4. Az állapottér geometriája

4. Az állapottér geometriája A klasszikus statisztika geometriájáról szóló második fejezetben részletesen elemeztük a diszkrét eloszlás geometriáját. A harmadik fejezetben a diszkrét eloszlást általánosítottuk. A jelen fejezet célja az általánosított diszkrét eloszlás, a kvantummechanikai állapottér geometriájának a vizsgálata. Az első részben a valós illetve komplex állapottér skalárgörbületét határozzuk meg. Kiderül, hogy ehhez nagy segítséget nyújt a normális eloszlások második fejezetben meghatározott geometriája, a skalárgörbületének a kiszámítása. Az állapottér skalárgörbületére kapott eredményből látjuk, hogy a klasszikus esettel ellentétben a skalárgörbület nem minden monoton metrika esetén állandó. A második részben Petz sejtését vizsgáljuk meg közelebbről, mely szerint kevertebb állapotban nagyobb a skalárgörbület, ha az állapotteret a Kubo Mori-metrikával látjuk el. A sejtés alapja az, hogy a skalárgörbület összefüggésbe hozható egy állapot statisztikai megkülönböztethetetlenségével. A sejtés bizonyításának a nehézsége a skalárgörbületre kapott kifejezés bonyolultságában rejlik. Megmutatjuk, hogy a sejtés ekvivalens egy meglehetősen összetett egyenlőtlenséggel, melyet öt egyszerűbb tagra bontunk fel. Ezen tagok közül háromra bizonyítjuk az egyenlőtlenséget, a másik két esetben pedig még tovább bontjuk az egyenlőtlenségeket és bemutatjuk az azok bizonyításában eddig elért eredményeket. A rész végén megmutatjuk, hogy ha a sejtés igaz a komplex állapotok terén, akkor teljesül a valós állapottéren is. A harmadik részben az M + állapottér skalárgörbületét elemezzük. Megadunk egy egyszerűbb kifejezést a skalárgörbület kiszámítására, melyet alkalmazunk is a főbb monoton metrikák esetére. Ezen vizsgált esetekben a skalárgörbületnek a legkevertebb állapotban globális maximuma van. Ellenpéldák segítségével megmutatjuk, hogy ez azonban nem igaz minden monoton metrikára. Végül megadjuk monoton metrikák egy újabb családját, mely folytonos utat képez a legnagyobb illetve legkisebb metrika között. A negyedik részben az M + 3 illetve M + 4 állapottér skalárgörbületével kapcsolatos numerikus szimulációkat mutatjuk be. Ezekből kiderül többek között, hogy a fontosabb monoton metrikák között több olyan is van, melyhez tartozó skalárgörbület nem lesz monoton a majorizációra nézve az M + 3 esetben. Végül az ötödik részben az M + tér térfogatát határozzuk meg, különböző monoton metrikák esetén, felírjuk a geodetikusok egyenletét egy megoldás bemutatásával. A legkevertebb állapot körüli gömb térfogatának megadjuk a sugár szerinti Taylorsorfejtését tetszőleges monoton metrikára, majd megvizsgáljuk, hogyan változik a sorfejtés a főbb monoton metrikák esetében, ha a gömb középpontja nem a legkevertebb állapot.

4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA 4.. Az állapottér skalárgörbülete A monoton metrikák segítségével Riemann-sokasággá lehet tenni az M + n állapotteret. Az M + n,k n) ) Riemann-tér differenciálgeometriai jellemzőinek a vizsgálata az 99-es években kezdődött. A sokaság skalárgörbületét először Petz [8] cikke említi, ott az M +,KKM ) Riemann-sokaság esetére meg is lett határozva. A görbületre vonatkozó következő eredményt Petz és Sudár publikálta 996-ban [88], ahol az M + tér metszetgörbületeit határozták meg. Az M + n,k n) ) tér skalárgörbületét a Kubo Morimetrika mellett valós állapotok esetén Michor, Petz és Andai [73], komplex állapotok esetén pedig Dittmann [5] számolta ki. A jelen részben a valós állapotokra elvégzett számításokat terjesztjük ki tetszőleges monoton metrikára és komplex állapotokra is. Az M + n,k n),f ) Riemann-tér skalárgörbületének a kiszámítása a normális eloszlások geometriájának a vizsgálatánál, illetve a részsokaságok skalárgörbületénél leírt számításokon alapul. A.4. példát követve először bevezetjük az M + n, K n),f ) Riemann-geometriát, melynek egy-kodimenziós részsokasága lesz az M + n,k n),f ) tér. Majd a.. tétel alapján határozzuk meg az állapottér skalárgörbületét. Jelölje M + n az n n-es önadjungált, pozitív definit valós vagy komplex mátrixok halmazát. Az M + n halmaz részhalmaza az R n+)n )/ vagy R n térnek, attól függően, hogy valós illetve komplex elemeket tartalmaz. Így természetes módon ellátható differenciálható struktúrával. Ha D M + n, akkor a T D M + n érintőtér azonosítható az n n-es, önadjungált valós vagy komplex mátrixok halmazával. Adott f F S,n) [, ] függvényre értelmezzük a K n),f : M + n LinT M n T M n, R) D X,Ỹ ) K n),f D X,Ỹ ) ) 4.) leképezést minden D M + n esetén minden X,Ỹ T D M + n érintővektorra a K n),f D X,Ỹ ) = Tr X ) R n, D fl n, D R n, D )R ) n, D Ỹ ) 4.) képlettel. Ekkor az M + n, K n),f ) pár Riemann-geometria. Az i : M + n M + n D D 4.3) identikus leképezés beágyazás, továbbá az M + n tér egy kodimenziós részsokasága M + n - nek. Továbbá a K n),f metrika i-vel való visszahúzottja megegyezik a K n),f metrikával.

4.. AZ ÁLLAPOTTÉR SKALÁRGÖRBÜLETE 3 Tekintsük az n : M + n T M n D nd) = D 4.4) leképezést. Ez az M + n sokaság normálvektormezője, ugyanis minden D M + n pont és X T D M + n érintővektor esetén KX,nD)) = Tr X R n,d fl n,d R n,d )R ) ) D) n,d = TrXf) = TrX =, 4.5) KnD),nD)) = Tr D R n,d fl n,d R n,d )R ) ) D) n,d = Tr Df) = TrD = teljesül. A számolás során kihasználtuk, hogy a D operátor különböző hatványai felcserélhetők egymással, hogy az f függvény normált, és hogy a T D M + n érintőtér elemeinek nulla a nyoma. A.. tétel feltételei teljesülnek az M + n, M + n sokaságokra, ezért a.) képlet segítségével fogjuk az M + n,k n),f ) Riemann-sokaság skalárgörbületét meghatározni. A.) képletben szereplő Riemann-féle görbületi tenzor és az S leképezés meghatározásához a 3.4. részben bemutatott Riesz Dunford-féle operátorkalkulust fogjuk használni. A.4) képletnek megfelelően vezessük be a G f : M + n LinT M n,t M n ) D X Gf D) X) ) 4.6) G f D) X) = Tr c π i) f ξ,η) Xξ D) Ỹ η D) d ξ d η leképezést, ahol c f jelöli az f függvény által meghatározott Cencov Morozova-féle függvényt. Ekkor minden D M + n pontban, minden X,Ỹ T D M + n érintővektorra teljesül a.3) és a.5) képletnek megfelelően. K n),f D X,Ỹ ) = Tr X G D) Ỹ ) ) 4.7) Ezen a ponton látható, hogy a,,nem normált állapottér M + n, K n),f ) differenciálgeometriája nagyfokú hasonlóságot mutat a többdimenziós normális eloszlás geometriájához. Az ott elvégzett számításokat a jelen esetben is alkalmazhatjuk az = T π i) és a dµt) = cξ,η) dξ d η formális helyettesítés után. A.7) képlettel értelmezett kétváltozós m függvény, ekkor m : R + R + R x,y) mx,y) = c π i) f ξ,η) ξ x η y d ξ d η, 4.8)

4 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA mely szerint mx,y) = c f x,y) teljesül. A c f függvény szimmetrikussága miatt m f x,y) = m f y,x) teljesül, továbbá az f függvény normáltsága miatt m f x,x) =. x A.4. tétel az M + n sokaság esetén az alábbi formában érvényes. 4.. Tétel. Tekintsük az M + n, K n),f ) sokaságot, ahol Kn),f az f F S,n) [, ] függvény által generált metrika. Legyen a D M + n mátrix D = λ k E kk alakú. Ha i < j n, k < l n, akkor: k= G D H ij,h kl ) = δ ik δ jl mλ i,λ j ) G D F ij,f kl ) = δ ik δ jl mλ i,λ j ) G D H ij,f kl ) =, ha i < j n, k n, akkor: G D H ij,f kk ) = GF ij,f kk ) =, 4.9) ha i n, k n, akkor: G D F ii,f kk ) = δ ik 4mλ i,λ i ) teljesül. A.43) formulához hasonlóan a G f függvény deriváltja d G : M + n Lin T M n, LinT M n,t M n ) ) )) D Ỹ X d G D) Ỹ ) X) d G D)Ỹ ) X) = π i) 4.) ξ D) Xξ D) Ỹ η D) +ξ D) Ỹ η D) Xη D) d ξ d η. lesz. Ezek alapján a.45) képlettel értelmezett háromváltozós m függvény itt az m :R + R + R + R x,y,z) mx,y,z) 4.) mx,y,z) = c π i) f ξ,η) ξ a)η b)ξ c) d ξ d η alakot ölti. Ezek alapján a.48) egyenlet továbbra is érvényes. Az előző fejezetekben alkalmazott jelölésmódhoz hasonlóan, amennyiben a D mátrix diagonális, és a főátlóban a λ,...,λ n számok állnak, akkor az i,j,k n indexek esetén az m ij = mλ i,λ j ) m ijk = mλ i,λ j,λ k ) 4.) rövidítést fogjuk használni. M + n

4.. AZ ÁLLAPOTTÉR SKALÁRGÖRBÜLETE 5 Komplex állapottér esetén a.49) egyenlet, csak az F ij ) i j n érintővektorokon adja meg a d G leképezés értékét. A komplex elemeket tartalmazó H ij ) i<j n érintővektorok esetén az alábbi formulák adják meg a d G leképezés értékét. d G D)H ij )H kl ) = ) F il m ijl δ jk + F jk m ijk δ il F ik m ijk δ jl F jl m ijl δ ik 4.3) d G D)F ij )H kl ) = ) H il m ijl δ jk + H kj m ijk δ il H ik m ijk δ jl H lj m ijl δ ik A c f függvényre minden pozitív x,y,t R paraméter esetén c f x,y) = tc f tx,ty) 4.4) teljesül. Ennek az egyenletnek a t szerinti parciális deriváltjában a t = értéknél az adódik. Az egyenlet másik alakja az alábbi c π i) f ξ,η) ξ x)η y) c f x,y) + x c f x,y) + y c f x,y) = 4.5) + x ξ x + Felhasználva az m függvények tulajdonságait ebből az y ) =. 4.6) η y mx,x,y) mx, x) + mx,y,y) my, y) = mx,y) 4.7) azonosságot kapjuk. A.6. részben a Levi Civita-féle kovariáns deriválásra kapott.57) kifejezés továbbra is érvényes, vagyis Γ : M + n LinT M n T M n,t M n ) D X, Ỹ ) Γ D) X,Ỹ )) 4.8) Γ D) X,Ỹ ) = G ) D) d G D) X)Ỹ ) ). Ezek alapján meghatározhatjuk a részsokaság skalárgörbületének kiszámításánál felhasználandó.) képletben szereplő S leképezést, melyet a.) képlet definiál. Legyen D M + n és X,Y T D M + n, ekkor SX,Y ) = n),f K D ΓD)X)D),Y n),f ) = K D = d Tr GD)X)D)Y ) = G ) D) d GD)X)D) ) ),Y = K n),f D X,Y ).

6 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA Ebből egyúttal az ΓD)X)D) = X D M+ n X T D M + n 4.9) egyenlet is következik. Az M + n, K n),f ) Riemann-tér görbületi tenzorát pedig a.66) kifejezés adja meg. A fenti képletek felhasználásával a.. tételnek megfelelően könnyen ki tudjuk számolni az M + n,k n),f ) tér skalárgörbületét. Adott D M + n állapot esetén legyen B t ) t I a T D M + n érintőtér ortonormált bázisa a K n),f D skalárszorzásra nézve. Ekkor a D T M n vektor, mivel normálvektor, merőleges minden B t vektorra és egységnyi hosszú, vagyis a B = D és I = I {} jelöléssel élve a B t ) t I vektorrendszer ortonormált bázis a T D M + n térben. A.. tételben szereplő első összegzést az alábbi formába írhatjuk át. K n),f ) D RD A t,a s )A s,a t = 4.) t,s I = Kn),f D t,s I RD A t,a s )A s,a t ) t I K n),f ) D RD A t,d)d,a t s I K n),f D RD D,A s )A s,d ) n),f K D RD D,D)D,D ) = = ScalD) t I Kn),f D ) RD A t,d)d,a t + Kn),f D RD D,A t )A t,d )) n),f K D RD D,D)D,D ) 4.) Igazoljuk, hogy ez a kifejezés megegyezik az M + n sokaság D pontbeli ScalD) skalárgörbületével. Az R Riemann-féle görbületi tenzor meghatározásához a.66) képletet használjuk. A 4.) egyenlet első összeadandójáról az alábbi módon igazolhatjuk, hogy nulla. K n),f ) D RD A t,d)d,a t = 4.)

4.. AZ ÁLLAPOTTÉR SKALÁRGÖRBÜLETE 7 = K n),f D K n),f D 4 G ) D) d GD)D) G ) D) d GD)A t )D) ))) ),A t 4 G ) D) d GD)A t ) G ) D) d GD)D)D) ))) ),A t = = d 4 Tr GD)D) G ) D) d GD)A t )D) )) ) A t d 4 Tr GD)A t ) G ) D) d GD)D)D) )) ) A t = = 4 Tr d GD)D) ΓD)A t )D) ) A t ) 4 Tr d GD)A t ) ΓD)D)D) ) A t ) = = 4 Tr d GD)D) A t )A t ) 4 Tr d GD)A t ) D)A t ) = A 4.) egyenlet második összeadandója szintén nulla lesz. K n),f D RD D,A t )A t,d ) = 4.3) n),f = K D 4 G ) D) d GD)A t ) G ) D) d GD)D)A t ) ))) ),D n),f K D 4 G GD)D) ) D) d G ) D) d GD)A t )A t ) ))) ),D = = d 4 Tr GD)A t ) G ) D) d GD)D)A t ) )) ) D d GD)D) 4 Tr G ) D) d GD)A t )A t ) )) ) D = = d 4 Tr GD)A t ) ΓD)A t )D) ) ) D 4 Tr GD) ΓD) G ) D) d GD)A t )A t ) ))) ) D) = = 4 Tr d GD)D) A t )A t D ) + GD) 4 Tr G ) D) d GD)A t )A t ) )) ) D =

8 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA = 4 Tr d GD)D)A t )A t D ) + 4 Tr d GD)D)A t )A t D ) = A 4.) egyenlet negyedik tagja pedig triviálisan nulla. A.) egyenletben szereplő második illetve harmadik összeadandót külön határozzuk meg valós illetve komplex állapottérre. Egy D M + n ponthoz tartozó T D M + n érintőtér valós esetben d R n) = n )n+), komplex esetben pedig d C n) = n K n),f D dimenziós. Legyen A i ) i=,...,d ortonormált bázis a skalárszorzásra nézve. Ekkor a.) képletben szereplő második-, harmadik összegzés az alábbi. d t,s= ) SA s,a s )SA t,a t ) SA t,a s )SA s,a t ) = d t,s= 4 4 δ t,s = 4 d d) 4.4) A.) képlet ezek alapján az ScalD) = ScalD) dd ) + 4 4.5) alakot ölti, ahol d = d R n) vagy d = d C n), attól függően, hogy az állapottér valós vagy komplex. Valós állapottér esetén a D M + n pontban a M + n, K n),f ) Riemann-sokaság ScalD) skalárgörbületét a.7) képlet vagy az egyszerűsítések után kapott.9) kifejezés adja meg. Komplex állapottérnél a helyzet ) annyival bonyolultabb, hogy a D M + n állapot T D M + Fij n érintőterében az, H ij, ) F ii vektorrendszer lesz ortonormált i<j n i n n),f bázis a K D skalárszorzásra nézve. A.6. részben bevezetett indexhalmazokat használjuk most is, vagyis I = {i,j) i < j n} és I = {i,i) i n}. Ha t = i,j) I, akkor legyen A t = F ij, B t = H ij, t = i,i) I esetén pedig A t = F ii. A ScalD) skalárgörbületet a.67) képlettel számoljuk ki. Az ott megjelenő összegzést az alábbi módon bontjuk fel.

4.. AZ ÁLLAPOTTÉR SKALÁRGÖRBÜLETE 9 ScalD) = RD)A s,a t ) G ) D)A t ) ),A s + 4.6) t,s I + t I s I + t I s I + t I s I + t I s I + t,s I RD)A s,b t ) G ) D)B t ) ),A s + RD)B s,a t ) G ) D)A t ) ),B s + RD)B s,a t ) G ) D)A t ) ),B s + RD)A s,b t ) G ) D)B t ) ),A s + RD)B s,b t ) G ) D)B t ) ),B s A felbontásban szereplő első tagot számoltuk ki több kisebb részletben a.6 részben. Most a többi tagot határozzuk meg. t I s I = i<j n k<l n = i<j n k<l n A 4.6) képlet második összege: RD)A s,b t ) G ) D)B t ) ),A s = 4.7) RD) Fkl, H ij ) m ij H ij, F kl = 4.8) 4m ij RD)F kl,h ij )H ij,f kl = 4.9)

3 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA = i<j n k<l n + i<j n k<l n G ) D) d 6m GD)F kl ) ij G ) D) d GD)H ) )) ij )H ij ),F kl + 4.3) G ) D) d 6m GD)H ij ) G ) D) d GD)F ) )) kl )H ij ),F kl. ij A 4.3) képlet első tagja: i<j n k<l n 6m ij G ) D) d GD)F kl ) G ) D) ) )) F ii m iij m ijj F jj,f kl 4.3) Ez megegyezik a.73) képlettel, vagyis ezen összeg a.8) képlet alapján [ = mvvw m uvv + m uuwm uuv + m ) wwum wwv + 4.3) m vu m vv m vw m uu m uv m uw m wu m wv m ww u<v<w n. + k<l n m kll m kl m ll ) ] + m kkl m kl m. 4.33) kk A 4.3) képlet második tagja: i<j n k<l n = G ) D) d 6m GD)H ij ) ij i<j n k<l n G ) D) d GD)F ) )) kl )H ij ),F kl = G ) D) d 6m GD)H ij ) G ) D)H il m ijl δ jk + H kj m ijk δ il + ij ) ) + H ik m ijk δ jl + H lj m ijl δ ik ),F kl = 4.34) 4.35)

4.. AZ ÁLLAPOTTÉR SKALÁRGÖRBÜLETE 3 = i<j n k<l n = i<j n k<l n = 8 6m ij 6m ij i<j n k<l n G ) D) d GD)H ij )H il ) m ijl δ jk + d m GD)H ij )H kj ) m ijk δ il + il m jk +d GD)H ij )H ik ) m ijk δ jl + d m GD)H ij )H lj ) m ) ijl δ ik,f kl = ik m jl G ) D) mijl m il δ jk F ii m iij δ jl + F il m ijl δ ji + F ji m iji δ il F jl m ijl δ ii )+ m ij + m ijk m jk δ il F ij m ijj δ jk F ik m ijk δ jj F jj m ijj δ ik + F jk m ijk δ ij )+ + m ijk δ jl F ii m iij δ jk + F ik m ijk δ ji + F ji m iji δ ik F jk m ijk δ ii )+ m ik + m ) ijl δ ik F ij m ijj δ jl F il m ijl δ jj F jj m ijj δ il + F jl m ijl δ ij ),F kl = m jl [ mijl m iij δ jk δ il + m ijlm ijj δ ik δ jl m ijl δ jk m ijl δ ik + m il m ij m jl m ij m il m jl m il m jl + m ijkm ijj δ il δ jk + m ijkm iij δ jl δ ik m jk m ij m ik m ij + mijl m il ) δ jkδ jiδ ik + mijk m jk ) δ ilδ ijδ jl+ m ijk m ik m kj δ il m ijk m ik m jk δ jl + = 8 k<l n + mijk m ik ) δ jlδ jiδ il + mijl m jl ) δ ikδ jiδ jk] = [ m llk m llk + m lkkm lkk + ) mkkl + ) mllk m ll m kl m kl m lk m kk m kl m kk m kl m ll m kl ) m ikl m ) jlk mkkl m kkk δ kl + m i= il m kl m ik m j= lk m jk m lj m kk m kl m kk + m )] llkm lll δ lk = m ll m lk m ll 4.36)

3 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA = 8 = 8 = 3 4 + 4 m kkl k,l= k,l= m kk m kl ) m kkl + m kk m kl 4 k<l<i n u<v<w n ) + m kll + m ll m kl 4 k= m ikl m il m kl m ik + 4 m uvw m uv m vw m wu + 6 = 3 4 k= 4 m kk + 4 k<l n m kkk m 3 kk + 4 i<k<l n m kkl m kk m kl + 4 m kk 4 k= u<v<w n k= Ezzel kiszámoltuk a 4.3) képlet második tagját. k<l n i= m ikl m il m kl m ik + 4 k<i<l n m kkk m 3 kk m ikl m il m kl m ik = 4.37) k<l n m ikl m il m kl m ik = m llk + m ll m kl 4.38) = 4.39) m uvw m uv m vw m wu. 4.4) A 4.6) képlet harmadik összege: RD)B s,a t ) G ) D)A t ) ),B s = 4.4) t I,s I = k<l n i= = k<l n i= RD) Hkl, F ii ) m ii F ii, H kl = 4.4) 8m ii RD)H kl,f ii )F ii,h kl = 4.43)

4.. AZ ÁLLAPOTTÉR SKALÁRGÖRBÜLETE 33 = k<l n i= + k<l n i= G ) D) d 3m GD)H kl ) ii G ) D) d 3m GD)F ii ) ii A 4.44) képlet első tagja: k<l n i= = G ) D) d 3m GD)H kl ) ii k<l n i= = k<l n i= = G ) D) d GD)F ) )) ii )F ii ),H kl G ) D) d GD)H ) )) kl )F ii ),H kl. 4.44) G ) D) d GD)F ) )) ii )F ii ),H kl = 4.45) G ) D) d 3m GD)H ) kl ) ) G ) D)4F ii m iii ),H kl = 4.46) ii k<l n i= = 4 = 4 m iii 8m ii G ) D) d GD)H kl )F ii ) ),H kl = 4.47) G ) D)H ki m kli δ li + H il m kli δ ki ),H kl = 4.48) 8 k<l n i= k,l= m kll m kl + 4 mkli δ li + m ) kli δ ki = 4.49) m ki m li k= m kkk m kk = 4.5) = 4 A 4.44) képlet második tagja: k<l n i= k,l= m kll m kl + 8 G ) D) d 3m GD)F ii ) ii m kk. 4.5) k= G ) D) d GD)H ) )) kl )F ii ),H kl = 4.5)

34 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA = = 4 = 4 k<l n i= 6m ii 4.53) G ) D) mkli m ki δ il d GD)F ii )H ki ) + m kli m k<l n i= ii i= k,l= mkli m iik m ik ) δ ik d m GD)F ii )H il ) li,h kl = δ il + m klim iil δ m ik + m klim iii δ ik δ il + m ) klim iii δ ik δ il = il m ik m ii m il m ii 4.54) [ mkli m iik δ m ii m il + m ) klim iii δ ki m ik m ik δ il 4.55) ii = 4 mkki m iik δ m ii m ik + m ) ] kkim iii δ k= ki m ik m ik = ii [ ] i= k= m iik m ii m ik m iii m 3 ii = 4.56) = 4 k,l= m kkl m kk m kl 4 k= m kkk m 3 kk. 4.57) Ezzel kiszámoltuk a 4.3) képlet harmadik tagját. A 4.3) képlet negyedik és ötödik összege: Szimmetriaokokból a negyedik- illetve ötödik összeg megegyezik a második- illetve harmadik összeggel. t,s I A 4.3) képlet hatodik összege: RD)B s,b t ) G ) D)B t ) ),B s = 4.58)

4.. AZ ÁLLAPOTTÉR SKALÁRGÖRBÜLETE 35 = i<j n k<l n = i<j n k<l n = i<j n k<l n + i<j n k<l n RD) Hkl, H ij ) m ij H ij, H kl = 4.59) 4m ij RD)H kl,h ij )H ij,h kl = 4.6) G ) D) d 6m GD)H kl ) ij G ) D) d GD)H ) )) ij )H ij ),H kl + 4.6) G ) D) d 6m GD)H ij ) G ) D) d GD)H ) )) kl )H ij ),H kl. ij A 4.6) képlet első tagja: i<j n k<l n = 6m ij i<j n k<l n = i<j n k<l n G ) D) d GD)H kl ) G ) D) ) )) F ii m iij + m ijj F jj,h kl = 4.6) G ) D) d 6m GD)H miij kl ) F ii + m ijj F jj )),H kl = 4.63) ij m ii m jj 6m ij m iij m ii G ) D) δ li m kli H ki + δ ki m ikl H il ),Hkl + m ijj G ) D) ) δ lj m klj H kj + δ kj m klj H jl,hkl = 6m ij m jj = [ m iij m kli δ li F ki,f kl + m ) kli δ ki F li,f kl + 6m ij m ii m ki m li i<j n k<l n + m ijj m klj δ lj F kj,f kl + m )] klj δ kj F lj,f kl 6m ij m jj m kj m lj. 4.64) 4.65) Ez megegyezik a.76) képlettel, vagyis a 4.6) képlet első tagját a.8) képlet adja meg.

36 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA = [ u<v<w n mvvw m uvv + m uuwm uuv + m ) wwum wwv + 4.66) m vu m vv m vw m uu m uv m uw m wu m wv m ww + k<l n m kll m kl m ll ) ] + m kkl m kl m 4.67) kk A 4.6) képlet második tagja: i<j n k<l n = i<j n k<l n = i<j n k<l n G ) D) d 6m GD)H ij ) ij G ) D) d GD)H ) )) kl )H ij ),H kl = G ) D) d 6m GD)H ij ) G ) D)F il m ijl δ jk + F jk m ijk δ il + ij ) ) F ik m ijk δ jl F jl m ijl δ ik ),H kl = 4.68) 4.69) G ) D) d 6m GD)H ij )F il ) m ijl δ jk + d ij m GD)H ij )F jk ) m ijk δ il il m jk d GD)H ij )F ik ) m ijk δ jl d m GD)H ij )F jl ) m ) ijl δ ik,h kl = ik m jl 4.7)

4.. AZ ÁLLAPOTTÉR SKALÁRGÖRBÜLETE 37 = i<j n k<l n = 8 6m ij G ) D) mijl m il δ jk H ii m iij δ jl H il m ijl δ ji H ij m iji δ il + H jl m ijl δ ii )+ i<j n k<l n + m ijk m jk δ il H ji m ijj δ jk H ik m ijk δ jj H jj m ijj δ ik + H jk m ijk δ ij )+ + m ijk m ik δ jl H ii m iij δ jk H ik m ijk δ ji + H ji m iji δ ik + H jk m ijk δ ii )+ + m ijl m jl δ ik H ij m ijj δ jl H il m ijl δ jj H jj m ijj δ il + H jl m ijl δ ij ) m ij [ mijl m iij m il m ij δ jk δ il + m ijlm ijj m jl m ij δ ik δ jl + m ijkm ijj δ il δ jk + m ijkm iij δ jl δ ik m jk m ij m ik m ij + mijl m il ) δ jkδ jiδ ik + mijk m jk m ijl m il m jl δ jk ) δ ilδ ijδ jl+ m ijk m ik m kj δ il m ijl m il m jl δ ik + ),F kl = m ijk m ik m jk δ jl + 4.7) + mijk m ik ) δ jlδ jiδ il + mijl m jl ) δ ikδ jiδ jk]. 4.7) Ez megegyezik a 4.36) képlettel, ezért az alábbi végeredményt kapjuk. 3m uvw + ) m kkl + m kll 4 m uv m vw m wu 4 m kk m kl m ll m kl u<v<w n k<l n 4.73) Ezzel kiszámoltuk a 4.3) képlet hatodik tagját. Az M + n, K n),f ) skalárgörbület kiszámításához az alábbi tagokat kell figyelembe venni a 4.6) képletnek megfelelően: -szer OFF-OFF R-R): a.8) és a.88) képlet összege;

38 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA -szer OFF-OFF R-C és C-R) a 4.3) és a 4.4) képlet összege; -szer OFF-OFF C-C): a 4.66) és a 4.73) képlet összege; -szer OFF-DIAG, DIAG-OFF R-R): a.98) és a.4) képlet összege; -szer OFF-DIAG, DIAG-OFF R-C): a 4.5) és a 4.57) képlet összege; -szer DIAG-DIAG R-C): a.6) képlet. Ezek alapján a skalárgörbületre Scal D = u<v<w n + teljesül. Az u<v<w n u<v<w n = k<l n j= m k<l n kl 3m uvw m uuvm uuw m uvvm vvw m ) uwwm vww + m uv m vw m wu m uu m uv m uw m vu m vv m vw m wu m wv m ww 3m uvw m uv m vw m wu = ) m kkl + m kll m kk m ll k<l n j= k<l n m jkl m jl m lk m kj m kkl + m kll m kl m k<l n kl muuv m uuw + m uvvm vvw + m ) uwwm vww = m uu m uv m uw m vu m vv m vw m wu m wv m ww k<l n mkkl m kkj + m ) lljm kll m kj m kk m kl m lj m ll m jl m k<l n kl 4.74) ) m kkl + m kll m kk m ll ) m kkl + m kll m kk m ll 4.75) m kkl + m kll m kl 4.76) azonosságok felhasználásával alakítjuk tovább a skalárgörbületre kapott 4.74) kifejezést.

4.. AZ ÁLLAPOTTÉR SKALÁRGÖRBÜLETE 39 ScalD) = ScalD) = m kl k<l n j= + j,k,l= m k<l n kl m jkl m jkl m jl m jk m kklm kkj m kk m kj ) m kkl + m kll m kk m ll m jl m jk m kklm kkj m kk m kj ) + 8 m ) lljm kll + 4.77) m lj m ll k<l n m kkl + m kll m kl m kk 4.78) k= Ezek alapján Scal D = j,k,l= {j,k,l} > m jkl m jk m kl m lj m ) kklm kkj m kk m kl m kj 4.79) teljesül. Ezzel meghatároztuk komplex állapottér esetén az M + n, K n),f ) sokaság skalárgörbületét a D = n i= λ ie ii pontban. Az eddigi számolásokat foglalja össze a következő tétel. 4.. Tétel. Legyen f F S,n) [, ] tetszőleges függvény, és jelölje Kn),f az f függvény által indukált monoton metrikát az M + n sokaságon. Legyen D M + n tetszőleges állapot, melynek λ,...,λ n a sajátértékei. A M + n,k n),f ) Riemann-sokaság skalárgörbülete a D pontban, valós állapottér esetén Scal R D) = 4 j,k,l= {j,k,l} > m jkl m jk m kl m lj m ) kklm kkj + m kk m kl m kj 4 m kkl m kl m kk k,l= k l m ) kklm kll m kl m + ll 4.8) + n )n + )n + n 4) 6, komplex állapottér esetén pedig ScalD) = j,k,l= {j,k,l} > m jkl m jk m kl m lj m ) kklm kkj + n )n ) m kk m kl m kj 6. 4.8)

4 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA 4.. A skalárgörbület monotonitásáról Az elemi térfogati forma sorfejtését felhasználva Petz megmutatta, hogy az állapottér skalárgörbülete az állapot statisztikai bizonytalanságával, megkülönböztethetetlenségével van szoros kapcsolatban [84]. Kvantummechanikai tapasztalatok alapján várhatjuk, hogy a kevertebb állapotok kevésbé megkülönböztethetők. A matematika nyelvén ez azt jelenti, hogy a fizikailag, statisztikailag releváns Riemannmetrikákból származó skalárgörbületnek egyfajta monotonitási tulajdonsággal kell rendelkeznie: ha a D állapot kevertebb mint a D állapot, akkor a ScalD ) < ScalD ) egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. Fizikai szempontból a Kubo Mori-metrika kitüntetett szerepet játszik az állapottéren. Petz Dénes sejtése [8] erre a metrikára és az előbbi észrevételre vonatkozik. Petz sejtése: A Kubo Mori-metrikából származó skalárgörbület monoton csökkenő az állapotok majorizációjára nézve, vagyis teljesül. ha D D, akkor ScalD ) ScalD ) 4.8) Különböző monoton Riemann-metrikák esetén is vizsgáljuk a későbbiekben a sejtésben megfogalmazott monotonitási tulajdonságot, ezért külön elnevezést vezetünk be rá. 4.. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : M + n R függvény a majorizációra nézve monoton csökkenő, ha minden D,D M + n állapotra D D esetén fd ) fd ) teljesül. Petz a -es mátrixok állapotterén be is bizonyította ezt a sejtését [8]. Ezen túlmenően eddig csak numerikus szimulációkat végeztek a sejtéssel kapcsolatban, amelyek mind megerősítették azt. Érdemes megjegyezni, hogy a klasszikus esetben a sejtés teljesül, hiszen a.5) formula alapján a skalárgörbület ott állandó. A továbbiakban a sejtés bizonyításában Andai eddig elért eredményeit mutatjuk be [4] alapján. 4... Petz sejtésének átfogalmazása Legyenek A és B olyan állapotok, melyekre A B teljesül. Ekkor a 3.5. tétel alapján létezik olyan invertálható állapotokból álló C z ) z=,...,d véges sorozat, amellyel A = C C C d = B 4.83)

4.. A SKALÁRGÖRBÜLET MONOTONITÁSÁRÓL 4 teljesül, és C z sajátértékeiből T-transzformációval megkaphatjuk C z sajátértékeit, minden z =,...,d esetén. A 4.8) sejtés igazolásához elég megmutatni, hogy minden z =,...,d esetén ScalC z ) ScalC z ) 4.84) fennáll. A skalárgörbület csak a sajátértékektől függ, ezért a fenti egyenlőtlenséghez elég igazolni, hogy ha x,...,x n ) jelöli a C z állapot sajátértékeit, akkor minden k < l n esetén a [, ] R t Scalx,...,x k,tx k + t)x l,...,x l, t)x k + tx l,...,x n ) 4.85) függvény monoton növő. Petz sejtésének ezen átfogalmazását fogjuk részletesen vizsgálni. 4... Skalárgörbület a Kubo-Mori metrikánál Az M + n téren a K n) KM Kubo Mori-metrikát a D M+ n állapotban és X,Y T D M + n érintővektorokon a G D X,Y ) = Tr D + t) XD + t) Y ) d t 4.86) képlet határozza meg. Ezzel a metrikával számolva az alábbi kifejezések adódnak a.7) és.45) képlettel értelmezett m-függvényekre. mx,y) = x + t)y + t) d t mx,y,z) = x + t)y + t)z + t) d t 4.87) A D = n= λ k E kk alakú D M + n állapotban az F ij ) i j n, H ij ) i<j n k= bázisvektorok skalárszorzata az érintőtérben a 3.5. tétel szerint az alábbi. G D H ij,h kl ) = δ ik δ jl mλ i,λ j ) Ha i < j n, k < l n, akkor: G D F ij,f kl ) = δ ik δ jl mλ i,λ j ) G D H ij,f kl ) =, ha i < j n, k n, akkor: G D H ij,f kk ) = GF ij,f kk ) =, ha i n, k n, akkor: G D F ii,f kk ) = δ ik 4mλ i,λ i ). 4.88)

4 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA Legyenek x,y,z és µ pozitív számok, x y, ekkor teljesül. mx,y) = log x log y, mx,y,z) = x y mx,x) = x mx,x,x) = x, mx,y) = µ mµx,µy), mx,z) my,z), 4.89) x y mx,x,y) = mx,y) x, mx,y,z) = x y µ mµx,µy,µz) Az m függvények teljesítik az mx, y) mx,x,y) mx, x) + mx,y,y) ) = 4.9) my, y) azonosságot, melyet gyakran említés nélkül használunk fel a számolás során. A rövidebb írásmód kedvéért vezessük be az alábbi függvényeket ϕx,y,z) = mx,y,z) mx,y)my,z)mz,x) my,y,x)my,y,z) my,x)my,y)my,z), 4.9) vx,y) = mx,x,y) mx,y) mx,x) mx,x,y)my,y,x). mx,y) my,y) A definícióból és a 4.89) azonosságból a skálatulajdonság adódik. ϕµx,µy,µz) = µ ϕx,y,z) vµx,µy) = vx,y). 4.9) µ A komplex mátrixokból álló állapottérnek a skalárgörbülete a D állapotban, ha D sajátértékei λ,...,λ n, a 4.8) egyenlet alapján ScalD) = ϕλ j,λ k,λ l ) + n )n ), 4.93) 6 j,k,l= {j,k,l} > ahol {j,k,l} > azt jelenti, hogy az i,j,k indexek nem mind azonosak. Valós mátrixok esetén a skalárgörbület a D állapotban a 4.8) alapján Scal R D = ϕλ j,λ k,λ l ) + vλ k,λ l ) + n )n + )n + n 4). 4 4 6 j,k,l= {j,k,l} > k,l= 4.94)

4.. A SKALÁRGÖRBÜLET MONOTONITÁSÁRÓL 43 Mivel a jelen részben a skalárgörbület függvény változását vizsgáljuk, ezért a skalárgörbület kifejezés utolsó, csak n-től függő tagját elhagyjuk. 4..3. A Petz sejtésében elért eredmények Legyenek A és B olyan állapotok, melyekre A B teljesül, és a csökkenő sorrendbe rendezett sajátértékeik két kivétellel megegyeznek. Ekkor az állapotok sajátértékeiket a λ,...,a,...,b,...,λ n ) és λ,...,a x,...,b+x,...,λ n ) alakban írhatjuk fel, ahol x a b. A skalárgörbületet adó 4.93) képletben szereplő tagokat csoportosítsuk az alábbiak szerint.. Azok a tagok, amelyekben csak a és b szerepel αa,b) := ϕa,a,b) + ϕb,b,a) + ϕa,b,a) + ϕb,a,b). 4.95). Azok a tagok, amelyekben a,b és egy másik sajátérték is szerepel β,k a,b) := ϕa,a,λ k ) + ϕb,b,λ k ) + ϕa,λ k,a) + ϕb,λ k,b), 4.96) β,k a,b) := ϕa,b,λ k ) + ϕb,a,λ k ) + ϕa,λ k,b) + ϕb,λ k,a). 4.97) 3. Azok a tagok, amelyekben vagy a vagy b pontosan egyszer szerepel γ kl a,b) :=ϕa,λ k,λ l ) + ϕb,λ k,λ l ) + ϕλ k,a,λ l )+ 4.98) + ϕλ k,b,λ l ) + ϕλ k,λ l,a) + ϕλ k,λ l,b). 4. Az a és b nélküli tagok δ jkl := ϕλ j,λ k,λ l ). 4.99) Ezután a skalárgörbületet a ScalD) = αa,b) + egyenlet adja meg. β,k a,b) + β,k a,b) ) + γ kl a,b) + k= k,l= j,k,l= {j,k,l} > δ jkl 4.) A sejtés bizonyításának az egyik lehetséges módja, hogy megmutatjuk, hogy a fenti képletben szereplő összeadandó tagok külön-külön monotonak a majorizációra nézve. Ennek érdekében a 4.85) képlet alapján vezetjük be az alábbi fogalmat.

44 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA 4.. Definíció. Az f : R R R függvényről azt mondjuk, hogy m-monoton, ha minden olyan a és b paraméter esetén, amelyre > a > b >, az fa x,b + x) függvény szigorúan monoton növő függvénye x-nek az x [ ], a+b intervallumon. Dittmann a ϕ függvény szimmetrizált alakját használta, és abból származtatta a tagok fent említett csoportosítását [5]. Numerikus szimulációkat végzett a szimmetrizált ϕ függvény monotonitásának a vizsgálatára, és meggyőző ábrákon foglalta össze a szimulációk végeredményét. Azonban korrekt matematikai indokkal nem tudta igazolni a szimulációk eredményét. A sejtés bizonyításában elért részeredmények alapja az entrópiafüggvény deriváltjainak a viselkedésének a megértése. Ugyanis az entrópia második deriváltja szolgáltatja a metrikát, melynek a második deriváltjától is) függ a skalárgörbület, továbbá a sejtésben elért részeredmények bizonyítása a skalárgörbület deriváltjainak a viselkedésén alapul. Például az egyik esetben közvetett módon a skalárgörbület 4. deriváltjának a viselkedésén múlik a bizonyítandó egyenlőtlenség, vagyis az entrópia 8. deriváltja is előkerül!) A deriváltak tulajdonságainak még pontosabb ismerete valószínűleg elegendő lenne a sejtés bizonyításához. 4.3. Tétel. A skalárgörbületben szereplő α függvény m-monoton. Bizonyítás. A 4.89) és 4.9) azonosság alapján ϕa,b,a) + ϕb,a,b) = + b/a m,,b/a) + b/a)mb/a,b/a, ) ) a + b) m,b/a) 4.) és ϕa,a,b) + ϕb,b,a) =,b/a)mb/a,b/a, ) + b/a)m,. 4.) a + b n,b/a) Az m függvény speciális értékei 4.89) és a fenti egyenletek alapján αa x,b+x) = a + b + cx)) cx)) + + cx)) + cx) ) cx)cx) ) log cx) ) + cx)) cx) log, cx) 4.3) ahol cx) = b + x a x. 4.4) Mivel a c függvény monoton növő, a tétel bizonyításához elég belátni, hogy a τc) = + c) c) + + c) + c ) cc ) log c + c) c log c 4.5)

4.. A SKALÁRGÖRBÜLET MONOTONITÁSÁRÓL 45 függvény csökkenő az I = [, ] intervallumon. Annak igazolásához, hogy a τ c) = c + ) c log 3 c c + )3c c + 3) c c ) log + c4 c 3 c c + + c + c c c ) log c c ) 4.6) 3 függvény csak negatív értékeket vesz fel, vagy vele ekvivalens módon, hogy a τ c) = c ) 3 log 3 c τ c) 4.7) függvény csak negatív értékeket vesz fel az I intervallumon, elég belátni, hogy a) τ c) > az I-n és lim τ c) =. c A határértéket könnyen lehet igazolni, és az a) állítás első része pedig következik az alábbi b) állításból: b) τ c) > az I-n és lim τ c c) =, ahol c 4 τ c) = c )c c + )c + c + ) τ c). 4.8) A τ függvényt behelyettesítve az előző képletbe τ c) = 6 log c + c )c + )c c + ) c + c + )c c + ) log c + c + ) c ) c + c + ) c c + ) 4.9) adódik. A b) állításban szereplő határérték megint könnyen ellenőrizhető, és a τ függvény pozitivitása pedig következik az alábbi c) állításból: c) τ 3 c) < az I intervallumon és lim c τ c) =, ahol τ 3 c) = cc + c + ) c c + ) τ c). 4.) Egyszerűsítések után adódik τ 3 explicit alakja τ 3 c) =6c 8 + 6c 7 + 3c 6 4c 5 + c 4 4c 3 + 3c + 6c + 6) log c + c 8 c 7 + 4c 6 4c + c ). 4.) A c) állításban szereplő határérték könnyen ellenőrizhető és a τ 3 függvény negativitása következik az alábbi d) állításból d) τ 3c) > az I intervallumon és lim c τ 3 c) =. A határértékre vonatkozó állítás nyilván teljesül, az egyenlőtlenség pedig az alábbi. 44c 7 + c 6 + 39c 5 6c 4 + 44c 3 36c + 3c + 3) log c + c ) c 7 6c 6 c 5 5c 4 3c 3 7c 8c 6) c 4.)

46 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA Előszőr igazoljuk, hogy a log c kifejezés előtt álló tényező szigorúan pozitív az I intervallumon. Az f c) = cc 44c+5) függvény pozitív I-n. Az f c) = 7c 6 +c 5 4c 4 + függvénynek két szélsőértéke van: egy lokális maximuma a c = helyen és egy lokális minimuma a c = 5+ 83 helyen. Az f c ),f c ) > egyenlőtlenség miatt f c) is pozitív. A fenti 4.) egyenletben log c együtthatója pedig 96c 7 + 6f c) + f c) + 36c 3 c), 4.3) ami szigorúan pozitív I-n. Ennek a figyelembe vételével átrendezhetjük a tagokat a fenti egyenlőtlenségben, és a következő adódik. qc) = logc) + c )c7 6c 6 c 5 5c 4 3c 3 7c 8c 6) c96c 7 + 84c 6 + 56c 5 4c 4 + 76c 3 44c + 5c + ) Ezt két lépésben bizonyítjuk be. 4.4). Ha < c <, akkor csökkentjük a qc) függvényt és megmutatjuk, hogy még a q 3c )c 7 ) c) = logc) + c4c 7 + 4c 6 + 44c 5 6c 4 + 44c 3 36c + 3c + 3) 4.5) egyenlőtlenség is teljesül. Mivel q ) >, ezért elég megmutatni, hogy d q c) d c < teljesül, ha < c <. Ez pedig következik az d q c) d c = c 4c 7 + 4c 6 + 44c 5 6c 4 + 44c 3 36c + 3c + 3) c 576c 3 44c 36c + ) + c 944c + 47) + c 8 596c 77c + 64) + c 6 48c 79c + 58) ) + c 3 8c 3 568c 64c + 4) + 55c 3 44c + 69c + 9) egyenlőtlenségből, ahol d q c) d c 4.6) hat negatív értékeket felvevő függvény összege.

4.. A SKALÁRGÖRBÜLET MONOTONITÁSÁRÓL 47. Ha < c <, akkor mivel q) =, ezért elég megmutatni, hogy ha < c <, akkor q c) <. Tekintsük a következő függvényt. ζc) = c 4c 7 + 4c 6 + 44c 5 6c 4 + 44c 3 36c + 3c + 3) q c) 4.7) A cél a ζc) pozitivitásának a bizonyítása. Mivel ) ) ) ) ζ, ζ, ζ ),..., ζ 9) > 4.8) teljesül, ezért elég megmutatni, hogy ζ ) pozitív, ha következik a < c <. Ez pedig ζ ) c) = 39968483c 4 + 9c 3 + 5688c + 3963c + 5) 4.9) egyenlőségből. 4.4. Tétel. A skalárgörbületben szereplő β,k függvény m-monoton. ahol Bizonyítás. A 4.89) és a 4.9) értelmezés alapján Ezek alapján a β,k függvény a ϕa,a,λ k ) + ϕa,λ k,a) = λ k τa/λ k ), 4.) τc) = c 3 c log c + c c) log c + c c). 4.) β,k a x,b + x) = λ k τ ) )) a x b + x + τ λ k λ k 4.) alakban írható fel. Ez azt jelenti, hogy az x β,k a x,b + x) függvény monoton növő, ha x τã x) + τ b + x) monoton növő az x [, ã+ b ] intervallumon, ahol ã = a/λ k, b = b/λ k és x = x/λ k. Az τ ã x) + τ b + x) > 4.3) egyenlőtlenség azt jelenti, hogy τ belátjuk a monoton csökkenő. Ezt úgy bizonyítjuk, hogy τ x) < 4.4)

48 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA egyenlőtlenséget. Tekintsük az alábbi függvényeket. τ c) = 3 c 4c log c cc ) log c, τ c) = 3 3c c log c cc ) log c + c c) 4.5) Mivel τc) = τ c)+/)τ c), ezért a 4.4) egyenlőtlenséget két lépésben bizonyítjuk be, igazoljuk a τ és a τ függvényekről, hogy konkávak. A τ esetén tekintsük a segédfüggvényt, ami más alakban τ c) = c 3 c ) 3 log 4 c τ c) 4.6) τ c) =6c 6c + ) log 3 c c )3c )c 3) log c+ + c ) c c + ) log c + 3c ) 3 c 3). 4.7) A τ függvény akkor konkáv, ha τ c) negatív c I esetén és pozitív a c > esetben. Mivel lim τ c) =, ezért elég igazolni, hogy τ ) c) >. Az előző gondolatmenet c alapján: mivel lim τ ) c) =, ezért elég igazolni, hogy τ ) c) negatív c I esetén és c pozitív, ha c >. Megint alkalmazva az előbbi módszert: mivel lim τ ) c) =, ezért c elég igazolni, hogy τ 3) c) >, vagy a vele ekvivalens ρc) = c 3 τ 3) c) = 8c 3 + 36c 8c + ) log c + 4c 4 38c 3 + 64c + 34c ) log c + 98c 4 76c 3 84c 4c ) > 4.8) egyenlőtlenséget. Az előző gondolatmenetet használjuk a ρ függvény pozitivitásának a bizonyításához. Mivel lim c ρ) c) = lim ρ ) c) = lim ρ ) c) = lim ρ 3) c) = 4.9) c c c ezért elég a ρ 4) > egyenlőtlenséget igazolni. A ρ 4) c) = c 4 78c 4 3c 3 c +c ) log c+8444c 4 53c 3 5c +4c+4) ), 4.3) kifejezés pozitivitása a log függvény sorfejtéséből következik. Mutatunk egy ρ 4) függvénynél kisebb kifejezést, mely még mindig pozitív.

4.. A SKALÁRGÖRBÜLET MONOTONITÁSÁRÓL 49. Ha c >, akkor a log függvény sorfejtése alapján ismert, hogy a c > esetben log c > c c + 4.3) teljesül. Ezért a c c+ tag log c helyére való helyettesítése után a ρ4) kifejezésben, a következőt kapjuk c 4 + c) 4c 5 + 85c 3 c ) + 93c 4 + 8cc ) + 78 ). 4.3) Ez a függvény azonban biztosan pozitív a c > esetben.. Ha < c <, akkor az f c) = 8c 4 log c +, f c) = 3c 3 + c c + ) log c és f 3 c) = 444c 4 53c 3 5c +4c+) függvények pozitívak a ], ] intervallumon. Ezek alapján ρ 4) c) = c 4 7f c) + 7f c) + 8f 3 c) + 3 ) > ha < c < 4.33) teljesül Eddig a 4.5) képlettel értelmezett τ függvényről bizonyítottuk be, hogy konkáv. A 4.5) képlettel definiált τ esetén tekintsük az alábbi segédfüggvényt. ami más alakban τ c) = c 3 c ) 4 log 4 c τ c), 4.34) τ c) =c 3 c + ) log 4 c c )3c 3c + ) log 3 c + 3c )c 3)c ) log c 3c c + )c ) 3 log c 9c ) 5. 4.35) A τ függvény konkáv, ha a τ függvény pozitív. A lim τ c) = lim τ ) c) = = lim τ 5) c) = 4.36) c c c határértékek könnyen ellenőrizhetők, ezért elég igazolni, hogy a ρc) = c τ 5) c) =48c ) log 3 c + 6 c 3c4 c 3 + c + c + ) log c c 39c5 46c 4 6c 3 6c 9c + 78) log c c 395c5 64c 4 43c 3 36c + c 4) 4.37)

5 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA függvény pozitív < c < esetén és negatív, ha < c. Az előző módszer ismételt alkalmazásával kapjuk, hogy a határértékek miatt elég igazolni a lim ρc) = lim c c ρ c) = lim ρ c) = 4.38) c c 5 ρ) c) = 44c 4 + 7c 3 + 7c + 6c + 43) log c + 8c 5 + 888c 4 78c 3 9c 36c 44) log c c 5 56c 4 + 8c 3 + 5c + 73c 87) 4.39) függvényről, hogy pozitív, ha < c < és negatív, ha < c. Mivel c 5 lim c ρ) c) =, 4.4) ezért igazoljuk, hogy a ) ηc) = 576c 3 + 6c + 44c + 6 d c 5 d c ρ) c) függvény, ami egyszerűsítések után a 4.4) ηc) = log c + 45c5 9c 4 + 45c 3 + c 63c 43) c576c 3 + 6c + 44c + 6) + 685c5 5c 4 + 94c 3 + 39c + 579c + 44 c576c 3 + 6c + 44c + 6) log c 4.4) alakra hozható, szigorúan pozitív. Ezt két részletben mutatjuk meg, a log függvény sorfejtése alapján.. Ha c >, akkor felhasználjuk, hogy c > esetén c > log c teljesül. Ha c-t helyettesítünk log c helyére az η függvényben, akkor csökkentjük az értékét. Az így kapott függvényt tovább csökkentjük és megszorozzuk a 5cc 3 + c + 3) taggal, így a 995c 4 98c 3 964c + 6c + 384) log c+ 4.43) + 33c3 + 6c + 9)855c 3 776c 7) c kifejezést kapjuk, és ennek a pozitivitását igazoljuk.

4.. A SKALÁRGÖRBÜLET MONOTONITÁSÁRÓL 5 Mivel ebben a kifejezésben a log c együtthatója szigorúan negatív c > esetén, ezért elég igazolni, hogy a hc) = log c + 3c 3 + c + 3)855c 3 776c 7) c995c 4 98c 3 964c + 6c + 384) 4.44) függvény pozitív, ha c >. Egyszerű számolással adódik, hogy h) = 3 8 > és h c) = 86487379c4 + 36653c 3 + 33964c + 86c + 368) + c 4 qc), c 995c 4 98c 3 964c + 6c + 384) 4.45) ahol qc) a c polinomja. A h függvény pozitivitása az < c esetben, következik a q), q ), q ) ), q 3) ) > 4.46) egyenlőtlenségekből, valamint a q 4) c) = 3768548875c 487435c 49978) > ha < c 4.47) relációkból.. Ha < c <, akkor, mivel a 4.4) képlettel definiált η függvényre η) > teljesül, ezért elég igazolni a 36c 8c 3 + 3c + c + 3) d ηc) d c egyenlőtlenséget. Az előbbi egyenlőtlenség egyszerűsített alakja 36c 8 98c 7 6876c 6 555c 5 58c 4 + 888c 3 + < 4.48) + 3c + 8c + 96) log c + 874c 8 + 4845c 7 + 99c 6 + 4.49) + 55c 5 3573c 4 5475c 3 7833c 3933c 3456). Igazoljuk, hogy növelve az előbbi kifejezést, és megszorozva c 3 -bel c954c 3 + 3438c + 776c + 9) log c + 874c 5 + 4845c 4 + 99c 3 + 55c 3573c 5475) 4.5) még mindig negatív marad a < c < esetben. A kifejezésben szereplő log c együtthatója negatív < c < esetén, ezért elég igazolni, hogy a η c) = log c 874c5 + 4845c 4 + 99c 3 + 55c 3573c 5475 c954c 3 + 3438c + 776c + 9) 4.5)

5 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA függvény pozitív, ha < c <. megmutatni, hogy Az η ) > egyenlőtlenség miatt elég c 954c 3 + 3438c + 776c + 9) d η c) d c 4.5) pozitív. Ezt egyszerűsítve a 477669c 597448c + 5548875) + a 3 c 3 + a 4 c 4 + + a 8 c 8 4.53) alakot kapjuk, ahol a 3,a 4,...,a 8 >, és az első tag pozitív, ha < c <. Ezzel igazoltuk, hogy a τ és a τ függvény konkáv. A 4.) skalárgörbületi formában szereplő β,k függvény m-monotonitása azt jelenti, hogy minden > a > b pozitív szám és > λ k > sajátérték esetén, y β,k a y,b + y) szigorúan monoton csökkenő függvénye y-nak az y [ ], a b intervallumon. Bevezetve a c = a+b) λ k jelölést a β,k függvény m-monotonitása az x β,k c+x,c x) függvény monoton csökkenését jelenti az x [,c] esetben. Definiáljuk az alábbi függvényeket φ u) = u log u + u, φ u) = log u + u. 4.54) A 4.89) egyenlet alapján kapjuk, hogy ahol λ k β,k a,b) = 3w β x,c) + q β x,c) + r β x,c), 4.55) w β x,c) = r β x,c) = q β x,c) = mc x,c + x, ) mc x,c + x)mc x, )mc + x, ), 4.56) mc x,, )mc + x,, ), mc x, )mc + x, ) mc x,c x,c + x)mc x,c x, ) mc x,c x)mc x, )mc x,c + x) mc + x,c + x,c x)mc + x,c + x, ) mc + x,c + x)mc + x, )mc x,c + x).

4.. A SKALÁRGÖRBÜLET MONOTONITÁSÁRÓL 53 Ezen függvények explicit alakja a következő: w β x,c) = t βx,c) + t β x,c), ahol t β x,c) = logc + x) logc x) c x c + x xlogx + c) logx c)), q β x,c) = q,β x,c) + q,β x,c), r β x,c) = φ c x)φ c + x). ahol q,β x,c) = φ c + x) φ c x) logx + c) logx c), q,β x,c) = φ c + x) x + φ c x), x 4.57) A β,k függvény m-monotonitása következik a d 3wβ x,c) + q β x,c) + r β x,c) ) < 4.58) d x egyenlőtlenségből. Ezt az egyenlőtlenséget elég nehéz igazolni, azonban fel lehet bontani négy tagra, melyekről a numerikus szimulációk azt mutatják, hogy külön-külön negatívak. 4.5. Tétel. Ha minden pozitív c paraméter mellett az x ], c[ intervallumon teljesülnek az : 3: d wβ x,c) + q β x,c) ) < : d x d q,β x,c) ) < 4: d x d wβ x,c) + q,β x,c) + r β x,c) ) < d x 4.59) d rβ x,c) ) < d x egyenlőtlenségek, akkor a skalárgörbületben szereplő β,k függvény m-monoton. 4.6. Tétel. Az előző tételben szereplő 4. feltétel teljesül. Bizonyítás. A 4. feltétel amivel ekvivalens az d rβ x,c) ) <, 4.6) d x φ c + x) φ c + x) > φ c x) φ c x) 4.6)

54 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA egyenlőtlenség, ahol a φ függvényt a 4.54) egyenlet definiálja. Ezért elég a ) φ u) > 4.6) φ u) feltétel teljesülését, vagy a vele ekvivalens egyenlőtlenséget igazolni. ρu) = φ u)φ u) φ u)) > 4.63) Megmutatjuk, hogy a ρ u) = u) 4 log 4 u ρu) függvény pozitív. A ρ ) = ρ ) ) = ρ ) u) = ρ 3) ) = 4.64) egyenlőségek miatt elég igazolni, hogy a τu) = u 4 ρ 3) u) függvény, ami explicit alakban τu) = 3u 3 6u + u 6) log u u)u 3 9u 3u + ) log u+ 4.65) + u) 6u + 5u + ), negatív < u < esetén, és pozitív, ha < u. A 4.66) τ) = τ ) ) = ρ ) ) = τ 3) ) = τ 4) ) = 4.67) egyenlőségek miatt elég igazolni, hogy a függvény, mely explicit alakban τ u) = u 4 τ 4) u) 4.68) τ u) = 96u 4 7u 3 +48u +8u+44) log u 8 u)6u 3 +8u +8u+3), 4.69) monoton növő, vagy bebizonyítani a vele ekvivalens τ ) u) = 384u 3 6u +96u+8) log u+ 8 u 56u4 8u 3 +6u +3u+8) > 4.7) egyenlőtlenséget. Pozitív u esetén a log u tag együtthatója pozitív. A fenti egyenlőtlenséget elosztva log u együtthatójával kapjuk a du) = log u + 6 3 + 8 u + 3 484u 84u + 655 48u 3 7u + u + > 4.7) egyenőtlenséget, melyet három lépésben igazolunk.

4.. A SKALÁRGÖRBÜLET MONOTONITÁSÁRÓL 55. Ha egyenlőtlenség miatt elég megmutatni, hogy a d u) = u 48u 3 7u + u + ) d u) 4.7) kifejezés negatív, ha < u <. Mivel d ) <, ezért a d < egyenőtlenséget kell csak igazolni. Ez azonban következik a d u) = u 5 59 68u) u 3745u + 54u 3 + 5) 4.73) 56u 94u + 43) egyenletből, ahol d három negatív függvény összegeként áll elő.. Ha c) c/) / cu) = 3 484u 84u + 655 48u 3 7u + u + 4.74) u /) + c/), ha 4.76) adódik. Ennek az egyenőtlenségnek a bal oldalát tovább csökkentjük, és igazoljuk a c u) = log u 45 + 8 u + 3u > ha miatt teljesül a fenti egyenlőtlenség. 3. Ha < u, akkor, mivel a 4.7) képlettel definiált d függvényre d) > teljesül, ezért elég a cu) = u 48u 3 7u + u + ) d u) 4.78) függvény pozitivitását igazolni az 4.79) egyenlőtlenségek miatt elég csak c 5) u) > igazolása az < u esetben. Ez azonban következik a egyenlőségből. c 5) u) = 5868u 34u + 89388 4.8)

56 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA A 4.5. tétel.,. és 3. feltételei remélhetőleg hasonló módon igazolhatóak. A végezett numerikus szimulációk megerősítik teljesülésüket: A [, 3 ] paramétertérből egyenletesen választva 4 számú c értéket, és minden c érték esetén egyenletesen választva 4 számú x-et a [,c] intervallumból az említett három feltétel teljesül. A skalárgörbület 4.) képletében szereplő γ kl tagot a 4.89), 4.9) egyenlőségek segítségével határozhatjuk meg γ kl a,b) = λ l 3wã, λ k ) + 3w b, λ k ) + qã, λ k ) + q b, λ k )+ 4.8) ahol ã = a λ l, b = b λ l, λ k = λ k λ l wx,c) = + rã, λ k ) + rã, λ k ) + dã, λ k ) + dã, λ ) k ), és c ) log c ), x qx,c) = φ c)φ c rx,c) = c ) ) x φ φ, x x dx,c) = φ c)φ x). log c log x log c + c x c ) log c log x + c ), 4.8) x A φ és φ függvényt a 4.54) egyenlet definiálta.) A γ kl függvény m-monotonitása azt jelenti, hogy x γ kl a x,b + x) monoton növő függvénye x-nek az x [ ], a b esetben. Ez következik a d d x 3wx,c) + qx,c) + dx,c) + rx,c) ) < 4.83) egyenlőtlenségből. Ezt nehéz az eddigiekből igazolni, de az egyenlőtlenség bal oldala felbontható két, látszólag negatív tag összegére. 4.7. Tétel. Ha minden pozitív c paraméter esetén minden pozitív x-re a : d ) d wx,c)+dx,c) < : dx d x wx,c)+qx,c)+rx,c) ) < 4.84) feltételek teljesülnek, akkor a 4.) skalárgörbületben szereplő γ k,l függvény m- monoton.

4.. A SKALÁRGÖRBÜLET MONOTONITÁSÁRÓL 57 Az előbb említett két feltételt a numerikus számítások megerősítik a [, 7 ] paramétertéren. Érdemes megjegyezni, hogy a skalárgörbületben szereplő tagok 4.) egyenletben szereplő csoportosítása nem az egyetlen lehetőség, azonban a numerikus és az elméleti vizsgálatok ezt helyezik előtérbe. Az 4.) egyenletben szereplő tagokról többet is állíthatunk az itt leírtakon kívül. Ezen állítások bizonyítását mellőzzük, mert azok az előbbiekhez hasonló, de komplikáltabb számolásokat igényelnek. A fentebb leírt bizonyítások egyszerűsített, rövidített formái az alábbi állítások bizonyításának.). αa,b): Adott a > b > paraméterek esetén az x ϕa x,a x,b + x) + ϕb + x,b + x,a x), 4.85) x ϕa x,b + x,a x) + ϕb + x,a x,b + x) függvények szigorúan monotonak az x [ ], a b esetben. Ebből következik a 4.3. tétel.). β,k a,b): Adott > a > b > és > λ k > paraméterek esetén az x ϕa x,a x,λ k ) + ϕb + x,b + x,λ k ), 4.86) x ϕa x,a x,λ k ) + ϕb + x,b + x,λ k )+ + ϕa x,λ k,a x) + ϕb + x,λ k,b + x) függvények szigorúan monoton növőek, azonban az x ϕa x,λ k,a x) + ϕb + x,λ k,b + x) 4.87) függvény nem monoton növő az x [ ], a b tartományon. 3. β,k a,b): Adott > a > b > és > λ k > paraméterek esetén az x ϕa x,b + x,λ k ) + ϕb + x,a x,λ k ), 4.88) x ϕa x,b + x,λ k ) + ϕb + x,a x,λ k )+ + ϕa x,λ k,b + x) + ϕb + x,λ k,a x)

58 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA függvényekről a numerikus szimuláció azt mutatja, hogy szigorúan monoton növők, azonban az x ϕa x,λ k,b + x) + ϕb + x,λ k,a x) 4.89) függvény nem monoton növő az x [ ], a b esetben. 4. γ k,l a,b): Adott > a > b > és > λ k,λ l > paraméterek esetén az x ϕλ k,a x,λ l ) + ϕλ k,b + x,λ l ) 4.9) függvényről a numerikus szimuláció azt mutatja, hogy szigorúan monoton növő, azonban az x ϕa x,λ k,λ l ) + ϕb + x,λ k,λ l ) 4.9) függvény nem monoton növő az x [ ], a b esetben. Ha a 4.9) képlettel értelmezett ϕ függvénynek az alábbi módon szimmetrizált változatát tekintjük γ kla,b) =ϕa,λ k,λ l ) + ϕb,λ k,λ l ) + ϕλ k,a,λ l )+ + ϕλ k,b,λ l ) + ϕλ l,λ k,a) + ϕλ l,λ k,b), 4.9) akkor az x γk,l a x,b + x) függvény numerikusan) szigorúan monoton növőnek tűnik, azonban ha a λ k és λ l sajátértékek hányadosa elég nagy 5), akkor már az x γk,l a x,b + x) függvény nem lesz monoton növő. 4..4. Skalárgörbület monotonitása a valós esetben A valós sűrűségi mátrixok a komplex sűrűségi mátrixok terének részsokaságát alkotják. Egy részsokaság görbületi tenzora nagyon különbözhet az eredeti sokaság görbületi tenzorától. Például míg a háromdimenziós euklideszi tér görbületi tenzora azonosan, addig a benne lévő kétdimenziós gömbfelszín görbületi tenzora már tartalmaz nullától különböző elemeket.) Petz sejtését át lehet fogalmazni a valós sűrűségi mátrixok terére. Az előzőek alapján érdemes megvizsgálni, hogy a két sejtés a valós ill. a komplex esetre vonatkozó) között van-e valamilyen kapcsolat. 4.8. Tétel. Ha Petz sejtése igaz a komplex sűrűségi mátrixok terén, akkor a valós sűrűségi mátrixok terén is igaz.

4.. A SKALÁRGÖRBÜLET MONOTONITÁSÁRÓL 59 Bizonyítás. Az 4.93), 4.94) egyenletek alapján Scal R D) = 4 ScalD) + 4 vλ k,λ l ), 4.93) ahol a v függvényt a 4.9) képlet definiálta. A valós esetre vonatkozó skalárgörbület m-monotonitása az alábbi két állításból következik. a. Minden λ k > λ l sajátértékre az x vλ k x,λ l +x)+vλ l +x,λ k x) függvény monoton növő x [, λ k λ l ] esetén. b. Minden λ k > λ l és λ j sajátértékre az x vλ k x,λ j )+vλ l +x,λ j )+vλ j,λ k x) + vλ j,λ l + x) függvény monoton növő x [, λ k λ l ] esetén. Az első állításban szereplő függvény a 4.89), 4.9) egyenletek alapján vλ k x,λ l +x)+vλ l +x,λ k x)= [ + cx))ζcx)) + + ))] λ k + λ l cx) ζ, cx) 4.94) ahol k,l= cx) = λ k x λ l + x, ζc) = 3 c log c c + cc ) log c + c + c ). 4.95) Mivel c csökkenő függvény, ezért elég igazolni, hogy a dc) = + c)ζc) + + )) c ζ c függvény csökkenő a c > esetben. Ez következik a kifejezés negativitásából. Mivel ezért elég megmutatni, hogy τc) = A lim c τc) = egyenlőség miatt elég a 3cc 4 + 3c + ) 4.96) d c) = c ) 3 log 3 c d c) 4.97) lim d c) = lim d c c c) =, 4.98) c)6c 4 + 8c + 6) d c) < ha < c. 4.99) c) τ c) =6c 6 + c 5 + 59c 4 + 36c 3 + 59c + c + 6) log c + 5 c )c 4 + 6c 3 + 6c + ) 4.)

6 4. AZ ÁLLAPOTTÉR GEOMETRIÁJA kifejezésről megmutatni, hogy pozitív. A log c tag együtthatója szigorúan pozitív, ezért elég a τ c) = log c + 5 c ) c4 + 6c 3 + 6c + < ha c > 4.) 59c + c + 6 egyenlőtlenséget igazolni. Mivel lim τ c) =, ezért elég megmutatni, hogy a τ c függvény pozitív. Ez pedig következik a τ c) = a + a c + a c + + a c c6c 6 + c 5 + 59c 4 + 36c 3 + 59c + c + 6) 4.) egyenletből, ahol a,...,a szigorúan pozitív számok. Ezzel igazoltuk az első állítást. A második állításban szereplő függvény a 4.89), 4.9) egyenletek alapján a vλ k x,λ j )+vλ l + x,λ j ) + vλ j,λ k x) + vλ j,λ l + x) = = λ j ζ λk x) + ζ λ l + x) + ρ λ k x) + ρ λ l + x) 4.3) alakba írható, ahol λ k = λ k λ j, λ l = λ l λ j, x = x λ j, a ζ függvényt a 4.95) képlet definiálja és 3 ρc) = log c c + c ) log c + + c c). 4.4) A 4.4. tétel bizonyításában használt elv alapján elég igazolni, hogy a ζ +ρ függvény konkáv minden pozitív c számra. Tekintsük az alábbi segédfüggvényt dc) = c )4 log 4 c c + 5 ζ c) + ρ c)). 4.5) A második állítás igazolásához elég megmutatni, hogy dc) < minden c > esetén. A lim dc) = lim c c d c) = lim d ) c) = = lim d 6) c) = 4.6) c c egyenlőségek miatt ez ekvivalens a τc) = d 6) c)=44 log 3 c 4 c 5 3c6 c 5 98c 4 + 7c 3 + 8c + 54c + 9) log c + 8 c 5 c)35c5 + 36c 4 9c 3 + c + 957c + 765) log c + 4 c 5 c) 49c 4 + 3c 3 744c 87c 75) < ha < c 4.7)