonosak azzal, hogy f x g x = s c c 0 (x), (17) x g x = c c 0 (x). f Ebbôl f és g kifejezhetô, tehát f és g megadható: x g 0 = 1 x c 2 s (x) 1 0 2c 0 (y) dy ( C), f 0 x c = 1 x 2 s (x) 1 0 2c 0 (y) dy ( C). Itt két dolgot kell megjegyeznünk. Egyrészt a ±C integrációs konstansok idôfüggô tagot nem generálnak és az 2 Ha a jobbra menô hullámban a sebesség alahol, azaz f (t x/c) alamilyen argumentumnál ugrik, akkor ott f (t x/c) égtelen, ami megjelenik a (11)-ben szereplô integrál alatt. Ez a szingularitás integrálható, és finomabb matematikai eszközökkel jól kezelhetô, itt azonban más eljárást jaasolunk: az általánosság csorbítása nélkül álaszthatjuk t 0 -nak azt az idôpontot, ahol az f (t l/c) ugrása an. Ekkor az integrál alsó határát t 0 + l /c + 0-nak álaszta biztosítjuk, hogy az integrál szinguláris tagot ne tartalmazzon (az integrálokat az f szingularitása fölött kezdjük), így lim g f (t +l /c )=Δ, t t 0 +0 (18) a Δ-t pedig úgy illesztjük, hogy az M sebessége folytonos legyen. 0 0 WOYNAROVICH FERENC: HOGYAN IS MOZOG EGY TÖMEGES RUGÓ? II. 21

24 s (x,t)-bôl kiesnek, tehát ignorálhatók. Másrészt a (18) által meghatározott kezdeti f és g mindig egy olyan helyzetet ír le, amelyben az M tömeg kezdôsebessége = lim 0 (x). x l Ha az ettôl különbözik, mert például az indításkor meglökjük, akkor azt a fentiek szerint a Δ megfelelô megálasztásáal ehetjük figyelembe. Mindent egybeete a mozgás a köetkezô módon írható le. A g 0 -al megadott elmozdulástér a rögzített ég felé tolódik, és onnan ellentétes fázisban isszaerôdik. Eközben az f 0 -al megadott elmozdulástér az M felé tolódik, és az M tömegrôl erôdik issza. Ennek megfelelôen egy t < l/c idôpontban és f t g t f g0 x = c x = c g f0 f g0 t f 0 t g 0 t g f0 t x, ha x < ct (< l) c x, ha ct < x < l c x c, ha 0 < x < l (19) (20) ahol -t és -t értelemszerûen (10) és (11) adja meg. Így f és g a kezdeti feltételek segítségéel megkapható a t < l /c idôre. A fenti eljárásból azonban ilágos, hogy bármely idôpillanatból kiindula a mozgás jellemzôi újabb l /c idôinterallumra megadhatók, tehát az eljárás ismétléséel tetszôleges ideig köethetôk. Ebben a leírásban a technikából adódóan an egy l /c idejû szakaszosság. Ennek nem feltétlenül kell a megoldásban is megjelennie, de bizonyos esetekben (mint például a bemutatandó példában) ez kifejezetten jellemzô magára a mozgásra. Neezetesen, ha a rugó mentén a sebesség ugrik, akkor az a sebességugrás a (10)-nek és (14)-nek megfelelôen a két ég között a haladási irány szerint áltakozó elôjellel oda-issza erôdik. A sebességugrás két oldalán a s (x,t)/ x relatí megnyúlás nem azonos, ezért alahányszor az ugrás az M -hez ér, hirtelen megáltozik az arra ható erô. Az M tömeg a M = ε cm f t ct x, ha l ct < x < l, c l c g l t c (21) gyorsulása emiatt minden alkalommal (14)-nek megfelelôen Δ a M = 2 ε cm lim t t 0 0f l t c lim t t 0 0f l t c (22) értékkel megáltozik. Fontos megjegyezni, hogy a rendszerben két karakterisztikus idô an: a τ 1 = l c mellett a τ 2 = 1 α = (23) is fontos paraméter. Az elsô az az idô, amíg egy jel a rugón égigfut, a második egyfajta relaxációs idônek látszik. Az ezekhez tartozó hosszúságskálák a rugó hossza, illete l M = M/ρ, ami a rugó olyan hosszú darabjának felel meg, aminek a tömege éppen M. Ezek jelentôségére az alábbi példa kapcsán isszatérek. Az M-en keresztül meglökött rugó mozgása (II. megoldás az elsô részben b)-el jelzett kezdeti feltétel mellett.) A hirtelen meglökött (agy sebességgel a rugónak ütközô) M tömegû test egy hullámfrontot indít el, amely a rugón ide-oda halada hol a rögzített égrôl, hol az M tömegrôl újra és újra iszszaerôdik. A primer hullámfront alakját az határozza meg, hogy kezdetben mind f, mind g nulla, így Δg is az, és az egyedüli nem nulla tagban (16) szerint Δ = : ahol és M ρ c s(x, t) =s 1 (x, t), amíg 0 < t < l/c, s 1 (x, t) = s 0 1 e α t x l c, ha l ct x l, 0 különben, s 0 = α. (24) (25) (26) (Ezzel összefüggésben a τ 2 idôállandó szemléletesen értelmezhetô: egy egyik irányban égtelen hosszú rugónak ütköze az M tömegû test exponenciális függény szerint fékezôdik le, ennek az idôállandója az adott ρ és c mellett τ 2.) Amikor az (egyébként g(t +x/c)-nek megfelelô) s 1 (x,t) hullámfront eléri a rögzített éget (t = l /c ), akkor ellentétes elôjellel isszaerôdik, azaz az (innentôl kezde már sehol nem 0) s 1 (x,t) mellett megjelenik az f s1 (t x/c) -nek megfelelô) s 2 (x, t) = s 0 1 e α t x l c, ha 0 x ct l, 0 különben (27) hullámfront, amely a rögzített ég felôl az M tömeg felé halad. Tehát az l /c < t <2l/cidőinterallumban a rendszer mozgását az s(x, t) =s 1 (x, t) s 2 (x, t) adja meg, amelyben az elôzôek szerint (28) 22 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

25 f t g t x = s c 2 (x, t), x = s c 1 (x, t). (29) Miután az s 2 (x,t) frontja eléri az l éget, azaz ha t 2l /c, akkor az elmozdulástér s(x, t) =s 1 (x, t) s 2 (x, t) s 3 (x, t) (30) amíg t <3l/c. Ebben már mind s 1 (x,t), mind s 2 (x,t) sima függények, és az M tömegrôl isszaert front mozgását az s 3 (x,t) = 1 s 0 1 2α x 3l t c ha 3l ct x l, 0 különben (31) függény adja meg. (A fent ismertetett eljárásban t 0 = 2l /c-t álaszta Δg -t és Δ -t (13), illete (15)-nek megfelelôen meghatároza g s2 (t x/c) -re s 1 (x,t) +s 3 (x,t) adódik, tehát az s 1 (x,t) folytatódik, és megjelenik mellette s 3 (x,t).) Nem köetem toább, de az eljárás tetszôleges ideig folytatható. Figyelemre méltó, hogy az M tömegen aló isszaerôdéskor mindig megáltozik a front alakja: elôször az egyszerû exponenciális függény egy polinommal szorzódik, minden toábbi alkalommal pedig a polinom fokszáma nô. Eredményünk különösen érdekes, ha a τ 2 relaxációs idô lényegesen hosszabb mint τ 1, azaz ami alatt a jel a rugón égigfut (ez az M >> m eset). Ekkor egészen addig, amíg t << τ 2 (ebbe a hullámfront számos oda-issza mozgása belefér), α szerint sorba fejthetünk, és megelégedhetünk a ezetô járulékkal. Ebben a közelítésben 0, ha 0<x < l ct, x l amíg 0 < t < l t,ha c, c l ct < x < l, s(x, t) (32a) 2 x c,ha 0<x < ct l, amíg l c < t < 2l c, x l t,ha c ct l < x < l, e α t x 3l c, 2 x c,ha 0<x <3l ct, s(x, t) t 3 x l,ha c 3l ct < x < l, amíg 2l c < t < 3l c, (32b) Arról an tehát szó, hogy az ide-oda mozgó front bal oldalán a rugó (kezdetben teljesen, késôbb közelítôleg) áll, míg a másikon a sebessége közelítôleg. A relatí összenyomódottság ( s / x ) a bal oldali 0 és a jobb oldali nagyjából /c értékrôl indula a front két oldalán felálta 2/c lépésekben nöekszik. (Ebben a közelítésben nem látszik, de ezalatt az M sebessége lassan csökken.) Figyelemre méltó tehát, hogy a rugó összenyomása sem idôben, sem térben nem egyenletesen történik, és az M gyorsulása sem sima, hanem Δ a M 2 c ε M = 2 c l lépésekben áltozik (ahogy azt (22) alapján elárjuk). Hasonló módon érdekes és szépen leírható az eredmény, ha a relaxáció sokkal gyorsabb mint a jelterjedés, azaz τ 1 >> τ 2 (m >> M ). Ilyenkor az ide-oda erôdô hullámonulat szélessége l M << l. A rugónak csak az ebbe esô darabja an összenyoma agy megnyújta, és csak ez a darabja mozog, a többi lényegében áll. Ennek megfelelôen az M tömeg is lényegében csak akkor mozog, amikor a hullám éppen isszaerôdik róla. A hullámonulatot úgy kell elképzelni, hogy a hullámfrontnak a haladás irányába esô széle éles, a szélessége az l M nagyságrendjébe esik (ezt jelölöm l M -mel), de a hátsó széle elmo- sódott. m M 0, amikor 0<x < l ct, ha 0 < t < l s 0, amikor c, l ct l M < x < l, s(x, t) (33a) 0, amikor 0<x < ct l l M, ha l c < t < 2l c, s 0, amikor ct l < x < l, WOYNAROVICH FERENC: HOGYAN IS MOZOG EGY TÖMEGES RUGÓ? II. 23

26 0, amikor 0<x <3l ct, s(x, t) s 0, amikor 3l ct l M < x < l, ha 2l c < t < 3l c, (33b) Általánosságban elmondhatjuk, hogy a rugó mozgását egy szakaszosság jellemzi, a szakaszok hossza pedig az a τ 1 idô, amíg egy jel égigfut a rugón. A két églet között az alapetô különbség abban an, hogy hogyan iszonyul ehhez a τ 2 relaxációs idô. Ha τ 2 >> τ 1, a relaxációs idô alatt, tehát ami alatt számotteôen megáltozik például az M sebessége, a hullámfront éle sokszor oda-issza fut a rugón, az exponenciálissal leírható elmozdulástér (a torzulás mellett) sokszorosan önmagára hajtogatódik. A fordított, τ 1 >> τ 2 esetben a jel teljes hossza ( l M ) sokkal röidebb mint a rugó, és bár a hullám egyre inkább fodrozódik (ahogy az M-rôl isszaerôdik), hosszúsága (az exponenciális lecsengés mértéke) a mozgás során áltozatlan marad. Egy ráadásfeladat Mind az állóhullámokkal, mind a mozgó hullámfrontok leírásáal kapcsolatban igen tanulságos az alábbi feladat: mikor, és mekkora sebességgel pattan issza a kezdetben álló rugónak sebességgel nekiütközô M tömeg? A megoldáshoz az M-re ható erôt (agy az M gyorsulását) kell izsgálni. Amíg M a rugót nyomja, a mozgás a feljebb tárgyalt b) kezdeti feltételnek felel meg, de amikor a rugó ége erô-, azaz megnyúlásmentessé álik, az M elrepül. A feladatot ugyan nem tudjuk általánosságban analitikusan megoldani, de a két (M >> m, illete M << m) égletben a probléma jól kezelhetô. A fentiek alapján az is nyilánaló, hogy a két határesetben egészen másként kell eljárnunk, és mást is kell árnunk. Az M >> m eset. A rendszer mozgását a normál módusok segítségéel adjuk meg. Az elsô részben tárgyaltak szerint az M gyorsulását s(l, t) = n =0 ω n 2M sin 2 κ n sinω m M sin 2 n t κ n (34) adja meg. Ez árhatóan T 0 /2 körül lesz nulla. A felharmonikusok Ez egy kicsit szigorúbb feltétel mint az m /M << 1, de ha ez is teljesül, a κ n -ekre, alamint az ω n -ekre onatkozó közelítésekben és t < T 0 /2 esetén a szinusz argumentumában is a ezetô tag ehetô. Ekkor M gyorsulása jó közelítéssel s(l, t) D m m M D m sinω 0 t m M ω 0 (37) A második tagban az összegzés elégezhetô, és arra ezet, hogy s(l, t) D m Itt {t} definíciója: m M ahol a μ egész, és sinω 0 t ω 0 n =1 2 π D m {t} =t 2μτ 1, sin n π c t l. n m M 2μτ 1 < t <(2μ 2) τ 1. 1 {t}. τ 1 (38) (39) (40) Ennek megfelelôen (38) második tagja egy fûrészfogfüggény (.ö. (22)!) (Figyelemre méltó, hogy t << T 0 -ra (38) a μ-el lépcsôzetesen nöekszik: s(l, t) c l D m t m M 1 m (2μ 1), M (41) ahogy azt (32) alapján árjuk.) T 0 /2 közelében (38) D m s(l, t) T 0 t {t} (42) m M 1, 2τ 1 τ 1 τ 1 τ 1 tehát az ellökôdés t idejét égül is a T 0 2 egyenlet adja meg. A megoldás t = t τ 1 {t} = 0 T 0 2 {t} τ 1 (43) (2ν 1) τ 1, (44) 2 ω n n =1 2Msin 2 κ n sin 1 m c nπ m Msin 2 κ n nπ M l t járuléka lényegesen leegyszerûsödik, ha 1 π m M c l T 0 2 m M << 1. (35) (36) ahol a ν egész, és (2ν 1) τ 1 < T 0 2 <(2ν 1) τ 1. (45) Az adott (m/m ) 1/2 << 1 esetben a gyorsuláshoz hasonlóan az M 24 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

27 ṡ(l, t) = n =0 2 M sin 2 κ n cosω m M sin 2 n t κ n (46) 1. táblázat A isszalökôdés idôpontja és sebessége néhány tömegaránynál sebessége is kiértékelhetô. Az s(l, t) kiszámításánál alkalmazott közelítésekkel, és (43) felhasználásáal az ṡ(l, t) {t} m τ 1 M (47) értéket kapjuk. Ennek megfelelôen az elrepülô test kinetikus energiája 1 2 M (ṡ)2 1 2 M {t} τ 1 M. 2 m (48) Eredményünk szerint tehát az M tömegû test általában hamarabb (határesetben pont akkor) repül el, mintha csak a nulladik módus lenne gerjeszte, a sebessége mindig kisebb, mint, de lehet nagyobb, mint a nulladik módus sebességamplitúdója, iszont az az energia, amit magáal isz, keesebb, mint a nulladik módusé. (Annak a kérdésnek, hogy ezt a módusokból milyen arányban iszi el, nincs értelme, hisz az elrepülés után megáltoznak a rendszer normál rezgései.) Mindezt a (m/m ) 1/2 << 1 közelítésben kaptuk. Ha m /M nagyobb, a megoldásban szerepet játszó fûrészfog-függény torzul, az elrepülés ideje és sebessége eltolódhat, de a kapott megoldás jellege (tehát hogy t < T 0 /2, és hogy sok energia marad a rugóban) megmarad. Az M << m eset. Ilyenkor a rugó mozgását a hullámfrontokkal célszerû megadni. Eszerint leghamarabb akkor tud az M elrepülni, amikor az általa elindított hullámfront a rögzített égrôl isszafordula éppen róla erôdik issza. Feltételezzük, hogy a tömegiszonyok olyanok, hogy alóban ez történik, azaz a test még azelôtt elrepül, hogy az s 3 (x,t) frontja a rögzített égrôl isszaerôde újra elérné az M tömeget (tehát alamikor 2τ 1 és 4τ 1 között). Az erômentesség feltétele m/m t/2τ 1 T 0 /4τ 1 u/ 0,6 1,9558 2,2278 0,6329 1,0 1,5338 1,8259 0, , m M >1 e 2 m M 2, azaz m M > 0, feltétellel. Ha ez nem teljesül, akkor az s 3 (x,t) frontja a rögzített égrôl isszaerôde még (50) elôtt eléri az M -et, ezért más s (x,t)-el kell számolni. Ha tehát M elég kicsi, (50) használható, és az ellökôdés sebességére u = 3 i =1 s i (l, t) t t =2τ 1 ξτ 2 =2e ξ 2. ábra. A meglökött M tömeg gyorsulása. (52) adódik. Ez akkor a legnagyobb, ha M 0, ilyenkor ξ 1, és u lim M 0 = 2 e = 0, (53) A minimális érték akkor an, ha (52) éppen teljesül, ekkor ξ =2m /M = 1,15718, és u = 0, (54) (55) (Itt meg kell jegyezni, hogy ezekbôl a számításokból nem derül ki, hogy ez abszolút minimum-e, agy kisebb tömegaránynál, tehát ha a hullámfront egynél többször erôdik issza az M -rôl, adódhat-e ennél kisebb u /. Egy biztos, alahol minimumának kell lennie, hiszen m /M 0 esetén egyhez tart.) Néhány eset adatait az 1. táblázatba foglaltuk. A második oszlop az ellökôdés idejét adja egy jel oda- Ebbôl s(x, t) x = 3 x = l i =1 s i (x, t) x t =2τ 1 ξτ 2 x = l =0. (49) (50) a M T0/ t1 mm / = 0,1 tt / 1 adódik, ahol ξ =1 e 2 m M 2 (51) t akkor értelmezhetô, ha t <4τ 1, azaz ξτ 2 <2τ 1.Eza feltétel azonos a. a M mm / = 0,6 tt / 1 T0/ t1 WOYNAROVICH FERENC: HOGYAN IS MOZOG EGY TÖMEGES RUGÓ? II. 25

28 issza futásának idejéhez iszonyíta, a harmadik oszlop összehasonlítás céljából az alapmódus rezgésidejének felét adja meg ugyanezen a skálán, míg a negyedik a kimenô és bejöô sebességek hányadosa. A -hez tartozó adatok határértékként értendôk. Feladatunk érdekessége az, hogy nem az M tehetetlensége miatt mindenképpen sima s M = s(l,t) elmozdulást, hanem az a M gyorsulást kellett izsgálni. Láthattuk, hogy elég kis m/m tömegarány mellett még közelítôleg kirajzolódik a harmonikus rezgésre jellemzô szinuszhullám, de ennek nagyobb tömegarányok mellett már alig an nyoma. Ezt hiatott illusztrálni az 2. ábra, amely az a M gyorsulást mutatja önkényes egységekben a nulladik módus elsô periódusa alatt egy kisebb és egy nagyobb tömegarány mellett t/τ 1 függényében. Az összehasonlítás égett szaggatott onallal bejelöltük a nulladik módushoz tartozó gyorsulást is. (Annak kiderítését, hogyan néz ki mindez a sokkal szebben iselkedô a) kezdeti feltétel mellett, az olasóra bízzuk.) Befejezés gyanánt Munkánk alapkérdése az olt, hogy mennyire jól írja le egy tömeges rugón léô test mozgását a szokásos (ideális rugó által mozgatott effektí tömeg) közelítés. Vizsgálódásunkban abból indultunk ki, hogy a rugó maga egy egydimenziós rugalmas közeggel modellezhetô. E közeg mozgását egy egyszerû hullámegyenlet írja le, amelyben a rugóhoz csatlakozó tömeg egy speciális (az adott tömegre onatkozó Newton-egyenletbôl megkapható) peremfeltétellel eendô figyelembe. Megkonstruáltuk a rendszer normál módusait. Ezek állóhullámok, amelyek közül a leghosszabb hullámhossznak megfelelô alapharmonikus elég nagy (akár m /M 1) tömegarány mellett is jó közelítéssel úgy iselkedik, mintha egy ideális rugó a szokásos effektí tömeget mozgatná. A röidebb hullámhosszú módusok rezgési frekenciája nem egész számú többszöröse egyik hosszabb hullámhosszúnak sem, ezért a rugó mozgása általában nem periodikus (kiée, ha csak egy módus an gerjeszte). A fentiek alapján az, hogy a mozgás mennyire jól közelíthetô az ideális rugó mozgásáal, a kezdeti feltételektôl függ, mert ezek határozzák meg, milyen súllyal jelennek meg a magasabb frekenciájú módusok. Ezt két példán szemléltettük: a) az M tömegnél foga kihúzott majd magára hagyott rugó mozgását, illete b) az eredetileg nyújtatlan és nyugó rendszerben az M meglökéséel indított mozgást elemeztük. Konklúziónk szerint az a) esetben egész nagy tömegarányig az alapmódus a meghatározó, a b) esetben iszont már kisebb tömegarányok mellett sem elhanyagolhatók a felharmonikusok. Bár a normál módusokkal elben minden lehetséges helyzet leírható, a gyakorlatban problémát jelenthet ezek felösszegzése, azaz a mozgás köetése. Ez nem merül fel a hullámegyenlet egy másfajta megoldása esetén, amelynek lényege, hogy a rugót modellezô rugalmas közegen jobbra és balra haladó hullámokat a rugó két égét leíró peremfeltételeknek megfelelôen összeillesztjük. Igaz, hogy itt többet kell számolni, de a mozgás lényegében tetszôleges ideig nyomon köethetô. A b) esetet ezzel a módszerrel is megizsgála bemutattuk, hogy a rugó tényleges mozgását az alakítja ki, hogy a két ége között egy hullámfront ide-oda erôdik. Vizsgálódásunkat egy, a b) helyzethez illeszthetô feladat megoldásáal zártuk: megnéztük, hogy mikor és mekkora sebességgel löki el a rugó a égén léô testet, ha az nincs rögzíte hozzá. Nem igazán meglepô eredményünk szerint a test a kezdôsebességénél mindig kisebb sebességgel repül el, ezért alamennyi energia mindig ottmarad a rugóban. A konkrét eredmény mellett ez a feladat jól illusztrálja, hogy mennyiben hasonlít az M mozgása a harmonikusra, ha m /M elég kicsi, és hogy mennyire nem hasonlít arra, ha a tömegarány nagyobb. A FIZIKA TANÍTÁSA ALADDINA CSODALÁMPÁJA Schronk Edina Bolyai János Gimnázium és Kereskedelmi Szakközépiskola, Ócsa A 19. Ifjúsági Tudományos és Innoációs Tehetségkutató Versenyen egy elektrokémiai témájú munkáal indultam; mentorom ösztönzésére esett erre a álasztásom. Olyan pályamunkát szerettem olna készíteni, amelynek gyakorlati felhasználása is lehet és egyszerû körülmények között is elkészíthetô. Úgy gondoltam, bôrünk saasságát hasznosítani lehetne, azaz galánelektromos úton elektromos feszültség és áram termelhetô; mégpedig úgy, hogy fogyasztóként egy lámpát (LED-et) is ilágításra tudjunk bírni. Elképzelésem szerint a lámpa nem csupán fényforrásként lenne használható, hanem játékos diagnosztikai eszközként is, hiszen bôrünk pillanatnyi elektrokémiai állapota szerint mûködik. 26 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

29 2. ábra. Fémlapokkal történô kialakítás. 1. ábra. A hat darab elkülönülô, sorba kötött cella. A lámpához szükségem olt egy minél nagyobb feszültséget és áramerôsséget adó elektródapárra, amely nem mérgezô, és lehetôleg könnyen hozzáférhetô (sôt, akár újrahasznosítható agy már újrahasznosított) anyagokból an. A mûködéshez tenyerünkkel egyszerre meg kell fognunk (agy más csupasz testrészünkkel érintkeztetni kell) az elektródákat. Így elektrolitként az emberi bôrt használtam. A legjobbnak tûnô közönséges fémeket mérések útján álasztottam ki. Környezetünkben elôforduló és iszonylag olcsó anyagok közül elsôként a réz-as pár bizonyult a legjobbnak. Ráadásul ezzel az új módszerrel bôül a napjainkban egyre népszerûbb energia guberálás [1] köre is, hiszen a jelenlegi népszerû kategóriákba (mint például a termoenergia, agy elektrosztatikus energia stb.) nem illik bele, iszont néhány mikrowatt bejöô elektromos teljesítmény hatására is mûködik, így egy igazi energy harester. Mûködési el, a megalósíthatóság bemutatására irányuló elôkísérletek Elsô lépésként hat darab cella felhasználásáal stabilan elértem az ibolya színû LED 3 V feletti mûködési feszültségét (1. ábra). Az elôkísérletek során nemcsak az elektródákat, hanem az elektrolitokat is ariáltam elektrolitként az ecetsaas oldat mindig nagyon jónak bizonyult, és alamennyire hasonlít is az emberi bôrre. Majd a 2. ábrán látható módon egy háromrétegû ászondarabot itattam át ecetes oldattal. Itt az egyes cellák már nem különülnek el teljesen (mint a poharas kísérletnél), hiszen az elektrolit részben közös, így mindig fellép alamennyi eszteségi áram is. (Amikor majd ember fogja meg az elektródákat, ott is kell erre számítani.) A eszteségek miatt arra lehet számítani, hogy több darab sorba kötött cellára lesz szükség. A réz- és aslapok szomszédos páronkénti mechanikus egymáshoz rögzítéséel kötöttem sorba a cellákat, természetesen figyele a közöttük léô maximum 3 mm-es táolság betartására, és a szélek lelógására a röidzárlati áram mérséklése égett. A ászondarabbal aló érintkezés tökéletesítésére pedig könnyen formázható gyurmaalappal láttam el a szerkezetet. Méréseim szerint elég sok (legalább 10) celláal és ecetes oldattal a eszteségek ellenére is sikerül elérni a LED ilágítását. Miel ez a fajta elôkísérlet sikeresnek bizonyult, a köetkezôkben már nagyobb számú, ám kisebb felületû cellák kialakításáal próbálkoztam. Elôször egy henger alakú lámpatest kialakítására törekedtem, amelynek oldalán palástként helyezkednek el az elektródák. Tenyerünkkel ezt megfoga bírhatnánk ilágításra a LEDet. Ehhez elsôként minél nagyobb számú, ám annál kisebb cella kialakítása olt a célom, amit as- és rézhuzalok feltekeréséel oldottam meg. Egy 5 cm átmérôjû PVC-csôre tekercseltem fel egymás mellé a huzalokat olyan módon, hogy a galanizálás helyén damillal álasztottam el a két fémdrótot egymástól. Ezek a köetkezô sorban természetesen egymás mellé kerültek, így kapcsoltam sorba az egyes cellákat. Azonos astagságú (0,5 mm), könnyen tekercselhetô huzalokat álasztottam és ezekkel megegyezô átmérôjû damilt. Az elérhetô legnagyobb precizitás érdekében mindenek elôtt egy saját terezésû tekercselô gépet készítettem, majd ennek segítségéel a szálakat pontosan egymás mellé csééltem fel. Az egymáson aló átfordulási pontokat egy onalba igazítottam, majd kémiailag semleges epoxi típusú, kétkomponensû ragasztóal a csôre rögzítettem ôket. Végül ügyele a szálak épségére kettéfûrészeltem a tekercset, és a számomra felhasználható részen (ahol a szálak párhuzamosan futottak) méréseket égeztem. Ekkor már az emberi bôrt használtam elektrolitként és 15 darab cella segítségéel külön méréseket égeztem száraz, nedes, illete ecetsaas kézen (3. ábra). A mérési eredmények az 1. táblázatban találhatók. 1. táblázat Tekercses jellegû kialakítás mért értékei a bôr állapota feszültség áramerôsség száraz 34 mv 0,1 μa nedes 130 mv 0,3 μa ecetes oldatba mártott 300 mv* 3,0 μa * erôsen ingadozó érték A FIZIKA TANÍTÁSA 27

30 2. táblázat Új, jobb elektródapáros iránti kutatás. mérés módja áramerôsség feszültség 3. ábra. Párhuzamosan futó, ékony szálakkal történô kialakítás. Mindeközben nem adtam fel egy jobb elektródapár iránti kutatást, még több anyagot szereztem, illete állítottam párba. A méréseket, ahogy az elôzôekben, most is száraz, nedes, illete ecetsaas kézzel égeztem el (2. táblázat). A as-réz elektródánál magasabb feszültséget és áramerôsséget elôállító cink-réz párosra bukkantam, ezért a toábbiakban ezzel dolgoztam. A háromszálú, azaz trifilláris tekercsek elkészítéséel párhuzamosan, jellegét tekinte azonos, ám kiitelezésben eltérô módszerrel is próbálkoztam. Kör alakú (3 és 5 cm átmérôjû és körülbelül 0,5 mm astag) cink- és rézlapokat, alamint ehhez illô szigetelôanyagot ágtam ki, ezek közepét átfúrtam, majd egy csaar és néhány eltérô átmérôjû alátét felhasználásáal (természetesen ezeket elszigeteltem a celláktól) rögzítettem ôket, meglehetôsen szorosan (4. ábra, 3. táblázat). Az elôkísérletekbôl kiderült, hogy a cellák méretének csökkentése árán elért cellaszám-nöeléssel lényegesen csökken a kinyerhetô áramerôsség. Ráadásul a bekötött cellák számához képest a feszültség nöekedése szinte elhanyagolható. Ennek legfôbb oka a közös elektrolit használatából adódó eszteségi áramok kialakulása, illete, hogy a kinyerhetô áramerôsség függ a felület nagyságától. Ráadásul, ha nem elég agresszí az oldat (hanem például közönséges íz), akkor már túl kicsi lesz a feszültség, és a LED 4. ábra. Kör alakú lapokkal aló megoldás. mérések száraz tenyéren alumínium, réz 0,30 V 1 μa ezüst, horganyzott as arany, horganyzott as 20 Ft-os érme, horganyzott as horgany (cink), réz 0,50 V 2 μa rézcsô, horganyzott ascsô (2 cm széles) rézcsô, horganyzott ascsô (3 cm széles) ólom, réz 0,23 V 0 μa KO, réz 0,07 V 0 μa száraz 0,89 V 2 μa izes 0,94 V 13 μa sóoldatos 0,94 V 620 μa száraz 0,39 V 1 μa sóoldatos 0,73 V 400 μa száraz 0,43 V 1 μa izes 0,76 V 10 μa sóoldatos 0,95 V 35 μa száraz 0,69 V 16 μa izes 0,78 V 40 μa sóoldatos 0,74 V 1000 μa száraz 0,76 V 23 μa izes 0,76 V 40 μa sóoldatos 0,73 V 600 μa nem fog ilágítani. Az emberi tenyérben elférô méretben és pusztán nedes elektródákkal sehogyan sem sikerült elérnem a mûködést. Ezért a toábbiakban kisebb számú, de nagyobb felületû cellák kialakítására törekedtem. Kísérletek keesebb, nagyobb felületû, csôdarabokból kialakított cellákkal Elsôként azonos (2,7 cm) külsô átmérôjû és 1 cm hosszú as- és rézcsôel kísérleteztem. Ezeket is rögzítenem kellett, azonban nem sikerült azonos falas- 3. táblázat Kör alakú lapokkal kialakított elrendezés mért értékei a bôr állapota feszültség áramerôsség száraz 335 mv 1,8 μa nedes 250 mv 6,5 μa ecetes oldatba mártott 730 mv 75,0 μa 28 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

31 4. táblázat Két darab as- és rézcsôbôl kialakított cella mért értékei a bôr állapota feszültség áramerôsség száraz 180 mv 1,8 μa nedes 300 mv* 6,5 μa ecetes oldatba mártott 580 mv 75,0 μa * erôsen ingadozó 5. ábra. Két-két as- és rézcsôdarabból kialakított cella. tagságú csöekhez jutnom, így nem használhattam PVC- agy egyéb tömör csöet a henger alapjaként. A kísérleteket két darab (5. ábra, 4. táblázat), illete három darab (6. ábra, 5. táblázat) sorba kötött celláal is elégeztem. A mért adatokból köetkezik, hogy még ezzel a megoldással sem lehet a közös elektrolitból származó röidzárási áram nagyságát kellôen redukálni. Az áramerôsség értékek iszont már kettô cellánál is jobbak, mint az elôzô, több cella alkalmazása esetén, így érdemesebb minél nagyobb felületû cellákat kialakítani. Ha azonban több cellát kötünk sorba, az egyes cellák felülete kisebb lesz (ami a kinyerhetô áramerôsség csökkenését is maga után onja), az egy galáncellában kialakuló feszültség és az általam sorba kötött cellák feszültségének arányáról már nem is szóla! A galáncella teljesítményének felerôsítése áramkör segítségéel 6. ábra. Három-három as- és rézcsôdarabból kialakított cella. A fentiek miatt úgy találtam, hogy módosítani kell eredeti elképzelésemet, és nem sok cella sorba kötéséel próbáltam elérni a LED mûködtetéséhez szükséges legalább 3 V-os feszültséget, hanem egy konerter áramkör segítségéel. A konerternek meg kell elégednie azzal a feszültséggel (és árammal), amit 1 db cella képes nyújtani. Nem nyilánaló, hogy lehet ilyen átalakítót készíteni, de lehet! Sokféle DC-DC feszültségkonerter létezik és ásárolható is, de a mûködéshez többségük minimálisan 1 1,5 V-os bemenô feszültséget és eközben jó pár ma-es áramerôsséget igényel. Esetünkben ez egész egyszerûen nem áll rendelkezésre, ugyanis még Cu-Al elektródáknál is maximum 0,5 0,9 V körüli feszültségértékeket mérhetünk, miközben az áramerôsség csak 10 mikroamper nagyságrendû. Ezért egy olyan konertáló áramkört kellett készíteni, amelyik menet közben nem pazarolja az áramot (a sziárgási eszteségi árama elhanyagolható), és megelégszik körülbelül 0,8 V-os bemenô feszültséggel. A konerter konkrét felépítésének és mûködésének megterezésekor elsô lépésként az elektródák felôl érkezô nagyon pici (10 μa körüli) áram töltését összegyûjtjük egy 100 μf-os elektrolitkondenzátorban (C ), amely másodperc alatt feltöltôdik a cella feszültségére. Kezdetben a transzformátoron semmilyen áram nem tud átfolyni, mert a T tranzisztor és a LED is zárt állapotban annak. Azonban amikor a C elektrolitkondenzátor feszültsége meghaladja a nagyjából 0,5 V-os feszültséget, a T (bipoláris) tranzisztor bázis-emitter diódáján már anynyi áram folyik, hogy az nyitásba kezdi ezérelni a tranzisztort a kollektor-emitter között. A szilíciumtranzisztorok (mint a BC212 is) nyitásához elileg 0,6 0,7 V-os feszültség kellene, de ezt a feszültséget néhány ma-es kollektoráramnál szokás mérni, esetünkben pedig sokkal kisebb áramokkal dolgozunk, így a szükséges nyitófeszültség is kisebb. Ahogy a tranzisztor nyitni kezd, számotteô áram indul meg a transzformátor primer tekercsén, amelynek ellenállása esetünkben 22 Ω körül an. A meginduló áram feszültséget indukál a szekunder tekercsben is, még- 5. táblázat Három darab as- és rézcsôbôl kialakított cella mért értékei a bôr állapota feszültség áramerôsség száraz 350 mv 3,9 μa nedes 630 mv 16,3 μa ecetes oldatba mártott 640 mv 52,5 μa A FIZIKA TANÍTÁSA 29

32 Al, Zn, Fe Cu + 10 ma U be = 0,5 0,9 V C 100 mf R transzformátor 22 kw 200 W 22 W 7. ábra. Az áramkör kapcsolási rajza. pedig kissé (háromszoros arányban) feltranszformála. A szekunder tekercset olyan polaritással kapcsoljuk rá a tranzisztor bázisára, hogy pozití isszacsatolás jöjjön létre. Ezért amikor a tranzisztor nyitni kezd, a szekunder tekercsen indukálódott (feltranszformált) negatí feszültség még gyorsabb nyitásra készteti a tranzisztort. Ez az önmagát erôsítô folyamat csak addig tart, ameddig az áram nöekedni képes a transzformátor primer tekercsén keresztül: a primer tekercs egyenáramú ellenállása, a tranzisztor maradék ohmos ellenállása, és a kimerülni kezdô C kondenzátor csökkenô feszültsége elôbb-utóbb csökkenést eredményeznek. Ezután a pozití isszacsatolás a tranzisztor minél gyorsabb lezárását fogja eredményezni, ugyanis a csökkenô áram olyan (pozití) feszültséget indukál a transzformátor szekunder tekercsében, amely a tranzisztort zárni igyekszik. Ez a folyamat igen hamar eljut a tranzisztor teljes lezárásáig (az R ellenállás szerepe csupán annyi, hogy a tranzisztor bázisába ne folyjék be feleslegesen nagy, eszteséget okozó áram). Ekkor történik meg a számunkra fontos esemény: a transzformátor induktiitásán áthaladó áram nem hagyja magát egy pillanat alatt kikapcsolni. A T tranzisztor le is zár, azért az elektronok még jó ideig toább haladnak a kollektor felé, és ott felhalmozóda egyre nagyobb negatí potenciált eredményeznek. Ez az impulzusszerû feszültségnöekedés akár V-os negatí feszültséget is eredményezhetne, de nálunk mindenesetre nem nöekszik magasabbra, mint a LED nyitófeszültsége, amelyet elére az áram a LED-en keresztül halad toább (azt egy pillanatra ilágításra bíra), így a kollektornál nem halmozódnak toább az elektronok. A illanási folyamat azért áll le, mert csakhamar elfogy a transzformátorban (mint induktiitásban) tárolt mágneses energia. Tehát az áramkör a C kondenzátorban folyamatosan halmozódó energiát idônként megcsapolja, és a kondenzátor-transzformátor alkotta rendszer egy olyan áramimpulzust alakít ki belôle, amelynek feszültsége is elegendô a LED meghajtásához. Nagyobb C kapacitással és kisebb transzformátor-ellenállásokkal nagyobb, de ritkább illanásokat lehet produkálni. A 7. ábra szerinti értékekkel a illanások száraz tenyérnél néhány másodpercenként jön- B T BC212 Si, pnp 3:1 C E LED nek, nedes és szennyezett tenyérnél meg szinte folyamatosan. Nem túl ilágos környezetben a illanások jól láthatók. (Ez a konerter áramkör nagyon hasonlít a teleíziós készülékekben korábban elôszeretettel használt blocking-oszcillátorokhoz [2], csak most nagyon kis feszültségû és áramú tápláláshoz an igazíta.) A lámpa égsô formájának elnyerése Az elsô áramkör elkészült. Egy rézcsöet helyeztem az egyik kiezetésére, a másikra pedig egy hengerré hajlított, összeforrasztott cinklemezt, a lámpa így mûködik! Újabb áramköröket készítettem, majd a kiezetéseket már az elképzelésemhez közelebb álló réz- és cinklapokkal kötöttem össze. Elôször szerettem olna készíteni egy hagyományos (Aladdina), rúdlámpa jellegû zseblámpát, amihez szükségem olt egy kör alakú lámpatestre. Azt az önkéntelen feltételezést is ki szerettem olna zárni, hogy egy ilyen zseblámpa minden bizonnyal elemmel mûködik, ezért nem egy hagyományos zseblámpatestet, hanem egy átlátszó üeghengert használtam. Ennek belsejében helyeztem el az áramkört oly módon, hogy a LED a henger egyik kiezetésénél legyen, majd a hengerre palástként helyeztem el a két fémlapot. Kétféle megoldás létezik: az elektródákat kör formájúra hajlítjuk, és így helyezzük el egymás mellett, agy félkör alakú formát készítünk belôle, és párhuzamosan helyezkednek el az egyenes oldalak. Természetesen itt is ügyelni kell a cellák közötti minimum 1, maximum 3 mm táolságra. Ezt tenyerünkkel megfoga ilágításra bírhatjuk a LED-et. Mindkét kiitelezéssel mûködôképes lámpát kapok. Ezután egy, a mesébôl ismert, formaterezett lámpát is szerettem olna készíteni, alakra néze hasonlót Aladdin lámpájához. Ilyen formájú edényt szinte sehol nem tudtam beszerezni, ezért kerámiából készíttettem. Az enyém oldala kissé lapított lett, ide helyeztem a megfogandó elektródákat, amelyeket meglehetôsen nehéz megfelelô alakúra hajlítani. A kanóc helyén ilágít a LED, és a lámpa testében kapott helyet a konertáló elektronika. Ha a lámpát elég szorosan fogjuk (dörzsölni azért nem kell), akkor idôel illogni kezd. Több, különbözô méretû darabot is készítettem. Több emberrel is kipróbáltam a lámpa mûködését, különféle körülmények között égeztem kísérleteket: kézmosás után, tiszta kézzel; étkezés után, illete sportolás után; 10 másodperces periódusonként mértem a LED illanásainak számát. A kapott adatok igazolásul szolgáltak köetkeztetéseimre: a tiszta kéz keésbé saas, mint a mozgás köetkeztében izzadttá ált, de az étkezés is aktían befolyásolja a mérhetô értékeket. Az egyénenkénti különbség persze a testfelépítéstôl is függ, ezért a kísérleti alanyok magasságát és súlyát is dokumentáltam (6. táblázat). Az Aladdin-lámpa kapcsán akár párhuzamot is onhatnánk a bagdadi elemmel [3]. Figyelemre méltó, 30 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

33 6. táblázat Az elkészült Aladdin-lámpa mûködése különbözô emberek kezében kísérleti alany adatai magasság súly étkezés után 10 s alatt lezajlott illanások száma kézmosás után sport után 179 cm 70 kg 32 db 27 db 98 db 166 cm 58 kg 26 db 27 db 56 db 159 cm 49 kg 42 db 32 db 53 db 163 cm 48 kg 35 db 11 db 41 db 163 cm 56 kg 52 db 26 db 66 db hogy olyan kétezer ées iraki agyagedényeket tártak fel, amelyek belsejében egy rézcsô és egy feltehetôen saas kémhatású folyadékkal aló érintkezés folyamán oxidálódott elszigetelt asrúd található, amelyek galánelemként funkcionálhattak. Ebben iszont a folyékony halmazállapotú elektrolit minden bizonnyal az edény belsejében helyezkedett el, míg az én lámpámon az edény külsô felén kapnak helyet és nem akármilyen folyadék adja az elektródák közötti közetítô közeget A lámpa használata A tenyerünket a lámpán elhelyezkedô fémlapokra kell tenni a 8. ábrán látható módon. Ha elég szorosan fogjuk, a galanizációs folyamat hatására elektromos áram termelôdik. Ezt az edény/henger belsejében elhelyezett áramkör annyira felerôsíti, hogy arról már egy LED-et is mûködtetni tudunk: a fénykibocsátó dióda másodpercen belül illogni kezd. A illanások között eltelt idôt több tényezô is befolyásolja, ám érdemes feljegyezni az egységnyi idô alatt mérhetô illanások számát, mert ebbôl a bôrét adó személy egészségi állapotára is köetkeztethetünk. A lámpa mindaddig mûködik, amíg a kezünkben tartjuk, ha letesszük, a folyamat önmagától leáll. Toábbi elképzelések, fejleszthetôség LED helyett egy kis teljesítményû hangszórót is mûködésre bírhat az áramforrás. Ezáltal elég lesz csupán hallótáolságon belül lennünk, így nagyobb fényben is használható lesz a szerkezet. Másik elektródapár, például cink-réz elektródapár alkalmazásáal számunkra ideális a kinyerhetô áram mennyisége, ám nemesfémek alkalmazásáal ezt még fokozni lehet. Ezért terezem egy ezetô anyag aranynyal agy ezüsttel aló galanizálását, és ezt használnám pozití elektródaként. Orosi, dietetikai felhasználása is elképzelhetô, hiszen a lámpa mûködését nagyban befolyásolja bôrünk ellenállása, de ennek kimutatására már sokféle 8. ábra. A zseblámpa és Aladdin lámpája formájú elkészítés. eszköz készült (EEG, EKG stb.), a lámpát nem ennek mérésére szeretném használni. A galáncellából kinyerhetô áram mennyisége az elektrolit anyagi minôségétôl is függ, esetünkben az emberi bôr saasságától, amit a saháztartásunk határoz meg. Saháztartásunk egyensúlyának felborulása sokáig észreétlen maradhat, ám súlyos köetkezményekkel járhat, mint például a csontritkulás, szellemi és fizikai teljesítôképesség-csökkenés, anyagcsereeltolódás agy súlyproblémák. Miel a lámpa mûködésébôl bôrünk saasságára is köetkeztethetünk (minél saasabb az ember bôre, a LED annál sûrûbben illog), a lámpa orosi mérômûszerré aló fejlesztése sem kizárt. Mindenesetre hasznos kis dietetikai tanácsadó lehet, mert a saháztartás elsôsorban az elfogyasztott ételek ph-értékétôl függ. Mûszerünkkel esetleg ellenôrizhetjük aktuális saháztartásunkat, és eszerint állíthatjuk össze étrendünket. Másik elképzelésem toábbi energiaguberálás, hogy ezt az energy harestert a mindennapokban is felhasználhassuk energia nyerésére. Gondoljunk bele, hogy mennyi idôt töltünk a számítógép elôtt, közben meglehetôsen sokat nyugtatjuk tenyerünket az egéren! Milyen praktikus lenne, ha az egereknél is hasznosíthatnánk az elképzelést: magunk termelnénk meg a kattintgatáshoz szükséges elektromos áramot. Számos elképzelésem an a szerkezet toábbfejlesztésére. Már an standard lámpám ráadásul kettô, kíáncsisággal és lelkesedéssel fogadták az emberek ezeket a találmányokat. Úgy gondolom, hogy nagyobb tömegek is érdeklôdést mutatnának iránta az egyszerû használhatósága miatt (például nem kell elemért szaladgálniuk a boltba, a kezük mindig kéznél an ). Köszönetnyilánítás Háláal tartozom mentoromnak, Daróczi Csaba Sándornak, aki szakmai támogatásáal és tanácsaial nélkülözhetetlen segítségül szolgált egy kezdô kísérletezônek; fizikatanáraimnak: Inczeffyné Vígh Gyöngyi Noéminek és Jarábik Bélának, akik réén a pályamunkához szükséges ismeretanyaghoz jutottam; Bábel Ferenc tmûszerésznek az elektronikai tanácsokért; osztályfônökömnek és magyartanáromnak, Horáthné Gyoai Melindának a szöegezésben aló segítségért és lektorálásért (még az osztálykiránduláson is), és családomnak a biztatásért, kitartásért, illete a lakásunkban több hónapon át tartó felfordulás eliseléséért. Irodalom A FIZIKA TANÍTÁSA 31

34 XIII. SZILÁRD LEÓ NUKLEÁRIS TANULMÁNYI VERSENY Beszámoló, I. rész Sükösd Csaba BME Nukleáris Technika Tanszék Szilárd Leó születésének centenáriuma alkalmából, Marx György professzor kezdeményezésére 1998-ban került elôször megrendezésre a Szilárd Leó Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny. Azóta a Szilárd Leó Tehetséggondozó Alapítány és az Eötös Loránd Fizikai Társulat minden ében megrendezi a ersenyt óta határon túli magyar anyanyelû iskolák tanulói részére is megnyitottuk a részétel lehetôségét. Az idén éltek ezzel elôször szerbiai ajdasági iskolák: Zentáról a Gimnázium, alamint a Bolyai Tehetséggondozó Gimnázium és Kollégium, toábbá Újidékrôl a Gimnazija Setozar Markoić. Örendetesen folytatódtak az erdélyi iskolákból történô jelentkezések is: Székely Mikó kollégium (Sepsiszentgyörgy), János Zsigmond Unitárius Kollégium (Kolozsár), alamint a Nagykárolyi Elméleti Líceum (Nagykároly). A határon túli iskolákból összesen húsz elsô kategóriás ( osztályos) tanulót neeztek be a ersenybe. Sajnos, Felidékrôl és Kárpátaljáról 2010-ben sem kaptunk neezéseket. Összesen 251 elsô kategóriás (a már említett határon túliakon kíül 177 idéki és 54 budapesti) alamint 140 junior kategóriás (idékrôl 118, Budapestrôl 22) neezés érkezett. A március 1-jén megtartott elsô forduló (álogató erseny) tíz feladatát az iskolákban három óra alatt lehetett megoldani. Kijaítás után a tanárok azokat a megoldásokat küldték be a BME Nukleáris Technika Tanszékére, ahol a osztályos (junior) ersenyzôk legalább 40%-os, a osztályos (I. kategóriás) ersenyzôk legalább 60%-os eredményt értek el. Az alábbiakban ismertetjük a álogató erseny a 2. részben pedig a döntô feladatait, alamint röid megoldásukat. Valamennyi feladatra 5 pontot lehetett kapni. A álogató erseny (I. forduló) feladatai és megoldásuk 1. feladat Szilárd Leó életrajzi totó 1. Hányadik lett 18 ées korában az Eötös Loránd Matematikai Tanulmányi Versenyen? 1: elsô, 2: második, x: harmadik. 2. Mikor hagyta el Európát? 1: 1933, 2: 1938, x: Mi olt Einsteinnel közös szabadalma? 1: mágneses hûtôszekrény, 2: kemosztát, x: ciklotron el. 4. A hidegháború idején, 1947-ben, a megegyezés érdekében híressé ált leelet írt egy ország ezetôjének. Kinek? 1: Truman, 2: Churchill, x: Sztálin. 5. Küzdött egy európai és egy közel-keleti atomfegyermentes öezet létrehozásáért. Ezért mondta rá Klein György: 1: maga olt a ilág lelkiismerete, 2: minden elismerést megérdemel, x: nincs nála erre alkalmasabb ember Megoldás: a helyes tipposzlop: 2, 2, 1, X, 1. Minden helyes álasz 1 pontot ért. Megjegyzések: az elsô kérdéssel kapcsolatban: az 1916-os Eötös Matematikai Versenyt Koródi Albert nyerte, a 18 ées Szilárd Leó akkor a második olt (a fizika ersenyt megnyerte). A megadott szakirodalom közül egyesekben azonban csak annyi szerepelt, hogy Szilárd Leó megnyerte mind a matematikai, mind a fizikai Eötös Versenyt, ezért a Versenybizottság úgy döntött, hogy azokra a megoldásokra is ad egy pontot, akik az elsô kérdésre 1-gyel álaszoltak. 2. feladat Miért helyes, illete miért helytelen úgy elképzelni, hogy az elektronok az atommag körül ahhoz hasonlóan keringenek, mint a bolygók a Nap körül? Milyen jelenségeket lehet jól leírni a modellel, és melyeket nem? Megoldás A modell által jól leírt jelenségek: az atom tömegének legnagyobb része egy igen kis térrészre összpontosul; az atomban léô pozití töltések egy igen kis térrészre összpontosulnak (Rutherford-kísérlet); a Coulomb-erô képes a különbözô elektromos töltésû részeket ugyanúgy pályán tartani, ahogyan a graitációs erô a bolygókat, miel mindkettô a táolság négyzetéel fordítottan arányos. A modell hibái: A keringô elektronok gyorsuló mozgást égeznek, tehát sugározniuk kellene. Emiatt bele kellene zuhanniuk a magba. A bolygók keringési táolsága széles határok között bármi lehet. Az elektronok energiája és ezáltal a keringési táolságuk csak meghatározott értékeket ehet fel. Ezt a modell nem magyarázza, pedig ez biztosítja az atomok stabilitását. A keringés elejárója a perdület. A kantummechanika és a kísérletek szerint azonban a H-atom alapállapotában az elektron pályamomentuma nulla. 3. feladat A gadolínium ezüstös színû, lágy nehézfém. Egyes izotópjai nagyon jó neutronelnyelôk, így ha atomreaktorba kerül, akkor a xenonhoz hasonlóan reaktorméreg. Miel a 157 Gd atommagok neutronfelétel után olyan izotóppá alakulnak, amelyek már nem nagyon jó neutronelnyelôk, ezért egy idô után elfogynak a neutronelnyelésre alkalmas atommagok. Emiatt a gadolíniumot kiégô méregnek neezik. Abban iszont különbözik a xenontól, hogy a reaktor leállása után nem szaporodik. Az atomreaktorok teljesítmény- 32 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

35 nöelése és az üzemanyagciklus meghosszabbítása érdekében az eddigi 3,82%-os dúsítású kazetták közé 4,2%-os dúsításúakat is helyeznek. Miért célszerû ilyenkor a reaktorba gadolíniumot is juttatni? Megoldás A reaktor teljesítményét kissé leegyszerûsíte az aktí zónában léô hasadóanyag mennyisége és az átlagos neutronfluxus nagysága határozza meg. Az energiatermelési kampány elején még sok a hasadóanyag, ezért kisebb neutronfluxus kell az elôírt teljesítmény eléréséhez, mint a kampány égén, amikor az üzemanyag már fogyóban an. A neutronfluxus nöekedését a kiégô mérgek például gadolínium alkalmazásáal is el lehet érni. Ha a gadolínium kezdetben megfelelô arányban an jelen, akkor elérhetô, hogy a gadolínium kiégése miatt nöekô neutronfluxus éppen kompenzálja a hasadóanyag fogyásából eredô hatást, és a reaktor teljesítménye akár toábbi szabályozóelemek nélkül is szinte automatikusan állandó szinten marad. Különösen fontos a kiégô mérgek alkalmazása teljesítménynöeléskor, és/agy kampányidô hosszabbításkor. Ezekben az esetekben több energiát akarunk termelni egy kampány alatt, ezért több hasadóanyagot kell beinni a reaktorba. Ezt magasabb dúsítású kazettákkal érik el. Nem biztos azonban az, hogy az eredetileg terezett szabályozóelemek elegendôek arra, hogy a kampány elején az így beitt többletreaktiitást az elôírt biztonsági szinten le tudják kötni. Kiégô mérgek például gadolínium alkalmazásáal azonban kompenzálni lehet a beitt többlet hasadóanyag hatását. 4. feladat Az újságokban a köetkezô hír jelent meg: Az ELTE és a KFKI RMKI három kutatóját érte az a megtiszteltetés, hogy elôször publikálhattak 2,36 teraelektronolton történt ütközéseket. A rekord energiaszintet a CERN gyorsítójában, az LHC-ben állították elô, ahol még magasabb energián fogják keresni a rejtélyes Higgs-bozont. A részecskeadászatban jól jönnek majd a magyarok mérései. A három magyar kutató né szerint: Siklér Ferenc, Veres Gábor és Krajczár Krisztián. A nyugalmi tömegük hányszorosára nôtt a 2,36 TeV energiát eredményezô ütközésben részt eô, felgyorsított protonok tömege? Megoldás Miután a protonok egymással szembe ütköztek, a 2,36 TeV-es ütközési energiát két, egyenként 1,18 TeV = 1, J mozgási energiájú proton hozta létre. A protonok nyugalmi tömege 1, kg. A mozgási energiát az E = mc 2 m 0 c 2 képlettel lehet megadni, ebbôl m = E m 0 c 2 c 2, behelyettesíte: m = 1, , = , kg. Ez a proton nyugalmi tömegének 1250-szerese. 5. feladat Becsüljük meg Magyarország összes lakásában léô radongáz tömegét! Mekkora lenne e gázmennyiség térfogata normálállapotban? Adatok: A 222 Rn felezési ideje T f = 3,8 nap. A lakások légterének átlagos (radonból származó) aktiitása 50 Bq/m 3. A lakások számát együk 4 milliónak, az átlagos térfogatot pedig V =60m 2 3m= 180 m 3 -nek. Megoldás Az összes aktiitás: A ö = , m 3 50 Bq m 3 másrészt amibôl N = így a radongáz tömege m = A = ln 2 T f N, = 3, Bq, A ln 2 T = 3, /s 3,8 8, s= f ln 2 170, , , 1, g = 62, g 6,3 μg. E gázmennyiség térfogata normál állapotban: V 1, cm 3 = 6, cm 3 0,6 mm 3. Második (alternatí) megoldás V = mrt Mp = 6, g 8, g mol m 3 0,6 mm 3. J K mol 10 5 N m K 6. feladat A Nap 3, W teljesítménnyel sugároz. a) Mekkora tömeget eszít másodpercenként a sugárzása köetkeztében? b) Egy átlagos emberi élet 75 é. Tömegének hányad részét eszíti el ez alatt az idô alatt a Nap? c) Hoa lesz a Nap tömegesztesége? = A FIZIKA TANÍTÁSA 33

36 Megoldás a) A másodpercenkénti energiaeszteség ΔE = 3, J. ΔE = mc 2 a relatiitáselmélet szerint, ahonnan a másodpercenkénti tömegeszteség b) 75 é alatt körülbelül 1, kg a tömegeszte- ség, azonban ez a Nap tömegének mindössze m = Δ E c 2 4, kg. 1, kg 1, kg , azaz 5 pikonapnyi része. c) A Nap sugárzás miatt beköetkezô tömegeszteségének legnagyobb része sugárzás formájában ma is az Unierzumban an. Igen kis része beleütközött csillagokba, bolygókba (például Föld). Ám a Föld (agy egyéb bolygók) által elnyelt sugárzás nagy része ismét kisugárzódott, bár jóal alacsonyabb hômérsékletû hômérsékleti sugárzás formájában. 7. feladat A Balatonon idén a jég átlagosan 14 cm astagságúra hízott. a) Mennyi idô alatt tudja ezt a Nap megolasztani, ha a Nap áltozó sugárzási intenzitását úgy közelítjük, mintha naponta 6 órán keresztül 30 -kal járna a horizont felett, és a sugárzás 90%-a isszaerôdik a jégrôl? b) Becsülje meg, hogy mekkora tömegû hidrogén fúziója szolgáltatna ennyi energiát a Napban égbemenô fúziós folyamat során? Adatok: a Balaton területe 595 km 2, a jég hômérsékletét együk mindenütt 0 C-nak. A Föld felszínére érkezô napsugár teljesítménye derült idôben, merôleges beesésnél: 600 W/m 2. Az energiatermelô magfúziós folyamat (több közbeesô lépcsôn keresztül): 4 1H 4He. A H és a He atommag tömege rend- 1 2 re: m H = 1, kg, illete m He = 6, kg. Megoldás Elôször 1 m 2 jégre égezzük el a számolást. A jégtábla térfogata V =1m 2 0,14 m = 0,14 m 3. A jég sûrûsége 920 kg/m 3, ezért a jégtábla tömege: 128,8 kg. A jég oladáshôje 3, J/kg, azaz ekkora jégtábla megolasztásához 4, J szükséges. Miel a Nap átlagosan csak 30 -kal jár a horizont felett, ezért a merôleges beeséskor érényes 600 W/m 2 helyett csak 600 sin30 = 300 W/m 2 az intenzitás, és ennek is csak 10%-a nyelôdik el, a többi isszaerôdik. Tehát a jégben elnyelôdô teljesítmény: 30 W/m 2.1m 2 -es jégtábla megolasztásához tehát t = 4, = 1, s = 398 h szükséges. A feladat szerint naponta átlagosan csak 6 órát süt a Nap, ezért a 398 órányi napsütéshez 66,4 napra an szükség. Miel minden egyes négyzetméterre ugyanakkora energia esik, ezért a teljes jégmennyiség felolasztásához is ugyanennyi idôre an szükség. b) A feladat második része a szükséges energia fúziós elôállításában részteô hidrogén tömege. A teljes jégfelület megolasztásához Q = 4, = 2, J energia szükséges. A 4 1H 4He fúzióban 1 2 felszabaduló energia a tömeghiányból számola q = (4m H m He ) c 2 = 4, J, ennyi energia elôállításához N = Q/q = 0, magreakció szükséges. Minden magreakcióban 4 hidrogén esz részt, így az elhasznált H-atommagok száma: 2, Egyetlen H-atom tömege 1, kg, ezért ennyi energiát 42 kg hidrogén fúziójáal lehet elôállítani. (A Napban 66 nap alatt természetesen ennél sokkal több hidrogén fuzionál, hiszen a Nap által kibocsátott energiának csak igen kis része fordítódik a balatoni jég megolasztására.) 8. feladat Egy 500 nm hullámhosszúságú monokromatikus fényt a tér minden irányába egyenletesen kibocsátó, pontszerûnek tekinthetô fényforrás teljesítménye 20 mw. a) Másodpercenként hány foton érkezhet be ebbôl a 2 km táolságban álló megfigyelô szemébe, ha pupillájának átmérôje 2 mm? b) Legfeljebb milyen messzirôl lehet ezt a fényforrást még éppen meglátni, ha tudjuk, hogy egy sötéthez szoktatott szem retinája másodpercenként körülbelül 30 foton beesését már képes érzékelni? Megoldás Az 500 nm hullámhosszúságú foton energiája: E = hf = hc/λ = J. A másodpercenként kibocsátott fotonok száma: N = 20 mw/ J= darab. a) A szembe érkezô fotonok számát úgy kapjuk meg, hogy az összesen kibocsátott foton számát elosztjuk a 2 km sugarú gömb felszínéel, és azt megszorozzuk a2mmátmérôjû pupilla területéel: n = π 4 π ,1 103 foton/s. b) A 30 foton ennek körülbelül századrésze. Miel az intenzitás a táolság négyzetéel fordítottan arányos, ezért tízszer olyan messzire lehet még elmenni ahhoz, hogy észreegyük a fényforrást, azaz körülbelül 20 km-re. Ez az eredmény természetesen csak akkor igaz, ha a leegô fényelnyelésétôl és fényszórásától eltekintünk. (A gyakorlatban 20 km táolságban ezeknek már jelentôs szerepe an.) 9. feladat Egy γ-forrás aktiitása 925 kbq. A Geiger Müllerszámlálóal másodpercenként 160 darab beütést tudunk regisztrálni, amikor a forrás és a számláló közé 3,2 mm astag ólomlemezt helyeznek. A lemez eltáolításakor a beütésszám 280-ra nô másodpercenként. a) Milyen messze an a 4 cm átmérôjû GM-csô a forrástól, ha a csô a ráesô fotonok 10%-át érzékeli? b) Milyen astag ólomlemezt kellene alkalmazni, ha azt szeretnénk, hogy 50%-kal csökkentse a sugárzás intenzitását? 34 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

37 Megoldás a) A számláló a darab fotonból csak 280-at érzékel. Miel a csô csak minden tizedik ráesô fotont érzékeli, ezért 2800 foton éri el a csô felszínét. A forrás által kibocsátott fotonok egy 4πR 2 felületû gömbön egyenletesen oszlanak el, ahol R a detektor forrástól mért táolsága. A detektor felszíne: 2 π d 2 =4π cm 2. Erre esik 2800 foton másodpercenként, a kibocsátott 925 ezerbôl. Azaz: Ebbôl kapjuk: 2800 = R 2 = 4 π 4 π R = 330,35, azaz R = 18,18 cm. b) Az ólomlemez a sugárzást az exponenciális gyengülési törény szerint gyengíti. I(x) =I 0 2 ahol L a felezési rétegastagság. A feladat éppen erre kérdez rá, hiszen ez az a astagság, amely az intenzitást a felére csökkenti. A feladatból tudjuk, hogy Azaz x L, I(3,2 mm) I 0 = = 0,571. 0,571 = 2 3,2 L. Mindkét oldal logaritmusát ée kapjuk: amibôl L = 3,2 lg0,571 = lg2 lg0,571 3,2 L lg2, = 3,96 mm. 10. feladat a) Mi olt a 64 kg töltetû hirosimai atombomba robbanóanyaga? b) Megközelítôleg az anyag hány százaléka lépett reakcióba a 15 kt (kilotonna) erejû robbanásban? c) Mit gondol, miért? d) Adjon egyszerû magyarázatot arra, hogy miért an szükség egy bizonyos kritikus tömegre az önfenntartó láncreakció létrejöttéhez! Adatok: 1 kilotonna hagyományos robbanóanyagból 4, J energia szabadul fel. A bomba robbanását okozó anyag egyetlen atommagjának magreakciójából felszabaduló energia 32 pj. Megoldás a) A hirosimai atombomba robbanóanyaga igen magas (>90%) dúsítású 235 U olt. b) Tudjuk, hogy egy hasadásban megközelítôleg J energia szabadul fel. A reakcióba lépett magok száma tehát 15 4, = 1, , azaz 3,27 mol. A bomba hasadóanyaga zömében 235- ös tömegszámú urán. A láncreakcióban részteô urán tömege tehát 3, = 768 g, ami a bombában léô hasadóanyag tömegének körülbelül 1,2%-a. c) Az anyagnak azért csak ilyen kis hányada lépett reakcióba, mert a felszabaduló hatalmas energia elpárologtatta a bomba többi részét, mielôtt a láncreakció kiterjedhetett olna arra is. d) A kritikus tömeg a legegyszerûbb magyarázat szerint azért létezik, mert a láncreakcióban keletkezô neutronok száma a térfogattal arányos, míg a bomba felületén kilépô, a láncreakció számára eleszô neutronok száma a felülettel. Az önfenntartás érdekében el kell érni egy kritikus arányt a keletkezô/eleszô neutronok között. Ez az arány: térfogat felület R 3 R 2 R. Innen látható, hogy a bomba sugarának nöeléséel ez az arány jaítható, és megfelelô hasadóanyag esetén an olyan méret, amikor ez az arány eléri az önfenntartó láncreakcióhoz szükséges értéket. Az elôdöntô eredményei Az elôdöntô feladatait 72 fô I. kategóriás Budapestrôl 20-an, idékrôl 51-en, alamint 1 határon túli és 18 fô junior 3 budapesti és 15 idéki ersenyzô teljesítette olyan szinten, hogy dolgozataikat a jaító tanárok toább tudták küldeni a BME Nukleáris Technika Tanszékére toábbi rangsorolás égett. A erseny krónikájához hozzátartozik, hogy az egyik iskolából három diák dolgozatát hibás kategóriajelzéssel küldték toább: érettségi elôtt álló diákokat junior kategóriájúaknak tüntettek fel. A erseny meghirdetésében szerepelt, ha alaki nem a megfelelô kategóriában ersenyez, akkor a Versenybizottság kizárhatja. Az esetet kiizsgála a Versenybizottság megállapította, hogy a kategória tées megadása a jaító/felkészítô tanár hibája. Ezért olyan döntés született, hogy a étlen diákokat nem büntetjük, nem zárjuk ki a ersenybôl (azaz I. kategóriás diákként ersenyezhetnek toább), de eredményüket nem számítjuk be a tanári Delfin-díj pontersenyébe, s nem esszük figyelembe a Marx György ándordíjért aló ersenyben sem. A három diák közül kettô eredmé- A FIZIKA TANÍTÁSA 35

38 nye elegendô olt az I. kategória döntôjébe jutásához, így ôk toábbjutottak. A beküldött dolgozatokat ellenôrize egy egyetemi oktatókból álló bírálóbizottság a legjobb 10 junior ersenyzôt és a legjobb 20 elsô kategóriás ersenyzôt híta be a paksi Energetikai Szakközépiskolában április 24-én megrendezett döntôre. Külön örömet jelentett, hogy az idén elôször egy határon túli tanuló Sipos E. Lehel Sepsiszentgyörgyrôl is olyan szép eredményt ért el, amiel bekerült a meghíottak közé. Sajnos a döntô elôtt értesítést kaptunk: mégsem tud részt enni a döntôn. Néhány toábbi diák is lemondta a ersenyt a Kémia OKTV-el aló ütközés miatt, így égül 18 fô I. kategóriás, és 9 fô junior kategóriás diák ersenyzett. Az idén csak három lány jutott be a erseny döntôjébe, ketten az I. kategóriában, egy pedig a juniorok között. A erseny fordulóin (mobiltelefon és Internet kiételéel) bármilyen segédeszközt használhattak a diákok. A Fizikai Szemle köetkezô számában a döntô feladatairól és értékelésérôl, a helyezésekrôl, alamint a tanári Delfin-díj és a Marx György ándordíj nyerteseirôl számolunk be. HÍREK ESEMÉNYEK AZ AKADÉMIAI ÉLET HÍREI Einstein Teleszkóp Einstein 1916-ban közölt általános relatiitáselmélete megjósolta a graitációs hullámok létezését, és azóta asztrofizikai megfigyelések igazolták az elméleti köetkeztetéseket. A jelenlegi, elektromágneses hullámokon alapuló asztrofizikai, csillagászati megfigyeléseket a nagy áthatoló képességû graitációs hullámok segítségéel új, korábban elérhetetlen tartományokra terjeszthetjük ki, ami különösen az asztronómia és a kozmológia megújulásához ezethet. A fény számára az Ôsrobbanás után é elteltéel ált átlátszóá a Világegyetem, míg a graitációs hullámok segítségéel a Világegyetem sokkal korábbi folyamatairól is alapetô ismereteket kaphatunk. Az Einstein Teleszkóp (ET) célja az, hogy Európa ezetô szerepet érjen el a graitációs hullámok észlelésére alapozott új tudományág, a graitációshullámcsillagászat kialakításában. Ehhez új technológiák kifejlesztése szükséges, különösen a ákuumtechnika, a lézerfizika, alamint a számítástechnika és az informatika területén. Az EU FP7-es keretprogramja támogatja a terelôkészítô szakaszt. Az EU pénzügyi hátteréel, közel 4 milliárd euróból, 10 é alatt egy olyan új, nagy kutatási központ épül fel, amely mintegy 50 éig üzemel majd. Rácz Istán, az RMKI VIRGO és az MTA ET csoportok ezetôjének összeállítása alapján. A graitációs hullámok megfigyelésére irányuló földfelszíni kísérleti berendezések Amerikában 2002 óta LIGO néen, Európában 2004 óta VIRGO néen mûködnek. A European Graitational Obseratory (EGO) a mûködô elsô generációs VIRGO projekt mellett terezi a második generációs, érzékenyebb Adanced VIRGO és az étized égére a harmadik generációs, szuperérzékeny Einstein Teleszkóp projekt indítását is. A Magyar Tudományos Akadémia Részecske és Magfizikai Kutatóintézetében létrejött VIRGO Csoport 2008-ban csatlakozott a VIRGO európai tudományos együttmûködés munkájához és a csoport szakmai hitelének köszönhetôen 2009 óta az ugyancsak az EGO által szerezett ET projekt munkájában is részt esz. Az ET alamint a hozzá hasonló amerikai és japán berendezések a köetkezô öt étizedben a precíziós csillagászati és kozmológiai megfigyelések elsôdleges eszközei lesznek. Az ET tizenegy lehetséges helyszínének izsgálata után a második fordulóba a köetkezô négy pályázat jutott: Németország (Fekete-erdô), Magyarország (Mátra), Olaszország (Szardínia) és Spanyolország (Pireneusok). A toábbjutottak neét az MTA-n megrendezett 3. ET Nemzetközi Mûhelyen, noember én hirdették ki. A beruházás fázisai: a döntést elôkészítô munkálatok, azaz a ersenyben léô helyszínek részletes geo- Szerkesztõség: 1121 Budapest, Konkoly Thege Miklós út , 31. épület, II.emelet, 315. szoba, Eötös Loránd Fizikai Társulat. Telefon/fax: (1) A Társulat Internet honlapja e-postacíme: mail.elft@gmail.com Kiadja az Eötös Loránd Fizikai Társulat, felelõs: Szatmáry Zoltán fõszerkesztõ. Kéziratokat nem õrzünk meg és nem küldünk issza. A szerzõknek tiszteletpéldányt küldünk. Nyomdai elõkészítés: Kármán Tamás, nyomdai munkálatok: OOK-PRESS Kft., felelõs ezetõ: Szathmáry Attila ügyezetõ igazgató. Terjeszti az Eötös Loránd Fizikai Társulat, elõfizethetõ a Társulatnál agy postautalányon a számú egyszámlán. Megjelenik haonta, egyes szám ára: Ft + postaköltség. HU ISSN (nyomtatott) és HU ISSN (online) 36 FIZIKAI SZEMLE 2011 / 1

39 lógiai, szeizmológiai izsgálata, ami árhatóan ig tart re árható a helyszín kiálasztása, elôkészítése, a részletes konkrét helyre történô terezés. A döntésben a geológiai adottságokon túl fontos szerepet kap majd a fogadó állam kormányának, tudományt támogató szerezeteinek és kutatóinak összehangolt erôfeszítése. A szükséges alagútépítési munkálatok ban kezdôdhetnek, re árhatóan befejezôdnek. A ákuumrendszer építése 2021-ben indulhat, a detektorok kiépítése 2023-tól, míg az elsô adatok mintegy 2025-tôl árhatók. Kutatási és fejlesztési (K+F) lehetôségek a VIRGO és az ET projektekben: Miel a két projekthez kapcsolódó kutatási és fejlesztési lehetôségek egymásra épülnek, célszerû elôször ezeket a VIRGO detektor kapcsán áttekintenünk. A VIRGO, a többi elsô generációs graitációshullám-detektorhoz hasonlóan, re éri majd el a második generációs detektorokra jellemzô tízszeres érzékenységnöekedést, ami a megfigyelhetô csillagászati események számát ezerszeresére nöeli. E fejlesztés keretében a ákuumrendszeren és az optikai rendszeren kíül a ezérlô és adatgyûjtô elektronikai rendszert is felújítják. Az EGO konzorcium úgy döntött, hogy a VIRGO ákuumrendszer elemeinek elméleti modellezését, mérnöki terezését, alamint gyártását és a VIRGO detektorba történô beépítését az MTA RMKI mérnökeinek beonásáal kíánja megoldani. A ákuumrendszer létesítésében aló magyar részétel mértéke megfelelô hazai pénzügyi források esetén, 20% önrész biztosításáal lényegesen nöelhetô lehetne; minden egyes itthon befektetett magyar forint négy forint külföldi (EGO) megrendelést hozna. Így a létrehozott érték 20%-ánál jóal nagyobb része maradhatna a terezésben és kiitelezésben érintett magyar mérnököknél és állalkozásoknál. A VIRGO detektor két lépcsôben elképzelt felújítása akkor ér éget, amikor az ET detektor ákuumrendszerének megépítése a kiálasztott európai helyszínen megkezdôdik. Azok a hazai állalatok, amelyek a VIRGO fejlesztésében részt esznek, lényeges ersenyelônnyel rendelkeznek majd az ET detektor közel m 3 térfogatú ákuumrendszerének felépítésére kiírandó tenderben. Ha nálunk alósulna meg az ET detektor, szinte elképzelhetetlen tudományos, mûszaki, ipari és gazdasági húzóágazat megjelenését jelentené a szûkebb és tágabb régióban. Geológiailag nagyon stabil, kis szeizmikus zajjal terhelt környezetben, mélyen a föld alatt kell felépíteni a 10 km oldalhosszúságú, 5 m átmérôjû alagutakból álló szabályos háromszög alakú alagútrendszert (lásd a címlapot). Az építkezés a Mátrában észázadok óta folytatott bányászattal összemérhetô mennyiségû nyersanyagkincset hozhat a felszínre, amely csak mellékterméke az érintett bányaállalatok mérnökeinek és bányászainak adott óriási megrendelésnek. A kialakított járatokat betonozni kell, majd a ákuumrendszer elemeiel kell feltölteni. Ez magyar építôipari, alamint ákuum- és lézertechnikai megrendeléseket generál. Ezt köetné Európa legpontosabb szeizmológiai állomásának kialakítása, majd a detektort felépítô optikai interferométerek rendszerének kialakítása. Mindez európai laboratóriumokban kifejlesztett, ilágszínonalú technikai elemek Magyarországra történô telepítését, részben hazai kifejlesztését jelentené. A projekt ezen a ponton is kapcsolódik az MTA kutatóintézeteihez (RMKI, amely a hazai graitációs kutatások központja, ATOMKI, Szilárdtestfizikai és Optikai Kutató Intézet) és egyetemeinkhez (ELTE, BME, Szegedi Egyetem). A detektor a terek szerint öt étizeden keresztül mér majd, és az idôközben elért újabb technikai fejlesztések is megjelennének a detektornál. A hasonló kaliberû nagyberuházások (mint például CERN LHC, grenoble-i nagyfluxusú neutronforrás stb.) tapasztalatai bizonyítják, hogy az ilyen olumenû csúcsberendezések terezése, építése és mûködtetése a környék gazdasági fejlôdésének motorjáá álik. A csúcstechnológiai fejlesztés helye ilágszínonalú tudásközpontot hoz létre, építôipari és egyéb kiszolgáló munkahelyeket teremt a kis és közepes állalkozásoknak is, a külföldi endégkutatók ellátása a endéglátóipar színonalát és beételeit nöeli. Ezért is rendkíül figyelemreméltó az a tény, hogy a Föld mélyébe ágyazott Einstein Teleszkóp létesítésének helyszíneként, a gyöngyösoroszi elhagyott ércbányában égzett mérések alapján a Mátra is komolyan szóba került. Ha nem a Mátrában alósulna meg az ET detektor, a korábban említett EGO RMKI együttmûködésben a ákuumtechnológiai elemek gyártásához szükséges fejlesztések önmagukban is hosszú táú, kedezô megtérüléssel járó K+F befektetésre adnak lehetôséget mind a VIRGO, mind pedig az ET detektorok kapcsán. Az építkezések árható megkezdése Eötös Loránd halálának centenáriumáal esik majd egybe, így a precíziós graitációs mérései alapján méltán híressé lett magyar tudós neéel is összekapcsolódik az ET teleszkóp projekt. A szerkesztôbizottság fizika tanításáért felelôs tagjai kérik mindazokat, akik a fizika onzóbbá tétele, a tanítás eredményességének fokozása érdekében új módszerekkel, elképzelésekkel próbálkoznak, hogy ezeket osszák meg a Szemle hasábjain az olasókkal!

40 Felhíás jaaslattételre A korábbi éekhez hasonlóan az idén is szándékunkban áll kiosztani az Eötös Loránd Fizikai Társulat érmeit és díjait. Ezúton is kérem a Társulat szakcsoportjait, a területi szerezeteket és a Társulat alamennyi tagját, hogy a Társulat díjainak odaítélésére onatkozó jaaslataikat (pályázatukat) április 1-jéig szíeskedjenek eljuttatni a Társulat titkárságára (1121 Budapest, Konkoly Thege Miklós út , 31. épület, II. emelet, 315. szoba). A díjak odaítéléséel kapcsolatban az Alapszabály onatkozó rendelkezései az irányadóak, a díjak kiosztására az elõreláthatóan májusban megrendezendõ küldöttközgyûlés keretében kerül sor. Az Eötös Társulat kitüntetései és díjai Tudományos díjak A Eötös Loránd Fizikai Társulat az alábbi tudományos díjakat adományozhatja: Bródy Imre-díjat annak a személynek, aki a fizika alkalmazásának területén, Budó Ágoston-díjat annak a személynek, aki az optika, molekulafizika agy a kísérleti fizika területén, Detre László-díjat annak a személynek, aki a csillagászatban, alamint bolygónkkal és annak kozmikus környezetéel foglalkozó fizikai kutatások területén, Gombás Pál-díjat annak a személynek, aki az alkalmazott kantumelmélet kutatása területén, Gyulai Zoltán-díjat annak a személynek, aki a szilárdtestfizika területén, Jánossy Lajos-díjat annak a személynek, aki az elméleti és kísérleti kutatások területén, Noobátzky Károly-díjat annak a személynek, aki az elméleti fizikai kutatások területén, Schmid Rezsõ-díjat annak a személynek, aki az anyag szerkezetének kutatása területén, Selényi Pál-díjat annak a személynek, aki a kísérleti kutatás területén, Szalay Sándor-díjat annak a személynek, aki az atom- agy atommag-fizikában, illete ezek interdiszciplináris alkalmazási területén, Szigeti György-díjat annak a személynek, aki a lumineszcencia- és félezetõ-kutatások gyakorlati alkalmazásában, Bozóky László-díjat annak a személynek, aki a sugárfizika és a környezettudomány területén, Felsõoktatási Díjat annak a személynek, aki a felsõoktatás területén kimagasló eredmény ért el. Társulati díjak Eötös Loránd Fizikai Társulat Érem a Társulat azon tagjának adható, aki a fizika területén hosszú idõn keresztül folytatott kutatási, alkalmazási agy oktatási teékenységéel és a Társulatban kifejtett munkásságáal kiemelkedõen hozzájárult a fizika hazai fejlõdéséhez. A Társulat Prometheusz éremmel A fizikai gondolkodás terjesztéséért tüntetheti ki azt, aki a fizikai mûeltség fokozásához országos hatással hozzájárult. A Társulat Eötös Plakett emléktárgya annak a tagnak/személynek ítélhetõ oda, aki rendkíüli mértékben nyújt segítséget a Társulat célkitûzéseinek megalósításához, nees külföldi endégnek a Társulat alamely rendezényén tartott elõadása alkalmából. A Társulat díjaira az Alapszabály szerint a Társulat szakcsoportjai és területi szerezetei, alamint a Társulat tagjai tehetnek jaaslatot, de minden társulati tag maga is pályázhat a díjakra. A díjak elnyerésének a társulati tagság nem feltétele. A jaaslatokat és a pályázatokat az illetékes szakcsoportok éleményéel együtt a weblapról letölthetõ, agy a titkárságon beszerezhetõ ûrlap felhasználásáal kell a Társulat titkárságára eljuttatni. A díjazottak személyérõl a Díjbizottság jaaslatára a Társulat Elnöksége dönt. Kádár György fõtitkár ISSN