Jelek és rendszerek - 4.előadás

Jelek és rendszerek - 4.előadás Rendszervizsgálat a komplex frekvenciatartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 1 / 32

Vázlat I.rész: A Laplace-transzformáció és alkalmazása A Laplace-transzformáció és alkalmazása 1 Frekvencia komplex frekvencia 2 A Laplace-transzformáció Definíció A Laplace-transzformáció tételei 3 A Laplace-transzformáció alkalmazása FI jelek Laplace-transzformáltja Átviteli függvény A válaszjel Laplace-transzfomáltja 4 Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés 5 Rendszeregyenlet operátoros megoldása Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 2 / 32

Összefoglalás Vázlat II.rész: Összefoglalás 6 Összefoglalás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 3 / 32

Frekvencia komplex frekvencia A Fourier-transzformáció Periodikus jelek Fourier-felbontása A Fourier-felbontás (Fourier-approximáció, Fourier-sor) LI rendszerekre periodikus állandósult válasz számítására,? Aperiodikus jelekre? Általánosítás = aperiodikus jel = periodikus jel T T Következmények periodikus jel (T < ) = aperiodikus jel (T ) kω 0 komponensek = sok komponens, folytonos ω S C k komplex együtthatók = S(jω) komplex függvény Fourier-felbontás = Fourier-transzformáció Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 4 / 32

Frekvencia komplex frekvencia A Fourier-transzformáció (folyt.) Fourier-felbontás Fourier-transzformáció Az alábbi összefüggések s(t) = S C k ejkω 0t, S C k = 1 T k= T mellet a következőképpen alakulnak s(t) = F 1 {S(jω)} = 1 2π S(jω) = F {s(t)} = T s(t)e jωt dt, s(t)e jkω 0t dt, S(jω)e jωt dω, Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 5 / 32

Frekvencia komplex frekvencia Korlátok A Fourier-transzformáció elvégzésének feltétele: Abszolút integrálhatóság! F {s(t)} = s(t)e jωt dt, ha + s(t) dt <, Probléma F {ε(t)}=?, F {tε(t)}=?,... nehézkesen kezelhetők Megoldás + + s(t) dt helyett s(t)e σt dt <, Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 6 / 32

A Laplace-transzformáció A Laplace transzformáció Definíció Egyoldalas Fourier transzformáció F { ε(t)s(t)e σt} = s(t)e σt e jωt dt. Definíció (Laplace transzformáció) Egy s(t) jel Laplace transzformáltját a következő összefüggéssel definiáljuk L{s(t)} = S(s) = s(t)e st dt, s = σ + jω. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 7 / 32

Linearitás tétele A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei A Laplace transzformáció lineáris, azaz bármely C 1,C 2 konstans esetén: L{C 1 f(t) + C 2 g(t)} = C 1 L{f(t)} + C 2 L{g(t)} = C 1 F(s) + C 2 G(s) L 1 {C 1 F(s) + C 2 G(s)} = C 1 L 1 {F(s)} + C 2 L 1 {G(s)} Általánosabban { n } n L C i s i (t) = C i L{s i (t)}, i=1 { n } L 1 C i S i (s) = i=1 i=1 i=1 n C i L 1 {S i (s)}. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 8 / 32

Eltolási tétel A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Ha az ε(t)s(t) belépő jelet τ > 0 idővel eltoltjuk, ε(t τ)s(t τ) jelet kapjuk, melynek Laplace transzformáltja: L{ε(t τ)s(t τ)} = s(t τ)e st dt = τ τ s(t τ)e s(t τ) e sτ dt Bevezetve T = t τ változót,illetve dt = dt (τ konstans!) figyelmbevételével: L{ε(t τ)s(t τ)} = e sτ s(t)e st dt = e sτ S(s). Vagyis az időbeli τ > 0 eltolás a komplex frekvenciatartományban e sτ komplex exponenciális függvénnyel való szorzásnak felel meg. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 9 / 32

Deriválás A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Elsőrendű derivált Laplace transzformáltja Ha s(t) jel szakaszonként folytonos és differenciálható, és létezik S(s) Laplace transzformáltja, akkor s (t) Laplace transzformáltja: L{s (t)} = ss(s) s(), mivel: L{s (t)} = s (t)e st dt = [ s(t)e st] s(t)( s)e st dt = (0 s()) + s s(t)e st dt = ss(s) s(). Felhasználva a parciális integrálás szabályát, miszerint u v = [uv] uv. Helyesen választva u = s (t) u = s(t) és v = e st v = se st. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 10 / 32

Integrálás tétele A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Ha létezik ε(t)s(t) jel S(s) Laplace transzformáltja, akkor a jel integráljának Laplace transzformáltja: { t } L s(τ)dτ = 1 s S(s). mivel (parciális integrálást felhasználva): + 1 s { t } { t } [ e L s(τ)dτ = s(τ)dτ e st st dt = s { s(t)e st e } dt = s(τ)dτ e s(τ)dτ s s t ] s(τ)dτ + 1 s S(s) = 1 s S(s). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 11 / 32

Következtetés A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Fontos! Mivel a differenciálásnak illetve integrálásnak s-el való szorzás illetve osztás felel meg, a differenciál egyenletek helyébe a transzformált tartományban algebrai egyenletek lépnek. Így a feladatok megoldása lényegesen egyszerűsödik. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 12 / 32

Csillapítási tétel A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Egy belépő és Laplace transzformálható s(t) jel és egy exponenciálisan csökkenő e αt, α > 0 jel szorzatának Laplace transzformáltja: L { s(t)e αt} dt = S(s + α). Mivel: s(t)e αt e st dt = s(t)e (α+s)t dt = S(s + α). Megjegyzés: A csillapítási tétel a Fourier transzformációnál tárgyalt modulációs tétellel analóg. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 13 / 32

A Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció tételei Fourier és a Laplace transzformáció kapcsolata Ha s(t) belépő és abszolút integrálható, akkor a jel S(jω) spektruma meghatározható: S(jω) = S(s) s=jω Ha a jel korlátos és véges tartójú, vagy ha a jel belépő, korlátos, t esetén exponenciálisan 0-hoz tart. megj: ε(t)-re nyilván nem alkalmazható, mert F {ε(t)} = 1 jω + πδ(ω) GV stabilis kauzális rendszer esetén: W(jω) = W(s) s=jω Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 14 / 32

A Laplace-transzformáció alkalmazása FI jelek Laplace-transzformáltja ε(t) egységugrás Laplace transzformáltja L{ε(t)} = +0 [ e e st st dt = s ] +0 = 0 1 s = 1 s megjegyzés: Mivel ε(t) belépő jel, ε() = 0, így elég +0-tól integrálni. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 15 / 32

A Laplace-transzformáció alkalmazása FI jelek Laplace-transzformáltja ε(t)t sebességugrás Laplace transzformáltja L{ε(t)t} = 0 te st dt = ] [t e st + 1 e st dt = 1 1 s 0 s 0 s s = 1 s 2 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 16 / 32

A Laplace-transzformáció alkalmazása FI jelek Laplace-transzformáltja δ(t) impulzus Laplace transzformáltja Az integrálási határokat megfelelően megválasztva: L{δ(t)} = +0 δ(t)e s0 dt = +0 δ(t)dt Másképpen, a ε(t) egységugrásból levezetve: L{δ(t)} = sl{ε (t)} = s 1 s Eltolt impulzus Laplace transzformáltja: L{δ(t τ)} = e sτ Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 17 / 32

A Laplace-transzformáció alkalmazása FI jelek Laplace-transzformáltja Csillapított egységugrás Laplace transzformáltja Az e αt (α > 0) szigorúan monoton csökkenő függvény nem egyoldalas, ezért beszorozva az ε(t) egységugrás függvénnyel, mint ablakfügvénnyel az transzformáció elvégezhető: L { ε(t)e αt} = e αt e st dt = [ e e (α+s)t (α+s)t dt = (α + s) ] 0 = 1 s + α Csillapítási tételt felhasználva: L { ε(t)e αt} = 1 s s s+α = 1 s + α Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 18 / 32

A Laplace-transzformáció alkalmazása FI jelek Laplace-transzformáltja ε(t)e jωt,ε(t) cos(ωt) és ε(t) sin(ωt) Laplace transzformáltja A csillapított egységugrás számítása alapján α = jω helyettesítéssel: L { ε(t)e jωt} = 1 s jω Az Euler relációt felhasználva: L{ε(t)cos(ωt)} = L {ε(t) ejωt + e jωt } = 1 1 2 2 s jω + 1 1 2 s + jω = s s 2 + ω 2 L{ε(t)sin(ωt)} = L {ε(t) ejωt e jωt } = 1 1 2j 2j s jω 1 1 2j s + jω = ω s 2 + ω 2 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 19 / 32

A Laplace-transzformáció alkalmazása FI jelek Laplace-transzformáltja Példa feladatok Laplace transzformációhoz 1. 1. Példa, L{ε(t)te αt } Már számítottuk, hogy L{ε(t)t} = 1 s 2, illetve a csillapítási tételt felhasználva, miszerint L{s(t)e αt } dt = S(s + α) L { ε(t)te αt} = 1 (s + α) 2 2. Példa, L{ε(t)e αt cos(ωt)} Hasonlóan a csillapítási tételt felhasználva: L { ε(t)e αt cos(ωt) } = s + α (s + α) 2 + ω 2 Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 20 / 32

A Laplace-transzformáció alkalmazása FI jelek Laplace-transzformáltja Példa feladatok Laplace transzformációhoz 2. 3. példa T szélességű impulzus Laplace transzformáltja A T szélességű impulzus feĺırható eltolt egységugrások (ablakfüggvények) összegeként: s(t) = ε(t) ε(t T) Ebből: L{ε(t) ε(t T)} = L{ε(t)} L{ε(t T)} = 1 s + 1 s e st 4. példa δ(t) integráljának Laplace transzformáltja { +0 L δ(t)dt = 1 1 s = 1 s. } Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 21 / 32

A Laplace-transzformáció alkalmazása Átviteli függvény Konvolúció komplex frekvenciatartományban Időtartományban a konvolúcióval számított válasz y(t) = w(t) s(t). Komplex frekvenciatartományban a konvolúció egyszerű szorzássá egyszerűsödik: Y(s) = W(s)S(s), ahol S(s) a gerjesztés-, Y(s) a válasz Laplace transzformáltja, W(s) az un. átviteli függvény, amely a lineáris rendszer leírására szolgál komplex frekvenciatartományban, másrészt a w(t) impulzusválasz Laplace transzformáltja. Tétel A fentiekből adódik, hogy egy lineáris rendszer átviteli függvénye a kimenet és bemenet Laplace transzformáltjának a hányadosa, vagyis: W(s) = Y(s) S(s). Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 22 / 32

A Laplace-transzformáció alkalmazása Átviteli függvény Impulzusválasz és az átviteli függvény kapcsolata 1. konvolúció s(t) = e st nem belépő gerjesztés esetén y(t) = 0 w(τ)s(t τ)dτ = 0 w(τ)e s(t τ) dτ = e st 0 w(τ)e sτ dτ A fenti összefüggésben az integrált w(t) impulzusválasz Laplace transzformáltjának, vagy másképpen átviteli függvényének nevezzük: W(s) = w(t)e st dt. A rendszer válasza így: y(t) = W(s)e st. A W(s) átviteli függvényt a rendszer sajátértékének, az e st gerjesztést pedig sajátfüggvénynek is nevezzük. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 23 / 32

A Laplace-transzformáció alkalmazása Átviteli függvény Impulzusválasz és az átviteli függvény kapcsolata 2. Dirac-impulzus gerjesztés esetén L{δ(t)} = 1, így az átviteli függvény: W(s) = Y(s) 1 = Y(s). Tétel Az impulzusválasz Laplace transzformáltja az átviteli függvény, illetve az átviteli függvény inverz Laplace transzformáltja az impulzusválasz. W(s) = L{w(t)}, w(t) = L 1 {W(s)}. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 24 / 32

A Laplace-transzformáció alkalmazása Átviteli függvény A rendszeregyenlet és az átviteli fv. kapcsolata A rendszeregyenlet: n n y (n) (t) + a i y (n i) (t) = b i s (n i) (t), i=1 i=0 amely Laplace transzformáltja 0 kezdeti feltételek esetén: ( ) n n Y(s) s n + a i s (n i) = S(s) b i s (n i), i=1 i=0 amelyből: W(s) = Y(s) S(s) = n i=0 b is (n i) s n + n i=1 a is (n i) Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 25 / 32

A Laplace-transzformáció alkalmazása A válaszjel Laplace-transzfomáltja A válaszjel Laplace-transzfomáltjának meghatározása Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 26 / 32

Az inverz Laplace-transzformáció Az inverz Laplace transzformáció Az inverz Fourier transzformáció oldaláról megközeĺıtve: ε(t)s(t)e σt = 1 S(σ + jω)e jωt dω 2π ε(t)s(t) = 1 S(σ + jω)e (σ+jω)t dω 2π Mivel s = σ + jω ds = j dω dω = ds j, tehát Definíció (Inverz Laplace-transzformáció) ε(t)s(t) = 1 σ+j S(s)e st ds = L 1 {S(s)}. 2πj σ j Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 27 / 32

Az inverz Laplace-transzformáció Az inverz Laplace transzformáció gyakorlatban Gyakorlatban az integrál kiértékelésére nincs szükségünk, helyette az un. kifejtési tételt alkalmazzuk, mellyel a két polinom hányadosából álló Laplace transzformáltat törtfüggvényekre bontjuk. Törtfüggvények lehetnek: Valódi törtfüggvények, 1 egyszeres pólusúak, 2 többszörös pólusúak, 3 szerepel benne exponenciális szorzótényező. Nem valódi törtfüggvények, az un. polinomosztással visszavezethető az előzőre. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 28 / 32

Pólus-zérus elrendezés Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés Mint láttuk W(s) két polinom hányadosa, amely gyöktényzős alakban: W(s) = b 0s n + b 1 s n 1 + + b n s n + a 1 s n 1 + + a n = K (s z 1)(s z 2 )...(s z n ) (s p 1 )(s p 2 )...(s p n ). A számláló gyökei az un. zérushelyek, a nevező gyökeit pólusoknak nevezzük (W(s) itt 0 illetve értéket vesz fel). Az időtartomány beli sajátértékek megegyeznek W(s) pólusaival, így a stabilitás feltétele: R{p i } < 0, i = 1...n. Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 29 / 32

Pólus-zérus elrendezés Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés W(S) = s + 0.5 s 2 + 0.2s 3, z 1 =.5, p 1 = 1.63, p 2 = 1.83 2 1.5 1 0.5 1 ω 0 W(s) 0.5 1.5 0 3 2 0.5 1 1 0 0 1.5 1.5 ω 2 3 1 σ 2 2 1.5 1.5 0 0.5 1 1.5 2 σ Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 30 / 32

Pólus-zérus elrendezés Az inverz Laplace-transzformáció Pólus-zérus elrendezés W(S) = s + 0.5 s 2 + 0.2s + 3, z 1 =.5, p 1 =.1 + 1.73j, p 2 =.1 1.73j 1.5 1 0.5 60 W(s) 40 20 0.5 ω 0.5 0 3 2 1 1 0 0 ω 1 2 3.5 σ 1.5 1.5 1.5 0 0.5 1 1.5 σ Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 31 / 32

Összefoglalás Mérnök informatika BSc (lev.) (PTE PMMK MIT) Jelek és rendszerek - 4.előadás 32 / 32