Simonovits András: A RUGALMAS NYUGDÍJKORHATÁR. MTA, Közgazdaságtudományi Kutatóközpont, BME és CEU e-mail: simonov@econ.core.hu 2006. szeptember 1.

Simonovits András: A RUGALMAS NYUGDÍJKORHATÁR MTA, Közgazdaságtudományi Kutatóközpont, BME és CEU e-mail: simonov@econ.core.hu 2006. szeptember 1. i

Kivonat Rugalmas nyugdíjkorhatárról beszélünk, ha a nyugdíjba vonuló bizonyos korlátok között szabadon választhatja meg, hogy hány éves korában megy nyugdíjba. Egy ésszerű nyugdíjrendszerben a havi nyugdíj annál nagyobb, minél többet dolgozott és minél idősebb korában ment nyugdíjba az illető. A jelenleg uralkodó elmélet szerint, amelyen az eszmei számlák rendszere is alapul, a havi nyugdíjnak akkorának kell lennie, hogy a várható nyugdíjbe- és kifizetések egyenlege nulla legyen, függetlenül a szolgálati időtől, illetve a nyugdíjazási kortól. Ez az elv azonban azt tételezi fel, hogy a nyugdíjazáskor várható (születéstől számított) élettartam független a nyugdíjazási kortól. Ebben a cikkben amellett érvelünk, hogy ez a függetlenségi feltevés korántsem ártalmatlan. A valóságban a később nyugdíjba menők statisztikusan tovább élnek, ezt az egyének valamenyire tudják és figyelembe veszik szolgálati idejük megválasztásánál. A társadalmilag optimális szabályt úgy kell meghatározni, hogy minden egyén akkor járjon a legjobban, ha éppen a számára tervezett járadékot választja. A nagyságrendek érzékeltetésére megemlítjük, hogy a Magyarországon 2003-ig évi 3,6%-os jutalmat fizettek a korhatáron túli munkaért, 2004-től viszont évi 6%-ot. Vélhetőleg a régi érték volt társadalmilag előnyösebb. Köszönetnyilvánítás. Külön hálával tartozom Eső Péternek, hogy közös munkánk (Eső Simonovits, 2003) során bevezetett a mechanizmustervezésbe. Köszönetemet fejezem ki Alács Péternek, Csorba Gergelynek, Peter Diamond-nak, Pierre Pestieaunak, Réti Jánosnak és Vincze Jánosnak a témáról szóló írásaimhoz, köztük Simonovits (2002a) könyvemhez fűzött hasznos megjegyzéseikért. A cikkben kifejtettekért természetesen egyedül én vagyok felelős. A kutatást az OTKA T046175 támogatta. ii

1. Bevezetés A fejlett országok társadalmának fokozatos elöregedésével párhuzamosan világszerte előtérbe került a nyugdíjrendszer hosszú távú fenntarthatóságának kérdése. A volt szocialista országokban az átalakulási visszaesés okozta foglalkoztatási összehúzódás rövidebb távon is kiélezte a nyugdíjrendszer problémáit. Több átalakuló országban, köztük elsőként hazánkban bevezették a kötelező magánnyugdíjpillért, de ennél jelentősebb hatás várható a tb-pillér parametrikus reformjaitól (Gál és szerzőtársai, 2001; Gál Tarcali, 2003). Magyarországnál maradva, 2000-től kezdve a nyugdíjasok számára kedvezőtlenül megváltozott a nyugdíjindexálás módja, 1997-től kezdve jelentősen megemelték a nyugdíjkorhatárt: a férfiaknak 1997-ben 61 évre, 1999-re 62 évre emelkedett a nyugdíjkorhatár, a nőknek kétévenkénti egy évvel emelkedve, 1996-tól 55 évről 2009-re 62 évre emelkedik a nyugdíjkorhatár (tehát 2005-ben 60 év). Nem nehéz belátni, hogy teljes foglalkoztatást, rokkantságmentességet és a kötelező nyugdíjkorhatárig való részvételt feltételezve, milyen jelentős javulás várható a korhatáremeléstől. Ha mindenki 21 éves korában kezdene dolgozni, és az egyes korosztályok azonos létszámúak lennének, akkor az átlagos 57 éves korhatár 62 évre emelésével a dolgozók létszáma 14%-kal nőne, míg a nyugdíjasoké 73 éves várható élettartamot feltételezve 31%-kal csökkenne. (Ez csak szemléltetés, ezért ne keressük a nyugdíjazás előtt meghaltakat, a megrokkantakat és a már inaktívakat!) Érdekes módon ilyen naiv számítást alkalmazott a World Bank (1994, 339 341. o.) magyar nyugdíjrendszer szimulációja. Az emberek azonban nem pontosan a nyugdíjkorhatár elérésekor mennek nyugdíjba: kevesen tovább dolgoznak, és sokan előbb nyugdíjba mennek, még a kiemelkedő foglalkoztatási adatokkal dicsekvő Egyesült Államokban is. Ezért is kereszteli át Diamond Orszag (2004) a normális nyugdíjkorhatárt teljes járadékot nyújtó életkornak. A tényleges nyugdíjrendszerek általában rugalmasak: jutalmak és büntetések rendszerével terelik a dolgozókat a további dolgozás vagy a korai nyugdíjazás felé. A magyar gyakorlatra egyelőre az jellemző, hogy a dolgozók zöme a nyugdíjkorhatár alatt, de teljes nyugdíjjal megy nyugdíjba. Ezt mutatják a következő adatok (ONYF, 2004): a korhatáremelést átmenetileg enyhítő szabályok miatt 1997-ről 2002-re a férfiak között a bónuszt élvezők aránya 13,4%-ról lecsökkent 0,4%-ra, míg a malustól szenvedők aránya 0,3%-ról megnőtt 5,1%-ra. Nőknél a megfelelő számok; bónusz: 1,4%-ról 0,1%- ra, málusz: 4,8%-ról 7,0%-re változott. Ebben a cikkben egyetlen egy kérdéssel foglalkozunk: mi legyen azokkal, akik nem a kötelező nyugdíjkorhatárt elérve mennek nyugdíjba? Hogyan büntessük a korábban nyugdíjba vonulókat, és hogyan jutalmazzuk a később megpihenőket? A közkeletű elméleti válasz megvesztegetően egyszerű: matematikai-biztosítási elemzéssel ki kell számítani, hogy 1 hónapi továbbszolgálat mennyi többletjárulékbevételt és járadékmegtakarítást hoz a tb-nek. Jutalomként olyan többletjáradékot kell fizetni, amely mellett az egyenleg 0. Ha egy nyugdíjszabály ilyen elveket követ, akkor aktuáriusan tisztességesnek (korrektnek, méltányosnak) nevezik. Például az Egyesült Államokban az ún. aktuáriusi kiigazítás évi 7% körüli, és ezt sokan tisztességesnek tartják. Magyarországon e kiigazítási tényező sokáig évi 3,6% volt, de 2004-ben hirtelen felemelték évi 6%-ra! (Egyébként éppen a korhatáremelési átmenet megkönnyítésére a magyar kormány 1997-től kezdve nagyvonalú engedményeket biztosított az emelt korhatártól sújtottak részére.) 1

Figyelemre méltó, hogy ezt a biztosítási kiigazítást egyaránt alkalmazzák olyan rendszerekben, ahol a nyugdíjrendszer erősen degresszív és ahol gyengén degresszív. Például az amerikai nyugdíjrendszer nagyon degresszív, mert a nyugdíjjárulék befizetés növekedésekor egyre kisebb részt kapnak vissza havi járadékban a gazdagabbak dolgozók. A magyar nyugdíjrendszer viszont az idő múlásával egyre kevésbé degresszív, azaz az első havi nyugdíj és az utolsó havi kereset aránya egyre kevésbé függ a keresettől. Nem meglepő, hogy egyesek éppen a degresszió miatt támadják az amerikai nyugdíjrendszert, mások éppen emiatt védik. Egyrészt több szakember (például Kotlikoff, 1996) kifogásolta, hogy számos tb-rendszer alkalmaz újraelosztó (degresszív) nyugdíjképleteket. Hasonló irányú kritikát tartalmazott Gruber Wise, szerk. (1999) és Börsch-Supan (2001), akik kifogásolták a korai, illetve késői nyugdíjbavonulás elégtelen büntetését és jutalmazását. Másrészt a Világbank (1994, 131. o.) azért támadta e rendszereket, mert a degresszív képlet ellenére a tb-rendszer elégtelen mértékben osztja el újra a befizetéseket a gazdagoktól a szegényeknek. Érve: e formulák tartalmaznak keresetfüggő részt is, ugyanakkor a jól kereső egyének később állnak munkába és nyugdíjazás után tovább élnek. Ezzel egyidőben Orszag Stiglitz (2001) éppen azon az alapon védte a degresszív rendszereket, hogy az életpálya egészét tekintve alig osztják újra a jövedelmeket. A magyar szakirodalomban Augusztinovics (2000a) elemezte e kérdést némileg más szempontból. Ebben a cikkben az arányos nyugdíjrendszerek hagyományos kiigazítását bírálom. Eltekintve olyan nagyon is fontos tényezőktől, mint a munkapiaci gondok (Spiezia, 2002; Augusztinovics, 2005), vagy a nyugdíjrendszer egyéb torzításaitól modellszerűen bemutatom, hogy ez az elv elhanyagol egy nagyon fontos biztosításmatematikai tényt: a nyugdíjazási kor nem független a halálozási kortól! Minél később megy valaki nyugdíjba, várhatóan annál később hal meg (vö. Waldron, 2001). És itt nem arra a triviális összefüggésre gondolok, hogy maga a továbbdolgozás ténye logikailag kizárja a korai elhalálozást, hanem a továbbdolgozás jelző szerepére! Ugyanakkor elvonatkoztatok a kereseti különbségektől is, pedig azok is fontos hatással vannak a várható élettartamra. Nagyon egyszerű számpéldával élve: tegyük föl, hogy mindenki 20 éves korában kezd dolgozni. Az emberek fele egészséges, jókedvűen 68 éves koráig dolgozik, míg másik fele betegeskedő, már 60 évesen nyugdíjba vánszorog. Azt is tegyük fel, hogy statisztikai átlagban a beteges ember 70 éves korában hal meg, míg az egészséges ember csak 80 évesen. Ekkor az átlagos várható élettartam 75 év, tehát ezzel, valamint 20%-os járulékkulccsal és időben változatlan egységnyi bérköltséggel számolva a betegek hagyományos nyugdíja 0,53(= 0,2 40/15) egység, míg az egészségeseké 1,37(= 0,2 48/7) egység lenne. Ha a kormányzat tudná, hogy ki egészséges, és ki beteg, akkor típusfüggő várható élettartammal számolva azonos, 0,8(= 0,2 40/12) egység nyugdíjat adna. A kormányzat azonban csak a jellemzők eloszlását ismeri. Bár az egyének sem ismerik jól saját, hosszú távon várható esélyeiket, de fel lehet tenni, hogy jobban ismerik saját paramétereiket, mint a kormányzat (Smith és szerzőtársai, 2001). Ha a kormányzat azonos havi nyugdíjat adna mindkét típusnak, akkor az egészséges típus is akkor menne nyugdíjba mint a beteg, és a megérdemeltnél tovább élvezné az életjáradékát. De hogyan döntenek az egyének a nyugdíjba vonulásuk időpontjáról? Eltekintve a remélhetőleg átmeneti magyar helyzettől, a neoklasszikus irodalmat némi kétkedéssel követve, feltételezzük, hogy az egyének életpálya-hasznosságfüggvényüket maximalizál- 2

ják. És ebben az életpályafüggvényben a munka áldozat, amelytől az emberek minél hamarabb meg akarnak szabadulni, a szabadidő viszont a végcél, amelyből minél többet akarnak élvezni minél előbb. Egyetlen egy dolog készteti dolgozóinkat a munkára: fogyasztani is akarnak. Tegyük fel, hogy számpéldánkban az egyének optimálisan döntöttek. Ekkor a döntésekből a kormányzat nem figyelheti meg a dolgozók típusát, mégha az élettartamok determinisztikusak is, mert példánkban az egy időben született betegek később halnak meg, mint ahogyan az egészségesek nyugdíjba vonulnak, tehát csak közvetett információ áll a kormányzat rendelkezésére. Diamond Mirrlees (1978) és Fabel (1994) cikket követve a mechanizmustervezés módszertanát alkalmazzuk a kérdés megoldására (vö. Gömöri, 2001). Föltesszük, hogy a kormányzat olyan szabályokat keres, amelyek figyelembe veszik a dolgozók egyéni érdekeit. Talán a legegyszerűbb Rothschild Stiglitz (1976) biztosítási példájára hivatkozni. A nyugdíjbiztosítási logikát követve, tegyük föl, hogy a Casco-biztosítást egyszer s mindenkorra kötik. Két típusú vezető van: a jó és a rossz. Ha a biztosító minden sofőrről tudná, hogy milyen típusú, akkor a megfelelő kockázat szerint biztosítási szerződést köthetné, amely teljes kártérítést nyújtana mindkét típusnak (első legjobb szerződés). A biztosító azonban nem ismeri a típusokat, ezért csak olyan biztosítási szerződést ajánl, amelyben mind a jó sofőr, mind a rossz sofőr a pénzénél marad, a jó vezető a viszonylag nagy önrészesedés vállalásával igazolja a biztosítónak, hogy ő tényleg kevés balesetet csinál (második legjobb szerződés). Előfordulhat azonban az, hogy a jó sofőrnek olyan nagy önrészesedést kell fizetnie, hogy számára előnyösebb közös biztosítást kötnie a rossz sofőrrel, csak hogy megszabaduljon a nyomasztó önrészesedéstől. Visszatérve a nyugdíjösztönzéshez, tegyük fel, hogy a kormányzat olyan havi nyugdíj szolgálati idő szerződéseket kínál a dolgozóknak, amelyekben a különböző típusú (rövid vagy hosszú életű, illetve szorgalmas vagy lusta) dolgozónak érdemes a számára kiírt szerződést választania. Főbb eredményeim a következők. 1. Ha az egyének csak a szorgalmukban különböznek egymástól, akkor a hagyományos ösztönzés jó. 2. Ha az egyének csak a várható élettartamukban különböznek egymástól, akkor a hagyományos ösztönzés helyett egy tompító ösztönzést kell alkalmazni. a) Lehetséges újraelosztás mentes ösztönzést találni, de b) gyakran előfordul, hogy a társadalmilag optimális újraelosztó ösztönzés még annak a típusnak is előnyösebb, aki fedezi az újraelosztás költségét. 3. Ha az egyének mindkét jellemzőjükben különböznek, akkor matematikailag csak szuboptimális megoldást lehet találni, legalábbis egyelőre. A cikk közérthetősége érdekében elkerüljük a matematikai bonyodalmakat. A teljes megértéshez ajánljuk az irodalomjegyzékben szereplő írásokat. A dolgozat szerkezete a következő: A 2. pont az azonos várható élettartamú dolgozókra elemzi a nyugdíjrendszert. A 3. és a 4. pont a különböző várható élettartamú dolgozókra tervezi meg a semleges és újraelosztó nyugdíjrendszert. Az 5. pontban kiterjeszti az újraelosztó rendszer arra az esetre, amikor a dolgozók mind szorgalmukban, mind élettartamukban különböznek. A 6. pontban vázoljuk a kutatás más irányait és levonjuk a következtetéseket. 3

2. Azonos várható élettartam Ebben a pontban az alapmodellt ismertetjük, ahol az egyének legfeljebb szorgalmukban különbözhetnek, de várható élettartamuk azonos. Semleges nyugdíjszabály A képletek egyszerűsége kedvéért feltesszük, hogy mindenki 0 éves korában kezd el dolgozni. Ebben a pontban mindenki (várhatóan) azonos ideig él: D > 0, és azonos ideig dolgozik: R, 0 < R < D. Nincs infláció, nincs növekedés, a dolgozó egységes teljes bérköltsége 1 egység, ebből τ > 0 járulékot fizet a nyugdíjrendszerbe: 0 < τ < 1. A Bevezetést követve, semlegesnek nevezünk egy nyugdíjszabályt, ha a havi nyugdíj akkora, hogy a várható nyugdíjbe- és kifizetések egyenlege nulla, függetlenül a szolgálati időtől. Képletben: b = τr (2.1) D R Definíció szerint igaz, hogy az életpálya-egyenleg minden szolgálati idő esetén 0: z = τr b(d R) = 0. (2.2) Egyéni optimalizálás Eddig nem szóltunk semmit sem arról, hogy mitől függ a szolgálati idő. Most rátérünk e központi kérdés elemzésére. A neoklasszikus közgazdaságtan alapvető feltevése szerint az egyének költségvetési korlátjuk mellett maximalizálják a hasznosságfüggvényüket. Ezt a kiindulást elfogadva (Sheshinski, 1978), tegyük föl, hogy az egyéneknek jól viselkedő pillanatnyi hasznosságfüggvényük van, amely a fogyasztáson kívül a szabadidőtől is függ: c fogyasztás és l szabadidő esetén a pillanatnyi hasznosság értéke u(c,l). Egyelőre feltesszük, hogy mindenkinek azonos a hasznosságfüggvénye is. Fenntartva azt a feltevést, hogy az életpálya dolgozó és nyugdíjas korszakra bomlik, ahol 0 < l m < l M a dolgozók, illetve a nyugdíjasok szabadideje, definiáljuk a dolgozók és a nyugdíjasok pillanatnyi hasznosságfüggvényét: u(a) = u(a,l m ) és v(b) = u(b,l M ), ahol a = 1 τ a dolgozó pillanatnyi fogyasztása és b a nyugdíjas pillanatnyi fogyasztása. A nyugdíjrendszer modellezésénél gyakori, de nem kizárólagos egyszerűsítő feltevés, hogy a dolgozó pillanatnyi hasznosságfüggvénye csak egy állandóban különbözik a nyugdíjasétól: u(c) = v(c) ε, ε > 0. (2.3) Az egyszerűség kedvéért rögzítjük a τ járulékkulcsot, és az u = u(1 τ) jelölést vezetjük be. Feltesszük, hogy a dolgozók nem takarítanak meg a keresetükből, azaz a dolgozó fogyasztása a nettó keresete, a nyugdíjasé pedig a nyugdíja. Időben additív életpályahasznosságfüggvényt feltételezünk: U(D,R,b) = ur + v(b)(d R). (2.4) Ha a szolgálati idő helyett a járadékot tekintjük független változónak, akkor könnyen igazolható az 4

1. tétel. Ha az egyén megválaszthatja b járadékát vagy az R szolgálati idejét, akkor a D várható élettartamától függetlenül a b optimális semleges járadék kielégíti a következő nem lineáris egyenletet: u v(b ) + v (b )(τ + b ) = 0. (2.5) Az optimális semleges szolgálati idő arányos a várható élettartammal: R (D) = b b + τ D. (2.6 ) Megjegyzés. A hasznossági függvényről tett feltevések szerint egyetlen egy olyan b járadék létezik, amely kielégíti a (2.5) egyenletet. ahol Bizonyítás. Fejezzük ki (2.1)-ből R-t: R = b D. (2.6) b + τ Behelyettesítve a (2.6)-ot a (2.4) életpálya-hasznosságfüggvénybe, adódik ϕ(b) = Ũ = ϕ(b)d, (2.7) ub + v(b)τ τ + b. (2.8) Deriválva ϕ(b)-t, majd nullává téve: ϕ (b) [u + v (b)τ](τ + b) [ub + v(b)τ] = τ[u v(b) + v (b)(τ + b)] = 0. (2.5) segítségével adódik b = b, függetlenül D-től. Az egyértelműség oka: ϕ (b) v (b) v (b) + v (b)(τ + b) v (b) v (b) < 0. Különböző szorgalmú egyének Ha mindenki várhatóan azonos ideig élne és azonos szorgalmú volna, akkor azonos havi nyugdíjjal azonos életkorban menne nyugdíjba, az ösztönzés nagyon egyszerű volna. Ebben az alpontban megtartjuk azt a feltevést, hogy a dolgozók várható élettartama azonos, de feloldjuk a szorgalom azonosságát kimondó feltevést (vö. Diamond, 2003, 6. fejezet és Sheshinski, 2004). Tehát továbbra is közös a várható élettartam: D, de kétféle dolgozói pillanatnyi hasznosságfüggvényt különböztetünk meg: u i, i = H,L, ahol u H > u L : rendre H(igh) a szorgalmas, L(ow) a lusta típus indexe. Az i-típus életpálya-hasznosságfüggvénye U i = Ru i + (D R)v(b), i = H,L. (2.9) Ebben az alpontban természetesen feltesszük az életpálya-járulék és -járadék egyenlőségét. Ismét hullámmal jelezzük a semleges megoldást. Behelyettesítve (2.6)-ot (2.9)-be: Kimondjuk a következő tételt: Ũ i = ϕ i (b)d, ahol ϕ i (b) = u ib + v(b)τ τ + b 5. (2.10)

2. tétel. a) Heterogén szorgalmú dolgozók esetén is létezik egyetlen egy semleges optimum: {b i,r i }H i=l, ahol b L < b H, és b i kielégíti a következő egyenletet: u i v(b i ) + v (b i )(τ + b i ) = 0, i = H,L. (2.11) b) Az L-típus hamarabb megy nyugdíjba, mint az H-típus: RL < R H, a szolgálati idők a következők: R i = b i τ + b D, i = H,L. (2.12) i Bizonyítás. Az 1. tételt a két típusra külön alkalmazhatjuk. A b L < b H egyenlőtlenség u L < u H és a (2.11) összefüggésből következik. A későbbiek miatt érdemes két megjegyzést tenni. 1. Ez a megoldás Paretooptimális, azaz nincs olyan másik semleges (b H,b L ) nyugdíjrendszer, amelyik mindkét típusnak jobb lenne. Sőt, még az egyiknek sem lehet jobb, mert itt a két megoldás független egymástól. 2. Bár a kormányzat nem ismeri a dolgozók típusát, egyik típusnak sem érdeke, hogy más típusúnak tettesse magát, mint amilyen. Analitikus eredményeinket kiegészítjük numerikus szimulációkkal. Bár majdnem minden kéttípusú modell rossz közelítés, a numerikus eredmények segítenek megérteni, hogy a különféle mechanizmusok közti minőségi különbségek mennyiségileg is fontosak. A következő specifikációkat és adatokat alkalmazzuk (vö. részben Eső Simonovits, 2003). D = 55 év, típusok súlya: f L = f H = 0,5; járulékkulcs: τ = 0,2. A nyugdíjasok hasznosságfüggvényét v(b) = b σ /σ + θ (θ a hasznosságfüggvény pozitivitását biztosítja), ahol < σ < 1 a időbeni helyettesítési rugalmasság. Legyen σ = 0,5; ε H = 1,4; θ = 4,1. ε L = 1,8. Ekkor a járadékok b H = 0,80 és b L = 0,67, valamint a szolgálati idők R L = 42,4 és R H = 44 év. 3. Különböző várható élettartamok Az előző pontban megengedtük, hogy a dolgozók hasznosságfüggvénye különbözzék, de ragaszkodtunk a várható élettartamok egyenlőségéhez. Most megfordítjuk a feltevéseket: megengedjük, hogy a dolgozók várható élettartama különbözzék, de ragaszkodunk a hasznosságfüggvények egyenlőségéhez. Látni fogjuk, hogy ebben az esetben váratlan bonyodalmak lépnek fel. Aszimmetrikus információ Röviden vázoljuk az új modellt. Most is két típusú egyén létezik, de most várható élettartamukban különböznek: a várhatóan rövidebb és a hosszabb életű, D L és D H élettartammal, mindkettő súlya a népességben 1/2. A népesség átlagos várható élettartama D = (D L + D H )/2. Egy kulcsfontosságú feltevést vezetünk be: az egyének ismerik saját várható élettartamukat, a kormányzat viszont nem: aszimmetrikus információ. Feltesszük, hogy mindketten ugyanakkor, 0 évesen kezdenek dolgozni; és évi keresetük egységnyi, amelyből R L, illetve R H éven keresztül évi τ járulékot fizetnek a nyugdíjbiztosításra. 6

Kötelező nyugdíjrendszert modellezve, először az eszmei számlarendszert modellezzük, ahol a korábbiak értelmében R évi szolgálat után a kormány b(r) = τr D R (3.1) járadékot fizet Ez az eljárás azonban hibás. Ezt a legegyszerűbb esetben igazoljuk. Föltesszük, hogy a legkorábbi halált is megelőzi a legkésőbbi nyugalomba vonulás. Nem túl nehéz belátni, hogy abban a valószerű esetben, amikor a várhatóan rövidebb életűek kevesebb ideig dolgoznak, mint a várhatóan hosszabb életűek: R L < R H < D L, az előbbiek kevesebbet, az utóbbiak többet kapnak, mint amennyi járna, sőt az egész rendszer veszteséges (lásd 3. tétel). 3. tétel. Tegyük föl, hogy a várhatóan rövidebb életűek kevesebb ideig dolgoznak, mint a várhatóan hosszabb életűek: R L < R H < D L. Ha a nyugdíjakat a (3.1) képlet szerint állapítják meg, akkor a várhatóan rövidebb életűek életpálya-egyenlege pozitív, a várhatóan hosszabb életűeké negatív, és az átlagegyenleg is negatív: z L > 0 > z H és Z < 0. (3.2) Megjegyzés. Ha a két típus szolgálati ideje azonos: R L = R H, akkor legalább az átlagos várható egyenleg nulla: Z = 0. Bizonyítás. Helyettesítsük be (2.2)-be a (3.1) képletet: z = τr τr D R (D R) = τ R(D D) D R = b(r)(d D). (3.3) Ebből már adódik a z L > 0 > z H egyenlőtlenség. A Z < 0 egyenlőtlenség bizonyításához vegyük figyelembe, hogy D D L = (D D H ), tehát (3.3) értelmében Z = (D D L )(b L b H )/2. Mivel az első tényező pozitív, a második tényező viszont az R L < R H feltevésünk szerint negatív, tehát Z < 0. Ha R L = R H, akkor b L = b H, azaz Z = 0. Ez a tétel rámutat arra, hogy különböző várható élettartamú dolgozók esetén bonyolultabb ösztönzési rendszert kell választani, mint amilyen az eszmei számlarendszer (Valdés-Prieto, 2000 más hiányosságai miatt bírálja e rendszert). A megoldást az aszimmetrikus információs esetekre kidolgozott mechanizmustervezés szolgáltatja (pl. Mirrlees, 1971). Semleges rendszer tervezése A mechanizmustervezők általában újraelosztó mechanizmusokat vizsgálnak, például Mirrlees úttörő cikke az optimális jövedelem-újraelosztást elemezte. Ebben az alpontban azonban a semleges rendszer tanulmányozására szorítkozunk, és ezért meglehetősen egyszerűen boldogulunk a feladattal. A mechanizmustervezés gyakorlata szerint először a feladatot az aszimmetrikus információ figyelembe vétele nélkül oldjuk meg, s csak később térünk ki az aszimmetrikus információ okozta bonyodalmakra. 7

Ha a kormányzat ismerné az egyéni paraméterek értékét, és rá tudná kényszeríteni az egyéneket parancsai követésére, akkor az első legjobb megoldás egy olyan (b L,b H ) járadékpár és egy olyan (RL,R H ) szolgálati idő pár lenne, hogy mindkét típus életpályahasznossága maximális lenne, feltéve, hogy a másik érték adott: Pareto-optimalitás. (Azok, akik az első legjobb megoldásnál csupán a fizikai korlátokat engedik meg, szimmetrikus információ melletti optimumra is gondolhatnak.) A következő tétel jellemzi az első legjobb megoldásokat. 4. tétel. Ha az i-típus megválaszthatja b i járadékát vagy az R i szolgálati idejét, akkor a D i várható élettartamától függetlenül a b i semleges első legjobb járadék kielégíti a (2.4) egyenletet és a megfelelő szolgálati időt (2.5) adja. A valóságban azonban a kormányzat csak az egyéni paraméterek eloszlását ismeri (vagy használhatja föl). Ekkor az első legjobb ömlesztett megoldás csalásra csábít: például a várhatóan hosszabb életű egyének érdekeltek abban, hogy várhatóan rövidebb életűnek tüntessék föl magukat, csak hogy hamarabb mehessenek nyugdíjba, és a kormányzat által várt időszaknál hosszabb ideig élvezhessék alacsonyabb nyugdíjukat. De fordított irányú csalás is elképzelhető, ha túlzottan kicsiny az L-járadék. A csalást kizárandó, érdekeltségi feltételeket kell kirónunk. Képletben: és ur H + v(b H )(D H R H ) ur L + v(b L )(D H R L ) ur L + v(b L )(D L R L ) ur H + v(b H )(D L R H ). (3.4H) (3.4L) Ekkor a második legjobb megoldás egy Pareto-optimális megoldás, amely az első legjobb megoldás z H = z L = 0 költségvetési korlátjai mellett kielégíti a (3.4) érdekeltségi feltételeket is. Ekkor a feladat a következőképpen fogalmazható meg: melyik az a ( b L, b H ) második legjobb járadékpár, amelyre mindkét típus életpálya-hasznosságfüggvénye maximális (3.1) és (3.4) mellett? Látni fogjuk, hogy a H-korlát lesz feszes. A bizonyításokat leegyszerűsítendő, tegyük föl, hogy τ = 1 b és v(0) =. Belátjuk a következő tételt. 5. tétel. A semleges második legjobb megoldásban a b H = b, és a b L < b járadékot a D H ϕ(b ) = D L ϕ( b L ) + (D H D L )v( b L ) (3.7) implicit egyenlet határozza meg. Megjegyzés. A (3.4H) és a (3.4L) öszehasonlításából elemi úton következik, hogy a rövidebb élettartamú típus kisebb nyugdíjat kap, mint a hosszabb: bl < b H. Ezért a második legjobb megoldásban csak a H-típus kaphat első legjobb járadékot. Ez jellemző az ilyen modellekre. (Például a Bevezetésben említett Rothschild Stiglitz (1976) optimális biztosítási modellben az L-típus csak részleges biztosítást vehet, hogy bizonyítsa: nem H-típusú.) Bizonyítás. A (3.4H) érdekeltségi feltétel a D H ϕ(b H ) = D L ϕ(b L ) + (D H D L )v(b L ) (3.8) 8

egyenlőségre egyszerűsödik. Ebben a feltételben minél nagyobb b H b, annál nagyobb Ũ H és annál gyengébb a b L -re vonatkozó korlát. Ezért a feltételes megoldásban az ŨH függvény b H = b -nél maximális, míg az ŨL függvény b L -nél, amely kielégíti (3.7)-et. A (3.4L) feltétel is teljesül, tehát második legjobb megoldást kaptunk. Az 1. ábra a hasznosságtérképet a rövidebb életűek járadékának a függvényében ábrázolja: IgazUH (U H ), HamisUH (U HL ) és IgazUL (U L ), HamisUL (U LH ) görbék az L-járadék (b L ) függvényei. IgazUH egy folytonos vízszintes vonal, amelyet a HamisUH görbét az N2B jelzésű semleges második legjobb járadékban metszi: b L = 0,45. Figyeljük meg, hogy b L = 0,42 előtt az IgazUL görbe a HamisUL alatt húzódik, érdekeltté téve L-t, hogy H-nak tettesse magát. Ez a körülmény azonban nem játszik szerepet a Pareto-optimális választás esetében. 1. ábra A táblázatos áttekintésünkben bemutatjuk az eszmei számla, a semleges első és második legjobb megoldások jellemzőit. (Az 1. táblázat utolsó két sorában szereplő szabályokkal csak később ismerkedünk meg.) 1. táblázat. Nyugdíjszabályok összehasonlítása: eltérő élettartamok Szolgálati Életpálya Szabály idő Járadék egyenleg rövid hosszú kicsi nagy rövid hosszú R L R H b L b H z L z H Eszmei számlarendszer 40 48 0,53 1,37 2,7 6,9 Semleges 1. legjobb 40 48 0,80 0,80 0 0 Semleges 2. legjobb 34,7 48,0 0,45 0,80 0 0 Újraelosztó 1. legjobb 37,3 50,7 0,80 0,80 2,7 2,7 Újraelosztó 2. legjobb 41,0 45,3 0,61 0,80 2,7 2,7 Megjegyzések: 1. D L = 50, D H = 60, f L = f H = 0,5; τ = 0,2 és τ = 0,16; kerekítési hibákkal. 2. Az autark megoldással még semleges első legjobb megoldásként fogunk találkozni a későbbiekben. Az eszmei számlarendszert már számszerűsítettük a Bevezetésben. Nézzük meg most a semleges optimumokat! Az első legjobb semleges megoldásban természetesen mindkét járadék a teljes bérköltség 80%-a, és a szolgálati idő is a felnőtt élettartam 80%-a. A második legjobb semleges megoldásban viszont az L-járadék csupán 45%, és a megfelelő szolgálati idő 34,7 év, több mint 13 évvel marad el az R H -tól, holott az élettartamok közti különbség csak 10 év. Ezt a jelenséget érzékeny függőségnek nevezzük, és léte rossz fényt vet a második legjobb semleges megoldásra. (Simonovits, 2004 és 2005 analitikus feltételt is ad e jelenség előfordulására.) 9

4. Folytatás: az újraelosztó rendszer tervezése Folytatva a különböző élettartamú dolgozókból álló elemzését, és visszatérve a mechanizmustervezés főáramába, most az újraelosztó rendszer tervezésével próbálkozunk. A kutatás eme része Eső Péterrel közös munka (Eső Simonovits, 2003). Társadalmi jólét Már két típus esetén is különböző egyéni hasznossági optimumpárokat kell minősítenünk. Ha nem elégedünk meg a határozatlan Pareto-rendezéssel, akkor be kell vezetnünk egy alkalmas társadalmi jóléti függvényt. (Simonovits (2001) kísérletet tett a jóléti elemzés megkerülésére.) Tegyük föl, hogy az L- és a H-típusú egyének súlya születéskor a népességben rendre f L > 0 és f H > 0, f L + f H = 1. Stacionárius népességet tételezünk föl, ezért a korosztályi hosszmetszeti adatok megegyeznek az aggregált keresztmetszeti adatokkal. Két típus esetén a két legegyszerűbb társadalmi jóléti függvény rendre a két életpálya-hasznosság összege, illetve minimuma. Képletben, Utilitarista: V = f L U L + f H U H. (4.1 ) Rawls-féle: V = min(u L,U H ). (4.1 ) Általánosabban, legyen ψ egy konkáv skalár-skalár függvény, amely az egyéni életpályahasznosságokat transzformálja, mielőtt összeadnánk őket. Ekkor a kétszemélyes társadalmi jóléti függvény képlete V = f L ψ(u L ) + f H ψ(u H ). (4.1) Minél konkávabb a ψ függvény, annál inkább egyenlősítő a társadalmi jóléti függvény. Szimulációban alkalmazható a CRRA-specifikáció: ψ(u) = U φ /φ, ahol φ 1-nél nem nagyobb valós szám az egyenlőtlenségi index. Sajnos, az elemzésben el kell különítenünk az utilitarista esetet a többitől (Eső Simonovits, 2003). Emlékeztetünk arra is, hogy minél nagyobb a θ additív állandó, annál kisebb a U i -k közti relatív különbség. Mivel nem követeljük meg, hogy az egyéni életpálya-egyenlegek nullák legyenek (semlegesség), társadalmi költségvetési korlátot kell felállítanunk, amelyben a z H és z L egyéni egyenleg súlyozott összege szerepel: Z = f L z L + f H z H = 0. (4.2) A mechanizmustervezés eszközeit követve, most is az első legjobb megoldást elemezzük először, és csak aztán térünk rá a második legjobb megoldásra. Újraelosztó első legjobb megoldás Ha a kormányzat ismerné az egyéni jellemzőket, és képes lenne érvényesíteni akaratát, akkor az első legjobb megoldás egy olyan (b o L,bo H ) nyugdíjpár és (Ro L,Ro H ) szolgálatiidőpár lenne, amelyre a (4.1) társadalmi jóléti függvény maximális lenne a (4.2) költségvetési korlát mellett. 10

6. tétel. (Vö. Eső Simonovits, 2003, 0. tétel.) Az újraelosztó első legjobb megoldásban mindkét nyugdíj független a várható élettartamtól: b o L = bo H = b, és a közös érték kielégíti a semleges első legjobb megoldás opimális feltételét: (3.2)-t. A két optimális szolgálati idő a két egyéni várható élettartam inhomogén lineáris függvénye: ahol R o L = R o + ω(d L D) és R H = R o + ω(d H D), (4.3) R o = ρd, ρ = b v < 1 és ω = τ + b v > 1. (4.4) u Megjegyzések. 1. Meglepő, hogy az első legjobb nyugdíj értéke független a társadalmi jóléti függvénytől. Az ok egyszerű: a bizonyításban a ψ kiesik, a két életpályahasznosság egyenlővé tehető az optimumban. 2. Kicsit zavaró, hogy az utilitarista társadalmi jóléti függvény esetén a (4.3) (4.4) mellett más szolgálati időegyüttesek is optimálisak. Itt csak két megoldásra utalok: a (2.6)-beli semleges megoldásra és a 7. tételben szereplő RL o = Ro H = Ro megoldásra. Második legjobb megoldás De a kormányzat nem ismeri az egyéni jellemzőket, csak eloszlásukat. Ezért a második legjobb megoldást kell bevezetnie, ahol az első legjobb megoldás célfüggvénye és korlátja mellett a (3.4H) érdekeltségi korlát is megjelenik. Egy meglepő tételt idézünk az utilitarista társadalmi jóléti függvény esetére. 7. tétel. (Vö. Eső Simonovits, 2003, 1. tétel.) Ha a jóléti függvény utilitarista, akkor egyetlen egy újraelosztó második legjobb nyugdíjszabály létezik, amely egyúttal megvalósítja az első legjobb szabályt: { 0, ha R < R b(r) = o ; b, ha R R o. Bizonyítás. Az első legjobb megoldás, ahol b o L = bo H = b és R o L = Ro H = Ro, kielégíti az érdekeltségi feltételt, tehát második legjobb is. Mivel ez a megoldás túl merev és igazságtalan, az utilitarista helyett a szigorúan konkáv társadalmi jóléti függvényekre szorítkozunk. Ekkor alaposabb elemzésre lesz szükség. Bizonyítás nélkül és csonkítva idézzük a következő tételt: 8. tétel. (vö. Eső Simonovits, 2003, 2. tétel.) A hosszabb várható élettartamúak járadéka azonos a semleges első legjobbal, míg a rövidebbé kisebb; hasonló a szolgálati idők sorrendje: ˆbL < ˆb H = b és ˆRL < ˆR H. (4.5) Mivel ˆb H = b, a négy változóból egy kiesik. A két korlátban (3.4H)-ban és (4.2)-ben a szolgálati idők lineárisan szerepelnek, ezért könnyen kifejezhetők mint a várhatóan rövidebb életűek járadékának a függvényei: a többváltozós feltételes maximumfeladat egy skalár-skalár függvény maximalizálására vezethető vissza. A bizonyítást egyszerűsítendő, két technikai feltevéssel élünk: a két típus gyakorisága azonos: f L = f H, és az u és v additív kapcsolat esetén a járulékkulcs egyénileg is optimális: τ = 1 b. Íme, az egyszerűsített feladat. 11

9. tétel. (Simonovits, 2005, 8. tétel.) A második legjobb megoldást a V (b L ) skalár-skalár függvény maximalizálása adja. Megjegyzések. 1. A Bevezetésben már említettük, hogy az aszimmetrikus információs keretben végzett optimális ösztönzést a mechanizmustervezés adja. Egyébként az irodalomban is a most tapasztalthoz hasonló jelenséggel találkoztunk: Mirrlees (1971) optimális jövedelemadórendszerében a leggazdagabb egyén optimális adókulcsa nulla. Diamond Mirrlees (1978) nyugdíjmodelljében a legkésőbb nyugdíjba menő egyének megkapják a nekik járó nyugdíjat, a többiek azonban nem: ezzel a lemondással tudják ugyanis igazolni, hogy tényleg rosszabb kockázatok. 2. Végig rögzítjük a τ járulékkulcsot, pedig a nyugdíjösztönzés egyik legizgalmasabb kérdése éppen a járulékkulcs optimalizálása. A már meghatározott optimumokat parametrikus optimumnak tekintve, a τ változtatásával az abszolút jóléti optimum is meghatározható lenne, legalábbis numerikusan (vö. Eső Simonovits, 2003, 3. ábra). Az 1. táblázatbeli szimulációt most már befejezhetjük. Az első legjobb újarelosztási szabály egyformán optimális járadékot fizet, de az arányoshoz képest is jelentősen csökkenti a rövid, és növeli a hosszú szolgálati idejét. A második legjobb újraelosztási szabály esetén az első legjobb semleges (autarkia) megoldástól való eltérés irányt vált: a rövid életű többet (41 évet), a hosszú életű kevesebbet (45 évet) dolgozik, mint az autarkiában. Az újraelosztó rendszer gyakran Pareto-dominálja a semleges rendszert: Û H > Ū H és ÛL > ŪL. Az első egyenlőtlenség majdnem triviális: ˆbH = b H és ˆR H < R H miatt ÛH > ŪH, de a másik egyenlőtlenséghez az kell, hogy az élettartamok aránya megfelelően közel legyen 1-hez. (Simonovits, 2004). A választott esetben D H = 60 évhez D L = 56 minimális élettartam tartozik, amelyre teljesül a Pareto-dominancia. 5. Különböző szorgalom és várható élettartam Felvethető a következő kérdés: mi történik, ha mind az élettartam, mind a szorgalom heterogén? A két érdekeltségi korlát helyett 12 korláttal kellene megbirkóznunk, ezért az eddigi módszerek nem alkalmazhatók. A gyakorlatban elfogadhatónak tűnik egy szuboptimális megoldás keresése: milyen lineáris b(r) = α + γr járadék szolgálatiidőfüggvény adja a társadalmi optimumt? Simonovits (2002a, b) és Alács (2004) szerint tompítani kell az eszmei számlarendszerben alkalmazott ösztönzést és büntetést. A jobb áttekinthetőség miatt egy absztrakt ösztönzés feladatot fogalmazunk meg, és csak a numerikus eredményeket ismertetjük. Absztrakt ösztönzési modell A kormányzati befolyást egy m G -dimenziós q vektor írja le. Tegyük föl, hogy minden egyént egy m P -dimenziós p paramétervektor jellemez, amelynek eloszlásfüggvénye F (p). Az egyén hasznossága U(p,q,e), a p,q paraméterek és az n-dimenziós e egyéni döntés sima függvénye. Feltesszük, hogy az optimális e(p,q) döntésfüggvény kielégíti az elsőrendű U e(p,q,e(p,q)) = 0 feltételt és a maximumérték U (p,q) = U(p,q,e(p,q)). (5.1) 12

Legyen a társadalmi jóléti függvény V (q) = ψ(u (p,q)) df (p). (5.2) Legyen g(p,q,e) az egyén egyenlegfüggvénye. Ekkor teljesül egy aggregált korlát is: g(p,q,e(p,q)) df (p) = 0. (5.3) Ekkor igaz a 10. tétel. Ha a kormányzat maximalizálja az (5.2)-beli V (q) társadalmi jóléti függvényt az (5.3) korlát mellett, akkor létezik olyan µ skalár, amelyre {ψ(u q(p,q)) + µg q(p,q,e(p,q)) µg e(p,q,e(p,q))u tt(p,q) 1 U eq(p,q)} df (p) = 0, (5.4) ahol U eq és U ee rendre n m G és n n mátrix, 1 pedig egy inverz mátrixra utal. Megjegyzések. 1. Az (5.4) egyenletrendszernek (m G + 1) ismeretlene és ugyanennyi egyenlete van, tehát tipikusan a feladat meghatározott. 2. A szükséges feltétel elégségessége is vizsgálható, például L konkavitásán keresztül, de ezzel a kérdéssel a dolgozatban nem foglalkozunk. Bizonyítás. Felírjuk a feladat Lagrange-függvényét: L(q) = {ψ(u (p,q)) + µg(p,q,e(p,q))} df, és vesszük a q vektor szerinti parciális deriváltakat: L q(q) = {ψ (Uq )(Uq (p,q) + µg q (p,q,e(p,q)) + µg e(p,q,e(p,q))e q(p,q)} df. Alkalmazva a burkológörbe-tételt (U q = U q) és az implicit függvény tételét U e(p,q,e) = 0-ra, a V feltételes maximumának feltételéből (L q(q) = 0) adódik az optimum szükséges feltétele (vö. Sydsater Hammond [2000] 18. fejezet.) Alkalmazás és szimuláció Általános eredményeinket alkalmazzuk a nyugdíjmodellre és bemutatjuk szimulációs eredményeinket. Ha nem törekszünk az optimum pontos meghatározására, akkor akár tabulálással is megtalálhatók a társadalmilag optimális paraméterek: τ = 0,245; α = 0,012 és γ = 0,01. Tehát a járulékkulcs a teljes bérköltség 24,5%-a, a szolgálati idő 1 éves növelése a bérköltség 1,2%-ával növeli a nyugdíjat, amely a teljes bérköltség 39 47%-a, a nettó bérnek viszont 42 53%-a. Jobban érthető, ha a kulcsot a nyugdíj százalékában adjuk meg: az egy éves többletszolgálat aktuáriusi értéke kb. 2,4%. Meglepő, hogy az optimális nyugdíjszabály szinte majdnem arányos, hiányzik belőle a 13

korábbi specifikációkban megfigyelt jelentős állandó tag (vö. Simonovits 2002b). Emlékeztetünk rá, hogy a kulcs értéke Magyarországon 2004 előtt még csak évi 3,6% volt, s azóta ugrott évi 6%-ra. A szuboptimális második legjobb megoldás jellemzőit a 3. táblázat mutatja be. Figyelemre méltó, hogy szinte kettéválik a feladat a szorgalmas és a lusta típusra, és az űjraelosztás szinte kizárólag a várhatóan rövidebbtől a várhatóan hosszabb élettartamú típusúak felé áramlik. (Korábbi szimulációnkban ez az egyszerűsödés sem mutatkozott meg, vö. Simonovits (2002b)). 3. táblázat. A kétdimenziós eset szuboptimális megoldása Felnőtt Munka- Szolgálati Nettó élettartam áldozat idő Nyugdíj egyenleg D ε R b z 50 1,4 31,72 0,391 0,631 50 1,8 34,90 0,429 2,076 60 1,4 35,12 0,431 2,130 60 1,8 38,56 0,473 0,688 Mind a nyugdíjkor, mind a nyugdíj viszonylag alacsony. 6. További eredmények és következtetések Ebben a pontban röviden utalunk további eredményekre, és levonunk néhány következtetést a kutatás eddigi eredményeiből. Kezdjük a további eredményekkel! Felvetődik a kérdés: mi történik, ha az azonos élettartam esetére is meghatározzuk az optimális újraelosztó megoldásokat? Válasz: az első legjobb megoldásban a lustább amilyen hamar lehet, a szorgalmas pedig amilyen későn lehet, megy nyugdíjba, és mindkét típus azonos járadékot kap (Simonovits, 2005, 11. tétel). A második legjobb megoldásban a 9. tételhez hasonló megoldás dolgozható ki (Simonovits, 2005, 12. tétel). A két típus feltételezése gyakran csak egyszerűsítő eszköz, amely különösen a numerikus szimulációban zavaró. A több típus esetére kidolgozott algoritmusunk hatékony, de nem mindig képes megtalálni a globális optimumot. Ha azonban analitikus eredményeket akarunk kapni, akkor gyakran rá vagyunk kényszerítve a két típus feltételezésére. Még nem sikerült figyelembe venni a keresetkülönbségeket. Ha a keresetek függetlenek lennének a szorgalomtól és a várható élettartamtól, és a nyugdíjszabály semmilyen degressziót nem tartalmazna, akkor az előző feladat megoldást jelentene. A keresetek azonban erősen korrelálnak a szorgalommal és a várható élettartammal, és a legtöbb nyugdíjszabály degresszív, tehát új módszert kell kidolgozni. Több következtetést is le lehet vonni kutatásainkból. Itt megelégszünk két következtetéssel. 1. Az eszmei nyugdíjszámla (vö. Lindbeck Persson, 2003) ingatag elvi alapokon nyugszik, és számomra érthetetlen, hogy ezt az elvet eddig még nem támadták jobban (vö. Legros, 2003). 2. Az aszimmetikus információ által okozott nehézségeket kezelő, ténylegesen semleges ösztönzés megvalósítható, de alkalmazása gyakran előnytelen az optimális újraelosztó rendszerhez képest. 14

Hivatkozások ALÁCS PÉTER (2004): Optimális loglineáris ösztönzés megoldása numerikus módszerekkel, Közgazdasági Szemle, 51, 1029 1047. o. AUGUSZTINOVICS MÁRIA (2000a): Újraelosztás nyugdíjbiztosítási rendszerekben, Augusztinovics, (szerk.) 318 339. o. AUGUSZTINOVICS MÁRIA (szerk.) (2000b): Körkép reform után: Tanulmányok a nyugdíjrendszerről, Budapest, Közgazdasági Szemle Alapítvány. AUGUSZTINOVICS MÁRIA (2005): Népesség, foglalkoztatottság, nyugdíj, Közgazdasági Szemle, 52, 429 447. o. BÖRSCH-SUPAN, A. (2001): The German Retirement Insurance System, Börsch- Supan Miegel, (szerk.), 13 38. BÖRSCH-SUPAN, A. MIEGEL, M., (szerk.) (2001): Pension Reform in Six Countries, Berlin, Springer. DIAMOND, P. A. (2003): Taxation, Incomplete Markets and Social Security, Munich Lectures, Cambridge, MA, MIT Press. DIAMOND, P. A. MIRRLEES, J. (1978): A Model of Social Insurance with Variable Retirement, Journal of Public Economics, 10, 295 336. o. DIAMOND, P. ORSZAG, M. (2004): Saving Social Security: A Balanced Approach. Washington, D.C., Brookings Institution Press. ESŐ PÉTER SIMONOVITS ANDRÁS (2003): Optimális járadékfüggvény tervezése rugalmas nyugdíjrendszerre, Közgazdasági Szemle, 50, 99 111. o., angolul: Designing Optimal Benefit Rules for Flexible Retirement, Discussion Paper CMS-EMS 1353, Northwestern University, Evanston, IL, 2002. FABEL, O. (1994): The Economics of Pensions and Variable Retirement Schemes, New York, Wiley. GÁL, R. I. SIMONOVITS, A. TARCALI G. (2001): Nyugdíjreform és korosztályi számla, Közgazdasági Szemle 48, 291 306. o. GÁL, R. I. TARCALI, G. (2003): Pension Reform and Intergenerational Redistribution in Hungary, The (Japanese) Economic Review, 54, 237 247. o. GÖMÖRI ANDRÁS (2001): Információ és interakció, Bp. Typotex. GRUBER, J. WISE, D. A., (szerk.) (1999): Social Security and Retirement Program Around the World, Chicago, Chicago University Press. KOTLIKOFF, L. (1996): Hogyan privatizáljuk a tb-nyugdíjrendszert, Közgazdasági Szemle, 43, 1045 1071. o. LEGROS, F. (2003): Notional Defined Contribution: A Comparison of the French and the German Point Systems, World Bank Conference on NDC, Stockholm. LINDBECK, A. PERSSON, M. (2003): The Gains from Pension Reform, Journal of Economic Literature 41 74 112. MIRRLEES, J. A. (1971): An Exploration in the Theory of Optimum Income Taxation, Review of Economic Studies 38, 175 208. o. ONYF (2004): Nyugdíjazási életkorok az 1997 2002 közötti öregésgi és öregségi jellegű nyugdíjazásokról, Budapest, kézirat. ROTHSCHILD, M. STIGLITZ, J. E. (1976): Equilibrium in Competitive Insurance Markets: An Essay in the Economics of Imperfect Information, Quarterly Journal of Economics, 80, 629 649. o. 15

SHESHINSKI, E. (1978): A Model of Social Security and Reirement Decisions, Journal of Public Economics 10, 337 360. o. SHESHINSKI, E. (2004): Optimal Delayed Retirement Credit, CESinfo Conference on Strategies for Reforming Pension Schemes, 5 6 November, 2004, Munich. SIMONOVITS ANDRÁS (2001): Szolgálati idő, szabadidő és nyugdíj: ösztönzés korlátokkal, Közgazdasági Szemle 48, 291 306. o. SIMONOVITS ANDRÁS (2002a): Nyugdíjrendszerek: tények és modellek, Bp. Typotex. SIMONOVITS ANDRÁS (2002b): Rugalmas nyugdíjkorhatár és optimális lineáris járulék- és járadékfüggvény, Közgazdasági Szemle, 49, 713 724. o.; angolul: Designing Optimal Linear Rules for Flexible Retirement, Journal of Pension Economics and Finance 2 (2003) 273 293. SIMONOVITS ANDRÁS (2004a): Optimális rugalmas nyugdíjrendszer tervezése: Biztosításmatematikai semlegesség és hatékonyság, Közgazdasági Szemle, 51, 1101 1112 o. SIMONOVITS ANDRÁS (2004b): Rugalmas öregkori nyugdíjszabály optimális tervezése két típus esetén, Szigma, 35, 13 39. o. angolul: Optimal Design of Pension Rule with Flexible Retirement: The Two-Type Case, Journal of Economics, to appear. SMITH, V. K. TAYLOR, D. H. SLOAN, F. A. (2001): Longevity Expectations and Death, Can People Predict Their Own Demise? American Economic Review, 91, 1125 1134. o. SPIEZIA, V. (2002): The Greying Population: A Wasted Human Capital or Just a Social Liability?, International Labour Review, 141, 71 113. o, magyar nyelvű ismertetés: GALLA VIKTÓRIA (2005): Az elöregedés közgazdasági megközelítésben, Közgazdasági Szemle 52 521 532, o. SYDSATER, K. HAMMOND, P. [1995]: Matematika közgazdászoknak, Bp., Aula, 2000. VALDÉS-PRIETO, S. (2000): The Financial Stability of Notional Account Pensions, Scandinavian Journal of Economics, 102, 395 417. o. WALDRON, H. (2001): Links between Early Retirement and Mortality, ORES Working Paper 93, Division of Economic Research, SS Administration. 16