Dierenciálgeometria feladatsor

Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes a síkban; c v = v 1, v, v irányvektorú, P = p 1, p, p ponton átmen egyenes a térben; d z tengely, a sugarú egyenes forgáshengerre írható b menetemelkedés hengeres csavarvonal.. Írjuk fel az x + y + z = R egyenlet gömb és az x + y Rx = 0 egyenlet henger áthatási görbéjének egy paraméteres alakját Viviani-féle görbe!. Legyen adva a valós síkban egy x + y a = a egyenlet kör, és gördüljön ez a kör az x-tengely mentén. Határozzuk meg az origó mint pont által befutott ponthalmaz ún. ciklois egy paraméteres el állítását! Végeredmények: 1. a ct = a+r cos t, b+r sin t, b ct = t, b+mt, c ct = p 1 +tv 1, p +tv, p +tv, d ct = a cos t, a sin t, bt. ct = R cos t, R cos t sin t, ±R sin t, t [, ] 1

. ct = at a sin t, a a cos t, t R A teljesség igénye nélkül néhány további nevezetes görbe: Traktrix vonszolási görbe: Olyan síkgörbe, amelyre teljesülnek a következ k: a A görbe átmegy az a, 0 ponton, ahol a R +. b A görbe tetsz leges A pontjára illeszked érint egyenes olyan A pontban metszi az y-tengelyt, amelyre da, A = a. A görbe paraméteres alakja: ct = a sin t, a ln tg t + cos t, t ]0, [ Bernoulli-féle lemniszkáta: Legyen A és B síkbeli pontok távolsága a, a keresett görbe pedig azon P pontok halmaza, amelyre da, P db, P = a teljesül. Ekkor: ct = a cos t a sin t cos t, 1+sin t 1+sin, a R t + Az ábrán a = 1. Asztroid: Egy a hosszúságú szakasz A végpontja az x, a B végpontja az y-tengelyen mozog. Az A pontra illeszked, y-tengellyel párhuzamos és a B-re illeszked, x-tengellyel párhuzamos egyenes metszéspontját jelölje C, a C pontból az AB egyenesre bocsátott mer leges talppontja legyen P. A P pontok halmaza a keresett görbe: ct = a cos t, a sin t, a R + Az ábrán a = 1.

Dioclész-féle cisszoid: Tekintsünk egy origó középpontú, a sugarú kört a síkban. Legyen e a kör A = a, 0 pontbeli érint egyenese. Tetsz legesen kiválasztva egy OB OA félegyenest, messe ez a kört a C pontban, az e érint egyenest pedig a D pontban. Legyen P OB az a pont, amelyre do, P = dc, D. Keressük a P pont pályáját, ha OB körbeforog O körül. A keresett görbe: ct = at,, at a R 1+t 1+t + Az ábrán a = 1. Ezt a görbét a görögök a kockakett zés és a szögharmadolás problémájának megoldására szerették volna felhasználni.. Sebességvektor, ívhossz, természetes paraméterezés 1. Írjuk fel a c: I R n görbe tetsz leges pontbeli sebességvektorát és a ct 0 -beli érint egyenesének egyenletrendszerét, ha a ct := e t cos t, e t sin t, e t, t 0 = 0 b ct := t, ln t, t + 1, t 0 = 1 c ct := e t, e t, t, t 0 = 1 d ct := cos t, sin t, t, t 0 = 8 e ct := cos t, sin t, 5t, t 0 = 6 f ct := sint, cos t, e t cos t e, t 0 =. Határozzuk meg a c: t R ct := t, t, t R görbe azon érint egyeneseinek egyenletrendszerét, amelyek párhuzamosak az x + y + z = 0 egyenlet síkkal!. Számítsuk ki a c: [a, b] R n görbe ívhosszát, ha a [a, b] = [0, ], ct := t, t b [a, b] = [1, ], ct := cos t, sin t, t c [a, b] = [1, ], ct := t, t, t d [a, b] = [0, ], ct := cos t, sin t, cos t, sin t. Vezessünk be természetes paraméterezést a következ görbékénél: a c: t R ct := cos t, sin t, t R b c: t R ct := e t cos t, e t sin t, e t R c c: t R ct := t cos ln t, t sin ln t, t R Az ívhosszfüggvényt olyan intervallumon adjuk meg, amelynek a 0 a baloldali végpontja.

Végeredmények: 1. a c t = e t cos t sin t, sin t + cos t, 1, e: x 1 = y = z 1 b c t = t t ln, ln, x, t e: +1 ln = y ln ln = 5z 5 c c t = e t, e t, x e, e: = y e = z e e d c t = sin t, cos t, 1, e: x = z +, y = 1 e c t = sin t, cos t, 5, e: x = y = 5 6z 0 f c t = 6t cost, cos t sin t, e t cos t sin t, e: x = 0, y = 1, z R. t 1 = 1 esetén x 1 = y 1 = z 1 és t 1 = esetén x = y+ 8 = z. a Λc = 8 7 10 10 1, b Λc = 1, c Λc = 1 + 5 ln 6+ 1 5 hogy x + a dx = 1 x x + a + a ln x + x + a + c, d Λc = t. a ct = cos 1, sin t t 1, 1 b ct = t+ cos ln t+, sin ln t+ c ct = t 1 cos ln t 1, sin, 1 ln t 1, felhasználva,. Síkgörbék Frenet-bázisa, görbület, simulókör 1. Határozzuk meg a c: I R síkgörbe Frenet-bázisát, továbbá számítsuk ki a görbületét a t paraméter pontban, ha a I = [0, ], ct = t, sin t, t = b I = [0, ], ct = cos t, 5 sin t, t 1 = 0 és t = c I = [1, + [, ct = ln t, 5t + t, t = d I = R, ct = t sin t, 1 cos t, t = t e I = [1, 10], ct =, ln t 1, t t t = f I = [0, ], ct = e t cos t, e t sin t, t =. Írjuk fel az el z feladat b, d és f példájában szerepl görbe adott ponthoz tartozó simulókörének egyenletét!. Adott egy x a + y = 1 egyenlet azaz a nagy- és b kistengely ellipszis a b. b a Határozzuk meg a görbületfüggvényét, majd annak széls értékeit. Mely pontokban lesz maximális és melyekben minimális a görbület? b Szerkesszük meg az ellipszis tengelypontjaiban a simulóköröket! Végeredmények: 1. a T = 1, 1, N = 1, 1, κ = 0 b T 0 = 0, 1, N0 = 1, 0, κ0 = 5 T = 1, 0, N = 0, 1, κ = 5 9

c T = 1 15,, 1 15 N = 1 1 15,, 15 κ = 76 = d T = 1 1, e T = 6 7, 1 f T =, N. r t = 1 κt, K t = ct + 1 1 1, = 1, κ 1 6 7,, 7 κ = 8 111 7, 7 N = 1,, 1 N = 1,, 1 κ = 1 e κt Nt + y = 65 9 és x + y 16 5 b x + 16 d x 1 + y + 1 = 8 f x + y + e = e. Segítség: κt = ab a sin t + b cos t = 81 5 105 15 A görbület a nagytengely végpontjaiban a b, a kistengely végpontjaiban b a.. Térgörbék Frenet-bázisa, torzió 1. Határozzuk meg az alábbi térgörbék t paraméter pontjához tartozó kísér triéder élegyeneseinek egyenletrendszerét és síkjainak egyenletét, ha a ct = t, t+1, t, t = 1 b ct = t 1, t +, t, t = 1 c ct = t, t + 1, 1 t, t = 1 d ct = 1 + t,, t t, t = 1 1+t e ct = e t t, e t, + e t, t = 0 f ct = cos t, sin t, t, t = 6 g ct = t sin t, cos t, sin t, t =. Számítsuk ki a következ térgörbék görbületét és torzióját a megadott t paraméter pontban! a ct = t t, t +, t 5, t = 1 b ct = t 1, t +, t t, t = 1 1 c ct = t cos t, t sin t, sin, t = t d ct = sin t t, t cos t, 1 t, t = e ct = t sin t, cos t, sin t, t = f ct = a cos t, a sin t, bt, t = t 0 a > 0 g ct = e t cos t, e t sin t, e t, t = t 0. Határozzuk meg a következ térgörbék adott t paraméter pontjában a T, F, B vektorokat a Frenet-formulák segítségével, ha a ct = t, t, t, t = 1 b ct = t sin t, cos t, sin t, t = c ct = a cos t, a sin t, bt, t = t 0 a > 0, b 0 5

. Bizonyítsuk be, hogy a következ görbék síkgörbék: a ct = a cos t, a sin t, cos t b ct = t + t 1, t + t, t + c ct = e t cos t, e t sin t, e t cos t + sin t 5. Írjuk fel természetes paraméterezés görbe esetén a T, T, F, F, B és B vektorokat a T, F, B vektorok segítségével! 6. Számítsuk ki természetes paraméterezés görbe esetén a T, F és B vektorok egymással bezárt szögeit! 7. Bizonyítsuk be, hogy az x = y és xy = 9z egyenlet másodrend felületek metszésvonala általános csavarvonal! Segítség: Lancret tétele: Egy bireguláris térgörbe pontosan akkor általános csavarvonal, ha τt κt = k, k R minden t paraméterre! Végeredmények: 1. a érint egyenes: x 1 = y+16 = z+1, binormális egyenes: x 1 16 = y+16, z = 1, x 1 f normális egyenes: = y+16 8 = z+1 10 ; normálsík: 6x 8y 1z = 65, simulósík: x + y =, rektikálósík: 1x 96y + 90z = x b érint egyenes: = y = z, binormális egyenes: x = y = z, f normális egyenes: x 7 = y 8 = z 11 ; normálsík: x + y + z =, simulósík: x y z = 1, rektikálósík: 7x + 8y 11z = c érint egyenes: x + 1 = y x+1 = z 1, binormális egyenes: 10 = y = z+1 6, f normális egyenes: x+1 = y 16 = z+1 1 ; normálsík: x y z = 8, simulósík: 10x + y + 6z = 1, rektikálósík: x + 16y 1z = 50 d érint egyenes: x = 1 y = z x, binormális egyenes: = y 1 = z, f normális egyenes: x = 1 y = z ; normálsík: x y z =, simulósík: x + y + z = 6, rektikálósík: x y + z = 0 e érint egyenes: y 1 = z +, x = 1, binormális egyenes: x 1 6 = 1 y = z+, f normális egyenes: x 1 5 = y 1 6 = z+ 1 ; normálsík: y + z = 1, simulósík: 6x y + z = 1, rektikálósík: 5x + 6y 1z = 7 f érint egyenes: 1 x = y = z 6, binormális egyenes: x 1 = y = z 16, f normális egyenes: x 1 = y, z = ; normálsík: x y 6z =, simulósík: x y + 8z =, rektikálósík: x + y = g érint egyenes: x = y = z, binormális egyenes: x = y = z, f normális egyenes: x = z, y = 0; normálsík: x y + z = 6 +, simulósík: x + y + z = +, rektikálósík: x z = 6. a κ1 = 98, τ1 = 1 ; b κ1 = 10 7, τ1 = 6 ; c κ τ = + +18 ; d κ = + + +1 e κ = 6 8, τ = 5 ; f κt 0 = a a +b, τt 0 = τt 0 = 1 e t 0. a T 1 = = + +18 + +, 1+ + +1, τ = 1 + 1+ ; e t, 0 b a +b ; g κt 0 = 1 1 6, 0, 6, F 1 = 1,, 1, B 1 = 1, 0, 1 6

b T = c T t 0 = 1, 0, a b cos t0, b sin t 0, 0 +b a +b, F. Segítség: τt = 0 minden t-re. = 6 9, 6, 1 9, B = 5 9, 0, 5 6 18 a cos t 0 a +b, a sin t 0 a +b, 0, F t 0 = sin t 0, cos t 0, 0, B t 0 = 5. T = κ T + κ F + κτb; F = κ T κ + τ F + τ B; B = κτt τ F τ B; T = κ κt + κκ + τ + κ F + κ τ + κτ B; F = κκ + τ κ T κ + τ F τκ + τ τ B; B = κ τ + κτ T + τκ + τ τ F ττ B 6. T F, F B ; T, B =, ha κτ > 0 és T, B = 0, ha κτ < 0 7. ct = t, t, t 7, τt κt = 1. 5. Felületek megadási módjai Legyen I R nyílt intervallum, és c = c 1, c parametrizált görbe, amelyre c t > 0, minden t I esetén. Belátható, hogy ekkor az r : I R R, ru, v = c 1 u, c u cos v, c u sin v elemi felület: a c görbe x-tengely körüli megforgatásával keletkez forgásfelület. Amennyiben adott egy fx, y = 0, z = 0 egyenletrendszerrel megadott ponthalmaz, úgy az x-tengely körüli elforgatásával keletkez felület egyenlete: fx, y + z fx, y + z = 0. Ha a ponthalmaz a forgatás tengelyére szimmetrikus, úgy az egyenlet fx, y + z = 0 -ra redukálódik. Néhány másodrend felület kanonikus egyenlete: x a + y b + z c = 1 x a + y b z c = 1 x a y b z c = 1 x a + y b z c = 0 x a + y b = z x a y b = z x a + y b = 1 x a y b = 1 y = cz c 0 ellipszoid egyköpeny hiperboloid kétköpeny hiperboloid kúp elliptikus paraboloid hiperbolikus paraboloid/nyeregfelület elliptikus henger hiperbolikus henger parabolikus henger 7

1. Adjuk meg az x y + z = 5 egyenlet sík egy paraméteres el állítását!. Adjuk meg egy origó középpontú, R sugarú gömb egy paraméteres el állítását!. Tórusz: Legyen adva az [x, z] koordinátasíkban egy k α, 0, 0 középpontú, β sugarú kör 0 < β < α. Adjuk meg egy paraméteres el állítását a k kör z-tengely körüli megforgatásával keletkez felületnek!. Tekintsük az x + y 6x + 5 = 0, z = 0 egyenletrendszer körvonal y-tengely körüli megforgatottját. Állítsuk el a kapott tóruszt implicit módon F x, y, z = 0 és paraméteresen is! 5. Az alábbi parametrizált felületek mely másodrend felületek paraméterezései? α, β, γ R + a ru, v = α cos u cos v, β sin u cos v, γ sin v, ahol u ]0, [, v ], [ b ru, v = v cos u, v sin u, v, u R, v R + c ru, v = αu cos v, βu sin v, u, u R, v [0, ] d ru, v = α ch u cos v, β ch u sin v, γ sh u, u R, v [0, ] e ru, v = α ch u, β sh u cos v, γ sh u sin v, u R, v [0, ] f ru, v = αu + v, βv u, uv, u, v R g ru, v = u, v, uv, u, v R 6. Írjuk fel annak a kúpnak az egyenletét, amelynek csúcspontja az origó, vezérvonala pedig az a kör, amelyet az y = egyenlet sík metsz ki az x + y 6 + z = 5 egyenlet gömbfelületb l! 7. Egy henger vezérvonalának egyenletrendszere x + y = y, z = 0, alkotóegyeneseinek közös irányvektora v =, 1,. Adjuk meg a henger F x, y, z = 0 implicit egyenletét, és állítsuk el paraméteres formában is! Végeredmények: 1. ru, v = u, v, 1 5 u + v Euler-Monge paraméterezés. ru, v = R cos u, R sin u cos v, R sin u sin v, ahol u [, ], v [0, ]. ru, v = α + β cos u cos v, α + β cos u sin v, β sin u, r : [0, ] R. x + z 6 x + z + y + 5 = 0, ru, v = + cos u cos v, sin u, + cos u sin v 5. a origó középpontú ellipszoid, b origó csúcspontú körkúp, c elliptikus paraboloid, d egyköpeny hiperboloid, e kétköpeny hiperboloid, f hiperbolikus paraboloid nyeregfelület, g xy z = 0 nyeregfelület, amely az el z példában szerepl nyeregfelület z-tengely körüli szög elforgatásával és nyújtással keletkezik. 8

6. ru, v = v cos u, v, v sin u, 9x 16y + 9z = 0 7. x + y + 5z 8xz yz 8y + z = 0, ru, v = v + cos u, v + 1 + sin u, v 6. Felületek paramétervonalai és érint síkjai 1. Határozzuk meg, hogy az alábbi parametrizált felületek paramétervonalai milyen parametrizált görbék! a ru, v = u cos v, u sin v, v, u, v R b ru, v = u + v, u v, uv, u, v R c ru, v = cos u ch v, sin u sh v, u, u, v R. Írjuk föl az alábbi parametrizált felületek r : R R megadott p paraméter pontjában az érint sík egyenletét és a felületi mer leges egyenletrendszerét. Határozzuk meg az adott ponton átmen paramétervonalak hajlásszögének koszinuszát! a ru, v = u v, uv, u + v, p = 1, b ru, v = cos u v sin u, sin u + v cos u, v, p = 0, 1 c ru, v = u, 1 + u cos v, 1 + u sin v, p = 1, d ru, v = u cos v, u sin v, v, p = 1,. Tekintsük az r : u, v R ru, v := v cos u, v sin u, v R parametrizált körkúpot és azt a c := r c felületi görbét, ahol ct := t, e t R, t R. a Fejezzük ki a c deriváltat az r u és r v parciális deriváltak segítségével! b Mutassuk meg, hogy c t ugyanakkora szöget zár be az r u ct vektorral, mint az r v ct vektorral minden t R paraméter esetén!. Adott az r : u, v R ru, v := u cos v, u sin v, u R parametrizált felület. Számítsuk ki r α és r β felületi görbe szögét a közös t 0 = 1 paraméter pontban, ha α: t R αt := t, t + 1 R és β : t R βt := t, t R. 5. Határozzuk meg az alábbi implicit megadású felületek kijelölt pontjában az érint sík egyenletét! a xy + z = 1, P = 1,, b 6xy x y z = 0, P =,, 8 c x y z = 0, P =, 1, 1 d x α y β = z, P = p 1, p, p 6. Határozzuk meg az xyz = 1 felület x + y + z 5 = 0 síkkal párhuzamos érint síkjának egyenletét! 7. Igazoljuk, hogy az x + y + z = 18 és az xy = 9 egyenlet felületek közös pontjaiban az érint síkok is egybeesnek! 9

Végeredmények: 1. a 1. paramétervonalak: egyenesek,. paramétervonalak: hengeres csavarvonalak a felület csavarfelület; b 1. és. p.m.v.: egyenesek a felület nyeregfelület; c 1. p.m.v.: cos-függvény, ha a második paraméter 0, egyébként elliptikus hengerre írt csavarvonal,. p.m.v.: hiperbola, ha az 1. paraméter nem k alakú; 0, ±sht, u 0, ha u 0 k alakú és k páratlan; ±cht, 0, u 0, ha u 0 k alakú és k páros, k Z.. a T p r : x y + 5z = 0, n: x+ = y = z 5 5, cos r up, r v p = 6 b T p r : x + y z = 1, n: x 1 = y 1 = 1 z, r u p, r v p = c T p r : x y z =, n: x 1 = 1 y = d T p r : x y + z =, n: x 1 = z, r u p, r v p = y = z, r up, r v p =. a c t = e t sin t, e t cos t, 0 + e t cos t, sin t, 1 b r u ct r v ct és ezeknek szögfelez je a c t minden t-re. cos r α 1, r β 1 = 5. a felület pontbeli gradiensvektorának felhasználásával: a T P F : x + y + z = 9, b T P F : 0x + 6y z = 168, c T P F : x y + z =, d T P F : p 1x p y = z + p α β 6. P = 1, 1, 1, T P F : x + y + z = 7. közös pontok: P =,, 0 és Q =,, 0, grad F 1 P grad F P és grad F 1 Q grad F Q 7. Els alapmennyiségek, felületi görbék ívhossza, felületdarab felszíne 1. Számítsuk ki a következ felületek els alapmennyiségeit u, v R: a ru, v = au cos v, bu sin v, u b ru, v = au ch v, bu sh v, u c ru, v = a sh u cos v, b sh u sin v, c ch u d ru, v = xu cos v, xu sin v, zu elliptikus paraboloid hiperbolikus paraboloid kétköpeny hiperboloid z-tengely forgásfelület. Számítsuk ki az r : R R parametrizált felület r c felületi görbéjének ívhosszát felületi görbeként!, ha a ru, v = v cos u, v sin u, v, ct = t, e t, t [0, α] α R + b ru, v = e u cos v, e u sin v, e u, ct = t, t, t [0, α] α R + c ru, v = u v, uv, u + v, ct = sin t, sin t, t [ 0, ]. Számítsuk ki a felület felszínét, ha a r : u, v [, ] [, ] ru, v = cos u cos v, sin u cos v, sin v R b r : u, v [0, ] ru, v = α + β cos u cos v, α + β cos u sin v, β sin u R c r : u, v [0, ] [0, 1] ru, v = cos u v sin u, sin u + v cos u, u + v R d r : u, v [ 1, 8] [0, ] ru, v = 1 u cos v, u, 1 u sin v R. Legyen U R a 0, 0, 1, 0 és 1, 1 csúcspontokkal rendelkez háromszöglemez. Számítsuk ki az r : u, v U ru, v = u +v, u v, uv parametrizált felület felszínét! 10

Végeredmények: 1. a E p = a cos v + b sin v + u, F p = b a u cos v sin v, G p = a u sin v + b u cos v b E p = a ch v + b sh v + u, F p = a + b u ch v sh v, G p = a u sh v + b u ch v c E p = a ch u cos v + b ch u sin v + c sh u, F p = b a ch u sh u cos v sin v, G p = a sh u sin v + b sh u cos v d E p = x u + z u, F p = 0, G p = xu. a e α 1, b 61 e α, c. a, b αβ, c, d 10. 8. Második alapmennyiségek, f irányok, f görbületek, Gauss- és Minkowskigörbület 1. Határozzuk meg az alábbi parametrizált felületek kijelölt pontjában a f görbületeket, f irányokat, a Gauss- és Minkowski-görbületeket! a r : u, v R ru, v := u + v, uv, u v R, p = r 1, 1 b r : u, v R ] 0, [ ru, v := u cos v, u sin v, v R, p = r 1, c r : u, v R ] 0, [ ru, v := e u cos v, e u sin v, e v R, p = r 0, 0 d r : u, v ] 0, [ R + ru, v := v cos u, v sin u, v 1 + cos u R, p = r, 1 e r : ] 0, [ ] 0, [ R, ru, v := a sin u cos v, a sin u sin v, a ln tg u + cos u p = r, λ, a R + rögzített, λ ] 0, [. Határozzuk meg a következ implicit alakban megadott felületek adott pontbeli Gaussés Minkowski-görbületét! a x y + xy z = 0, P = 1,, 0 b x y 8z = 0, P =,, 0 c x y z = 0, P =, 1, 9. Végezzük el a felületi pontok osztályozását az r : [0, ] [0, ] R, ru, v = α + β cos u cos v, α + β cos u sin v, β sin u parametrizált tóruszon!. Határozzuk meg az r : u, v R \ {0, 0} ru, v = v, u, u + v R felület parabolikus pontjait! 5. Mutassuk meg, hogy az r : u, v [0, ] ru, v = cos u, sin u cos v, sin u sin v R parametrizált gömb minden pontja elliptikus! 11

6. Mutassuk meg, hogy az r : u, v R [0, ] ru, v = u, u cos v, u sin v R parametrizált kúp minden pontja parabolikus! 7. Mutassuk meg, hogy az r : u, v R ru, v = u, v, uv R parametrizált nyeregfelület minden pontja hiperbolikus! 8. Tekintsük az r : [0, ] [0, ] R, ru, v = α + β cos u cos v, α + β cos u sin v, β sin u parametrizált tóruszt. Adjunk meg olyan érint síkot, amely pontosan két pontban érinti a felületet! Milyen alakzatban metszi ez a sík a tóruszt? Villarceau-körök Végeredmények: 1. Itt V 1 és V vektorok a megfelel f irányokkal párhuzamos vektorok. A V i, i = 1, a i f irányhoz tartozó érint egyenes egy eleme. 1 1 a W p = ; κ 1 1 1 p = 0, V 1 = 1, 1 B, κ p =, V = 1, 1 B ; Kp = 0 parabolikus pont, Hp = 0 b W p = ; κ 0 1 1 p = 1, V 1 =, 1 B, κ p = 1, V =, 1 B ; Kp = 1 c W p = 1 hiperbolikus pont, Hp = 0 0 ; κ 1 1 1 p = Kp = 1 hiperbolikus pont, Hp = d W p = 1 18 5 5 9, V 1 =, 1 B, κ p = 8, V = 1, 1 B ; ; κ 1 p = 0, V 1 = 1, B, κ p = 9, V = 5, B ; Kp = 0 parabolikus pont, Hp = 9 e W p = 1 0 ; κ 1 p = a 0 a, V 1 = r u p, κ p = Kp = 1 a hiperbolikus pont, Hp = a a, V = r v p;. a Kp = 6 81, Hp = 1 ; b Kp = 1, Hp = 6 18 96 ; c Kp = 599, Hp = 5 1 15. elliptikus pontok: u, v [ 0, ] ], ] [0, ]; parabolikus pontok: u, v {, } [0, ]; hiperbolikus pontok: u, v ], [ [0, ]. Ku, v = 0, ha 7uv = 0; így egy felületi pont parabolikus, ha u = 0 vagy v = 0. 5. Ku, v = 1 > 0 az értelmezési tartomány minden u, v pontja esetén 6. Ku, v = 0 és Hu, v 0 az értelmezési tartomány minden u, v pontja esetén 7. Ku, v = 1 u +v +1 < 0 az értelmezési tartomány minden u, v pontja esetén 1

8. Útmutató: Végtelen sok ilyen sík létezik. Kiválasztva például az [y, z]-koordinátasík metszetét, az ott kapott két kör egyik közös bels érint egyenese és az x-tengely által meghatározott sík pontosan két pontban érinti a tóruszt. A kapott metszési alakzat két egymást az érintési pontokban metsz kör ezek az ún. Villarceau-körök. Az ábra jelöléseit követve v 1 = 0, α β α, β α β α, valamint v = 1, 0, 0 az érint sík egy-egy irányvektora, így az érint sík egy normálvektora például: w = 0, β, α β. A sík tartalmazza az origót, így az egyenlete: βy α β z = 0. 1