Teremakusztikai modellezés sztochasztikus módszerrel

Teremakusztikai modellezés sztochasztikus módszerrel Bartha Bendegúz VI. vill., Vas Mihály András VI. vill. Tudományos Diákköri dolgozat Konzulens: Fiala Péter BME Híradástechnikai Tanszék 2008

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 1 2. Sztochasztikus akusztikai térszámítás 3 2.1. Determinisztikus akusztikai térszámítás............ 3 2.1.1. A hangtér egyenletei................... 3 2.1.2. Megoldás zárt szobában, módusok........... 5 2.1.3. A spektrális végeselem módszer............ 6 2.2. Véletlen rendszerek modellezése................ 8 2.2.1. A Monte Carlo módszer................. 9 2.2.2. A perturbáció módszer.................. 9 2.2.3. A módszerek összehasonlítása............. 12 2.2.4. Egy egyszerű példa.................... 12 2.2.5. Példa 2........................... 15 2.2.6. Példa 3........................... 18 2.2.7. Konklúzió......................... 19 3. Modellezés 21 3.1. A spektrális végeselem szoftver................. 21 3.2. PUSZTA.............................. 23 3.2.1. Változtatásra váró függvények............. 24 3.2.2. PUSZTA MCS....................... 24 3.2.3. PUSZTA perturbáció módszerrel............ 26 3.2.4. Módszerek összehasonlítása.............. 28 3.3. Eredmények............................ 29 4. A terem mérése 34 4.1. A mérés előkészítése....................... 34 4.2. Mérési megfontolások...................... 35 4.3. A mérés menete.......................... 36 4.4. A mérés kiértékelése....................... 39 4.5. Eredmények............................ 40 i

5. Összefoglalás 42 ii

Ábrák jegyzéke 2.1. Akusztikai térszámítási feladat (forrás: [4]).......... 4 2.2. A (0, 1, 1)-es módus képe..................... 5 2.3. A véletlen paraméterű rendszerek három lehetséges értelmezése................................ 8 2.4. A Monte Carlo módszer működése............... 10 2.5. Tömeg - rugó rendszer: a keresett válasz a tömeg x elmozdulása................................ 13 2.6. Tömeg - rugó rendszer: véletlen rugómerevség esetén a tömeg kitérésének realizációi (zöld), a perturbáció módszer által szolgáltatott várható érték (kék), a MCS által szolgáltatott várható érték (piros)..................... 15 2.7. Tömeg - rugó - csillapító rendszer: a keresett válasz a tömeg x elmozdulása............................ 16 2.8. Tömeg - rugó - csillapító rendszer: véletlen rugómerevség esetén a tömeg kitérésének realizációi (zöld), a perturbáció módszer által szolgáltatott várható érték (kék), a MCS által szolgáltatott várható érték (piros)................ 17 2.9. Tömeg - rugó - csillapító rendszer: véletlen csillapítás esetén a tömeg kitérésének realizációi (zöld), a perturbáció módszer által szolgáltatott várható érték (kék), a MCS által szolgáltatott várható érték (piros).................. 20 3.1. A spektrális végeselem módszer működését leíró blokkséma 23 3.2. Az akusztikai admittancia függése az elnyelési tényezőtől. 24 3.3. A sztochasztikus rendszermodellezés blokksémája Monte Carlo módszer alkalmazása esetén............... 25 3.4. A sztochasztikus rendszermodellezés blokksémája perturbáció módszer alkalmazása esetén............... 27 3.5. A számítási elrendezés (az IB140 terem felülnézeti képe). Kis pont: vevő, nagy pont: vevő és gerjesztés......... 30 3.6. Az első pár modális koordináta képe.............. 31 iii

3.7. A második módushoz tartozó modális koordináta csúcsa. Piros: perturbáció módszerrel a várható érték, kék: Monte Carlo módszerrel a várható érték, zöld: realizációk...... 31 3.8. A 21. vevőpontban a hangnyomáseloszlás. Piros: perturbáció módszerrel a várható érték, kék: Monte Carlo módszerrel a várható érték, zöld: realizációk............... 32 3.9. A 21. vevőpontban három darab módushely. Piros: perturbáció módszerrel a várható érték, kék: Monte Carlo módszerrel a várható érték, zöld: realizációk............. 32 3.10. A 8. vevőpontban a hangnyomáseloszlás. Piros: perturbáció módszerrel a várható érték, kék: Monte Carlo módszerrel a várható érték, zöld: realizációk.................. 33 3.11. A 8. vevőpontban a 37Hz-nél lévő módus. Piros: perturbáció módszerrel a várható érték, kék: Monte Carlo módszerrel a várható érték, zöld: realizációk............... 33 4.1. Sweepjel időtartománybeli képének néhány periódusa... 36 4.2. Sweepjel spektruma........................ 37 4.3. A mérés során használt eszközök................ 38 4.4. Pillanatkép a mérésből...................... 38 4.5. A 16-os és 57-es vevőpontok közti átvitel. Piros: perturbáció módszerrel a várható érték, kék: mérési eredmény....... 40 4.6. A 37-es és 57-es vevőpontok közti átvitel. Piros: perturbáció módszerrel a várható érték, kék: mérési eredmény....... 41 4.7. A 44-es és 57-es vevőpontok közti átvitel. Piros: perturbáció módszerrel a várható érték, kék: mérési eredmény....... 41 iv

1. fejezet Bevezetés Az akusztika az ókor óta ismert tudományág, matematikai alapjait, a hanghullámok terjedésének egyenleteit a 19. század óta ismerjük. Ezek analitikus megoldása azonban csak a legegyszerűbb, elméleti jelentőségű problémák esetén állítható elő, ezért a gyakorlatban csak komoly egyszerűsítések árán használhatóak. Az utóbbi évtizedek számítógépes fejlődésének köszönhetően most már lehetőségünk van olyan, nagy számításigényű apparátusok használatára, mint a numerikus számítási módszerek. Ezekkel az eszközökkel új távlatok nyithatók, és egy akusztikai problémára pontosabb, a valóságot jobban leíró megoldás adható. A numerikus módszerek a megoldandó egyenletek diszkretizálásával dolgoznak, vagyis az analitikus megoldások véges sok számértékkel jellemzhető közelítéseit, becslését adják. A becslés pontosságának csak a számértékek, az úgynevezett szabadsági fokok száma szab határt, ezért megfelelő erőforrás birtokában igen pontos számítások végezhetőek. Lehetővé válik nagy méretű, bonyolult mechanikai és akusztikai rendszerek modellezés útján való vizsgálata. Problémát okoz azonban, hogy a valóságos problémák numerikus leírásához nagy mennyiségű olyan bemeneti paraméterre (anyagjellemzők, geometria, térbeli pozíciók, stb... ) van szükségünk, amit nem feltétlenül ismerünk pontosan. A modellparaméterek bizonytalanságának kétféle oka lehet [2]: 1. A paraméterek determinisztikus jellemzése elvileg lehetséges, de nem ismerjük pontosan az értéküket. Ekkor bizonytalan paraméterekről beszélünk. Tipikus példa egy tervezés alatt levő autó belső terének akusztikai vizsgálata, ahol az autó méreteit még nem ismerjük pontosan. 2. A paraméterek determinisztikus jellemzése elvileg sem lehetséges. 1

Ezeket változékony vagy véletlen paramétereknek nevezzük. Tipikus példa olyan akusztikai burkolati anyagjellemzők modellezése, melyek akusztikai viselkedése függ a véletlenszerű környezeti behatásoktól (hőmérséklet, páratartalom), vagy hangterjedési problémák vizsgálata szabadtérben, ahol a hangterjedés paramétereit a véletlenszerű szélmozgás jócskán befolyásolja. Sok esetben a kétféle probléma vegyesen van jelen. A sztochasztikus akusztikai térszámítás feladata az akusztikai hullámok adott geometriai környezetben való terjedésének leírása abban az esetben, mikor a hullámterjedési környezet determinisztikus jellemzése nem lehetséges. A sztochasztikus modellezési eljárások segítségével a bizonytalan bemeneti paraméterek hatása kezelhetővé válik, előállíthatók a keresett válasz fontos statisztikai tulajdonságai, és ami talán a legfontosabb, meghatározható a modellezés eredményének bizonytalansága. Jelen dolgozat célja, hogy bemutasson a sztochasztikus akusztikai térszámítási feladat megoldására alkalmas eljárásokat. Minden sztochasztikus módszer megbízható determinisztikus modelleken alapszik. Dolgozatunkban röviden ismertetünk egy determinisztikus akusztikai térszámító módszert és egy azon alapuló szoftvert, majd megmutatjuk, hogy milyen átalakítások segítségével tettük a módszert alkalmassá sztochasztikus paraméterekkel való számításra. Az átalakítások során az eredeti szoftvert fekete dobozként kezeltük, ezért működésének részletezése nem tárgya munkánknak. A dolgozat felépítése a továbbiakban a következő: A második fejezet ismerteti a hangtérszámítás feladatát és egy determinisztikus térszámítási módszert, a spektrális végeselem módszert. Ebben a fejezetben foglaljuk össze a sztochasztikus rendszerek modellezésének elméletét, és néhány egyszerű példán keresztül bemutatunk két modellező eljárást, a perturbáció módszert és a Monte Carlo módszert. A harmadik fejezet röviden ismerteti a használt determinisztikus akusztikai térszámító szoftvert, majd bemutatja az abból általunk készített sztochasztikus térszámító programokat. A perturbáció módszeren és a Monte Carlo módszeren alapuló szoftverek részletes ismertetése után tesztek segítségével gyorsasági és pontossági összehasonlítást végzünk. A negyedik fejezet a sztochasztikus modellezés hitelességét igazoló teremakusztikai mérés elméleti és gyakorlati problémáit vizsgálja. Ismertetjük az impulzusválasz mérésének gyakorlati megvalósítását, és egy valós teremben történt mérés eredményeinek segítségével megvizsgáljuk az elméleti modellek és szoftverünk helyességét. 2

2. fejezet Sztochasztikus akusztikai térszámítás 2.1. Determinisztikus akusztikai térszámítás Egy forrás által keltett mechanikai rezgést a levegő részecskéi átvéve hanghullám formájában továbbítják. A térnek azt a részét, amelyben a hanghullámok terjednek, hangtérnek nevezzük. A hangtér leírására akusztikai jellemzőket használunk. Ezek közül a legfontosabbak a közeg nyomásának pillanatnyi p 0 nyugalmi nyomástól vett p(x,t) eltérése, vagyis a hangnyomás és a közeg rezgésben lévő részecskéinek v(x, t) sebessége, a részecskesebesség. A hang a szomszédos részecskék közötti energiaátadás útján terjed. A 2.1. ábra alapján látható, hogy a beltéri akusztikai térszámítási feladatok során egy Γ a zárt felület által határolt zárt Ω a térfogaton belül, a térfogat egy tetszőleges x pontjában kell meghatároznunk valamely akusztikai jellemző értékét, ill. időfüggését, jelen esetben a lesugárzott p(x) hangnyomást. Ehhez ismernünk kell a peremfeltételeket, vagyis a Γ a határoló felület minden pontjában a p(y) hangnyomás vagy a v n (y) normális irányú részecskesebesség értékét (a felület n normálisa a térfogat felé van irányítva). 2.1.1. A hangtér egyenletei Egy forrás által keltett hanghullámok levegőben való terjedését a hangtér egyenletei írják le, megadva kapcsolatot a hangnyomás és a részecskesebesség között a tér egy tetszőleges pontjában. Az egyenletek az alábbi 3

v b h a v a ρ 0, c n Ω a Γ a 2.1. ábra. Akusztikai térszámítási feladat (forrás: [4]) formában írhatók fel az időtartományban [8]: 1 c 2ṗ(x,t) + ρ 0 v(x,t) = 0 (2.1) ρ 0 v a (x,t) + p(x,t) = 0 (2.2) ahol x a vizsgált tér tetszőleges pontja, t az idő, ρ 0 a levegő sűrűsége, c pedig a hangsebesség. A változó feletti pont a idő szerinti deriválás jele. Ha áttérünk Fourier-transzformációval a frekvenciatartományba, a deriválás iω-val való szorzásra egyszerűsödik, az egyenletek a következő alakra írhatók át: iω c ˆp(x,ω) + ρ 0 ˆv(x,ω) = 0 2 (2.3) iωρ 0 ˆv a (x,ω) + ˆp(x,ω) = 0 (2.4) ahol ˆp(x, ω) a hangnyomás komplex csúcsértéke, ˆv(x, ω) pedig a részecskesebesség komplex csúcsértéke. A hangtér frekvenciatartománybeli egyenleteiből felírható a Helmholtzegyenlet: 2ˆp(x,ω) + k 2ˆp(x,ω) = 0 (2.5) ahol k = ω/c az akusztikai hullámszám. Dolgozatban olyan sugárzási problémákkal foglalkozunk, melyekben a rendszer gerjesztése a határoló felület mechanikai rezgése. Amennyiben a határoló felület akusztikai z a impedanciája vagy annak reciproka, a h a admittancia ismert, a peremfeltételeket az alábbi módon fogalmazhatjuk meg: ˆp(x,ω) = z a (x,ω) [v b (x,ω) v a (x,ω)]n(x) x Γ a (2.6) ˆp(x,ω)h a (x,ω) = [v b (x,ω) v a (x,ω)]n(x) x Γ a (2.7) 4

ahol n(x) a térfogat felé mutató normális vektora a Γ a felületnek, ˆv b (x,ω) jelöli a szerkezeti gerjesztés Fourier-transzformáltját, z a (x,ω) és h a (x,ω) pedig a falak akusztikai impedanciájának, illetve admittanciájának frekvencia függő értékei. A (2.6-2.7) egyenletek a szobában kialakuló hangtér és a falak rezgése közti csatolást írják le. 2.1.2. Megoldás zárt szobában, módusok Amennyiben egy zárt szoba válaszát keressük egy forrás által keltett gerjesztésre, a megoldást a hangtér egyenleteinek a Γ a zárt felület által határolt, Ω a zárt térfogaton számított megoldása szolgáltatja. Feltételezzük, hogy a szobában létrejövő hangnyomásnak nincs semmilyen hatása az épület rezgéseire. Ez igaz, amennyiben a levegő sűrűsége sokkal kisebb az épületet alkotó anyag sűrűségénél. 2.2. ábra. A (0, 1, 1)-es módus képe Ha a Helmholtz-egyenletet egy L x L y L z méretű, téglatest alakú teremben, merev falat (v n = 0) leíró peremfeltétel mellett oldjuk meg, akkor a terem Ψ n (x) módusait kapjuk meg [8], [7]: ( ) ( ) ( ) πlxn x πlyn y πlzn z Ψ n (x) = Ψ n (x,y,z) = B n cos cos cos (2.8) L x Ezek háromdimenziós állóhullámot írnak le, az időfüggő e iωt tag nélkül. Ezeket az állóhullámokat hívjuk a terem módusalakjainak, a B n együttható a módus amplitúdója. A módusokat általában az l xn, l yn, l zn számhármassal szokás megadni, amely a három koordinátatengely irányában kialakuló félhullámok számát jelöli. Egy lehetséges módusalakra mutat példát a 2.2. ábra. A módusok frekvenciája, vagyis a terem sajátfrekvenciái az L y L z 5

alábbi módon fejezhetők ki: f lnx l ny l nz = c = c ) 2 ( ) (lnxπx lny πy 2 ( ) 2 lnz πz + + (2.9) 2πk n 2p L x A sajátfrekvencia olyan frekvencia, ahol az adott módusalak gerjesztés nélkül kialakulhat és fennmaradhat. Ezeken a frekvenciákon a teremnek, mint rendszernek az átvitelében kiemelések vannak. A terem gerjesztett válaszában az egyes módusalakok a bármilyen frekvencián kialakulhatnak, a módusok szuperpozíciójaként a teremben kialakuló tetszőleges hangnyomáseloszlás felírható. Az efféle számításoknak felső határt szab az úgynevezett f sch Schröder frekvencia [7]: c 3 T60 f sch = (2.10) 4 ln 10 V Ezen frekvencia felett a módusok száma annyira megszaporodik, hogy nem a terem modális viselkedése dominál, hanem a válasz sokkal inkább közelíthető statisztikusan, nagyfrekvenciás módszerekkel (pl. sugárkövetés). 2.1.3. A spektrális végeselem módszer Akusztikai térszámítási feladatok megoldásának hatékony eszköze a végeselem módszer [11], mely a hangnyomást egyszerű alakfüggvények összegeként írja fel. A spektrális végeselem módszer a módusok összegzésével állítja elő a zárt tér egy tetszőleges pontjában a hangnyomás komplex csúcsértékét. ˆp(x,ω) = L y L z Ψ n (x) ˆQ n (ω) (2.11) n ahol Ψ n (x) a zárt tér egy nyomásmódusa, ˆQn (ω) pedig a módus részesedési tényezője (modális koordinátája) az adott frekvencián. Ez a részesedési tényező fejezi ki azt, hogy adott frekvencián az adott módus milyen mértékben vesz részt a hangnyomáskép kialakításában. A szuperpozícióban a módusokat és azok amplitúdóit úgy választjuk meg, hogy azok eleget tegyenek bizonyos ortogonalitási feltételeknek. A módusokra vonatkozó ortogonalitási feltétel: Ω a Ψ n (x)ψ m (x)dω = δ nm (2.12) 6

ahol δ nm a Kronecker-delta. A módusok térbeli deriváltjaira vonatkozó ortogonalitási feltétel: Ω a Ψ n (x) Ψ m (x)dω = δ nm k n k m (2.13) ahol k n = ω n /c a modális hullámszám. A spektrális végeselem módszer alapegyenlete ezek után a Γ a felület által határolt Ω a térfogaton értelmezett Ψ n p vektortérből származtatható, ha alkalmazzuk a Gauss-tételt: (Ψ n (x) ˆp(x,ω))dΩ = Ψ n (x) ˆp(x,ω)n(x)dΓ (2.14) Ω a Γ a A fenti egyenletek megfelelő behelyettesítésekkel és matematikai átalakításokkal (a levezetés megtalálható a [8, 4] forrásokban) az alábbi alakra hozhatók: k 2 n ˆQ n (ω) + ik m D nm (ω) ˆQ nm (ω) k 2 ˆQn (ω) = ikρ 0 c Ψ n (x)ˆv b (x,ω)n(x)dγ Γ a (2.15) ahol D nm = ha (x)ψ n (x)ψ m (x)dγ Γ a (2.16) a csillapításmátrix, és h a = h a ρ 0 c (2.17) a normalizált akusztikai admittancia. Ezek után a (2.15) egyenlet tömörebb formája: ( Λ + ikd k 2 I ) ˆQ = F (2.18) ahol Q egy oszlopvektor, amely a modális koordinátákat tartalmazza, Λ a merevségmátrix (diagonális mátrix, főátlójában a modális hullámszámok négyzeteit tartalmazza), D a csillapításmátrix és I az egységmátrix. F a gerjesztés vektor, melynek az n-edik eleme a következőképp írható fel: F n (ω) = ikρ 0 c Ψ n (x)ˆv b (x,ω)n(x)dγ (2.19) Γ a A (2.18) egyenlet segítségével meghatározhatóak a modális koordináták, ha ismertek a módusok és a gerjesztés valamint az impedancia peremfeltételek. A modális koordináták és a módusalakok ismeretében pedig a hangnyomás a tér tetszőleges pontjában számítható. 7

F(ξ(θ)) u(ξ(θ)) K F K(ξ(θ)) u(ξ(θ)) F(ξ(θ)) K(ξ(θ)) u(ξ(θ)) 2.3. ábra. A véletlen paraméterű rendszerek három lehetséges értelmezése. 2.2. Véletlen rendszerek modellezése Gyakorlati feladatok megoldása során gyakran előforduló probléma, hogy nincs pontos ismeretünk valamely paraméter értékről, csak statisztikai tulajdonságai alapján (szórás, várható érték) bizonyos korlátok közé tudjuk szorítani. Ilyenkor a determinisztikus rendszerek modellezésére használt eljárások nem alkalmazhatók, új rendszermodellező módszerekre van szükség: a sztochasztikus vagy véletlen paraméterű rendszerekre. A sztochasztikus rendszer fogalmát több módon is értelmezhetjük, az egyes értelmezési módokat a 2.3. ábra szemlélteti. Determinisztikus K rendszerátviteli mátrix és véletlen F(ξ(θ)) gerjesztés esetén az u(ξ(θ)) válasz is véletlenszerű lesz. (felső rendszerábra). Itt ξ(θ) egy valószínűségi változót vagy vektorváltozót jelöl, a véletlenszerűségre a θ véletlen eseménytől való függés utal. Determinisztikus gerjesztés és véletlen rendszerátviteli mátrix esetén a válasz szintén véletlenszerű lesz. (középső ábra) Természetesen véletlen gerjesztés és véletlen rendszerátvitel esetén a válasz ismét csak véletlenszerű lesz. (alsó ábra) Ezek után a sztochasztikus rendszerek modellezésének feladata a következő: Adottak a rendszer K átvitelét és F gerjesztését befolyásoló ξ(θ) véletlen valószínűségi változók statisztikai tulajdonságai (tipikusan a várható érték és a korrelációmátrix). Ismerjük az átviteli mátrix és a gerjesztés 8

függését a véletlen valószínűségi változótól. Ezek után feladatunk meghatározni a rendszer F gerjesztésre adott válaszának, az u(ξ(θ)) valószínűségi vektorváltozónak statisztikai paramétereit. 2.2.1. A Monte Carlo módszer A Monte Carlo módszer [1] olyan, sztochasztikus rendszerek modellezésére használt eljárás, amely a vizsgált rendszer véletlen válaszának mint valószínűségi változónak statisztikai tulajdonságait (várható értékét, szórását) a nyers erő elvén határozza meg. Egy adott rendszer esetén előállítja a rendszert és a gerjesztést befolyásoló ξ(θ) véletlen valószínűségi változó nagy N real számú, különböző ξ(θ i ) realizációját, majd ezekre különkülön megvizsgálja a rendszer viselkedését, vagyis meghatározza a válasz realizációit. Az eredményekből, azok statisztikus kiértékelésével meghatározható a válasz valószínűségi változó várható értéke, szórása, stb... A várható érték statisztikai közelítése például: E {u(ξ(θ))} ū(θ) = 1 N real u(ξ(θ i )) (2.20) N real Az ū(θ) átlagérték egy valószínűségi változó, mely azonos eloszlású valószínűségi változók átlagaként képződik, így a centrális határeloszlás tétel [9] értelmében közel normális eloszlású, szórása pedig az u(ξ(θ)) válasz szórásának N real -ed része. Ez az összefüggés fontos útmutató a Monte Carlo módszerben alkalmazandó realizációszám meghatározásában, de a gyakorlati esetekben u(ξ(θ)) szórása nem ismert, így a kellő elemszám elérését konvergencviavizsgálattal kell ellenőrizni [5]. A módszer a realizációk nagy száma miatt rendkívül számításigényes, ezért az eredmények meghatározása gyakran hosszú ideig tart. Egy valószínűségi modellezéssel megoldandó probléma esetén ezért érdemes megvizsgálni, hogy használható-e másik, kisebb számításigényű módszer a válasz statisztikai tulajdonságainak becslésére. i=1 2.2.2. A perturbáció módszer A perturbáció módszer [5, 10] véletlen rendszerek modellezésére alkalmas módszer, mely abban az esetben alkalmazható előnnyel, ha a rendszeregyenlet a következő implicit alakban adott: K(ξ(θ))u(ξ(θ)) = F(ξ(θ)) (2.21) 9

F(ξ(θ 1 )) K(ξ(θ 1 )) u(ξ(θ 1 )) F(ξ(θ 2 )) K(ξ(θ 2 )) u(ξ(θ 2 )) E {u(ξ(θ))} σ {u(ξ(θ))} F(ξ(θ N )) K(ξ(θ N )) u(ξ(θ N )) 2.4. ábra. A Monte Carlo módszer működése ahol K egy négyzetes mátrix. Az egyszerűség kedvéért feltételeztük, hogy a rendszer átvitele és gerjesztése egyetlen ξ(θ) valószínűségi változótól függ, melynek várható értéke E {ξ(θ)} = 0. Ezt az általánosság feltételezésének csorbítása nélkül megtehetjük, hiszen a valószínűségi változót mi választjuk meg. Feltételezzük továbbá, hogy ξ(θ) második momentuma E {ξ 2 (θ)} = 1. Ez a valószínűségi változó újraskálázásával mindig elérhető. Mivel tudjuk, hogy az F gerjesztés illetve a K átvitel hogyan függ ξ-től, fel tudjuk írni ezek ξ szerinti 0 körüli Taylor-sorát: F(ξ) = F(0) + F ξ(0)ξ + 1 2 F ξξ(0)ξ 2 +... (2.22) K(ξ) = K(0) + K ξ(0)ξ + 1 2 K ξξ(0)ξ 2 +... (2.23) Ezekben az egyenletekben ξ hatványainak együtthatói ismertek. Feltételezzük, hogy a válasz is sorba fejthető ξ szerint 0 körül: u(ξ) = u(0) + u ξ(0)ξ + 1 2 u ξξ(0)ξ 2... (2.24) Itt ξ együtthatói egyelőre ismeretlenek, feladatunk ezek meghatározása. Ha a Taylor-sorokat másodfokú Taylor-polinomokkal közelítjük, akkor a rendszeregyenlet a következőképpen alakul: (K(0) + K ξ(0)ξ + 1 2 K ξξ(0)ξ 2 )(u(0) + u ξ(0)ξ + 1 2 u ξξ(0)ξ 2 ) = F(0) + F ξ(0)ξ + 1 2 F ξξ(0)ξ 2 (2.25) 10

A megoldást ξ hatványai szerint külön végezzük el. 1. A nulladik hatványhoz tartozó egyenlet: 2. Az első hatványhoz tartozó egyenlet: Ezt átrendezve és ξ-vel osztva: K(0)u(0) = F(0) (2.26) K(0)u ξ(0)ξ + K ξ(0)ξu(0) = F ξ(0)ξ (2.27) K(0)u ξ(0) = F ξ(0) K ξ(0)u(0) (2.28) 3. A második hatványhoz tartozó egyenlet: 1 2 K(0)u ξξ(0)ξ 2 ) + K ξ(0)ξu ξ(0)ξ + 1 2 K ξξ(0)ξ 2 u(0) = 1 2 F ξξ(0)ξ 2 (2.29) ami átrendezés és 2/ξ 2 -tel való szorzás után: K(0)u ξξ(0) = F ξξ(0) 2K ξ(0)u ξ(0) K ξξ(0)u(0) (2.30) Az egyenleteket a fenti sorrendben kell megoldani. A megoldás során előállnak az u(0), u ξ (0), u ξξ (0) vektorok. Ezek után kiértékelhető az u(ξ(θ)) Taylor-polinomja tetszőleges ξ érték esetén, vagyis ismert a válasz ξ-től való függésének másodfokú polinomiális közelítése. A válasz várható értéke számítható a nulladfokú és a másodfokú derivált tag és a véletlen változó második momentumából: { E {u(θ)} = E u(0) + u ξ(0)ξ + 1 } 2 u ξξ(0)ξ 2 = u(0) + u ξ(0)e {ξ} + 1 2 u ξξ(0)e { ξ 2} = u(0) + 1 2 u ξξ(0) (2.31) Megfigyelhető, hogy a megoldás átlaga eltér az átlagos paraméterű K(0) rendszer, F(0) átlagos paraméterű gerjesztésre adott u(0) válaszától. Ez az implicit lineáris formában adott rendszerek általános tulajdonsága, annak köszönhető, hogy a mátrixinvertálás nem lineáris művelet. 11

A válasz korrelációmátrixának közelítése a válasz elsőfokú Taylor-polinomjának felhasználásával: R u = E { u(θ)u T (θ) } = E {(u(0) + u ξ(0)ξ)(u(0) + u ξ(0)ξ) } T = u(0)u(0) T + (u(0)u ξ(0) T + u ξ(0)u(0) T )E {ξ} +(u ξ(0)u ξ(0) T )E { ξ 2} = u(0)u(0) T + u ξ(0)u ξ(0) T (2.32) 2.2.3. A módszerek összehasonlítása Látható, hogy a két módszer számításigénye nagymértékben eltér. Míg a Monte Carlo módszer esetén N real számú egyenletrendszer megoldása szükséges a válasz várható értékének számításához, a perturbáció módszer ugyanezt a feladatot 3 egyenletrendszer megoldásával elvégzi. Egy adott probléma megoldása során mindenképp ellenőriznünk kell, hogy a Monte Carlo szimuláció helyett alkalmazható-e a másik, gyorsabb modellező eljárás. A perturbáció módszer csak olyan esetekben ad helyes eredményt, amikor a paramétereket jellemző ξ valószínűségi változó és a rendszer válasza között egyszerű összefüggés van, vagyis jó közelítéssel felírható a válasz ξ-től való függésének alacsony fokszámú polinomiális közelítése. A továbbiakban a módszerek alkalmazását három egyszerű mechanikai példán keresztül illusztráljuk. Az itt kapott eredmények lényegesek lesznek a módszerek akusztikai alkalmazásának szempontjából is. 2.2.4. Egy egyszerű példa Adott a 2.5. ábrán látható egyszerű tömeg-rugó rendszer. A k keménységű rugó egyik vége a merev falhoz van rögzítve, másik fele az m tömeghez kapcsolódik, amelyre egy F determinisztikus erő hat. A rugó keménységét a ξ véletlen valószínűségi változóval jellemezzük, ahol ξ az átlagos rugókeménységtől való véletlenszerű eltérés. k(ξ) = k 0 + k 1 ξ (2.33) Keressük a rendszer válaszát, az m tömeg x elmozdulását. A rendszeregyenlet a következő (az egyszerűség kedvéért az x válasz ξ-től való nyilvánvaló függését nem jelöljük): mx + k(ξ)x = F (2.34) 12

2.5. ábra. Tömeg - rugó rendszer: a keresett válasz a tömeg x elmozdulása. Ez egy másodrendű, lineáris, inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenlet, melynek megoldása az időtartományban körülményes. Áttérve a komplex frekvenciatartományra, a deriválás s-sel való szorzásra egyszerűsödik és előáll egy sokkal könnyebben kezelhető rendszeregyenlet: mxs 2 + k(ξ)x = F (2.35) Kiemelve x-et megkapjuk az implicit rendszeregyenletet: ( ms 2 + k(ξ) ) x = F (2.36) ( ms 2 + k 0 + k 1 ξ ) x = F (2.37) ahol ms 2 + k 0 + k 1 ξ = K a perturbáció módszer leírásánál ismertetett átvitel, x a keresett válasz, F pedig a gerjesztés. Ennek megoldása a fent ismertetett lépések alapján: 1. A nulladfokú hatványhoz tartozó egyenlet: mivel ξ = 0. x(0) = F k 0 + ms 2 (2.38) 2. Az elsőfokú hatványhoz tartozó egyenlet (az átrendezés után): x ξ(0) = k 1 F (k 0 + ms 2 ) 2 (2.39) 3. A másodfokú hatványhoz tartozó egyenlet (átrendezés után): k 2 1 F ξξ(0) = 2 (2.40) (k 0 + ms 2 ) 3 x 13

2.1. táblázat. F m k 0 k 1 f max 1 N 0.5 kg 50 N/m 10 N/m 25Hz Ezek után az elmozdulás másodfokú Taylor-polinomos közelítése: x(0) + x ξ(0)ξ + x ξξ(0)ξ 2 = A válasz várható értéke: E {x(θ)} = E F k 0 + ms 2 + k 1 F (k 0 + ms 2 ) 2ξ + k 2 1 F (k 0 + ms 2 ) 3ξ2 { x(0) + x ξ(0)ξ + 1 2 x ξξ(0)ξ 2 } = x(0) + x ξ(0)e {ξ} + 1 2 x ξξ(0)e { ξ 2} = x(0) + 1 2 x ξξ(0) = F k 0 + ms + k 2 1 F { 2 (k 0 + ms 2 ) 3E ξ 2} (2.41) Esetünkben ξ legyen -0.5 és 0.5 közötti egyenletes eloszlású véletlen valószínűségi változó. Az MCS módszer esetén feladatunk előállítani ξ nagyszámú (pl. 20000) realizációját, majd ezekre mind megoldva a rendszeregyenletet, megkapjuk a tömeg kitérésének eloszlását, illetve az eredményeket átlagolva a várható értékét. Perturbáció módszer esetén meg kell határoznunk a gerjesztés, az átviteli mátrix és a válasz deriváltjait((2.38-2.40 egyenletek), majd azok várható értékéből már számítható a válasz várható értéke a (2.41) képlet szerint. A számításokat a 2.1. táblázatban megadott adatokkal végeztük. A válaszként adódó kitléréseket és a várható érték függvényeket a 2.6. ábra mutatja. Az ábra alapján látható, hogy perturbáció módszer esetén a kitérés spektrumában az f = 1 k0 (2.42) 2π m rezonanciafrekvencián kiemelés van. Ennek a kiemelésnek a mértéke a különböző ξ értékektől függ, a rezonanciafrekvencia minden esetben ugyanaz marad. Az MCS módszer esetén a különböző realizációkhoz különböző rezonanciafrekvenciák tartoznak, mivel a rugómerevség szerepel a rendszer sajátfrekvenciájának a képletében. Ezeket átlagolva az eredeti csúcsos rezonancia a várható érték függvényben ellaposodik. Látható, hogy a két 14

40 kitérés várható értéke[db] 30 20 10 0 10 20 30 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 frekvencia[hz] 2.6. ábra. Tömeg - rugó rendszer: véletlen rugómerevség esetén a tömeg kitérésének realizációi (zöld), a perturbáció módszer által szolgáltatott várható érték (kék), a MCS által szolgáltatott várható érték (piros) módszer által meghatározott várható értékek között jelentős különbség van. Ez annak köszönhető, hogy a válasz és a valószínűségi változó közötti összefüggés nem közelíthető alacsony fokszámú polinommal. Ez érthető is, hiszen a rezonanciafrekvencia a rugómerevségtől függ, így az átlagos rendszer rezonanciafrekvenciájának környezetében kiragadott frekvenciaértéken az elmozdulás a rugómerevség nem monoton, gyorsan változó függvénye. Ezért a perturbáció módszer ebben az esetben nem ad helyes eredményt. 2.2.5. Példa 2 Egészítsük ki az előző példát azzal, hogy beiktatunk egy c csillapítót párhuzamosan a rugóval (2.7. ábra). A véletlen valószínűségi változó most is a k rugókeménység, az első példában ismertetett paraméterekkel. A c csillapítás, az m tömeg és az F erő determinisztikus értékek. A rendszert leíró egyenlet a következő: mx + cx + k(ξ)x = F (2.43) Ez szintén egy másodrendű, lineáris, inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenlet, ezért az egyszerűség kedvéért most is áttérünk a komp- 15

2.7. ábra. Tömeg - rugó - csillapító rendszer: a keresett válasz a tömeg x elmozdulása. lex frekvenciatartományba. mxs 2 + cxs + k(ξ)x = F (2.44) kiemelve x-et megkapjuk az implicit alakot: ( ms 2 + cs + k(ξ) ) x = F (2.45) Az MCS módszer esetén feladatunk most előállítani ξ nagyszámú realizációját, majd ezekre mind megoldva a rendszeregyenletet megkapjuk a kitérés eloszlás és a várható értékét. Perturbáció módszer esetén a megoldás során előálló deriváltak: 1. A nulladfokú hatványhoz tartozó egyenlet: mivel ξ = 0. x(0) = F k 0 + cs + ms 2 (2.46) 2. Az elsőfokú hatványhoz tartozó egyenlet (az átrendezés után): x ξ(0) = k 1 F (k 0 + cs + ms 2 ) 2 (2.47) 3. A másodfokú hatványhoz tartozó egyenlet (átrendezés után): A kitérés másodfokú Taylor-polinomos közelítése: k 2 1 F ξξ(0) = 2 (2.48) (k 0 + cs + ms 2 ) 3 x x(0) + x ξ(0)ξ + x ξξ(0)ξ 2 = F k 0 + cs + ms + k 1 F 2 (k 0 + cs + ms 2 ) 2ξ k 2 1 F + (2.49) (k 0 + cs + ms 2 ) 3ξ2 16

kitérés várható értéke[db] 20 25 30 35 40 0.5 1 1.5 2 2.5 frekvencia[hz] 2.8. ábra. Tömeg - rugó - csillapító rendszer: véletlen rugómerevség esetén a tömeg kitérésének realizációi (zöld), a perturbáció módszer által szolgáltatott várható érték (kék), a MCS által szolgáltatott várható érték (piros) F m c k 0 k 1 f max 1 N 0.5 kg 1 Ns/m 50 N/m 10 N/m 25Hz A kitérés várható értéke: E {x(θ)} = E 2.2. táblázat. { x(0) + x ξ(0)ξ + 1 2 x ξξ(0)ξ 2 } = x(0) + x ξ(0)e {ξ} + 1 2 x ξξ(0)e { ξ 2} = x(0) + 1 2 x ξξ(0) = F k 0 + cs + ms + k { 1 2 (k 0 + cs + ms 2 ) 3E ξ 2} (2.50) A számításokat a 2.2 táblázatban látható adatokkal végezve a 2.8. ábrán látható eredményeket kapjuk. A 2.8. ábra alapján látható, hogy a beiktatott csillapítás miatt a rezonanciafrekvencián a várható érték függvények laposabbak lesznek, a kitérések és várható értékük amplitúdója csökken. A két várható érték függvény nem fedi egymást, aminek oka ugyanaz, mint az előző példa esetében: A 17 2 F

válasz és a valószínűségi változó közötti összefüggés a rezonanciafrekvencia környékén most sem közelíthető alacsony fokszámú polinommal. 2.2.6. Példa 3 Legyen most a csillapító c csillapítása a ξ véletlen valószínűségi változó, amely -0.5 és 0.5 között egyenletes eloszlású, az m tömeg, az F erő és a k rugókeménység determinisztikus értékek. Az MCS módszer esetén feladatunk továbbra is előállítani ξ nagyszámú realizációját, majd ezekre mind megoldva a rendszeregyenletet megkapjuk a kitérés eloszlás és a várható értékét. Perturbáció módszer esetén a rendszeregyenlet a következő: mx + c(ξ)x + kx = F (2.51) ahol c(ξ) = c 0 + c 1 ξ (2.52) Áttérve komplex frekvencia tartományba az implicit rendszeregyenlet a következő: (ms 2 + c(ξ)s + k)x = F (2.53) A perturbáció módszer esetén előálló deriváltak: 1. A nulladfokú hatványhoz tartozó egyenlet: mivel ξ = 0. x(0) = F k + c 0 s + ms 2 (2.54) 2. Az elsőfokú hatványhoz tartozó egyenlet (az átrendezés után): x ξ(0) = c 1 sf (k + c 0 s + ms 2 ) 2 (2.55) 3. A másodfokú hatványhoz tartozó egyenlet (átrendezés után): c 2 1 s 2 F ξξ(0) = 2 (2.56) (k + c 0 s + ms 2 ) 3 x A válasz másodfokú Taylor-polinomos közelítése: x(0) + x ξ(0)ξ + x ξξ(0)ξ 2 = F k + c 0 s + ms + c 1 sf 2 (k + c 0 s + ms 2 ) 2ξ + c 2 1 s 2 F (2.57) (k + c 0 s + ms 2 ) 3ξ2 18

2.3. táblázat. A 3. példában használt értékek F m c 0 c 1 k f max 1 N 0.5 kg 1 Ns/m 0.5 Ns/m 50 N/m 25Hz A kitérés várható értéke: E {x(θ)} = E { x(0) + x ξ(0)ξ + 1 2 x ξξ(0)ξ 2 } = x(0) + x ξ(0)e {ξ} + 1 2 x ξξ(0)e { ξ 2} = x(0) + 1 2 x ξξ(0) = F k + c 0 s + ms + c 2 1 s 2 F { 2 (k + c 0 s + ms 2 ) 3E ξ 2} (2.58) A számításokat a 2.3 táblázatban található adatokkal végeztük. A választ, vagyis a kitérés értékeket illetve a kitérés várható értékét a 2.9. ábrán láthatjuk. Megfigyelhető hogy a két módszer által szolgáltatott várható érték görbék fedik egymást, a véletlen valószínűségi változó és a válasz közti összefüggés közelíthető alacsony fokszámú polinommal. Ez érthető, hiszen a csillapítás nagysága az elmozdulásgörbék laposságát vezérli. Az elmozdulás értéke egy adott frekvencián tehát egyszerű, monoton függvénye a csillapításnak, aminek értelmében a perturbáció módszer jól alkalmazható. 2.2.7. Konklúzió Láttuk, hogy a perturbáció módszer segítségével jól meghatározható véletlen csillapítású rezgő rendszerek átvitelének várható értéke. Vegyük észre a 3. példában ismeretett véletlen csillapítású tömeg-rugó-csillapító tendszer és egy véletlen elnyelésű terem közti analógiát. A 2.1.3. fejezetben láttuk, hogy a spektrális végeselem módszer használatakor egy egyszerű geometriájú zárt terembe helyezett forrás hangterének modális koordinátáit a (2.18) szerint számíthatjuk. Ez analóg a (2.53) implicit rendszeregyenlettel, hiszen megtalálható benne a tömegmátrix, a merevségmátrix, a csillapításmátrix, a gerjesztés és a keresett válasz, amely jelen esetben a modális koordináták. Ha feltételezzük tehát, hogy a terem falainak akusztikai impedanciájáról nincs pontos ismeretünk, akkor azt egy véletlen valószínűségi változóval tudjuk csak leírni. Ennek következtében a (2.16) egyenletben megadott D csillapításmátrix is egy véletlen 19

18 kitérés várható értéke[db] 20 22 24 26 28 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 frekvencia[hz] 2.9. ábra. Tömeg - rugó - csillapító rendszer: véletlen csillapítás esetén a tömeg kitérésének realizációi (zöld), a perturbáció módszer által szolgáltatott várható érték (kék), a MCS által szolgáltatott várható érték (piros) valószínűségi változó lesz. Amint az a 3. példából kiderült, egy ilyen véletlen paraméterű rendszer esetén alkalmazható a perturbáció módszer a válasz, vagyis jelen esetben a modális koordináták meghatározására a lassabb és erőforrásigényesebb Monte Carlo módszer helyett. 20

3. fejezet Modellezés A következő fejezet célja, hogy röviden ismertesse a modellezés során átalakított akusztikai térszámító program működését, valamint az átalakításának lépéseit, annak érdekében, hogy kezelni tudjon véletlen bemeneti paramétereket. Az átalakítást kétféle módon végeztük el, a már megismert sztochasztikus rendszermodellezési eljárásoknak Monte Carlo és perturbáció módszer megfelelően. Az eredmények alapján összehasonlíthatjuk a két módszert, és eldönthetjük, hogy egy adott feladat esetén melyik modell használata előnyösebb. 3.1. A spektrális végeselem szoftver A PUTA 1 névre hallgató, Matlabban írt akusztikai modellező szoftver [3] a spektrális végeselem módszernél leírt számításokat végzi el. A program hatékony kisfrekvenciás teremakusztikai tervezésre ad lehetőséget többféle módon is. Ha ismerjük a terem méreteit, a falakat burkoló anyagok admittanciáját és a várható hangforrások elhelyezkedését, a modell segítségével képet kaphatunk a várható hangnyomáseloszlásról, a teremben kialakuló hangképről. Másik, inverz felhasználási lehetőség az, mikor ismeretlen egy terem falainak vagy a falfelületeinek admittanciája, egy akusztikai mérés után azonban rendelkezésünkre áll a terem hangnyomáseloszlása. Ekkor a modellben az ismeretlen admittanciák változtatásával megkaphatunk egy, a mérés eredményéhez nagyon hasonló hangképet, és így becslést adhatunk az ismeretlen admittancia értékekre. Ezek a felhasználási lehetőségek feltételezik, hogy a terem bizonyos jellemzőiről pontos ismerettel rendelkezünk. Abban az esetben, ha nem 1 Peter s Universal Toolbox for Acoustics 21

ismerjük pontosan se a hangképet a teremben, se a burkolatok anyagjellemzőit, a numerikus teremakusztikai modellező eljárások hatékony segítséget nyújthatnak. A szoftvert kiegészítve sztochasztikus rendszermodellezési funkciókkal, egy olyan eszköz kerül a kezünkbe, amellyel kisfrekvencián, az egyszerű geometriájú termekben megbecsülhetjük a hangnyomás várható értékét tetszőleges pontban, ha a terem falainak elnyelése nem ismert pontosan, csak statisztikus jellemzői által (szórás, várható érték) bizonyos korlátok közé szorítható. Ez által egy, a gyakorlati tervezés során is jól alkalmazható programot kapunk. A következő fejezetben részletezett átalakítások megértéséhez feltétlenül szükséges egy rövid ismertető a program által használt függvények működéséről. A program blokksémája a 3.1. ábrán látható. 1. Módusok meghatározása (modes függvény): A terem L i méretei, a hangsebesség és a felső határfrekvencia alapján meghatározza a terem módusalakjait és azok sajátfrekvenciáit. 2. Csillapításmátrix meghatározása (damping függvény): A fal h a admittanciáinak megadása után meghatározza falfelületek z a akusztikai impedanciáját, majd a D csillapítási mátrixot. Az elnyelés lehet térben homogén, négyszögletes területeken belül homogén illetve tetszőleges eloszlású. 3. A gerjesztés meghatározása (excitation függvény): A gerjesztés meghatározása során meg kell adnunk annak pozícióját, valamint hogy milyen jellegű a forrásunk. Lehet felület-, illetve pontforrás, amelyet elhelyezhetünk a falakon vagy a belső térfogatban valahol. A program képes kezelni egyszerre több különböző forrást is. 4. A modális koordináták meghatározása (solve függvény): Meghatározza ˆQ n modális koordinátákat a levegő hullámimpedanciája, a csillapítási mátrix, a frekvenciavektor, és az excitation függvény eredményeként előálló gerjesztési vektor ismeretében. Tehát a solve függvény oldja meg a (2.18) egyenletben bevezetett ( Λ + ikd k 2 I ) ˆQ = F egyenletrendszert. 5. A hangnyomás meghatározása (response függvény): Az x r vevőpontok megadása után a modális koordináták és a módusalakok alapján kiszámolja a hangnyomás komplex csúcsértékét a vevőpontokban a kívánt frekvenciákon. 22

ˆv(x, ω) L x, L y, L z c f max modes Ψ n (x), k n excitation F(ω) damping D solve h a ˆQ n (ω,θ i ) response x r ˆp(x r,ω) 3.1. ábra. A spektrális végeselem módszer működését leíró blokkséma 3.2. PUSZTA Ebben a fejezetben bemutatjuk, hogy a már megismert spektrális végeselem modellező program, mely részeit és hogyan kell átalakítani ahhoz, hogy a támasztott követelményeknek megfeleljen, vagyis az admittanciával mint véletlen valószínűségi változóval képes legyen dolgozni. Az így implementált új programot PUSZTA névre kereszteltük, melyben az Sz a sztochasztikus üzemmódra utal. A megvalósítás során a már megismert két módszerrel, a Monte Carlo és a perturbáció módszerrel fogunk dolgozni. A valóságot jól leíró módon, valószínűségi változónak az α elnyelési tényezőt, illetve az abból a 3.1 képlettel számolható akusztikai admittanciát választjuk. Az erlnyelési tényező gyakran használt anyagjellemző menyiség a teremakusztikában. Értéke a falra merőlegesen beeső síkhullám energiájának és a fal által elnyelt hangenergiának arányát adja meg. A 3.2 23

ábrán láthatjuk, hogy az elnyelési tényező és az akusztzikai admittancia összefüggése közel lineáris. Az egyszerűsítés érdekében az elnyelési tényező térben homogén a felületen. 0.03 0.025 Relatív admittancia[ ] 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 Elnyelési tényezõ[ ] 3.2. ábra. Az akusztikai admittancia függése az elnyelési tényezőtől h a = 1 1 1 α ρ 0 c 1 + 1 α (3.1) 3.2.1. Változtatásra váró függvények A kétféle módszer különböző megvalósítást kíván, de mindkettőben közös, hogy a főprogram függvényhívásai, illetve paramétermeghatározásai, a D csillapítás mátrixot meghatározó damping, a ˆQ n (ω) modális koordinátákat meghatározó solve, valamint a választ, vagyis a hangnyomás ˆp(x, ω) komplex csúcsértékét számító response függvények a változásokban érintett részek. 3.2.2. PUSZTA MCS A Monte Carlo módszert használva, a számításaink pontosságának csupán a realizációk száma szab határt. Így az MCS módszerrel dolgozó programot nyugodtan tekinthetjük a referenciánknak, mellyel megállapíthatjuk a perturbáció módszer használatának jogosságát. 24

x r ˆp(x r,ω,θ i ) ˆv(ω) L x, L y, L z c f max modes Ψ n (x), k n excitation F(ω) damping D d h a ˆQ n (ω,θ i ) response 3.3. ábra. A sztochasztikus rendszermodellezés blokksémája Monte Carlo módszer alkalmazása esetén A referencia szerepért azonban áldozatokat kell hoznunk. Mert igaz bár, hogy a pontosságnak elméleti korlátja nincs, a gyakorlatban azonban komoly problémát okoz a futási idő, melyet a realizációk nagy száma okoz. A realizációk számának megválasztása nem egyszerű feladat, hiszen a túl kevés realizáció hamis eredményhez vezet, míg a kelleténél több realizáció feleslegesen nagy futási idővel jár. Annak a megállapítására, hogy mekkora a szükséges realizációszám, jelen esetben egy igen egyszerű módszert alkalmaztunk. A realizációk számának növelésével a vizsgált értékek, jelen esetben a várható érték és a szórás, egy értékhez, az elméleti eredményhez konvergál. Iterációval megkerestük azt a legkisebb értéket, ahonnan a realizációk számának növelése már nem okozott változást a vizsgált értékekben. A kapott eredményeket a továbbiakban helyesnek fogadjuk el, és a későbbiekben ezekkel hasonlítjuk össze a perturbáció módszerrel kapott eredményeinket. A konkrét programozási feladat a kód megfelelő megváltoztatása 25

ebben az esetben nagyon egyszerű, a függvényeket nem kell módosítani. A változtatás tulajdonképpen abból áll, hogy a realizációk számának megfelelően, a függvények meghívását ciklusba kell szervezni, és minden egyes realizációra lefuttatni. A változások az elnyelési tényező meghatározásánál kezdődnek, ahol az egyszeri számbevitel helyett nagyszámú realizáció vektroba rendezése történik. A következő változás a D csillapításmátrix meghatározását végző damping függvény meghívásánál történik. A csillapításmátrixot meghatározó egyenletben, ha a z a akusztikai impedancia, illetve annak reciproka, a h admittancia a felületen homogén, vagyis nem függ x-től, akkor kiemelhető az integrál elé. D nm = h a (x) Ψ n (x)ψ m (x)dγ (3.2) Γ a Így nagyban leegyszerűsíthetjük a dolgunkat, hiszen a nagyszámú realizáció mellé nem szükséges nagyszámú csillapításmátrix legenerálása és tárolása, hiszen az admittanciával való szorzást a későbbiekben is elvégezhetjük, ezt kihasználva a damping függvény meghívásakor az admittancia értékét egyelőre 1-re állítjuk. Innentől a ˆQ n modális kordináták számításáig nem történik változás. A modális koordináták számításánál egy for ciklust hívunk meg, ahol minden egyes realizációra meghatározzuk a modális koordinátákat a következő módon: először legeneráljuk az éppen aktuális csillapításmátrixot, majd ezt helyettesítjük be a változatlanul hagyott solve függvénybe. E módon megkaptuk a modális koordináták sokaságát minden realizációra, ezt egy háromdimenziós mátrixban tároljuk el. Ennek a háromdimenziós mátrixnak egy-egy síkja jelent egy realizációt. A megoldás meghatározásánál a response függvényt szintén egy for ciklusba foglaljuk, és minden egyes síkra elvégezzük, így megkaptuk a válaszok sokaságát. Látható, hogy a Monte Carlo módszer sok számítással jár, miközben nagy adathalmazokat kell eltárolnunk. Ennek megfelelően futási ideje rendkívül hosszú is lehet. Előnye viszont, hogy egyszerűen lekódolható. 3.2.3. PUSZTA perturbáció módszerrel Mint azt a 2.2. fejezetben említettük, a perturbáció módszer alkalmazhatóságának határt szab, hogy milyen a válasz függése a véletlen valószínűségi változótól. A szimuláció során a modális koordinátákat fogjuk a Taylor-polinomjukkal közelíteni. A későbbiekben meg fogjuk mutatni, hogy ebben az esetben a módszer alkalmazása lehetséges. 26

ˆv(x, ω) L x, L y, L z c f max modes Ψ n (x), k n excitation F(ω) damping D ˆp(x r,ω,θ i ) solve E[q] E[p] σ 2 [ˆq(ω)] σ 2 [p] h a response x r 3.4. ábra. A sztochasztikus rendszermodellezés blokksémája perturbáció módszer alkalmazása esetén A megvalósítást itt is az elnyelési tényezők sokaságának előállításával kezdjük, ennek azonban itt az a célja, hogy numerikusan meghatározzuk a ξ valószínűségi változó E {ξ} várható értékét és E {ξ 2 } második momentumát. Mivel ez egy egyszerű művelet, így a kelleténél jóval nagyobb realizációszámnál is rendkívül gyorsan kiszámolható. Ezt követően a h(ξ) akusztikai admittancia, és annak ξ szerinti első és másodfokú deriváltjainak meghatározása következik a ξ = 0-helyen. A damping függvényt az MCS módszernél megismert okokból az ott ismertetett módon hívjuk meg, és ahhoz hasonlóan a modális koordináták meghatározását végző részig innentől fogva nincs változás. A perturbáció módszernél azonban nem alkalmazunk ciklusokat, hanem két függvényt is módosítunk a számítás elvégzésének érdekében. Először is megfordítjuk a sorrendet, és először a response függvényt hívjuk meg, ennek azonban csökkentjük a funkcióit, mert nem a nyomás komplex csúcsértékét határozza meg, hanem csupán a Ψ n (x) nyomásmódusokat a kiválasztott x pozíciókban. Ezeket bemenetként meg kell ad- 27

nunk a solve függvénynek, mely teljes mértékben főszereplővé lép elő, hiszen meghatározza a ˆQ n modális koordináták, és a ˆp nyomás komplex csúcsértékének várható értékét és szórását. A függvény a frekvenciafelbontásnak megfelelően egy for cikluson belül polinomiális közelítéssel számol várható értéket és korrelációmátrixot, melynek segítségével a szórás számolható. A válaszszámítás hozzáadása ehhez a függvényhez azért volt indokolt, mivel a korrelációmátrixok tárolása feleslegesen megbonyolította volna a feladatot. A (3.3) egyenletben látható, hogy a korrelációmátrix diagonálisában a valószínűségi változó második momentuma található [9], ami behelyettesítve a (3.4) egyenletbe, számolható a szórásnégyzet. A perturbáció módszer tárgyalásánál láthattuk, hogy a (2.32) segítségével számolhatjuk a modális koordináták korrelációmátrixát. A nyomásválasz korrelációmátrixát a a (3.3) egyenlet alapján a (3.5)-ben látható módon számíthatjuk. Mivel ˆp(x,ω) = n Ψ n(x) ˆQ n (ω), és Ψ konstans, ezért a várható érték képzésből kiemelhető, így a (3.6)-ben látható módon megkapjuk a válasz korrelációmátrixát, és abból már számítható a válasz szórása. R ξ = E { ξ(θ)ξ T (θ) } E {ξ1(θ)} 2 E {ξ 1 (θ)ξ 2 (θ)}... E {ξ 1 (θ)ξ n (θ)} E {ξ 2 (θ)ξ 1 (θ)} E {ξ2(θ)} 2... E {ξ 2 (θ)ξ n (θ)} =...... (3.3) E {ξ n (θ)ξ 1 (θ)} E {ξ n (θ)ξ 2 (θ)}... E {ξn(θ)} 2 D {ξ(θ)} 2 = E { ξ 2 (θ) } m 2 ξ (3.4) R p = E { p p T} (3.5) R p = ΨE { Q Q T} Ψ T = ΨR Q Ψ T (3.6) 3.2.4. Módszerek összehasonlítása Megvizsgálva a módszerek adta lehetőségeket, megállapíthatjuk, hogy a perturbáció módszer drasztikusan kisebb futási időket eredményez, mint az MCS módszer. Azonban ahhoz, hogy ezt az előnyt kiélvezhessük, bonyolultabb programkóddal és a megvalósítás előtt komoly megfontolásokkal kell számolnunk. Azonban meg fogjuk mutatni, hogy ebben a konkrét esetben a perturbáció módszer használata lehetséges, sőt ajánlott, hiszen vele egy sokkal rugalmasabban, és könnyebben használható eszközt kapunk. 28

3.1. táblázat. Az I.B.140-es terem méretei Hosszabbik oldal Rövidebbik oldal Magasság 7.66m 5.84m 2.93m 3.2. táblázat. A h a véletlen valószínűségi változó paraméterei E { ha } σ { ha } 3.3. Eredmények 0.0077 0.0045 Vizsgáljuk most meg a a modellezési eljárásokkal kapott eredményeinket. A modell egy valós tanteremről, a BME I épületének I.B.140-es terméről készült, így mérésekkel is igazolhatjuk a modell helyességét (lásd a 4. fejezetet). A terem paraméterei közül a mérete, és felületein az elnyelési tényezőnek az ismerete szükséges. Bár a teremben többféle felület található, az egyszerűbb számítás érdekében homogén elnyelésű felületetként kezeljük a falakat. Véletlen változónak a h a akusztikai admittanciát választjuk, ami könnyedén megfeleltethető az elnyelési tényezőnek, ahogy azt a 3.2. fejezetben láttuk. A modellezés során h a -t pontosabban a h a = ρ 0 ch a relatív admittanciát egyenletes eloszlású véletlen változónak definiáltuk, a 3.2 táblázatban található paraméterek szerint. A számítási elrendezés a 3.5. ábrán látható. Gerjesztésnek egy pontforrást alkalmaztunk, mely a terem egyik sarka közelében helyezkedik el. A nyomásválaszt a terem 9 7-es hálón felvett 63 különböző pontjában számítottuk. Ezek után vizsgáljuk meg a modellezési eredményeinket! A 3.6. ábrán láthatjuk a modális koordinátákat, melyek szemléletesen mutatják, hogy az egyes módusok adott frekvencián mekkora részesedést vállalnak a válasz kialakításában. Látszik, hogy minden egyes modális koordináta felfogható egy egyszerű mechanikai rezgőrendszer válaszaként. A 3.7 ábrán a második modális koordináta csúcsát látjuk kinagyítva. Ábrázoltuk a Monte Carlo módszerrel kapott realizációkat, azok várható értékét és a perturbáci módszer által adott várható érték görbét. Időhiány miatt a Monte Carlo módszert nem tudtuk kellő finomságu frekvenciaskálával futtatni. Megfigyelhetjük azonban, hogy a két várhatóérték görbe együtt fut, tehát a perturbáció módszer alkalmas ebben az esetben a problémamegoldásra. A 3.8 és a 3.9 ábrákon a 21-es számú, vagyis az x = 1.9 m, y = 5.74 m 29

6 5 4 y [m] 3 2 1 0 0 2 4 6 8 x [m] 3.5. ábra. A számítási elrendezés (az IB140 terem felülnézeti képe). Kis pont: vevő, nagy pont: vevő és gerjesztés vevőpontban hogyan alakul a hangnyomáskép, illetve a kritikus pontokon, a módushelyeken hogyan viselkednek a modellező eljárások. Itt is láthatjuk, hogy a két modellező eljárás várható értéke együtt fut, mint ahogyan ugyan ezt figyelhetjük meg a 8-as mérőponthoz (x = 1 m, y = 0.2 m) tartozó azonos jellegű a 3.10 és a 3.11 ábrákon is. Ezek után bátran kijelenthetjük, hogy adott modellezési körülmények között a perturbáció módszer maradéktalanul alkalmazható. A gyakorlati tapasztalatok azt mutatják, hogy azonos feltételek mellett a Monte Carlo szimulációnak több órányi a futásideje, míg a perturbáció módszerét alkalmazó eljárás egy-két perc alatt a Monte-Carlo szimulációnál nagyobb frekvenciafelbontásban képes ugyanazt az eredményt szolgáltatni. A következőkben azt vizsgáljuk, hogy ez a modellező eljárás mennyire fedi a valóságot, vagyis mennyire alkalmazható a gyakorlatban. 30

80 70 60 50 Amplitúdó[dB] 40 30 20 10 0 10 20 0 20 40 60 80 100 120 140 Frekvencia[Hz] 3.6. ábra. Az első pár modális koordináta képe. 76 75 74 73 Amplitúdó[Hz] 72 71 70 69 68 67 22 22.2 22.4 22.6 22.8 23 Frekvencia[Hz] 3.7. ábra. A második módushoz tartozó modális koordináta csúcsa. Piros: perturbáció módszerrel a várható érték, kék: Monte Carlo módszerrel a várható érték, zöld: realizációk. 31