MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához! 1) Egy a számsorozatról a következőket tudjuk: ) - a harmadik tagtól kezdve mide tag kiszámítható a következő rekurzív képlet segítségével: a a 1 1a ; - az a 1, a és a3 9a1 ebbe a sorredbe egy számtai sorozat 3 egymást követő tagja; a sorozat első öt tagjáak összege 68. - az Mekkora eek a számsorozatak a hatodik tagja? (16 pot) a) Legye a egy mértai sorozat, melyek első tagja 5, háyadosa 3. Meyi a valószíűsége, hogy ha eek a mértai sorozatak az első 110 tagjából egyet véletleszerűe kiválasztuk, akkor a kiválasztott tag 11- gyel osztva 1 maradékot ad? (6 pot) b egy számtai sorozat, amelyek az első tagja 5, és b) Legye differeciája 3. Mekkora a valószíűsége, hogy ha eek a számtai sorozatak az első 110 tagjából egye kiválasztuk, akkor a kiválasztott tag 11-gyel osztva 1 maradékot ad? (7 pot) 3) Egy pozitív tagokból álló mértai sorozat első három tagjáak összege 6. Ha az első taghoz egyet, a másodikhoz hatot, a harmadikhoz hármat aduk, akkor ebbe a sorredbe egy számtai sorozat első három tagját kapjuk. Adja meg eek a számtai sorozatak az első három tagját! (14 pot) 4) Legye pozitív egész. Adottak az alábbi sorozatok: a, ahol a ; b, ahol b 3 10 ; c, ahol c si cos. Vizsgálja meg midhárom sorozat korlátosság és mootoitás szempotjából! Válaszoljo midhárom esetbe, hogy a sorozat korlátos vagy em, illetve mooto vagy em! (Válaszát idokolja!) Korlátos esetbe adjo meg egy alsó és egy felső korlátot! (16 pot) - 1 -
5) Egy bak a Godoskodás evű megtakarítási formáját ajálja újszülöttek családjáak. A megtakarításra vállalkozó családok a gyermek születését követő év első baki apjá számlát yithatak 100000 forit összeggel. Mide következő év első baki apjá szité 100000 foritot kell befizetiük a számlára. Az utolsó befizetés aak az évek az első apjá törtéhet, amely évbe a gyermekük betölti 18. életévét. A bak év végé a számlá lévő összeg utá évi 8%-os kamatot ad, amit a következő év első baki apjá ír jóvá. A gyermek a 18. születésapját követő év első baki apjá férhet hozzá a számlához. a) Mekkora összeg va ekkor a számlá? A válaszát egész foritra kerekítse! (8 pot) A gyermek a 18. születésapját követő év első baki apjá felveheti a számlájá lévő teljes összeget. Ha em veszi, választhatja a következő lehetőséget is: Hat éve keresztül mide év első baki apjá azoos összeget vehet fel. Az első részletet a 18. születésapját követő év első baki apjá veheti fel. A hatodik pézfelvétellel a számla kiürül. Ha ezt a lehetőséget választja, akkor a bak az első pézfelvételtől számítva mide év végé a számlá lévő összeg utá évi 5%-os kamatot garatál, amit a következő év első baki apjá jóváír. b) Ebbe az esetbe mekkora összeget vehet fel alkalmakét? A válaszát egész foritra kerekítse! (8 pot) 6) Az a mértai és b számtai sorozatak is 1 az első tagja, és midkét orozat hatodik tagja 1. a) Sorolja fel midkét sorozat első öt tagját! (4 pot) b) Milye pozitív egész -ekre lesz a két sorozat első tagjáak összege ugyaakkora? (9 pot) 7) Egy mértai sorozat első három tagjáak összege 91. A hatodik, hetedik és a yolcadik tag összege 91. Háy tizehárom-jegyű tagja va a sorozatak? (13 pot) 8) A főiskolások műveltségi vetélkedője a következő eredméyel zárult. A verseye iduló égy csapatból a győztes csapat potszáma 4 3 -szorosa a második helye végzett csapat potszámáak. A egyedik, harmadik és második helyezett potjaiak száma egy mértai sorozat három egymást követő tagja, és a egyedik helyezettek 5 potja va. A égy csapat között kiosztott potszámok összege 139. a) Határozza meg az egyes csapatok által elért potszámot! (8 pot) Mid a égy csapatak öt-öt tagja va. A vetélkedő utá az iduló csapatok tagjai között három egyforma értékű köyvutalváyt sorsolak ki (mideki legfeljebb egy utalváyt yerhet). b) Mekkora a valószíűsége aak, hogy az utalváyokat három olya főiskolás yeri, akik midhárma más-más csapat tagjai? (5 pot) - -
9) Két egyees hasábot építük, H1-et és H-t. Az építéshez haszált égyzetes oszlopok (égyzet alapú egyees hasábok) egybevágok, magasságuk kétszer akkora, mit az alapélük. A H1 hasáb építésekor a szomszédos égyzetes oszlopokat az oldallapjukkal illesztjük össze, a H hasáb építésekor pedig a égyzet alaplapjukkal- az ábra szerit. AH 1 a) A H1 és H egyees hasábok felszíéek háyadosa 0,8 A. Háy égyzetes oszlopot haszáltuk az egyes hasábok építéséhez, ha H1-et és H-t ugyaayi égyzetes oszlopból építettük fel? (8 pot) 3 sorozat szigorú mooto övekvő és 4 1 korlátos! (8 pot) b) Igazolja, hogy 10) a) Egy derékszögű háromszög oldalhosszai egy számtai sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú. Számítsa ki a háromszög másik két oldaláak hosszát! (5 pot) b) Egy háromszög oldalhosszai egy számtai sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú. Tudjuk, hogy a háromszög em szabályos. Igazolja, hogy a háromszögek ics 60 -os szöge! (11 pot) 11) Egy övekvő számtai sorozat első három tagjáak összege 60. Az első tagot 64-gyel övelve, a másik két tagot változatlaul hagyva, egy mértai sorozat első három tagjához jutuk. Meyi a két sorozat első három tagja? (13 pot) 1) Péter agypapája mide évbe félretett émi pézösszeget egy perselybe uokája számára. 5000 Ft-tal kezdte a takarékoskodást 1996. jauár 1-jé. Ezutá mide év első apjá hozzátett az addig összegyűlt összeghez, mégpedig az előző évbe félretettél 1000 Ft-tal többet. 004. jauár 1-jé a agypapa bele tette a perselybe a megfelelő összeget, majd úgy dötött, hogy a perselyt most uokájáak most adja át. a) Mekkora összeget kapott Péter? (5 pot) b) Péter agypapája ajádékából vett éháy apróságot, de elhatározta, hogy a kapott összeg agyobb részét 005. jauár 1.-jé bakszámlára teszi. Be is tett 60000 Ft-ot évi 4%-os kamatos kamatra (a kamatok mide évbe, év végé hozzáadódak a tőkéhez). Legalább háy évig kell Péterek vária, hogy a számlájá legalább 100000 Ft legye úgy, hogy közbe em fizet be erre a számlára? (9 pot) 13) A Robotvezérelt Elektromos Kisautók Nemzetközi Verseyé a verseyzők akkumulátorral hajtott modellekkel idulak. A magyar verseyautó az első órába 45 kilométert tesz meg. Az akkumulátor teljesítméyéek csökkeése miatt az autó a második órába kevesebb utat tesz meg, mit az első órába, a harmadik órába kevesebbet, mit a másodikba, és így tovább: az idulás utái -edik órába megtett útja midig 95,5%-a az 1 -edik órába megtett útjáak ( és 1). a) Háy kilométert tesz meg a 10. órába a magyarok verseyautója? Válaszát egész kilométerre kerekítve adja meg! (4 pot) H - 3 -
14) A verseye több kategóriába lehet iduli. Az egyik kategória verseyszabályai lehetővé teszik az akkumulátorcserét versey közbe is. A magyar csapat mérökei kiszámították, hogy abba az órába még em érdemes akkumulátort cseréli, amelyikbe az autó legalább 0 km-t megtesz. b) Az idulástól számítva legkorábba háyadik órába érdemes akkumulátort cseréli? (6 pot) A Végkimerülés kategóriába a résztvevők azo verseyezek, hogy akkumulátorcsere és feltöltés élkül mekkora utat tudak megtei az autók. A világrekordot egy japá csapat járműve tartja 1100 km-rel. c) Képes-e megdötei a magyar verseyautó a világrekordot a Végkimerülés kategóriába? (6 pot) a) Egy bak olya hitelkostrukciót ajál, amelybe api kamatlábat számolak úgy, hogy az adott hitelre megállapított éves kamatlábat 365- tel elosztják. Egy adott évbe a hitelfelvételt követőe mide apra kiszámolják a api kamat értékét, majd ezeket december 31-é összeadják, és csak ekkor tőkésítik (azaz a felvett hitel értékéhez adják). Ez a bak egy adott évbe évi 8%-os kamatlábat állapított meg. Éva abba az évbe a március 1-jé felvett 40 000 Ft utá október 1-jé újabb 40 000 Ft hitelt vett fel. A két kölcsö felvétele utá meyi kamatot tőkésít a bak december 31-é? (A hitelfelvétel apjá és az év utolsó apjá is számítaak api kamatot.) (5 pot) b) Ádám is vett fel hiteleket ettől a baktól évi 8%-os kamatos kamatra. Az egyik év jauár 1-jé éppe 1 000 000 Ft tartozása volt. Több hitelt em vett fel, és attól kezdve 10 éve keresztül mide év végé befizette az azoos összegű törlesztőrészletet. (A törlesztőrészlet összegét a bak már az éves kamattal megövelt tartozásból voja le.) Mekkora volt ez a törlesztőrészlet, ha Ádám a 10 befizetés utá teljese visszafizette a felvett hitelt? Válaszát ezer foritra kerekítve adja meg! (9 pot) 15) Egy 1 méter oldalú égyzetbe egy második égyzetet rajzoltuk úgy, hogy a belsőégyzet mide csúcsa illeszkedje a külső égyzet egy-egy oldalára. A belső és a külső égyzet oldalaiak aráya 5:7. a) Milye aráyba osztja két részre a belső égyzet csúcsa a külső égyzet oldalát? Az aráy potos értékét adja meg! (10 pot) A belső égyzetbe egy újabb, harmadik égyzetet rajzoluk úgy, hogy a harmadik és a második égyzet oldalaiak aráya is 5:7. Ezt az eljárást aztá godolatba végtele sokszor megismételjük. b) Mekkora lesz a kapott égyzetek kerületeiek az összege, ha a kiidulási égyzet kerülete is tagja a (végtele sok tagú) összegek? (6 pot) - 4 -
16) Az ABCDEF szabályos hatszögbe a rövidebb átló hossza 5. a) Számolja ki a hatszög területéek potos értékét! (6 pot) b) Az ABCDEF hatszög oldalfelező potjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje t 1, a t 1 területű hatszög oldalfelező potjai által meghatározott szabályos hatszög területét t, és így tovább, képezve ezzel a t sorozatot. Számítsa ki a lim t1 t... t határértékét! (Potos értékkel számoljo!) (10 pot) 17) Kiga 10. születésapja óta kap havi zsebpézt a szüleitől. Az első összeget a 10. születésapjá adták a szülők, és mide hóapba 50 Ft-tal többet adak, mit az azt megelőző hóapba. Egy bizoyos hóapba, amikor éppe 1850 Ft volt a havi zsebpéze, összeadta az addig kapott összes zsebpézét. Az összeg 35100 Ft lett. Meyi volt Kiga iduló zsebpéze, és háy hóap telt el a 10. születésapja óta? (1 pot) 18) Egy dolgozó az év végi prémiumkét kapott 1000000 Ft-ját akarja kamatoztati a következő yárig, hat hóapo át. Két kedvező ajálatot kapott. Vagy kéthavi lekötést választ kéthavi 1,7%-os kamatra, kéthavokéti tőkésítés mellett, vagy foritot átváltja euróra, és az összeget havi 0,5%-os kamattal köti le hat hóapra, havi tőkésítés mellett. a) Meyi péze lee hat hóap utá a foritszámlá az első esetbe? (Az eredméyt Ft-ra kerekítve adja meg!) (3 pot) b) Ha ekkor éppe 5 foritot ért egy euró, akkor háy eurót vehete fel hat hóap múlva a második ajálat választása eseté? (Az eredméyt két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (4 pot) c) Legalább háy százalékkal kellee változia a 5 forit/euró árfolyamak a félév alatt, hogy a második választás legye kedvezőbb? (Az eredméyt két tizedesjegyre kerekítve adja meg!) (5 pot) 19) Adrás edzőtáborba készül egy úszóverseyre, 0 apo át. Azt tervezte, apota 10000 métert úszik. De az első apo a tervezettél 10%-kal többet, a második apo pedig az előző apiál 10%-kal kevesebbet teljesített. A 3. apo ismét 10%-kal övelte előző api adagját, a 4. apo 10%-kal kevesebbet edzett, mit az előző apo és így folytatta, páratla sorszámú apo 10%-kal többet, pároso 10%-kal kevesebbet teljesített, mit a megelőző apo. a) Háy métert úszott le Adrás a 6. apo? (4 pot) b) Háy métert úszott le összese a 0 ap alatt? (6 pot) c) Az edzőtáborozás 0 apjából véletleszerűe kiválasztuk két szomszédos apot. Mekkora a valószíűsége, hogy Adrás e két apo együttese legalább 0000 métert teljesített? (6 pot) - 5 -
0) Egy övekvő számtai sorozat első három tagjából álló adathalmaz szóráségyzete 6. a) Igazolja, hogy a sorozat differeciája 3-mal egyelő! (4 pot) Adrás, Barbara, Cili, Dezső és Edit rokook. Cili 3 évvel idősebb Barbaráál, Dezső 6 évvel fiatalabb Barbaráál, Edit pedig 9 évvel idősebb Ciliél. Dezső, Barbara és Edit életkora (ebbe a sorredbe) egy mértai sorozat három egymást követő tagja, Adrás, Barbara és Cili életkora (ebbe a sorredbe) egy számtai sorozat három szomszédos tagja. b) Háy éves Adrás? (6 pot) Adrás, Barbara, Cili, Dezső, Edit és Feri moziba meek. c) Háyféleképpe foglalhatak helyet hat egymás melletti széke úgy, hogy a három láy e három egymás melletti széke üljö? (6 pot) 1) Állítsuk a pozitív egész számokat övekvő sorredbe, majd botsuk redre 1- gyel övekvő elemszámú csoportokra, az alábbi módo kezdve: 1, ;3, 4;5;6, 7;8;9;10,... a) A 100-adik csoportak melyik szám az első eleme? (5 pot) b) Az 1851 háyadik csoport háyadik eleme? (9 pot) ) Éva egy 7 7-es táblázat bal felső mezőjétől kezdve, balról jobbra haladva, sorról sorra beírta egy számtai sorozat első 49 tagját úgy, hogy a tagok sorredjét em változtatta meg. (A sorozat 1. tagja a bal felső sarokba került, a 8. tag a második sor első mezőjébe, a 49. tag pedig a jobb alsó sarokba áll.) a) Meyi a táblázatba írt 49 szám összege, ha Éva a harmadik sor harmadik mezőjébe 91-et, az ötödik sor ötödik mezőjébe pedig a 11-et írta? (5 pot) Péter a táblázat mide sorából kiválasztja a számtai sorozat egy-egy tagját úgy, hogy a hét kiválasztott szám közül semelyik kettő e legye egy oszlopba. b) Igazolja, hogy akárhogya is választja ki Péter így a számokat, a hét szám összege mide esetbe ugyaayi lesz! (6 pot) c) Határozza meg aak a valószíűségét, hogy a 91 és a 11 is a Péter által kiválasztott számok között lesz! (5 pot) 3) Egy pézitézet a tőle felvett H forit összegű hitel visszafizetésekor havi % p 0, ezért az adós havi törlesztőrészletét a p -os kamattal számol q q 1 t H képlettel számítja ki (mide hóapba ekkora összeget kell q 1 p visszafizeti). A képletbe q 1, az pedig azt jeleti, hogy összese 100 háy hóapig fizetjük a törlesztőrészletet (ez a hitel futamideje). a) Fogyasztási cikkek vásárlására 1,6 millió forit hitelt vettük fel a pézitézettől; a havi kamat %. Összese háy foritot fizetük vissza, ha 7 hóap alatt törlesztjük a felvett hitelt? Válaszát ezer foritra kerekítve adja meg! (4 pot) - 6 -
b) Legkevesebb háy hóapos futamidőre vehetük fel egy millió foritos hitelt, ha legfeljebb 60 ezer foritot tuduk havota törlesztei, és a havi kamat %-os? (8 pot) c) Számítsa ki a limt határértékét, ha q 1,0 és H 000000 (4 pot) 4) Egy olajkút meghibásodása miatt a teger felületé összefüggő olajfolt keletkezett. A szakemberek műholdak segítségével 15 percekét megmérték a folyamatosa övekvő olajfolt területét, és úgy tapasztalták, hogy az mide alkalommal %-kal agyobb, mit az előző érték volt. 5) a) Ha az első megfigyeléskor 400 m volt az olajfolt kiterjedése, akkor mekkora lesz a területe egy ap múlva? (4 pot) A sérült olajkutat végül sikerült elzári, így az olajfolt területéek övekedése megállt. Ekkor kezdték meg az olajszeyezés eltávolítását. A köryezetvédelmi hatóság a 1 400 m területű olajfolt megszütetésére 31 apos határidőt szabott meg. Az első apo még csak 130 m -ről sikerült eltávolítai az olajfoltot (így a területe 1 70 m lett), de a teljesítméyt öveli tudták: az egy ap alatt megtisztított terület mérete mide ap ugyaakkora értékkel őtt. b) Mekkora ez a api övekedés, ha potosa az előírt határidőre sikerült a 1 400 m -es olajfolt teljes eltávolítása? (6 pot) a) Egy számtai sorozat differeciája 1,6. A sorozat első, harmadik és hetedik tagját (az adott sorredbe) tekithetjük egy mértai sorozat első három tagjáak is. Határozza meg ezt a három számot! (6 pot) Tekitsük a következő állítást: Ha az {a} számsorozat koverges, akkor az {a} sorozat értékkészlete véges számhalmaz. (Véges halmaz: elemeiek száma megadható egy természetes számmal.) b) Dötse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát idokolja! (3 pot) c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását, és dötse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát idokolja! (4 pot) - 7 -