EGY REMÉNYTELENNEK TÛNÔ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN

EGY REMÉNYTELENNEK TÛNÔ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN Tél András, BME, Mecharonika alapszak, III. éfolyam Tél Tamás, ELTE, Elmélei Fizikai Tanszék A modern mûszaki problémákban, így például a robook erezésekor gyakran lépnek fel irányíási, ezérlési feladaok. Ezek közül különösen érdekesek azok, amelyek során egy eredendôen insabil állapoba kell eljuani a rendszer. Az alábbiakban bemuaunk egy elsô láásra reményelennek ûnô mechanikai feladao, amelynek megoldásához a modern fizika mára már klasszikussá ál eredményei adnak segísége. A ezérlési felada Tekinsünk egy egyenes menén harmonikus rezgômozgás égzô m ömegû ese, amelynek rugóállandója egy elôír D() függény szerin álozik idôben. Az x() kiérés-idô függény meghaározó mozgásegyenle [1] csak a kiérésôl függ, hanem az idôfüggô rugóállandó pillananyi érékéôl is. 1 Az (1) egyenle jobb oldala explicien is függ az idôôl, a differenciálegyenle nem auonóm, agyis a mozgás folyaásá nem csak a es pillananyi helyzee és sebessége haározza meg, hanem egy külsô haás is. Az egyenle olyan ípusú, min a gerjesze rezgéseke leíró egyenleek [1], csak az idôfüggés nem egy külsô erôben, hanem a rugóállandóban jelenik meg. A mechanikai összenergia a súrlódás hiányában sem állandó, hiszen a rugóállandó idôbeli álozása mia a rendszer energiá nyerhe agy eszíhe. Tegyük föl ráadásul, hogy a rugóállandó idôben monoon módon csökken, egy idô uán elôjele ál, s aól kezde égig negaí marad. Az egyszerûség kedéér egységnyi ömege ekine, s alkalmasan megálaszo idôegysége használa, ez kifejezhejük úgy is, hogy a mozgásegyenlee az mẍ()= D() x(), (1) ẍ ()= d k() x() () ahol a pon az idô szerini deriálás jelöli. Az ennek az egyenlenek elege eô rendszer manapság érzékelôk (szenzorok) és beaakozó egységek (akuáorok) segíségéel könnyen megépíheô, bármilyen is a D() függény. A rugóra haó erô mos ehá nem alakba írjuk. I d > 0 a nulla pillanahoz arozó kezdei rugóállandó, és k() az idôbeli álozás leíró 1 A rugóállandó szóhasznála annyiban jogos, hogy D() oábbra is függelen a kiérésôl. TÉL ANDRÁS, TÉL TAMÁS: EGY REMÉNYTELENNEK TŰNŐ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN 409

A d k ( ) = Aanh ( ) Numerikus eredmények A speciális d érékek megalálásához álalában csak numerikus módszerekkel juhaunk. Rögzísük ezér elôször a kezdôfeléel oly módon, hogy a mozgás mindig egységnyi kiéréssel indul, kezdôsebesség nélkül: k 0 0 c 1. ábra. A konkré példakén álaszo k() rugófüggény alakja. A kriikus c = anh 1 (d/a) 1/ éréknél a rugófüggény éréke megegyezik a kezdei rugóállandóal, az eredô rugóállandó i zérus, ennél nagyobb idôkre negaí. A rugó ehá > c -re aszíóá álik. rugófüggény, amely nulláról indul és monoon módon ar a d-nél nagyobb A érékhez. Konkréan álasszuk a k () rugófüggény k() =A anh = A sinh cosh (3) alakúnak, amely egy egyszerû, folyonos áálás ír le 0ésA > d közö. A rugófüggény alakjá és a d kezdei érékhez aló iszonyá az 1. ábra muaja. A () egyenlehez arozó ezérlési probléma a köekezô: éges kezdei kiéréssel indía, ado A melle, elérheô-e d alkalmas megálaszásáal, hogy a es hosszú idô uán megálljon? Miel a kezdei rugóállandó az A nagyságú inerallumban álozha, ez az inerallumo az operációs arománynak neezzük. Egy ezérlési felada során az A éréke rögzíjük. A megoldás azér ûnik elsô ránézésre reményelennek, mer az eredô rugóállandó egy idô uán ( > c -re) negaí, a rugó aszíó, s a aszíó rugók álalános ulajdonsága, hogy egyre áolabbra juaják a ese, amely formálisan ehá kifu a égelenbe. A ezérlés leheôségében azonban mégis reménykedheünk, ha egy speciális feléel eljesül. Ha a c pillanaban a es nem áolodik az origóól, hanem közeledik hozzá, méghozzá elegendôen nagy sebeséggel, akkor elôfordulha, hogy eheelensége mia ez a közeledés megarja, s ámbár az eredô rugóállandó abszolúéréke nô, az eredô erô nagysága,. ábra. A numerikusan meghaározo kiérés-idô függény különbözô d kezdei rugóállandókkal. Az egyes görbék melle a hozzájuk arozó d éréke üneük fel. A d = 55 éréknél megalósul a ezérlés: a es megáll az origóban. A kis fekee négyzeek a c pillanaoka jelölik, amelyek egyben az x() görbe inflexiós ponjai, hiszen i ẍ =0.Ad = 55,5 és 55 érékekre c =3,05, illee,70. 1 x(0) = 1, ẋ(0) = (0) = 0. 55,5 55,01 (4) Az, hogy a kezdei kiérés egységnyi, nem jelen megszoríás, mer a hosszegység szabadon álaszhaó (más szóal, az a áolságo ekinjük hosszegységnek, amelybôl a es indul). A ezérlés ezek uán egyelen mennyiség, a d kezdei rugóállandó megálaszásáal égezheô el. A mozgás numerikus inegrálásához a Newon-egyenle szimulálására jól beál negyedrendû RungeKua-módszer [] álaszouk, rögzíe h lépésközzel. A negyedrendû jelzô arra ual, hogy egy ierációs lépés h 4 érékig ponos (a hiba nagyságrendje h 5 ). Ez elegendô ponosságo bizosí, iszonylag röid fuási idôkkel, a h = 0,01 álaszással. Miel nagyobb d érékek melle a kriikus c idô nagyobb, a es hosszabb ideig rezeg, érdemes az A -hoz közeli d érékek izsgálaáal kezdeni. Az A = 56, 55 < d < 56 álaszás melle a kriikus pillanahoz körülbelül másfél rezgés uán érünk el (a frekencia közben lassan csökken, hiszen a [d k()] rugóállandó is csökken). Ekkor d < 55,5-re, a kiérés negaí, a sebesség pozií, de annyira nagy, hogy a es a negaí rugóerô ellenére jelenôs sebességgel halad á az origón, s aól kezde gyorsula fu a égelenbe (. ábra). A d = 55 érék felé közelede ez a kifuás egyre lassul. d = 55,0001 melle az x () függény már közelí a -engelyhez, de kis szög ala ámeszi. A d = 55 érékre a görbe numerikus ponossággal belesimul a -engelybe, amin a. ábrán is láhajuk. Ekkor ehá sikeres a ezérlés! Az, hogy az k() d x() csökkenhe, ha x () elegendôen kicsi és megfelelô üemben csökken. Így ehá egészen kiéeles eseekben, bizonyos d érékek melle, leheséges az, hogy a es hosszú idô uán az origóhoz arson, megálljon. x 0 1 55,0001 54,9999 55 A ezérlés olyan beaakozási forma, amelyben a beáplál ada uán a rendszernek szemben a szabályozással nincs isszahaása önmagára. 54,99 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 410 FIZIKAI SZEMLE 010 / 1

ilyen d érékek mennyire kiéelesek, jól lászik abból is, hogy d = 54,9999 és d = 54,99-ra a kiérés a negaí égelenbe ar. A c éréknél fellépô sebesség ekkor már nem elég ahhoz, hogy a es a negaí irányból eljusson az origóig, s miuán az megközelíe isszafordul, a aszíó rugó egyre messzebbre áolíja. 0 = sx sabil sokaság insabil sokaság = sx Az insabil állapo izsgálaa, a fázisér Ez a apaszala jól muaja, hogy az origó erôsen insabil állapo. Vizsgálaára érdemes használni a dinamikai rendszerek módszeranából ismer eszközöke [3]. Tekinsük elôszöris a () mozgásegyenle hosszú idô eleléel érényes alakjá. Miel -re k()aza konsans érékhez ar, az egyenle jobb oldalán (A d)x áll. Miel A > d, a zárójel pozií, érdemes ez s -kén jelölni: s = A d. (5) Az s mennyiség a aszíási paraméer. A mozgásegyenle ezzel a röidíe jelöléssel ẍ = s x (6) alakú, és egy idôben konsans állandójú aszíó rugó haásá írja le. Hosszú idô eleléel a kiérés álalában nagy. A sikeres ezérléshez közeli eseekben azonban a (6) egyenle érényes x << 1 eseén is. Tegyük fel, hogy ilyen eseel an dolgunk, s indísuk újra az idôszámíás akkor, amikor a es már egy kis x 0 koordináájú és kis 0 sebességû állapoba kerül. Célunk ezzel annak megérése, hogy milyen a mozgás az origó környékén. Vegyük észre, hogy a (6) egyenle auonóm, ráadásul (éppen ezér) megoldhaó analiikusan. Min minden lineáris, állandó együhaós, homogén differenciálegyenlenek, megoldása keresheô exponenciális alakban. Az x = exp(λ) feleéssel a λ = ±s megszoríásra juunk, agyis a λ kieô csak a aszíási paraméer, s, agy annak elleneje, s lehe. Az álalános megoldás ezen alapmegoldások lineáris kombinációja. Könnyen ellenôrizheô, hogy a (6) egyenle x (0) = x 0, (0) = 0 kezdôfeléel kielégíô megoldása x() = sx 0 0 s e s sx 0 0 s e s (7) alakú. A megoldás ehá ké exponenciális összege, amelyek közül egy idô uán a pozií kieôjû, exp(s) ag álik dominánssá. Ez írja le a égelenhez arás. Mindez azonban csak akkor igaz, ha az sx 0 + 0 együhaó nem nulla. Bizonyos kezdôfeléelekre azonban fennállha, hogy sx 0 + 0 = 0, s ekkor x() =x 0 e s. (8) Ilyenkor ehá a es egyre csökkenô sebességgel az origóhoz ar. Ennek az esenek kell ehá megalósulnia sikeres ezérlés eseén. 0 x 3. ábra. Az origó (nyeregpon) és környezee a fázisérben, a jellegzees kereszalakza. A mozgás a onalakon a nyilakkal jelöl irányba örénik. Az origóba bejuni csak a sabil sokaság menén lehe. Az origó körüli iselkedésrôl áekinô képe a fázisérben kaphaunk, ahol a = ẋ sebessége ábrázoljuk az x kiérés függényében. Feni eredményünk az muaja, hogy a = (9) egyenes menén elhelyezkedô ponok éppen eljunak az origóba, ha x << 1. Vagyis, ha jól meghaározo sebeséggel lökjük az insabil állapo felé a ese, akkor az megáll. A nulla sebesség elérése elileg égelen hosszú ideig ar, de gyakorlailag az 1/s idô néhányszorosa uán a es már nagyon jó közelíéssel megközelíi a nyugalmi állapoo. Az egyenesen kíüli kezdôfeléelek mind a égelenbe ezenek. A = sx egyenes menén leô ponoknak megan az a sajáos ulajdonsága, hogy eseükben sx 0 0 = 0, és ôk egyelen exponenciálisan nöekô függény szerin áolodnak, x () =x 0 e s. A fázisér = sx egyenese a feniek szerin az a speciális mozgás írja le, amely az origóba örénô eljuásnak felel meg. Ez a görbé ezér az origó sabil görbéjének, a dinamikai rendszerek szóhasználaáal sabil sokaságának [3] híjuk. A = sx egyenes, amelynek menén az eláolodás a leggyorsabb, az origó insabil sokasága. A 3. ábrán is láhaó, hogy a fázissíko a sabil és insabil sokaságok négy síknegyedre oszják. Álalában is igaz [3], hogy a mechanikában elôforduló minden auonóm rendszer insabil állapoa ilyen ípusú. A kereszalakza megjelenése az fejezi ki, hogy az insabiliás sohasem ökélees. A fázisér egy elhanyagolhaóan csekély mérékû arományából (a eljes sík egy onalából) mindig el lehe juni az insabil állapoba. (A hegyére állío ceruza állapoá insabilnak mondjuk, pedig kezdei kiéríés eseén o is alálhaunk egy megfelelô kezdôsebessége, amellyel meglöke az éppen megáll a függôleges helyzeben.) Az insabil állapook ehá mindig nyeregponok a fázisérben, olyan ponok, amelyekhez arozik sabil és insabil sokaság. 3 3 A sabil sokaságra szoríkoza az origó sabilnak muakozik, a eljes fázissíkon azonban insabil. sx TÉL ANDRÁS, TÉL TAMÁS: EGY REMÉNYTELENNEK TŰNŐ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN 411

8 4 (Az is mondhajuk, hogy az igazi fázisér 3 dimenziós, amelye x, és a rugóállandóban megjelenô idô feszí ki, s mi az igazi, önmagá nem meszô sokaságnak az (x,) síkra e eüleé lájuk.) A rugóállandó-spekrum 0 4 8 1 0 1 x 4. ábra. A d =50ésad =50±10 4 érékekhez arozó megoldások képe a fázisérben. Ezek jó közelíéssel kirajzolják az origóba aró sabil sokaságo, de miel d = 50+10 4 melle a megoldás hosszú idô uán a pozií, d =50 10 4 -re iszon a negaí égelenbe ar, az insabil sokaság egy darabja is jól láhaóá álik. Ponozo onallal berajzoluk a = ±sx egyeneseke is, amelyek a sokaságok origó körül érényes alakjai adják meg. A = sx insabil ágól a numerikus megoldás nem különbözeheô meg, hiszen hosszú idô uán a (6) egyenle nagy x-ekre is érényes. A = sx görbe iszon alóban csak az origó környékén érini a szimulálással kapo sabil sokaságo. Számunkra a sabil sokaság bír különös jelenôséggel, hiszen a ezérlés csak ezen görbe menén lehe sikeres. Örülheünk annak, hogy alakjá a (9) összefüggés szerin egzakul ismerjük, de ez csak akkor igaz, ha a es már közel kerül az origóhoz. Mi mondhaunk az origóól áol esô ponok ezérlési esélyérôl? A folyonosság mia feléelezhejük, hogy az origó sabil sokasága a eljes () egyenle fáziserében is léezik. Ha ehá nem köjük magunka a >> 1 feléelhez, az eredei nem auonóm egyenle fáziserében is alálunk egy olyan görbé, amely hosszú idô uán befu a (9) egyenesbe, s azon kereszül az origóba. Ez a sabil sokaságo numerikusan kell megkeresni, s a kérdés az, hogy a (4) kezdôfeléel ado d melle ráesik-e az origó sabil sokaságára. Azon d érékek, amelyekre ez eljesül, a ezérlés bizosíó d érékek. A 4. ábra muaja, hogy d = 55 eseén az (1,0) pon alóban raja an az origóba ezeô sabil sokaságon. Auonóm rendszerekben a sabil sokaság nem meszhei önmagá. Miel azonban rendszerünk nem auonóm, öbb meszéspono is megfigyelheünk. 5. ábra. A d = 7 (a), 31 (b) és 47 (c) ezérlés bizosíó érékekhez arozó megoldások képe a fázisérben. Alauk a megfelelô x() függény láhaó. A ké ábrázolás közöi kapcsola bemuaására a kiérés-idô függény elforgauk, hogy a ké x engely párhuzamos legyen. A kriikus idôk rendre c = 0,37, 0,96 és 1,56. Ponozo onallal a fáziséren berajzoluk a = ±sx egyeneseke is. 8 8 8 a) b) c) 4 4 4 0 4 8 1 0 1 x 0 1 3 4 5 Vizsgáljuk ezek uán, léezik-e még másik, ezérlésre alkalmas d érék A = 56 melle. Ez numerikusan úgy ehejük meg, hogy programo írunk, amely az összes d éréke megizsgálja Δd = 0,01 lépésenkén a 0 < d < A operációs arományban. Minden egyes d -hez numerikusan meghaározza az x () függény, s rögzíi annak éréké egy késô idôponban (például = 30-ban). A program, amely a LabView grafikus programnyelen íródo [4], újabb és újabb d érékeke esz mindaddig, amíg az nem érzékeli, hogy a késôbbi idôponban fele x érék elôjele különbözik az elôzô d-hez arozó elôjeléôl. Ekkor megáll és kiírja az uolsó d éréke, amelynek környékén léeznie kell egy ezérlés megalósíó éréknek, hiszen i simul hozzá az x () függény a -engelyhez (agyis ugyanaz zajlik le, min a. ábrán, csak más d -re). Ezzel a módszerrel összesen még három ezérlésre alkalmas d éréke alálunk, amelyek 7, 31, és 47. A kiérés-idô függény ezekre rendre negyed, háromnegyed és önegyed rezgés uán ar az origóba. A fázisérbeli képen ennek megfelelôen az origó elérése elôi rajzola egyre bonyolulabb, és egyre öbb meszéspon figyelheô meg (5. ábra). Vegyük észre, hogy az alacsonyabb d érékekre az origó egyre insabilabb, az (5) aszíási paraméerre rendre a 7, 5 és 3 érékeke kapjuk. Ennek megfelelôen a nyeregponra jellemzô kereszalakza egyre meredekebb a fázissíkon. Az A = 56 paraméer eseén ehá összesen négy ezérlés bizosíó kezdei rugóállandó éréke alálunk a (4) kezdôfeléellel. Az ilyen ípusú feladaok a 0 4 8 1 0 1 x 0 1 3 4 5 0 4 8 1 0 1 x 0 1 3 4 5 41 FIZIKAI SZEMLE 010 / 1

1. ábláza A rugóállandó-spekrum különbözô A-kra A λ d n n max 1 4 3, 11 1 30 6 5, 1, 9 56 8 7, 31, 47, 55 3 sajáérék-problémák körébe aroznak: megoldások csak bizonyos diszkré d n = d 0, d 1,, d nmax érékek melle alálhaók. Az A paraméer más érékei melle is ugyanez a jellege lájuk. A apaszala az, hogy A nöeléséel nô a sajáérékek száma. Az 1. áblázaban összefoglaljuk néhány jellegzees A paraméer melle a alál d n sajáérékeke, a rugóállandó-spekrumoka. A áblázaból öbb érdekes szabályosság olashaó ki. Ado A melle az (n +1)-edik és az n -edik sajáérék különbsége például 8 egész számú öbbszöröse. Egyszerû összefüggésre juunk, ha észreesszük, hogy a izsgál A érékek ké egymás uáni egész szám szorzaakén írhaók, A = λ (λ 1), (10) ahol λ > 1. Az ado λ-hoz arozó elsô sajáérék mindig λ 1, és d n+1 d n =4λ 8(n +1). Ezek uán könynyen felismerheô az álalános szabály: d n = λ (λ 1) (λ n 1), (11) amely n = 0-ól a maximális n max =[(λ 1)/] érékig érényes, ahol a szöglees zárójel az egész rész jelöli. A d n sajáérékhez arozó (5) aszíási paraméer: s n = λ n 1, amibôl lászik, hogy minél kisebb n, annál insabilabb a probléma. Miel minden pozií szám írhaó a (10) alakban, érheô és numerikusan is ellenôrizheô, hogy a (11) rugóállandó-spekrum eszôleges alós λ-ra is érényes. Mi a kapcsola a modern fizikáal? Térjünk mos á egy másik kérdéskörre, a kanummechanikai energiasajáérék-problémára (a figyelmes Olasó bizonyára már amúgyis észreee a ké felada hasonlóságá). Min ismer, az egydimenziós, sima V(x) poenciálban mozgó m ömegû részecske E energiájá a m ψ (x) = E V(x) ψ(x) (1) sacionárius Schrödinger-egyenle haározza meg [57], ahol a Planck-állandó és a esszô az x helykoordináa szerini deriálás jelöli. A ψ(x) hullámfüggénynek folyonosan differenciálhaónak kell lennie, és köö állapoban nagy áolságokban nullához kell arania. Ez az egyenle mikroszkopikus részecskékre onakozik, és idôôl függelen. Hogyan eheô össze a () makroszkopikus ezérlési problémáal, amely a klasszikus fizika Newon-egyenlee? Az ilyen áolesô problémák közöi leheséges kapcsola felderíésében nélkülözheelen segíség az egyenleek dimenziólaníása [3]. A módszer nagyon egyszerû, és sok más eseben (például egyenleek numerikus megoldásra alkalmas alakjának megalálásában) is hasznos. Az alapgondola az, hogy minden problémának megan a sajá jellegzees hosszúságagy idôskálája. A Schrödinger-egyenle eseén ilyen jellegzees skála lehe a poenciál jellemzô méree, például félszélessége. Tekinsük áolságegységnek ez az a mikroszkopikus hossza az SI-rendszer méer (agy nanoméer) egysége helye. Ez formálisan az jeleni, hogy elégezzük az x axranszformáció. Az új x álozó a dimenziólan helykoordináa, amely megadja, hogy a áolság hányszorosa a a hosszegységnek. A bonyolul jelölésálás elkerülése érdekében jelöljük V (x ), ψ(x)-szel a poenciál- és a hullámfüggény dimenziólan helykoordinááal kifejeze alakjá is. Ha ennek szellemében esszôel kíánjuk jelölni a dimenziólan x szerini deriála is, akkor figyelembe kell enni, hogy minden egyes eredei x szerini deriálás egy a -al aló oszás hoz be. Miel készeres deriálásról an szó, a dimenziólan helyálozóban érényes Schrödinger-egyenle ψ (x) = E V(x) ψ(x). ma (13) Mos mindké oldal energia mérékegységû. A bal oldalon álló E = /(ma ) konsans ekinheô a probléma jellegzees energiaérékének. Ha a jobb oldalon leô energiá és poenciál ebben az E egységben mérjük, akkor helyeük az e = E /E, (x) = V (x )/E dimenziólan energia- és dimenziólan poenciálfüggény jelenik meg, és a ψ (x) = e (x) ψ(x) (14) egyenlere juunk. Az aomi méreekre jellemzô a = 10 10 m-rel, m =9 10 31 kg elekronömeggel és a = 10 34 Js Planck-állandóal számola az energiaegység E =510 19 J 3 ev, ami alóban aomi köésekre jellemzô energiaérék. Az E összenergia ennek néhányszorosa, így a dimenziólan egyenle már nem függ az eredei skálákól, nem marad benne semmilyen mikroszkopikus paraméer. Ezen a ponon felismerhejük, hogy a (14) dimenziólan Schrödinger-egyenle a már eddig is izsgál () egyenlehez hasonló, sô alakjuk az x csere uán eljesen megegyezik! Érdemes megjegyezni, hogy a ezérlés dimenziós (1) egyenleé, amelye a D()= D K() felbonással az mẍ() = D K() x() (15) alakban írhaunk, hasonló eljárással hozhajuk a () alakra. A rugóállandó idôbeli álozásának nyilán TÉL ANDRÁS, TÉL TAMÁS: EGY REMÉNYTELENNEK TŰNŐ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN 413

Y( x ) 1 0 1 an egy jellegzees ideje τ, amely lehe például az az idô, amely ala a rugóállandó éréke a felére csökken. Az idô τ egységeiben mére, a D = m/τ rugóállandó-egysége kapjuk, amellyel (15)-bôl ()-re juunk. 4 A dimenziólan egyenleek ekialenciájának felismerése uán ermészeesen izsgálnunk kell a kezdei és peremfeléeleke is. A ezérlés feléelekén megköeel x( ) = 0 megköés eljesen megfelel a hullámfüggény normálhaóságáal kapcsolaos ψ( x )= 0 peremfeléelnek. A ezérlési probléma kezdôfeléelének kanummechanikai megfeleleése öbb figyelme igényel. A Schrödinger-egyenle a eljes V(x) poenciál izsgálja, s nem szoríkozik annak csak a pozií (x > 0) koordináákhoz arozó felére. Páros poenciálfüggények, azaz V (x )=V( x) eseén, a szimmeria mia udjuk, hogy léezniük kell páros hullámfüggényeknek, s ezek a függények az origóban ízszines érinôjûek. Ôk, az x csere érelmében ponosan megfelelnek a (4) mechanikai kezdôfeléelnek. A páros sajáfüggényekhez a eljes e n energiaspekrum páros n indexû érékei rendelheôk. A páralan indexû energiaérékek az origóban elûnô ponszimmerikus hullámfüggényekhez aroznak. 5 A ké probléma közöi megfeleleés ehá az, hogy ha azonos alakú a dimenziólan k () és (x) függény, azaz, ha k( )= (x=) ésha (x ) páros, akkor a dimenziólan spekrumok megfelelnek egymásnak; a (4) kezdôfeléelhez arozó ezérlési probléma dimenziólan spekruma a d n = e n szabály szerin kaphaó meg az e n dimenziólan kanummechanikai spekrumból. A példakén használ (3) függénycsalád a kanummechanikában a (x) =λ (λ 1) 1 1 cosh x 6 4 x c 0 x c 4 6 x 6. ábra. A. ábra d = 55 érékhez arozó x() függénye páros kierjeszéséel kapo ψ(x) függény. Ez a (x) = 56 anh x poenciálhoz (felsô görbe) arozó Schrödinger-egyenle heedik sajáfüggénye (n = 6), amely az e 6 = d 3 = 55 sajáérékhez arozik. Az x c = c kriikus áolságo is felüneük. Ez a klasszikus fordulópon, amelyen úl a hullámfüggény már sohasem hullámzik. (16) dimenziólan poenciálnak felel meg, az úgyneeze RosenMorse-poenciálnak [7, 8]. 6 Még egyszerûbb példá kapunk a parabolikus k() = rugófüggény, (x) =x dimenziólan poenciál eseén, amely a V (x) = 1/mω x harmonikus oszcilláor problémának felel meg az E = ω/, a = /(mω) egységálaszással. A rugóállandó-spekrum e 6 =55. ábláza A ezérlési és a kanummechanikai felada megfeleleése Newon-egyenle Schrödinger-egyenle karakeriszikus idô τ kiérés függény x() rugófüggény K() dimenziólan idô rugóállandó egység D az operációs inerallum hossza A rugóállandó-spekrum d n = D n /D sikeres ezérlés karakeriszikus áolság a hullámfüggény ψ(x) poenciálfüggény V(x) dimenziólan áolság x energiaegység E a (x) poenciálgödör mélysége A 60 30 0 30 60 energiaspekrum e n = E n /E sajáállapo megalálása az ismer [5, 6] lineáris E n = ω(n +1/), e n =n+1 spekrumból köekezôen d n =4n+1 alakú. 7 Sajnos, az egzakul megoldhaó kanummechanikai problémák száma csekély [6, 7], ezér csak nagyon rikán számíhaunk arra, hogy a d n spekrum kifejezheô egyszerû képleel. A ázol numerikus eljárás azonban mindig célhoz eze. Feleheô az a kérdés is, hogy milyen kanummechanikai feladao oldunk meg a k () függény megálaszásáal. Miel az idô pozií, a poenciálnak pedig negaí x koordináákra is érelmezenek kell lennie, az mondhajuk, hogy (x )=k(=x), negaí x -ekre pedig (x) = ( x ). Vagyis, a (4) kezdôfeléelnek elege eô ezérlési felada a k ()-nak megfelelô poenciál páros kierjeszésé aralmazó energiasajáérék-problémának felel meg, és abban is a páros sajáérékeke adja meg d n. Így a d n -hez arozó ezérel x () kiérés-idô függény páros kierjeszése a x helyeesíés uán a (x ) poenciál n-edik sajáállapoához arozó hullámfüggény adja meg (6. ábra). x ( ) 4 Makroszkopikus m = 1 kg, τ = 1 s adaokkal D = 1 kg/s = 1 N/m. 5 Ezeke az x(0)=0,(0) = 1 kezdôfeléellel kaphanánk meg a ezérlési problémában, de ezzel a kezdôfeléel-családdal a erjedelmi korláok mia nem foglalkozunk. 6 Ennek dimenziólan energiaspekruma egzakul ismer az e n = λ(λ 1) (λ n 1) alakban, 0 n (λ 1). 7 Ha k() =λ, (x) =λ x, ahol λ > 0 eszôleges szám, akkor az E = ω/(λ), a = λ/(mω) álaszással az e n =(n+1)λ dimenziólan spekrumra juunk, amelybôl d n =(4n +1)λ. Ugyanez köekezik (11)-bôl is a nagy λ haáreseben, éges n-ekre. Ennek oka az, hogy a (3) rugófüggény parabolikusan indul: k() =λ(λ 1),és nagy λ-ra λ(λ 1) λ. 414 FIZIKAI SZEMLE 010 / 1

3 1 0 1 3 0 1 1 0 x 1 7. ábra. Sikeres ezérlés 0 = 1 kezdôfeléel melle a d 0 = 9,56 paraméerrel. A fázisérbeli kép ala a kiérés-idô függény láhaó. Szaggao onallal a 0 =0,d 0 = 7 ese görbéi is berajzoluk az öszszehasonlíhaóság érdekében, s kisebb arományban, min az 5.a ábrán. A c kriikus idô megfelelôje az x c kriikus áolság. Ez az a helykoordináa, ahol az összenergia megegyezik a poenciális energiáal, agyis, ahol a klasszikus fizika örényeinek elege eô részecske isszafordulna. Az, hogy a kanummechanikai feladaban a részecske éges alószínûséggel lehe az x c -nél nagyobb áolságban is, az alagúeffekus jelensége. Éppen ez az a aromány, ahol a ezérlési feladaban a rugóállandó negaí! A ezérlési és a kanummechanikai probléma megfeleleésének legfonosabb gondolaai foglalja össze a. ábláza. A ezérlési felada álalánosabb, min a kanummechanikai felada Vizsgáljuk mos meg, hogyan alakul a ezérlési felada, ha az x(0) = 1 helyzebôl nulláól elérô 0 0 kezdôsebességgel indíjuk a ese. A 0 = 1 érékkel A = 56-ra a numerikus megoldás köee az apaszaljuk, hogy d = 7 körül nem sikeres a ezérlés, de d = 9,56-ra sikeressé álik. Ez szemléleesen is érheô, hiszen, ha a es kezdeben haározoan áolodik az origóól, akkor a kriikus idô (amely függelen 0 -ól) elele uán még iszonylag messze an az origóól, így a aszíó erô d = 7 körül még kiei a pozií égelenbe. Az origó pozií irányból aló lassú elérése csak alamelyik nagyobb d éréknél álik leheôé. A 7. ábrán a kiérés-idô függényen kíül a fázisérbeli rajzolao is láhajuk, amely opológiailag azonos a d =7, 0 =0 3. ábláza Kezdôsebesség-függô rugóállandó sajáérékek A = 56-ra (λ =8) 0 d n ( 0 ) 11,389; 33,063; 48,035; 55,305 1 9,56; 3,087; 47,539; 55,163 0 7,000; 31,000; 47,000; 55,000 1 3,575; 9,851; 46,438; 54,83 ; 8,708; 45,877; 54,637 érékhez arozóal (5.a ábra). Az (1, 0 ) kezdôpon ermészeesen raja an az origó sabil sokaságán, ha d = 9,56. Ez a megfigyelés az sugallja. hogy minden egyes 0 dimenziólan sebességhez arozha egy d n ( 0 ) rugóállandó-spekrum. A numerikus apaszala ez aláámaszja, amin az a 3. ábláza néhány esere bemuaja. Az a szabály olashaó le, hogy pozií kezdôsebességek az eredei sajáérékeke nöelik, a negaíak csökkenik. Különösen érdekes a 0 = ese, amikor nem alálunk sajáéréke a 0 < d < 7 arományban. A kezdôsebesség ekkor olyan nagy negaí szám már, hogy a pozií érékek felôl oszcillálás nélkül az origóba aró megoldás már nem is léezhe. Nagyobb n-ekre a kezdôsebesség haása egyre kisebb, a függények egyre késôbb csengenek le, és rájuk a kezdei meredekség-álozás kisebb haással an. A ezérlési és a kanummechanikai probléma feni összehasonlíása alapján felmerül a kérdés: mondhajuk ezek uán, hogy a 0 0 eseekkel a (x) =k(=x) poenciál újabb kanummechnikai sajáérékeke fedezünk fel? Semmiképpen sem! A ezérlés éges meredekséggel induló x() függényének x engelyre e ükrözéséel kapo páros kierjeszése ugyanis megörik az origóban. Ez nem feleleheô meg kanummechanikai hullámfüggények, hiszen ψ-nek differenciálhaónak kell lennie (különben például nem lenne egyérelmûen érelmezheô rá az impulzusoperáor: a deriálási operáor haása). A leonhaó konklúzió az, hogy a ezérlési probléma bôebb, min a kanummechanikai, 8 mer öbb megoldása léezik, min a kanummechanikainak, hiszen minden 0 érékhez (nem csak 0 = 0-hoz) arozha egy rugóállandó-spekrum. Ennek oka, hogy a klasszikus x() függényre keesebb megszoríás léezik, min a hullámfüggényre. Ugyanakkor azonban a ezérlési probléma minden egyes 0 -nál ugyanolyan (akár analiikus) módszerekkel oldandó meg, min a Schrödinger-egyenle. Annak más oldalról örénô megilágíására, hogy a kanummechanikai probléma megoldása bonyolulabb, öbb megköésnek esz elege, min a mechanikai, érdemes röiden kiérni az álalános, azaz nem 8 Hacsak nem éelezünk fel az origóban még egy 0 -al arányos Dirac-dela poenciál is. Az azonban, hogy az amúgyis mikroszkopikus eredei problémában egy még sokkal kisebb haóáolságú kölcsönhaás is beépísünk, nehezen moiálhaó. TÉL ANDRÁS, TÉL TAMÁS: EGY REMÉNYTELENNEK TŰNŐ VEZÉRLÉSI PROBLÉMA A KLASSZIKUS ÉS MODERN FIZIKA HATÁRÁN 415

páros, egyelen minimumú (x) poenciál eseére. Válasszuk az origó a poenciál minimumának. A pozií és a negaí x érékekhez arozó poenciálból pozií idôkre ké különbözô rugófüggény definiálhaó k 1 ()= (=x>0) és k ()= (= x>0). Miel a hullámfüggénynek mind a pozií, mind a negaí égelenben el kell ûnnie, a megfelelô ezérlési feladaban ké különbözô differenciálegyenlee kell megoldanunk, mindkeô pozií idôkre, s ugyanazzal a d-el: ẍ i ()= d k i () x i (), i =1,. (17) A kezdôfeléel az, hogy az 1-es eseben x 1 (0) = 1, 1 (0) = 0, a másik eseben iszon x (0) = 1, (0) = 0, ugyanis az x megoldás x-engelyre aló ükrözéséel kapo eljes megoldás: ψ(x>0) = x 1 (=x), ψ(x<0) = x (= x) csak így lehe folyonosan deriálhaó az origóban. Az energiaspekrum megalálása az jeleni, hogy minden egyes éges 0 és d melle égig kell próbálnunk, hogy ezérelheô-e mindké felada egyszerre. Összefoglalás Megmuauk, hogy léezik egy idôfüggô ezérlési felada, amely szoros hasonlóságo mua az egydimenziós kanummechanikai energiasajáérék-problémáal, amennyiben a helykoordináában páros poenciáloka izsgálunk. Még ekkor is, a ezérlési feladanak jóal öbb diszkré megoldása léezik, min a kanummechanikainak, mer a ezérel részecskének lehe kezdôsebessége is. A sikeres ezérlés mindig egy insabil pon (az origó) elérésé jeleni, ami csakis a sabil sokaság menén leheséges. A ezérlés feléele ehá úgy fogalmazhaó meg, hogy a kezdôfeléel essen rá az origó sabil sokaságára. A dinamikai rendszerek szemlélee új megilágíásba helyezi a klasszikus kanummechanikai energiasajáérék-problémá is. Köszönenyiláníás Köszönjük Varga Balázs anár úrnak (Eöös József Gimnázium, Budapes), hogy olyan modern fizikai óráka aro, amelyek alapján a 11-edikes diákban felmerül a kérdés: mi lehe a Schrödinger-egyenle idôbeli megfelelôje. Ez ezee el a bemuao gondolamenehez. Irodalom 1. Nagy Károly: Elmélei Mechanika. Nemzei Tankönykiadó, Budapes, 00.. W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Veerling: Numerical Recipes in C: The Ar of Scienific Compuing. Cambridge Uniersiy Press, 00. 3. Tél Tamás, Gruiz Máron: Kaoikus Dinamika. Nemzei Tankönykiadó, Budapes, 00. 4. hp://ni.com/labiew 5. Marx György: Kanummechanika. Mûszaki Könykiadó, Budapes, 1971. 6. F. Consaninescu, E. Magyari: Kanummechanika Feladaok. Tankönykiadó, Budapes, 197. 7. L. D. Landau, E. M. Lifsic: Kanummechanika. Tankönykiadó, Budapes, 1978. 8. N. Rosen, P. M. Morse, Phys. Re. 15 (193) 10. 416 FIZIKAI SZEMLE 010 / 1