Számítógépvezérelt szabályozások elmélete

Számítógépvezérelt szabályozások elmélete Folytonos idejű rendszerek Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék

Számítógépvezérelt szabályozások elmélete: Bevezetés February 25, 2017

Áttekintés Fontos tudnivalók 1 Fontos tudnivalók

Fontos tudnivalók Fontos információk Számítógépvezérelt szabályozások elmélete 2016/17 tavaszi félév, szombat 8:00-15:00, I414 Tárgykód: VEMISAM344S Előadók: Dr. Hangos Katalin (hangos.katalin@virt.uni-pannon.hu), Dr. Magyar Attila (magyar.attila@virt.uni-pannon.hu) Lipták György Honlap: http://virt.uni-pannon.hu Tantárgyak

Fontos tudnivalók Jegyzet, számonkérés Textbook: Hangos K., Bokor J., Szederkényi G.: Computer Controlled Systems Pannon Egyetemi Kiadó 1700 Ft Aláírási feltételek: Félév közben egy (elméleti és gyakorlati példákból álló) zárthelyi dolgozat megírása. Az elméleti zh eredménye haladja meg a 66 %-os, a gyakorlati zh eredménye pedig a 30 %-os szintet. Megajánlott jegy: ha mind az elméleti, mind a gyakorlati zh eredménye meghaladja a 66 %-os szintet, valamint beadandók megfelelő minőségű elkészítése.

Miről lesz szó? Fontos tudnivalók Rendszermodellek, realizációk Rendszerosztályok, alapvető rendszertulajdonságok Folytonos idejű lineáris, időinvariáns (CT-LTI) rendszerek input/output és állapottér modelljei Folytonos idejű lineáris időinvariáns rendszerek analízise CT-LTI rendszerek megfigyelhetősége és irányíthatósága Együttes megfigyelhetőség és irányíthatóság, minimális realizációk, rendszerdekompozíció CT-LTI rendszerek BIBO stabilitása, stabilitáskritériumok CT-LTI rendszerek aszimptotikus stabilitása, Ljapunov módszer

Miről lesz szó? Fontos tudnivalók Szabályozótervezés Pólusáthelyezéses szabályozás Lineáris kvadratikus optimális szabályozás (LQR) Diszkrét idejű lineáris időinvariáns rendszerek Mintavételezés, diszkrét idejű lineáris időinvariáns (DT-LTI) rendszermodellek DT-LTI rendszerek megfigyelhetősége, irányíthatósága és stabilitása DT-LTI sztochasztikus rendszerek Sztochasztikus állapotbecslés: Kalman-szűrő Esettanulmányok Kitekintések

Fontos tudnivalók Feltételezett (elvárt) előismeretek Matematikai analízis komplex számok, komplex függvények Laplace transzformáció Lineáris algebra műveletek vektorokkal és mátrixokkal lineáris tér, bázis, sajátérték, sajátvektor Valószínűségszámítás valószínűségi változók, valószínűségi sűrűségfüggvény várható érték, szórás, korreláció, függetlenség normális (Gauss) eloszlás Irányítástechnika I. jelek és rendszerek, lineáris rendszerek, egybemenetű-egykimenetű eset átviteli függvény, pólusok, stabilitás

Hogyan tovább? Fontos tudnivalók Választható tárgyak rendszermodellezés (realizáció-elmélet) Dinamikus rendszerek irányítási és diagnosztikai célú modellezése identifikáció kísérlettervezés, jelfeldolgozás modell paraméter és struktúra becslés Dinamikus rendszerek paramétereinek becslése, Digitális jelfeldolgozás irányítástervezés szabályozások: értéktartó, zavarelnyomó, stabilizáló stb. optimális irányítások diszkrét vezérlési szekvenciák Robottechnika diagnosztika Modell alapú diagnosztika diszkrét módszerekkel

Számítógépvezérelt szabályozások elmélete: Jelek és rendszerek February 25, 2017

Áttekintés Jelek 2 Jelek Jelek osztályozása Speciális jelek Alapvető műveletek 3 Rendszerek

Jelek 1 Jelek Jel: idő (és/vagy tér-függő) mennyiség Példák x : R + 0 R, x(t) = e t y : N + 0 R, y[n] = e n X : C C, X(s) = 1 s+1

Jelek 2 Jelek Földfelszín T (r, θ, φ, t) hőmérséklete: T : R + [0, π] [0, 2π] R (r, θ, φ: gömbi koordináták, t: idő) képernyő: I : N 3 N 3 I(x, y, t) = I R (x, y, t) I G (x, y, t) I B (x, y, t),

Jelek osztályozása Jelek Jelek osztályozása független változó dimenziója jel dimenziója valós, vagy komplex értékű folytonos- vagy diszkrét idejű folytonos- vagy diszkrét értékű korlátos, vagy nem korlátos periodikus vagy aperiodikus páros vagy páratlan

Speciális jelek 1 Jelek Speciális jelek δ(t) Dirac-δ vagyr egységimpulzus függvény f(t)δ(t)dt = f(0) ahol f : R + 0 R tetszőleges sime (elegendően sokszor differenciálható) függvény. Következmény: 1 δ(t)dt = 1 t 2 1 1 2 δ(t) t 2 1 1 2

Speciális jelek 2 Jelek Speciális jelek Egységugrás függvény azaz η(t) = η(t) = t Exponenciális függvény δ(τ)dτ, { 0, ha t < 0 1, ha t 0 η(t) 1 t 2 1 1 2 e at, a R exp(a t) Komplex exponenciális: a C, a = α + jω e at = e αt e jωt = e αt cos(ωt) + je αt sin(ωt) t 2 4

Alapvető műveletek 1 Jelek Alapvető műveletek x(t) = x 1 (t). x n (t), y(t) = összeadás: (x + y)(t) = x(t) + y(t), t R + 0 skalárral való szorzás: (αx)(t) = αx(t) t R + 0, α R skaláris szorzat: x, y (t) = x(t), y(t) t R + 0 y 1 (t). y n (t)

Alapvető műveletek 2 Jelek Alapvető műveletek időeltolás: T a x(t) = x(t a) konvolúció: x, y : R + 0 R (x y)(t) = t R + 0, a R x(τ)y(t τ)dτ, t 0

Fourier-transzformáció Jelek Alapvető műveletek Fourier transzformált F (Ω) = F{f(t)} = f(t)e jωt dt, f is integrable Tulajdonságok Lineáris: F{c 1 y 1 + c 2 y 2 } = c 1 F{y 1 } + c 2 F{y 2 } F{ dy dt } = jωy (Ω) y(0) F{ h(t τ)u(τ)dτ} = 2πH(Ω)U(Ω) Inverz Fourier-transzformált f(t) = F 1 {F (Ω)} = 1 2π F (Ω)e jωt dω, t R + 0

Laplace-transzformáció Értelmezési tartomány: Jelek Alapvető műveletek Λ = { f f : R + 0 C, f integrálhato az [0, a], a > 0 és A f 0, a f R, amire f(x) A f e a f x x 0 } Laplace-transzformált (kapcsolat a Fourier transzformálttal: s = jω) F (s) = L{f(t)} = 0 f(t)e st dt, f Λ, s C, s = σ + jω Tulajdonságok Lineáris: L{c 1 y 1 + c 2 y 2 } = c 1 L{y 1 } + c 2 L{y 2 } L{ dy dt } = sy (s) y(0) L{ h(t τ)u(τ)dτ} = H(s)U(s) Inverse Laplace transzformált f(t) = L 1 {F (s)} = 1 2πj c+j c j A gyakorlatban: Laplace-transzformációs tábla F (s)e st ds, t R + 0

Áttekintés Rendszerek 2 Jelek 3 Rendszerek Rendszertulajdonságok Folytonos idejű lineáris időinvariáns rendszermodellek

Rendszerek Rendszerek Rendszer (S): jelekre hat y = S[u] bemenetek (u U) és kimenetek (y Y) absztrakt operátor (S : U Y)

Rendszerek Alapvető rendszertulajdonságok 1 Rendszertulajdonságok Linearitás S[c 1 u 1 + c 2 u 2 ] = c 1 y 1 + c 2 y 2 ahol c 1, c 2 R, u 1, u 2 U, y 1, y 2 Y és S[u 1 ] = y 1, S[u 2 ] = y 2 Linearitás ellenőrzése: definíció szerint Időinvariancia T τ S = S T τ ahol T τ az idő eltolás operátor: T τ (u(t)) = u(t + τ), Időinvariancia: konstans paraméterek t

Rendszerek Alapvető rendszertulajdonságok 2 Rendszertulajdonságok SISO/MIMO Single Input-Single Output, vagy Multiple Input-Multiple Output (egybemenetű-egykimenetű, több bemenetű több kimenetű rendszer) Folytonos- (CT) és Diszkrét idejű (DT) rendszerek Folytonos idejű rendszer: az időhalmaz T R Diszkrét idejű rendszer: az időhalmaz T = {..., t 1, t 0, t 1, t 2,... } Kauzalitás A jelen csak a múlttól függ, a jövőtől nem.

CT-LTI rendszermodellek Rendszerek Folytonos idejű lineáris időinvariáns rendszermodellek SISO rendszerek bemenet-kimenet modelljei időtartomány frekvenciatartomány operátortartomány Állapottér modellek

Rendszerek Folytonos idejű lineáris időinvariáns rendszermodellek CT-LTI I/O rendszermodellek időtartomány Lineáris, állandó együtthatós n-edrendű differenciálegyenletek d n y a n dt n + a d n 1 y n 1 dt n 1 +... + a dy 1 dt + a du 0y = b 0 u + b 1 dt +... + b d m u m dt m az alábbi kezdeti feltételekkel y(0) = y 0, dy dt (0) = y 10,..., d n 1 y dt n 1 (0) = y n 1,0

Rendszerek Folytonos idejű lineáris időinvariáns rendszermodellek CT-LTI I/O rendszermodellek időtartomány Impulzusválasz függvény SISO LTI rendszer válasza a Dirac-δ bemenetre nulla kezdeti feltételek mellett. S kimenete felírható y(t) = h(t τ)u(τ)dτ = h(τ)u(t τ)dτ

Rendszerek Folytonos idejű lineáris időinvariáns rendszermodellek CT-LTI I/O rendszermodellek frekvenciatartomány A komplex exponenciálisok a CT-LTI rendszerek sajátfüggvényei u(t) = e jωt y(t) = τ= Definíció (Frekvenciaválasz) Frekvuenciaválasz függvény H(Ω) h(τ)u(t τ)dτ = H(Ω) = τ= τ= h(τ) e jωτ dτ y(t) = H(Ω) e jωt h(τ) e jω(t τ) dτ

Rendszerek Folytonos idejű lineáris időinvariáns rendszermodellek CT-LTI I/O rendszermodellek frekvenciatartomány CT-LTI rendszer komplex exponenciális (szinuszos) bemenetre adott válasza Frekvuenciafüggő erősítés (és fázistolás) x(t) = e jωt y(t) = H(Ω)e jωt = H(Ω) e j(ωt+arg(h(ω))) Szuperpozíció tétele alapján: x(t) = A 1 e jω 1t +A 2 e jω 2t y(t) = A 1 H(Ω 1 )e jω 1t +A 2 H(Ω 2 )e jω 2t

Rendszerek Folytonos idejű lineáris időinvariáns rendszermodellek CT-LTI I/O rendszermodellek operátortartomány Átviteli függvény nulla kezdeti feltételek mellett Y (s) U(s) H(s) = b(s) a(s) Y (s) = H(s)U(s) kimenet Laplace-transzformáltja signal bemenet Laplace-transzformáltja a rendszer átviteli fügvénye ahol a(s) és b(s) polinomok degree b(s) = m degree a(s) = n Strictly proper: m < n Proper: m = n Improper: m > n Szoros kapcsolat a frekvenciaválasszal H(Ω) = H(s) s=jω

Rendszerek Folytonos idejű lineáris időinvariáns rendszermodellek CT-LTI I/O rendszermodellek (SISO) közötti átalakítás Átviteli függvény lineáris diff. egyenlet d n y L{a n dt n + a d n 1 y n 1 dt n 1 +... + a dy 1 dt + a 0y} = du = L{b 0 u + b 1 dt +... + b d m u m dt m } H(s) = Y (s) U(s) = b(s) a(s) Átviteli függvény Impulzusválasz függvény H(s) = L{h(t)} Frekvenciaválasz Impulzusválasz függvény H(Ω) = F{h(t)} Frekvenciaválasz Átviteli függvény H(Ω) = H(s) s=jω

Példa Rendszerek Folytonos idejű lineáris időinvariáns rendszermodellek Példa Adott a következő CT LTI SISO rendszer: ÿ(t) + 4ẏ(t) + 3y(t) = 2 u(t) + u(t) Adja meg a rendszer átviteli függvényét! Adja meg a rendszer impulzusválasz függvényét!

Számítógépvezérelt szabályozások elmélete: Állapottér modell February 25, 2017

Áttekintés Rendszer- és irányításelmélet 4 Rendszer- és irányításelmélet Állapottér modell 5 Motivációs példák 6 Nemlineáris állapottér modell 7 Állapottranszformációk

Rendszer- és irányításelmélet Klasszikus vs. modern irányításelmélet Klasszikus irányításelmélet Stabilitás, tranziens válasz könnyen meghatározható Gyors tervezés lineáris és időinvariáns SISO rendszerekre remekül használható Viszont...... rendszereink többsége nem időinvariáns... rendszereink többsége nemlineáris... rendszereink többsége MIMO Modern irányításelmélet (időtartománybeli módszerek, állapotteres módszerek)

Rendszer- és irányításelmélet Állapottér modell Állapottér modell felírásának lépései Lépések 1 Az összes lehetséges változó közül kiválasztunk néhányat, és állapotváltozónak hívjuk űket.

Rendszer- és irányításelmélet Állapottér modell Állapottér modell felírásának lépései Lépések 1 Az összes lehetséges változó közül kiválasztunk néhányat, és állapotváltozónak hívjuk űket. 2 Egy n-edrendű rendszer esetén felírunk n darab szimultán lineáris elsőrendű differenciálegyenletet az állapotváltozókra. Ezek az állapotegyenletek.

Rendszer- és irányításelmélet Állapottér modell Állapottér modell felírásának lépései Lépések 1 Az összes lehetséges változó közül kiválasztunk néhányat, és állapotváltozónak hívjuk űket. 2 Egy n-edrendű rendszer esetén felírunk n darab szimultán lineáris elsőrendű differenciálegyenletet az állapotváltozókra. Ezek az állapotegyenletek. 3 Ha ismerjük az állapotok értékét t 0 -ban, valamint a bemeneteket, ha t t 0, akkor megoldhatjuk az állapotegyenleteket t t 0 -ra.

Rendszer- és irányításelmélet Állapottér modell Állapottér modell felírásának lépései Lépések 1 Az összes lehetséges változó közül kiválasztunk néhányat, és állapotváltozónak hívjuk űket. 2 Egy n-edrendű rendszer esetén felírunk n darab szimultán lineáris elsőrendű differenciálegyenletet az állapotváltozókra. Ezek az állapotegyenletek. 3 Ha ismerjük az állapotok értékét t 0 -ban, valamint a bemeneteket, ha t t 0, akkor megoldhatjuk az állapotegyenleteket t t 0 -ra. 4 Az állapotok és a bemenetek ismeretében algebrailag kifejezhető a rendszer összes többi állapota, t t 0 -ra. Ezek az algebrai összefüggések a kimeneti egyenletek.

Rendszer- és irányításelmélet Állapottér modell Állapottér modell felírásának lépései Lépések 1 Az összes lehetséges változó közül kiválasztunk néhányat, és állapotváltozónak hívjuk űket. 2 Egy n-edrendű rendszer esetén felírunk n darab szimultán lineáris elsőrendű differenciálegyenletet az állapotváltozókra. Ezek az állapotegyenletek. 3 Ha ismerjük az állapotok értékét t 0 -ban, valamint a bemeneteket, ha t t 0, akkor megoldhatjuk az állapotegyenleteket t t 0 -ra. 4 Az állapotok és a bemenetek ismeretében algebrailag kifejezhető a rendszer összes többi állapota, t t 0 -ra. Ezek az algebrai összefüggések a kimeneti egyenletek. 5 Az állapotegyenletek és a kimeneti egyenletek egy leírása a rendszernek. Ezt a leírást állapottér modellnek hívjuk.

Áttekintés Motivációs példák 4 Rendszer- és irányításelmélet 5 Motivációs példák Elektromos rendszerek Mechanikai rendszerek LTI állapottér modell 6 Nemlineáris állapottér modell 7 Állapottranszformációk

Rezgőkör Motivációs példák Elektromos rendszerek Határozzuk meg a kondenzátor feszültségének időfüggvényét ha t 0! R C u be (t) L u be (t) = { 0 V, t < 0 1 V, t 0

Rezgőkör Motivációs példák Elektromos rendszerek Határozzuk meg a kondenzátor feszültségének időfüggvényét ha t 0! R C u be (t) L u be (t) = { 0 V, t < 0 1 V, t 0 Mátrixos alak: x(t) = [ i L (t) ẋ(t) = R L u C (t) ] T, y(t) = uc (t), u(t) = u be (t) 1 L 1 C 0 x(t) + [ 1 L 0 ] u(t) y(t) = [ 0 1 ] x(t)

Motivációs példák Gépkocsi kerék felfüggesztés Mechanikai rendszerek z s m s /4 k s c s z us m us /4 v(t) k t c t z 0 d dt z us z 0 ż us z s z us ż s = 0 1 0 0 4k s k t 4(cs+c t) m us m us m us 4c s m us 0 1 0 1 0 4c s m s 4ks m s 4cs m s z us z 0 ż us z s z us ż s + 1 4c t m us 0 0 ż0

Motivációs példák LTI állapottér modell Folytonosidejű LTI állapottér modell Általános alak ẋ(t) = A x(t) + B u(t) (állapot egyenlet) y(t) = C x(t) + D u(t) (kimeneti egyenlet), x(t 0) = x 0 ahol adott kezdeti feltétel x(t 0 ) = x 0, x(t) R n, y(t) R p, u(t) R r rendszerparaméterek A R n n, B R n r, C R p n, D R p r

Motivációs példák Állapotegyenlet megoldása LTI állapottér modell Inverz Laplace-transzformációval Hatványsorba fejtve (s I A) 1 : Ebből X(s) = (si A) 1 BU(s) (s I A) 1 = 1 s (I A s ) 1 = 1 s (I + A s + A2 s 2 +...) L 1 {(s I A) 1 } = I + A t + 1 2! A2 t 2 +... = e A t, t 0 x(t) = e A t x(0) + t y(t) = C x(t) + D u(t) 0 e A(t τ) B u(τ)dτ

Motivációs példák Állapot egyenlet megoldása LTI állapottér modell Példa (RLC kör) Határozzuk meg a korábbi példa állapotvektorának időfüggvényét az adott gerjesztés mellett, R = 1Ω, L = 1 H és C = 1 F értékekkel! R C u be (t) L u be (t) = { 0 V, t < 0 1 V, t 0 Mátrixos alak: x(t) = [ i L (t) ẋ(t) = R L u C (t) ] T 1 L 1 C 0 x(t) + [ 1 L 0 ] u(t) x(0) = [1 1] T

Motivációs példák Állapot egyenlet megoldása LTI állapottér modell Példa (RLC kör) Határozzuk meg a korábbi példa állapotvektorának időfüggvényét az adott gerjesztés mellett, R = 1Ω, L = 1 H és C = 1 F értékekkel! A/V 1.5 1 0.5 0 0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(t) = e A t x(0) + t 0 idő [s] e A(t τ) B u(τ)dτ i L u C i L u C i L u C

Motivációs példák Kapcsolat az átviteli függvénnyel LTI állapottér modell Az állapottér modell Laplace-transzformációjával sx(s) = A X(s) + B U(s) (állapot egyenlet x(0) = 0) Y (s) = C X(s) + D U(s) (kimeneti egyenlet) X(s) = (s I A) 1 B U(s) Y (s) = {C (s I A) 1 B + D}U(s) Az (A, B, C, D) állapottér modellhez tartozó H(s) átviteli függvény: H(s) = C(s I A) 1 B + D Példa (RLC kör) Írjuk fel a korábbi példarendszer átviteli függvényét az állapottér modellből!

Áttekintés Nemlineáris állapottér modell 4 Rendszer- és irányításelmélet 5 Motivációs példák 6 Nemlineáris állapottér modell Munkapont körüli linearizálás 7 Állapottranszformációk

Nemlineáris állapottér modell HIV vírus terjedése a szervezetben AIDS CD4 receptorral rendelkező T-limfocitákat pusztítja dt dt = s d T β T V dt = β T V µ T dt dv dt = k T c V darabszám 3,000 2,000 1,000 0 0 0 100 200 300 idő [nap] T T 40 20

Nemlineáris állapottér modell Ökológiai rendszer Lotka-Volterra model ẋ(t) = α x(t) β x(t) y(t) ẏ(t) = γ y(t) + δ x(t) y(t) α, β, γ, δ > 0 x zsákmányállatok száma y ragadozók száma egyedszám 1,500 1,000 500 Nyúl Róka 0 0 5 10 15 20 25 30 idő

Nemlineáris állapottér modell Speciális eset: vérnyúl

Nemlineáris állapottér modell Folytonos idejű rendszerek leírása az állapottérben Nemlineáris állapottér modell: általános eszköz dinamikus rendszerek leírására ẋ(t) = f(x(t), u(t)) állapot egyenlet y(t) = g(x(t), u(t)) kimeneti egyenlet Állapottér: az x vektor összes lehetséges értékét tartalmazó halmaz (x X ) Állapottrajektória: az x(t) állapotvektor által leírt térgörbe Egyensúlyi állapot(ok): az f(x 0, u 0 ) = 0 egyenlet megoldásai

Nemlineáris állapottér modell Példa: fermentációs folyamat baktérium (x) + szubsztrát s, erjedés Nemlineáris rendszer ẋ = f(x, u) x = [x, s] T állapotok, és u = [x F, s F ] T bemenetek ẋ = µ(s) x + (x F x)f V ṡ = µ(s) x + (s F s)f Y V s µ(s) = µ max K 2 s 2 + s + K 1

Nemlineáris állapottér modell Példa: fermentációs folyamat egyensúlyi pontjai biomassza 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 szubsztrát Egyensúlyi pont x 0 = [4.89, 0.22] T állandósult biomassza koncentráció

Nemlineáris állapottér modell Példa: fermentációs folyamat egyensúlyi pontjai biomassza 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 szubsztrát Egyensúlyi pont x 0 = [4.89, 0.22] T állandósult biomassza koncentráció Kimosási egyensúlyi pont x 1 = [0, 10] T kiürül a biomassza

Nemlineáris állapottér modell Példa: fermentációs folyamat egyensúlyi pontjai biomassza 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 szubsztrát Egyensúlyi pont x 0 = [4.89, 0.22] T állandósult biomassza koncentráció Kimosási egyensúlyi pont x 1 = [0, 10] T kiürül a biomassza Nemlineáris rendszer esetén akár több munkapont is lehet!

Nemlineáris állapottér modell Egyensúlyi pont körüli linearizálás Munkapont körüli linearizálás Az (x 0, u 0 ) egyensúlyi pont közelében helyettesíthető egy lineáris rendszerrel 1 f(x, u) A x + B u (x 0, u 0 ) ẋ 0.5 0 0 1 0.8 0.6 x 0.4 0.2 0 1 0.5 u A lineáris rendszerre alkalmazhatók a lineáris technikák

Nemlineáris állapottér modell Egyensúlyi pont körüli linearizálás Munkapont körüli linearizálás Az (x 0, u 0 ) egyensúlyi pont közelében (!) helyettesíthető egy lineáris rendszerrel ẋ(t) = f(x(t), u(t)) ẋ(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = g(x(t), u(t)) y(t) = C x(t) + D u(t) Centrált változók: x(t) = x(t) x 0, u(t) = u(t) u 0 A linearizált állapottérmodell paramétereinek számolása A = f x (x 0, u 0 ) C = g x (x 0, u 0 ) B = f u (x 0, u 0 ) D = g u (x 0, u 0 )

Példa: inga Nemlineáris állapottér modell Munkapont körüli linearizálás Alapegyenlet Forgatónyomaték T = J ω = J θ θ T L M g Légellenállás Mozgásegyenlet T g = Mg sin θ L 2 T l = c L θ J d2 θ dt 2 + Mg sin θ L 2 + c L θ = T ahol J = M L2 3 Nemlineáris állapottér modell, x = [θ, ω] T, u = T

Nemlineáris állapottér modell Példa: inga linearizált modellje Munkapont körüli linearizálás 5 nemlineáris lineáris ω, ω 0 5 1 0 1 2 θ, θ 2 θ θ 5 ω ω θ, θ 0 2 4 6 8 10 t ω, ω 0 2 4 6 8 1 t 2 5

Áttekintés Állapottranszformációk 4 Rendszer- és irányításelmélet 5 Motivációs példák 6 Nemlineáris állapottér modell 7 Állapottranszformációk

Állapottranszformációk Állapottranszformációk Ugyanazt a bemenet-kimenet viselkedést végtelen különböző állapottér modell írhatja le Állapottranszformáció: x = T x (inverze: x = T 1 x) T 1 (!) ẋ(t) = A x(t) + B u(t) x(t) = Ã x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) Kapcsolat a különböző állapottér modellek között Ã = T A T 1 B = T B C = C T 1 D = D A súlyfüggvény, az átviteli függvény és a pólusok invariánsak ezekre a transzformációkra w(t) = C e A t B = C eã t B H(s) = C (si A) 1 B = C (si Ã) 1 B λ : det(λi A) = det(λi Ã)

Állapottranszformációk Diagonális kanonikus alak Megfelelő T D transzformációs mátrixszal az állapotmátrix diagonális alakra hozható Ã D = T D A T 1 D = diag(λ 1,..., λ n ) Transzformációs mátrix a v i sajátvektorokból képezhető T D = [v 1,..., v n ] 1 Diagonális állapottér modell λ 1 0... 0 0 λ 2... 0 x(t) =...... x(t) + 0 0... λ n Átviteli függvény y(t) = [ γ 1 γ 2... γ n ] x + d u(t) H(s) = n i=1 β i γ i s λ i + d β 1 β 2. β n u(t)

Állapottranszformációk Alternatív leírások az állapottérben x2 0.3 0.2 kaszkád párhuzamos irányíthatósági megfigyelhetőségi 0.1 0 0.1 5 10 2 0 5 10 2 0.1 x 1 1 u 0.1 u 0.5 y 5 10 2 0 2 4 6 8 10 t 0 2 4 6 8

Számítógépvezérelt szabályozások elmélete: Stabilitás, irányíthatóság, megfigyelhetőség February 25, 2017

Áttekintés Bevezetés, ismétlés 8 Bevezetés, ismétlés 9 Irányíthatóság és megfigyelhetőség 10 Együttes irányíthatóság és megfigyelhetőség 11 Általános dekompozíciós tétel 12 Stabilitás

Bevezetés, ismétlés Kapcsolat az állapottér modell és az átviteli függvény között Laplace-transzormáció (kezdeti feltételek, x(0)) ẋ(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) Megoldás alakja x(t) = e A t x(0) + t τ=0 A rendszer alapmátrixa (mátrix exponenciális): e A (t τ) B u(τ)dτ e At I + A t + 1 2 (A t)2 + + 1 n! (A t)n +... Átviteli függvény (x(0)=0) H(s) = C (si A) 1 B + D Súlyfüggvény Pólusok - A sajátértékei w(t) = C e A t B det(λi A) = 0

Bevezetés, ismétlés Állapottranszformációk Ugyanazt a bemenet-kimenet viselkedést végtelen különböző állapottér modell írhatja le Állapottranszformáció: x = T x (inverze: x = T 1 x) T 1 (!) ẋ(t) = A x(t) + B u(t) x(t) = Ã x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) y(t) = C x(t) + D u(t) Kapcsolat a különböző állapottér modellek között Ã = T A T 1 B = T B C = C T 1 D = D A súlyfüggvény, az átviteli függvény és a pólusok invariánsak ezekre a transzformációkra w(t) = C e A t B = C eã t B H(s) = C (si A) 1 B = C (si Ã) 1 B λ : det(λi A) = det(λi Ã)

Irányíthatóság és megfigyelhetőség Áttekintés 8 Bevezetés, ismétlés 9 Irányíthatóság és megfigyelhetőség 10 Együttes irányíthatóság és megfigyelhetőség 11 Általános dekompozíciós tétel 12 Stabilitás

Irányíthatóság és megfigyelhetőség Irányíthatóság Definíció (Állapotirányíthatóság, (Kálmán R.)) A rendszer (állapot)irányítható, ha állapotvektora az u irányítás hatására tetszőleges x(t 0 ) kezdeti állapotból véges (t v t 0 ) idő alatt a tetszőlegesen előírt x(t v ) állapotba vihető át. Ha a definíció csak a kimenőjelre teljesül, akkor kimeneti irányíthatóságról van szó. Az irányíthatóság az diagonális kanonikus alakban a legszemléletesebb: ha β i = 0, akkor az i-edik sajátérték nem befolyásolható

Irányíthatóság és megfigyelhetőség Irányíthatóság feltétele Tétel (Irányíthatóság feltétele) A rendszer egy (A, B, C, D) állapottér modellje pontosan akkor állapotirányítható, ha az alábbi módon definiált C irányíthatósági mátrix teljes rangú Irányíthatósági mátrix: C = [ B A B... A n 1 B ] SISO esetben C irányíthatósági mátrix oszlopai lineárisan függetlenek azaz C invertálható Mivel az állapotmátrixtól és a bemeneti mátrixtól függ az irányíthatóság, ezért az (A, B) pár irányíthatóságáról szokás beszélni. Kimeneti irányíthatóság esetén a feltétel, hogy az C = [ C B C A B... C A n 1 B ] vektor egyik eleme sem zérus.

Irányíthatóság és megfigyelhetőség Irányítható kanonikus alak A állapotegyenletek irányítható (controllability) kanonikus alakja a 1... a n 1 a n 1 1... 0 0 ẋ(t) =...... x(t) + 0. u(t) 0... 1 0 0 y(t) = [ b 1 b 2... b n ] x(t) Mindegyik állapotváltozó (x n kivételével) a hatásirányban következő állapotváltozó deriváltja A mátrixokban szereplő parméterek az átviteli függyvény együtthatói H(s) = b 1 s n 1 + + b n s n + a 1 s n 1 + + a n

Irányíthatóság és megfigyelhetőség Irányíthatósági kanonikus alak irányíthatósága Az irányíthatósági kanonikus alak irányíthatósági mátrixa: 1 a 1 a 2... a n 1 0 1 a 1... a n 2 C C =....... 0 0 0... a 1 0 0 0... 1 C C mindig invertálható, tehát az irányíthatósági kanonikus alakban levő rendszer mindig irányítható! Példa: ẋ(t) = [ 1 0 0 1 ] [ 1 x(t) + 1 1 ] u(t) = A x(t) + B u(t)

Irányíthatóság és megfigyelhetőség Irányíthatóság Példa (RLC kör) Vizsgáljuk meg a példában szereplő rendszert irányíthatóság szempontjából! (R = 1Ω, L = 1 H és C = 1 F) R C u be (t) L Mátrixos alak: x(t) = [ i L (t) ẋ(t) = R L u C (t) ] T 1 L 1 C 0 x(t) + [ 1 L 0 ] u(t) y(t) = [0 1] x(t)

Irányíthatóság és megfigyelhetőség Megfigyelhetőség Definíció (Megfigyelhetőség, (Kálmán R.)) Legyen adott a rendszer állapottér modellje, valamint bemeneti- és kimeneti jelének bizonyos ideig tartó mérése. A rendszer megfigyelhető, ha a t 0 < t < t v intervallumban megfigyelt y(t) és u(t) jelekből x(t 0 ) meghatározható. A megfigyelhetőség a diagonális kanonikus alakban a legszemléletesebb: ha γ i = 0, akkor a kimenet nem tartalmaz információt az i-edik állapotról.

Irányíthatóság és megfigyelhetőség Megfigyelhetőség feltétele Tétel (Megfigyelhetőség feltétele) A rendszer egy (A, B, C, D) állapottér modellje pontosan akkor megfigyelhető, ha az alábbi módon definiált O megfigyelhetőségi mátrix teljes rangú Megfigyelhetőségi mátrix: O = [ C C A... C A n 1 ] T R n n SISO esetben O irányíthatósági mátrix oszlopai lineárisan függetlenek azaz O invertálható Mivel az állapotmátrixtól és a bemeneti mátrixtól függ a megfigyelhetőség, ezért az (A, C) pár megfigyelhetőségéről szokás beszélni. Dualitás az irányíthatóság és a megfigyelhetőség között: (A, B) irányítható (A T, B T ) megfigyelhető (A, C) megfigyelhető (A T, C T ) irányítható

Irányíthatóság és megfigyelhetőség Megfigyelhető kanonikus alak A állapotegyenletek megfigyelhető (observability) kanonikus alakja a 1 1... 0 b 1. ẋ(t) =..... a n 1 0... 1 x(t) +. b n 1 u(t) a n 0... 0 b n y(t) = [ 1 0... 0 ] x(t) Az x 1 állapot maga a kimenőjel, amely valamennyi állapotváltozóra vissza van csatolva.

Irányíthatóság és megfigyelhetőség Megfigyelhetőségi kanonikus alak megfigyelhetősége A megfigyelhetőségi kanonikus alak megfigyelhetőségi mátrixa: O O = 1 0... 0 0 a 1 1... 0 0 a 2 a 1... 0 0....... a n 1 a n 2... a 1 1 O O mindig invertálható, tehát a megfigyelhetőségi kanonikus alakban levő rendszer mindig megfigyelhető! Példa: ẋ(t) = [ 1 0 0 1 1 ] x(t) = A x(t) y(t) = [ 1 1 ] x(t) = C x(t)

Irányíthatóság és megfigyelhetőség Megfigyelhetőség Példa (RLC kör) Vizsgáljuk meg a példában szereplő rendszert megfigyelhetőség szempontjából! (R = 1Ω, L = 1 H és C = 1 F) R C u be (t) L Mátrixos alak: x(t) = [ i L (t) ẋ(t) = R L u C (t) ] T 1 L 1 C 0 x(t) + [ 1 L 0 ] u(t) y(t) = [0 1] x(t)

Együttes irányíthatóság és megfigyelhetőség Áttekintés 8 Bevezetés, ismétlés 9 Irányíthatóság és megfigyelhetőség 10 Együttes irányíthatóság és megfigyelhetőség 11 Általános dekompozíciós tétel 12 Stabilitás

Együttes irányíthatóság és megfigyelhetőség Ekvivalens állapottér modell tulajdonságok Az együttes irányíthatóság és megfigyelhetőség rendszertulajdonság

Áttekintés Általános dekompozíciós tétel 8 Bevezetés, ismétlés 9 Irányíthatóság és megfigyelhetőség 10 Együttes irányíthatóság és megfigyelhetőség 11 Általános dekompozíciós tétel 12 Stabilitás

Általános dekompozíciós tétel Általános dekompozíciós tétel Adott egy (A, B, C) állapottérmodell. Mindig lehetséges egy olyan (A, B, C) állapottérmodellé transzformálni, aminek az alakja A = x = [ x co x co x co x co ] T A co 0 A 13 0 A 21 A co A 23 A 24 0 0 A co 0 0 0 A 43 A co C = [ C co 0 C co 0 ] B = B co B co 0 0

Általános dekompozíciós tétel Általános dekompozíciós tétel A partícionálás részrendszereket definiál Irányítható és megfigyelhető részrendszer: (A co, B co, C co ) minimális, azaz n n és H(s) = C co (si A co ) 1 B co = C(sI A) 1 B Irányítható részrendszer ( [ Aco 0 A 21 A co ], [ Bco B co ], [ Cco 0 ] ) Megfigyelhető részrendszer ( [ Aco A 13 ] 0 A co, [ Bco 0 ], [ Cco C co ] ) Nem irányítható és nem megfigyelhető részrendszer ([A co ], [0], [0])

Áttekintés Stabilitás 8 Bevezetés, ismétlés 9 Irányíthatóság és megfigyelhetőség 10 Együttes irányíthatóság és megfigyelhetőség 11 Általános dekompozíciós tétel 12 Stabilitás LTI rendszerek aszimptotikus stabilitása BIBO stabilitás Nemlineáris eset - Ljapunov módszer

Stabilitás LTI rendszerek aszimptotikus stabilitása Folytonosidejű LTI rendszerek aszimptotikus stabilitása Csonkolt állapotegyenlet u 0 bemenettel: ẋ = A x, x R n, A R n n, x(0) = x 0 Egyensúlyi pont: x = 0 Az állapotegyenlet megoldása: x(t) = e At x 0 Aszimptotikusan stabil, ha lim t x(t) = 0 Sajátértékek = pólusok det(s I A) = 0

Stabilitás fajtái Stabilitás LTI rendszerek aszimptotikus stabilitása A összes sajátértékének valós része negatív (A stabilitás mátrix): aszimptotikus stabilitás A-nak nulla, és negatív valósrészű sajátértékei is vannak a nulla valósrészű sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek: (nem-aszimptotikus) stabilitás a nulla valósrészű sajátértékekhez tartozó sajátvektorok nem lineárisan függetlenek: (polinomiális) instabilitás A-nak legalább egy sajátértéke pozitív valósrészű: (exponenciális) instabilitás

Aszimptotikus stabilitás Stabilitás LTI rendszerek aszimptotikus stabilitása Példa (RLC kör) Vizsgáljuk meg a példában szereplő rendszert aszimptotikus stabilitás szempontjából! Mely paraméter értékétől függ ez a tulajdonságő (R = 1Ω, L = 1 H és C = 1 F) R C u be (t) L Mátrixos alak: x(t) = [ i L (t) ẋ(t) = R L u C (t) ] T 1 L 1 C 0 x(t) + [ 1 L 0 ] u(t)

Tulajdonságok Stabilitás LTI rendszerek aszimptotikus stabilitása Tétel (BIBO and aszimptotikus stabilitás) Az aszimptotikus stabilitásból következik a BIBO stabilitás LTI rendszerek esetén. Tétel (Állapoottranszformáció hatása) Egy négyzetes A R nxn mátrix sajátértékeit a T hasonlósági transzformáció nem változtatja meg: Ã = T A T 1

BIBO stabilitás Stabilitás BIBO stabilitás Definíció (BIBO) Egy rendszer pontosan akkor stabil BIBO (bounded input-bounded output) értelemben, ha tetszőleges korlátos bemenetre korlátos kimenettel válaszol. Tétel Egy lineáris időinvariáns rendszer BIBO stabil, ha az alábbi integrál véges h(τ) dτ <

Ljapunov tétel Stabilitás Nemlineáris eset - Ljapunov módszer Ljapunov-függvény: V : X R V > 0, ha x x, V (x ) = 0 V folytonosan differenciálható V nem növekszik d V V (x) = dt x ẋ = V x f(x) 0 Tétel (Ljapunov stabilitási tétel) Ha létezik Ljapunov függvény a ẋ = f(x), f(x ) = 0 rendszerhez, akkor x egy stabil egyensúlyi pont. Ha d dt V 0 akkor x aszimptotikusan stabil egyensúlyi pont. Ha a Ljapunov függvény tulajdonságok csak az x egy környezetében teljesülnek, akkor x lokálisan aszimpotikusan stabil egyensúlyi pont.

Stabilitás Nemlineáris eset - Ljapunov módszer Ljapunov tétel a folytonos idejű LTI esetben Jelölés Q R n n szimmetrikus mátrix: Q = Q T, azaz [Q] ij = [Q] ji (Q összes sajátértéke valós) A Q szimmetrikus mátrix pozitív definit (Q > 0): x T Q x > 0, x R n, x 0 ( Q összes sajátértéke pozitív) A Q szimmetrikus mátrix negatív definit Q < 0: x T Q x < 0, x R n, x 0 ( Q összes sajátértéke negatív) Tétel (Ljapunov tétel LTI rendszerekre) Egy LTI rendszer állapotmátrixa (A) pontosan akkor stabilitás mátrix, ha tetsz. pozitív definit szimmetrikus Q mátrixhoz található olyan pozitív definit szimmetrikus P mátrix, amelyre A T P + P A = Q

Rezgőkör Stabilitás Nemlineáris eset - Ljapunov módszer R C L A rendszer összes energiája... Mátrixos alak: x(t) = [ i L (t) ẋ(t) = V (x) = 1 2 (L i2 L + C u 2 C) = 1 2 xt [ L 0 0 C u C (t) ] T R L 1 L 1 C 0 x(t) ] x = 1 2 xt P x

Rezgőkör Stabilitás Nemlineáris eset - Ljapunov módszer R C L A rendszer összes energiája... Mátrixos alak: x(t) = [ i L (t) ẋ(t) = V (x) = 1 2 (L i2 L + C u 2 C) = 1 2 xt [ L 0 0 C u C (t) ] T R L 1 L 1 C 0 x(t) ] x = 1 2 xt P x... csökken: dv dt = 1 2 (ẋt P x + x T P ẋ) = R x 2 1 = R i 2 L

Rezgőkör Stabilitás Nemlineáris eset - Ljapunov módszer V (x) x(t) V (x) 20 0 6 4 2 0 2 0 u C 2 4

Rezgőkör Stabilitás Nemlineáris eset - Ljapunov módszer 12 10 8 6 4 2 0 2 i L (t) u C (t) V (x(t)) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t [s]

Ljapunov tétel példa Stabilitás Nemlineáris eset - Ljapunov módszer Példa Rendszer: ẋ = (x 1) 3 Egyensúlyi pont: x = 1 Ljapunov függvény: V (x) = (x 1) 2 d dt V = V x ẋ = 2(x 1) ( (x 1)3 ) = = 2(x 1) 4 < 0 A rendszer globálisan aszimptotikusan stabil

Számítógépvezérelt szabályozások elmélete: Állapotvisszacsatolás alapú szabályozás February 25, 2017

Áttekintés Állapotvisszacsatolás 13 Állapotvisszacsatolás 14 Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással 15 LQ-optimális szabályozás 16 Kiegészítések

Állapotvisszacsatolás Szabályozás - problémakitűzés Adott A szabályozandó rendszer modellje, és egy szabályozási cél stabilizálás zavarelnyomás optimális viselkedés Keressük Azt az u(t) bemenetet, amellyel a rendszert gerjesztve az teljesíti a szabályozási célt. Egy lehetséges megoldás a visszacsatolás alkalmazása. bemenet u(t) Rendszer S állapot x(t) Szabályozó Zárt rendszer kimenet y(t)

Állapotvisszacsatolás Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök Szabályozandó rendszer lineáris időinvariáns állapotegyenlete x(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) Az állapottér modellnek megfelelő blokkvázlat Az u-ról y-ra vonatkozó átviteli függvény H(s) = C(sI A) 1 B = B(s) det(si A) = B(s) A(s)

Állapotvisszacsatolás Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök Lineáris állapotvisszacsatolás esetén a bemenet: u = K R r(t) + K x(t) Zárt rendszer lineáris időinvariáns állapotegyenlete x(t) = (A B K) x(t) + K R B r(t) y(t) = C x(t) Az állapottér modellnek megfelelő blokkvázlat Az r-ről y-ra vonatkozó átviteli függvény H ry (s) = Y (s) R(s) = C(sI A) 1 BK R 1 + K(sI A) 1 B

Állapotvisszacsatolás Állapotvisszacsatolást alkalmazó szabályozási körök H ry (s) = Y (s) R(s) = C(sI A) 1 BK R 1 + K(sI A) 1 B A zárt rendszer pólusai tervezhetők K-val K R kalibrációs tényező, ennek segítségével lehet beállítani, hogy H ry erősítése 1 legyen (H ry (0) = 1-ből) K R = K A 1 B 1 C A 1 B

Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Áttekintés 13 Állapotvisszacsatolás 14 Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással 15 LQ-optimális szabályozás 16 Kiegészítések

Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Pólusáthelyezés K meghatározásának egy lehetséges módja Ötlet Írjuk elő a zárt rendszer pólusait (karakterisztikus polinomját)! R(s) = n (s µ i ) = s n + r 1 s n 1 + + r n 1 s + r n i=1 = det(si A + B K) Ebből K meghatározható (valahogy... ) Példa (Pólusáthelyezés v0.1) Legyen a nyílt rendszer állapottér modellje az alábbi [ ] [ ] 2 0 1 ẋ = x + u 1 1 0 Legyen a zárt rendszer két új pólusa: µ 1 = 2 és µ 2 = 3!

Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Pólusáthelyezés v0.2 Egyszerűsítő feltétel: Legyen az állapotér modell irányíthatósági normálformában! a 1... a n 1 a n 1 1... 0 0 ẋ(t) =...... x(t) + 0. u(t) 0... 1 0 0 Az állapotvisszacsatolás hatása az ẋ 1 egyenletében jelenlik megegyezik ẋ 1 = a 1 x 1 a n x n k x A zárt rendszer szintén irányíthatósági normálforma a 1 k 1... a n 1 k n 1 a n k n 1... 0 0 ẋ(t) =...... x(t) 0... 1 0

Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Pólusáthelyezés v0.2 Egyszerűsítő feltétel: ( ) Másrészt, az előírt R(s) polinom H zrt (s) nevezője H zrt (s) = B(s) R(s), azaz a 1 k 1... a n 1 k n 1 a n k n 1... 0 0 ẋ(t) =...... x(t) = 0... 1 0 a 1 k 1... a n 1 k n 1 a n k n 1... 0 0 =...... x(t) 0... 1 0 Ebből α i = a i + k i, i = 1..., n α i és a i poinom együtthatók, nem gyökök!

Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Pólusáthelyezés v1.0 De mi van, ha (A, B) nem irányíthatósági normálformában vanő Legyen egy általános állapottér modell: ż = A z + B u irányíthatósági mátrixa: M Cz = [ B AB... A n 1 B ]. (A, B) z irányítható található olyan T transzformáció ami irányíthatósági normálformára hozza x = T z ẋ = T A T 1 x + T B u irányíthatósági mátrixa: M Cx = [ T B T AT 1 T B... T A n 1 B ] = T M Cz. Vagyis T = M Cx M Cz 1 a keresett transzformáció!

Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Pólusáthelyezés v1.0 Ötlet: Transzformáljuk a modellt irányíthatósági normálformára, tervezzük meg K-t és transzformáljuk vissza! u = K x x = T z u = K T z = K M C x M Cz 1 z De hogy néz ki M 1 Cz? Állítás: 1 a 1 a 2... a n 1 0 1 a 1... a n 2 M 1 Cz =....... 0 0 0... a 1 0 0 0... 1

Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással Destabilizálni is lehet vele! Általában komplex konjugált póluspárra tervezzük µ 1,2 = ζ ω n ± jω n 1 ζ 2 magasabb rendű rendszerre további, 3-5-ször gyorsabb pólusok Példa (Pólusáthelyezés v1.0) Legyen a nyílt rendszer állapottér modellje az alábbi [ ] [ ] 2 0 1 ẋ = x + u 1 1 0 Legyen a zárt rendszer két új pólusa: µ 1 = 2 és µ 2 = 3!

Áttekintés LQ-optimális szabályozás 13 Állapotvisszacsatolás 14 Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással 15 LQ-optimális szabályozás 16 Kiegészítések

LQ-optimális szabályozás LQ-szabályozó: problémakitűzés Adott Egy folytonos idejű lineáris időinvariáns állapottér modell ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x 0 y(t) = Cx(t) egy funkcionál (szabályozási cél) J(x, u) = 1 2 0 [x T (t)qx(t) + u T (t)ru(t)]dt ahol Q T = Q, Q > 0 és R T = R, R > 0 pozitív definit mátrixok. Keressük azt az {u(t), t [0, T ]} bemenetet, amely minimalizálja J-t az állapottér modellre nézve. Ez egy nehéz feladat...

LQ-optimális szabályozás LQ-szabályozó: megoldás Amennyiben (A, B, C) együttesen irányítható és megfigyelhető, u(t) = K x(t) alakú a bemenet (állapotvisszacsatolás) Folytonos idejű algebrai Riccati-egyenlet (CARE) GA + A T G GBR 1 B T G + Q = 0 Amennyiben (A, B, C) együttesen irányítható és megfigyelhető, egyértelmű, pozitív definit G megoldása van A visszacsatolás u(t) = R 1 B T G x(t), azaz K = R 1 B T G A zárt rendszer minden esetben stabil Q < R: olcsó szabályozás Q > R: minőségi szabályozás

Áttekintés Kiegészítések 13 Állapotvisszacsatolás 14 Pólusáthelyezés állapotvisszacsatolással 15 LQ-optimális szabályozás 16 Kiegészítések Alapjel miatti korrekció Szervo szabályozás

Alapjel miatti korrekció Kiegészítések Alapjel miatti korrekció Az állapotvisszacsatolás stabilizál, de alapjelet nem követ (x 0) Cél: Szakaszonként konstans alapjel követése (SISO) N u + r(t) + + ẋ = x y N x K C u(t) Ax + Bu Állandósult állapotban, u(t) = 1(t)-re y = r = 1 ẋ = 0 Állandósult állapotban K bemenetén és kimenetén nulla van x = N x r = N x u = N u r = N u

Alapjel miatti korrekció Kiegészítések Alapjel miatti korrekció Folytatva Mátrixos alakban [ ] [ 0 A B = 1 C 0 ẋ = A N x + B N u u = 0 y = C N x = 1 ] [ Nx N u ] [ Nx N u ] = [ A B C 0 ] 1 [ 0 1 ] K-tól függetlenül tervezhető

Szervo szabályozás Kiegészítések Szervo szabályozás Időben változó alapjel követésére. Alapelv: új kiegészítő állapot x i (t) = τ=t τ=0 Kibővített állapottér modell [ ] [ x + x = ẋ + A 0 = C 0 x i r(τ) y(τ)dτ ẋ i = r y = r C x ] [ x + B + 0 ] [ 0 u + 1 Ha az (A +, B + ) pár irányítható, akkor tervezhető alapjel követő szabályozó K + ] r

Szervo szabályozás Kiegészítések Szervo szabályozás A K + megoldás két szabályozót tartalmaz Struktúra K + = [ K K i ] r K i + u(t) ẋ = x y C Ax + Bu K

Számítógépvezérelt szabályozások elmélete: Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás February 25, 2017

Megfigyelhetőség Definíció (Megfigyelhetőség, (Kálmán R.)) Legyen adott a rendszer állapottér modellje, valamint bemeneti- és kimeneti jelének bizonyos ideig tartó mérése. A rendszer megfigyelhető, ha a t 0 < t < t v intervallumban megfigyelt y(t) és u(t) jelekből x(t 0 ) meghatározható.

Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás Áttekintés 17 Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás 18 Kiegészítések

Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás Az állapotvisszacsatoláshoz szükség van a rendszer állapotának értékére, ami többnyire nem mérhető állapotbecslő, vagy megfigyelő

Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás Az állapotvisszacsatolás alakja u(t) = K R r(t) K ˆx A megfigyelő akkor jó, ha az x = x ˆx állapothiba dinamikája stabil x = (A L C) x (ẋ = (A B K)x)!!! Előírt karakterisztikus polinom det(si A + L C) = F(s) = s n + f 1 s n 1 + + f n 1 s + f n

Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás A megoldandó tervezési egyenlet A O L O C O = T a 1 1... 0 1 f 1 1... 0...... a n 1 0... 1 L 0. O =...... f n 1 0... 1 a n 0... 0 0 f n 0... 0 A megoldás, ami garantálja az előírt pólusokat (megfigyelhető kanonikus alakra!) L O = [ ] T f 1 a 1 f 2 a 2,..., f n a n

Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás A megoldás nem megfigyelhetőségi kanonikus alakban levő rendszer esetében bonyolultabb L = (T O ) 1 L O = M O 1 M O L O ahol T O = (M O ) 1 M O a megfigyelhetőségi kanonikus alakra hozó transzformációs mátrix Dualitás az állapotvisszacsatolás és a megfigyelő tervezési módszerek között: A A T, B C T, K L T, C (M O ) T A rendszer és az állapothiba együttes dinamikája [ ] [ ] [ ẋ A B K B K x = x 0 A L C x ] + [ KR B 0 ] r Karakterisztikus egyenlete: R(s) F(s)

Áttekintés Kiegészítések 17 Megfigyelő alapú állapotvisszacsatolás 18 Kiegészítések Terhelésbecslés

Terhelésbecslés Kiegészítések Terhelésbecslés A bemenethez hozzáadódhat általunk nem ismert zavarás (d(t)) Cél: Szakaszonként konstans zavarás megbecslése és kompenzálása [ ] x Legyen x d = d egy kiegészítő állapot, azaz x = Tervezés: megfigyelő tervezés a x állapotra [ ] [ ] A B B x = x + u C 0 0 y = [ C 0 ] x Nem irányítható Ha megfigyelhető, akkor tervezhető terhelésbecslő, azaz d számolható x d