Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. DEFINÍCIÓ: (a alapú logaritmus) Legyen a 1 pozitív valós szám. Tetszőleges b pozitív valós szám esetén létezik pontosan egy olyan c valós szám, hogy b = a c. Ekkor a c hatványkitevőt a b szám a alapú logaritmusának nevezzük. Jelölés: c = log a b. Megjegyzés: Bármely pozitív szám egyértelműen felírható valamely 1 től különböző pozitív szám hatvgányaként. Egy számnak egy adott alapra vonatkozó hatványkitevőjét a szám adott alapá logaritmusának nevezzük. Az a alapú logaritmus b jelenti azt a c kitevőt, amelyre a - t emelve b - t kapunk. A tízes alapú logaritmus esetén nem írjuk ki az alapot, hanem lg - t írunk a log 10 helyett. A definíció értelmében teljesül a következő: a log a b = b. A definíció alapján a következők adódnak: log a 1 = 0 és log a a = 1. A logaritmus azonosságai: log a x + log a y = log a (x y) a; x; y R + a 1 log a x log a y = log a x y a; x; y R + a 1 log a x k = k log a x a; x; k R + a 1 TÉTEL: Másik alapú logaritmusra áttérhetünk a következő módokon: log a b = log c b log c a log a b = 1 log b a a; b; c R + a; c 1 a; b R + a; b 1 log a b = log a x b x a; b R + a 1 x 0 x R 1
1. Határozd meg a következő kifejezésekben az x értékét! log x = 8 log 9 x = 1 log x 5 = 1 1 log x = lg 100 = x log 7 7 49 = x A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log x = 8 x = 8 = 56 log 9 x = 1 x = 9 1 = 9 = log x 5 = 1 5 = x 1 5 = x x = 15 log x 1 7 = 1 7 = x 1 7 = 1 x x = lg 100 = x 10 x = 100 x = log 7 49 = x 7 x = 49 7 x = 7 7 x = 7 x =. Mennyi lesz a következő kifejezések pontos értéke? log 4 9 81 log 9 4 5 1+log 5 8 1 log 8 4 7 log 1 4 log +log 7 9 Arra kell törekednünk, hogy a hatvány és a kitevőben szereplő logaritmus alapja megegyezzen, mert akkor azok elhagyhatóak és egyszerűbb alakra jutunk. Ezekhez a logaritmus, illetve a hatványozás azonosságait kell felhasználnunk. log 4 9 = (4 1 log 4 9 ) = 4 1 log 4 9 1 = 4 log 4 9 = 9 1 = 9 = 81 log 9 4 = (9 ) log 9 4 = 9 log 9 4 = 9 log 9 4 = 4 = 16 5 1+log 5 = 5 1 5 log 5 = 5 (5 ) log 5 = 5 5 log 5 = 5 5 log 5 = 5 = 5 8 1 log 8 4 = 8 1 8 log 8 4 = 8 8 log 8 4 1 = 8 4 1 = 8 1 4 = 8 4 = 1
7 log 1 9 4 log +log 7 = 7 log 1 9 7 4 log 7 log 7 = = [( 1 9 ) ] log 1 9 ( ) 4 log [( 7) ] log 7 = ( 1 log 1 9 ) 9 1 log ( 7) log 7 = ( 1 1 9 )log 9 log 1 ( 7) log 7 = 1 = 1 1 104 = 1 7 4096 108. Milyen x értékek esetén értelmezhetőek a következő kifejezések? log 5 (x ) log x (5 x) lg(x + x ) log x 4 A logaritmus alapja egy 1 - nél különböző pozitív szám. Továbbá a logaritmus után álló kifejezés is csak pozitív szám lehet. Ezek alapján kell felírnunk a lehetséges x értékeket. x log 5 (x ) x > 0 x > log x (5 x) 5 x > 0 5 > x és x > 0; x 1 Ezeket összevonva a következőt kapjuk: 0 < x < 5 és x 1 lg(x + x ) x + x > 0 Egyenletként tekintve a megoldások: x 1 = 1 és x = A függvény görbéje alapján a következőt kapjuk: x < vagy x > 1.
x 4 x > 0 Ez akkor teljesül, ha a számláló és nevező is pozitív, vagy ha mindkettő negatív. Tekintsük először azt, amikor a számláló és nevező is egy pozitív szám. x 4 > 0 x > 4 és x > 0 > x A kettőnek nincs közös része, így ezen az ágon nincs megoldásunk. Tekintsük most azt, amikor a számláló és nevező is egy negatív szám. x 4 < 0 x < 4 és x < 0 < x A kettőnek közös része a következő: < x < 4. A megoldás a két ág együttese (uniója): < x < 4. 4. Milyen x értékek eseten teljesülnek a következő egyenlőségek? log x = log 11 log 5 + log 8 x = lg + 6 lg 5 + lg 18 lg Használjuk a logaritmus azonosságait. log x = log 11 log 5 + log 8 = log 11 log 5 + log 8 = 11 = log + log 88 5 8 = log 5 Ezek alapján: x = 88 5. x = lg + 6 lg 5 + lg 18 lg = lg + lg( 5) 6 + lg 18 lg = = lg 4 + lg 15 + lg 18 lg 9 = lg 500 + lg 18 lg 9 = lg 9000 lg 9 = lg 1000 = 4
5. Oldd meg a következő egyenleteket! a) x = log 5 7 b) x = 1 Ezen típusoknál arra kell törekednünk, hogy tízes alapú logaritmusokkal fejezzük ki az x - et, mert így a számológéppel kiszámíthatjuk a pontos értékeket. a) x = log 5 7 = lg 7 lg 5 1, b) x = 1 lg x = lg 1 x lg = lg 1 x = lg 1 lg, 6. Old meg a következő egyenleteket! a) log 4 (x ) = b) log x + log = log 15 c) log x 0x log x 5 = d) log (x 1) = log 4 Az egyenletek megoldásánál arra kell törekednünk, hogy mindkét oldalt egy darab, ugyanolyan alapú logaritmus legyen, mert akkor a logaritmusokat elhagyhatjuk. Amennyiben az egyik oldalt egy logaritmus áll, a másik oldalt pedig egy szám, akkor a logaritmus definícióját is alkalmazhatjuk a megoldáshoz. Az egyenleteknél feltétel írása, vagy a megoldás ellenőrzése elengedhetetlen. Amennyiben az egyenletnél a feltétel kiszámítása bonyolult lenne, akkor előbb oldjuk meg az egyenletet, majd a kapott értéket ellenőrizzük le, hogy valóban megoldása-e az egyenletnek. Adott esetben, ha több feltételt is írnunk kellene, de azok között akad olyan, amelyet bonyolult lehet levezetni, akkor felírhatjuk csak a könnyebb feltételeket is, de ilyenkor a megoldásokat szintén ellenőriznünk kell a végén (mivel ekkor a feltételszabásunk nem terjed ki minden esetre)! 5
a) log 4 (x ) = Feltétel: x > 0 x > definíció szerint x = 4 x = 64 x = 66 b) log x + log = log 15 Feltétel: x > 0 log (x) = log 15 a függvény szigorú monotonitása miatt x = 15 x = 5 c) log x 0x log x 5 = Feltétel: 0x > 0 x > 0 és x 1 log x 0x 5 x = 4x x 4x = 0 x (x 4) = 0 = definíció szerint Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján a következő megoldások adódnak: x 1 = 0 x 4 = 0 x = 4 Az x 1 nem felel meg a feltételnek, így csak egy megoldása van az egyenletnek: x = 4. 6
d) log (x 1) = log 4 Feltétel: x 1 > 0 x > 1 log (x 1) = log 4 a függvény szigorú monotonitása miatt (x 1) = 4 x x + 1 = 4 x x = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: x 1 = és x = 1. Az x nem felel meg a feltételnek, így csak egy megoldása van az egyenletnek: x =. 7. Old meg a következő egyenleteket! a) log x 1 (x 4x + 5) = b) = lg(x 100) 1 lg 5 a) log x 1 (x 4x + 5) = Feltétel: x 1 > 0 x > 1 definíció szerint: x 4x + 5 = (x 1) x 4x + 5 = 4x 4x + 1 4 = x x 1 = és x = Az x nem felel meg a feltételnek, de mivel nem írtunk fel minden kikötést, ezért ellenőrizni kell, hogy az x 1 tényleg jó megoldás-e. Ellenőrzés: Jobb oldal: Bal oldal: log 9 = = Ezek alapján az x 1 megoldása az egyenletnek. 7
b) = lg(x 100) 1 lg 5 Feltétel: x 100 > 0 x > 100 (1 lg 5) = lg(x 100) lg 5 = lg(x 100) lg 100 lg 5 = lg(x 100) lg 4 = lg(x 100) a függvény szigorú monotonitása miatt 4 = x 100 x = 104 8. Old meg a következő egyenleteket! a) log 4 [log (log x)] = 0 b) log 8 [4 log 6 (5 x)] = 1 Ezen típusoknál arra kell törekednünk, hogy kívülről befelé haladva, a definíciót többször alkalmazva, lépésről - lépésre,,lebontsuk az egyenletet. A feltétel felírása itt hosszadalmas lenne, mert több logaritmusra is feltételt kellene írnunk, így célszerűbb csak a legbelsőre felírni a feltételt és majd a végén ellenőrizni a megoldást. a) log 4 [log (log x)] = 0 Feltétel: x > 0 definíció szerint log (log x) = 4 0 = 1 log x = 1 = definíció szerint definíció szerint x = = 8 Ellenőrzés: Jobb oldal: 0 Bal oldal: log 8 = log = 1 log 4 1 = 0 0 = 0 Ezek alapján az x megoldása az egyenletnek. 8
b) log 8 [4 log 6 (5 x)] = 1 Feltétel: 5 x > 0 5 > x definíció szerint 4 log 6 (5 x) = 8 1 = log 6 (5 x) = 1 definíció szerint 5 x = 6 1 = 6 x = 1 Ellenőrzés: Jobb oldal: 1 Bal oldal: 4 log 6 6 = log 8 = 1 1 = 1 Ezek alapján az x megoldása az egyenletnek. 9. Old meg a következő egyenleteket! a) 4 lg x = lg x b) lg x = lg x Ennél a típusnál célszerű bizonyos lépés után bevezetnünk egy új ismeretlent a logaritmus helyett, s így megoldva az egyenletet, a végén visszahelyettesítünk az eredeti kifejezésbe. a) 4 lg x = lg x Feltétel: x > 0 és lg x > 0 x > 1 16 8 lg x + lg x = 9 lg x lg x 17 lg x + 16 = 0 Legyen: a = lg x a 17a + 16 = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: a 1 = 1 és a = 16. Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = 1 lg x = 1 x = 10 1 = 10 a = 16 lg x = 16 x = 10 16 9
b) lg x = lg x Feltétel: x > 0 lg x = lg x Legyen: a = lg x a = a a a = 0 a (a ) = 0 Ebből két megoldás adódik: a 1 = 0 és a = 0 a = Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = 0 lg x = 0 x = 10 0 = 1 a = lg x = x = 10 = 100 10. Old meg a következő egyenleteket! a) log 5 x + log 5 x = 7 b) log x log 4 x = 5 log 8 x 1 c) log 4 x + log x 4 = 5 Ezen típusoknál arra kell törekednünk, hogy a különböző alapú logaritmusokat egy azonos alapú logaritmussá alakítsuk át. a) log 5 x + log 5 x = 7 Feltétel: x > 0 log 5 x + log 5 x log 5 5 = 7 log 5 x + log 5 x = 7 6 log 5 x + log 5 x = 14 7 log 5 x = 14 log 5 x = definíció szerint x = 5 = 5 10
b) log x log 4 x = 5 log 8 x 1 Feltétel: x > 0 log x log x log 4 = 5 log x log 8 1 log x log x = 5 log x 1 6 log x 9 log x = 10 log x 78 78 = 1 log x 6 = log x definíció szerint x = 6 = 64 c) log 4 x + log x 4 = 5 Feltétel: x > 0 és x 1 log 4 x + log 4 4 log 4 x = 5 log 4 x + 1 log 4 x = 5 (log 4 x) + = 5 log 4 x (log 4 x) 5 log 4 x + = 0 Legyen: a = log 4 x a 5a + = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: a 1 = és a = 1. Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = log 4 x = x = 4 = 16 a = 1 log 4 x 7 1 x = 4 1 = 11
11. Old meg a következő egyenleteket! a) x lg x = 0,01 b) x log x = 16 Mivel itt a logaritmus a hatvány kitevőjében szerepel, ezért be kell hoznunk egy újabb logaritmust, mert ebben az esetben a hatványkitevőt le tudjuk hozni szorzat alakba. a) x lg x = 0,01 Feltétel: x > 0 lg x lg x = lg 0,01 (lg x ) lg x = lg x lg x + = 0 Legyen: a = lg x a a + = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: a 1 = és a 1 = 1. Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = lg x = x = 10 = 100 a = 1 lg x = 1 x = 10 1 = 10 b) x log x = 16 Feltétel: x > 0 log x log x = log 16 log x log x = 4 (log x) = 4 Legyen: a = log x a = 4 a 1 = és a = Visszahelyettesítés után az egyenlet megoldásai a következők lesznek: a 1 = log x = x = = 4 a = log x = x = = 1 4 1
1. Old meg a következő egyenlőtlenségeket! a) log1(x + 1) > 4 b) log5 ( 1 x + 1) < 1 c) log 5 x x+1 0 d) log x 1 (4x + ) 0 Egyenlőtlenséget hasonlóan oldunk meg, mint egyenletet, csak arra kell ügyelnünk, hogy a negatív számmal való szorzásnál (osztásnál), illetve az alap elhagyásakor, ha az egy 0 és 1 közé eső szám (a függvény szigorú csökkenése miatt), akkor a reláció iránya megfordul. a) log1(x + 1) > 4 Feltétel: x + 1 > 0 x > 1 log1(x + 1) > log1 1 16 a függvény szigorú monotonitása miatt x + 1 < 1 16 x < 15 16 A feltétellel összevetve az eredményt, a végső megoldás: 1 < x < 15 16. b) log5 ( 1 x + 1) < 1 Feltétel: 1 x + 1 > 0 x > log5 ( 1 x + 1) < 5 log5 a függvény szigorú monotonitása miatt 1 x + 1 < 5 x < A feltétellel összevetve az eredményt, a végső megoldás: < x <. 1
c) log 5 x x+1 0 Feltétel: 5 x x+1 > 0 Egy tört értéke akkor pozitív, ha a számláló és nevező is pozitív, vagy mindkettő negatív. I. Nevező és számláló is pozitív: 5 x > 0 5 > x és x + 1 > 0 x > 1 A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: 1 < x < 5. II. Nevező és számláló is negatív: 5 x < 0 5 < x és x + 1 < 0 x < 1 A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: nincs megoldás. A két ágból a végső feltételünk: 1 < x < 5. Az egyenlőtlenség megoldása a következő: log 5 x x+1 0 log 5 x x+1 log 1 5 x x+1 1 5 x (x+1) x+1 0 4 4x x+1 0 14
Egy tört értéke akkor negatív, ha a számláló pozitív és a nevező negatív, vagy fordítva. I. A nevező pozitív és a számláló negatív (vagy 0): 4 4x 0 1 x és x + 1 > 0 x > 1 A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: 1 x. II. A nevező negatív és a számláló pozitív (vagy 0): 4 4x 0 1 x és x + 1 < 0 x < 1 A két egyenlőtlenségből ezen az ágon a következőt kapjuk: x < 1 A megoldás a két ág együttese (uniója): x < 1 vagy 1 x. A feltétellel összevetve az eredményt, a végső megoldás: 1 x < 5. 15
d) log x 1 (4x + ) 0 Feltétel: x 1 > 0 x > 1 x 1 1 x 1 4x + > 0 x > 1 Ezeket összevetve, a végső feltételünk: x > 1 és x 1 Az egyenlőtlenség megoldása a következő: I. Ha az alap 1-nél nagyobb szám: x 1 > 1 x > 1 log x 1 (4x + ) log x 1 1 a függvény szigorú monotonitása miatt 4x + 1 x 1 4 Az eredménynek és a feltételnek nincs közös része, így ezen az ágon nincs megoldás. II. Ha az alap 0 és 1 közé esik: 0 < x 1 < 1 1 < x < 1 log x 1 (4x + ) log x 1 1 a függvényszigorú monotonitása miatt 4x + 1 x 1 4 Az ág megoldása a kapott eredmény és a kikötés közös része, vagyis: 1 < x < 1. Az első ágon nem kaptunk megoldást, így a két ág megoldása: 1 < x < 1. Ezt összevetve a feltételekkel, az egyenlőtlenség végső megoldása: 1 < x < 1. 16
1. Old meg a következő egyenletrendszereket! a) 5 log x log y = 9 log x + log y = 8 b) lg x + lg y = lg y lg x = lg 5 c) log 5 x + log 5 y = 1 x 4 8 y = 0 A logaritmikus egyenletrendszereknél általában két megoldás közül választhatunk. Az egyik, ha mindkét egyenletben ugyanazok a logaritmusok szerepelnek, akkor behelyettesítéssel oldhatjuk meg az egyenletrendszert. Amennyiben különbözőek a logaritmusok, vagy az egyik egyenlet logaritmikus a másik exponenciális, akkor célszerű a két egyenletet külön külön tekinteni és egyenként egyszerűbb alakra hoznunk azokat. a) 5 log x log y = 9 Feltétel: x > 0 és y > 0 log x + log y = 8 Legyen: a = log x és b = log y Ekkor behelyettesítés után a következő egyenletrendszer adódik: 5a b = 9 a + b = 8 A második egyenletből azt kapjuk, hogy b = 8 a. Ezt behelyettesítjük az első egyenletbe: 5a (8 a) = 9 5a 4 + 6a = 9 a = Ebből visszahelyettesítés után azt kapjuk, hogy b =. Az újabb visszahelyettesítés után a következők adódnak: a = log x = x = = 8 b = log y = y = = 9 Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (8; 9). 17
b) lg x + lg y = Feltétel: x > 0 és y > 0 lg y lg x = lg 5 Tekintsük először az első egyenletet: lg x + lg y = lg(xy) = definíció szerint xy = 10 = 100 Tekintsük ezután a második egyenletet: lg y lg x = lg 5 lg y x = lg 5 a függvény szigorú monotonitása miatt y x = 5 A második egyenletből azt kapjuk, hogy y = 5x. Ezt behelyettesítjük az első egyenletbe: 5x = 100 x = 4 x 1 = és x = A feltételnek csak az x 1 felel meg. Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy y = 50. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (; 50). 18
c) log 5 x + log 5 y = 1 Feltétel: x > 0 és y > 0 x 4 8 y = 0 Tekintsük először az első egyenletet: log 5 x + log 5 y = 1 log 5 (xy) = log 5 5 a függvény szigorú monotonitása miatt xy = 5 Tekintsük ezután a második egyenletet: x 4 8 y = 0 x y = 0 x = +y a függvény szigorú monotonitása miatt x = + y Ezt behelyettesítjük az első egyenletbe: ( + y) y = 5 y + y = 5 y + y 5 = 0 A megoldó képlet felírása után kapjuk, hogy a két megoldás: y 1 = 1 és y = 5. A feltételnek csak az y 1 felel meg. Ezt visszahelyettesítve kapjuk, hogy x = 5. Ezek alapján az egyenletrendszer megoldása: (5; 1). 19
14. Mennyi a következő kifejezés pontos értéke? log log 4 log 4 5 log 5 6 log 6 7 log 7 8 A megoldáshoz a következő összefüggést kell alkalmaznunk: log a b log b c = log a b log a c log a b = log a c Ezek alapján a megoldás: log 8 =. 15. Fejezd ki lg 40 - et lg 0 segítségével! Legyen a = lg 0. Alakítsuk át az lg 0 kifejezést a következő módon: a = lg 0 = lg ( 5) = lg + lg 5 = lg + lg 10 = lg + lg 10 lg = lg + 1 Ezt követően alakítsuk át az lg 40 kifejezést is: lg 40 = lg ( 5) = lg + lg 5 = lg + lg 10 = lg + lg 10 lg = lg + 1 Az első egyenletből azt kapjuk, hogy lg = a 1. Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe: lg 40 = (a 1) + 1 = a + 1 = a 1 Ezek alapján a megoldás: lg 40 = lg 0 1. 0
16. Fejezd ki lg 15 - öt az lg 75 és lg 45 segítségével! Legyen a = lg 75 és b = lg 45. Alakítsuk át az lg 75 kifejezést a következő módon: a = lg 75 = lg (5 ) = lg 5 + lg = lg 5 + lg Ezt követően alakítsuk át az lg 45 kifejezést is: b = lg 45 = lg ( 5) = lg + lg 5 = lg + lg 5 Az első egyenlet kétszereséből kivonva a második egyenletet a következőt kapjuk: a b = lg 5 a b = lg 5 Ezt visszahelyettesítjük az első egyenletbe: a = a b a = 4a b lg = b a + lg + lg Ezek alapján a megoldás: lg 15 = lg (5 ) = lg 5 + lg = a b + b a = a+b = lg 75+lg45 1