Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév

Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125

Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek a valószínűségelméletből Polygon, 2010. RÉNYI ALFRÉD Valószínűségszámítás Tankönyvkiadó, 1968. BOGNÁR JÁNOSNÉ, MOGYORÓDI JÓZSEF, PRÉKOPA ANDRÁS, RÉNYI ALFRÉD, SZÁSZ DOMOKOS Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Tankönyvkiadó, 1971; Typotex, 2001. BARCZY MÁTYÁS, PAP GYULA Valószínűségszámítás 2, Példatár és Feladatsor http://www.inf.unideb.hu/valseg/dolgozok/barczy Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 2 / 125

1. Mértékelméleti előkészítés Halmazalgebra, σ-algebra Az Ω nemüres halmaz bizonyos részhalmazaiból álló H 2 Ω halmazrendszert halmazalgebrának nevezzük, ha (i) Ω H, (ii) zárt az unióképzésre, azaz tetszőleges A, B H esetén A B H, (iii) zárt a komplementerképzésre, azaz tetszőleges A H esetén A := Ω \ A H. Az A 2 Ω halmazalgebrát σ-algebrának nevezzük, ha (ii) következő erősebb változata teljesül: (ii ) zárt a megszámlálható unióképzésre, azaz tetszőleges A 1, A 2, A esetén A n A. n=1 Ekkor az (Ω, A) párt mérhetőségi térnek nevezzük. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 3 / 125

1. Mértékelméleti előkészítés Mérték Legyen Ω nemüres halmaz és H 2 Ω halmazalgebra. Azt mondjuk, hogy a µ : H [0, ] halmazfüggvény végesen additív, ha tetszőleges A, B H diszjunkt halmazok esetén µ(a B) = µ(a) + µ(b). (Ebből persze teljes indukcióval következik, hogy tetszőleges n N és tetszőleges A 1,..., A n H páronként diszjunkt halmazok esetén µ( n k=1 A k) = n k=1 µ(a k).) mérték, ha µ( ) = 0 és σ-additív, azaz ( ) µ A n = µ(a n ), n=1 n=1 ha A 1, A 2, H páronként diszjunktak és A n H. n=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 4 / 125

Mérték Legyen Ω nemüres halmaz, és H 2 Ω Azt mondjuk, hogy a µ : H [0, ] mérték véges, ha µ(ω) <. valószínűségi mérték, ha µ(ω) = 1. halmazalgebra. σ-véges, ha léteznek olyan Ω 1, Ω 2, H halmazok úgy, hogy Ω = k=1 Ω k, és µ(ω k ) <. Azt mondjuk, hogy a µ : H [, ] halmazfüggvény előjeles mérték, ha előáll µ = µ 1 µ 2 alakban, ahol µ 1, µ 2 mértékek, és legalább az egyik véges. Legyen Ω nemüres halmaz. Legyen minden n N esetén A n Ω. Ha A 1 A 2... és A := A n, akkor azt írjuk, hogy A n A. Ha A 1 A 2... és A := n=1 A n, akkor azt írjuk, hogy A n A. n=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 5 / 125

Mérték folytonossága Legyen Ω nemüres halmaz, és H 2 Ω halmazalgebra. Legyen P : H [0, ] olyan végesen additív halmazfüggvény, melyre P(Ω) = 1. Ekkor 1 P( ) = 0; 2 tetszőleges A H esetén 0 P(A) 1; 3 P monoton, azaz tetszőleges A, B H, A B esetén P(A) P(B), továbbá P(B \ A) = P(B) P(A); 4 tetszőleges A H esetén P(A) = 1 P(A); 5 a következő állítások ekvivalensek: 1 P σ-additív. 2 P alulról folytonos, azaz tetszőleges A 1, A 2, H, A n A és A H esetén lim P(A n ) = P(A). n 3 P felülről folytonos, azaz tetszőleges A 1, A 2, H, A n A és A H esetén lim P(A n ) = P(A). n 4 P felülről folytonos az üres halmazon, azaz tetszőleges A 1, A 2, H és A n esetén lim P(A n ) = 0. n Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 6 / 125

1. Mértékelméleti előkészítés Mérték additivitása, szubadditivitása Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér és P : A [0, 1] valószínűségi mérték. Ekkor 1 P végesen additív; 2 P ( σ-szubadditív, azaz tetszőleges A 1, A 2, A esetén ) P A n P(A n ). n=1 n=1 Carathéodory kiterjesztési tétele Legyen Ω nemüres halmaz, és H 2 Ω halmazalgebra. Legyen µ : H [0, ] σ-véges mérték. Ekkor létezik egy egyértelműen meghatározott ν : σ(h) [0, ] σ-véges mérték úgy, hogy tetszőleges A H esetén ν(a) = µ(a). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 7 / 125

1. Mértékelméleti előkészítés Nyilván σ-algebrák tetszőleges halmazának metszete σ-algebra. Halmazrendszer által generált σ-algebra Legyen Ω. Legyen Γ és minden γ Γ esetén A γ Ω. Az {A γ : γ Γ} halmazokat tartalmazó σ-algebrák metszetét az {A γ : γ Γ} halmazrendszer által generált σ-algebrának nevezzük. Jelölése: σ(a γ : γ Γ). (Tulajdonképpen σ(a γ : γ Γ) az a legszűkebb σ-algebra, mely tartalmazza az {A γ : γ Γ} halmazokat.) Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 8 / 125

1. Mértékelméleti előkészítés B(R d ) := Borel-hamazok σ-algebrája (vagyis R d nyitott halmazai által generált σ-algebra) Függvényrendszer által generált σ-algebra Legyenek Ω és Γ nemüres halmazok. Legyen minden γ Γ esetén g γ : Ω R d tetszőleges függvény. A {g γ : γ Γ} függvényrendszer által generált σ-algebra: σ(g γ : γ Γ) := σ(g 1 γ (B) : γ Γ, B B(R d )). Egyetlen függvény által generált σ-algebra Legyen Ω nemüres halmaz. Legyen g : Ω R d függvény. Ekkor σ(g) = g 1 (B(R d )) := {g 1 (B) : B B(R d )}. tetszőleges Ez a σ-algebra Ω éppen azon A részhalmazaiból áll, melyek esetén g(ω) megfigyelésével eldönthető, hogy ω A teljesül-e, vagy sem. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 9 / 125

1. Mértékelméleti előkészítés Mérhető függvény Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér. Azt mondjuk, hogy a g : Ω R d függvény mérhető, ha tetszőleges B B(R d ) esetén g 1 (B) := {g B} := {ω Ω : g(ω) B} A, vagyis σ(g) A. Legyen továbbá F A rész-σ-algebra. Azt mondjuk, hogy a g : Ω R d függvény F-mérhető, ha tetszőleges B B(R d ) esetén vagyis σ(g) F. g 1 (B) F, Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 10 / 125

1. Mértékelméleti előkészítés Függvény mérhetősége Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér, g = (g 1,..., g d ) : Ω R d tetszőleges függvény. g akkor és csak akkor mérhető, ha tetszőleges (x 1,..., x d ) R d esetén {ω Ω : g 1 (ω) x 1,..., g d (ω) ) x d } A. (Hiszen ez a halmaz g ( 1 d j=1 (, x j], és a { d j=1 (, x j] : (x 1,..., x d ) R d } téglák generálják a B(R d ) σ-algebrát.) g akkor és csak akkor mérhető, ha a g i : Ω R, i {1,..., d} függvények mérhetőek. σ(g) a legszűkebb rész-σ-algebra, melyre nézve g mérhető. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 11 / 125

1. Mértékelméleti előkészítés Valószínűségi mező Olyan (Ω, A, P) hármas, ahol (Ω, A) mérhetőségi tér és P : A [0, 1] valószínűségi mérték. Véletlen változó, véletlen vektor Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R függvény véletlen változó (vagy valószínűségi változó), ha mérhető. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d függvény véletlen vektor (vagy valószínűségi vektorváltozó), ha mérhető. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 12 / 125

Diszkrét, illetve egyszerű véletlen vektor Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor diszkrét, ha értékkészlete, az X(Ω) halmaz megszámlálható. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor egyszerű, ha értékkészlete véges halmaz. Ha X : Ω R d, Y : Ω R d véletlen vektorok és P(X = Y ) = 1, akkor azt írjuk, hogy X = Y P-m.b. (egyenlőek P-majdnem biztosan). Egyszerű véletlen vektor Ha X : Ω R d egyszerű véletlen vektor melynek értékkészlete X(Ω) = {x 1,..., x l }, akkor l X = x j 1 Aj, j=1 ahol A j := {ω Ω : X(ω) = x j } A, j = 1,..., l diszjunkt halmazok l és A j = Ω, azaz teljes eseményrendszert alkotnak. j=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 13 / 125

1. Mértékelméleti előkészítés Közelítés egyszerű véletlen változókkal Tetszőleges Y : Ω R + nemnegatív véletlen változó esetén létezik nemnegatív egyszerű véletlen változókból álló Y 1, Y 2,... sorozat úgy, hogy tetszőleges ω Ω esetén Y n (ω) Y (ω). Tetszőleges X : Ω R d véletlen vektor esetén létezik egyszerű véletlen vektorokból álló X 1, X 2,... sorozat úgy, hogy tetszőleges ω Ω esetén X n (ω) X(ω). Véletlen vektor mérhető függvénye Legyen X : Ω R d véletlen vektor. 1 Ha g : R d R r mérhető függvény, akkor a g X : Ω R r összetett függvény σ(x)-mérhető véletlen vektor, azaz σ(g X) σ(x). 2 Ha Y : Ω R r σ(x)-mérhető véletlen vektor, azaz σ(y ) σ(x), akkor létezik olyan g : R d R r mérhető függvény, hogy Y = g X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 14 / 125

1. Mértékelméleti előkészítés Véletlen vektor eloszlása Az X : Ω R d véletlen vektor eloszlása a P X : B(R d ) R, P X (B) := P(X B) = P(X 1 (B)), B B(R d ) halmazfüggvény, mely nyilván valószínűségi mérték az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Véletlen vektor eloszlásfüggvénye Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Az X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor eloszlásfüggvénye F X = F X1,...,X d : R d [0, 1], F X (x) := P(X 1 x 1,..., X d x d ), x = (x 1,..., x d ) R d. Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Legyenek X, Y : Ω R d véletlen vektorok. Ekkor P X = P Y F X = F Y. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 15 / 125

Jelölje g : R d R, j {1,..., d}, u, v R, u < v és x = (x 1,..., x d ) R d esetén (j) u,vg(x) := g(x 1,..., x j 1, v, x j+1,..., x d ) g(x 1,..., x j 1, u, x j+1,..., x d ). Az F : R d R függvény akkor és csak akkor eloszlásfüggvénye valamely X : Ω R d véletlen vektornak, ha (i) F minden változójában monoton növekvő, (ii) F minden változójában jobbról folytonos, (iii) lim F(x) = 0, lim min{x 1,...,x d } F(x) = 1, min{x 1,...,x d } (iv) tetszőleges a, b R d, a < b esetén (1) a 1,b 1... (d) a d,b d F 0. (Ha d = 1, akkor (iv) következik (i)-ből.) Ha X : Ω R d véletlen vektor és a, b R d, a < b, akkor P(X (a, b]) = (1) a 1,b 1... (d) a d,b d F X 0, tehát P X az F X függvény által generált Lebesgue Stieltjes mérték. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 16 / 125

2. Függetlenség σ-algebrák, események, illetve véletlen vektorok függetlensége Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, Γ nemüres halmaz. Legyen minden γ Γ esetén F γ A rész-σ-algebra. Azt mondjuk, hogy az {F γ : γ Γ} rész-σ-algebrák függetlenek, ha a Γ különböző elemeiből álló minden {γ 1,..., γ n } véges részhalmaz esetén és minden A γ1 F γ1,..., A γn F γn választással teljesül P(A γ1... A γn ) = P(A γ1 ) P(A γn ). Legyen minden γ Γ esetén A γ A. Azt mondjuk, hogy az {A γ : γ Γ} események függetlenek, ha a hozzájuk rendelt { {, Aγ, Ω \ A γ, Ω} : γ Γ } rész-σ-algebrák függetlenek. Legyen minden γ Γ esetén X γ : Ω R d véletlen vektor. Azt mondjuk, hogy az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok függetlenek, ha a hozzájuk rendelt { σ(x γ ) : γ Γ } rész-σ-algebrák függetlenek. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 17 / 125

2. Függetlenség Független véletlen vektorok függvényei függetlenek Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Ha az X : Ω R k és Y : Ω R l véletlen vektorok függetlenek, akkor tetszőleges g : R k R r, h : R l R p mérhető függvények esetén a g X : Ω R r és h Y : Ω R p véletlen vektorok is függetlenek. Független halmazalgebrák által generált σ-algebrák függetlenek Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Ha az F 0 A és G 0 A rész-halmazalgebrák függetlenek abban az értelemben, hogy tetszőleges A F 0 és B G 0 esetén P(A B) = P(A)P(B), akkor a generált F := σ(f 0 ) és G := σ(g 0 ) rész-σ-algebrák is függetlenek. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 18 / 125

Függetlenség Nyilván Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 19 / 125 Független σ-algebrák által generált σ-algebrák függetlenek Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Ha az F 1,..., F k, G 1,..., G l rész-σ-algebrák függetlenek, akkor a ( k ) l σ F i, σ i=1 rész-σ-algebrák is függetlenek. Farok-σ-algebra Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér. Legyen minden n N esetén F n A rész-σ-algebra. Ekkor az {F n : n N} rész-σ-algebrákhoz tartozó farok-σ-algebra: T := σ(f k : k n). n=1 j=1 G j

Függetlenség Ha (Ω, A, P) valószínűségi mező, X 1, X 2,... véletlen változók, akkor a következő események benne vannak a σ(x 1 ), σ(x 2 ),... rész-σ-algebrákhoz rendelt farok-σ-algebrában: { } ω Ω : lim, X n (ω) létezik n { } ω Ω : lim sup X n (ω) x, x R, { n ω Ω : lim X n (ω) létezik és lim X n (ω) x n n { } X 1 (ω) + + X n (ω) ω Ω : lim létezik. n n }, x R, Éppen azok az események vannak benne ebben a farok-σ-algebrában, melyek bekövetkezését nem befolyásolja véges sok X n értékének megváltoztatása. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 20 / 125

Függetlenség Kolmogorov 0 vagy 1 törvénye Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Legyen minden n N esetén F n A rész-σ-algebra, és jelölje T a hozzájuk tartozó farok-σ-algebrát. Ha az {F n : n N} rész-σ-algebrák függetlenek, akkor tetszőleges A T esetén P(A) = 0 vagy P(A) = 1. Példa: Ha X 1, X 2,... független véletlen változók és akkor X n := X 1 + + X n, n P ( {X n } n=1 konvergens) {0, 1}, és léteznek a b úgy, hogy ( ) ( ) P lim inf X n = a = 1, P lim sup X n = b = 1. n n Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 21 / 125

Függetlenség Ha Ω nemüres halmaz, és minden n N esetén A n Ω, akkor jelölje lim sup A n := A k = {ω Ω : ω A n végtelen sok n N esetén}, n n=1 k=n lim inf A n := A k = {ω Ω : ω A n véges sok n N kivételével}. n n=1 k=n Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér. Ha A 1, A 2, A, akkor a lim sup n A n és lim inf n A n halmazok benne vannak a {, A n, Ω \ A n, Ω}, n N σ-algebrákhoz tartozó farok-σ-algebrában. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 22 / 125

Függetlenség Ha az A 1, A 2,... események függetlenek, akkor P(lim sup A n ) {0, 1}, n azaz vagy 1 valószínűséggel végtelen sok esemény bekövetkezik ezek közül, vagy pedig 1 valószínűséggel legfeljebb csak véges sok. Borel Cantelli lemmák Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, A 1, A 2, A események. ( ) 1 Ha P(A n ) <, akkor P lim sup A n = 0 n n=1 (vagyis ezen események közül 1 valószínűséggel legfeljebb csak véges sok következik be). 2 Ha az {A n } n=1 események függetlenek és P(A n ) =, ( ) n=1 akkor P lim sup A n = 1 (vagyis ezen események közül 1 n valószínűséggel végtelen sok következik be). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 23 / 125

Várható érték Egyszerű véletlen változó várható értéke Legyen X : Ω R egyszerű véletlen változó, és X(Ω) = {x 1,..., x l }. Ekkor az l E(X) := X(ω) P(dω) := x j P(X = x j ) Ω j=1 mennyiséget az X várható értékének nevezzük. Nyilván a várható érték végesen additív és monoton az egyszerű véletlen változókon. Legyen X : Ω R nemnegatív véletlen változó. 1 Ha Z és Y 1, Y 2,... nemnegatív egyszerű véletlen változók, és tetszőleges ω Ω esetén Y n (ω) X(ω) Z (ω), akkor lim n E(Y n ) E(Z ). 2 Ha Y 1, Y 2,... és Z 1, Z 2,... nemnegatív egyszerű véletlen változók, és tetszőleges ω Ω esetén Y n (ω) X(ω) és Z n (ω) X(ω), akkor lim n E(Y n ) = lim n E(Z n ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 24 / 125

Várható érték Nemnegatív véletlen változó várható értéke Legyen X : Ω R nemnegatív véletlen változó. Legyen X 1, X 2,... nemnegatív egyszerű véletlen változókból álló sorozat úgy, hogy tetszőleges ω Ω esetén X n (ω) X(ω) ha n. Ekkor az E(X) := X(ω) P(dω) := lim E(X n ) n mennyiséget az X várható értékének nevezzük. Így E(X) [0, ] egyértelműen definiált, és Ω E(X) = sup {E(Y ) : Y egyszerű véletlen változó, melyre 0 Y X}. Véletlen változó felbontása pozitív és negatív részre Ha X : Ω R véletlen változó, akkor X + := max{x, 0} és X := min{x, 0} nemnegatív véletlen változók, és X = X + X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 25 / 125

Várható érték Véletlen változó várható értéke Legyen X : Ω R véletlen változó. Azt mondjuk, hogy X-nek létezik várható értéke (integrálja), ha az E(X + ) és E(X ) várható értékek közül legalább az egyik véges, és ekkor E(X) := X(ω) P(dω) := E(X + ) E(X ). Ω Azt mondjuk, hogy X-nek véges a várható értéke (integrálható), ha az E(X + ) és E(X ) várható értékek végesek. Transzformációtétel Ha X : Ω R d véletlen vektor és g : R d R mérhető függvény, akkor E[g(X)] = g(x(ω)) P(dω) = g(x) P X (dx) = g(x) df X (x) Ω R d R d abban az értelemben, hogy az integrálok ugyanakkor léteznek, és ha léteznek, egyenlőek. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 26 / 125

Várható érték Várható érték tulajdonságai 1 X akkor és csak akkor integrálható, ha X integrálható. 2 Ha E(X) és c R, akkor E(cX), és E(cX) = c E(X). 3 Ha E(X)> és X Y P-m.b., akkor E(Y ) és E(X) E(Y ). 4 Ha E(X), akkor E(X) E( X ). 5 Ha E(X), akkor A A esetén E(X1 A ); ha X integrálható, akkor A A esetén X1 A is integrálható. 6 Ha E(X), E(Y ) és az E(X) + E(Y ) kifejezés értelmes (azaz nem vagy + alakú), akkor E(X + Y ) és E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). 7 Ha X = 0 P-m.b., akkor E(X) = 0. 8 Ha E(X) és X = Y P-m.b., akkor E(Y ), és E(X) = E(Y ). 9 Ha X 0 P-m.b. és E(X) = 0, akkor X = 0 P-m.b. 10 Ha E( X )< és A A esetén E(X1 A ) 0, akkor X 0 P-m.b.. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 27 / 125

Várható érték Várható érték tulajdonságai 11 Ha X és Y integrálhatók és A A esetén E(X1 A ) E(Y 1 A ), akkor X Y P-m.b. 12 Ha X és Y integrálhatók és A A esetén E(X1 A ) = E(Y 1 A ), akkor X = Y P-m.b. 13 Ha X és Y integrálhatók és X, Y függetlenek, akkor XY is integrálható és E(XY ) = E(X) E(Y ). 14 Monoton konvergenciatétel: Ha X 1, X 2,... integrálhatók, n N esetén X n Y P-m.b., E(Y ) >, és X n X P-m.b., akkor E(X n ) E(X) ha n. ( ) 15 Ha X 1, X 2,... nemnegatívak, akkor E X n = E(X n ). n=1 n=1 16 Fatou-lemma: Ha n N esetén X n Y P-m.b. és E(Y ) >, akkor E (lim inf n X n ) lim inf n E(X n ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 28 / 125

Várható érték tulajdonságai 17 Majoráns konvergenciatétel: Ha n N esetén X n Y P-m.b., E(Y ) < és X n X P-m.b., akkor E( X ) <, E(X n ) E(X) és E( X n X ) 0 ha n. 18 Cauchy Schwartz-egyenlőtlenség: Ha E(X 2 ), E(Y 2 ) <, akkor E( XY ) E(X 2 ) E(Y 2 ). 19 Jensen-egyenlőtlenség: Ha E( X ) <, I R olyan nyitott (nem feltétlenül korlátos) intervallum, hogy P(X I) = 1, és g : I R konvex, akkor E(X) I és g(e(x)) E(g(X)). 20 Hölder-egyenlőtlenség: Legyenek p, q (1, ) olyanok, hogy p 1 + q 1 = 1. Ha E( X p ) < és E( Y q ) <, akkor E( XY ) (E( X p )) 1/p (E( Y q )) 1/q. 21 Ljapunov-egyenlőtlenség: Ha 0 < s < t, akkor (E( X s )) 1/s ( E( X t ) ) 1/t. 22 Minkowski-egyenlőtlenség: Ha p [1, ), E( X p ) < és E( Y p ) <, akkor (E X + Y p ) 1/p (E( X p )) 1/p + (E( Y p )) 1/p. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 29 / 125

Abszolút folytonosság Legyen (E, E) mérhetőségi tér. Azt mondjuk, hogy a µ : E [, ] halmazfüggvény abszolút folytonos a ν : E [, ] halmazfüggvényre nézve, ha minden B E, ν(b) = 0 esetén µ(b) = 0. Jelölése: µ ν. Sűrűségtétel Legyen (E, E) mérhetőségi tér, ν : E [0, ] mérték, g : E R + nemnegatív mérhető függvény. Ekkor a µ : E [0, ], µ(b) := g(x) ν(dx) halmazfüggvény mérték, amely pontosan akkor véges, ha g integrálható, µ ν, és tetszőleges h : E R mérhető függvény esetén h(y)µ(dy) = h(x)g(x) ν(dx) E abban az értelemben, hogy a két oldal ugyanakkor létezik, és ha léteznek, egyenlőek. B E Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 30 / 125

Várható érték Radon Nikodym tétel Legyen (E, E) mérhetőségi tér és ν : E [0, ] σ-véges mérték. A µ : E [, ] előjeles mérték akkor és csak akkor abszolút folytonos a ν mértékre nézve, ha létezik olyan g : E [, ] mérhető függvény, hogy tetszőleges B E esetén µ(b) = g(x) ν(dx). B A g függvény ν-m.m. egyértelműen meg van határozva, azaz ha egy h : E [, ] mérhető függvényre is teljesül µ(b) = h(x) ν(dx) minden B E esetén, akkor ν{x E : g(x) h(x)} = 0. B A Radon Nikodym tételben létező (ν-m.m. egyértelműen meghatározott) g függvényt a µ mértéknek a ν mértékre vonatkozó Radon Nikodym deriváltjának nevezzük, melynek jelölése dµ dν. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 31 / 125

Várható érték Abszolút folytonos (eloszlású) véletlen vektor Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor abszolút folytonos (eloszlású), ha P X λ d, ahol λ d a d-dimenziós Lebesgue-mérték, és ekkor az f X := dp X dλ d Radon Nikodym deriváltat sűrűségfüggvénynek nevezzük. Abszolút folytonos véletlen változó Az X : Ω R véletlen változó akkor és csak akkor abszolút folytonos, ha az F X eloszlásfüggvény abszolút folytonos, azaz ε > 0 esetén δ > 0 úgy, hogy ha k N, a 1 < b 1 a 2 < b 2... a k < b k és k j=1 (b j a j ) < δ, akkor k j=1 (F X (b j ) F X (a j )) < ε. Sűrűségfüggvény és eloszlásfüggvény kapcsolata Ha az X : Ω R d véletlen vektor abszolút folytonos, akkor f X (x) = 1... d F X (x) λ d -m.m. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 32 / 125

Abszolút folytonos véletlen vektor függvényének várható értéke Ha X : Ω R d abszolút folytonos véletlen vektor és g : R d R mérhető függvény, akkor E[g(X)] = g(x)f X (x) dx R d abban az értelemben, hogy a két oldal ugyanakkor létezik, és ha léteznek, egyenlőek. Abszolút folytonos véletlen változó szigorúan monoton transzformációja Ha X : Ω R abszolút folytonos véletlen változó, I R olyan (nem feltétlenül korlátos) intervallum, hogy P(X I) = 1, h : I R szigorúan monoton (növekvő vagy csökkenő) folytonosan differenciálható, és x I esetén h (x) 0, akkor a h X véletlen változó is abszolút folytonos, és sűrűségfüggvénye { fx (h 1 (y)), ha y h(i), f h X (y) = h (h 1 (y)) 0, egyébként, ahol h 1 a h inverzét jelöli. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 33 / 125

Várható érték Független, abszolút folytonos eloszlású véletlen változók összege, szorzata, hányadosa Ha X és Y független, abszolút folytonos eloszlású véletlen változók, akkor az X + Y véletlen változó is abszolút folytonos eloszlású, és f X+Y (z) = f X (x)f Y (z x) dx = f X (z y)f Y (y) dy. az XY véletlen változó is abszolút folytonos eloszlású, és ( z ) dx ( ) z f XY (z) = f X (x)f Y x x = f X f Y (y) dy y y. az X Y véletlen változó is abszolút folytonos eloszlású, és f X (z) = 1 ( x ) Y z 2 f X (x)f Y x dx = f X (zy)f Y (y) y dy. z Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 34 / 125

Mérték koncentrálódása részhalmazba Legyen (E, E) mérhetőségi tér, µ : E [, ] mérték. Azt mondjuk, hogy a µ mérték a B E halmazba koncentrálódik, ha µ(e \ B) = 0. (Ez a halmaz nem egyértelműen definiált.) Diszkrét (eloszlású) véletlen vektor Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor diszkrét (eloszlású), ha D R d megszámlálható halmaz úgy, hogy P X a D halmazba koncentrálódik, azaz P(X D) = 1. Ekkor az ilyen tulajdonságú halmazok metszete (azaz a legszűkebb ilyen halmaz) D X := { x R d : P X ({x}) > 0 } = { x R d : P(X = x) > 0 }, melynek elemeit a P X mérték atomjainak nevezzük, és P X = P(X = x)δ x, x D X ahol x R d esetén δ x az x pontba koncentrálódó Dirac-mértéket jelöli, azaz δ x (B) = 1 ha x B, és δ x (B) = 0 ha x / B. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 35 / 125

Várható érték Diszkrét véletlen vektor eloszlásfüggvénye Az X : Ω R d diszkrét véletlen vektor eloszlásfüggvénye F X (x) = P(X = y), x R d. {y D X : y x} Diszkrét véletlen vektor függvényének várható értéke Legyen X : Ω R d diszkrét véletlen vektor és g : R d R mérhető függvény. A g X véletlen változó akkor és csak akkor integrálható, ha E[ g(x) ] = g(x) P(X = x) <, x D X és ekkor E[g(X)] = x D X g(x)p(x = x). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 36 / 125

Várható érték Szingularitás Legyen (E, E) mérhetőségi tér. Azt mondjuk, hogy a µ : E [0, ] és ν : E [0, ] mértékek szingulárisak egymásra (nézve), ha léteznek olyan diszjunkt A, B E halmazok, hogy µ az A halmazba, ν pedig a B halmazba koncentrálódik. Jelölése: µ ν. Szinguláris (eloszlású) véletlen vektor Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor szinguláris, ha P X λ d, azaz B B(R d ) úgy, hogy λ d (B) = 0 és P(X B) = 1. A diszkrét véletlen vektorok nyilván szingulárisak. Szinguláris véletlen változó Az X : Ω R véletlen változó akkor és csak akkor szinguláris, ha F X (x) = 0 m.m. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 37 / 125

Várható érték Eloszlásfüggvények felbontási tétele Tetszőleges F : R [0, 1] eloszlásfüggvény egyértelműen felbontható F = p 1 F d + p 2 F af + p 3 F fs alakban, ahol p 1, p 2, p 3 0, p 1 + p 2 + p 3 = 1, F d diszkrét, F af abszolút folytonos, F fs folytonos szinguláris eloszlásfüggvény. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 38 / 125

Várható érték Momentumok Legyen X : Ω R véletlen változó. Legyen α R +. Az X α-adik abszolút momentuma: E( X α ). Ha k N, és X k-adik abszolút momentuma véges, akkor X k-adik momentuma: E(X k ), X k-adik centrális momentuma: E [ (X E(X)) k]. Ha X második abszolút momentuma véges, akkor X második centrális momentumát X varianciájának (szórásnégyzetének) nevezzük. Jelölése: Var(X) := D 2 (X) := E [ (X E(X)) 2]. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 39 / 125

Várható érték Véletlen vektor várható érték vektora Legyen X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor. Ha E( X 1 ) <,... E( X d ) <, akkor X várható érték vektora Jensen-egyenlőtlenség E(X) := (E(X 1 ),..., E(X d )) R d. Legyen X : Ω R d véletlen vektor, melyre E( X ) <. 1 Ha K R d konvex, zárt és X K m.b., akkor E(X) K. 2 Ha g : R d R konvex és E( g(x) ) <, akkor g(e(x)) E(g(X)). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 40 / 125

Várható érték Véletlen vektor kovarianciamátrixa (szórásmátrixa) Legyen X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor. Ha E( X 2 ) <, azaz E(X1 2) <,... E(X d 2 ) <, akkor X kovarianciamátrixa [ Cov(X) := E (X E(X))(X E(X)) ] R d d, melynek elemei E [ (X i E(X i ))(X j E(X j )) ] =: Cov(X i, X j ). Kovarianciamátrix tulajdonságai Legyen X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor, E( X 2 ) <. Cov(X) szimmetrikus: Cov(X) = Cov(X). Cov(X) pozitív szemidefinit, azaz x R d esetén d d x Cov(X)x = Cov(X)x, x = Cov(X i, X j )x i x j 0. i=1 j=1 Ha A R r d és b R r, akkor E(AX + b) = A E(X) + b és Cov(AX + b) = A Cov(X)A. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 41 / 125

Komplex értékű véletlen változó várható értéke Az X = Re X + i Im X : Ω C komplex értékű véletlen változónak véges a várható értéke (integrálható), ha az E(Re X) és E(Im X) várható értékek végesek, és ekkor E(X) := E(Re X) + i E(Im X). Komplex értékű véletlen változó várható értéke Legyen X : Ω C komplex értékű véletlen változó. X várható értéke akkor és csak akkor véges, ha E( X ) <. Ha E( X ) <, akkor E(X) E( X ). Komplex értékű véletlen változók függetlensége Azt mondjuk, hogy az {X γ : γ Γ} komplex értékű véletlen változók függetlenek, ha a {(Re X γ, Im X γ ) : γ Γ} véletlen vektorok függetlenek. Komplex értékű véletlen változók függetlensége Ha X : Ω C és Y : Ω C független komplex értékű véletlen változók és E( X ) <, E( Y ) <, akkor E( XY ) < és E(XY ) = E(X) E(Y ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 42 / 125

Karakterisztikus függvény Karakterisztikus függvény Az X :Ω R d véletlen vektor karakterisztikus függvénye ϕ X :R d C, ϕ X (t) := E(e i t,x ), t R d. Karakterisztikus függvény tulajdonságai 1 ϕ X 1, és ϕ X (0) = 1. 2 ϕ X egyenletesen folytonos. 3 Tetszőleges t R d esetén ϕ X ( t) = ϕ X (t). 4 Bochner-tétel: A ϕ : R d C függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvénye valamely véletlen vektornak, ha folytonos és pozitív szemidefinit, azaz tetszőleges n N és t 1,..., t n R d esetén a ( ϕ(t j t l ) ) j,l=1,...,n Cd d mátrix pozitív szemidefinit, azaz tetszőleges z 1,..., z n C esetén n n ϕ(t j t l )z j z l 0. j=1 l=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 43 / 125

Karakterisztikus függvény Karakterisztikus függvény tulajdonságai 5 Tetszőleges A R r d, b R r és t R r esetén ϕ AX+b (t) = e i t,b ϕ X (A t). 6 Ha X 1,..., X l : Ω R d függetlenek, akkor tetszőleges t R d esetén l ϕ X1 + +X l (t) = ϕ Xj (t). 7 P X = P Y akkor és csak akkor, ha ϕ X = ϕ Y. 8 X 1 : Ω R d 1,..., X l : Ω R d l akkor és csak akkor függetlenek, ha tetszőleges t 1 R d 1,..., t l R d l esetén l ϕ X1,...,X l (t 1,..., t l ) = ϕ Xj (t j ). j=1 j=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 44 / 125

Karakterisztikus függvény Karakterisztikus függvény tulajdonságai 9 Ha X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor és E( X n ) < valamely n N esetén, akkor ϕ X n-szer folytonosan differenciálható, és tetszőleges r 1,..., r d, r 1 + + r d n nemnegatív egészek esetén r 1 1... r d d ϕ X (t) = i r 1+ +r d E(X r 1 1 X r d d ei t,x ), E(X r 1 1 X r d d ) = r 1 1... r d d ϕ X (0) i r, 1+ +r d ϕ X (t) = r 1 + +r d n i r 1+ +r d t r 1 1 tr d d r 1! r d! E(X r 1 1 X r d d ) + R n(t), ahol R n (t) = O( t n ) és R n (t) = o( t n ) ha t 0, mégpedig R n (t) 3 t n n! E( X n ), R n (t) lim t 0 t n = 0. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 45 / 125

Karakterisztikus függvény Karakterisztikus függvény tulajdonságai 10 Ha X : Ω R véletlen változó és ϕ (2n) X (0) létezik és véges valamely n N esetén, akkor E(X 2n ) <. 11 Ha tetszőleges n N esetén E( X n ) <, és R := lim sup n 1 E( X n )/n!, akkor tetszőleges t R d, t < R esetén i r 1+ +r d E(X r 1 1 ϕ X (t) =... X r d r 1! r d! r 1 =0 r d =0 n d ) t r 1 1 tr d d. 12 Inverziós formula: Ha ϕ X L 1 (R d ), azaz R ϕ d X (t) dt <, akkor X eloszlása abszolút folytonos, és a sűrűségfüggvénye f X (x) = 1 (2π) d e i t,x ϕ X (t) dt, x R d. R d Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 46 / 125

Karakterisztikus függvény Véletlen vektorok eloszlásbeli konvergenciája Legyenek X n : Ω R d, n N, és X : Ω R d véletlen vektorok. Azt mondjuk, hogy az (X n ) n 1 sorozat eloszlásban konvergál X-hez, ha F Xn (x) F X (x) az F X minden x folytonossági D pontjában. Jelölése: X n X. Folytonossági tétel Legyenek X n : Ω R d, n N véletlen vektorok. 1 Ha létezik olyan X : Ω R d D véletlen vektor, hogy X n X, akkor ϕ Xn ϕ X minden korlátos intervallumon egyenletesen. 2 Ha tetszőleges t R d esetén létezik lim n ϕ Xn (t) =: g(t), és g folytonos a 0 R d pontban, akkor létezik olyan X : Ω R d véletlen vektor, hogy ϕ X = g, és X n D X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 47 / 125

Karakterisztikus függvény Generátorfüggvény Ha az X : Ω R d véletlen vektor koordinátái nemnegatív egész értékeket vesznek fel, azaz X a Z d + halmazba koncentrálódik, vagyis P(X Z d +) = 1, akkor X = (X 1,..., X d ) generátorfüggvénye a G X (z) := G X1,...,X d (z 1,..., z d ) := E(z X ) := E(z X 1 1 zx d d ) = P(X 1 = k 1,..., X d = k d ) z k 1 1 zk d d k 1 =0 k d =0 d-változós komplex hatványsor összegfüggvénye. Ez a hatványsor abszolút konvergens a {(z 1,..., z d ) C d : z 1 1,..., z d 1} halmazon, és X karakterisztikus függvénye a ϕ X (t) = ϕ X (t 1,..., t d ) = G X (e it 1,..., e it d ), periodikus függvény. t = (t 1,..., t d ) R d Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 48 / 125

Generátorfüggvény tulajdonságai 1 G X (1,..., 1) = 1 2 G X analitikus a {(z 1,..., z d ) C d : z 1 < 1,..., z d < 1} halmazon 3 Tetszőleges k 1,..., k d nemnegatív egészek esetén P(X 1 = k 1,..., X d = k d ) = k 1 1... k d d G X (0,..., 0) k 1! k d! 4 P X = P y x [ 1, 1] d esetén G X (x) = G Y (x) 5 Ha X és Y függetlenek, akkor G X+Y (z) = G X (z)g Y (z) a {(z 1,..., z d ) C d : z 1 1,..., z d 1} halmazon 6 Tetszőleges r 1,..., r d nemnegatív egészek esetén és E(X r 1 1 X r d d ) < r 1 1... r d d G X (1,..., 1 ) <, r 1 1... r d d G X (1,..., 1 ) = E(X 1 (X 1 1) (X 1 r 1 + 1) X d (X d 1) (X d r d + 1)) Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 49 / 125

Karakterisztikus függvény Folytonossági tétel Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N olyan véletlen vektorok, hogy P(X Z d +) = 1 és P(X n Z d +) = 1, n N. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: D X ha n X n P(X n = k) P(X = k) ha n minden k Z d + esetén G Xn (x) G X (x) ha n minden x [ 1, 1] d esetén Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 50 / 125

Karakterisztikus függvény Laplace-transzformált Ha az X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor koordinátái nemnegatív értékeket vesznek fel, azaz X az R d + halmazba koncentrálódik, vagyis P(X R d +) = 1, akkor X Laplace-transzformáltja ψ X : R d + R, ψ X (s) := ψ X1,...,X d (s 1,..., s d ) := E(e s, X ) = 0 Ha P(X Z d +) = 1, akkor 0 e s 1x 1 s d x d df X1,...,X d (x 1,..., x d ) ψ X (s 1,..., s d ) = G X (e s 1,..., e s d ), (s 1,..., s d ) R d +, G X (x 1,..., x d ) = ψ X (log x 1,..., log x d ), (x 1,..., x d ) (0, 1) d. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 51 / 125

Laplace-transzformált tulajdonságai 1 0 ψ X 1, és ψ X (0) = 1 2 ψ X analitikus a (0, ) d halmazon 3 P X = P Y akkor és csak akkor, ha ψ X = ψ Y 4 Ha X és Y függetlenek, akkor ψ X+Y = ψ X ψ Y 5 Tetszőleges r 1,..., r d nemnegatív egészek esetén és E(X r 1 1 X r d d ) < r 1 1... r d d ψ X (0+,..., 0+) <, Folytonossági tétel r 1 1... r d d ψ X (0+,..., 0+) = ( 1) r 1+ +r d E(X r 1 1 X r d d ) Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N olyan véletlen vektorok, hogy P(X R d +) = 1 és P(X n R d +) = 1, n N. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: D X ha n X n ψ Xn (s) ψ X (s) ha n minden s R d + esetén Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 52 / 125

Nevezetes eloszlások p paraméterű Bernoulli-eloszlás Legyen p [0, 1]. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó p paraméterű Bernoulli-eloszlású, ha lehetséges értékei: 0 és 1, és eloszlása P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p. { 1 ha A bekövetkezik, Ha A esemény, akkor az 1 A := 0 ha A nem következik be véletlen változó Bernoulli-eloszlású P(A) paraméterrel. Generátorfüggvény Laplace-transzformált G X (z) = 1 p + pz = 1 + p(z 1), z C ψ X (s) = 1 p + p e s = 1 p(1 e s ), s R + Karakterisztikus függvény ϕ X (t) = 1 p + p e it = 1 + p(e it 1), t R Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 53 / 125

Nevezetes eloszlások (n, p) paraméterű binomiális eloszlás Legyen n N és p [0, 1]. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó (n, p) paraméterű binomiális eloszlású, ha lehetséges értékei: 0, 1,..., n, és eloszlása P(X = k) = ( n k ) p k (1 p) n k, k {0, 1,..., n}. Ha az A eseménnyel kapcsolatban n független kísérletet végzünk és { 1 ha A bekövetkezik az i-edik alkalommal, X i := 0 egyébként, akkor az X = X 1 + + X n véletlen változó (n, P(A)) paraméterű binomiális eloszlású, és X 1,..., X n független, P(A) paraméterű Bernoulli-eloszlásúak. G X (z) = (1 p + pz) n = (1 + p(z 1)) n, z C ψ X (s) = (1 p + p e s ) n = (1 p(1 e s )) n, s R + ϕ X (t) = (1 p + p e it ) n = (1 + p(e it 1)) n, t R Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 54 / 125

Nevezetes eloszlások (n, M, N M) paraméterű hipergeometrikus eloszlás Legyenek n, N, M N úgy, hogy M N. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó (n, M, N M) paraméterű hipergeometrikus eloszlású, ha olyan k értékeket vehet fel, melyekre teljesül 0 k n, k M és n k N M, és eloszlása ( M )( N M ) k n k P(X = k) = ( N. n) Ha egy dobozban M piros és N M fekete golyó van, és visszatevés nélkül húzunk ki n golyót, és X jelöli a kihúzott piros golyók számát, akkor az X véletlen változó (n, M, N M) paraméterű hipergeometrikus eloszlású. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 55 / 125

Nevezetes eloszlások p paraméterű r-edrendű negatív binomiális eloszlás Legyen r N és p [0, 1]. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó p paraméterű r-edrendű negatív binomiális eloszlású, ha lehetséges értékei: 0, 1,..., és eloszlása ( ) k + r 1 P(X = k) = p r (1 p) k, k {0, 1,... }. r 1 Ha az A eseménnyel kapcsolatban független kísérletet végzünk és az A r-edik bekövetkezéséhez szükséges kísérletek száma r + X, akkor az X véletlen változó P(A) paraméterű r-edrendű negatív binomiális eloszlású. Generátorfüggvény ( G X (z) = p 1 (1 p)z ) r, z C, z < 1 1 p Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 56 / 125

Nevezetes eloszlások Elsőrendű negatív binomiális eloszlások konvolúciója Ha az X 1,..., X r véletlen változók függetlenek és p paraméterű elsőrendű negatív binomiális eloszlásúak, akkor az X := X 1 + + X r véletlen változó p paraméterű r-edrendű negatív binomiális eloszlású. Elsőrendű negatív binomiális eloszlás örökifjú tulajdonsága Ha az X véletlen változó p paraméterű elsőrendű negatív binomiális eloszlású, akkor P(X k + l X k) = P(X l), k, l {0, 1,... }. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 57 / 125

Nevezetes eloszlások λ paraméterű Poisson-eloszlás Legyen λ R +. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó λ paraméterű Poisson-eloszlású, ha lehetséges értékei: 0, 1,..., és eloszlása P(X = k) = λk k! e λ, k {0, 1,... }. Generátorfüggvény G X (z) = e λ(z 1), z C Binomiális eloszlás közelítése Poisson-eloszlással Ha X n, n N, binomiális eloszlású véletlen változók (n, p n ) D paraméterrel, és np n λ (0, ) ha n, akkor X n X ha n, ahol az X véletlen változó λ paraméterű Poisson-eloszlású. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 58 / 125

Nevezetes eloszlások Egyenletes eloszlás a {0, 1,..., N 1} halmazon Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó egyenletes eloszlású az {0, 1,..., N 1} halmazon, ha P(X = k) = 1, k {0, 1,..., N 1}. N Generátorfüggvény G X (z) = 1 N (1 + z + + zn 1 ), z C, = 1 N z N 1 z 1, z C \ {1} Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 59 / 125

Nevezetes eloszlások Egyenletes eloszlás az (a, b) intervallumon Legyen a, b R úgy, hogy a < b. Azt mondjuk, hogy az X abszolút folytonos véletlen változó egyenletes eloszlású az (a, b) intervallumon, ha a sűrűségfüggvénye f X (x) = Karakterisztikus függvény ϕ X (t) = { 1 b a, x (a, b), 0, egyébként. { e ibt e iat i(b a)t, t 0, 1, t = 0. Folytonos egyenletes eloszlás közelítése Ha X n, n N, egyenletes eloszlású véletlen változók a {0, 1,..., n 1} halmazon, akkor Xn D n X ha n, ahol az X véletlen változó egyenletes eloszlású a (0, 1) intervallumon. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 60 / 125

Nevezetes eloszlások λ paraméterű exponenciális eloszlás Legyen λ > 0. Azt mondjuk, hogy az X abszolút folytonos véletlen változó λ paraméterű exponenciális eloszlású, ha sűrűségfüggvénye { λe λx, x > 0, f X (x) = 0, egyébként. Exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága Ha az X véletlen változó λ paraméterű exponenciális eloszlású, akkor P(X t + h X t) = P(X h), t, h 0. Laplace-transzformált ψ X (s) = λ s + λ, s R + Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 61 / 125

Nevezetes eloszlások (m, σ 2 ) paraméterű normális eloszlás Legyen m R és σ > 0. Azt mondjuk, hogy az X abszolút folytonos véletlen változó (m, σ 2 ) paraméterű normális eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye Karakterisztikus függvény f X (x) = 1 e (x m)2 2σ 2 2πσ ϕ X (t) = e imt σ2 t 2 2, t R Binomiális eloszlás közelítése normális eloszlással Ha X n, n N, binomiális eloszlású véletlen változók (n, p) X paraméterrel, ahol p (0, 1), akkor n np D X ha n, np(1 p) ahol az X véletlen változó (0, 1) paraméterű normális eloszlású. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 62 / 125

Többdimenziós normális eloszlás Többdimenziós normális eloszlás Azt mondjuk, hogy az Y : Ω R d véletlen vektor standard normális eloszlású, ha Y = (Y 1,..., Y d ), ahol Y 1,..., Y d : Ω R független, standard normális eloszlású véletlen változók. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor normális eloszlású, ha X eloszlása megegyezik AY + m eloszlásával, ahol Y : Ω R d standard normális eloszlású, A R d d és m R d. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 63 / 125

Többdimenziós normális eloszlás Karakterisztikus függvény, sűrűségfüggvény Egy X : Ω R d véletlen vektor akkor és csak akkor normális eloszlású, ha karakterisztikus függvénye ϕ X (t) = exp {i m, t 12 } Dt, t, t R d alakú, ahol m R d, és D R d d szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrix, azaz D = D, valamint tetszőleges t R d esetén Dt, t 0. Továbbá m = E(X), D = Cov(X). Ha D invertálható, akkor X abszolút folytonos, és sűrűségfüggvénye 1 f X (x) = { (2π) d det(d) exp 1 } 2 D 1 (x m), x m, x R d. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor normális eloszlású (m, D) paraméterekkel, ha X karakterisztikus függvénye a fenti tételben adott alakú. Jelölése: X = D N (m, D). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 64 / 125

Többdimenziós normális eloszlás Többdimenziós normális eloszlás lineáris transzformáltja Ha X D = N (m, D) d-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor, és a R l, B R l d, akkor a + BX D = N (a + Bm, BDB ) l-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor. Többdimenziós normális eloszlás karakterizálása Egy X : Ω R d véletlen vektor akkor és csak akkor normális eloszlású, ha minden c R d vektor esetén a c X véletlen változó normális eloszlású. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 65 / 125

Többdimenziós normális eloszlás Többdimenziós normális eloszlás koordinátáinak függetlensége Legyen (X 1,..., X k, Y 1,..., Y l ) k + l-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor, és tegyük fel, hogy bármely i {1,..., k} és j {1,..., l} esetén Cov(X i, Y j ) = 0. Ekkor a (X 1,..., X k ) és (Y 1,..., Y l ) véletlen vektorok függetlenek. Lineáris kombinációk függetlensége Legyenek X 1,..., X d független, standard normális eloszlású véletlen változók. Az a 1 X 1 + + a d X d és b 1 X 1 + + b d X d lineáris kombinációk akkor és csak akkor függetlenek, ha az (a 1,..., a d ) és (b 1,..., b d ) vektorok merőlegesek egymásra. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 66 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. Azt mondjuk, hogy az X 1, X 2,... sorozat X-hez konvergál m.b. majdnem biztosan (jelölése X n X vagy X n X P-m.b.), ( ) ha P lim X n = X = 1; n P sztochasztikusan (jelölése X n X), ha bármely ε > 0 esetén lim P( X n X ε) = 0; n D eloszlásban (jelölése X n X), ha lim F X n n (x) = F X (x) minden olyan x R pontban, ahol F X folytonos; r r-edik momentumban, ahol r > 0 (jelölése X n X), ha E( X r ) <, E( X n r ) <, n N, és lim E ( X n X r ) = 0. n Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 67 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája Konvergenciafajták kapcsolata Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. m.b. r Ha X n X, vagy valamely r > 0 esetén X n X, akkor P X. X n r Ha X n X valamely r > 0 esetén, akkor tetszőleges s s (0, r) esetén X n X. Határérték egyértelműsége Ha X : Ω R d, Y : Ω R d, X n : Ω R d és Y n : Ω R d, n N, P P véletlen vektorok úgy, hogy X n X, Y n Y, és X n = Y n P-m.b. minden n N esetén, akkor X = Y P-m.b. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 68 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája Majdnem biztos és sztochasztikus konvergencia Legyenek X : Ω R d X n m.b. X ε > 0 esetén és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. ( ) lim P sup X k X ε = 0 n k n sup X k X P 0, amint n. k n P ((X n ) n 1 konvergens) = 1 ε > 0 esetén ε > 0 esetén k=1 lim P n ( ) sup X k X n ε = 0. k n P( X k X ε) < = X n m.b. X. P X n X pozitív egészek bármely n 1 < n 2 <... sorozatának van olyan n k1 < n k2 <... részsorozatata, hogy m.b. X, amint i. X nki Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 69 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája Véletlen vektorok folytonos függvényének konvergenciája Legyenek X : Ω R d, Y : Ω R d, X n : Ω R d, és Y n : Ω R d, n N, véletlen vektorok és g : R d R d R r folytonos függvény. Ha X n m.b. X és Y n m.b. Y, akkor g(x n, Y n ) m.b. g(x, Y ). Ha X n P X és Y n P Y, akkor g(x n, Y n ) P g(x, Y ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 70 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája Konvergencia és műveletek kapcsolata Legyenek X : Ω R d, Y : Ω R d, X n : Ω R d, és Y n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. m.b. m.b. m.b. Ha X n X és Y n Y, akkor X n + Y n X + Y és X n, Y n m.b. X, Y. P Ha X n X és Y n P X n, Y n X, Y. P Y, akkor X n + Y n P X + Y és r r Ha X n X és Y n Y valamely r 1 esetén, akkor r X n + Y n X + Y. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 71 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája Véletlen vektorok egyenletes integrálhatósága Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, Γ nemüres halmaz, és minden γ Γ esetén X γ : Ω R d véletlen vektor. Azt mondjuk, hogy az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok egyenletesen integrálhatók, ha lim E ( X γ 1 { Xγ >K }) = 0. sup K γ Γ Egyenletes integrálhatóság Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, Γ nemüres halmaz, és minden γ Γ esetén X γ : Ω R d véletlen vektor. Az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok akkor és csak akkor egyenletesen integrálhatók, ha sup E( X γ ) < és lim γ Γ sup P(A) 0 γ Γ E ( X γ 1 A ) = 0 (azaz ε > 0 δ > 0 úgy, hogy E ( X γ 1 A ) < ε minden γ Γ és minden olyan A A esemény esetén, melyre P(A) < δ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 72 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája Egyenletes integrálhatóság Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, Γ nemüres halmaz, és minden γ Γ esetén X γ : Ω R d, Y γ : Ω R d véletlen vektorok. Ha létezik olyan r > 1, hogy sup γ Γ E( X γ r ) <, akkor az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok egyenletesen integrálhatók. Ha az {X γ : γ Γ} és {Y γ : γ Γ} véletlen vektorok egyenletesen integrálhatók, akkor az {X γ + Y γ : γ Γ} véletlen vektorok is egyenletesen integrálhatók. Ha az {Y γ : γ Γ} véletlen vektorok egyenletesen integrálhatók és minden γ Γ esetén E( X γ ) E( Y γ ), akkor az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok is egyenletesen integrálhatók. Momentum konvergenciatétel Legyenek X, X 1, X 2,... d-dimenziós véletlen vektorok, és r 1. r P Az X n X konvergencia azzal ekvivalens, hogy X n X és az { X n r : n N} véletlen változók egyenletesen integrálhatók. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 73 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája Legyenek µ, µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Azt mondjuk, hogy a µ 1, µ 2,... sorozat gyengén konvergál µ-höz (jelölése: µ n µ), ha lim µ n (A) = µ(a) minden olyan A B(R d ) n esetén, melyre µ( A) = 0, ahol A az A halmaz határát jelöli. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 74 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája Portmanteau tétel Legyenek µ, µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. A következő állítások ekvivalensek: 1 lim g(y) µ n (dy) = g(y) µ(dy) minden g : R d R n R d R d korlátos, folytonos függvény esetén. 2 lim g(y) µ n (dy) = g(y) µ(dy) minden g : R d R n R d R d korlátos, egyenletesen folytonos függvény esetén. 3 lim sup µ n (F) µ(f) minden F B(R d ) zárt halmaz esetén. n 4 lim inf µ n(g) µ(g) minden G B(R d ) nyitott halmaz esetén. n 5 lim n µ n (A) = µ(a) minden A B(R d ) esetén, melyre µ( A) = 0. 6 µ n µ. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 75 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája Eloszlásbeli és gyenge konvergencia kapcsolata Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. A következő állítások ekvivalensek: 1 lim n E(g(X n )) = E(g(X)) minden g : R d R korlátos, folytonos függvény esetén. 2 lim n E(g(X n )) = E(g(X)) minden g : R d R korlátos, egyenletesen folytonos függvény esetén. 3 lim sup P(X n F) P(X F) minden F B(R d ) zárt halmazra. n 4 lim inf P(X n G) P(X G) minden G B(R d ) nyitott halmazra. n 5 lim n P(X n A) = P(X A) minden olyan A B(R d ) Borel-halmaz esetén, melyre P(X A) = 0. 6 P Xn P X. D 7 X n X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 76 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája Cramér Szluckij lemma Legyenek X : Ω R d, és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. D P D Ha X n X és Xn Y n 0, akkor Y n X. Véletlen vektorok konvergenciája Legyenek X : Ω R d, X n : Ω R d, Y n : Ω R és Z n : Ω R d, n N, véletlen vektorok, és a R d, b R. P D Ha X n X, akkor X n X. D P Ha X n X, Yn b és Z n D Y n X n + Z n bx + a. P X n a akkor és csak akkor, ha X n P a, akkor D a. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 77 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája A h : R d R l mérhető függvény szakadási pontjainak D h halmaza Borel-mérhető. Leképezési tétel Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok, h : R d R l mérhető függvény, és x R d. D Ha X n X és P(X Dh ) = 0, akkor h(x n ) D h(x). Véletlen vektorok mérhető függvényének konvergenciája Legyenek X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok, h : R d R l mérhető függvény, és x R d. P P Ha X n x és x / D h, akkor h(x n ) h(x). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 78 / 125

Valószínűségi mértékcsalád feszessége Legyen Γ nemüres halmaz, és minden γ Γ esetén µ γ valószínűségi mérték az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Azt mondjuk, hogy a {µ γ : γ Γ} mértékcsalád feszes, ha Folytonossági tétel lim sup µ γ ({x R d : x > K }) = 0. K γ Γ Legyenek X n : Ω R d, n N véletlen vektorok. 1 Ha létezik olyan X : Ω R d D véletlen vektor, hogy X n X, akkor ϕ Xn ϕ X minden korlátos intervallumon egyenletesen. 2 Ha tetszőleges t R d esetén létezik lim n ϕ Xn (t) =: g(t), és a {P Xn : n N} mértékcsalád feszes, akkor létezik olyan X : Ω R d D véletlen vektor, hogy ϕ X = g, és X n X. 3 Ha tetszőleges t R d esetén létezik lim n ϕ Xn (t) =: g(t), és g folytonos a 0 R d pontban, akkor létezik olyan X : Ω R d véletlen vektor, hogy ϕ X = g, és X n D X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 79 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája Prohorov-tétel Legyenek µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. A {µ n : n N} mértékcsalád akkor és csak akkor feszes, ha pozitív egészek bármely n 1 < n 2 <... sorozatához létezik olyan µ valószínűségi mérték és olyan n k1 < n k2 <... részsorozat, hogy µ nki µ, amint i. Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája Legyenek µ, µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Ekkor µ n µ akkor és csak akkor, ha a {µ n : n N} mértékcsalád feszes, és ha pozitív egészek valamely n 1 < n 2 <... sorozatához létezik olyan ν valószínűségi mérték, hogy µ nk ν, amint k, akkor ν = µ. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 80 / 125

Véletlen vektorok konvergenciája Helly-féle kiválasztási tétel Legyenek µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Ekkor létezik olyan µ mérték az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren, melyre µ(r d ) 1, pozitív egészek olyan n 1 < n 2 <... sorozata, és olyan c [0, 1] konstans, hogy µ nk ({y R d : y < x}) c + µ({y R d : y < x}), amint k, minden olyan x R d függvény folytonos. Nyíró egyenlőtlenség pontban, ahol az x µ({y R d : y < x}) Ha X véletlen változó, akkor tetszőleges a > 0 esetén ( P X 2 ) 1 a (1 ϕ X (t)) dt. a a a Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 81 / 125