EÖTVÖS LÓRÁND TUDOMÁNYEGYETEM Bebes András Hatékony portfóliók különböző kockázati mértékek szerint Témavezető: Mádi-Nagy Gergely BSc szakdolgozat Természettudományi Kar Matematika BSc szakon 2011. június 2.
EÖTVÖS LÓRÁND TUDOMÁNYEGYETEM Kivonat Természettudományi Kar Matematika BSc A pénzügyi világban rendkívül nagy jelentőséggel bír, hogy pénzünket milyen formában, hol és hogyan fektessük be. A befektetések kialakításának első és legfontosabb szempontja a befektető pénzügyi viselkedése, hogy mekkora kockázatot hajlandó vállalni, illetve, hogy mekkora hozamot vár el az adott befektetéstől. A szakdolgozat a portfólióképzés, gyakorlati alkalmazásait mutatja be néhány alapvető modell segítségével. A portfólió elmélet alapja a portfólió, ami többféle értékpapír egy kosarát jelenti. Az egyes értékpapírok tetszőleges súllyal szerepelhetnek a kosárban, célunk, hogy a befektető igényeinek megfelelően optimális legyen az adott portfólió. Tehát, adott kockázat mellett a várható hozam maximális, illetve adott hozam mellett a kockázat minimális legyen. A vállalt kockázat, illetve az elvárt hozam pedig a befektető magatartásától függően változik. Az első fejezetben bemutatjuk a portfólió alapvető tulajdonságait. Megmutatjuk, hogy miként csökkentheti a diverzifikáció, tehát a portfólióban szereplő eszközök csökkentésére irányuló magatartás, a kockázatot. A portfólió elmélet témakörével először Harry Markowitz foglalkozott 1952-ben megjelent cikkében. A cikk a következő feltevésen alapul: egy befektető minél magasabb várható hozamú, de minél alacsonyabb hozamszórású portfólióra vágyik. Ezután definiáljuk a Markowitz-féle hatékony portfóliókat. A második fejezetben definiálunk néhány a kockázat mérésére alkalmas mértéket. Majd ezek segítségével felírunk néhány alapvető modellt, amely a hatékony portfólió kialakítására alkalmas. A harmadik fejezetben röviden bemutatjuk a szimplex algoritmus működését, amely a lineáris programozási feladat megoldására alkalmas, valamint ennek a módosított változatát, amely a programozásban optimálisabb a tárhelyigény csökkentése miatt. Az általánosított redukált gradiens módszer a nemlineáris programozási feladatokra ad megoldási algoritmust. A fejezet végén a korábban felírt modelleket olyan alakra hozzuk, hogy tudjuk rájuk alkalmazni a különféle algoritmusokat. Az utolsó fejezet témája egy konkrét modellen bemutatni a korábban leírt módszereket. A korábbi évek adatai rendelkezésünkre állnak, így azokat rendszerezve képesek vagyunk kialakítani saját magunk számára egy olyan adatbázist, amelyet aztán felhasználva megoldhatjuk a portfólió problémát.
Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani mindazoknak, akik segítették munkámat. Különösképpen témavezetőmnek, Mádi-Nagy Gergelynek, akinek ideje nem volt drága, hogy foglalkozzon velem, s kérdéseimmel bármikor nyugodtan fordulhattam hozzá. Szeretném még megköszönni Biszak Elődnek a segítséget, amit a dolgozat megírása közben nyújtott, valamint Druszámnak, illetve barátaimnak, hogy végig mellettem álltak. Ezenfelül szeretnék köszönetet mondani családomnak, különösképpen Tamásovics Ritának, aki mindvégig mellettem állt. ii
Tartalomjegyzék Kivonat i Köszönetnyilvánítás Ábrák jegyzéke Táblázatok jegyzéke ii v vi 1. Hatékony portfólió 1 1.1. A portfólió fogalma, alapvető tulajdonságai................. 1 1.1.1. Diverzifikáció.............................. 2 1.2. Hatékony portfólió............................... 4 2. Portfólió probléma 5 2.1. A kockázat mértékei.............................. 5 2.1.1. Portfólió kockázatának számítása................... 6 2.2. A probléma modellezése............................ 8 2.2.1. Az átlag-variancia probléma...................... 9 2.2.2. Az átlagos abszolút-eltérés modell.................. 10 2.2.3. Az átlag negatív-eltérés probléma................... 10 3. Lineáris, illetve kvadratikus programozási feladattá alakítás 12 3.1. Megoldási módszerek.............................. 12 3.1.1. Szimplex algoritmus.......................... 13 3.1.2. Módosított szimplex algoritmus.................... 13 3.1.3. Redukált gradiens módszer...................... 15 3.2. A modellek megfelelő alakra hozása...................... 17 3.2.1. Az átlag abszolút-eltérés modell, mint lineáris programozási feladat 17 3.2.2. Az átlag negatív-eltérés modell, mint lineáris programozási feladat 18 4. A hatékony portfólió kialakítása 20 4.1. Az adatok.................................... 20 4.1.1. Részvények............................... 20 4.1.2. Elvárt hozam.............................. 22 4.2. A probléma megoldása............................. 23 4.2.1. Az átlag-variancia modell megoldása................. 23 4.2.2. Az átlag abszolút-eltérés modell megoldása............. 27 4.2.3. Az átlag negatív-eltérés modell megoldása.............. 31 iii
Contents iv 4.3. Összegzés.................................... 33 A. Adatgyűjtő program 34 Irodalomjegyzék 35
Ábrák jegyzéke 1.1. A kockázat alakulása a diverzifikáció hatására................ 3 4.1. Az átlag-variancia modell kezdeti állapota.................. 23 4.2. Az átlag-variancia probléma megoldása E min mellett............ 24 4.3. Az átlag-variancia probléma megoldása Eátlag mellett............ 25 4.4. Az átlag-variancia probléma megoldása E max mellett............ 26 4.5. Az átlag abszolút-eltérés modell (alapfeladat)................ 27 4.6. Az átlag abszolút-eltérés modell megoldása (E min mellett)......... 28 4.7. Az átlag abszolút-eltérés modell megoldása (Eátlag mellett)........ 29 4.8. Az átlag abszolút-eltérés modell megoldása (E max mellett)......... 30 A.1. tozsde.pl implementációja........................... 34 v
Táblázatok jegyzéke 1.1. Diverzifikáció hatása.............................. 2 3.1. Kezdeti szimplex tábla............................. 14 4.1. A BÉT-en 10 éve jelen lévő részvények várható hozama.......... 22 4.2. Elvárt hozamok a dolgozatban........................ 22 4.3. Részvények eloszlása a portfólióban E min mellett (variancia probl.).... 25 4.4. Részvények eloszlása a portfólióban Eátlag mellett (variancia probl.)... 26 4.5. Részvények eloszlása a portfólióban E max mellett (variancia probl.).... 27 4.6. Részvények eloszlása a portfólióban E min mellett (abszolút-eltérés).... 28 4.7. Részvények eloszlása a portfólióban Eátlag mellett (abszolút-eltérés).... 29 4.8. Részvények eloszlása a portfólióban E max mellett (abszolút-eltérés).... 29 4.9. Összesített táblázat (abszolút-eltérés).................... 31 4.10. Összesített táblázat (negatív-eltérés)..................... 33 4.11. Eredmények összesítése............................ 33 vi
1. fejezet Hatékony portfólió A fejezethez szükséges adatokat, illetve definíciókat a [1] könyv felhasználásával gyűjtöttem össze. 1.1. A portfólió fogalma, alapvető tulajdonságai 1. Definíció. (Portfólió) Pénzügyben a portfólió többféle befektetési lehetőség egy csoportját jelenti, amelyet egy intézmény vagy egyének birtokolhatnak. Az egyik legfontosabb szempont a különböző értékpapírok összeválogatásakor a múltbéli adatok felhasználása. Az értékpapír egy adott időintervallum alatt megfigyelhető viselkedése jó eséllyel mutatja, hogy az értékpapír hogyan fog viselkedni a jövőben. Persze ez az elvárt viselkedés egyáltalán nem biztos, hiszen nem tudhatjuk, hogy a befektetők magatartása nem változott-e olyan markánsan, hogy a múltbéli adatok mutatta várható hozamok alakulása relevánsan megváltozik. Ez ugyan mindig hordoz magában kisebbnagyobb kockázatot, ám egy adott eszköznek a múltban megfigyelhető mozgása mégis segítségünkre lehet. Az elmúlt évek különböző eszközeinek mozgása pedig több helyen is dokumentálva van, így több lehetőségünk is akad ezek összegyűjtésére, elemzésére. 2. Definíció. (Hozam) Pénz- vagy tőkepiacon alkalmazott befektetések eredményeként elért tőkenövekmény. Értékpapír által biztosított tényleges jövedelem, amelyet a névleges kamat és árfolyamnyereség, ill. a papír megszerzéskori piaci árfolyamának aránya határoz meg. 3. Definíció. (Reálhozam) Megmutatja, hogy adott időszak alatt ténylegesen mennyit nőtt befektetésünk értéke. A mindenkori nominális kamatlábak értékéből az aktuális inflációs értéket levonva kapjuk meg az adott időszakra érvényes reálhozamot. 1
1. fejezet Hatékony portfólió 2 4. Definíció. (Várható hozam) A lehetséges hozamok valószínűségekkel súlyozott átlaga. Jelölje: E. Egy portfólió összeállításakor többfajta befektetési eszköz közül is választhatunk, ám a dolgozat csak a különböző értékpapírokra koncentrál. Ezek közül az alábbiakban csak a következőkkel foglalkozunk: kincstárjegy, államkötvény, vállalati kötvény, nagyvállalatok részvényei, illetve kisvállalatok részvényei. A különböző fajta értékpapírok mind különböző kockázati szinteket képviselnek. A kockázat növelésével a várható hozam is növekszik. Míg a kincstárjegy teljesítménye éppen csak meghaladja az infláció értékét, addig a kisvállalati részvények megtérülési rátája jócskán felette teljesít. 1.1.1. Diverzifikáció 5. Definíció. (Diverzifikáció) A diverzifikáció egy befektetői magatartás, amely a portfólió kockázatának csökkentésére irányul, mégpedig a portfólióban szereplő értékpapírok számának növelésével. Fontos kérdés azonban, hogy miért csökkenti a diverzifikáció a portfólió kockázatát. A válasz pedig, hogy a diverzifikáció csökkenti a változékonyságot, tehát a hozamingadozást. Valójában már kisfokú diverzifikációval jelentős csökkenést lehet elérni. Hatása azért ilyen jelentős, mert a különböző papírok árfolyamai nem mozognak együtt, vagyis nem korrelálnak. Figyeljük meg a diverzifikáció hatását a következő egyszerűbb példán. gyárat, az egyik esőkabátot, míg a másik napernyőt gyárt. Vegyünk két A kereslet nyilvánvalóan időjárásfüggő, így most feltesszük, hogy egy adott szezonban kétféle eset lehetséges, azonos valószínűséggel. Vagy esős az idő a szezonban, vagy napos. A következő táblázat mutatja a megfelelő részvény hozamát, 1 dollárnyi részvény vásárlása esetén: esőkabát gyár napernyő gyár diverzifikáció (50%/50%) esős (50%) 0,5 0,1 0,3 napos (50%) 0,1 0,5 0,3 E(r) 0,3 0,3 0,3 σ(r) 0,2 0,2 0 1.1. táblázat. Diverzifikáció hatása Az első két sor jelöli a hozamunkat, amennyiben esős, illetve napos időnk volt a szezonban. A harmadik sorban kiszámoltuk, hogy megfelelő arányú befektetés mellett milyen várható hozamra számíthatunk, míg az utolsó sorban a befektetések szórását számoltuk ki. Az oszlopok jelzik, hogy milyen arányban fektetjük be a pénzünket. Az első két oszlopban 100%-ban a pénzünket vagy az esőkabát gyárba, vagy a napernyő gyárba
1. fejezet Hatékony portfólió 3 fektetjük, a harmadik oszlop jelzi, hogy mi történik, ha befektetésünket megosztjuk, tehát diverzifikáljuk, a különböző részvények között. Könnyen leolvasható, hogy míg a várható hozam mindenhol ugyanannyi, addig a diverzifikált portfólióban a szórás 0, tehát nincs kockázata a hozamnak. Természetesen a fent felvázolt példában a két részvény korrelációja teljesen ellentétes, így lehetséges, hogy azonos megosztás mellett nem csökken a várható hozam, míg a kockázat eltűnik. A valóságban a különféle értékpapírok egymáshoz való viszonya ennél lényegesen árnyaltabb. A kockázatcsökkenés azonban nem korlátlan. Diverzifikációval a portfólió hozamának szórása körülbelül a felére csökkenthető, ez a javulás azonban már viszonylag csekély számú részvénnyel, 15 20 a portfólióban szereplő papírral elérhető. 1.1. ábra. A kockázat alakulása a diverzifikáció hatására A diverzifikációval csökkenthető kockázatot egyedi kockázatnak nevezzük. Ez a fajta kockázat az egyedi vállalatok közvetlen kockázatát jelenti, tehát a piac egészére vonatkozó kockázati tényező különbözik ettől. Ezt a piac egésze által generált kockázatot azonban nem lehet diverzifikációval csökkenteni. Piaci kockázatnak hívjuk azt a kockázatot, amelyre a diverzifikáció nincs hatással. Jól diverzifikált portfóliónak azt nevezzük, amelyre csak a piaci kockázat hat. Tehát, ahol az egyedi kockázatot kiküszöböltük. Így egy jól diverzifikált portfólióra valójában csak a piac változása van hatással, tehát csak a piaci fellendülés illetve hanyatlás jelent kockázatot.
1. fejezet Hatékony portfólió 4 1.2. Hatékony portfólió Ahogy azt korábban megállapítottuk a részvények különböző arányú keverésével, s a diverzifikációval az elérhető kockázatok és hozamok lényegesen szélesebb választéka jöhet szóba. De mi a cél? A célunk, hogy úgynevezett hatékony portfóliót hozzunk létre. Hatékonynak egy portfóliót akkor nevezünk, ha teljesülnek rá a következő tulajdonságok: 1. nem állítható elő a portfólióénál nem kisebb várható hozamú, de kisebb kockázatú portfólió, 2. nem állítható elő a portfólióénál nem nagyobb kockázatú, de nagyobb várható hozamú portfólió. Jól látható, hogy a problémával csak akkor érdemes foglalkozni, ha az értékpapírok között megtalálható olyan is, amelynek várható hozama előre véletlen. Hiszen, ha minden értékpapír hozama egyértelmű lenne, akkor csak azokat válogatnánk a portfóliónkba, amelyek hozama a legmagasabb. A problémával először Harry Markowitz foglalkozott. Az ezzel kapcsolatos első cikket 1952-ben publikálta, majd 1959-ben bővebben kidolgozva Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investment címen könyv formájában jelentetett meg. A mű azóta is a témakör alapjául szolgál. Könnyen látható, hogy attól függően, mekkora kockázatot vállal vagy mekkora hozamot vár el a befektető, több hatékony portfólió is képezhető, e szempontok figyelembe vételével. Ezen portfóliók által alkotott halmazt hatékony határgörbének nevezzük.
2. fejezet Portfólió probléma Az előző fejezetben felvázolt probléma megoldására több alkalmas modell is született. Az alábbiakban bevezetjük a kockázat mértékeit, majd bemutatunk néhány, a hatékony portfólió kialakítására alkalmas modellt. A fejezetben definiált kockázati mértékeket, illetve a modellek bemutatásához szükséges információk összegyűjtéséhez a [1] iletve [2] forrásokat használtam. 2.1. A kockázat mértékei 6. Definíció. (Variancia) A hozam varianciája a várható piaci hozamtól való eltérés négyzetének várható értéke. Képlete: V ar( r m ) = E( r m r m ) 2, ahol r m az aktuális piaci hozam, r m = E[ r m ] pedig a várható piaci hozam. Jelölése: σ 2 7. Definíció. (Szórás) A szórás a variancia négyzetgyöke. Jelölése: σ A piaci bizonytalanság általánosan használt mértékei tehát a szórás és a variancia. Azonban a különféle modellek megértéséhez még szükség van néhány további, a kockázat mérésére használható mérték bevezetésére. 8. Definíció. (Benchmark) A pénzügy területén a benchmark (más néven referenciaindex) egy viszonyításai alap, egy küszöbszám, melynek segítségével összehasonlíthatóvá válnak az eltérő pénzpiaci befektetések adatai. A negatív-eltérés fogalmát a múltbeli hozam statisztikák segítségével vezetjük be. Legyen r ti az i-edik értékpapír hozama a t-edik megfigyelési periódusban, ahol i = 1,..., n 5
2. fejezet Portfólió probléma 6 valamint t = 1,..., T. Legyen bm t a benchmark hozam a t-edik periódusban, t = 1,..., T. Előfordulhat, hogy bm t = c konstans t-re. Bármely x portfólió vektor és E esetén: 9. Definíció. Az átlaghoz viszonyított negatív-eltérés: S E (x) = 1 T ( T n r ti x i E), t=1 i=1 a benchmarkhoz viszonyított negatív-eltérés: S bm (x) = 1 T ( T n ) r ti x i bm t, t=1 i=1 ahol { z, ha z < 0, z = 0, ha z 0. 10. Definíció. Az átlag abszolút-eltérést a következőképpen definiáljuk: S n (x) = 1 T T n r ti x i E, t=1 ahol a paraméterek megegyeznek a fentiekkel. i=1 2.1.1. Portfólió kockázatának számítása Adott portfólió várható hozamának számítása könnyű, hiszen annak értéke egyszerűen a benne szereplő részvények várható hozamának súlyozott átlaga: Portfólió várható hozama = N x i r i, i=1 valamint N i=1 x i = 1, ahol r i jelöli az i-edik értékpapír várható hozamát, x i pedig az i-edik értékpapír súlyát a portfólióban. A portfólió kockázata azonban korántsem ilyen egyszerű, hiszen amennyiben ott is ezt a becslést vennénk, akkor azt feltételeznénk, hogy a portfólióban szereplő papírok árfolyamai teljesen együtt mozognak. De pont amiatt, hogy a részvények mozgása nem
2. fejezet Portfólió probléma 7 azonos, lehetséges, hogy a diverzifikáció csökkenti a kockázatot. Azonban, hogy pontosan lássuk az összefüggéseket a portfólióban szereplő részvények között így szükséges bevezetni a kovariancia, illetve a korreláció fogalmát. 11. Definíció. (Kovariancia) Az X Y értékpapírok kovarianciája, melyet a cov(x, Y ) jelöl, egyenlő az E((X r X )(Y r Y )) kifejezéssel, ahol r X, r Y az X, Y várható értéke. Ha X, Y függetlenek egymástól, akkor cov(x, Y ) = 0. 12. Definíció. (Korreláció) Két értékpapír korrelációja annak mértéke, hogy az egyik papír megváltozása mennyire mutat összefüggést a másik papír megváltozásával. korreláció magas vagy alacsony attól függően, hogy a két értékpapír közti kapcsolat szoros vagy sem. Azonos irányú megváltozások esetén a papírok pozitívan korrelálnak, míg ellentétes irányú megváltozások esetén negatívan. Egymástól független értékpapírok korrelációja zérus. A korreláció mértéke a korrelációs együttható: ρ := cov(x, Y ) D 2 (X)D 2 (Y ) A Ezek segítségével már képesek vagyunk kiszámolni egy portfólió kockázatát. Egy olyan portfólió esetén, amely N db részvényt tartalmaz, a kiszámoláshoz vegyünk egy mátrixot, ahol minden oszlop egy adott részvényt jelent, tehát a mátrix i-edik oszlopa a portfólióban szereplő i-edik részvény. Ugyanígy a sorok is ugyanezt jelentik. Ekkor az i-edik sor i-edik eleme jelenti az i-edik részvény súlyozott varianciáját (σi 2 ), ahol a súly a portfólióban szereplő részvény arányának négyzete (x 2 i ). Illetve az i-edik sor j-edik eleme (ahol i j) jelenti a két részvény, az előbbiekhez hasonlóan, súlyozott kovarianciáját (x i x j σ ij ). A portfólió varianciájához pedig a mátrix elemeit kell összeadnunk. ( σ 2 Portfólió = N i=1 i=1 ) N x i x j σ ij Könnyen meggondolható, hogy ha N részvénybe fektetünk be úgy, hogy minden részvényből egyenlő arányban veszünk, akkor amennyiben N, akkor a portfólió varianciája az átlagos kovarianciához tart. Tehát, ha az átlagos kovariancia nulla lenne, akkor minden kockázatot ki tudnánk küszöbölni kellően nagy mennyiségű értékpapír tartásával. Azonban a részvényárfolyamok nem egymástól függetlenül mozognak, ami így korlátozza a diverzifikáció lehetőségeit. A jól diverzifikált portfólió kockázata nem tartalmaz specifikus kockázatot, hanem kizárólag piaci kockázatból áll.
2. fejezet Portfólió probléma 8 2.2. A probléma modellezése Hatékony portfóliókból a befektető igényei szerint többféle is előállítható. Feladatunk, hogy adott kockázat mellett maximalizáljuk a várható hozamot, illetve, hogy adott várható hozam mellett minimalizáljuk a kockázatot. Az ilyen portfóliókat hatékony portfólióknak nevezzük. Ezeknek egy halmaza egy görbén ábrázolható, amelyet hatékony határgörbének hívunk. Markowitz modelljében a portfólió kockázatát annak varianciájával mérte. Így a problémára a programozási modellek egy változatát, az ún. kvadratikus programozási feladatot kapta. Az alábbiakban ennek bemutatására teszünk kísérletet. Jelölje a j-edik értékpapír hozamát a ξ j valószínűségi változó, x j pedig a j-edik papírba fektetett pénzmennyiséget, j = 1,..., n. M legyen a rendelkezésünkre álló tőke. Ebből kiszámolhatjuk a portfólió várható hozamát: E(ξ T x) = µ T x, ahol ξ = (ξ 1,..., ξ n ) T µ = (µ 1,..., µ n ) T x = (x 1,..., x n ) T µ i = E(ξ i ), i = 1,..., n. Legyen C a ξ kovariancia mátrixa: C = (c ij ), C = E[(ξ µ)(ξ µ) T ]. Innen a variancia: V ar(ξ T x) = E[(ξ µ) T x] 2 = = E[x T (ξ µ)(ξ µ) T x] = x T Cx A portfólió probléma kvadratikus programozási feladatként a következőként írható fel: min x T Cx n µ j x j pm j=1 n x j = M j=1 0 x j u j, j = 1,..., n (2.1) megszorításokkal, ahol u j, j = 1,..., n előírt felső korlátok, p pedig a befektető által elvárt hozam.
2. fejezet Portfólió probléma 9 A (2.1) feladat gyakorlati alkalmazásához szükséges n(n + 1)/2 kovariancia ismerete. Ezeket a rendelkezésre álló múltbéli adatok segítségével számolhatjuk ki. Azonban, ha pl. n = 500, akkor ez rengeteg időbe telik, s ennyi értékpapír mellett a megoldás is rengeteg időbe telik. A portfólió probléma másik megfogalmazása a következő: n max µ j x j j=1 x T Cx v n x j = M j=1 0 x j u j, j = 1,..., n (2.2) A v paramétert megfelelően változtatva kiszámolhatók a hatékony határgörbe elemei. A probléma felírása parametrikus kvadratikus programozási feladatként: min 1 2 T Cx λ n µ j x j j=1 tekintve 0 x j u j, j = 1,..., n λ [0, ) (2.3) feltételeket, ahol λ egyfajta átváltási paraméter a várható hozam és kockázat között, melyet (megfelelően) változtatva megkaphatjuk a hatékony határgörbe pontjait. 2.2.1. Az átlag-variancia probléma Az átlag-variancia probléma a klasszikus Markowitz-féle modellnek nevezett portfólió keresési feladat, amelyben a kockázatot a portfólió hozamának varianciájával mérjük. Parametrikus kvadratikus programozási feladatként a következőképp írható fel: min V ar = x T Cx tekintve µ T x = E, Ax = b x 0 feltételeket E [E min, E max ] ra, (2.4) ahol az x n-dimenziós vektor koordinátái a portfólióban tartott egyes értékpapírokba fektetett összegek szúlyait, a µ n-dimenziós vektor az értékpapírok hozamának várható
2. fejezet Portfólió probléma 10 értékeit jelöli, az A(n m)-es mátrix illetve a b m-dimenziós vektor pedig a lineáris megszorító feltételeket határozza meg. E jelöli a portfóliótól elvárt hozamot, E max a maximálisan elérhető E-t, míg E min a minimális varianciához tartozó E-t. 2.2.2. Az átlagos abszolút-eltérés modell Az átlagos abszolút eltérés modelljét Konno és Yamakazi vezették be: min S n (x) tekintve, hogy µ T x = E, Ax = b, x 0. feltételeket E [E min, E max ] ra, (2.5) ahol a paraméterek ugyanazt jelentik, mint (2.4)-ben. 2.2.3. Az átlag negatív-eltérés probléma A probléma megközelíthető más szempontból is, ha a befektető csak a várható hozam alulteljesítettsége miatt aggódik. Ilyenkor az átlagtól való negatív eltérést minimalizálhatjuk. Felírható az átlag negatív eltérés probléma két megfelelő változatát: min S E (x) tekintve a µ T x = E, Ax = b x 0 feltételeket E [E min, E max ] ra, (2.6) ahol minden paraméter ugyanazt jelenti, mint (2.4)-ben, E min kivételével, amely most a minimális negatív eltérésű portfólió hozamát jelenti. A másik változata a problémának a következő:
2. fejezet Portfólió probléma 11 min S bm (x) tekintve a µ T x = E, Ax = b x 0 feltételeket E [E min, E max ] ra, (2.7) ahol a paraméterek ugyanazt jelentik, mint az előbb.
3. fejezet Lineáris, illetve kvadratikus programozási feladattá alakítás 3.1. Megoldási módszerek 13. Definíció. (Lineáris programozási feladat) Meghatározandó egy adott lineáris célfüggvény optimuma egy adott lineáris egyenlőtlenségrendszer megoldásainak halmazán és keresünk egy hozzá tartozó optimális megoldást is. (LP) 14. Definíció. (Kvadratikus programozási feladat) Kvadratikus programozási feladatban a feltételek elsőfokúak, a célfüggvényben a változó másodfokon is szerepel. (QP) Az így felírt feladatok megoldásához az Excel Solver-t fogjuk majd használni a következő fejezetben. A Solver a lineáris programozási feladat megoldásához a szimplex algoritmust alkalmazza, míg a kvadratikus programozási feladathoz a általánosított redukált gradiens módszert alkalmazza. A Microsoft Excel 2007 problémamegoldó bővítménye azonban nem képes bonyolultabb modellek megoldására, ugyanis nem tud nagyobb méretű vektorváltozókkal számolni. A probléma elkerülése érdekében a lineáris programozási feladatokat, ahol szükség van a nagyobb vektorváltozóra, a nyílt forráskódú OpenOffice.org program táblázatkezelőjének a Calc-nak Solver bővítményével fogjuk megoldani. A Calc Solver az LP feladatok megoldásához a javított szimplex algoritmust vagy az úgynevezett Elágaztatás és korlátozás módszer (Branch and Bound (BB)) használja. Ez utóbbit azonban csak egészértékű programozási feladatok esetében alkalmazza, ezért a módszerrel külön nem foglalkozunk a szakdolgozatban. 12
3. fejezet Lineáris, illetve kvadratikus programozási feladattá alakítás 13 3.1.1. Szimplex algoritmus A lineáris programozási feladat kanonikus alakja: min cx Ax = b x 0 (3.1) Ilyenkor a szimplex algoritmus a következő lépésekből áll: 1. Ha a tekintett lehetséges kanonikus alakú feladat célfüggvénye nem tartalmaz negatív együtthatót, akkor vége az eljárásnak, a feladat bázismegoldása optimális megoldás. Ellenkező esetben a 2. lépés következik. 2. Vegyük a negatív c s -ek minimumát. Jelölje c j a minimummal megegyező c s -ek közül a legkisebb indexűt. Ha a rj 0(r = 1,..., n), akkor vége az eljárásnak, a célfüggvény alulról nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán. Ellenkező esetben a 3. lépés következik. 3. Ha min {b r /a rj : a rj > 0, 1 r n} = b k1 /a k1 j =... = b ks /a ksj, akkor válasszuk az a ktj(t = 1,..., s) elemek közül a legkisebb sorindexűt generáló elemként, majd hajtsuk végre a következő átalakításokat: r k = 1 a kj r k r i = r i a ij a k j r k (1 i n, i k) z = z c j a kj r k, ahol r i jelöli a kanonikus feladat i. egyenletét, z a célfüggvény egyenletét, r i és z pedig az új feladat i. egyenletét, illetve célfüggvényét. Az így kapott lehetséges kanonikus alakú feladattal folytassuk az eljárást az 1. lépésnél. 3.1.2. Módosított szimplex algoritmus Programozási feladatokhoz azonban nem a fenti algoritmust használják, hanem annak egy módosított változatát. A módosított szimplex lényegesen kevesebb tárhelyet foglal. Az alapötlet azon alapszik, hogy a módosított szimplex táblába nem kerül be minden változó, hanem csak az éppen használt bázisváltozók. Az algoritmus ennek megfelelően a következő lépésekből áll:
3. fejezet Lineáris, illetve kvadratikus programozási feladattá alakítás 14 Előkészítő rész: v = 0. Ahol a kezdő szimplex tábla a következőképp néz ki: b vált. b (v) x 1,..., x n x n+1,..., x n+m x 1. b (0) E Ā x n v = 0 α 0,..., 0 c 3.1. táblázat. Kezdeti szimplex tábla Iterációs rész (v-edik iteráció). 1. Ha c (v) 0, akkor vége az eljárásnak, a v-edik feladat bázismegoldása optimális megoldás. Ellenkező esetben a 2. lépés következik. 2. Vegyük a negatív c (v) s -k minimumát. Jelölje c (v) j a minimummal megegyező együtthatók közül a legkisebb indexűt. Határozzuk meg az x j -hez tartozó, c (v) s a v-edik feladatban szereplő együtthatókat az A (v) j alapján, majd képezzük a mennyiséget. = min { b (v) r a (v) rj : a (v) rj > 0, 1 r n = B 1 v A (0) j } összefüggés Ha ez a minimum nem létezik, akkor vége az eljárásnak, a célfüggvény alulról nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán. Ellenkező esetben a 3. lépés következik. 3. Ha = b(v) k 1 =... = b(v) kw, akkor válasszuk az a (v) a (v) k 1 j a (v) k tj (t = 1,..., w) elemek közül kwj a legkisebb sorindexűt generáló elemként. Képezzük a választott generáló elem és A (v) j felhasználásával a Q (v) mátrixot. Határozzuk meg az aktuális bázisváltozókat, és az illető változóknak megfelelő d v+1 vektort. Számítsuk ki a Bv+1 1 = Q(v)B 1 v vektorokat, és az α (v+1) mátrixot, a c (v+1) = c (0) d v+1 B 1 v+1 A(0), b v+1 = B 1 v+1 b(0) komponense c (v) j a többi pedig 0, továbbá Q (v) : = α (0) + d v+1 B 1 v+1 b(0) konstanst, ahol d k-adik 1 a (v).... 1. 1j /a(v) kj 1/a (v) kj 1... a (v) nj /a(v) kj 1
3. fejezet Lineáris, illetve kvadratikus programozási feladattá alakítás 15 mátrixot jelöli, ahol a feltüntetett elemektől különböző elemek rendre 0-val egyenlők. Ezt követően növeljük 1-gyel v értékét, és folytassuk az eljárást a következő iterációs lépéssel. 3.1.3. Redukált gradiens módszer A módszer a következő probléma megoldására koncentrál: min f(x) tekintve a Ax = b x 0, (3.2) ahol rang(a) = m és f C 2 x = (v, w) partíciót vesszük, ahol v jelöli a bázisvektorokat, w pedig a független változókat. Vesszük továbbá az A = [BC], oly módon, hogy a matematikai program ekvivalens legyen a következővel: min f(v, w) tekintve a Bv + Cw = b (v, w) 0, (3.3) A módszer feltételezi, hogy B nemszinguláris (invertálható), valamint v > 0 (nemdegeneratív feltételezés). Jelölje dw a független változók eltérését, valamint legyen dv = B 1 [Cdw], mégpedig úgy, hogy x + dx = (v + dv, w + dw)-re teljesüljön A[x + dx] = A[x] + A[dx] = b + 0 = b. A módszer lényege, hogy vesz egy irányt a független változóknak, amelyek meghatározzák majd a bázisváltozók irányát. Gyakorlatban tehát dw értéke az f(b 1 [b Cw, w]) gradiense. Ezt az értéket (tekintettel w-re) nevezik redukált gradiensnek: r = grad w f(x) grad v f(x)b 1 C, ha x=(v,w). Ekkor dw = r lezárja az iteráció első részét. A második része az iterációnak, hogy meghatározzuk a méretet. Fontos, hogy ne sérüljön v nem-negativitási feltétele. Az iterációs lépés hatására f értéke csökken.
3. fejezet Lineáris, illetve kvadratikus programozási feladattá alakítás 16 Általánosított redukált gradiens módszer Az általánosított redukált gradiens módszer kiterjeszti a redukált gradiens módszert nemlineáris modellekre, illetve megengedve, hogy a változóink tetszőleges határokon belül mozogjanak: min f(x) tekintve a h(x) = 0 L x U, (3.4) ahol h dimenziója m, x = (v, w) partícionálható, úgy hogy, v dimenziója m v értékei szigorúan a határokon belül van: L v < v < U v (nemdegeneratív felt.) grad v h(x) nemszinguláris (x = (v, w)) Mint ahogy a lineáris esetben is, w v(w), hogy h(v(w), w) = 0 (implicit fv. tétel), amiből következik, hogy dv/dw = grad v h(x) 1 grad w h(x). Az ötlet, hogy dw-t a következőképpen válasszuk meg: grad w (f(x) yh(x)), ahol y = dv/dw Ezután megválasztjuk a méretet, majd egy korrekciós lépés szükséges, hogy visszakapjuk h(x) = 0-t.
3. fejezet Lineáris, illetve kvadratikus programozási feladattá alakítás 17 3.2. A modellek megfelelő alakra hozása Az átlag-variancia problémán (2.4) látszik, hogy ez már eredetileg is kvadratikus alakban van felírva, így itt nincs szükség további átalakításra. Azonban az egyszerűség kedvéért a következő ekvivalens alakban fogjuk használni: min 1 T ( T n r ti x i E t=1 i=1 ) 2 tekintve µ T x = E, Ax = b x 0 feltételeket E [E min, E max ] ra, (3.5) 3.2.1. Az átlag abszolút-eltérés modell, mint lineáris programozási feladat Az átlag abszolút-eltérés modelljét a korábbi fejezetben a következőképpen írtuk fel: min 1 T T n r ti x i E t=1 i=1 tekintve, hogy µ T x = E, Ax = b, x 0. feltételeket E [E min, E max ] ra, (3.6) A feladat átalakítható lineáris programozási feladattá, ha az abszolút értéken belüli értéket felbontjuk két nemnegatív részre. Ekkor szükséges még további korlátozó feltételeket bevezetnünk. z t + illetve zt (t {1,..., T }) változók fogják korlátozni az elvárt hozamtól való negatív illetve pozitív eltéréseket. Így végül az átalakítás után a feladat a következő:
3. fejezet Lineáris, illetve kvadratikus programozási feladattá alakítás 18 T min 1 T z t + t=1 + z t tekintve, hogy µ T x = E, n r ti x i E zt i=1 ( n ) r ti x i E z t + i=1 Ax = b, x, zt, z+ t 0. feltételeket E [E min, E max ] ra, (3.7) ahol a paraméterek ugyanazok, mint korábbiakban. Az így felírt feladat már lineáris programozási feladat. Megoldására a szimplex algoritmust használhatjuk. 3.2.2. Az átlag negatív-eltérés modell, mint lineáris programozási feladat A feladatot az előző fejezetben a következőképpen fogalmaztuk meg: min 1 T ( T n ) r ti x i bm t t=1 i=1 tekintve a µ T x = E, Ax = b x 0 feltételeket E [E min, E max ] ra, (3.8) A következő átalakításokra lesz szükségünk, hogy a feladat megoldható legyen a szimplex módszerrel. Az előző modellhez teljesen hasonlóan az elvárt hozamtól való negatív eltérés kezelésére bevezetjük a zt változót t {1,... T }, a változtatás hatására a következő ekvivalens modellt kapjuk:
3. fejezet Lineáris, illetve kvadratikus programozási feladattá alakítás 19 T min 1 T zt t=1 tekintve, hogy µ T x = E, n r ti x i bm t zt i=1 Ax = b, x, zt 0. feltételeket E [E min, E max ] ra, (3.9) ahol a paraméterek ugyanazok, mint korábbiakban. Így megfogalmazva a feladat már lineáris programozási feladat, tehát alkalmazhatjuk rá a szimplex módszert.
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása Az utolsó fejezetben a felírt problémákat fogjuk megoldani. A megoldáshoz a Budapesti Értéktőzsde bizonyos részvényeit fogjuk felhasználni. A modellek gyakorlati alkalmazásához szükséges adatok megszerzéséhez a [7] forrást használtam, míg az algoritmusok működéséhez a [4]-t vettem útmutatóul, a hiányzó részeket pedig a [5] illetve [6] oldalak segítségével pótoltam. A gyakorlati alkalmazáshoz nagy segítséget nyújtott a [3] oldal. 4.1. Az adatok 4.1.1. Részvények A megoldáshoz, s azok elemzéséhez szükségünk van egy adatbázisra, amelyből várható hozamot tudunk számolni. A Budapesti Értéktőzsde honlapján (http://www.bet.hu) az elmúlt tíz év adatai megtalálhatóak. A feladathoz csak a tőzsdén tíz éve jelen lévő részvényeket fogjuk felhasználni. Hónapos adatokkal fogunk számolni. 15. Definíció. (Likviditás) Egy befektetés azon tulajdonsága, hogy milyen idő- és hozamveszteséggel számolható fel, értékesíthető, milyen könnyen forgatható, mennyire megbízható a másodlagos piaca. Másként a tőke készpénzzé tételi képességét, illetve más megfogalmazás szerint a pénzeszközökkel való megfelelő ellátottságot jelent. Fontos, hogy a részvények, amelyekkel foglalkozunk kellően kis likviditási kockázattal legyenek kereskedhetőek, hiszen szeretnénk elkerülni egy-egy eszköz alacsony piaci forgalmából eredő kockázatot. A szakdolgozatban nem számolunk külön ezzel a kockázattal is, ezért a különösen kis forgalmú részvényeket egyszerűen kihagyjuk a felhasználandó eszközök listájából. 20
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása 21 Mielőtt azonban továbbmennénk fontos felhívni a figyelmet a bet.hu bizonyos hiányosságaira. Az adatok letöltésekor feltűnt, hogy néhány havi jelentés hiányzik, letöltéskor az előző havit kapjuk kézhez. Ezen hibával a szakdolgozat nem foglalkozik, egyszerűen helyben hagytuk, s a havi adatot a letöltött rossz (korábbi) jelentést helyesnek feltételeztük. Így előfordul, hogy a részvények némely havi hozama teljesen megegyezik egymással. Ám a hiba korántsem volt akkora, hogy számottevő problémát okozhasson, a letöltött 110 havi jelentésből, mindössze 2 bizonyult az őt megelőző hónappal megegyezőnek. Adatok összegzése A Budapesti Értéktőzsde (bét) honlapjáról letölthető havi adatok azonban igencsak szerteágazóak, sokrétűek, ráadásul számunkra a probléma lejegyzéséhez, az adathalmaz igencsak csekély részére van szükségünk. Az adatok kiválogatására, a gyorsabb megoldás elérése érdekében egy egyszerűbb programot írtunk Perlben. A nyelv egyik legfontosabb része a reguláris kifejezések széles körű támogatása és alkalmazása, ezáltal kiválóan alkalmas nagyméretű szöveg- vagy adatfájlok egyszerű feldolgozására. Feladatunkat alaposabban meggondolva könnyen látható, hogy a letöltött havi jelentésekben szereplő információ igencsak elenyésző hányadára tartunk csak igényt. Egészen pontosan a Részvénypiaci Adatok munkafüzet Jegyzett A illetve Jegyzett B táblázatainak mindösszesen két oszlopa szükséges: A részvények neveire feltétlen szükségünk van, hiszen ebből tudjuk számon tartani melyik részvényről beszélünk, illetve követni akarjuk azt is, hogy az adott részvény az elmúlt tíz évben mindvégig a tőzsdén volt. A különféle részvények havi hozamára is szükségünk van, hiszen ezekből az adatokból tudunk majd később várható hozamot számolni (szerencsénkre ezt nem kell külön kiszámolnunk, a letöltött fájlban már kiszámolták helyettünk). Mielőtt azonban a programmal foglalkoztunk volna, a számunkra fontos táblázatokat kimentettük egy nagyobb fájlba. A programnak majd ezt adjuk meg inputként, s ezen adatsorokból válogatja majd ki a számunkra releváns információkat. Fontos még itt megjegyezni, hogy az elmúlt években több esetben is előfordult olyan, hogy a tőzsdén jegyzett részvény névváltozáson esett át, aminek okaira most nem térünk ki, ám figyelemmel kísértük ezen változásokat, így emiatt nem maradt ki részvény a felsorolásból. A program (A.1) működése ezek után már nagyon egyszerű, soronként veszi az input fájl adatait, majd ezekből kikeresi a lényeges részeket, s azokat eltárolja a megfelelő dátum alá.
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása 22 Felhasznált részvények Az alábbi táblázatban tehát a tíz éve folyamatosan a béten lévő részvények láthatóak, amelyekkel legalább havi szinten volt kereskedés. A páros sorokban pedig a várható hozam (havi) látható, amit az elmúlt tíz év adataiból számoltunk ki. Név: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMAR µ i (%) : 0,43-0,48 0,87 1,84 0,91 MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA 2,14-0,12 2,18 0,51 5,54-0,10 RICHTER SYNERGON TVK ZWACK BIF ELMU 1,47 0,27 0,56 1,02 1,26 1,55 EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX 1,50 3,06-0,32-2,13 1,06 4.1. táblázat. A BÉT-en 10 éve jelen lévő részvények várható hozama 4.1.2. Elvárt hozam A befektető preferenciáit is szükséges számításba venni, így fontos előre meghatározni milyen elvárt hozamokkal fogunk számolni. A feladatokban összesen három elvárt hozammal fogunk számolni, mégpedig a következőkkel: E min Eátlag E max % 1,00487 1,04673 4,54124 4.2. táblázat. Elvárt hozamok a dolgozatban ahol: E min = {MNB alapkamat} Eátlag = 1 n n i=1 µ i E max = max {µ 1,..., µ n } 1% Jelen esetben a Magyar Nemzeti Bank alapkamata éves szinten 6%, n = 22, hiszen összesen 22 részvénnyel számolunk.
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása 23 4.2. A probléma megoldása Fontos megjegyezni, hogy a feladatokban az Ax = b feltétel egyszerűen csak a részvények összsúlyát határozza meg, tehát 1 T x = 1. Az Excel illetve Openoffice táblázatok feltöltése adatokkal, a változók, valamint a függvények áttekinthető felírásának módjában nagyon sokat segít a következő honlap: http://www.math.bme.hu/ gnagy/excelsolver.htm Ezen felírás részleteibe nem is bocsátkozunk most bele. 4.2.1. Az átlag-variancia modell megoldása A feladat kezdeti állapotában a következőképpen néz ki: 4.1. ábra. Az átlag-variancia modell kezdeti állapota A feladat mérete miatt sajnos csak kiragadott részletek bemutatására van esély. Azonban a jobb áttekinthetőség érdekében a lényeges mezőket különféle színekkel színeztem. Ugyanezen megfontolásból a táblázat valamennyi értékét %-ban adtam meg. A portfólióban szereplő részvények súlyozása (x) a D 3 Y 3 mezőkben található, kezdetben ez az érték 0. A portfólió hozammátrixa a D 10 Y 119 mezőkben lett eltárolva, R T n (T = 110, n = 22), ahol r ti jelöli a i. részvény t. időpontban elért hozamát. A várható
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása 24 hozamvektor (µ) értékeit a D 5 Y 5 mezőkben rögzítettem, az i. részvény értékeit a következő egyenlet adta: µ i = 1 T T r ti. A D 7 D 9 mezőkben a befektető által elvárt hozam, mellette pedig a hozzájuk kapcsolódó korlátozó feltételek E = µ T x. A H9 J9 mezők őrzik a helyes súlyozásra vonatkozó feltételt (1 T x = 1). A 10 A 119 mezőkben az alábbi egyenletek találhatóak: n n t ti x i µ i x i t=1 i=1 i=1 A mellette található mezőkben (B 10 B 119 ) ezen értékek négyzetei találhatóak. Végül pedig a pirossal kiemelt J 7 -es mezőben a minimalizálandó mennyiség a B 10 B 119 mezők összege található. Elsőként a minimális elvárt hozammal fogunk számolni: 1, 00487 = µ T x feltételt vesszük be a feladatba: 4.2. ábra. Az átlag-variancia probléma megoldása E min mellett
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása 25 Az alábbi táblázat a portfólióban szereplő részvények súlyát adja meg, valamint rögzítettem az így kapott varianciát is: Név: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMAR x i (%) : 13,09 0,00 2,77 0,00 0,39 MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA 0,21 0,80 0,00 0,00 0,00 0,00 RICHTER SYNERGON TVK ZWACK BIF ELMU 13,86 0,00 6,87 25,43 8,70 2,57 EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX z 16,80 0,00 5,55 0,00 2,97 0,16179 4.3. táblázat. Részvények eloszlása a portfólióban E min mellett (variancia probl.) Ha az átlagos hozam az amit elszeretnénk érni, akkor a feladat megoldása a következőképpen alakul: 4.3. ábra. Az átlag-variancia probléma megoldása Eátlag mellett
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása 26 Ebben az esetben a részvények eloszlása a portfólióban: (az utolsó helyre ismét a kapott varianciát írtam) Név: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMAR x i (%) : 12,47 0,00 2,58 0,00 0,15 MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA 1,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 RICHTER SYNERGON TVK ZWACK BIF ELMU 13,98 0,00 6,61 24,85 9,09 2,89 EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX z 17,41 0,00 5,23 0,00 3,03 0,16467 4.4. táblázat. Részvények eloszlása a portfólióban Eátlag mellett (variancia probl.) Könnyen látható, hogy az így kapott portfólió varianciája alig kisebb, mint azé, amelyiknél az alapkamattal számoltunk, azonban éves szintre vetítve a két portfólió várható hozama lényegesen eltér. E min -nel számolva az éves kamatunk 6%, azonban, ha elvárjuk, hogy havi szinten megkapjuk a portfólióban szereplő részvények várható értékének átlagát, akkor ez éves szintre vetítve várhatóan 73%, ami lényegesen magasabb. Ha az elvárt hozamnak a korábban felírt E max -ot vesszük, akkor a modell megoldása a következő: 4.4. ábra. Az átlag-variancia probléma megoldása E max mellett
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása 27 Ebben az esetben a portfólióba csak két részvényből válogatunk: Név: PHYLAXIA GENESIS x i (%) : 59,72 40,28 4.5. táblázat. Részvények eloszlása a portfólióban E max mellett (variancia probl.) Ahogy az fenti ábrán is látható a variancia jóval magasabb, mint az előző két esetben. Ennek oka a kevés számú részvényben keresendő, hiszen itt nem érződik olyan erővel a diverzifikáció hatása. Látható továbbá az is, hogy a várható hozam növelésével megnő a kockázat is. 4.2.2. Az átlag abszolút-eltérés modell megoldása Az alapfeladat a következőképpen néz ki: 4.5. ábra. Az átlag abszolút-eltérés modell (alapfeladat) Az újdonság az előző feladathoz képest a z + = (z 1 +,..., z+ 110 ) illetve a z = (z1,..., z 110 ) változók, amelyek elemeinek összege végül generálja a célfüggvényt. Valamint a z + -t és z -t korlátozó feltételek: n r ti x i E z +, t {1,..., T } i=1
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása 28 ( n ) r ti x i E z, t {1,..., T } i=1 A három különböző oszlopban (D, E, F ), a háromféle elvárt hozamra mind felírtuk ezeket az egyenlőtlenségeket. A megoldáskor természetesen majd csak a megfelelő oszlopot vesszük be a korlátozó feltételek közé. A feladatnak megadva az E min feltételt, valamint lefuttatva az algoritmust a következő megoldást láthatjuk: 4.6. ábra. Az átlag abszolút-eltérés modell megoldása (E min mellett) Az így kapott eredményeket táblázatba helyezve: Név: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMAR x i (%) : 10,95 0,00 0,00 0,00 2,69 MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA 0,00 0,00 0,00 0,69 0,00 0,00 RICHTER SYNERGON TVK ZWACK BIF ELMU 13,05 0,00 7,25 32,20 5,42 0,40 EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX z 19,08 0,18 6,06 0,00 2,03 2,96057 4.6. táblázat. Részvények eloszlása a portfólióban E min mellett (abszolút-eltérés)
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása 29 Az Eátlag feltétellel számolva a következő megoldást kapjuk: 4.7. ábra. Az átlag abszolút-eltérés modell megoldása (Eátlag mellett) Az eredményt az alábbi táblázat jegyzi: Név: DANUBIUS ECONET EGIS FOTEX LINAMAR x i (%) : 9,27 0,00 0,00 0,00 0,36 MOL MTELEKOM OTP PANNERGY PHYLAXIA RABA 0,49 0,00 0,00 1,22 0,00 0,00 RICHTER SYNERGON TVK ZWACK BIF ELMU 13,70 0,00 6,46 33,25 6,88 0,00 EMASZ GENESIS KONZUM NUTEX PFLAX z 20,59 0,29 5,39 0,00 2,10 2,98344 4.7. táblázat. Részvények eloszlása a portfólióban Eátlag mellett (abszolút-eltérés) E max -val számolva lényeges eltéréseket tapasztalhatunk. Az eredmény táblázatban: Név: MOL OTP PHYLAXIA GENESIS x i (%) : 24,09 2,82 69,58 3,51 4.8. táblázat. Részvények eloszlása a portfólióban E max mellett (abszolút-eltérés) A feladat kockázata: z = 14, 73037. OpenOffice-ban a megoldás így néz ki:
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása 30 4.8. ábra. Az átlag abszolút-eltérés modell megoldása (E max mellett) Az eredményeket összefoglalva jól látható, hogy a várható hozam növelésével együtt a vállalt kockázat is növekszik. Mint ahogy a variancia probléma esetében is, az első két (Eátlag,E min ) esetben a két portfólió közti különbség igencsak csekély, ennek az oka, hogy az elvárt hozam nagyon közel esik egymáshoz, s szemben az utolsó esettel itt van lehetőségünk mindenféle részvényből válogatni. Ha kiugróan magas (mint nálunk is) az elvárt hozam, akkor abban az esetben a használható részvények száma sokkal kevesebb. Látható az is, hogy a kockázatunk az utolsó esetben sokszorosa az másik két esetben elért kockázatnak, ennek oka, hogy kevés számú részvény került a portfóliónkba, így erre sokkal inkább hat az egyéni kockázat. Az alábbi táblázatban láthatóak az eredmények összesítve, értelemszerűen x (min) i (%) az i. részvény E min elvárt hozam melletti súlyát jelenti az adott portfólióban, az utolsó sorba pedig a megfelelő elvárt hozamhoz tartozó kockázatokat írtuk:
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása 31 Név: x (min) i (%) : x (átlag) i (%) : x (max) i (%) : DANUBIUS 10,95 9,27 0,00 ECONET 0,00 0,00 0,00 EGIS 0,00 0,00 0,00 FOTEX 0,00 0,00 0,00 LINAMAR 2,69 0,36 0,00 MOL 0,00 0,49 24,09 MTELEKOM 0,00 0,00 0,00 OTP 0,00 0,00 2,82 PANNERGY 0,69 1,22 0,00 PHYLAXIA 0,00 0,00 69,58 RABA 0,00 0,00 0,00 RICHTER 13,05 13,70 0,00 SYNERGON 0,00 0,00 0,00 TVK 7,25 6,46 0,00 ZWACK 32,20 33,25 0,00 BIF 5,42 6,88 0,00 ELMU 0,40 0,00 0,00 EMASZ 19,08 20,59 0,00 GENESIS 0,18 0,29 3,51 KONZUM 6,06 5,39 0,00 NUTEX 0,00 0,00 0,00 PFLAX 2,03 2,10 0,00 z 2,96057 2,98344 14,73037 4.9. táblázat. Összesített táblázat (abszolút-eltérés) 4.2.3. Az átlag negatív-eltérés modell megoldása Az átlag negatív-eltérés modelljének implementációja teljesen hasonló, mint az átlag abszolút-eltérés modelljének leírása. A különbség, hogy itt csak zt ( t {1,..., T }), tehát az elvárt hozamtól való negatív eltérést vesszük figyelembe. Egy másik lényeges változás az előbbi modellhez képest, hogy ez esetben a benchmarkhoz viszonyítunk. A szakdolgozatban az egyszerűség kedvéért bm t = c, tehát t-től függetlenül határozzuk meg ezt az értéket. Ez a meghatározott érték egyszerűen annyit jelent, hogy van egy bizonyos elvárt hozam, s büntetjük, ha ez alá megyünk. Jelen esetben legyen ez az érték E min. A modell így a következőképpen néz ki:
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása 32 min T zt t=1 tekintve, hogy µ T x = E, n r ti x i E min zt i=1 Ax = b, x, zt 0. feltételeket E {E min, Eátlag, E max } ra, (4.1) ahol minden ugyanaz, mint a korábbiakban. Elsőként vegyük azt az esetet, ha az elvárt hozam E min. 4.1. Lemma. Ha az átlag negatív-eltérés modellben bm t = E 2S bm (x) = S n (x) Bizonyítás: Tudjuk, hogy µ i = 1 T Fejezzük ki E-t: E = µ T x = Írjuk fel az eltérések összegét: T t=1 r ti n x i µ i = 1 T i=1 t=1 i=1 t=1 i=1 T n r ti x i t=1 i=1 ( T n ) T n r ti x i E = r ti x i T E, amibe E-t helyettesítve 0-t kapunk. Mivel ( T n ) T T r ti x i E = (...) + + (...) t=1 i=1 t=1 t=1 ezért látható, hogy a negatív eltérések összege ugyanannyi, mint a pozitív eltérések összege ( T n 2 r ti x i E) = t=1 i=1 t=1 T n r ti x i E i=1 4.2. Következmény. Ebben az esetben az átlagos negatív-eltérés modellnek nincs semmi előnye az átlagos abszolút-eltérés modelljével szemben. A negatív-eltérés modell megoldása innentől kezdve teljesen hasonlóan megy a korábbiakhoz. Az eredményeket táblázatba rendezve a következőket láthatjuk:
4. fejezet A hatékony portfólió kialakítása 33 Név: x (átlag) i (%) : x (max) i (%) : DANUBIUS 9,75 0,00 ECONET 0,00 0,00 EGIS 0,00 0,00 FOTEX 0,00 0,00 LINAMAR 0,10 0,00 MOL 0,39 27,64 MTELEKOM 0,00 0,00 OTP 0,00 0,20 PANNERGY 0,85 0,00 PHYLAXIA 0,00 69,97 RABA 0,00 0,00 RICHTER 13,44 0,00 SYNERGON 0,00 0,00 TVK 5,65 0,00 ZWACK 33,80 0,00 BIF 6,67 0,00 ELMU 0,00 0,00 EMASZ 21,37 0,00 GENESIS 0,23 2,18 KONZUM 5,61 0,00 NUTEX 0,00 0,00 PFLAX 2,14 0,00 z 1,51385 8,66582 4.10. táblázat. Összesített táblázat (negatív-eltérés) 4.3. Összegzés A különféle modellek különböző befektetői preferenciákat testesítenek meg. Kockázat E min Eátlag E max Variancia 0,16179 0,16467 26,99604 Abszolút-eltérés 2,96057 2,98344 14,73037 Negatív-eltérés - 1,51385 8,66582 4.11. táblázat. Eredmények összesítése Általánosságban leolvasható, hogy az elvárt hozam növelésével nő a vállalt kockázat. A portfólió összeállításakor a legfontosabb szempontok mindig is a befektető elvárásai. Ezek szerint különböztettük meg a háromféle modellt, s ezek lettek végül az eredmények mérőszámai is. Tehát tulajdonképp az elvárt hozamok illetve vállalt kockázatok széles skáláján rengetegféle hatékony portfóliót képezhetünk. Ezen megoldások mind rajta vannak a hatékony határgörbén.
A. függelék Adatgyűjtő program A.1. ábra. tozsde.pl implementációja 34
Irodalomjegyzék [1] Brealey-Myers: Modern vállalati pénzügyek 2005, Panem Könyvkiadó, Budapest [2] http://www.math.bme.hu/ gnagy/diplij.pdf [3] http://www.math.bme.hu/ gnagy/excelsolver.htm [4] http://gazdasz2.atw.hu/opkut jegyzet nemme.pdf [5] http://en.wikipedia.org/ [6] http://google.co.uk/ [7] http://bet.hu/ 35