Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta stb A turm-módszerrel, számos le úgmod az algebra, mérta, trgoometra, és aalízs határá elhelezed feladat, elem eszözöel oldható meg A módszert fleg változót tartalmazó, szmmetrus fejezése eseté alalmazhatju, amor az smeretlee valamle ötése vag feltétele tesze eleget A módszer léege rövde: álladó összeg (vag szorzat) mellett, valamel étváltozós fejezés változását övetjü, mözbe a változóat úg özelítjü egmáshoz, hog az összegü (lletve a szorzatu) álladó maradjo A változáso megfgelésébl, meghatározva az eg változó értéét, újraezdjü az eljárást, de ezúttal változó eseté Véges le lépés utá, az eljárásu véget ér A módszer léegét a övetez feladato segítségével jobba megérthetjü A módszer ezdetét a övetez ét feladat jelet Alalmazás: Ha, R és álladó, aor a P(, ) szorzat: a) övesz, ha az ülöbség csöe, b) csöe, ha az ülöbség övesz Bzoítás: Nlvá feltehet, hog, eor létez ola e 0 amelre e Íg az e és eszámo özelebb vaa egmáshoz, mt az és számo, az e e elredezés matt Mvel e, mdeéppe e () Eor P( e, e) P(, ) e( e) 0, és ezért az a) állítás gaz Az e és e számo ílvá távolabb vaa egmástól, mt az és számo Az e e elredezés matt, hsze 0, mégább e () Eor felírható, hog P ( e, e) P (, ) e ( e) 0, és ezért a b) állítás s gaz Alalmazás: Ha, R és P, aor az (, ) összeg: a) csöe, ha az ülöbség csöe, b) övesz, ha az ülöbség övesz Bzoítás: Nlvá feltehet, hog 0, eor létez ola amelre Íg a és számo özelebb vaa egmáshoz, mt az és számo, a 0 elredezés matt Mvel, ezért mdeéppe () Eor, (, ) ( ) 0, ezért az a) állítás gaz A b) állítás bzoítása s hasoló, ott ellebe a (0,) feltételt ell fgelembe ve A továbbaba terjesszü az el tulajdoságoat a lasszus számta- és mérta özepe özött egeltleség bzoítására
Alalmazás: Ha mde eseté,,, R, aor feáll az egeltleség Bzoítás: Feltételezzü, hog 0, és lege P(,,, ), valamt, bármel eseté Rögzítsü az,,, értéeet, és az, változó marad Tehát ( ) álladó Az Alalmazás alapjá, ha az ülöbség csöe, aor a P(,,, ) szorzat övesz De, ezért az ülöbség aor csöe a legtöbbet, ha éppe Tehát P(,,, ) P,,, () ( ) Továbbá Az elbbe mtájára rögzítsü az, 5,, számoat, az, pedg lege változó Tehát az ( ) ( 5 ) álladó Továbbá az csöeése, a P(,,, ) szorzat öveedését déz ( el De ) : ( ), íg az ele alapjá azt apju, hog P,,, P,,,, () Köe belátható, hog ha tovább foltatju az eljárást, aor végül s P(,,, ) P,,, adód, am éppe a bzoítadó egeltleséget jelet Megjegzése: A bzoítottaból megállapítható, hog: ) Ha az összeg álladó, aor a P(,,, ) szorzat aor a legagobb, ha ) Ha az P szorzat álladó, aor az (,,, ) összeg aor a legsebb, ha Alalmazás: Ha,,, 0 és, aor s s Bzoítás: A szmmetra matt feltételezhet, hog 0 () Rögzítsü az,,, értéeet, íg álladó (), ahol Lege továbbá E(,,, ) s Közelítsü az, értéeet úg, hog az összegü maradjo Két le érté tehát e és e, ahol 0 e Eor E ( e, e,,, ) E (,,, ) cos( e ) cos( ) s () De 0 e, ezért cos( e) cos( ), tehát a () sorába lev ülöbség poztív Tehát, ha csöe, és álladó, aor E(,,, ) övesz Az () és alapjá, (elleez esetbe lee) Tehát a () feltétellel, az távolság a legsebb, ha Íg E(,,, ) E,,, Most az, ( )
és (álladó) feltétel mellett megsmételjü az eljárást és hasolóa apju, hog E(,,, ) E,,,, Még (-)-szer megsmételve az eljárást, végül s a lácszabál alapjá azt apju, hog E(,,, ) E,,, s vags éppe amt bzoíta aartu 5 Alalmazás: Ha,,, 0 és, aor ( ) ( ) Bzoítás: Feltételezzü, hog 0 () Rögzítsü az,,, értéeet, íg P () álladó, ahol P : ( ) Lege E(,,, ) ( ), > és Eor özelebb va az számhoz, mt az az -höz, és Tehát felírható, hog: E(,,,, ) E(,,, ) ( ) ( ) 0 Tehát, ha az, értéeet úg özelítjü egmáshoz, hog a szorzatu P álladó marad, az E(,,, ) fejezés csöe Az és az () alapjá bztosa gaz, hog Tehát az ülöbség a legsebb, ha, íg E(,,, ) E(,,, ) Az eljárás smételt alalmazásával, a lácszabál alapjá azt apju, hog E (,,, ) E (,,, ) Ezzel tulajdoéppe a egeltleséget ( ) gazoltu A továbbaba, bzoos megszorításoal szorzato legsebb, vag összege legagobb értéét vzsgálju 6 Alalmazás: Ha z,, 0, és z, határozzu meg az (,, z) z összeg mamumát Megoldás: Feltételezzü, hog 0 z Rögzítsü a z értéét és, maradjo változó Eor z álladó Ha az ülöbség övesz, aor az z (,, ) összeg csöe Az ülöbség aál agobb, mél sebb az értée Mvel, ezért a z legsebb elérhet érté Íg z (,, ), z, z Ezúttal most z, és a z ülöbség öveedésével az z összeg csöe Mvel, ezért a z legsebb elérhet érté De eor az z alapjá z, tehát (,, z ),, Alalmazás: Ha z,, 0 és z, aor z z z Bzoítás: A feladatot átírva azt apju, hog:
z z z z Ha most alalmazzu az,, z értéere a számta és a harmous özepe özött egeltleséget, aor z z vags Íg ha z z,, 0 és z, eleged bzoíta, hog: E(,, z) z z z (*) Feltételezzü, hog 0 z (), és rögzítsü a z értéét Tehát z (álladó) () Közelítsü az < értéeet egmáshoz úg, hog özbe az összeg változatla maradjo Eor tehát E( e, e, z) E(,, z) e( e) z (**), ahol 0 e Ee alapjá: ) Ha z, a (**) ülöbség poztív, íg Ez (,, ) aor övesz, ha az és az özeled egmáshoz Az z és () matt, a () alapjá az legözelebb va az -hoz, ha Tehát Ez (,, ) E, z,, ahol z és z Hasolóa :, íg az a legözelebb áll a z-hez, ha, ezért z Tehát E,, ze,, ) Ha z, aor a (**) ülöbség egatív, íg Ezaor (,, ) övesz, ha -et és -t távolítju egmástól, persze + = -z álladó marad Az () és () matt az =0, az -tól a legtávolabb értéet adja Íg (,, ) 0,, E z E z z, ahol z és z Most az -t és a z -t özelíteü ell egmáshoz De matt a legözelebb érté a z-hez, az, ahoa z Tehát E0,, z E 0,, Eze szert Ez (,, ) mamáls, ha z vag 0, z és a szmmetra matt, ee a crulárs permutácó 8 Alalmazás: Ha uvw,, 0, 6 és uvw, határozzu meg az E( u, v, w) ( u)( v)( w) fejezés legsebb értéét Megoldás: Feltételezzü, hog 0 u v w () Rögzítsü a w -t, 6 legeu v, mözbe uv w álladó () Közelítsü egmáshoz az u -t és a v -t úg, hog az összegü maradjo álladó Eor felírható, hog E( ue, ve, w) E( u, v, w) e( w) vue 0 am azt jelet, hog Euvw (,, ) övesz, íg a mmum meghatározásáál ez em segít Távolítsu hát az u -t és a v-t úg, hog az összegü maradjo álladó Eor az uv w és () feltétele mellett a v- l a legtávolabbra es u érté em 0, hsze u= 0 eseté v+ w= lee, ahoa w lee, am elletmod a w 6 feltétele Mvel u vw, 6 6 ezért u, íg u a megfelel Eor 8 8 Euvw (,, ) E, vw, 8, v w és 8 vw () Tovább csöetés 8 8
végett a w és v özött távolságot smét övel ell Mvel v w v, ezért v a 8 6 6 6 legözelebb v érté a w-hez, és a () alapjá w Tehát 6 E, v, w E,, 8 8 6 6 8 6 Eze szert Euvw (,, ) aor a legsebb, ha u, v w és ee a crulárs 8 6 permutácó A módszer jobb elmélítése végett, az érdel Olvasóa a övetez feladato megoldását javasolju: ) Ha,,, 0, és aor ( ) ) Ha,,, 0, és ( ) ) Ha,,, 0, és aor ) Ha,,, 0,,, aor,, aor ( ) 5),,,, és Amebe,,, 0,, aor az egeltleség fordított ráú 6) Ha,,, 0 és, aor, aor ) Ha z,, 0 és z, aor 5( z ) 8z 8) Ha z,, 0 és z, aor 0 z z z ) Ha z,,, 6 és z, határozzu meg az F(,, z) z fejezés legsebb értéét Forrásaag: [] Mrcea Gaga: Teme s probleme de matematca, Edtura Tehca, Bucurest- (- oldal) [] L Paatopol és társa: Egeltlesége (magarra fordította Adrás zlárd), Gl Kövadó, Zlah, 6 5