Mgyr Ifjúság (Rábi Imre) Az előző években közöltük Mgyr Ifjúságbn közös érettségi-felvételi feldtok megoldását mtemtikából és fizikából. Tpsztltuk, hogy igen ngy volt z érdeklődés lpunk e szám iránt. Évente körülbelül 5 000 fitl készül mtemtikából és fizikából egyetemi, főiskoli felvételire, most nekik szeretnénk segítséget dni. Tervünk szerint hetente közlünk mtemtik és fizik feldtokt, melyek megoldás következő számbn jelenik meg. A feldtok kitűzése előtt tnácsokt is dunk problémák megoldásához. A sorozt szerkesztői, feldtok összeállítói évek ót fogllkoznk egyetemi, főiskoli felvételi előkészítéssel, s jelenleg ezen területen is dolgoznk. (Több, áltluk és szerzőtársik áltl összeállított, illetve szerkesztett mtemtik, fizik példtár jelenleg is kphtó könyvesboltokbn.) Hsonlón évek ót ktívn értékelik z írásbeli és szóbeli felvételi tpsztltokt. Mindketten több évet tnítottk középiskolákbn, s jelenleg Budpesti Műszki Egyetem okttói. A felvételi vizsgák egyik lpvető tpsztlt, hogy felvételizők jelentékeny része nem tudj előre felmérni felkészültségét, tudását. Ezek keserű szájízzel távoznk felvételiről, s kellemetlen emlékeket szereznek. Sok felvételiző hátrányos helyzetből indul. Közéjük trtoznk régebben érettségizettek, kik felejtésen kívül bbn is hátránybn vnnk, hogy nem elég rendszeres felkészülésük. Még több segítséget igényelnek zok, kik esti vgy levelező úton végezték középiskoli tnulmányikt. Ők idő hiányábn csk leglpvetőbb ismeretekkel tudtk fogllkozni, s ez rendszerint igen kevés felvételi követelményekhez. A szkközépiskolákbn tnulóknk is vn hátrányuk gimnáziumokbn végzettekkel szemben, hiszen heti órszámuk mtemtikából és fizikából kevesebb, mint gimnáziumbn, így megkívánt felvételi színvonl elérése további feldtok, problémák megoldását teszi szükségessé. Segíteni krunk mindenkinek, ki igényli ezt. Természetesen nem tudunk mindenben segítséget nyújtni. Az elméleti lpismereteket, melyek minden középiskoli tnkönyvben megtlálhtók, mindenkinek előbb át kell tekintenie. Hely és idő hiányábn nyilván nem tudunk minden nygrésszel egyenlő súlybn fogllkozni, és vlószínű, hogy nem mindenki számár elegendő felkészüléshez z áltlunk feldott problémák megoldás.. Az ő számukr feltétlenül jánljuk tnkönyvekből, példtárkból vló külön munkát! Induló soroztunk első feldti igencsk hsonlítnk z írásbeli felvételin feldottkr. Jvsltunk: olvsóink kíséreljék megoldni ezeket, figyeljék, hogy mennyi időbe kerül megoldásuk, hiszen mtemtikából és fizikából is 80 perc áll rendelkezésre z írásbelin. H most még jó néhányn kevés feldttl tudnk is megbirkózni, ne keseredjenek el, hiszen továbbikbn rendszeresen átismételjük középiskolábn tnultkt, és így mód kínálkozik rr, hogy hiányokt pótolják és rendszeres munkávl készüljenek felvételire. Kezdjük hát! Mgyr Ifjúság. M.. Egy tégllp egyik oldlát 0%-kl növeljük, szomszédos oldlát 0%-kl csökkentjük. Az így kpott szkszokból ismét tégllpot szerkesztünk. Megegyezik-e két tégllp területe? M.. Döntsük el, hogy következő két szám közül melyik ngyobb: 6 :, b 6 :. M.. Oldj meg következő egyenleteket:
4 ) 9 ; 4 b) sin sin 6 6 c) 4 4. ; M. 4. Adott derékszögű háromszög átfogój, c, és tudjuk, hogy háromszoros hozzá trtozó mgsságnk. Fejezze ki c-vel befogókt! M. 5. Egy háromszög csúcspontji: A( ; 0), B(; 0), C(0; ). Hol helyezkednek el síkon zok P pontok, melyekre PA + PB + PC = 0? (= ) M. 6. Oldj meg következő egyenletet: lg( + 0) + lg = lg4. M. 7. Az prméter mely értékeire lesz z lg [ + ( + ) + + ] kifejezés minden számr értelmezhető? M. 8. Az ABC háromszögön belül vegyünk fel egy tetszés szerinti O pontot. Az O ponton át háromszög oldlivl húzzunk párhuzmos egyeneseket. Ezek z egyenesek z ABC háromszöget ht részre osztják, melyek közül háromszög. E háromszögekbe írt körök sugri r, r, r, z ABC háromszögbe írt kör sugr r. Igzolj, hogy r + r + r = r! Megoldások z előző hétről M.. Nem. A tégllp területe %-kl csökkent. M.., b, > b. M.. ) Az egyenletnek nincs megoldás. b) k 6, 5 k 6, (k egész szám). c). 5 M. 4. c 5, c. M. 5. Az + (y ) = 4 egyenletű körön. M. 6. 5 5, = 5. M. 7.. M. 8. Vegyük figyelembe, hogy keletkezett háromszögek z ABC háromszöghöz hsonlók, így megfelelő szkszok rány megegyezik.
Mgyr Ifjúság. I. EGYENLETEK H két kifejezést egyenlőségjellel kpcsolunk össze, egyenletet kpunk. Egyenletet megoldni nnyit jelent, hogy meghtározzuk z egyenlet gyökét, gyökeit, vgy megállpítjuk, hogy z egyenletnek nincs megoldás. Tekintsük következő egyenleteket: ) + 6 = ; b) + 8 = ( 4); c) (4 8) + 4 (5 ) =. Az ) egyenletnek egyetlen megoldás vn, = 4. A b) egyenlet 0 = 0 lkr hozhtó, minden vlós szám megoldás, vlós számok körében zonosság. A c) egyenlet 0 = lkr hozhtó, z egyenletnek nincs megoldás. H z egyenletben tört vgy gyökös kifejezés szerepel, kkor érdemes megállpítni, hogy ezeknek mikor vn értelme, zz milyen számok lehetnek z egyenlet gyökei. Az egyenletek megoldás során átlkíthtjuk z egyenlőségjel két oldlán álló kifejezéseket, így kpott megoldásokról végén el kell dönteni, hogy megoldási-e z dott egyenletnek. Ezt sokszor célszerű ellenőrzéssel eldönteni, zz z eredeti egyenlet két oldlán álló kifejezésekbe helyettesíteni. H e kifejezések helyettesítési értékei megegyeznek, kkor ez megoldás z egyenletnek, h nem egyeznek meg, kkor nem megoldás. 4 e) ; f) ( ) = ( 6) ; g) ( + )( ) =. Az e) egyenletnek nincs, értelme, h =. Az egyenletnek nincs is megoldás. Az f) és g) egyenletet hozzuk nullár redukált lkr, lkítsuk szorzttá, mjd hsználjuk ki, hogy egy szorzt kkor és csk kkor null, h vlmelyik tényezője null. Így z f) egyenlet ( 9) ( + ) = 0 lkr hozhtó, megoldások: =, =. A g) egyenlettel ekvivlens ( ) = 0 egyenlet, így gyökei = 0, =. Oldj meg következő egyenleteket: 5 8 M. 9.. 6 6 M. 0. 0. 9 M... 5 (Tnács: Alkíts szorzttá 5 + polinomot!) Az ) c) példákbn láttuk, hogy egy elsőfokú egyenletnek lehet hogy egy, lehet hogy végtelen sok megoldás vn, s lehet, hogy nincs megoldás. Oldjuk meg -re és vizsgáljuk következő betűegyütthtós egyenleteket: h) ( 8) = 6; i).
h) Mivel ( 8) = ( 4)( + ), ezért ( 4)( + ) = ( 4)( + 4). 4 Így h 4 vgy, kkor z egyetlen megoldás: ; h = 4, kkor minden vlós szám megoldás, míg h =, kkor z egyenletnek nincs megoldás. i) Az egyenletnek = 0 nem lehet gyöke. Az ( l) + = 0 legfeljebb másodfokú egyenlet. H =, kkor =. H, kkor másodfokú egyenlet diszkrimináns D = 4 4( ). D = 4. Az egyenletnek 0 esetén lehet vlós gyöke. H = 0, kkor = 0, így nincs megoldás; h > 0, kkor megoldások: ;. Oldjuk meg és vizsgáljuk következő egyenleteket: M... M.. ( ) =. 4 M. 4. 4. Megoldások z előző hétről 6 6 M. 9. Az egyenletnek nincs értelme, h = 6. Az egyenlet (Hogyn?) Az egyenlet egyetlen gyöke =. lkr hozhtó. 5 6 M. 0. Az egyenletnek nincs értelme, h = vgy =. Az egyenlet 0 9 lkr hozhtó. Az egyenlet egyetlen gyöke =. M.. 5. Az egyenletnek nincs értelme, h = vgy Egyszerűsítsük törtet, z egyenletet redukáljuk nullár, mjd lkítsuk szorzttá. 0. Az egyenlet megoldás: =, =.. M.. (4 ) =. H, kkor 4 ; h, kkor nincs megoldás. 4 M.. Az I. i) egyenlet erre z lkr hozhtó. Eltérés: h = 0, kkor z egyenletnek = 0 (kétszeres) gyöke. M. 4. (4 + ) + 4 + = 0, 0. H = 0, kkor. D = 4 + 4. H <, kkor nincs megoldás, h =, kkor = kétszeres gyök, h >, kkor,. 4
Mgyr Ifjúság. II. EGYENLETEK A tnult meghtározás szerint csk 0 esetén értelmezett és értéke sem lehet negtív 0. Így bizonyos, négyzetgyökös kifejezést trtlmzó egyenletekről zonnl eldönthető, hogy nincs megoldásuk. ) 5. 4 b) 0. Az ) egyenletnek csk kkor vn értelme, h 5. Csk olyn szám lehet z egyenlet gyöke, melyre 0, zz. Mivel olyn szám nincs, melyikre és 5, ezért z egyenletnek nincs megoldás. A b) egyenletnek csk > 0 esetén vn értelme, s ekkor bl oldl mindkét tgj pozitív, ezért összegük is, tehát nincs megoldás. c) 6 0. d) 5. A c) egyenlet -re másodfokú. (Bevezethetnénk új változót is.) Mivel 0, ezért e másodfokú egyenletnek csk nem negtív gyöke jöhet számításb, ez. Így, = 4. A d) egyenletnek csk olyn gyöke lehet, melyikre 5. (Miért?) Az egyenlet mindkét oldlánk négyzetre emelésével nyert + 6 = 0 egyenlet gyökei = 9, = 4. Az = 9 gyöke z dott egyenletnek, hiszen mindkét oldl helyettesítési értéke, z = 4 nem gyöke. (H 5 y jelölést vezetünk be, kkor y 0 és = y + 5, így y y 6 = 0, y =, = 9.) M. 5.. M. 6. M. 7... M. 8. 4 8. Tudjuk, hogy, h 0, 0, h 0,, h 0. M. 9.. 5
M. 0. 4 4. Megoldások z előző hétről M. 5. és kell, hogy teljesüljön, így nincs megoldás. M. 6. Nincs megoldás, hiszen bl oldl mindig pozitív, jobb oldl pedig negtív. M. 7.. Az egyenlet rendezése, mjd mindkét oldl négyzetre emelése után z + 9 0 = 0 egyenlethez jutunk. Ennek gyökei (5, 4) közül csk z = 5 megoldás z dott egyenletnek. M. 8. Vlki kitlált, hogy = 4 gyöke z egyenletnek. Hogyn tudná igzolni, hogy más gyöke nincs? A 8 4 lkr hozott egyenlet mininkét oldlát négyzetre emeljük, mjd nullár redukálunk és szorzttá lkíthtunk. A 4 4 0 = 4 lehet csk gyök, s ez vlóbn z. M. 9. Mivel, ezért =. lkról jól láthtó, hogy Az egyenletnek minden olyn szám megoldás, melyre 0, zz. Próbálj z egyenletet grfikusn megoldni! M.0. + = ( + ). A megoldások:. 6
Mgyr Ifjúság 4. III. EGYENLETRENDSZEREK Mindenki megismerte z elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer lpvető megoldási módszereit, helyettesítés és z egyenlő együtthtók módszerét. (Tekintsük át!) A grfikus megoldást is megismertük. Kevesebbet fogllkoznk áltlábn z egyenletrendszerek megoldásánk vizsgáltávl. A grfikus megoldásból jól láthtó, hogy vgy egyetlen megoldás, vgy végtelen sok megoldás vn, vgy pedig nincs megoldás. ) Vizsgáljuk és oldjuk meg: y, 4 y b. Az első egyenlet kétszeresét kivonv második egyenletből: ( )y = b. H, kkor z egyenletrendszer egyetlen megoldás b b y,. 4 H = és b =, kkor végtelen sok megoldás vn, hiszen + y = egyenlet megoldási egybeesnek második egyenlet megoldásivl. A megoldások: = t, y = t, hol t bármely vlós szám lehet. H = és b =, kkor nincs megoldás. y, M.. y. y, M.. 7 y 8. H kétismeretlenes egyenletrendszer nem elsőfokú, kkor is megismert módszerekkel kísérletezzünk. Tnácsoljuk z új változók bevezetését (h szükséges), és esetleg z egyenlet nullár redukálás után szorzttá lkítást. M.. M. 4. y y. y, y 6 y. y 4, M. 5. y y y 0, 9. y M. 6. y. 0, 7
M. 7. y y, y 5 y. M. 8. y y y 6, 6. M. 9. y y 8, y y y. Megoldások z előző hétről M.. H, kkor z egyetlen megoldás, y. H kkor nincs megoldás, hiszen z első egyenlet y = egyenlettel egyenértékű., 5 M.. H 5 vgy, kkor z egyetlen megoldás, y. H = 5, kkor végtelen sok megoldás vn; = t, y = t + lkúk. H =, kkor nincs megoldás. M.. =, y =, =, y =, 5 y 4. 5, 5 y, 5 4, M. 4. Az egyenletrendszert négy (, y) számpár elégíti ki, (; ), (; ), ( ; ), ( ; ). M. 5. = 4, y = 40, = 4, y = 40. M. 6. =, y = 0; y =, 5 ; y =, 5. M. 7. Redukáljuk nullár z első egyenletet. = 0, y = 0, = 5, y = 5, =, y =, y 4 =, 4 =. M. 8. Az első egyenlet y -r másodfokú. y =, = 5, y =, = 5. M. 9. 5, y. 9 7, y. 6 6 8
Mgyr Ifjúság 5. IV. MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, POLINOMOK H egy másodfokú egyenlet két gyöke,, kkor ( )( ) = 0, hol 0. Az + b + c = 0 () egyenlet legfeljebb másodfokú, ugynis = 0 is lehetséges. H 0, úgy z () egyenlet diszkrimináns D = b 4c. Az () egyenletnek kkor és csk kkor vn gyöke vlós számok körében, h D 0. Az () egyenlet két gyöke pontosn kkor egyenlő, h D = 0. Ekkor gyöktényezős lk: ( ) = 0. H D 0, kkor z () egyenlet és gyökei és z, b, c b c együtthtók között érvényesek következő összefüggések: 9,. Az y = + b + c másodfokú függvény csk pozitív értéket vesz fel, h D < 0 és > 0, csk negtív értéket vesz fel, h D < 0 és < 0. ) Htározzuk meg b értékét úgy, hogy z + (b + l) + b + 4 = 0 egyenlet két gyöke egyenlő legyen! b) Htározzuk meg,, értékét úgy, hogy z + ( ) + = 0 egyenlet egyik gyöke másik gyökének kétszerese legyen! Számítsuk ki gyököket is! c) Adott z ( l) + + l = 0 egyenlet. Igzoljuk, hogy z egyenletnek minden vlós esetén vn megoldás! Htározzuk meg " értékét úgy, hogy z egyenlet gyökei különböző előjelűek legyenek! d) Az prméter mely értékeire lesz z ( l) ( ) ( + ) polinom értéke minden -re negtív? ) =, h D = 0. Most D = b b 5 = 0. H b = 5, kkor = =, h b =, kkor = =. b) D = ( ) 5, =, =. H =, kkor = 4 4,, ; 4 h =, kkor =, =. Vgy: = =, =, s h =, kkor =, =, így 4 5 + 0 = 0, = vgy. 4 c) esetén =. H, kkor D = 4, így vlóbn mindig vn megoldás, =,. A gyökök különböző előjelűek, h 0, zz < <. d) H =, úgy polinom állndó,, tehát negtív. A pontosn másodfokú polinom kkor lesz minden -re negtív, h D = 4( l) < 0 és < 0, zz h 0 < <. Válsz: 0 <. M. 0. Adott z = 0 egyenlet. ) Igzolj, hogy z egyenletnek minden vlós esetén vn vlós megoldás. b) Milyen esetén vn z egyenletnek két egyenlő megoldás? c) Htározz meg z értékét úgy, hogy z egyenlet egyik gyöke másik gyökének háromszoros legyen! d) Htározz meg z értékét úgy, hogy z egyenlet két gyökének összege legyen, mjd úgy, hogy két gyökének szorzt legyen! M.. Az prméter mely értékeire lesz z ( l) 6 + polinom értéke minden -re pozitív?
,, Megoldások z előző hétről M. 0. ) Mivel D = 4( + l) 0, ezért igz z állítás. b) H D = 0, zz =, kkor l = =. c) = +, =. H =, kkor, h =, kkor. Mindkét esetben 0, s két gyök,. 4 Más módon: Mivel + =, és =, ezért h ( < és) =, kkor 4 =,, 4, vgy. d) A két gyök összege minden " esetén, két gyök szorzt egyetlen esetén sem, hiszen = egyenletnek nincs megoldás. M.. H =, kkor 6 értéke lehet negtív is. H, polinom másodfokú, kkor l > 0 és D = 4( 4)( + ) < 0 együtt kell, hogy teljesüljön. Válsz: > 4 esetén vesz fel polinom minden -re pozitív értéket. 0