Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény. MEMO_2 1
Jelek és rendszerek MEMO_2 Sorompó függvény Dirac-impulzus Fontos tulajdonsága a függvénynek, hogy bármely függvénnyel való szorzatával az adott függvény nullában levő értékét adja, persze csak akkor, ha az a paraméter nullához tart. Találunk más alakú, de hasonló tulajdonságú függvényt is: MEMO_2 2
Jelek és rendszerek MEMO_2 A szorzat területének limesze: Tehát a jel alakja lényegtelen, fontos, hogy érvényes legyen: Vagyis a függvény alatti terület egységnyi legyen. A Dirac-impulzus jele és érvényes rá: Más oldalról: Ebből következik:. MEMO_2 3
Jelek és rendszerek MEMO_2 ha és ha. ha és ha. Az impulzus függvény grafikus alakja: MEMO_2 4
Jelek és rendszerek MEMO_2 Impulzus sorozat vagy fésű függvény: n egész szám. Egységynyi négyszög függvény: Egységynyi háromszög függvény: MEMO_2 5
Jelek és rendszerek MEMO_2 Egységnyi sinc függvény Szinusz függvény at ( t) Ce x = ahol C és a általános esetben komplex számok. Amennyiben ahol C és a valós számok, akkor ( t) x egy valós exponenciális függvény. MEMO_2 6
Jelek és rendszerek MEMO_2 Az Euler képlet: ϕ e j = cosϕ + jsinϕ Az Euler-képlet szoros kapcsolatot teremt a matematikai analízis és a trigonometria között és lehetővé teszi a szinusz és koszinusz függvényeknek az exponenciális függvény súlyozott összegeként való értelmezését: cos e jϕ + e 2 jϕ ( ϕ) =, sin( ϕ) e jϕ e 2 j jϕ =, Egy speciális eset, ha a valós része nulla, akkor jωt x( t) = e. Egy érdekes tulajdonsága ennek a jelnek, hogy periodikus. jω ( t+ T ) jωt jω T ( t) = e = e e ω akkor ( t) = 1 x ha ω = j e ω T = 1 x és az periodikus minden T értékre. ha, akkor a jel alapperiódusa az a T legkisebb pozitív érték, amire a jel periodikus. T T 2π = ω 2π = ω jωt jωt, az x( t) = e és x( t) e = jeleknek azonos a periódusuk. MEMO_2 7
Jelek és rendszerek MEMO_2 ( t) = Acos ( ω t +ϕ) x ω = 2πf, MEMO_2 8
Jelek és rendszerek MEMO_2 Dirihle féle függvény MEMO_2 9
Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb diszkrétidejű jel Nincs egységes jelölésmód a diszkrétidejű jelek ábrázolására. Jelöljük a diszkrétidejű jelet a x ( t) hez hasonlóan t = nt helyettesítéssel x [ nt ] vel, ahol T a mintavételezés periódusideje n pedig egész szám. Gyakran T -t elhagyhatjuk és így x [ n] jelölést kapjuk. A továbbiakban használjuk az x [ n] jelölést. Fontos megemlíteni, hogy a diszkrétidejű jelek esetében nem beszélünk szinguláris pontokról, vagy nemdefiniált pontokról, ugyanis egy adott mintavétel értéke mindig meghatározott. Két mintavétel közötti érték pedig nem létezik. Egységugrás Sorompó függvény Dirac-impulzus, egységinpulzus. Hasonlóan a folytonosidejű megfelelőjéhez érvényes a skálázhatóság tulajdonsága. de rá nem MEMO_2 1
Jelek és rendszerek MEMO_2 Egységynyi négyszög függvény: Impulzus sorozat vagy fésű függvény: Exponenciális függvény MEMO_2 11
Jelek és rendszerek MEMO_2 MEMO_2 12
Jelek és rendszerek MEMO_2 Egy másik speciális eset: [ ] jω n n = e x [ n] = Acos ( Ω n +φ) x mivel n egész szám így Ω és φ dimenziója radián. 2 πk A komplex exponenciális és a szinusz függvények ugyanazon értékeket adják radiánonként. Ezért a diszkrét komplex exponenciális és harmonikus jeleket csak alapsávban Ω 2π vagy π Ω π szemléljük. MEMO_2 13
Jelek és rendszerek MEMO_2 MEMO_2 14
Jelek és rendszerek MEMO_2 Szinusz függvény Ahol A és N valós állandók. A szinuszfüggvény tulajdonságából ered, hogy N értéke megegyezik azzal a legkissebb n értékkel melyre érvényes, hogy egész szám. Például x[ n] 2π = sin n 2.5 periódusa N = 5. 1 F =. N n N = Fn = k ahol k MEMO_2 15
Jelek és rendszerek MEMO_2 Diszkretizáljuk a következő folytonosidejű jelet: ( t) = A ( 2π f t +θ ) 2πf cos. x f S 1 =. T [ ] ( ) f x n = Acos 2πf nts + θ = Acos n + θ. Mivel S racionális szám, így a diszkrétidejű fs f függvény periódusideje nem lesz azonos az eredeti függvény periódusával. Például: x( t) = A ( 2π. 2t +θ ) 1 cos. T = = 5. = 5.2 = 2 N. Ha T sec akkor 1 S S N. T S = De ha T = 1. 5 akkor a diszkretizált jel periódusa N 1. Ami N 15 nek felel meg. S = T S = Tehát két különböző folytonosidejű függvénynek lehet azonos diszkrétidejű alakja. MEMO_2 16
Jelek és rendszerek MEMO_2 A független változó módosítása jelek esetén Az amplitúdó skálázása: Erősítések esetén használandó. A=-1 forgatást jelent a független változó tengelye körül. Eltolás a független változóban MEMO_2 17
Jelek és rendszerek MEMO_2 A független változó skálázása: Reflexió Az eredmény függvény szimmetrikus az ordinátára. MEMO_2 18
Jelek és rendszerek MEMO_2 Párosság Páratlanság A függvény páros része: ; A függvény páratlan része: ; A páros függvény szimmetrikus az ordinátára nézve. A páratlan függvény szimmetrikus az origóra nézve. Páros függvények összege, különbsége, szorzata és hányadosa páros függvény lesz. Páratlan függvények összege, különbsége páratlan függvényt eredményez. Páratlan függvények szorzata és hányadosa páros függvény lesz. MEMO_2 19