MSc Fzka godéza és gravmtra / 1. BMEEOAFML01 VONATKOZTATÁSI RENDSZER PARAMÉTEREINEK MEGHATÁROZÁSA g MÉRÉSEK ALAPJÁN. Godéza vonatkoztatás rndszrnk (Godtc Rfrnc Systm = GRS) a godéza földmodllt matmatkalag mghatározó mnnységk (paramétrk) (mnt, pl. a vonatkoztatás flült a mért, f lapultsága, a Föld tömgét jllmző km gocntrkus gravtácós állandó, a Föld ω forgás szögsbsség, stb.) számszrű értéksorát nvzzük. Mghatározása gomtra és fzka jllgű mérés rdményk gyütts fldolgozásával lhtségs Korlátozódjunk a nhézség rőtér pontncál gömbfüggvény-sornak csak az lső néhány tagjára. A lggyszrűbb st a k = 0 értékhz tartozó központos (cntráls) rőtér lnn, d z még túl durva közlítés a föld szntflültk alakjára, zért a gyakorlatban lfogadott lggyszrűbb stbn k = -g összgzzük a sor tagjat. Így jutunk a Claraut által lvzttt, és róla lnvztt Claraut-fél szntszfrodokra. Ezk km a 1 U = 1 J P ( snψ ) + ω r cos ψ = állandó (1) r r gynltébn az U normálpotncál függvénynk a 0. és a. fokú gömbfüggvény tagja szrpl. Jó közlítéssl, nnk r szrnt parcáls dffrncálhányadosa abszolút értékként kapjuk mg az U potncálfüggvényhz tartozó normál nhézség rőtér térrősségét a U km a = 1 J P snψ ω r cos ψ. () r r r gömbfüggvénysor alakban. Írjuk fl az (1) és a () összfüggéskt az gynlítőn ( ψ = 0, r = a, = ) és a pólusokon ( ψ = 90, r = b, = p ): km 1 1 = + U 1 J + ω a a km a U = 1 J b b km = + 1 J ω a a km a = 1 J p b b amlybn a b = a ( 1 f ) hlyttsítéssl a normál nhézség rőtrt mghatározó összsn 8 mnnység 1
( U,,, km, J, a, f és ω) p szrpl. Itt f a szntszfrod f = ( a b) / a gomtra lapultsága. Fjzzük k az lső három gynltből km-t, U-t és J -t, és írjuk b zk kfjzését a ngydkb, amt végül oldjunk mg f-r. Így az 5 ω a p f = () nvzts alakra, a szntszfrodok Claraut-fél összfüggésér jutunk. Ennk jlntőség abban van, hogy lhtőségt nyújt valamly szntszfrod f gomtra lapultságának mghatározására az ω forgás szögsbsség és a szfrod a gynlítő félátmérőjénk smrtébn, a normál nhézség térrősség p sark és gynlítő érték, vagys fzka jllgű mnnységk alapján. A () jobb oldal lső tagjában az gynlítő cntrfugáls és nhézség térrősség arányát szokás m-ml és a másodk tagot pdg β-val jlöln. Ez utóbb p β = (4) arányszámot nhézség lapultságnak nvzzük. Itt jgyzzük mg, hogy használjuk még a potncál gömbfüggvény-sora.- fokú, nullarndű C A J = (5) Ma gyütthatójára a sztatka lapultság, és thttlnség nyomatékok C A (6) C arányszámára a dnamka lapultság lnvzéskt s. Flhasználásukkal a szntszfrodok néhány összfüggés (az f gomtra lapultság 10 nagyságrndjég és a ψ ϕ közlítéssl) a normál nhézség térrősség a szntszfrod flszínén a ϕ földrajz szélsség függvényébn: = (1 + β sn ϕ +...), (7) ahol a nhézség lapultság p β = = J + m +... ; (8) a szfrod hlyvktor hossza r = a (1 f sn ϕ +...), (9) ahol a b m f = = J + +... (10) a a szntszfrod gomtra lapultsága.
Végül a szntszfrodokra flírható az 5 ω a p f = U = km a km = a (1 1+ = 5 f + f m + +... m + m +...) három alapösszfüggés a bnn szrplő hét mghatározó mnnység km, U,, ; a, f és ω) ( p β, (11) között. Így 4 knduló mnnység smrtébn a földmodll fnnmaradó tovább jllmzőj a (11) három összfüggés flhasználásával kszámítható. A 4 knduló mnnység közül az 6 1 ω = 7,9116 10 5 sc és az a = 67845 10 m flvétl kéznfkvő, hszn pl. a Föld forgás szögsbsségét csllagászat méréskből nagyon pontosan smrjük. Ugyanakkor vgyük észr, hogy a () Claraut-fél összfüggésbn ugyanazok a és β smrtlnk szrplnk, mnt a normál nhézség gyorsulás (7) képltébn! Így az f lapultság mghatározására vonatkozó fladatunkat vsszavzthtjük a g normálképlt gyütthatónak mghatározására. Ennk mgfllőn, ha lgndő számú φ földrajz szélsségű pontban smrjük a g nhézség gyorsulás méréskkl mghatározott és a szfrod flszínér rdukált értékét, akkor a (7) összfüggést közvtítő gynltként alkalmazva a és a β a lgksbb négyztk alaplvénk flhasználásával mghatározhatók. Ennél a számításnál fontos alapkövtlmény hogy a kgynlítésb bvont g értékk n tartalmazzanak szabályos hbát, zért ha a földflszínn különböző tngrsznt fltt h magasságokban mértük a g értékkt, akkor zkt át kll számítanunk (rdukáln kll) a szntszfrod flültér. A szntszfrod fltt magasságokat vszont nm smrjük, zért hlytt csak az zt jól közlítő tngrszntr tudjuk átszámítan a mérésnkt. A g értékk átszámítása lőtt vszont tsztáznunk kll, hogy mt s értünk h magasságban a trpszntn mghatározott g érték tngrsznt mgfllőjén. Ezzl kapcsolatosan két flfogás létzk: 1.) A g tngrsznt mgfllőjén azt az értékt értjük, amlyt a fzka földflszín alatt, a tömgk blsjébn a tngrszntg nyúló kút alján mérnénk mközbn mndn tömg az rdt hlyztébn maradna..) A g tngrsznt mgfllőjén azt a g értékt képzljük, amlyt úgy mérnénk, hogy a tngrsznt fltt tömgkt ltávolítanánk (dózrokkal ltünttnénk). Az lső lgondolásnak mgfllő átszámítás során három lépésbn jutunk rdményr: lőször Bougur-rdukcóval ltávolítjuk a tömgkt a földflszín és a tngrsznt között, zt kövtőn Fay-rdukcóval lvsszük a pontot a tngrszntr, majd gy harmadk lépésbn smét Bougur rdukcót alkalmazva vsszaállítjuk a tömgkt az rdt hlyztükb: g P' = gp δ gb + δgf δgb = gp δg B + δgf. (1)
A másodk lgondolás szrnt átszámítás során csak az lőző két lépést kll lvégznünk, thát gy Bougur és gy Fay-rdukcót kll számítanunk: g P' = gp δ gb + δgf. (1) Az 1. lképzlés hbája, hogy a mghatározandó flültn kívül nm lhtnk tömgk (a god flült mtszht bl a tömgkb), z a Laplac-gynlt mgoldásánál alapfltvés volt, d a másodk flfogás szrnt rdukcó sm jó, mrt z vszont ltüntt a god fltt tömgkt, így mghamsítja a Föld össztömgét. A Bougur rdukcó: 6 δ = kπρh = 0.0419 ρ h[m] 10 [10 m/s ], (14) g B A Fay-rdukcó: 6 δ = 0.086 h[m] 10 [10 m/s ], (15) g F A (1) szrnt rdukcó ρ = 670kg/m átlagos földkérg sűrűség stén a (14) és a (15) összvonásával: gp' = gp + 0. 1967 h. (16) Ezkkl a rdukált g értékkkl már végrhajtható a kgynlítés (bár még zk s tartalmaznak ks szabályos hbát, mvl nm a szfrodra, hanm a tngrszntr rdukáltunk). A közvtítő gynltk: = g p + v = ( 1+ β sn ϕ ). (17) Előzts értékkt vszünk fl: = 0 + δ 0 = 9. 7800 β = β 0 + δβ β 0 = 0. 00500 A közvtítő gynltkt a lnarzálás céljából sorbafjtjük: = ( ) 0 + δ + δβ, β (18) bből: g + v = ( β ϕ ) ( β ϕ ) δ ( ϕ )δβ 0 1+ 0 sn + 1+ 0 sn + 0 sn. (19) ( ) 0 a b A javítás gynltk: v = aδ + bδβ + l. (0) A mgoldás: δ 1 = x = ( A A) A l 0, β f. (1) δβ 4
Mntaszámítás: FI() h() g() [fok-p-mp] [m] [m/s^] 66-9-54.0 88.0 9.8600 59-46-18.0 75.0 9.818990 54-59-06.0 79.0 9.814780 49-00-4.0 114.0 9.809560 45-8-4.0 116.0 9.805640 4-46-48.0 48.0 9.805010 5-5-48.0 0.0 9.798870 9-51-0.0 115.0 9.79950 7-8-00.0 15.0 9.791710 1-01-4.0 11.0 9.786860 15-6-0.0 81.0 9.78060 06-56-00.0 7.0 9.78140 a = 67845.000 [m] OMEGA =.79116E-04 [1/s] GAMMA0 = 9.7800 [m/s^] BETA0 =.00500 rd. g() A() B() L() 9.8771 1.00445718 8.501607.00011968 9.819175 1.0095667 7.0190 -.0001400018 9.814954 1.0055505 6.56074.000141951 9.809784 1.0001988 5.576991.00005107 9.805868 1.006944 4.97179679.000784906 9.8051044 1.005718 4.68196069.000010115 9.7988700 1.0018056.595447 -.000764851 9.79176 1.001167.44164 -.00008004 9.791795 1.0011750.08061607 -.000410998 9.7868816 1.0006811 1.587660.000089754 9.788094 1.000868 0.7080750.0004590 9.78158 1.000077 0.1451815 -.0009884 A*A MATRIX: A*L VEKTOR: 1.051780 47.4049519 -.00011099 47.4049519 65.909740.001814948 AZ ISMERETLENEK: d GAMMA =.000149949478 d BETA = -.000065000 A VONATKOZASI RENDSZER PARAMETEREI: a = 67845.000 [m] OMEGA =.79116E-04 [1/s] GAMMA = 9.780450 [m/s^] BETA =.0056650 f =.0040060 1/f = 9.85 km =.986040E+15 [m^/s^] M =.5974E+5 [kg] U =.66744E+08 [m^/s^] 5