Dinamika Boole-ha lo zatokon

Komplex Rendszerek Szim. Mo dsz. Labor Dinamika Boole-ha lo zatokon Nagy Da vid Gergely Fizika MSc. III. beadando Fizikai Inte zet Eo tvo s Lora nd Tudoma nyegyetem Budapest 2013

1. Egyszerű Boole-hálózatok A négyféle egydimenziós boole függvények a következők: x x x x x 1 x 0 A lehetséges N,K gráfokat Mathematica segítségével határoztam meg. K=1 miatt egy listával lehet reprezentálni a gráfot, ahol az n-ik elem az n-ik vertex bemenete, pl ha 1 2 és 2 1 akkor graph = [2, 1]. Így az összes lehetséges gráf megkapható ha vesszük az 1, 2,..N-ból előállítható összes N hosszú rendezett párt. tup = Tuples[Range[N], N]; rules = Table[Table[Rule[tup[[i,j]],j],{j,1,N}],// //{i,1,length[tup]}]; graphlist = Graph /@ rules; Ezután kiszűrtem közülük az izomorf gráfokat. DeleteDuplicates[graphlist, IsomorphicGraphQ[#1, #2] &] Így N=3-ra 7, N=4-re pedig 19 gráfot kaptam. 1.1. N=3 K=1 Kauffmann automata 2

Mivel már itt is rengeteg féle lehetséges Kauffmann automata van, így eltekintek az összes trajektória-gráf közlésétől. Ehelyett sok véletlen automata közül a szemre nem izomorfak egy jelentős részét mentettem el. 7 gráf 4 3 függvénykiosztás = 448 féle K=1 N=3 hálózat ha nem számoljuk az izomorfakat (különben 1728 lenne). Magasabb K esetén a lehetséges függvénykiosztások száma 2 2KN. A nem izomorf gráfok számára adott N-nél nem sikerült analitikus képletet konstruálnom és irodalomban sem találtam ilyet. A vonzási tartományokat úgy kerestem meg, hogy minden lehetséges kezdeti feltételből indítva a rendszert megnéztem hogy mi a következő lépés. Az automata determinisztikussága miatt ezzel az összes lehetséges trajektóriát megkaptam. Az összes kezdeti feltételt legeneráló Python kód: [[x,y,z] for x in [0,1] for y in [0,1] for z in [0,1]] Néhány az így kapott trajektória gráfok közül az alábbi ábrákon látható. A számozás a következőképpen működik: az első szám hogy hanyadik nem izomorf gráf az auto- 3

mat topolo gia ja (0-to l kezdo do indexele ssel), a ma sodik sza m a boole fu ggve nyeket indexeli. Teha t pl a 6-111 azt a Kauffmann automata t jelo li ahol a vertexek ha romszo g szeru en vannak o sszeko tve e s minden no dus nega lja a bemenete t. Mivel ı gy is rengeteg ke p van, nem illesztettem be mindet, a marade kot minden feladatna l a lenti linken lehet megtala lni.1 101 001 001 100 111 000 010 111 000 011 110 100 010 011 110 101 1. a bra. 6-010 e s 6-101 000 001 011 110 100 011 000 111 010 010 110 001 101 100 101 111 2. a bra. 5-100 e s 5-010 000 001 100 111 110 101 000 101 010 010 100 011 110 011 001 3. a bra. 5-121 e s 0-100 1 http://davidnagy.web.elte.hu/comphys/kauffman/ 4 111

1.2. N=4 K=1 Kauffmann automata 1100 1000 0000 0010 1011 0111 1001 0011 1101 0110 1010 0001 1110 1111 0101 0100 4. ábra. 0-2333 5

0000 1010 0001 1011 1110 0111 0101 1100 0100 1101 1111 0110 0011 1001 0010 1000 5. a bra. 4-1210 1000 1001 1010 0001 0011 0000 0101 0111 0100 1011 1100 1101 1110 1111 0010 0110 6. a bra. 6-3103 1100 1000 0000 0010 1011 0111 1001 0011 1101 0110 1010 0001 1110 1111 0101 0100 7. a bra. 5-2223 1.3. N=10 K=1 Kauffmann automata Mivel itt kezelhetetlenu l sokfe le topolo gia lehetse ges, ezek ko zu l ve letlenu l va logattam, teha t a sza moza s elso fele a ko vetkezo ke ppen mo dosul: az elso sza m i-ik sza mjegye azt adja meg, hogy melyik no dus az i-ik no dus bemenete. Itt azt lehetett e szrevenni, hogy ve letlenu l bolyongva a lehetse ge Kauffman automata k tere ben, gyakorlatilag mindig igaz hogy a legto bb kezdeti felte tel nem stabil, hanem pa r le pe sen belu l a keve s attraktor egyike be keru l a rendszer. Ilyen eset la thato az ala bbi a bra n. 6

8. ábra. 0 9 5 5 0 9 8 0 3 6-2 2 3 2 0 2 3 2 0 0 Előfordul az is, hogy az attraktor nem egy állapot hanem egy határciklus. 7

9. ábra. 5 1 7 2 8 1 4 0 2 0-1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Az attraktoroknak időnként diszjunkt vonzási tartományai vannak. 8

10. ábra. 6 3 2 4 5 3 6 7 0 6-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9

11. ábra. 4 5 5 4 1 3 5 5 8 8-0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1.4. N=3 K=2 szinkron és azinkron frissítéssel Itt a szinkron frisítéssel megkaptam a könyv ábráján is szereplő trajektóriákat, ez látható a következő ábrán. 10

100 110 011 111 101 000 010 001 12. ábra. N=3 K=2 gráf állapottere Az aszinkron frissítésnél az eddigi módszer nem adja meg az összes lehetséges trajektóriát, mivel ugyanabból az állapotból néha máshová lépünk. Ha minden kezdeti feltételből sokszor futtattam, akkor az alábbi állapotteret kaptam: 110 010 111 011 100 000 101 001 13. ábra. 4 5 5 4 1 3 5 5 8 8-0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 Könnyen észrevehető hogy ez egy kocka gráfja rekurrens összekötésekkel, ami azt jelenti hogy minden állapotból minden állapotba átmegy néha a rendszer. Kivéve az 100 állapotot, ezt soha nem saját maga követi. Általánosságban feltételezhető, hogy 11

mivel hiperkocka csúcsai azok az állapotok amelyeket N hosszú {1,0}-ból álló vektorban egy elemet megváltoztatva kaphatunk, így tetszőleges N-re az N dimenziós hiperkocka lesz az állapottér. Itt talán értelmes lehet az állapotok felett egy valószínűségeloszlást figyelni, ebben az esetben hosszú idő után a rendszer szinte mindig a 000 vagy 111 állapotban volt, illetve nagoyn ritkán a 011-ben. 2. Ferromágneses Ising modell 2.1. Ising modell mint Kauffmann automata A 20*20 2D rács Ising modell felfogható egy N = 400, K = 5 (a saját állapotát is figyelembe kell vennie) Kauffmann automataként ahol az egymással interaktáló spinek felelnek meg az egymással összekötött vertexeknek. A gráf módosításával egyébként tetszőleges dimenziójú és topológiájú Ising modell szimulálható. A konnektivitás a periodikus határfeltételek miatt következő, az első ábrán a jobb áttekinthetőség miatt csak az egyik irány mentén van érvényesítve a határfeltétel, míg a másodikon a teljes szomszédság látható: 12

A vertexekhez a következő boole-függvényt rendeljük a T=0 esetben, mivel ilyenkor csak kisebb energiájú állapotok felé lépünk (a kezdeti állapot hot start esetén persze nem nulla hőmérsékletű): f(v 0, v 1, v 2, v 3, v 4 ) = { 1 E < 0 0 egyébként ami a következőképpen fejezhetünk ki a szomszédos spinek állapotaival f(v 0, v 1, v 2, v 3, v 4 ) = { 1 több mint 2 up szomszéd = 4 n=1 v i > 2 0 egyébként A következő ábrán az látható hogy néhány spin és spinszomszédság állapot (bal oldali oszlop) esetén mik lesznek a következő állapotok (jobb oldali oszlop). 14. ábra. Néhány átmeneti szabály a kauffmann automatában (A nódusokon értelmezett boole-függvény igazságtáblazata kapható meg ezekből). A szabályt egy 20*20-as rácson futtatva a véletlen kezdeti feltételből (bal oldali ábra) viszonylag kevés lépés után a jobb oldali állapotba jutunk, ahonnan nem változik tovább, befagy a rendszer. 13

15. ábra. Kezdeti és végső befagyott állapot. A mágnesezettség nem tud eljutni a legalacsonyabb energiájú állapotokba, itt valószínűleg arról van szó hogy egy lokális minimum közelebb van a kezdeti állapothoz mint az abszolút energiaminimum, és mivel az időfejlődés olyan hogy az energiafelületen soha nem lép felfelé a rendszer, ezért be fog ragadni a legközelebbi minimumba bármilyen sekély is legyen az. Ez azt jelenti hogy a T=0-nak megfelelő állapotot gyakorlatilag csak akkor tudjuk megkapni, ha eleve onnan indítjuk a rendszert. 2.2. Ising model 2D rácson Metropolis frissítéssel A magasabb hőmérsékletű állapotok szimulációjához az Ising modell hagyományos (nem Kauffmann-automata) megfogalmazását használtam, bár feltételezem hogy lehet értelmezni a Metropolis algoritmust aszinkron frissítésű Kauffmann automatára és feltehetőleg hasonló eredményeket generálna. Itt a v {0, 1} helyett s { 1, 1} állapotokat használok és a frissítési szabály (ez a Metropolis szabály amiről később még bővebben írok): ahol s i,t+1 (s i,t, s ijobb t, s ibal,t, s ifelett,t, s ialatt,t) = { s i,t e E kt > x Uniform[0, 1] s i,t egyébként E = E proposed E t = 2 J s i,t (s ibal,t + s ijobb t + s ifelett,t + s ialatt,t) mivel s i,proposed = flip(s i,t ) = s i,t. Analitikus eredmények A kritikus hőmérséklet 2d rács Ising modellre 2 2 H.A. Kramers and G.H. Wannier, Phys. Rev. 60, 252 (1941) 14

kt C J = 2 ln(1 + 2) = 2.26919 Az elméleti mágnesezettségi görbe termodinamikai határesetben a 2d rács Ising modellre { (1 ( M t= (T ) = lim si sinh 2 )) 1/8 N N = T T T C 0 T > T C amit mi egy viszonylag hosszú idő után vett időátlaggal közelítünk. Metropolis algoritmus A Metropolis algoritmus egy Markov chain Monte Carlo módszer. Az MCMC algoritmusok segítségével bonyolult (pl sok dimenziós) valószínűségi eloszlásokból lehet sztochasztikusan mintavételezni illetve integrálokat közelíteni. A módszer lényege, hogy egy olyan Markov láncot konstruálunk, amelynek az egyensúlyi eloszlása a mintavételezni kívánt π(x) sűrűségfüggvény és a lánc sok lépés utáni állapotait tekintjük a mintáknak. 1. Kezdjünk valamilyen x 0 kezdőállapotból 2. Egy tetszőleges eloszlás (proposal distribution) segítségével válasszunk egy javasolt új állapotot. 3. Számítsuk ki az elfogadási arányt (acceptance ratio) a = π(x ) π(x t) (a) Ha a 1 akkor fogadjuk el a javasolt új állapotot, azaz x t+1 = x (b) Ha a < 1 akkor a valószínűséggel fogadjuk el az új állapotot 4. Folytassuk a 2. lépéstől. Az így kapott x t állapotok az eloszlás szerint magas valószínűségű állapotok között bolyonganak, de a 3.a miatt néha alacsonyabb valószínűségű irányokba is lépnek. A 3. pontban szereplő arány azért előnyös, mert emiatt elég egy π(x)-el arányos mennyiséggel számolnunk, mert a konstans szorzó - pl egy nehezen kiszámolható állapotösszeg - kiesik. A programban a Metropolis-Hastings algoritmusnak egy speciális változatát használjuk, a Gibbs mintavételezést, amikor π(x) Boltzmann eloszlás, az új álapotokat pedig úgy választjuk hogy egy véletlenszerűen választott spint megfordítunk. Észrevehetjük hogy 2 J s i,t (s ibal,t+s ijobb t+s ifelett,t+s ialatt,t)-nek csak 5 féle különböző értéke lehetséges, E/2J {4, 2, 0, 2, 4}. Ezért a Boltzmann faktornak is csak 5 lehetséges értéke van, amelyeket ha előre kiszámítunk akkor az exponenciális több százmillió evaluációjtól kíméljhetjük meg magunkat. 15

Szimulációs eredmények Mivel az MCMC módszerek hátránya hogy erősen korrelált mintákat generálnak, ezért illik legalább N N (itt 20*20) lépést várni a mintavételezések között hogy átlagosan minden spinnek legyen esélye megfordulni. A lépéseket ezért úgy veszem hogy a metropolis frissítések száma N M frissit = N lépések 20 20 A szimulációt hot startból a megadott 100k lépésig futtatva és a mágnesezettséget az utolsó 1000 lépésben mérve a mágnesezettség az elméleti görbével együtt: 0.8 M 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 16. ábra. Látható, hogy a fázisátalakulás közel esik az elméleti értékhez (kb 2.3), bár a pontos helyét nem olyan egyszerű meghatározni. A vártakkal ellentétben a Curie hőmérséklet felett sem 0 a mágnesezettség, de ez szerintem azért lehet, mert nagyon kevés lépés van amit nem dobunk el hanem átlagolunk, és mivel erősen korreláltak a minták ezért nagy a mágnesezettség átlag körüli szórása. Ez az alacsonyabb hőmérséklet melletti értékeknél (a Curie hőm. alatt) kevésbé tud szórni mivel ott közel tartózkodik a függvény a maximumához ami fölé nem tud menni. A másik ok ami miatt pont a kritikus hőmérséklet körül a legrosszabbak az értékek, a kritikus lelassulás jelensége. Ez azt jelenti, hogy a kritikus hőmérséklethez tartva a relaxációs idő a végtelenbe tart, habár itt a rendszer véges mérete miatt a korrelációs hossz legfeljebb L lehet, így a független mintákhoz a mintavételezések között L 4 azaz 160000 lépést kéne várni a 400 helyett, illetve legrosszabb esetben ennyi idő után felejti el a rendszer a kezeti feltételt. 16

0.5 M 0.0 0.5 0 200 400 600 800 0 17. ábra. Az átlagolt M(t) T=2.5 mellett. Látható hogy a minták erősen korreláltak. 0.5 M 0.0 0.5 1.0 0 20 000 40 000 60 000 80 000 0 18. ábra. M(t) T=2.2 mellett. 17

0.6 0.4 0.2 M 0.0 0.2 0.4 0.6 0 5000 10 000 15 000 0 19. ábra. M(t) T=2.9 mellett. Egyébként jóval kevesebb lépésnél is elég jó egyezést kapunk az elméleti görbével, az ábrán az 5000 és 10000 lépésig futtatott átlagolt mágnesezettség (itt az utolsó 80%-ára átlagoltam a lépéseknek és jobbak is lettek a magas hőmérsékletű értékek, ami alátámasztja hogy tényleg ez lehetett az egyik gond az előbbi szimulációnál). 0.8 M 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 20. ábra. Átlagos mágnesezettség 5000 és 10000 lépés mellett, az utolsó 80%-ra átlagolva. 2.3. Ising model más topológiákon A különböző gráf topológiákat kissé különböző frissítési módszerrel volt célszerű vizsgálni, így az utolsó két feladatot összevontam. Az új frissítési módszert a Phase 18

Transitions on Fixed Connected Graphs and Random Graphs in the Presence of Noise 3 című cikkre alapoztam, mivel ez könnyen általánosítható bármilyen topológiára. Itt a frissítési szabály a következő: x i (k + 1) = sign[v i (k) + ξ i (k)] ahol ξ i (k) Uniform[ ν, ν], v i (k) pedig a szomszédos spinek átlagos értéke. A ν zajszint a hőmérséklettel analóg mennyiség ebben a rendszerben, a rendparaméternek pedig itt is a mágnesezettséget tekintettem 2.3.1. Erdős-Rényi gráfokon A cikk állítás szerint bebizonyítható, hogy Erdős-Rényi topológián ha egy adott ν zajszintet átlépünk, akkor a mágnesezettségnek szakadása lesz, ν c = 1-nél. Ezt az eredményt nekem is sikerült igazolni, attól eltekintve hogy úgy találtam hogy a kritikus zajszint konnektivitásfüggő. Egy másik, analitikus módszereket alkalmazó tanulmányban 4 H N (σ) = K σ iν σ jν ν=1 ahol K P oisson(αn), ahol α a konnektivitás mértéke, K a fokszámot adja meg. Nulla hőmérséklet mellett a konnektivitás függvényében van egy fázisátalakulás, α c = 1/2 alatt a mágnezettsség 0, felette pedig nullától különböző. Az is bebizonyítható hogy a magas-hőmérsékletű limitben a mágnesezettség 0, így α > α c esetén kell hogy legyen fázisátalakulás M(T)-ben. Azt a jelenséget hogy a konnektivitás adott szintje feltétele a fázisátalakulásnak az én szimulációmban is meg lehetett figyelni, viszont a kritikus α c nálam jóval kisebbnek adódott, 0.01 körül 0.5 helyett. 3 Phase Transitions on Fixed Connected Graphs and Random Graphs in the Presence of Noise, Jialing Liu et al, 2008, http://arxiv.org/pdf/0808.3230.pdf 4 Mean field dilute ferromagnet I. High temperature and zero temperature behavior, Luca De Sanctis, Francesco Guerra, 2013, http://arxiv.org/pdf/0801.4940v4.pdf 19

0.8»<M>» 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 21. ábra. Fázisátalakulás α = 0.1-nél. 0.8 M 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 22. ábra. Mágnesezettség görbék. Balról jobbra α értéke 0.001, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3. 2.3.2. Skálafüggetlen gráfokon Én itt is az előbbi model keretei közöt vizsgáltam a Barabási-Albert topólógiát, így az irodalmi eredményeket csak kvalitatívan tudtam igazolni, a számértékeket nem. Megfigyelhető volt hogy a konnektivitás függvényében (m:hány élet adunk hozzá a gráfhoz lépésenként) egyértelműen megjelenik a fázisátalakulás, a kritikus zajszint az előbbihez hasonlóan egy körül van. 20

0.8 M 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 23. ábra. Saját eredmények a Jialing et al cikk modellje alapján. A kék, lila, sárga gráfokban m értéke rendre 1,3 és 6. Irodalmi adatok a különböző kitevőjű hatványeloszlású gráf topológiájú Ising modell kritikus hőmérsékleteiről 5 A következő ábra forrása 6. 5 Ising Model on Networks with an Arbitrary Distribution of Connections, Dorogovtsev et al., 2002, http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0203227v3.pdf 6 Ferromagnetic Phase Transition in Barabási-Albert Networks, Aleksiejuk et al., 2001, http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0112312v1.pdf 21

24. ábra. Mágnesezettség a hőmérséklet függvényében, különböző m-eknél (a BA modell paramétere). Az ábra forrása fent. 22