Informatikai rendszerek modellezése, analízise

Informatikai rendszerek modellezése, analízise Dr. Sztrik János Debreceni Egyetem, Informatikai Kar

Lektorálta: Dr. Bíró József MTA doktora, egyetemi tanár 2

Jelen jegyzetet feleségemnek ajánlom, aki nélkül ez a munka sokkal hamarabb elkészült volna. Ha valami egyszer elromolhat, akkor el is fog romlani. A szakértői rendszerek arról ismerhetők fel, hogy abból az ismeretből, miszerint egy rózsa illatosabb, mint egy káposztafej, azt a következtetést vonják le, hogy a rózsából jobb levest is lehet főzni. Minél kevesebb funkciója van egy programnak, annál tökéletesebben hajtja végre azokat. Az a vírus, amelyik megtámadta gépedet csak azokat az állományokat fertőzi meg, amelyekről nincsenek biztonsági másolataid. Hibátlan program megírása olyan, mint a kör négyszögesítése. Mindenki azt hiszi, hogy lehetséges, de ilyent még senki sem látott. Ha egy rövid sor felé haladsz, az orrod előtt hosszú lesz belőle. Ha hosszú sorban várakozol, a mögötted állókat új, rövidebb sorba terelik át. Ha kilépsz egy pillanatra a rövid sorból, azonnal meghosszabbodik. Ha rövid sorban várakozol, az előtted állók beeresztik barátaikat és rokonaikat, így lesz hosszú sor belőle. Az, ami rövid sor az épületen kívül, valójában hosszú sor az épületen belül. Ha elég hosszú ideig állsz egy helyben, sorbanállást idézel elő. (Arthur Block: Murphy törvénykönyve) 3

4

Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Informatikai rendszerek modellezése, analízise 9. Valószínűségszámítási alapok.. Valószínűségszámítási összefoglaló.......................2. Nevezetes diszkrét eloszlások......................... 3.3. Nevezetes abszolút folytonos eloszlások................... 6 2. A sztochasztikus modellezés alapjai 23 2.. Az exponencális eloszlással kapcsolatos eloszlások............. 23 2.2. Megbízhatóság-elméleti alapok........................ 3 2.3. Véletlen számok generálása.......................... 33 2.4. Véletlen tagszámú összegek......................... 35 3. Analitikus eszközök 37 3.. Generátorfüggvény.............................. 37 3.2. Laplace-transzformált............................. 42 4. Sztochasztikus rendszerek 47 4.. Poisson-folyamat............................... 47 4.2. Egyszerűbb rendszerek vizsgálata...................... 5 5. Folytonos idejű Markov-láncok 69 5.. Születési-halálozási folyamatok........................ 7 II. Feladatgyűjtemény 73 6. Valószínűségszámítási alapok 75 6.. Diszkrét eloszlások.............................. 75 6.2. Folytonos eloszlások.............................. 79 7. A sztochasztikus modellezés alapjai 83 7.. Az exponenciális eloszlás és a belőle származtatott eloszlások....... 83 7.2. Megbízhatóság-elméleti alapok........................ 92 7.3. Véletlen tagszámú összegek......................... 94 5

8. Analitikus eszközök 97 8.. Generátorfüggvény.............................. 97 8.2. Laplace-transzformált............................. 99 9. Sztochasztikus rendszerek 9.. Poisson-folyamat............................... 9.2. Esettanulmányok............................... 3 Függelék Irodalomjegyzék 3 6

Előszó A mindennapi élet egyre több cselekvését átszövő modern infokommunikáció állandó fejlesztésre ösztönzi a szakembereket. Természetesen ez nem korlátozható egyetlen tudományágra, hiszen fontos szerepet játszanak a mérnökök és az elméleti kutatást végző tudósok is. Az informatikai rendszerek sok alkalmazási területet ölelnek fel, többek között a fent említett infokommunikációs hálózatokat. Hogy jobban megértsük a háttérben zajló fejlesztő munka egyes lépéseit, szükségünk van pl. az igények kiszolgálási folyamatát modellező matematikai módszerek és eszközök megismerésére. A kiszolgálási rendszerek hatékonyságának, megbízhatóságának elemzése az alkalmazott matematika egyik legdinamikusabban fejlődő területe. A gyakorlatban felmerülő problémák újabb és újabb módszerek kidolgozását igénylik. Jelen segédletben a megbízhatóság-elméleti és sorbanállási problémákra koncentrálva a legfontosabbnak ítélt eljárásokat és megközelítéseket tárgyalom. Az összeállított Markovi-szintű modellek felépítése csupán alapvető valószínűségszámítási ismereteket tételez fel. Próbálok betekintést nyújtani a modellalkotásba, a képletek származtatásába, kiszámításába és az eredmények kiértékelésébe. A jegyzete célja, hogy az olvasókat megismertessem a sztochasztikus modellezés alapvető fogalmaival, eszközeivel és eljárásaival. Fontos szerep jut a szemléletmód kialakításának hiszen értelmes választ csak értelmes kérdésre lehet adni. Hiába a szép, zárt-alakú analitikus matematikai képlet, ha nem tudjuk kiszámítani. Ezért mutatom meg, hogyan lehet ugyanazt a problémát különböző oldalról is megközelíteni. Ne elégedjünk meg csak egyfajta megoldással, ha lehetséges más módszerrel is ellenőrizzük az eredményeket! Arra törekedtem, hogy mind a mérnöki, mind pedig a matematikusi gondolkodásmód is helyet kapjon. Sok esetben megadtam a pontos formulák rekurzív illetve közelítő kiszámítási lehetőségét is. Egyszerű példákon keresztül igyekeztem megmutatni a szokásos megoldási eljárásokat és a matematikai módszereket. Az alapvető cél, hogy meglássuk mi van az analitikus képletek mögött, vagyis hogyan kapjuk őket. Ez azért fontos, hogy az olvasók később maguk is képesek legyenek a saját képleteiket megalkotni. Hangsúlyozni kell, hogy ezek az egyszerű modellek egy nagyon fontos feltevésen alapulnak, nevezetesen, hogy a fellépő valószínűségi változók exponenciális eloszlásúak. Ezen eloszlás emlékezetnélkülisége lehetőséget ad arra, hogy a rendszerek működési jellemzőit viszonylag egyszerű matematikai módszerekkel határozzuk meg. Természetesen a gyakorlatban az exponenciális eloszlás mellett számos más eloszlás is szerepet kap, de a velük való modellezés már jóval bonyolultabb matematikai megközelítést igényel. Véleményem szerint az exponenciális eloszláson alapuló modellezés azért jelentős, mert segít a szemléletmód kialakításában, viszonylag egyszerű eszközökkel megadhatjuk a rendszer különböző paramétereinek a rendszerjellemzőkre gyakorolt hatását és ezzel felkészülhe- 7

tünk a várható trendekre. Az analitikus módszerek jó kiindulási alapot szolgáltatnak a numerikus és szimulációs megközelítésekhez, hiszen segítségükkel a bonyolultabb rendszerek működését leíró modelleket validálhatjuk. A jegyzet a sztochasztikus folyamatok elméletéből csak annyit használ fel amennyire a modellalkotásnál és a hatékonysági mutatók kiszámításánál szükségünk van. Bizonyítás nélkül átvesz alapvető tételeket és az alkalmazásra koncentrál. Be kell vallanom, hogy a jegyzet stílusának kialakításában Kleinrock [5] könyve döntő szerepet játszott. Nem követtem a szigorú definíció-tétel-bizonyítás lépéssorozatot, és így igyekeztem a nem matematikus olvasók részére is hasznos segédletet adni. Azonban vannak olyan fejezetek, ahol ez a szigorú felépítés a történeti hűség miatt megmaradt. A jegyzet az alapképzésben részvevő mérnök informatikus, programtervező informatikus, gazdaságinformatikus, alkalmazott matematikus hallgatóknak készült, de utolsó fejezeteit mesterszakos hallgatók is jól használhatják. Több szemeszter anyagát öleli fel, kiforrott összeállítás, hiszen korábbi időszakban az osztatlan egyetemi képzés keretében sok éven át oktattam. Arra törekedtem, hogy az adott problémát valószínűségszámítási szempontból lehetőleg teljes egészében tárgyaljam, vagyis nem elégedtem meg csak a várható értékekkel, hanem igyekeztem megadni a sűrűségfüggvényt, eloszlásfüggvényt, generátorfüggvényt, és a Laplace-transzformáltat is. Az elméleti problémákat a jobb megértés végett sok esetben példákkal illusztráltam és feladatokat gyűjtöttem össze, melyekhez megadtam a megoldást is. Meggyőződésem és tapasztalatom, hogy a jegyzet hiánypótló, tudtommal Magyarországon nincs olyan segédlet, amely ilyen részletességgel tárgyalja ezen témakört. Köszönöm Bíró József egyetemi tanár lelkiismeretes lektori munkáját, amely javította a jegyzet tartalmát és formáját. A Latex szerkesztésben sok segítséget kaptam Kósa Márktól, Barnák Alberttől, Máté Balázstól, akiknek ezúton is szeretném kifejezni hálámat. Az előforduló hibákra vonatkozó észrevételeket és mindenfajta javító szándékú megjegyzést örömmel veszek az alábbi címen: sztrik.janos@inf.unideb.hu http://irh.inf.unideb.hu/user/jsztrik Debrecen, 2. A Szerző 8

I. rész Informatikai rendszerek modellezése, analízise 9

. fejezet Valószínűségszámítási alapok Sztochasztikus modellezés elképzelhetetlen valószínűségszámítási módszerek nélkül. Az a tapasztalatom, hogy érdemes a legfontosabb fogalmakról, tételekről egy rövid összefoglalót adni, mert a hallgatók esetleg más szinten és különböző megközelítésben tanulták ezt a tantárgyat. Csak azokat a tételeket sorolom fel, amiket többször használok majd és esetleg az alapozó oktatásnál nem került sor az ismertetésükre. Magyarországon bőséges forrás áll rendelkezésünkre, akár nyomtatott akár pedig digitális anyagokat tekintünk. Úgy gondolom, hogy Prékopa András [8] és Rényi Alfréd [] klasszikus könyve minden intézményben megtalálható. Digitális formában számos jegyzetet és könyvet lehet letölteni mind magyar, mind pedig angol nyelven... Valószínűségszámítási összefoglaló. Tétel (Teljes valószínűség tételének főbb alakjai). Legyen B, B 2,... pozitív valószínűségű eseményekből álló teljes eseményrendszer, A pedig tetszőleges esemény. Ekkor (.) P (A) P (A B i )P (B i ). i F (x) f(x) f ξ (x) F (x B i )P (B i ) i f(x B i )P (B i ) i f ξ η (x y)f η (y)dy F ξ (x) F ξ η (x y)f η (y)dy

P (A) P (A η y)f η (y)dy, ahol f(x, y) az együttes sűrűségfüggvény, f ξ η (x y) f(x, y) f η (y) a feltételes sűrűségfüggvény, F ξ η (x, y) x f ξ η (t y)dt pedig a feltételes eloszlásfüggvény. 2. Tétel (Bayes-tétel). Legyen B, B 2,... pozitív valószínűségű eseményekből álló teljes eseményrendszer, A pedig tetszőleges, pozitív valószínűségű esemény. Ekkor P (B i A) P (A B i )P (B i ) j P (A B j)p (B j ).. Definíció. Azt mondjuk, hogy a p k P (ξ x k ), k,2,..., eloszlású ξ valószínűségi változónak van véges várható értéke, ha a k p kx k sor abszolút konvergens. Ekkor a ξ várható értéke Eξ p k x k. k 2. Definíció. Legyen a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x). Ha + x f(x) dx véges akkor azt mondjuk, hogy ξ-nek létezik véges várható értéke. Ekkor az Eξ + xf(x) dx által meghatározott mennyiség létezik és véges. Az Eξ számot ξ várható értékének nevezzük. Bizonyítás nélkül felsoroljuk a várható érték főbb tulajdonságait. Hogyha Eξ, Eη <, akkor. E(ξ + η) is létezik, és E(ξ + η) Eξ + Eη, 2. E(cξ) is létezik, és E(cξ) ceξ, 3. E(ξη) is létezik, és E(ξη) EξEη, ha ξ és η függetlenek, 4. E(aξ + b) is létezik, és E(aξ + b) aeξ + b, 5. (E(ξη)) 2 is létezik, és (E(ξη)) 2 Eξ 2 Eη 2, ha léteznek a második momentumok, 2

6. Eξ ( F (x)), dx F (x) dx. 3. Tétel (A teljes momentum tétel). A teljes momentum tétel leggyakrabban használt alakja E(ξ n ) E(ξ n B i )P (B i ), i ahol E(ξ n B i ) a feltételes n -edik momentum. Használatos még az E(ξ n ) E(ξ n η y)f η (y)dy alak is. n esetben a teljes várható érték tételét kapjuk. 3. Definíció (Szórásnégyzet). Legyen ξ valószínűségi változó, tegyük fel, hogy Eξ m létezik és véges. A D 2 ξ E(ξ m) 2 mennyiséget(feltéve, hogy véges) ξ szórásnégyzetének nevezzük. Igazak a következőek. Ha D 2 ξ < akkor D 2 ξ Eξ 2 E 2 ξ. 2. D 2 (aξ + b) a 2 D 2 ξ bármely a,b R esetén. 3. D 2 ξ ; D 2 ξ akkor és csak akkor, ha P (ξ Eξ)..2. Nevezetes diszkrét eloszlások Binomiális eloszlás A ξ valószínűségi változót n-ed rendű, p paraméterű, vagy (n, p) paraméterű binomiális eloszlásúnak nevezzük, ha a k számokat rendre p k ( ) n p k ( p) n k, k,,..., n k valószínűséggel veszi fel. Jelölése: ξ B(n, p). Bebizonyítható, hogy Eξ np, D 2 ξ np( p). Ha n, akkor ξ-t Bernoulli-eloszlásúnak nevezzük. 3

Poisson-eloszlás A ξ valószínűségi változót λ paraméterű Poisson-eloszlásúnak nevezzük, ha a valószínűségi változó a k számokat rendre p k λk k! e λ, λ >, k,,... valószínűséggel veszi fel. Jelölése: ξ P o(λ). Jól ismert, hogy Eξ λ, D 2 ξ λ. Meg lehet mutatni, hogy lim n,p,np λ ( n )p k ( p) n k λk k k! e λ, k,,... vagyis a binomiális eloszlást jól lehet közelíteni a Poisson-eloszlással. Ez a közelítés annál jobb, minél közelebb van a p a nullához. Egy elfogadott szabály a közelítésre n 2 és p.5. Geometriai eloszlás A ξ valószínűségi változót p paraméterű geometriai eloszlásúnak nevezzük, ha a valószínűségi változó a k számokat rendre p k p( p) k, k, 2,... valószínűséggel veszi fel. Jelölése: ξ Geo(p). Bebizonyítható, hogy Eξ p, D2 ξ p p 2. A ξ ξ valószínűségi változót p paraméterű módosított geometriai eloszlásnak nevezzük. Ekkor P (ξ k) p( p) k, k,,... Eξ q p, D2 ξ q p 2. Konvolúció 4. Definíció. Legyenek ξ és η független valószínűségi változók P (ξ i) p i, P (η j) q j eloszlással, i, j,,, 2... Ekkor a ζ ξ + η eloszlása P (ζ k) k p j q k j, k,, 2,... j melyet a fenti eloszlások konvolúciójának nevezünk, vagyis a ξ + η eloszlását határozzuk meg ily módon. 4

. Példa. Mutassuk meg, hogyha ξ B(n, p), η B(m, p) függetlenek, akkor ξ + η B(n + m, p)! l ( ) ( ) n m P (ξ + η l) p k ( p) n k p l k ( p) m l+k k l k k l ( )( ) n m p l ( p) n+m l k l k ( n + m l k ) p l ( p) n+m l. ( ) n + m p l ( p) n+m l l 2. Példa. Igazoljuk, hogyha ξ Po(λ), η Po(β) függetlenen, akkor ξ + η P o(λ + β)! P (ξ + η l) l k e λ β l λ k βl k e λ k! (l k)! e β k (λ + β)l e (λ+β). l! λ k β l k k! (l k)! e (λ+β) l! l k ( ) l λ k β l k k 3. Példa. Egy forgalmas áruházban λ paraméterű Poisson-eloszlással érkeznek látogatók. Mindegyikből a többitől függetlenül p valószínűséggel lesz vásárló. Határozzuk meg a vásárlók számának az eloszlását! Legyen ξ P o(λ) a látogatók száma, η vásárlók száma. Ekkor teljes valószínűség tétele 5

alapján P (η n) P (η n ξ k) P (ξ k) kn kn p n e λ ( k )p n ( p) k n λk n k! e λ kn p n e λ kn p n e λ n! λn (λp)n e λ n! (λp)n e λp n! Vagyis azt láthatjuk, hogy η P o(λp). k! λk ( p)k n n!(k n)! k! n!(k n)! ( p)k n λ n λ k n l l (( p)λ)l l! (( p)λ) l l! (λp)n e λ e ( p)λ n!.3. Nevezetes abszolút folytonos eloszlások Egyenletes eloszlás A ξ valószínűségi változót az [a,b] intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye {, ha a x b, b a f(x), egyébként. Könnyen látható, hogy eloszlásfüggvénye, ha x a, x a F (x), ha a < x b, b a, ha b < x. Jelölése: ξ E(a, b). Belátható, hogy Eξ a + b 2, D2 ξ (b a)2. 2 Megmutatható, hogyha ξ E(, ), akkor ξ a + (b a)ξ E(a, b). A véletlen számok generálásánál fontos szerepet játszik, hogyha (x) létezik, akkor η F ξ (ξ) E(, ) és így ξ F (η). F ξ 6

Ezt az alábbi módon mutathatjuk meg F η (x) P (η < x) P (F ξ (ξ) < x) F ξ (F ξ (x)) x, vagyis η E(, ). Ebből ξ F ξ (η). Exponenciális eloszlás A ξ valószínűségi változót λ paraméterű exponenciális eloszlásúnak nevezzük ha sűrűségfüggvénye {, ha x <, f(x) λe λx, ha x. Ebből pedig eloszlásfüggvénye F (x) ahol λ > rögzített. Jelölése: ξ Exp(λ). {, ha x <, e λx, ha x. Belátható, hogy Eξ λ, D2 ξ λ 2. Erlang-eloszlás A η n valószínűségi változót (n, λ) paraméterű Erlang-eloszlásúnak nevezzük ha sűrűségfüggvénye {, ha x <, f(x) λ (λx)n (n )! e λx, ha x. Hosszadalmasabb számolással bebizonyítható, hogy eloszlásfüggvénye {, ha x <, F (x) n (λx) k k e λx, ha x, k! ahol n természetes szám, λ >. Jelölése: ξ Erl(n, λ), vagy ξ E n (λ). Könnyen látható, hogy n esetben az exponenciális eloszlást kapjuk vissza. Megmutatható, hogy Eη n n λ, D2 η n n λ 2. Gamma-eloszlás A ξ valószínűségi változót (α, λ) paraméterű Γ-eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye, ha x < f(x) λ(λx) α e λx, ha x. Γ(α) 7

ahol λ >, α >, Γ(α) az úgynevezett teljes gamma-függvény. t α e t dt Az eloszlásfüggvény explicite nem adható meg, kivéve az α n esetet. Jelölése: ξ Γ(α, λ). Megmutatható, hogy E(ξ) α λ, D2 (ξ) α λ 2. Az α -t alak-paraméternek, λ -t pedig skála-paraméternek szokás nevezni. α n esetben az (n, λ) paraméterű Erlang-eloszlást kapjuk vissza. Weibull-eloszlás A ξ valószínűségi változót (λ, α) paraméterű Weibull-eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségfüggvénye, ha x < f(x) λαx α e λxα, ha x. Könnyű látni, hogy, ha x < F (x) e λxα, ha x ahol λ > ú.n. skála-paraméter, α > ú.n. alak-paraméter. Speciálisan α esetben az exponenciális eloszlást kapjuk vissza. Jelölése: ξ W (λ, α). Megmutatható, hogy Pareto-eloszlás ( ) ( α E(ξ) Γ + ) λ α ( ) 2 [ ( D 2 α (ξ) Γ + 2 ) ( Γ 2 + )]. λ α α A ξ valószínűségi változót (k, α) paraméterű Pareto-eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűségés eloszlásfüggvénye 8

ahol α, k >., x < k f(x) αk α x α, x k, x < k F (x) ( k α x), x k Jelölése: ξ P ar(k, α), ahol k a hely-paraméter, α pedig az alak-paraméter. Megmutatható, hogy kα, α > α E(ξ), α k 2 α, α > 2 E(ξ 2 α 2 ), α 2 Így D 2 (ξ) ( ) 2 k2 α kα α 2, α > 2. α Pareto-eloszlást követ például: egy általános processz CPU ideje, valamely file mérete egy Internet-szerveren, valamely web-böngésző gondolkodási ideje. α -ra a következő intervallumokat becsülték az előbb említett jelenségeknél: [.5,.25], [.,.3], [.58,.9]. Normális eloszlás (Gauss-eloszlás) A ξ valószínűségi változót (m, σ) paraméterű normális eloszlásúnak nevezzük, ha sűrűség- és eloszlásfüggvénye f(x) 2πσ e (x m)2 2σ 2, F (x) x f(t)dt, ahol m R, σ >. Jelölése: ξ N(m, σ). F (x) -re nincs zárt alakú kifejezés. Speciálisan, ha m, σ, akkor ξ N(, ), amit standard normálisnak nevezünk. Ekkor ennek sűrűség- és eloszlásfüggvénye ϕ(x) x e x2 2, φ(x) 2π 9 ϕ(t)dt.

Be lehet bizonyítani, hogy ha ξ N(m, σ), akkor ( ) x m P (ξ < x) φ, σ továbbá φ( x) + φ(x). Jól ismert, hogy Lognormális eloszlás E(ξ) m, D 2 (ξ) σ 2. Legyen η N(m, σ), akkor a ξ e η valószínűségi változót lognormális eloszlásúnak nevezzük, jelölése ξ LN(m, σ). Nem nehéz látni, hogy ekkor és ebből Megmutatható, hogy P (ξ < x) P (e η < x) P (η < ln x) ( ) ln x m f ξ (x) φ σ ( ln x m F ξ (x) φ σ σx ϕ ), x >. ( ln x m σ2 m+ E(ξ) e 2, D 2 (ξ) e 2m+σ2 (e σ2 ). σ ), x > 4. Tétel (Markov-egyenlőtlenség). Legyen ξ nemnegatív valószínűségi változó, melyre Eξ <, δ > tetszőleges szám. Ekkor P (ξ δ) Eξ δ. 5. Tétel (Csebisev-egyenlőtlenség). Tegyük fel, hogy D 2 ξ <, Eξ m és ε > tetszőleges szám. Ekkor P ( ξ m ε) D2 ξ ε 2. 6. Tétel (Központi ( centrális) határeloszlás-tétel). Legyenek a ξ, ξ 2,... független, azonos eloszlású valószínűségi változók, melyekre D 2 (ξ i ) σ 2 <, E(ξ i ) m. Ekkor ( ) lim P ξ +... + ξ n nm < x φ(x). n nσ Speciálisan, ha ξ i χ i, akkor ξ +... + ξ n B(n, p) és így P (ξ +... + ξ n < x) ( ) ( ) n x np p k ( p) n k φ. k k<x npq 2

Ennek lokális alakja ( ) n p k ( p) n k k e (k np) 2πnp( p) 9 Tapasztalatok azt mutatják, hogy ha n és p n n+9 jó közelítést ad a binomiális eloszlásra. 2 2np( p). n+9, akkor a normális eloszlás 2

22

2. fejezet A sztochasztikus modellezés alapjai Ebben a fejezetben a Markovi-szintű modellezésben fontos szerepet játszó alapvető eloszlásokat ismerhetjük meg. Szó esik a megbízhatóság-elméletben előforduló rendszerek sztochasztikus viselkedésének leírásáról és módszereket adunk meg a fontos jellemzők meghatározására. Megmutatjuk hogyan tudunk a szimulációs eljárásokhoz szükséges adott eloszlású véletlen számokat generálni. Végül tárgyaljuk a véletlen tagszámú összegeket, amely a gyakorlatban nagyon sokszor előfordulnak. Az anyag összeállításában főleg Allen [], Gnyedenko, Beljajev, Szolovjev [2], Jereb, Telek [4], Kleinrock [5], Ovcharov [7], Ravichandran [9], Ross [], Tijms [4], Trivedi [5] könyvekre támaszkodtunk. 2.. Az exponencális eloszlással kapcsolatos eloszlások 7. Tétel (Örökifjú tulajdonság). Ha ξ Exp(λ) akkor teljesülnek a következő, úgynevezett örökifjú ( emlékezetnélküliség ) tulajdonságok Bizonyítás: P (ξ < x + y ξ y) P (ξ < x), x >, y >, P (ξ > x + y ξ y) P (ξ > x), x >, y >. P (ξ < x + y ξ y) P (y ξ < x + y) P (ξ y) F (x + y) F (y) F (y) A második forma bizonyítása hasonlóan történik. e λ(x+y) ( e λy ) ( e λy ) e λy ( e λx ) e λy e λx F (x) P (ξ < x) 8. Tétel. e λh λh + o(h), ahol o(h)(kisordó h) olyan mennyiség ami h-nél gyorsabban tart -hoz, azaz lim h o(h) h. 23

Bizonyítás: Mint látható az állítás ekvivalens e λh λh lim h h val, amit a L Hospital szabály felhasználásával bizonyítunk be, azaz e λh λh lim h h lim h λe λh λ. 9. Tétel. Ha F (x) a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, melyre F (), valamint F (x + h) F (x) λh + o(h), ha x >, F (x) akkor F (x) e λx, ha x. Bizonyítás: Látható, hogy a feltételekből F (x+h) F (x) h lim h F (x) lim h λh + o(h) h λ összefüggést nyerjük, ebből pedig F (x) λ így F (x) F (x) F (x) dx λ dx ln F (x) λx + ln c F (x) ce λx, azaz F (x) ce λx. Felhasználva, hogy F () kapjuk, hogy c, ezzel pedig F (x) e λx. Az alkalmazások során nagyon fontos szerepet játszik az alábbi állítás, amelynek segítségével párhuzamosan játszódó folyamatok közül tudjuk meghatározni a legelső esemény időtartamának az eloszlását.. Tétel (Soros kapcsolású rendszerek élettartamának eloszlása). Ha ξ i Exp(λ i ) (i,2,...,n) függetlenek, akkor η min(ξ,..., ξ n ) szintén exponenciális eloszlású, mégpedig n i λ i paraméterrel. 24

Bizonyítás: Jelen esetben felhasználjuk, hogy a komplementer esemény valószínűségéből hogyan határozhatjuk meg a kérdéses esemény valószínűségét, vagyis P (η < x) P (η x) P (ξ x,..., ξ n x) n n P (ξ i x) ( ( e λix )) e ( n i λ i)x i i 4. Példa. Legyen ξ λ, η pedig µ paraméterű független exponenciális eloszlású valószínűségi változó. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy ξ min(ξ, η)! ξ min(ξ, η) akkor és csak akkor ha ξ < η. A teljes valószínűség tételét felhasználva kapjuk, hogy P (ξ < η) P (ξ < η) ( e λx )f η (x) dx µe µx dx µ λ + µ P (ξ < x)f η (x) dx, ( e λx )µe µx dx (λ + µ)e (λ+µ)x dx µ λ + µ λ λ + µ 5. Példa (Párhuzamos kapcsolású rendszerek élettartamának eloszlása). Legyenek ξ,..., ξ n független valószínűségi változók, valamint η max(ξ,..., ξ n ). Határozzuk meg η eloszlásfüggvényét! P (η < x) P (ξ < x,..., ξ n < x) Ha ξ i Exp(λ i ), akkor F η (x) n i ( e λ ix ). n P (ξ i < x) i n F ξi (x) i Ha pedig λ i λ, i,..., n, akkor F η (x) ( e λx ) n 6. Példa. Mi lesz a párhuzamos kapcsolású rendszer élettartamának várható értéke, 2 darab inhomogén, exponenciális eloszlású elem esetén? Oldjuk meg először a példát a definíciót követve! Ekkor 25

f max(ξ,ξ 2 )(x) [( e λ x ) ( e λ 2x )] ( e λ x e λ 2x + e (λ +λ 2 )x ) λ e λ x + λ 2 e λ 2x (λ + λ 2 )e (λ +λ 2 )x. Így E(max(ξ, ξ 2 )) xf max(ξ,ξ 2 )(x)dx λ + λ 2 λ + λ 2. Egyszerű számolással látható, hogy ez tovább írható a következő formulába E(max(ξ, ξ 2 )) λ2 + λ 2 2 + λ λ 2 λ λ 2 (λ + λ 2 ) λ + λ 2 + λ λ + λ 2 λ 2 + λ 2 λ + λ 2 λ. Nézzük most meg, hogyan oldhatjuk meg ezt a példát rövidebben! Kezdő állapotban mindkét gép jó és az első meghibásodás várható ideje λ + λ 2, míg a második meghibásodás az első meghibásodásától számolva akkor történik ha az első elromlott és utána a második is vagy fordítva amiből az exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságát és a teljes várható érték tételt felhasználva következik, hogy a második meghibásodás várható ideje az első meghibásodás után Így az átlagos működési idő Homogén esetben ebből 2λ + λ λ + λ 2 λ + λ 2 λ } {{ 2 λ } + λ 2 λ } {{ }. volt hibás 2. volt hibás λ + λ 2 + λ λ + λ 2 λ 2 + λ 2 λ + λ 2 λ. lesz, amint ezt a következő példából is látni fogjuk. 7. Példa. Párhuzamos kapcsolású rendszer esetén mi a rendszer élettartamának várható értéke és szórásnégyzete, ha homogének az elemek ξ i Exp(λ), i,..., n, és függetlenek? 26

P (max(ξ,..., ξ n ) < x) Használjuk fel, hogy ha ξ akkor Eξ n P (ξ i < x) ( e λx ) n. i P (ξ x) dx A t e λx helyettesítést alkalmazva kapjuk, hogy ( F (x)) dx! E(max(ξ,..., ξ n )) ( ( e λx ) n dx ( t n ) λ t dt ( + t +... + t n ) dt [ ] t + t2 λ λ 2 +... + tn n λ + +... + }{{} nλ (n )λ } {{ } }{{} λ. meghibásodás n. - n-. meghibásodás λ [ + 2 +... + n 2. -. meghibásodás ]. [ + 2 +... + n A exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonságából következik, hogy a meghibásodások közötti időtartamok is exponenciális eloszlásúak lesznek. Könnyen látható, hogy a (k ) -dik és k -dik meghibásodás közötti idő paramétere (n k + )λ, k,..., n, és ezek az időtartamok egymástól függetlenek is az exponenciális eloszlás tulajdonságai miatt. Ezt a tényt nagyon jól tudjuk hasznosítani a k -dik meghibásodás várható értékének és szórásnégyzetének a meghatározásához. Ezek után érthető módon E(k -dik meghibásodás ideje) nλ +... + (n k + )λ D 2 (k -dik meghibásodás ideje) (nλ) +... + 2 ((n k + )λ) 2 k,..., n. Ebből a párhuzamosan kapcsolt rendszer élettartamának szórásnégyzete (nλ) 2 +... + λ 2. ] 5. Definíció. Legyenek ξ és η független valószínűségi változók f ξ (x) és f η (x) sűrűségfüggvénnyel. Ekkor a ζ ξ + η sűrűségfüggvénye f ζ (z) f ξ (x)f η (z x) dx, melyet f ξ (x) és f η (x) konvolúciójának nevezünk. Ha ξ és η, akkor f ζ (z) z f ξ (x)f η (z x) dx. 27

8. Példa. Legyenek ξ és η független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók. Határozzuk meg ξ + η sűrűségfüggvényét! Az előző képlet alapján, behelyettesítve az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvényét kapjuk f ξ+η (z) z z λe λx λe λ(z x) dx λ 2 e λz dx z λ 2 e λz dx λ 2 e λz z λ(λz)e λz, ami azt mutatja, hogy független, azonos paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók összege nem exponenciális eloszlást követ. 9. Példa. Legyenek ξ n... ξ n független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók. Mutassuk meg, hogy f ξ +...+ξ n (z) λ (λz)n (n )! e λz. A bizonyítást teljes indukcióval fogjuk végezni, ahol felhasználjuk az előző példa eredményeit is. k -re és k 2-re láttuk, hogy igaz. Tegyük fel, hogy k n -re is igaz és nézzük meg k n-re mi történik! f ξ +...+ξ n +ξ n (z) z λ(λx) n 2 (n 2)! e λx λe λ(z x) dx λ 2 e λz (n 2)! λn 2 λ (λz)n (n )! e λz, z e λz x n 2 dx λ 2 z n (n 2)! λn 2 (n ) ami éppen az (n, λ) paraméterű Erlang-eloszlás sűrűségfüggvénye. Ez nagyban megkönnyíti a várható érték és a szórásnégyzet meghatározását. Az Erlang-eloszlás jól használható olyan valószínűségi változók eloszlásának közelítésére, melynél Cξ 2 <. Ekkor ha az első 2 momentum adott, akkor az f η (t) p λ(λt)k 2 (k 2)! e λt + ( p) λ(λt)k (k )! e λt (k, λ) és (k, λ) paraméterű Erlang-eloszlások keveréke, ahol ( ) p kcξ 2 k( + Cξ 2) k2 Cξ 2, + C 2 ξ λ k p E(ξ), k C2 ξ k, 28

rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy E(η) E(ξ), C 2 η C 2 ξ. Ezt az η-t szokás E k,k (λ) szimbólummal is jelölni. Hipo-exponeniális eloszlás Legyenek ξ i Exp(λ i ) (i,..., n) független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók. Az η n ξ +... + ξ n valószínűségi változót hipo-exponenciális eloszlásúnak nevezzük. Megmutatható, hogy sűrűségfüggvénye {, ha x <, f ηn (x) ( ) n [ n i λ i] n e λ j x j n k,k j (λ j λ k, ha x. ) Belátható, hogy Eη n n i λ i, D 2 η n A hipo-exponenciális eloszlás relatív szórása C ηn Dηn Eη n n ( ) 2 n i. λ 2 i, vagyis C 2 ξ i ( n λ i ) 2. i λ i Hiper-exponeniális eloszlás Legyenek ξ i Exp(λ i ) (i,..., n) független, exponenciális valószínűségi változók, p,..., p n pedig eloszlás. Az η valószínűségi változót hiper-exponenciális eloszlásúnak nevezzük ha sűrűségfüggvénye {, ha x < f ηn (x) n i p iλ i e λix, ha x. Eloszlásfüggvénye F ηn (x) {, ha x < n i p ie λ ix, ha x. 29

Könnyű látni, hogy E(η n ) n i p i λ i, E(η n ) 2 2 n i p i λ i 2. Megmutatható, hogy a hiper-exponenciális eloszlás relatív szórásnégyzete mindig nagyobb vagy egyenlő mint, vagyis n ( ) ( 2 n ) 2 2 C 2 ξ i λ i ( n i λ i ) 2. Abban az esetben, ha C 2 ξ i λ i >, akkor 2 momentum alapján az alábbi illeszkedés ajánlatos f η (t) pλ e λ t + ( p)λ 2 e λ 2t, vagyis η 2-drendű hiper-exponenciális eloszlású. Mivel η sűrűségfüggvényében 3 paraméter szerepel és az illeszkedés csak 2 momentum alapján történik, ezért végtelen sok megoldás lehetséges. Tekintsük az úgynevezett kiegyensúlyozott várható értékek esetét, vagyis amikor Ekkor melyből a megoldás p 2 p λ p λ 2. E(η) p λ + p E(η 2 ) 2p + λ 2 λ 2 2( p) λ 2 2 E(ξ) E(ξ 2 ) ( ) C 2 ξ Cξ 2 +, λ 2p E(ξ), λ 2 2( p). E(ξ) Ha az m, m 2, m 3 momentumok alapján szeretnénk ezt a hiper-exponenciális eloszlást illeszteni, akkor ez csak az m 3 3 2 m2 2 feltétel mellett lehetséges és ekkor egyértelmű. Meg lehet mutatni, hogy a feltétel teljesül a Gamma és lognormális eloszlásra is. Ebben az esetben λ,2 ( ) a ± a 2 4a 2, p λ ( λ 2 m), 2 λ λ 2 ahol ( ) 3 a 2 (6m 2 3m 2 )/ 2 m2 2 m m 3, a ( + 2 ) m 2a 2 /m. 3

Eloszlások keveréke 6. Definíció. Legyenek ξ i, ξ 2,... valószínűségi változók, p, p 2,... pedig eloszlás. Az F (x) p i F ξi (x) eloszlásfüggvényt az F ξi (x) eloszlásfüggvények p i súlyokkal vett keverékének nevezzük. Hasonlóan Az f(x) p i f ξi (x) sűrűségfüggvényt az f ξi (x) sűrűségfüggvények p i súlyokkal vett keverékének nevezzük. Könnyű belátni, hogy F (x), f(x) valóban eloszlás- illetve sűrűségfüggvény. Ezen terminológiát használva így a hiper-exponenciális eloszlás exponenciális eloszlások keveréke. 2.2. Megbízhatóság-elméleti alapok 7. Definíció. Jelölje ξ valamely elem élettartamát. Ekkor az R(t) P (ξ > t) -t megbízhatósági-függvénynek nevezzük. Könnyű látni, hogy R (t) f ξ (t), valamint E(ξ) R(t)dt. A megbízhatósági-függvény nagyon hasznos a különböző rendszerek megbízhatósági vizsgálatában. Az előzőek alapján könnyű látni, hogy Sorosan kapcsolt rendszerek esetén R S (t) n R i (t) Párhuzamosan kapcsolt rendszerek esetén n R P (t) ( R i (t)) Másik fontos jellemző a meghibásodási intenzitás-függvény (megbízhatósági rátafüggvény), amelyet a következőképpen értelmezünk h(t) lim x P (ξ < t + x ξ t) x lim x F (t + x) F (t) xr(t) i i lim x P (t ξ < t + x) xp (ξ t) lim x R(t) R(t + x) xr(t) Mutassuk meg, hogyan fejezhető ki R(t) a h(t) segítségével! t t h(x)dx t R (x) R(x) dx h(x)dx [ ln R(x)] t ln R(t), 3 f(t) R(t).

mivel R(). Így Legyen H(t) Ekkor t R(t) e t h(x)dx. h(x)dx úgynevezett kumulatív megbízhatósági intenzitás-függvény. R(t) e H(t). Az alábbiakban nevezetes eloszlásokra írjuk fel az R(t), h(t), H(t) függvényeket ahol lehet, melyek az érintett függvények definíciójából számolással következnek. Azt is megmutatjuk milyen kapcsolat van a h(t)t függvény és a relatív szórásnégyzet C 2 ξ között. Exponenciális eloszlás Erlang-eloszlás ξ Exp(λ), R(t) e λt, h(t) λ, H(t) λt, C 2 ξ. ξ Erl(n, λ) R(t) n i (λt) i i! e λt λ(λt) n e λt h(t) n (λt) i (n )! e λt i! i λ(λt) n n (λt) i (n )! i! i amely monoton növekvő és értékkészlete a [, λ] intervallum. C 2 ξ n λ 2 ( n λ) 2 n. Weibull-eloszlás ξ W (λ, α), R(t) e λtα, h(t) λαtα e λtα e λtα λαt α. Vagyis α > -nél h(t) monoton növekvő, α < -nél monoton csökkenő és α -nél h(t) λ, H(t) λt α. ( 2 Cξ 2 α λ) ( Γ ( ) + ( 2 α Γ 2 + α)) (( ) ( )) λ Γ + 2 Γ ( ) + 2 α Γ ( ) 2 + α α 2αΓ ( ) 2 α Γ ( ). 2 α 32

Megmutatható, hogy C 2 ξ >, ha < α <, C 2 ξ <, ha α >. Pareto-eloszlás ξ P ar(k, α), R(t) ( ) α t, h(t) λ k t, ( ) t H(t) α ln, t k. k C 2 ξ k 2 α ) 2 ( kα α α ) 2 ( kα α k 2 α α ( kα α ) 2 α α 2 >, α > 2. α A fenti esetek azt támasztják alá, hogyha h(t) monoton növekedő (csökkenő) az értelmezési tartományán, akkor Cξ 2 < (> ). Azonban ez fordítva nem igaz, mert például a lognormális eloszlás esetén h(t) először monoton növekedő, majd utána monoton csökkenő. 2.3. Véletlen számok generálása Mint már korábban is láttuk a véletlen számok generálásánál fontos szerepet játszik az alábbi képlet η F ξ (ξ) E(, ), és így ξ F (η). A következő részben nevezetes eloszlású véletlen számokat fogunk előállítani.. Példa. Mutassuk meg hogyan generáljunk λ paraméterű exponenciális eloszlást követő véletlen számokat! Ha ξ Exp(λ) és η E(, ) akkor e λξ η így ha tudunk [,]-en egyenletest generálni akkor a λ paraméterű exponenciális eloszlást követő véletlen számokat a képlet segítségével generálhatunk. ξ ln( η) λ. Példa. Mutassuk meg hogyan generáljunk (n, λ) paraméterű Erlang-eloszlást követő véletlen számokat! 33

Hasonlóan az előző példához, ha tudunk [,]-en egyenletest generálni akkor a (n, λ) paraméterű Erlang-eloszlást követő véletlen számokat a η n ξ +... + ξ n n λ ln( ( η i )), ahol η i E(, ), i,..., n képlet segítségével generálhatunk. i 2. Példa. Mutassuk meg hogyan generáljunk hipo-exponenciális eloszlást követő véletlen számokat! Hasonlóan az előző példához, ha tudunk [,]-en egyenletest generálni akkor a hipoexponenciális eloszlást követő véletlen számokat a η n ξ +... + ξ n λ ln( η )... λ n ln( η n ) képlet segítségével generálhatunk. 3. Példa. Mutassuk meg hogyan generáljunk hiper-exponenciális eloszlást követő véletlen számokat! Először generáljuk le [, ]-en egyenletes eloszlás szerint η-t, majd válasszuk ki azt az i-t amelyre teljesül, hogy i i p j < η < p j! j Második lépésként pedig generáljunk λ i paraméterű exponenciális eloszlást követő véletlen számot a már ismert képlet szerint! j 4. Példa. Mutassuk meg hogyan generáljunk Weibull-eloszlású véletlen számokat! η e λξα, ebből ξ [ α ] ln( η) α. 5. Példa. Mutassuk meg hogyan generáljunk Pareto-eloszlású véletlen számokat! 34

η ξ k( η) α. ( ) α k, ebből ξ 2.4. Véletlen tagszámú összegek 8. Definíció. Legyen ν {,, 2, 3,...} valószínűségi változó, valamint {ξ i } i független, azonos eloszlású valószínűségi változók amelyek függetlenek ν-től is. Az η ν ξ +... + ξ ν, véletlen tagszámú összegnek nevezzük (ν, η ). Az η ν eloszlását, eloszlásfüggvényét és sűrűségfüggvényét a teljes valószínűség-tétel felhasználásával kapjuk. Ennek következménye a teljes momentum-tétel, amit szintén alkalmazni fogunk. Diszkrét esetben P (η ν n) P (η k n)p (ν k), Folytonos esetben f ην (x) E(η l ν) E(η l ν) k E(ηk)P l (ν k). k f ηk (x)p (ν k), F ην (x) k k x l f ηk (x) dxp (ν k) F ηk (x)p (ν k), k E(ηk)P l (ν k). 6. Példa. Legyen f ξi (x) λe λx, i, 2,... és ν legyen p paraméterű geometriai eloszlású. Határozzuk meg η ν sűrűségfüggvényét! Vegyük észre, hogy η k (k, λ) paraméterű Erlang-eloszlású lesz, ezért annak sűrűségfüggvényét helyettesítjük be. Vagyis f ην (x) k Amint látható η ν Exp(λp). λ(λx) k (k )! e λx p( p) k λp e λx (λx( p)) k (k )! k λp e λx e λx( p) λp e λpx k (λx( p)) j j j! 35

. Tétel. A véletlen tagszámú összeg várható értéke E(η ν ) Eξ Eν. Bizonyítás: A teljes várható érték tételt használva E(η ν ) E(η k )P (ν k) keξ P (ν k) k E(ξ ) k kp (ν k) Eξ Eν. k 2. Tétel. A véletlen tagszámú összeg szórásnégyzete D 2 η ν D 2 ξ Eν + E 2 ξ D 2 ν. Bizonyítás: A teljes momentum tétel alapján E(η 2 ν) E(ηk)P 2 (ν k) k E[(ξ +... + ξ k ) 2 ]P (ν k) k Ebből (kd 2 ξ + k 2 E 2 ξ )P (ν k) k kd 2 ξ P (ν k) + k k k 2 E 2 ξ P (ν k) D 2 ξ Eν + E 2 ξ Eν 2. D 2 η ν D 2 ξ Eν + E 2 ξ Eν 2 E 2 ξ E 2 ν D 2 ξ Eν + E 2 ξ D 2 ν. 36

3. fejezet Analitikus eszközök A transzformáció fogalma teljesen megszokott a vizsgálatok során. Ennek a hatékony módszernek tömören az a lényege, hogyha az eredeti problémát nem tudjuk, vagy csak körülményesen tudnánk megoldani, akkor alkalmas transzformációval átvisszük egy másik feladatba, majd ennek megoldásából megpróbálunk az eredeti problémára választ adni. A transzformáció fajtája függ a probléma jellegétől. Ebben a fejezetben 2 nagyon bevált módszert mutatunk meg, amelyek lényegében a diszkrét és folytonos esetet ölelik fel. Természetesen rajtuk kívül számos más transzformáció is létezik. Gyakran előfordul, hogy ugyanannak a transzformációnak különböző nevet adnak az eltérő tudományterületek. A tematika összeállításában főleg Allen [], Gnyedenko, Beljajev, Szolovjev [2], Kleinrock [5], Ovcharov [7], Tijms [4], Trivedi [5] könyvekre támaszkodtunk. 3.. Generátorfüggvény 9. Definíció. Legyen ξ nemnegatív diszkrét valószínűségi változó P (ξ n) p n, i,, 2,... eloszlással. A G ξ (s) függvényt az ξ generátorfüggvényének nevezzük, ahol G ξ (s) s k p k Es ξ. i G ξ (s) akkor és csak akkor létezik ha a sor konvergens. 3. Tétel. A generátorfüggvényekre a következő tulajdonságok teljesülnek:. G ξ (), 2. G ξ (s), ha s, 3. Eξ G ξ (), 4. Eξ 2 G ξ () + G ξ (), 5. p k Gk ξ () k!, k,, 2,.... Bizonyítás: 37

. G ξ () k k p k k p k. 2. G ξ (s) k sk p k k s k p k k p k. 3. G ξ (s) k (sk ) p k k ksk p k innen pedig G ξ () k kp k Eξ. 4. G ξ(s) s k (sk ) p k k (ksk ) p k s k k(k )sk 2 p k s k k2 p k k kp k Eξ 2 Eξ Ebből pedig átrendezés után D 2 ξ G ξ() + G ξ() (G ξ()) 2. 4. Tétel. Ha ξ,..., ξ n függetlenek, akkor G ξ +...+ξ n (s) n i G ξ i (s). Bizonyítás: A bizonyítás során a harmadik lépésben felhasználjuk, hogy független valószínűségi változók szorzatának várható értéke egyenlő a várható értékük szorzatával. n n G ξ +...+ξ n (s) Es ξ +...+ξ n E(s ξ... s ξn ) Es ξ i G ξi (s). i i 5. Tétel. A véletlen tagszámú összeg generátorfüggvénye Bizonyítás: A teljes várható érték tétel alapján G ην (s) n G ην (s) G ν (G ξ (s)). Es ηn P (ν n) n (G ξ (s) n P (ν n) G ν (G ξ (s)). Az alkalmazások során nagyon fontosak az alábbi tételek. 6. Tétel. Ha nemnegatív, egész értékű változók egy ξ,..., ξ n sorozata azzal a tulajdonsággal bír, hogy eloszlásaik egy határeloszláshoz konvergálnak, azaz bevezetve a p nk P (ξ n k), (k,,..., n, 2,...) jelöléseket, léteznek a lim n p nk p k (k,,...) határértékek és k p k, akkor a ξ n változók generátorfüggvényei a [, ] minden pontjában konvergálnak a {p k } eloszlás generátorfüggvényéhez, azaz ahol lim G n(s) G(s), ( s ), n G n (s) G(z) p nk s k G ξn (s) k p k s k. k Ha a lim n p nk p k határértékek léteznek, de p k, akkor a generátorfüggvények konvergenciája csak az intervallum belsejében érvényes. 38

. Megjegyzés. A tétel utolsó állítását illusztrálja a következő példa: Legyen ξ n, azaz p nn, és p nk, ha k n, akkor Azonban lim G n(s) lim s n n n lim p nk (k,,...). n, ha s <, ha s nem létezik, ha s. 7. Tétel. Ha a ξ n változók generátorfüggvényei konvergálnak egy G(s) függvényhez, ha s, akkor a ξ n változók eloszlásai konvergálnak ahhoz a valószínűségeloszláshoz, melynek a G(s) a generátorfüggvénye. 2. Megjegyzés. Ha csak azt tesszük fel, hogy lim n G n (s) G(s) létezik, ha s <, akkor még nem következik, hogy G(s) generátorfüggvény. 7. Példa. Ha ξ n a és n értékeket egyforma valószínűséggel veszi fel, akkor G n (s) +s n és lim 2 n G n (s), vagyis nem érvényes, hogy p 2 k, mivel lim p nk p k n { 2, ha k egyébként. Ezeket a generátorfüggvény folytonossági tételének is szokás nevezni, és nagyon jól alkalmazhatóak a határeloszlás-tételek bizonyításánál. Nevezetes eloszlások generátorfüggvénye 8. Példa. Határozzuk meg a Bernoulli-eloszlás generátorfüggvényét, majd ennek segítségével a várható értéket és s szórásnégyzetet! G χ(a) (s) s ( p) + s p sp + p + p(s ), G χ(a)(s) s p, Eχ(A) 2 + p, D 2 χ(a) p p 2 p( p). 9. Példa. Határozzuk meg a λ paraméterű Poisson-eloszlás generátorfüggvényét, majd ennek segítségével a várható értéket és s szórásnégyzetet! G ξ (s) k s k λk k! e λ e λ (λs) k e λ e sλ e λ( s). k! k G ξ(s) s e λ( s) λ s λ, G ξ(s) s e λ( s) λλ s λ 2, D 2 ξ λ 2 + λ (λ) 2 λ. 39

2. Példa. Határozzuk meg független Poisson-eloszlások konvolúcióját generátorfüggvény segítségével! Mivel független valószínűségi változók összegének generátorfüggvény a generátorfüggvények szorzata, valamint ismerve a Poisson-eloszlás generátorfüggvényét, kapjuk G ξ+η (s) e λ( s) e µ( s) e (λ+µ)s, amely éppen a λ + µ paraméterű Poisson-eloszlás generátorfüggvénye. 2. Példa. Mutassuk meg a generátorfüggvények segítségével, hogy B(n, p) P o(λ), ha n,p úgy, hogy np λ! Használjuk fel, hogy ha a n A akkor ( + an n )n e A! Azt fogjuk megmutatni, hogy a binomiális eloszlás generátorfüggvénye tart a Poissoneloszlás generátorfüggvényéhez, azaz G ξn (s) ( p( s)) n ( amely a λ paraméterű Poisson-eloszlás generátorfüggvénye. np( s) ) n e λ( s) n 22. Példa. Legyen ξ i χ(a) függetlenek, ν P o(λ). Határozzuk meg η ν generátorfüggvényét! Felhasználva a véletlen tagszámú összeg generátorfüggvényére kimondott tételt, kapjuk amelyből látható, hogy η ν P o(λp). G ην (s) G ν (G ξi (s)) e λ( (+p(s ))) e λp( s), 23. Példa. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet-rendszert dp (t) dt λp (t) k,2,... dp (t) dt dp k (t) dt P k () λp (t) + λp (t)... λp k (t) + λp k (t) {, ha k,, ha k. kezdeti feltétel mellett! 4

Az egyenletek mindkét oldalát s megfelelő hatványival megszorozva kapjuk dp (t) λp (t) dt sdp (t) ( λp (t) + λp (t))s dt... s k dp k (t) ( λp k (t) + λp k (t))s k λs k P k (t) + λss k P k (t) dt Bevezetve a G(t, s) s k P k (t) k genetátorfüggvényt, láthatjuk, hogy a deriváltak generátorfüggvényét kapjuk a bal oldalon ha összeadjuk az egyenleteket. Ezért A kezdeti feltétel pedig G(t, s) s k dp k(t) t dt k λ s k P k (t) +λs s k P k (t). k } {{ } G(t,s) G(, s) k k } {{ } G(t,s) s k P k (). Végül a differenciálegyenlet-rendszerből egyetlen egyenletet kaptunk, nevezetesen a kezdeti feltétel pedig Átrendezve az egyenletet kapjuk G(t, s) t λ( s)g(t, s), G(, s). ennek megoldása pedig G(t,s) t G(t, s) λ( s) ln G(t, s) λt( s) + ln C. Mivel G(t, s) Ce λt( s) és G(, s), így G(, s) Ce azaz C. Így G(t, s) e λt( s) amelyből láthatjuk, hogy G(t, s) egy λt paraméterű Poisson-eloszlás generátorfüggvénye, ezért keresett megoldás P k (t) (λt)k e λt. k! 4

3.2. Laplace-transzformált. Definíció. Legyen ξ nemnegatív valószínűségi változó f ξ (x) sűrűségfüggvénnyel. A L ξ (s) függvényt az ξ Laplace-transzformáltjának nevezzük, ahol L ξ (s) e sx f ξ (x) dx Ee sξ f ξ (s). 8. Tétel. A Laplace-transzformáltra a következő tulajdonságok teljesülnek. L ξ (), 2. L ξ (s), ha s, 3. Ha ξ,..., ξ n független valószínűségi változók, akkor L ξ +...+ξ n (s) n L ξi (s). i 4. Eξ n ( ) n L (n) ξ (). Bizonyítás:. L ξ () e x f ξ (x) dx f ξ (x) dx. 2. L ξ (s) első része úgy látható be, hogy e sx f ξ (x) nemnegatív és nemnegatív függvények integrálja is nemnegatív. A második részt pedig úgy bizonyíthatjuk be, hogy az e sx felülről becsülhető az konstans függvénnyel a [, [ intervallumon amiből azt kapjuk, hogy L ξ (s) e sx f ξ (x) dx f ξ (x) dx. 3. L ξ +...+ξ n (s) Ee s(ξ +...+ξ n) E(e sξ... e sξn ) E n i e sξ i ami ξ,..., ξ n függetlensége miatt n i Ee sξ i, így n i L ξ i (s). 4. L (n) ξ () (e sx ) (n) f ξ (x) dx s amiből következik, hogy Eξ n ( ) n L (n) ξ (). ( x) n e sx s f ξ (x) dx ( ) n x n f ξ (x) dx } {{ } Eξ n A gyakorlati alkalmazások miatt még függvények Laplace-transzformáltjaival is kell foglalkoznunk, hiszen sok esetben differenciálegyelenteket tudunk megoldani a segítségükkel. 42

9. Tétel. Függvények Laplace-transzformáltjára igazak az alábbiak. (af(x) + bg(x)) (s) af (s) + bg (s) 2. (f (x)) (s) sf (s) f(), ha lim x f(x) e sx. Bizonyítás:. (af(x)+bg(x)) (s) af (s) + bg (s) e sx (af(x) + bg(x))dx a e sx f(x)dx+b e sx g(x)dx 2. Parciális integrálást alkalmazva (f (x)) (s) e sx f (x)dx [f(x)e sx ] + s e sx f(x)dx sf (s) f(). 2. Tétel. Véletlen tagszámú összeg Laplace-transzformáltja Bizonyítás: A teljes várható érték tétel alapján L ην (s) E(e sην ) L ην (s) G ν (L ξ (s)). E(e sηn )P (ν n) n (L ξ (s)) n P (ν n) G ν (L ξ (s). n Bizonyítás nélkül közöljük a gyakorlati alkalmazásoknál fontos alábbi állításokat. 2. Tétel. f (s)-re teljesülnek a következő határértékek Kezdetiérték-tétel Határérték-tétel lim sf (s)(s) lim f(t) s t lim sf (s)(s) lim f(t) s t 22. Tétel (POST-WIDDER-féle inverziós formula). Ha f(x) folytonos és korlátos (, )-n, akkor n n dn L(f)(s) ds lim n s n y f(y) n y n (n )! 43

23. Tétel (Folytonossági-tétel). Tekintsük a ξ,..., ξ n,... valószínűségi változók sorozatát, melyeknek eloszlásfüggvénye F (x), F 2 (x),..., F n (x),.... Ha lim n F n (x) F (x), ahol F (x) valamely ξ eloszlásfüggvénye, akkor lim n E(e sξn ) E(e sξ ), és fordítva. Azaz, ha a Laplace-transzformáltak sorozata konvergál valamely ξ valószínűségi változó Laplace-transzformáltjához, akkor lim n F n (x) F (x). 24. Példa. ξ Exp(λ) esetén L ξ (s) e sx λe λx dx 25. Példa. ξ Erl(n, λ) esetén L ξ (s) λ λ + s (λ + s)e (λ+s)x dx } {{ } ( λ ) n λ + s λ λ + s. hiszen ξ független, azonos paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók összege. 26. Példa. Határozzuk meg hipo-exponenciális eloszlás esetén a Laplace-transzformáltat! Az előzőekhez hasonlóan, csak most különböző paraméterek is lehetnek, ezért n ( ) n λi L ηn (s). λ i + s i A következő példa arra szolgál, hogyan tudjuk viszonylag egyszerűen meghatározni egy exponenciális eloszlású valószínűségi változó n-edik momentumát. Ha ezt sűrűségfüggvény segítségével kellene megtennünk, akkor elég sokat kellene számolnunk. 27. Példa. Mutassuk meg Laplace-transzformált segítségével, hogyha ξ Exp(λ), akkor Eξ n n! λ n. Eξ n ( ) n L (n) ξ () ( ) n ( λ λ + s) (n) s ( ) n λ((λ + s) ) (n) s ( ) n λ(( )( 2)... ( n)(λ + s)) n s ( ) n λ( ) n n! λ n+ ( )2n λ n! n! λn+ λ. n 44

28. Példa. Legyen ν geometriai eloszlású számláló folyamat és ξ i Exp(λ) összeadandók. Határozzuk meg a véletlen tagszámú összeg eloszlását! Mivel ha ν Geo(p), akkor G ν (z) L ην (s) G ν (L ξ (s)) zp z( p), így λp λ+s λ λ+s ( p) λp Ami pedig éppen η ν Exp(λp) Laplace-transzformáltja. λp + s. 24. Tétel. Keverékek Laplace-transzformáltja a Laplace-transzformáltak keveréke. Bizonyítás: Legyen f η (x) p i f ξi (x). i Ekkor L η (s) ( ) e sx p i f ξi (x) dx i p i e sx f ξi (x)dx } {{ } i L ξi (s) p i L ξi (s). i 29. Példa. Határozzuk meg a g(t) (λt)k k! e λt függvény Laplace-transzformáltját! g (s) λk k! st (λt)k e k! e λt dt λk k! k! λ + s (λ + s) k λ + s λ + s (s + λ)t k e (s+λ)t dt } {{ } Eξ k k! (λ+s) k ( ) k λ. λ + s 3. Példa. Oldjuk meg Laplace-transzformált segítségével a következő differenciálegyenletrendszert P (t) λp (t) P (t) λp (t) + λp (t) 45

k,2,... kezdeti feltételek mellett!... P k(t) λp k (t) + λp k (t) P k () {, ha k,, ha k. Vegyük mindkét oldal Laplace-transzformáltját! Ekkor (P (t)) (s) λ(p (t)) (s)... (P k(t)) (s) λ(p k (t)) (s) + λ(p k (t)) (s) k,2,... A helyettesítéses integrálás szabályát alkalmazva kapjuk, hogy e st P k(t) dt [e st P k (t)] Ha P k (t) korlátos azaz P k (t) < K akkor Így azt kapjuk, hogy Így a mi esetünkben valamint Az előbbieket kihasználva kapjuk, hogy amiből rögtön következik, hogy Valamint így amiből könnyen belátható, hogy [e st P k (t)] P k (). (P k(t)) (s) P k () + sp k (s). (P ) (s) + sp (s) (P k) (s) sp k (s) ha k. + sp (s) λp (s) P (s) λ + s. sp k (s) λp k (s) + λp k (s), P k (s) λ λ + s P k (s), Pk (s) ( ) k λ. λ + s λ + s Ebből pedig előző számításunkat felhasználva kapjuk, hogy P k (t) (λt)k e λt, k,, 2... k! se st P k (t) dt. 46

4. fejezet Sztochasztikus rendszerek Az alapozás után lehetőségünk nyílik az időben dinamikusan változó rendszerek sztochasztikus modellezésére is. Bevezetjük az alapvető fontosságú Poisson-folyamatot és megmutatjuk milyen kapcsolatban áll más ismert eloszlásokkal. Az egyszerűbb rendszerek vizsgálatával szinte építőköveket gyártunk a bonyolultabb esetekre. Megismerkedhetünk a főbb rendszerjellemzők meghatározásának a módszereivel is. Számos példán keresztül mutatjuk meg az egyes paramétereknek a rendszer hatékonysági mutatóira gyakorolt hatását. A példákat főleg Allen [], Ovcharov [7], Trivedi [5] könyvekre támaszkodva válogattuk össze. 4.. Poisson-folyamat. Definíció. Legyenek a τ, τ 2... egymástól független, azonos eloszlású, nemnegatív valószínűségi változók. A n ν(t) max { τ i < t} n valószínűségi változót felújítási folyamatnak nevezzük, az m(t) Eν(t)-t pedig felújítási függvénynek. 25. Tétel. Ha τ, τ 2... egymástól független, exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor P (ν(t) k) (λt)k k! e λt. Bizonyítás: A konstrukcióból látszik, hogy S n n i τ i (n, λ) paraméterű Erlang-eloszlású valószínűségi változó, vagyis i P (S n < x) F Sn (x) n i (λx) i e λx. i! Számolásunknál felhasználjuk majd, hogyha az A eseményből következik a B esemény azaz A B, akkor P (B \ A) P (B) P (A). Látható, hogy a mi esetünkben az A esemény {S n+ < t} és a B esemény{s n < t}. A következő lépésben azt használjuk ki, 47

hogy k esemény pontosan akkor következett be, ha S k < t, S k+. Tehát P (ν(t) k) P (S k < t, S k+ t) F Sk (t) F Sk+ (t) k ( (λx) i k ) e λx (λx) i e λx i! i! i i (λt)k e λt. k! Ahogy láthatjuk az események száma egy λt paraméterű Poisson-eloszlást követ, ezt a folyamatot nevezzük λ paraméterű Poisson-folyamatnak. Könnyű látni, hogy a Poisson-folyamat esetén. P (ν(h) ) e λh λh + o(h), 2. P (ν(h) ) λhe λh λh( λh + o(h)) λh + (λh) 2 + λho(h) λh + o(h), 3. P (ν(h) 2) [( λh + o (h)) + λh + o 2 (h)] o(h). 2. Definíció. Ritkasági feltétel P (ν(h) 2) lim h P (ν(h) ) lim h o(h) λh + o(h) lim h o(h) h λ + o(h) h Jelölje ν(t, t + h) a (t, t + h) idő intervallumban bekövetkezett események számát. A konstrukcióból szintén következik, hogy ν(t, t + h) csak a h-tól függ és nem attól, hol helyezkedik el. Továbbá, egymásba nem metsző idő intervallumokban vett események száma egymástól független valószínűségi változók.. A Poisson-folyamatot mint számláló folyamatot vezettük be, és levezettünk a P k (t) mennyiségekre egy adott t hosszúságú időintervallum alatt bekövetkező érkezések számának valószínűségeloszlására egy formulát. Vizsgáljuk most meg a beérkezések időpillanatainak együttes eloszlását, ha előre ismert, hogy éppen k igény érkezett ebben az intervallumban. Osszuk fel a (, t) intervallumot 2k + diszjunkt részre a következőképpen. Az α i hosszúságú intervallumok előzzék meg a β i hosszúságú intervallumokat (i,..., k), és az utolsó intervallum α k+ hosszúságú legyen, továbbá k+ k α i + β i t. i i Jelentse A k azt az eseményt, hogy éppen egy beérkezés fordul elő minden egyes β i intervallumban (i, 2,..., k), az α i intervallumban pedig egy sem. A k valószínűségét akarjuk kiszámolni, feltéve, hogy éppen k beérkezés történik a (, t) intervallumban. A feltételes valószínűség definíciójából P (A k pontosan k beérkezés a (, t) alatt) 48

P (A k és pontosan k beérkezés (, t) alatt). P (pontosan k beérkezés (, t) alatt) Amikor a Poisson-folyamat szerinti beérkezéseket vizsgáljuk diszjunkt időintervallumokban, akkor független eseményeket vizsgálunk, azaz ezek együttes valószínűségét az egyes valószínűségek szorzataként lehet kiszámolni. Könnyű látni, hogy P (egyetlen beérkezés egy β i hosszúságú intervallum alatt) λβ i e λβ i és P (nincs beérkezés egy α i hosszúságú intervallum alatt) e λα i. Kihasználva ezt, azonnal kapjuk a következőt P (A k éppen k beérkezés (, t) alatt) (λβ λβ 2...λβ k e λβ e λβ 2...e λβ k )(e λα e λα 2...e λα k ) ((λt) k /k!)e λt β β 2...β k k!. t k Másrészt tekintsünk egy olyan folyamatot, amely a (, t) intervallumban k darab pontot választ ki egymástól függetlenül, mégpedig mindegyiket az intervallumon egyenletes eloszlás szerint. Könnyen belátható, hogy P (A k éppen k beérkezés (, t) alatt) ( β t ) ( β2 t )... ( βk t ) k!, ahol a k! tényező amiatt jelenik meg, mert nem különböztetjük meg a k pont permutációit. Észrevehetjük, hogy az előző összefüggésekben megadott két feltételes valószínűség megegyezik, és ennek alapján arra gondolhatunk, hogy ha a Poisson-folyamatban t idő alatt k beérkezés történik, akkor a beérkezések eloszlása ugyanaz, mint k darab ugyanazon az intervallumon egyenletes eloszlású pont eloszlása. 3. Példa. Mi lesz az események intenzitása? Eν(t) lim t t λt lim t t λ. Eτ 3. Definíció. (Sztochasztikus konvergencia) ξ n ξ ha lim P ( ξ n ξ ) ε) n 26. Tétel. Bizonyítsuk be, hogy ν(t) t sztochasztikusan konvergál λ-hoz! 49