A várható érték vizgálata u é t tatiztika egítégével Feltételezzük hogy ormáli elozláú alapokaágból vett véletle mita/miták alapjá vizgáljuk hogy az imeretle várható érték milye feltételezett értékel egyel elre rögzített valózíéggel, illetve egy adott (elre megválaztott) értékkel milye valózíéggel tekithet egyelek. A ormáli elozlá feltételezée ellerizhet tatiztikai próbákkal. Máik út közpoti vagy cetráli határelozlá tételé alapzik. Ez kimodja, ha elem véletle mitákat vezük egy M várható érték, zóráú okaágból, - az elozlára voatkozóa emmit em tételezük fel, - akkor a miták zámtai átlaga közelítleg ormáli elozláú ugyaazzal az M várható értékkel, é / () / zóráal. Ez tehát azt jeleti kié leegyzerítve hogy eleged agy elemzámú mita (például 0) eeté a miták zámtai átlagáak elozláa közelítleg ormáli lez. Az (x M) valózíégi változó 0 várható érték, zóráa pedig / () /. Mid az u-, mid a t-, tezt lehet egymitá é kétmitá. Ha egymitá, akkor egy valózíégi változó várható értékére voatkozó feltétételezét ellerzük, ha kétmitá, akkor valózíégi változó várható értékeiek egyezéét ellerizzük. A hipotézivizgálat elvégzée a ull-hipotézie kívül függ az ellehipotézitl i. A ull-hipotézi voatkozzo pl. egy zámérték é egy imeretle paraméter egyelégére: H 0 : M(α) a. Ha az ellehipotézi cupá a ull-hipotézi tagadáa, azaz H : M(α) a Ez azt jeleti hogy midegy hogy a várható érték kiebb vagy agyobb mit a. Ezért p zigifikacia-zitet úgy kell értelmezi hogy a változó elozláfüggvéyéek midkét végébl leváguk p/-ek megfelel területet, é az így kapott határokat jelöl kritiku értékkel kell özehaolítai a zámított próbatatiztikát. Ez az u. kétoldali próba. Ha az ellehipotézi M(ε) > a alakú, akkor a ullhipotézit cak akkor kell elvetük, ha a próbatatiztika a lerögzített kritiku értékél agyobb zám. Ezért ekkor az elozláfüggvéyek cak egyik oldalá kell kijelöli a kritiku értéket, p tehát az egyik oldalo levágott terület mértéke. Ez ú. egyoldali próba. Ha az ellehipotézi M(ε) < a Akkor az elbb elmodottak értelemzere megfordítva továbbra i érvéyeek. A megbízhatóági zit mide eetbe p. Egymitá u-próba
Imert elméleti zóráú ormáli elozláú okaágból vett elem mita átlaga alapjá akarjuk a várható értékre voatkozó ullhipotéziüket ellerizi, azaz az M várható értékre feltételezzük hogy egyel a 0 -al. Tehát Illetve Ha H 0 igaz, akkor az H 0 : M a 0 H 0 :a 0 - M 0. u x a 0 Statiztika, mit a tatiztikai mitából képzett valózíégi változó ormáli elozláú 0 várható értékkel é zóráal. Ha az ellehipotézi a H : M a 0, akkor kétoldali póbáról va zó, ellekez eetbe egyoldali próbáról bezélük. Ha a zámolt u érték a agyobb pozitív, vagy kiebb egatív zám aál a zámál ami a ormálelozlá régfüggvéyébl adott p zigifikacia-zit ( p megbízhatóági zit) mellett leolvaható akkor a ullhipotézit elvetjük., azaz ha akkor H 0 -t hamiak tekitjük. u > u krit Például egy folyóvízbe az ólomkocetrációt okzor megmérve,0 µg/l-ek találták, é ok (elvileg végtele) mérébl imert hogy 0,04 µg/l. Adott idbe 64 db. mitát véve é azokat megelemezve az ólomkocetrációt,985 µg/l-ek találjuk. Ellerizzük a hipotézit hogy az ólomtartalom várható értéke,0 µg/l! A várható érték tehát,0 µg/l, é mivel az ellehipotéziük H : M a 0, kétoldali próbát kell végezi. Az u érték: pedig 3,000. Az 5%-o zigifikaciazithez tarozó (p/ 0,05) kritiku érték pedig,96. Eek alapjá a ullhipotézit el kell veti! Mi lee az eredméy, ha a. a zórá em 0,04 haem 0,08 lee? b. kétoldali próba helyett egyoldali próbát alkalmazák, azaz a ulhipotézit a H : M( x ) < a 0 ellehipotéziel zembe vizgálák? c. a zigifikaciazitet (kétoldali póbáál) %-ra, azaz 0,0-re cökketeék?
Kétmitá u-próba Két okaág várható értékéek egyezéére voatkozó hipotézit akaruk ellerizi. Legye ξé η a valózíégi változó x é y a ξ-re é η-re vett é m elem miták aritmetikai középértékei, é a valódi imert zóráégyzet. A H 0 : M(ξ) M(η) ullhipotézit a ξ-re é η-re vett é m elem miták alapjá kívájuk ellerizi. A próbatatiztika az alábbi: u x y + m Ha H 0 igaz, akkor u elozláa N(0,) é adott ε-hoz a H : M(ξ) M(η) ellehipotézi mellet a kritiku tartomáy: / X k { u - u ε vagy u u ε } ε zigifikaciazite (kétoldali próba) Egymitá t-próba Ha a várható érték vizgálatáál em imert az elméleti zórá, akkor az alábbiak zerit kell eljári: Legye ξ ormáli elozláú változó, vegyük elem mitát é becüljük a zórát a korrigált tapaztalati zóráal (). Legye a várható érték M. ekkor a H 0 : M(ξ) a 0 ullhipotézi vizgálatára kotruáljuk meg az alábbi tatiztikát: t x a Ha a ullhipotézi igaz, akkor a t - tatiztika elozláa - zabadági fokú Studet elozlát követ. Ha az ellehipotézi az M(ξ) a 0, azaz midegy hogy a várható érték kiebb vagy agyobb-e mit az elírt érték akkor u. kétoldali próbát kell végezi, eek kritiku tartomáya: X k { t t ε vagy t t ε }. Adott ε zigifikaciazithez é zabadági fokhoz tartozó t ε kritiku értéket kiválaztva, ha a t - tatiztika a { -t ε, t ε } tartomáyo kívül eik akkor a ullhipotézit elvetjük. 0
Ha az ellehipotézi az M(ξ) > a 0, vagy az M(ξ) < a 0, akkor cak az az eet jeleti a ullpipotézi elvetéét ha t a kritiku értékél agyobb pozitív, vagy az elletettjéél kiebb egatív zám (egyoldali próbák). Egy cellulózüzembe 9 mitát vezek a zulfitlúgból, é megmérték a lúgoágát. Az alábbi lúgoági zámokat kapták:,7;,; 0,9;,4;,3;,0;,; 0,7;,6;. A techológiai elírá,-e lúgoági zámot határoz meg. Modhatjuk-e a 9 elem mita alapjá hogy a lúgoági zám megfelel az elíráak? Kijeletéüket 95%-o megbízhatóági zite kell megtei. Mivel a zórá imeretle ezt i a mitából kell becüli. Kétmitá t-próba é Welch-próba Ha em imerjük a zóráokat, é a feladat két valózíégi változó várható értéke egyezééek a vizgálata, a t próbát cak akkor alkalmazhatjuk, ha feltételezhetjük hogy a változó imeretle zóráa megegyezik. Ezt az F-próbával vizgálhatjuk. Ha a zóráok em egyezek meg a t-próba helyett a Welch próbával vizgálhatjuk a várható értékek egyezéére voatkozó hipotézit. Legye ξ é η ormáli elozláú függetle valózíégi változó zóráal, é vizgáljuk meg a H 0 M(ξ) M(η) ullhipotézit, a ξ-ra vett elem, é az η-ra vett elem miták alapjá. Jelöljük a ξ-re vett mita átlagát x -el, az η-ra vett mita átlagát y -al. Ha a ullhipotézi igaz, akkor a x y t / + / m valózíégi változó + m paraméter Studet elozlát követ, ahol a külöbég tadard deviációja, ( ) + ( m ) + m Az elbbi képleteket özevova é átalakítva az alábbi kifejezét kapjuk: t + m ( ) x y + ( m ) m( + m ) + m / Ha az ellehipotézi H : M(ξ) M(η), akkor t + m > t ε eeté aullhipotézit elvetjük. t ε az ε zigifikaciazithez é + zabadági fokhoz tartozó kritiku érték. Ha az ellehipotézi H : M(ξ) > M(η), akkor egyoldali próbáról va zó, é a ullhipotézit t ε < t + m eetbe kell elveti.
Welch-próba Ha ξ é η függetle ormáli elozláú valózíégi változók, é zórááak egyezéét em tételezhetjük fel, illetve az F-próba zerit, akkor a H 0 : M(ξ) M(η) ullhipotézi vizgálatára a kétmitá t-próba em alkalmazható. A kérdé eldötéére Welch az alábbi tatiztikát ajálja: x x t f / + m ahol x, illetve x a ξ-ra vett elem é η-ra vett m elem miták átlaga, é a ξ é η tapaztalati zóráégyzetei. A t f tatiztika közelítleg Studet elozlát követ f zabadági fokkal, ha H 0 igaz. F értéke az alábbi kifejezéel határozható meg: ahol f c ( c) + m m + m c Így ha f meghatározá utá a t elozlá táblázatából a megfelel zigifikaciazithez tartozó kritiku értékek leolvahatók. A próba hazálata azoo a t-próbáéval. Kofidecia itervallum kijelölée Az eddigiekbl már tudjuk hogy a zámtai átlag a várható érték becléére zolgálóm tatiztika, a zórát pedig a korrigált tapaztalati zóráégyzettel becülhetjük meg. Ezek azoba em modaak emmit em a becléek bizoytalaágáról, mert ezek u. potbecléek. Az itervallumbeclé iformációt ad arra voatkozóa i, hogy az adott próbatatiztika a valódi érték milye köryezetébe kell hogy ee az adott valózíéggel. Az ezzel kapcolato eljárá a kofidecia (vagy megbízhatóági) itervallum kijelölée. A kofidecia itervallum az a tartomáy ahová a valódi értékek eie kell. Kofidecia itervallumot mid az u-, mid a t-tatiztika alkalmazáával kijelölhetük. Imert zóráú, ormáli elozláú okaágból vett mita eeté ugyai az u-tatiztika kifejezéébl kiidulva az alábbi képlethez jutuk: azaz X a 0 u a0 X ± u ε ε
Az utóbbi egyelet zerit a okaág várható értéke a mitaátlag u ugarú köryezetébe kell hogy ee, ε zigifikaciazittel, azaz -ε megbízhatóággal. Ha a okaág zóráa imeretle, é azt i a mita alapjá becüljük, akkor az egymitá t- tatiztika képletébl kell kiiduluk a kofidecia itervallum kijelölééél: azaz X a t 0, ε a X ± t S S 0, vagyi a okaág várható értéke - ε megbízhatóági zite a mitaátlag köryezetébe kel hogy ee. ± t S Az imételt méréekbl zármazó eredméy korrekt megadááak módja az alábbi: Legye a méred változó x, mérjük meg -zer, zámítuk ki a zámtai átlagot ( x ) é a tadard deviációt ()! Ekkor x ± t(, ε ) ahol t (-,ε) az ε zigifikaciazithez é - zabadági fokhoz tartozó kritiku érték. (Termézetee midig kétoldali próbáról va zó!)