Geometriai fázisfaktorok a kvantumszámításban

Geometriai fázisfaktorok a kvantumszámításban Szalay Szilárd konzulens: Dr. Lévay Péter 2007. június 5.

Kivonat Napjaink kutatásának közkedvelt témája a kvantumszámítógépek zikai megvalósítása. Egy kvantumrendszer id felj dése során fellép topológiai és geometriai hatások a holonómiák kiválóan alkalmasak arra, hogy általuk a rendszer állapotán kvantumszámítási m veleteket hajtsunk végre. E dolgozatban áttekintjük a szükséges elméleti hátteret, továbbá bemutatunk néhány ezzel kapcsolatos számítást: fázistoló kaput valósítunk meg kvantumholonómia segítségével, valamint kevertállapotú két-fermion rendszeren fellép holonómiák számítására teszünk el készületeket.

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 3 2. A holonómia 4 2.1. Egy példa: Foucault ingája........................... 4 2.2. A topológiai struktúrák............................. 6 2.2.1. Nyaláb................................... 6 2.2.2. Konnekció és holonómia......................... 9 3. Kvantummechanikai áttekintés 11 3.1. Axiomatikus elméletek a zikában....................... 11 3.2. A Kvantummechanika axiómái.......................... 12 3.2.1. Állapot.................................. 12 3.2.2. Dinamikai változók............................ 12 3.2.3. Összetett rendszerek........................... 13 3.2.4. Mérés................................... 16 3.2.5. Id fejl dés................................. 18 4. Kvantumszámítógépek 21 4.1. Az információ tárolása.............................. 21 4.2. A q-bit....................................... 22 4.3. Kvantum-kapuk.................................. 23 4.4. Holonomikus kvantumszámítógép........................ 24 5. Tiszta állapotok holonómiája 25 5.1. Berry-fázis..................................... 25 5.1.1. Adiabatikus közelítés........................... 25 5.1.2. Következmények Abeli esetben..................... 26 5.1.3. Következmények nem-abeli esetben.................. 29 5.2. Nem-Abeli Berry-fázis alkalmazása: 1-qubit kapu............... 33 5.2.1. A Hamiltoni................................ 33 5.2.2. A Hamiltoni vizsgálata.......................... 34 5.2.3. A görbületi egy-forma kiszámítása................... 36 5.2.4. A Berry-fázis kiszámítása........................ 37 5.3. Aharonov-Anandan fázis............................. 43 5.3.1. A ciklikus evolúció............................ 43 5.3.2. Következmények............................. 45 5.3.3. Paralell-transzport............................ 47 5.3.4. Fubini-Study metrika........................... 47 1

TARTALOMJEGYZÉK 2 5.3.5. Általánosítás............................... 48 6. Kevert állapotok holonómiája 50 6.1. A Hilbert-Schmidt nyaláb............................ 50 6.2. Konnekció..................................... 51 6.3. Számítások két-fermion-rendszerre....................... 53 7. Összefoglalás, további tervek 55

1. fejezet Bevezetés Az elméleti zikai kutatások célja jóval mélyebb, mint a mérési adatok közötti összefüggések megállapítása. Bízhatunk benne, hogy egy-egy természeti alaptörvény megsejtésével a mérési eredményekre való el rejelzésnél, vagy az eredmények felhasználásának lehet ségénél valami sokkal értékesebb ismeret jut birtokunkba. Ez az, ami a törvények matematikai struktúrájának vizsgálatát is motiválja. Ennek során pedig rendkívül hasznos a topológia keretében kifejlesztett eszköztár nem csak a kvantummechanika, általános relativitáselmélet alaptörvényei, hanem a klasszikus, hamiltoni mechanika tanulmányozásakor is. E dolgozatban a holonomikus kvantumszámítógép konstrukcióját szeretnénk egy kissé körbejárni. A kvantumszámítógép kvantummechanikai alap-számítások egy izgalmas gyakorlati alkalmazása, mely sokféleképpen valósítható meg. A holonómiák segítségülhívásával a környezeti dekoherenciákra kevéssé érzékeny, robosztus megvalósítást kapunk. Ennek érdekében el ször bevezetjük a holonómiákat nyalábokon, áttekintünk kvantummechanikai alapfogalmakat, különös gyelemmel a kevert állapotokra, hogy a továbbiakban mind egyrészecske állapotok, mind kétrészecske kevert állapotok holonómiáit vehessük szemügyre. 3

2. fejezet A holonómia E dolgozat elméleti alapját az (an)holonómia fogalma adja. Ez egy geometriai jelenség, mely során egy rendszer paramétereit ciklikusan változtatva a hozzájuk csatolt változók nem térnek vissza eredeti állapotukba. Az eredeti állapottól való eltérés a holonómiatranszformáció függ a paraméterekkel bejárt görbe alakjától, így a változás hatása nem integrálható. A természetben számos jelenség mögött megbújó geometriai gyöker struktúráról van szó, melynek vizsgálata mély összefüggéseket tárhat fel, új jelenségekre mutathat rá, és alternatív néz pontot szolgáltathat más néz pontból már megértett jelenségek tárgyalásánál. 2.1. Egy példa: Foucault ingája Mindenki által ismert Foucault híres ingakísérlete, mellyel a Föld forgása mutatható ki csillagászati eszközök nélkül, pusztán az egyenletesen forgó vonatkoztatási rendszerben fellép tehetetlenségi er k hatására hagyatkozva. Egy inerciarendszerben az inga lengési síkja változatlan maradna, a forgó Földön a φ szélességi körön viszont a Föld ω szögsebességvektora függ leges irányú vetületének nagyságával, vagyis ω 1 = ω sin φ szögsebességgel fordul el. Felírható eszerint az egy nap alatti elfordulás: ϕ = 2π sin φ (2.1) mely az északi póluson egy teljes, 2π-s elfordulást, Magyarországon φ = π/4-gyel becsülve 2π-s elfordulást ad eredményül, míg az egyenlít n nem észlelünk változást. Az ingakísérlet szokásos tárgyalása a tehetetlenségi er k néz pontjából történik. Mi most vegyük szemügyre a jelenség geometriáját! Nézzünk úgy a problémára, mintha egy gömb felületén akarnánk párhuzamosan eltolni az inga lengési síkját reprezentáló vektort! Motiváljon ebben az, hogy így a tehetetlenségi mozgást tulajdonképpen a párhuzamos eltolással azonosítjuk, a fellép tehetetlenségi er knek geometriai interpretációt adunk. Ez az alapgondolat kés bb nagyon termékenynek bizonyult Einstein általános relativitáselméletében. Vezessünk be néhány jelölést! (2.1 ábra) A Föld legyen egy egységnyi sugarú gömb, a középpontjából a felszínére mutató vektor legyen r, és egy erre mer leges egységvektor legyen e. A gömbön vegyünk egy zárt görbét, melyet t-vel parametrizálunk: r(t), és r(0) = r(t ). Ekkor fenn kell állnia az egész görbén: r(t) e(t) = 0 (2.2) 4

2. FEJEZET. A HOLONÓMIA 5 2.1. ábra. A Foucault inga síkjának változása, görbementi párhuzamos eltolás és egy konkrét út után fellép változás. A párhuzamos eltolás szabálya ebben az esetben nagyon szemléletes lesz: az e vektor lokálisan nem fordulhat el r körül, vagyis: ω r = 0 (2.3) ahol ω vektor az e pillanatnyi forgástengely irányába mutató szögsebessége: d e = ω e. (Az id függést nem jelötük.) Célunk a fenti (2.3) szabály felírása a görbe segítségével. Ehhez írjuk fel ω vektort a görbe kísér -triéderében: ahol a = 0 fejezi ki a párhuzamos eltolás feltételét. Ekkor ω = a r + bd r + c( r d r) (2.4) d e = b(d r e) + c( r d r) e = b(d r e) c( e d r) r (2.5) a kétszeres vektoriális szorzat kifejtése és (2.2) miatt. Belátható, hogy d r = ω r, ebbe ω-t beírva a (1 c)d r = b(d r r) vektoregyenletet kapjuk, melynek egyedüli megoldása b = 0, c = 1. Tehát ω = r d r, (2.6) és (2.5) a következ alakot ölti: d e = ( e d r) r. (2.7) Ekkor kihasználva (2.3) id deriválásából adódó r d e = e d r egyenletet, végül a következ alakban kapjuk meg a párhuzamos eltolás feltételét: (I r r)d e = 0, (2.8) ami szemléletesen mutatja, hogy e megváltozásának nem lehet a mindenkori r-re mer leges komponense. Egy általános zárt görbe mentén haladva egy vektorral úgy, hogy közben lokálisan betartjuk a párhuzamos eltolás szabályát, a kezd pontba visszaérve végül globálisan tapasztalni fogunk egy elfordulást a kiindulási irányhoz képest. Ennek nagysága függ a bejárt görbét l. A Foucault inga nagyon speciális görbéket jár be: szélességi köröket. A lengési síkja eközben paralell-transzlált, ellentétben az ingát körülvev szoba tengelyeivel, ezért tapasztaljuk a folyamatos elfordulását.

2. FEJEZET. A HOLONÓMIA 6 2.2. A topológiai struktúrák Ebben a fejezetben rövid áttekintést adunk a felhasznált topológiai struktúrákról, melyek között csupán a nyalábokra adunk b vebb bevezetést. Nem célunk a részletek precíz tisztázása, csupán a kés bbiek alapjául szolgáló fogalmakat szeretnénk bemutatni részint terjedelmi korlátok miatt, részint azért, mert a téma szerteágazó, és további tanulmányozást kíván. A kvantumrendszerek geometriai vonatkozásairól szóló áttekint munka [1]. A nyalábok, a rajtuk megadható konnekciók és holonómiák részletes bevezetését lásd [3]-ban. A nyalábot dierenciálható sokaságokkal fogjuk bevezetni. A zikában els sorban ilyen nyalábok kerülnek szóba, de lehet ség van általánosabb topologikus terekkel való bevezetésre is, lásd [2]-ben. 2.2.1. Nyaláb Általánosan a nyaláb egy olyan topologikus tér, amely lokálisan két topologikus tér descartes-szorzataként tekinthet. Ez a zika számára egy nagyon hasznos tulajdonság. A következ kben dierenciálható sokaságokal vezetjük be a nyaláb fogalmát: E, M, F dierenciálható sokaságok neve legyen sorban nyalábtér, alaptér és szál. A nyaláb deníciója ekkor: 1. Legyen Π egy szürjektív leképezés: Π : E M, (2.9) melyet a nyaláb projekciójának nevezzük. (2.2 ábra) Az p M-pont feletti szálnak nevezzük azokat a pontokat E-ben, melyeket Π ugyanarra az M-beli pontra képez le: Az egyes pontok feletti szálak homeomorfak F térrel. F p = Π 1 (p). (2.10) 2.2. ábra. Nyaláb 2. Létezik egy F-en ható G Lie-csoport, melyet struktúracsoportnak nevezünk. 3. M egy nyílt lefedése {U i }, ekkor léteznek a következ dieomorzmusok: φ i : U i F Π 1 (U i ) (2.11) Π(φ i (p, f)) = p (2.12)

2. FEJEZET. A HOLONÓMIA 7 melyet helyi trivializációnak neveznek, mivel inverze Π 1 (U i )-t U i F direktszorzattérre képezi. (Lásd a 2.3 ábrán.) Ezáltal a nyalábtér lokálisan dieomorf lesz az alaptér és a szál direktszorzatával. Fontos, hogy a fenti leképezések nem egyértelm en léteznek: egy nyaláb gyakran többféleképpen is trivializálható. 2.3. ábra. A nyaláb trivializációi 4. Bevezetjük adott p M pontra φ i,p (f) = φ i (p, f) dieomorzmust, mely φ i,p : F F p. (2.13) Ekkor átfed U i, U j M esetén φ 1 i és φj 1 egy u E ponthoz, melyre Π(u) = p U i U j, nem feltétlenül ugyanazt az F-beli pontot rendeli. Ekkor φ 1 i (u) = (p, f i ) és (u) = (p, f j ). A kett kapcsolatának leírásához képezzük: φ 1 j t ij (p) = φ 1 i,p φ j,p : F F. (2.14) Ezeket a t ij (p) leképezéseket áttérési függvényeknek nevezzük. M ködésüket a 2.4 ábra szemlélteti. Az áttérési függvények halmaza izomorf kell legyen G-vel, vagyis t ij : U i U j G. Tehát az áttérési függvények transzformációkat valósítanak meg a szálon. Ekkor kapcsolatba hozhatjuk a φ 1 i és φ 1 j leképezések hatását: f i = t ij (p)f j, vagyis: φ j (p, f) = φ i (p, t ij (p)f). (2.15) 2.4. ábra. Az áttérési függvények

2. FEJEZET. A HOLONÓMIA 8 Az áttérési függvényekre fenn kell állnia a következ feltételeknek: t ii (p) = I ( p U i ) (2.16) t ij (p) = t ji (p) 1 ( p U i U j ) (2.17) t ij (p)t jk (p) = t ik (p) ( p U i U j U k ) (2.18) ahol I az identitás F-en. Amennyiben t ij (p) = I az összes olyan i, j, p-re, ahol p U i U j, akkor a nyalábot triviális nyalábnak nevezzük. Egy triviális nyaláb el áll E = M F alakban. Ahhoz, hogy a fent deniált (E, Π, M, F,G) struktúrát nyalábnak nevezzük, szükséges, hogy a deníció független legyen az {U i } lefedés megválasztásától. Egy konkrét {U i } lefedéshez tartozó deníció egy koordinátanyaláb deníciója. A nyaláb a koordinátanyalábok egy ekvivalenciaosztálya, ahol az ekvivalenciarelációt a következ képpen deniáljuk: (E, Π, M, F,G, {U i }, {φ i }) és (E, Π, M, F,G, {U j }, {φ j }) koordinátanyalábok ekvivalensek akkor és csak akkor, ha (E, Π, M, F,G, {U j } {U j }, {φ i } {φ j }) is koordinátanyaláb. A nyaláb egy lokális szelésének nevezzük a s : U M E (2.19) p s(p) F p (2.20) sima leképezéseket, vagyis Πs = I M. Amennyiben értelmezési tartománya az egész M alaptér, akkor globális szelésnek, vagy egyszer en szelésnek nevezzük. Nem minden nyalábnak létezik globális szelése. A szelések tulajdonképpen az alaptér beágyazásai a nyalábba. Tekintsünk egy példát nyalábra! (2.5 ábra) Legyen az alaptér M = S 1 kör, a szál pedig F = [1, 1] R zárt intervallum. Az alaptér nyílt lefedése álljon a következ két halmazból: U 1 = (0, π), U 2 = ( π, π), melyeknek metszetei A = (0, π), és B = (π, 2π). 2.5. ábra. S 1, és két lehetséges S 1 feletti nyaláb. Legyen ekkor a fed halmazokhoz tartozó φ 1, φ 2 az alábbi módon megadva A felett: φ 1 1 (Θ A, t F) Az áttérési függvény A felett identikus: Két lehet ségünk van φ i leképezések megadására B felett: (u) = (Θ, t), φ 1(u) = (Θ, t). (2.21) 2 t 12 (Θ)t = t (2.22) 1 : φ 1 1 (u) = (Θ, t), φ 1 2 (u) = (Θ, t) (2.23) 2 : φ 1 1 (u) = (Θ, t), φ 1 2 (u) = (Θ, t) (2.24)

2. FEJEZET. A HOLONÓMIA 9 Az els esetben t 12 (Θ) = I lesz B felett is, ekkor a nyaláb egy hengerpalást. Ez tehát egy triviális nyaláb, struktúracsoportja az egyelem csoport, G = {e}. A második esetben t 12 (Θ)t = t Θ B. (2.25) Ekkor az úgynevezett Möbius-szalagot kapjuk. Az A feletti áttérési függvény identikus, a B feletti áttérési függvényt kétszer egymás után alkalmazva szintén az identitást kapjuk, így a Möbius-szalag struktúracsoportja G = {e, g} = Z 2 kételem csoport. Ez tehát nem triviális nyaláb: nem állítható el az alaptér és a szál direktszorzataként, noha ezt lokálisan külön-külön A és B felett megtehetjük. Az érint nyaláb esetében a nyalábtér az M alaptér összes érint vektorának halmaza. A Π projekció az érint vektorokhoz az M-beli kezd pontjukat rendeli. Ekkor az alaptér adott pontja feletti szál F p = T p M az adott pontbeli érint térrel azonos, mely egy lineáris tér. Egy reprezentáns F érint teret választva a dierenciálható sokaságok szép tulajdonságainak köszönhet en létezik, de nem egyértelm en F p F dieomorzmus. A lehetséges F p F dieomorzmusok az F lineáris transzformációival különbözhetnek egymástól, így az érint nyaláb struktúracsoportja az érint téren ható teljes lineáris csoport. Az érint nyaláb szelései ekkor az alaptér feletti vektormez k. A Foucault-inga egy példa az érint nyalábra: az alaptér az S 2 földfelszín, a szál R 2 érint tér, a struktúra-csoport az ezen ható általános lineáris transzformációk: GL(2, R). A kvantumrendszerek leírásánál megjelen nyalábokkal foglalkozunk a két utolsó fejezetben. 2.2.2. Konnekció és holonómia A nyalábon sok görbe van, amit Π ugyanarra az alaptérbeli görbére képez le. Ahhoz, hogy egy alaptérbeli görbét valamilyen egyértelm módon kiemeljünk a nyalábra, szükségünk van rá, hogy meg tudjuk különböztetni a vertikális és horizontális, vagyis a szál-irányú, és az arra mer leges irányokat a nyalábon. 2.6. ábra. Horizontális (folytonos vonal) és nem horizontális (szaggatott vonal) görbék. Konnekciónak nevezzük azt a szabályt, aminek segítségével megadhatjuk, hogy hogyan hasad fel a nyaláb horizontális és vertikális irányokra. Általánosan, koordinátafüggetlenül a konnekció megadása egy A konnekciós egy-forma megadását jelenti a nyalábon, amellyel egy h vektor horizontális ha: A(h) = 0 (2.26)

2. FEJEZET. A HOLONÓMIA 10 Ekkor az alaptérbeli görbe horizontális kiemeltjének nevezünk egy görbét a nyalábon, ami minden pontjában vízszintes irányú. Ilyen görbe a szál minden pontjához egyértelm en létezik. Ha egy érint -nyalábot tekintünk, mint a Foucault-inga példájában, akkor a konnekció a párhuzamos eltolást jelenti: a horizontális görbe olyan, melynek nincs nyalábirányú komponense, vagyis lokálisan nincs változás az érint térben. Az egyrészecske-kvantumrendszerek Hilbert-tereiben a szemléletes relatív fázis fog konnekciót deniálni, míg kevert állapotoknál a Hilbert-Schmidt nyalábon Uhlmann által felírt konnekció ad erre lehet séget. Ezeket az utolsó két fejezetben mutatjuk be. Amennyiben van egy konnekció a nyalábon, akkor megadható egy alaptérbeli görbe horizontális kiemeltje. Ha a nyaláb nem triviális struktúrájú, vagyis nem írható fel globálisan descartes-szorzat alakban, akkor az alaptér egy zárt görbéjének horizontális kiemeltje a nyalábon általában nem lesz zárt görbe. (2.7 ábra) 2.7. ábra. Zárt görbe és horizontális kiemeltje. Az eltérés a szálon a kezd és a végpont között a görbe alakjától függ transzformáció. Ezek csoportot alkotnak, melyet a nyaláb holonómia-csoportjának nevezünk, mely információt hordoz a nyaláb szerkezetér l. A Foucault-inga példájában az érint térben az inga síkja elfordul. Általános görbék esetén ezt az elfordulást SO(2) adja, mint e nyaláb holonómia-csoportja. Speciálisan szélességi körökön való paralell-transzlálás során is megkapjuk az összes lehetséges 0..2π szöggel való elfordulást (2.1) értelmében.

3. fejezet Kvantummechanikai áttekintés 3.1. Axiomatikus elméletek a zikában A zikai valóság bizonyos összefügg jelenségköreit zikai elméletekkel írjuk le. Amikor egy ilyen elméletet megfogalmazunk, egyszersmind döntünk annak érvényességi körér l, valamint ezzel együtt a valóság modelljéül felhasznált matematikai objektumokról. Azt mondjuk például, hogy egy háromdimenziós térbeli tömegpontokra fennállnak a newtoni mechanika alaptörvényei, továbbá ebb l szép közvetlen tapasztalati összefüggéseket vezetünk le: Kepler törvényeit. Amennyiben ezt az elméletet a bolygómozgás leírására kívánjuk használni, érvényességi köre kis energiákra terjed csak ki: sebességük a fény sebességéhez képest kicsi. Ennek köszönhet en viszont azt nyerjük, hogy a matematikai objektumaink egyszer - ek: háromdimenziós euklideszi tér, és viszonylag egyszer felépítés dinamikai egyenletek. Az elmélet érvényességi körének kiterjesztéséhez már jóval bonyolultabb matematikai eszközök kellenek: Einstein gravitációelmélete, az általános relativitás elmélet felhasználja a riemanni geometria, valamint a tenzor-analízis eszköztárát. A dinamikai egyenlet, az Einstein-egyenlet is bonyolultabb: egy kétindexes tenzoregyenlet. Fontos, hogy a tágabb érvényességi kör elmélet határesetként magában foglalja a sz kebb révényességi kör elméletet. A fenti példa a zikai elméletek axiómáinak szerepét kívánja kissé megvilágítani. A - zikai elméletek axiómái rögzítik a zikai jelenségeket modellez matematikai objektumokat, lehet vé téve ezzel azt, hogy matematikailag, a valóságtól elvonatkoztatva gondolkodjunk a valóságról, de látni kell, hogy az elmélet érvényességi köre magukat az axiómákat is korlátozza. Vagyis egy zikai elmélet axiómarendszere jóval lazább, mint egy matematikaié, ezt gyelembe kell venni, amikor az elmélet határterületeire vonatkozó következtetéseket szeretnénk levonni. Nem sérthetetlen matematikai posztulátumokat fektetünk le, csupán megállapítunk egy irányadó tárgyalásmódot, melyet alkalmasságán, és némely esetben a nehezen megfogható, ám annál meggy z bb esztétikumon túl mélyebb indok nem igazol. Ez a látszólagos lazaság nem fogyatékossága a zikának, egyszer en máshogyan m ködik, lévén egészen más, mint a matematika. A kett t nem szabad összemosni, annak ellenére sem, hogy a zika történetének tanulsága szerint a természet leírására a matematika alkalmas; látnunk kell, hogy a legutóbbi állítás koránsem magától értet d. Fizikán túli területekre kelene kalandozni ahhoz, hogy legalább valamelyest szemügyre vehessük a matematika és a zika kapcsolatát. 11

3. FEJEZET. KVANTUMMECHANIKAI ÁTTEKINTÉS 12 3.2. A Kvantummechanika axiómái A fentiek fényében tekintsük most át a kvantummechanika axiómáit! (B vebben lásd [6]- ban.) Mint minden axiomatikus elméletnél, itt is vannak fogalmak, melyeket nem tudunk az elmélet keretein belül deniálni, mivel éppen az segítségükkel fogalmazzuk meg az axiómákat. Ilyen fogalmak: az állapot, a dinamikai változó, vagy a mérés. 3.2.1. Állapot Anélkül tehát, hogy tudnánk, önmagában mi az az állapot, rögzítjük a kvantummechanika els axiómájaként, hogy a zikai rendszer állapotait a redszerhez tartozó komplex szeparábilis Hilbert-tér sugarai reprezentálják. A komplex számtest feletti vektorteret az interferencia jelensége motiválta: ennek szép leírása komplex számok összegének abszolutérték-négyzetével történhet. Egy topologikus tér szeparábilis, ha létezik benne halmaz, mely megszámlálható elemszámú, és s r, vagyis lezártja a teljes tér. Egy Hilbert-tér nyilván topologikus tér, mivel rajta a bels szorzat által indukált norma metrikát deniál, mely segítségével meghatározottá válnak a nyílt gömbök, vagyis egy standard topológia. Így az, hogy egy Hilbert tér szeparábilis, azt jelenti, hogy létezik benne egy megszámlálható bázis, melyre nézve vektorai kifejthet k, ekkor a kifejtési együtthatók sorozata négyzetesen összegezhet. Φ H : ϕ i H, i I, (3.1) Φ = ϕ i ϕ i Φ = c i ϕ i, c l 2. (3.2) i i Az egymástól konstans szorzóban különböz vektorok egydimenziós altereket határoznak meg, melyeket a Hilbert-tér sugarainak nevezzük. [φ] = {ϕ H : ϕ = aφ, a C, a 0}. (3.3) A kvantummechanika kés bb tárgyalandó dinamikai egyenleteinek linearitása miatt egy állapottal annak konstansszorosa a mérésekre nézve vele egyenérték állapotot valósít meg, így a Hilbert tér sugarai válnak relevánssá az állapot leírásában. A fenti megállapítás következményeként az állapotok tereinek nemtriviális topológiai tulajdonságai adódnak. 3.2.2. Dinamikai változók A kvantummechanika matematikai tárgyalása a klasszikus, hamiltoni mechanikában gyökerezik. Ez a dinamikai változókra mint id függ mennyiségekre egyenleteket fogalmaz meg bizonyos paraméterek mellett, mint például a tömeg. A kvantummechanika második axiómája a dinamikai változókról szól. Ezt azért kívánjuk hangsúlyozni, mert gyakran tévesen általános zikai mennyiségekre fogalmazzák meg, melyek közé beleérthet a tömeg vagy az id is. A rendszer dinamikai változóinak az állapotok Hilbert-terén ható önadjungált operátorok felelnek meg. A : H H, A = A. (3.4) A diszkrét spektrumú operátorok sajátértékeivel a természetben meggyelt kvantumos viselkedés válik matematikailag kezelhet vé. Egy önadjungált operátor sajátértékei valósak,

3. FEJEZET. KVANTUMMECHANIKAI ÁTTEKINTÉS 13 ahogy ez elvárható a mért zikai mennyiségekt l, sajátvektorrendszere ortogonális és s r a Hilbert-térben: A ϕ i = λ i ϕ i, (3.5) λ i R, ϕ i ϕ j = δ ij, ϕ i ϕ i = I. (3.6) Egy normált állapotot a dinamikai változó normált sajátállapotainak bázisán kifejtve, a kifejtési együtthatók abszolutérték-négyzetét interpretáljuk az adott sajátállapot kimérésének valószín ségével: i p Φ A(i) = Φ ϕ i 2. (3.7) Tehát a mérés várható értékét, mely nyilván a lehetséges kimenetelek a valószín ségekkel súlyozott összege, az operátor kvantummechanikai várható értéke adja: A Φ = Φ AΦ = Φ i λ i ϕ i ϕ i Φ = i λ i p Φ A(i). (3.8) A normáltság el feltétele a valószn ségi tárgyalásmódnak. Egy önadjungált operátor sajátállapotai a lehetséges különböz, egymást kizáró mérési eredmények teljes eseményrendszerét alkotják, ahol így a valószín ségek összege 1: p Φ A(i) = Φ ϕ i ϕ i Φ = Φ 2 := 1 (3.9) i i A kés bb tárgyalandó, mérésre vonatkozó axiómában rögzítjük azt, hogy a sztochasztikus viselkedést nem hiányos ismereteink következményének, hanem a természet egy alapvet, lényegi tulajdonságának tekintjük. 3.2.3. Összetett rendszerek Az összetett rendszerek tárgyalása nem triviális, a kvantummechanika megrázó furcsaságai ebb l adódnak. Ezzel foglalkozik a harmadik axióma: Az összetett rendszert a részrendszerek Hilbert-tereinek tenzorszorzatterével írjuk le. A tenzorszorzat matematikai konstrukciója teszi lehet vé a részrendszerek kölcsönhatásának reprezentálását, így az egész több lesz, mint a részek összege. Nézzük meg, hogy hogyan kaphatjuk meg az egyik részrendszer dinamikai változójának várható értékét általánosan! Legyen { ϕ i } i I teljes ortonormált bázis H 1 -en, és { ψ j } j J teljes ortonormált bázis H 2 -n. Φ H 1 H 2, Φ = W ij ϕ i ψ j, (3.10) ij Φ 2 = ( W ij W ij = T r W W ) := 1, (3.11) ij Egy dinamikai változó az els részrendszerben ekkor: A = kl A kl ϕ k ϕ l (3.12)

3. FEJEZET. KVANTUMMECHANIKAI ÁTTEKINTÉS 14 Ennek számítsuk ki a kvantummechanikai várhatóértékét a fenti állapotban: Φ (A I) Φ = W ij ϕ i ψ j A kl ϕ k ϕ l I W mn ϕ m ψ n ij kl mn = W ij A kl W mn ϕ i ϕ k ϕ l ϕ m ψ j ψ n ijklmn = ijl W kj A kl W lj = T r ( ) W W A (3.13) ahol W = ab W ab ϕ a ϕ b. Hasonlóan belátható, hogy Φ (I A) Φ = T r ( W T W A ) (3.14) A fentiekben kapott ϱ 1 = W W és ϱ 2 = W T W operátorokat az els és a második részrendszer redukált s r ségoperátorainak nevezzük. Nem-nulla sajátértékeik multiplicitással megegyeznek. A felírásból nyilvánvaló, hogy a fenti operátorok önadjungáltak, s t pozitív szemidenitek, és könnyen látszik a következ : ( Tr W W ) = Tr ( W T W ) = Φ 2 = 1. (3.15) Az adott részrendszeren végzett mérések várhatóértékét tehát a s r ségoperátorokkal kapott nyommal számolhatjuk ki. Összetett rendszer esetében általában nem találunk olyan Φ 1 H 1 elemet, amire Φ (A I) Φ = Φ 1 AΦ 1 fennállna, vagyis nincs olyan állapota a részrendszer Hilbert-terének, mely leírná a részrendszert. Ekkor a részrendszer kevert állapotban van. (Mixed state) Amennyiben mégis található olyan állapot a részrendszer Hilbert-terében, amely leírja a részrendszert, tiszta állapotról (pure state) beszélünk. A tiszta állapot is leírható s r ségoperátorral: Φ 1 AΦ 1 = Φ 1 A i ϕ i ϕ i Φ 1 = i ϕ i Φ 1 Φ 1 A ϕ i (3.16) = Tr ( Φ 1 Φ 1 A) Vagyis egy Φ 1 tiszta állapotú részrendszer s r ségoperátora: ϱ 1 = Φ 1 Φ 1, egy 1-rangú projekció: ϱ 2 1 = ϱ 1 = ϱ 1. A fent tárgyalt példában a teljes H 1 H 2 -ben leírt rendszer a Φ tiszta állapotban volt, ekkor képezhetjük a teljes rendszer s r ségoperátorát: ϱ = Φ Φ = ijkl W ij W kl ( ϕ i ψ j ) ( ψ l ϕ k ) = ijkl W ij W kl ϕ i ϕ k ψ j ψ l (3.17) és a (3.13) számítás alapján kapott redukált s r ségoperátorokat ebb l a megfelel rész-

3. FEJEZET. KVANTUMMECHANIKAI ÁTTEKINTÉS 15 rendszereken vett parciális nyommal kaphatjuk, például: ϱ 1 = Tr 2 ϱ = W ij W kl ϕ i ϕ k ψ m ψ j ψ l ψ m m ijkl = ijk W ij W kj ϕ i ϕ k (3.18) = ik (W W ) ik ϕ i ϕ k. Ezt az eljárást, amely során a rendszer s r ségoperátorának nyomát vesszük egy részrendszer Hilbert-terén, a s r ségoperátor redukciójának nevezzük. Tekintsünk egy általános s r ségoperátort H 1 -en! Ennek spektrálfelbontása: ϱ 1 = i η i ξ i ξ i (3.19) η i 0, T rϱ = i η i = 1. (3.20) A nemnegatív spektrum a pozitív szemidenitség következménye, az egységnyi trace pedig a normálásé. Tiszta állapotban csak egyetlen, kevert állapotban egynél több η i sajátérték különbözik nullától. A nulla sajátértékekhez tartozó altérb l is kiválasztható a sajátvektoroknak olyan rendszere, mely a többivel együtt teljes ortonormált rendszert alkot. Használjuk ezt bázisnak H 1 -en: { ξ i } i I. Vegyük H 1 H 1 -ben a következ egységvektort: Φ = i ηi ξ i ξ i (3.21) Ekkor azt láthatjuk, hogy ebben az állapotban vett várhatóértéke A I-nek pont megegyezik a részrendszerben vett kevertállapotú várhatóértékével A-nak: Φ (A I) Φ = i ηi ξ i ξ i (A I) i ηj ξ j ξ j = ij = ij ηi ηj ξ i Aξ j ξ i ξ j ξ j η i ξ i ξ i Aξ j = T r(ϱ 1 A) (3.22) Egy kevert állapotú rendszer tehát részrendszere egy tiszta állapotú, kétszer akkora rendszernek. Ez utóbbit a rendszer purikációjának nevezzük. E fenti észrevételt továbbgondolva adódik az általánosan Schmidt-dekompozíciónak nevezett eljárás: egy tetsz leges Φ H 1 H 2 tiszta állapot felírható a következ képpen: Φ = s ηi ξ i ζ i (3.23) i=1 ahol η i a részrendszerek redukált s r ségmátrixainak sajátértékei. Mivel a redukált s r - ségmátrixok nem-nulla sajátértékei multiplicitással megegyeznek, ezért az összegzés s = min(n, m)-ig megy, ahol n = dimh 1 és m = dimh 2. Az állítás tulajdonképpen azt tartalmazza, hogy mindig létezik olyan bázis a két Hilbert-térben, melyben az általánosan (3.10)

3. FEJEZET. KVANTUMMECHANIKAI ÁTTEKINTÉS 16 alakban megadott állapotot leíró W ij mátrix diagonális lesz. Könnyen beláthatjuk ezt az állítást, ha felhasználjuk a mátrixok szinguláris-érték felbontásását. Ez a következ t jelenti: bármely A n m-es mátrix felírható a következ alakban: A = UDV, (3.24) ahol U n n-es, V m m-es unitér mátrixok, D pedig egy valós pozitív elem n m-es nem négyzetes diagonális mátrix, mely alatt a következ t értjük: D ij = α i δ ij. Ekkor Φ = = = n i=1 j=1 n m W ij ϕ i ψ j i,k=1 j,l=1 min(n,m) k=1 m U ik ηk δ kl V lj ϕ i ψ j ηk ( n i=1 ) m U ik ϕ i V kj ψ j, j=1 (3.25) ami megegyezik (3.23)-mal. Képezzük ennek a tiszta állapotnak a s r ségoperátorát: ρ = Φ Φ = s ηk ηl ξ k ξ l ζ k ζ l, (3.26) k,l=1 amib l megkaphatóak a részrendszerek redukált s r ségoperátorai: ρ 1 = Tr 2 ρ = ρ 2 = Tr 1 ρ = s η k ξ k ξ k (3.27) k=1 s η k ζ k ζ k. (3.28) k=1 Tehát a Schmidt-dekompozíció során megjelen U és V unitér bázistranszformációk fogják egyszerre a két részrendszer Hilbert-terén diagonalizálni a s r ségoperátort. Egy H 1 Hilbert-tér ρ 1 s r ségoperátorával jellemzett rendszer purikációjának nevezzük ennek alapján általánosan az olyan H 1 H 2 Hilbert-téren ható ρ állapotú kib vített rendszert, melyre ρ 1 = Tr 2 ρ. Láttuk tehát, hogy egy rendszernek létezik purikációja, de nem egyértelm en. Ennek következményeivel foglalkozunk a 6. fejezetben. 3.2.4. Mérés Az el z ekben azt láttuk, hogy a rendszer-állapotok szemléletesen azt az eloszlást jelentik, amelyekkel a mérések várhatóértékeit kapjuk, legyen az állapot akár s r ségoperátorral, akár vektorral megadva. Most beszélnünk kell arról is, hogy a mérésre hogyan reagál a rendszer. Szükségszer ugyanis, hogy a rendszer állapota megváltozzon egy mérést l, mivel a méréskor a dinamikai változót, mint valószín ségi változót kiértékeljük, ez által megtudjuk, hogy az addig valószín ségeloszlással jellemzett rendszer egy példányának adott dinamikai változója milyen értéket vett fel. Mivel már tudjuk a pontos értéket, nem beszélhetünk úgy a rendszerr l, mintha a korábban lemért dinamikai változó valószín ségi változó lenne, mert egy újabb mérés ismét a már megkapott eredményt adná. Ezt interpretálhatjuk úgy, hogy méréskor a valószín ségi változó spektruma fog megváltozni, hirtelen az egyik étrék

3. FEJEZET. KVANTUMMECHANIKAI ÁTTEKINTÉS 17 valószín sége 1 lesz, a többié 0. Ez viszont az jelenti, hogy a rendszert leíró Hilbert-tér elem, vagy s r ségoperátor fog hirtelen megváltozni: beugrik a kimért állapotba, az ezután végzett mérések már azonos eredményt adnak. Az állapotnak ez a beugrása talán a legmegfoghatatlanabb jelensége a kvantumvilágnak. Az axióma csak arról beszél, hogy milyen matematikával írjuk le a mérést, arról nem, hogy mi történik, ami egy sokkal érdekesebb és nehezebb kérdés. Lássuk tehát, hogyan lehet a méréskor történ változást matematikailag megfolgalmazni általánosan, kevert állapotokra! Az n különböz η i értéket felvev mérést olyan V i operátorokkal reprezentáljuk, melyekre n V i V i = I. (3.29) i=1 A mérés hatására a rendszer s r ségoperátora a következ képpen fog megváltozni: A megfelel η i kimenetel valószín sége: ϱ n i=1 V i ϱv i. (3.30) p ϱ (i) = TrV i ϱv i, (3.31) és amennyiben a méréskor az η i értéket kapjuk, akkor a mérés végrehajtása után a rendszer s r ségoperátora: ϱ V iϱv i TrV i ϱv i. (3.32) Az (3.31) valószín ségek összege nyilván 1 lesz (3.29) miatt. Az egyes kimenetelekhez tartozó (3.32) feltételes s r ségmátrixok a hozzájuk tartozó valószín ségekkel szorozva és összeadva éppen a (3.30) feltétel nélküli s r ségmátrixot adja, a teljes valószín ség tételével összhangban. Egy megismételhet más néven Neumann-féle mérés, melyr l ez alfejezet elején ejtettünk szót, páronként ortogonális projekció-operátorokkal reprezentálható. Két ilyen mérést egymás után elvégezve a második már nem változtat a s r ségi mátrixon: ϱ i P i ϱp i ij P i = P i (3.33) P i P j = δ ij P i (3.34) P j P i ϱp i P j = i P i ϱp i (3.35) A diszkrét spektrumú dinamikai változókhoz mindig tartozik egy Neumann-féle mérés, melyben a mérést reprezentáló ortogonális projekciókat az operátor spektrális felbontása adja, ahol: A ϕ i = λ i ϕ i, (3.36) λ i R, ϕ i ϕ j = δ ij ϕ i ϕ i = I (3.37) A = i λ i ϕ i ϕ i = i i λ i P i (3.38)

3. FEJEZET. KVANTUMMECHANIKAI ÁTTEKINTÉS 18 Illusztrációként nézzük meg a Φ vel jellemzett ϱ = Φ Φ s r ségoperátorú tiszta állapotú rendszer beugrását, mivel ez szemléletesebb, mint a kevert állapotú s r ségoperátorok viselkedése: p ϱ A (i) = TrP i Φ Φ P i = ϕ j P i Φ Φ P i ϕ j j = Φ P i ϕ j ϕ j P i Φ j = Φ P i P i Φ = P i Φ 2 = ϕ i Φ 2 (3.39) összhangban a kifejtési együtthatókról korábban mondottakkal. Most pedig nézzük meg az állapot megváltozását (3.32) szerint: Φ Φ P iϱp i = ϕ i ϕ i Φ Φ ϕ i ϕ i TrP i ϱp i ϕ i Φ 2 = ϕ i ϕ i (3.40) tehát a mérés hatására jól látható a tiszta állapot beugrása a mért értéknek megfelel operátor-sajátállapotba: Φ ϕ i (3.41) Vizsgáljuk még meg, hogy mi történik a fenti módon megfogalmazott mérés hatására egy összetett rendszer részrendszereiben: írjuk fel az egyik részrendszer egy önadjungált operátorának várhatóértékét, ha a másik részrendszerben mérést végzünk: A I ϱ = Tr i = Tr i (I V i )ϱ(i V i )(A I) (I V i )(I V i)ϱ(a I) (3.42) = Trϱ(A I) = A I ϱ mivel a különböz részrendszereken ható operátorok felcserélhet ek. Vagyis azt látjuk, hogy a második részrendszeren végzett mérés változatlanul hagyja az els részrendszer dinamikai változóinak várható értékét. Mivel a mérés megváltoztatja az állapotot, ezért általánosan nem várhatjuk el, hogy két dinamikai változó mért értéke független legyen méréseik sorrendjét l. A mérés fenti matematikai megfogalmazása ezt is magában hordozza: egyazon Hilbert-téren ható két operátorra vonatkozó mérés akkor lesz független a sorrendt l, ha spektrális projekcióik felcserélhet ek. Különböz Hilbert-tereken ható operátorok nyilván felcserélhet k, így az általuk reprezentált dinamikai változók mérése független lesz a sorrendt l. 3.2.5. Id fejl dés Az el z pontban láthattuk, hogy a mérés megzavarja a rendszert. A következ axióma arról szól, hogy mi történik akkor, ha nem végzünk mérést, hanem szabadon hagyjuk fejl dni a rendszert: Egy magára hagyott rendszer id fejl dését unitér propagátor írja le: ϱ(t) = U(t, t 0 )ϱ(t 0 )U (t, t 0 ), (3.43) ahol U(t, t 0 ) unitér operátorok a változóiknak er sen folytonos függvényei, valamint fennáll: U(t 2, t 1 )U(t 1, t 0 ) = U(t 2, t 0 ). Az unitér transzformáció deníciójából adódóan invariánsan

3. FEJEZET. KVANTUMMECHANIKAI ÁTTEKINTÉS 19 hagyja a Hilbert-tér bels szorzatát, így az id fejl dés során nem változnak az átmeneti valószín ségek, valamint a tiszta állapotú rendszer tiszta állapotban marad. A konzervatív rendszer fogalmát szemléletesen az id fejl désen keresztül vezetjük be: (Energiáról eddig még egyáltalán nem beszéltünk.) Konzervatív rendszer propagátora eltolásinvariáns az id ben, vagyis U(t + τ, t 0 + τ) = U(t, t 0 ). (3.44) Ekkor U(t) := U(t + τ, τ) folytonos egyparaméteres unitér csoportot alkot, így a Stonetétel értelmében létezik önadjungált generátora. Azt már újabb posztulátum keretében fogalmazzuk meg, hogy ez a generátor éppen az energiát reprezentáló Hamilton operátor 1-szerese: Egy H id független Hamilton-operátorral jellemzett rendszer unitér propagátora U(t) = e i Ht. (3.45) Számítsuk ki egy konzervatív rendszer s r ségoperátorának id deriváltját: ( ) ϱ(t + ε) ϱ(t) d t ϱ(t) = lim ε 0 ε ( = lim U(ε)ϱ(t) U (ε) ϱ(t) ) ε 0 ε ε ( = lim U(ε)ϱ(t) U( ε) U(ε)ϱ(t) I ε 0 ε ε + U(ε)ϱ(t) I ε ϱ(t) ) ε ( = lim U(ε)ϱ(t) U( ε) I + U(ε) I ) ϱ(t) ε 0 ε ε (3.46) = i (ϱ(t)h Hϱ(t)) Tiszta állapotra is hasonlóan kiszámítható az id derivált. Végül tehát a i d ϱ(t) = [H, ϱ(t)], (3.47) dt i d ψ(t) = Hψ(t). (3.48) dt Schrödinger egyenleteket kapjuk. Egy dinamikai változó várhatóértéke egy adott ϱ(t)-vel jellemzett állapotban ekkor: A ϱ(t) = TrAϱ(t) = Tr (Ae ) i H(t t0) ϱ(t 0 )e i H(t t 0) ( ) = Tr e i H(t t0) Ae i H(t t0) ϱ(t 0 ) (3.49) = TrA H (t)ϱ 0 = A H (t) ϱ ahol a trace ciklikussága miatt két ekvivalens kvantummechanikai képben fogalmazhatjuk meg az id beliség tárgyalását: Schrödinger-képben az id ben állandó A-operátor várhatóértékét számítjuk ki egy id ben változó állapotban, Heisenberg-képben pedig egy id független állapotban vesszük az ( ) A H (t) = Tr e i H(t t0) Ae i H(t t 0) (3.50) egyenlet által deniált id függ operátor várhatóértékét.

3. FEJEZET. KVANTUMMECHANIKAI ÁTTEKINTÉS 20 Amennyiben a rendszert leíró Hamiltoni id függ, akkor az unitér propagátorok nem alkotnak folytonos csoportot, a rendszer nem konzervatív. Noha ekkor a fenti (3.47) egyenletekhez vezet számítás nem vihet végig, újabb axiómában fektetjük le, hogy id függ Hamiltonival leírt rendszer s r ségoperátorának, illetve állapotának id fejl dését is a Schrödinger egyenletek adják: i d ϱ(t) = [H(t), ϱ(t)], (3.51) dt i d ψ(t) = H(t)ψ(t). (3.52) dt A tárgyalt unitér id fejl dést Roger Penrose nyomán U-evoluciónak nevezzük. Megjegyezzük, hogy az id fejl dés interpretálására van egy másik, kevésbé ismert mód is: egy rendszer állapotát egymás utáni innitezimálisan közeli, megfelel en beállított mérésekkel is fejleszthetjük az id ben. Ezt az id fejl dést R-evoluciónak nevezzük, amivel a redukció szóra utalunk.

4. fejezet Kvantumszámítógépek Ebben a fejezetben röviden beszélünk a kvantumszámítógépekr l. A kvantumszámítógép egy olyan kvantumrendszer, melynek bizonyos részrendszereinek állapotán információt tárolhatunk, melyeket a rendszerben lév kölcsönhatásokkal az id fejl dés során manipulálhatunk. Talán ez a legszebb alkalmazási területe a kvantumelméleti kutatásoknak. A kísérleti technika felj désével az elemi kvantum-m veleteken túl egyre összetettebb kvantumalgoritmusokat végrehajtó kvantumszámítógépek valósíthatóak meg. A témával foglalkozó összefoglaló m : [8]. 4.1. Az információ tárolása A kvantuminformációelmélet keretében az információ fogalmának egy mer ben új megközelítésével találkozhatunk. A klasszikus információelméletben az információt bináris értékek kódolják. Erre utal a klasszikus információ alapegységének, a bitnek neve is: az angol binary digit kifejezés rövidítése. Egy bit az az információmennyiség, amihez akkor jutunk, ha megtudjuk, hogy két független, egymást kizáró, és azonos valószín ség esemény közül melyik következett be. A klasszikus információt klasszikus számítógépek kezelik. A klasszikus számítógép belsejében egy bitnyi információt tárolhat például egy vezeték, amin két jól elkülöníthet feszültségszint lehetséges, egy memóriacella félvezet kristálya, amelyben két jól elkülöníthet mennyiségben lehetnek elektronok, egy kis terület egy ferromágneses korongon, amelynek mágnesezettsége szintén két jól elkülöníthet értéket vehet fel, és még sorolhatnánk. El ször is felmerülhet a kérdés: nem lehetne-e sokkal több információt tárolni a fenti módoknál? Vegyük például a memóriacellát: a mai technikai feltételek mellett a miniatürizálás magas fokot ért el, de még így is sok-tízezer elektron van abban a cellában, amelyen csak egy bitnyi nagyon kevés információt akarunk raktározni. Ez elég pazarló megoldásnak t nik, viszont így nagyon könnyen kezelhet az információ, mert a kvantumjelenségek hatásai kiátlagolódnak. Elvileg akár egyetlen elektron ottléte, vagy ott-nem-léte is megadná az egy bit információt, azonban ilyen kis mennyiségnél már nem lehet elhanyagolni a kvantumjelenségeket. Egy elektron jelenléte egy helyen ugyanis a kvantummechanika törvényei szerint csak bizonyos valószín séggel adható meg. Tehát ha ebben az egy elektront befogadni képes memóriacellában bekapcsolunk egy potenciált, amivel odavonzhatunk egy elektront, akkor az elektron ottlétének valószin ségét úgy kaphatjuk, hogy az adott potenciált tartalazó Schrödinger-egyenlet megoldásaként kapott állapotfüggvény abszolutérték-négyzetét integráljuk a memóriacella térfogatára. Az állapotfüggvény egy megfelel potenciál esetén 21

4. FEJEZET. KVANTUMSZÁMÍTÓGÉPEK 22 legalább exponenciálisan t nik el a végtelenben, de ennél er sebb levágás is lehetséges. Viszont ekkor sem csökken egzaktul nullára, így akármilyen er s a potenciál, soha nem lesz az elektron megtalálási valószin sége a cellában 1. Így tehát nem egy klasszikus bitnyi információ tárolódik, csupán annak törtrésze, ami a klasszikus információelmélettel nem kezelhet. További probléma, hogy ha a rendszert leíró Hamiltoni diszkrét spektruma megengedi, akkor az elektron állapota az egyes energiaállapotok lineáris kombinációja lesz, melyek nem kell, hogy egyformán legyenek lokalizáltak a cellára. Ekkor a kvantummechanika mérési axiómája szerint méréskor az állapot az egyik komponensbe fog beugrani a megfelel lineárkombinációs együttható négyzetének valószín ségével. Ez méginkább lehetetlenné teszi egy klasszikus bit reprezentálását egy kvantumrendszeren. Ehhez járul még a mérés problémája: az információ kinyerésére csak egy mérést végezhetünk, mivel ez beavatkozást jelent a rendszerbe, és így elveszik az állapot. Láttuk tehát, hogy kvantumrendszerek információtartalmának kezeléséhez nem elegend a klasszikus információelmélet. Ezért került kidolgozásra a kvantuminformációelmélet, mely már alapjaiban illeszkedik a kvantumrendszerek sajátságos jelenségeihez. 4.2. A q-bit A kvantuminformáció alapegysége a qubit. (Quantum bit.) Egy kvantumbitnyi információ el áll két ortonormált kvantumállapot tetsz leges lineárkombinációjából: ψ = α 0 + β 1, α, β C (4.1) A 0 és 1 állapotokat információs, vagy számítási bázisnak nevezik. Ezt sokféle zikai rendszeren ábrázolhatjuk, legegyszer bb példa egy feles spin részecske, pl. elektron spinsajátállapotai. Egy ilyen (4.1) állapot végtelen mennyiség információt tartalmaz, ugyanis a két lineárkombinációs együttható két komplex szám, vagyis négy valós paraméter, és köztük csak két megkötést teszünk: a qubitnek normáltnak kell lenni, illetve egy közös fázisfaktor irreleváns az információtárolás szempontjából. Egy kvantumrendszer információtartalma tehát nagyon nagy. Viszont amikor a kvantuminformációt egy méréssel klasszikus információvá transzformáljuk, akkor a rendszer beugrik α 2 valószin séggel 0, és β 2 = 1 α 2 valószin séggel 1 állapotba. Vagyis a kvantumrendszerben rejt z információmennyiség kiolvasása nehézségekbe ütközik, ugyanis ismételten egy mérésre van csupán lehet ség, és ebb l nem lehet valószin séget megállapítani. Tehát noha az információtároláshoz elegend egy elektron, de a kiolvasáshoz nagyon sok azonos állapotú elektronon kell mérést végezni. Minél többön, annál nagyobb pontossággal ismerhet meg α 2 értéke. A kvantummechanika valószín ségi jellege nem kerülhet meg, az ilyenfajta információkezelés klasszikus szemmel nézve mer ben szokatlan. Viszont az ilyen valószín ségi mennyiségek hibáját kézben lehet tartani. A qubiteket kezel m veleteket, a kvantum logikai kapukat, a qubiteken ható unitér transzformációk valósítják meg. A kvantumszámítógép ilyen m veletek sorozatának zikai realizációja. Ez informatikai kifejezéssel élve bedrótozott rendszer, a kvantumalgoritmus maga a hardware. Egy kvantuminformációelméleti tétel értelmében a qubit kvantumkapukkal nem másolható, ezért az egész kvantumszámítási eljárást már a kezdetét l sok elektronon kell párhuzamosan végezni, hogy a rajtuk való mérés végül a megfelel kimenetet adja. Ezeknek azonos kezdeti állapotokban kell lenni, ami még a számítási folyamat el tt beállítható. Ezt az eljárást preparációnak nevezik. A kvantumalgoritmusok feladata, hogy a számításokat olyan

4. FEJEZET. KVANTUMSZÁMÍTÓGÉPEK 23 formában végezzék el, hogy a kimeneten jól mérhet legyen a fontos információhoz tartozó állapot, vagyis a megfelel valószín ségi amplitúdó elegend en nagy legyen a többihez képest. A fentiek fényében tehát látható, hogy mind a klasszikus, mind a kvantuminformáció kezeléséhez sok részecskére van szükség. A kvantumszámítás azonban kínál egy új lehet séget, amely a klasszikus számítógép számára annak nagy mérete miatt elérhetetlen. Ez az összefonódott állapotok felhasználása az információ manipulálására. Két állapotvektor két qubit összefonódott állapotba hozható egyszer kvantumszámítási m veletekkel. Fogalmi szempontból fontos, hogy nem a részecskék fonódnak össze a valós térben, hanem az állapotaik az állapottérben. Az ilyen részecskék összefonódott állapotukat egymástól eltávolítva is meg rzik, és ennek köszönhet en például az egyik részecskének méréskor lezajló "beugrása" egy állapotba azonnal maga után vonja a másik részecske beugrását is. (EPR gondolatkísérlet.) Ez a fénysebességnél gyorsabb korrelációterjedés, mely klasszikusan elképzelhetetlen, a kvantummechanika nemlokalitásának következménye: a részecskék végtelenül kiterjedtek a térben. Az összefonódottság jelensége lehet vé teszi például a kvantumállapot teleportálását, a kauzalitás megsértése nélkül, illetve azt is, hogy egy többqubites számítás során egy lépésben sok m velet valósuljon meg. Ez utóbbi állítás súlyát jól illusztrálja az, amit példaként meg szoktak ilyenkor említeni, hogy kvantumszámítógéppel a prímszámfaktorizáció polinomid ben végezhet. 4.3. Kvantum-kapuk A kvantumszámítási algoritmusok épít kövei a kvantumkapuk, amiket a (4.1) qubiteken ható unitér operátorokkal írhatunk le. Lássunk két példát: Hadamard-kapu: a Hadamard-transzformációt megvalósító kapu, mely egy tiszta állapotot szuperponált állapotba visz: 0 1 2 ( 0 + 1 ), (4.2) 1 1 ( 0 1 ), (4.3) 2 H = 1 ( ) 1 1. (4.4) 2 1 1 Fázistoló kapu: adott γ-szög fázistolást valósít meg az egyik bázisállapoton: 0 0, (4.5) 1 e iγ 1, (4.6) ( ) 1 Γ(γ) = e iγ. (4.7) Egy kvantuminformációelméleti tétel szerint a fenti két kapuval minden egyqubites kvantumlogikai m velet el állítható. N-qubitre alkalmazva külön-külön az egyqubites m veleteket a kiindulási 00... 0 = 0 0 0 állapot tetsz leges ψ 1 ψ 2... ψ N = ψ 1 ψ 2 ψ N állapotba vihet, ahol az egyes ψ i állapotok 0 és 1 tetsz leges normált lineárkombinációját jelentik. Egyqubites kapukkal szeparálható állapotok csak szeparálható állapotokba vihet k, ami csak egy korlátozott halmaza a teljes N-qubit Hilbert-tér állapotainak. Vagyis ekkor csak

4. FEJEZET. KVANTUMSZÁMÍTÓGÉPEK 24 egymástól függetlenül kezelhet k a qubitek, nem nyílik lehet ség a kvantum-összefonódás felhasználására. Kell tehát egy transzformáció, amely összefonódott állapotba visz két qubitet. (Ezeket az állapotokat nem lehet egyqubit-állapotok tenzotszorzatára szeparálni.) Az ezt megvalósító egyik kapu például a kontrollált fázistolókapu: Az els qubit függvényében végez el egy egyqubites fázistolást a második qubiten. 00 00, (4.8) 01 01, (4.9) 10 10, (4.10) 11 e iγ 11, (4.11) 1 B(γ) = 1 1. (4.12) e iγ Egy másik kvantuminformációelméleti tétel szerint az egyqubites Hadamard kapu, és kontrollált fázistoló kapu felhasználásával bármely kvantumlogikai algoritmus felépíthet. 4.4. Holonomikus kvantumszámítógép A kvantumszámítógép jól kidolgozott elméleti konstrukció, az alapm veletekb l összetett algoritmusok építhet k. A gyakorlati megvalósítás el tti legf bb akadály, hogy a m veletek számának növelésével a rendszer koherenciájának fenntartása a környezet hatásaival szemben egyre nehezebb. Így a m veletek számával a számítás hibája megn. Ennek kiküszöbölésére sokféle módszer született, legkézenfekv bb volt a redundáns információtároláson alapuló klasszikus hibakorrekciós módszerek átültetése a kvantumszámítógépre. A geometriai hatásokon alapuló kvantumszámítás nagy el nye, hogy magából a konstrukcióból adódóan rendkívül hibat r. A holonómikus kvantumszámítás témájában áttekint m vek: [9], [10]. Ahhoz, hogy a holonómiákat felhasználhassuk kvantumszámításra, a következ fejezetekben megvizsgáljuk, hogy milyen holonómiák lépnek fel kvantumrendszereknél. Az 5. fejezetben tekintjük a tiszta állapotok holonómiáit, valamint egy konkrét rendszeren végzett számítással egy-qubit kaput valósítunk meg. Ezt követ en a 6. fejezetben bemutatjuk az összefonódott állapotoknál felmerül holonómiákat.

5. fejezet Tiszta állapotok holonómiája Nézzük meg, milyen holonómiák jelennek meg kvantumrendszerek leírásánál. A 3. fejezetben tárgyaltuk, hogy egy kvantumrendszer állapotát a Hilbert-tér sugarai reprezentálják. Ez a megállapítás máris megad egy természetes projekciót a Hilbert-térb l a Hilbert-tér sugarainak terébe. A Hilbert-téren, mint nyalábon megjelen holonómia az úgynevezett Pancharatnam holonómia. Miel tt ezt megvizsgálnánk, vegyük szemügyre a Berry-féle fázist, mely az els lépés volt a kvantumrendszerek holonómiáinak vizsgálatában. 5.1. Berry-fázis 5.1.1. Adiabatikus közelítés Tekintsünk egy olyan rendszert, melynek Hamilton operátora id függ, de az id függés nagyon lassú. A nagyon lassú adiabatikus változást jelent, a rendszer id fejl dése stacionárius állapotokon keresztül történik. Ez a lassúsági kritérium gyakran teljesül. Ez történik például akkor, amikor egy kísérleti elrendezésben változtatjuk a mágneses teret, és ennek a változásnak az id skálája nagyságrendekkel lassabb a hozzá csatolt kvantumrendszerénél. Az adiabatikus közelítés másik érdekes alkalmazási területe a kvantummechanikai soktestprobléma, ahol a potenciál, melyben az elektronok mozognak, változik az atommagok mozgásával, melyet azonban a konkrét problémától függ en adiabatikusnak tekinthetünk a jóval gyorsabb elektronok mozgásához viszonyítva. A probléma általánosításaként jelölje X = X(t) a Hamiltoni folytonosan és id ben adiabatikusan változó paramétereit! A lehetséges paramétereket az N paramétertér tartalmazza, mely legyen dierenciálható sokaság. A környezet változása egy folytonos görbét deniál N -ben. Ekkor a Hamiltoni H = H(X(t)) (5.1) a rendszer állapotainak H Hilbert-terén ható operátor. H vektorainak jelölje ket a görbe mentén ψ(x(t)) ψ(t) a rendszer kongurációs terének helyreprezentációjában a ψ(r, X(t)) ψ(r, t) = r ψ(t) hullámfüggvények felelnek meg. A Hilbert-tér skalárszorzatát a következ összefüggés deniálja: φ(t) ψ(t) = drφ(r, X(t))ψ(r, X(t)) (5.2) A rendszer id fejl dését az id függ Schrödinger-egyenlettel írjuk le: i t ψ(t) = H(t) ψ(t) (5.3) 25

5. FEJEZET. TISZTA ÁLLAPOTOK HOLONÓMIÁJA 26 A rendszer energiasajátállapotait a Hamilton operátor sajátértékegyenlete adja. Legyen most a spektrum diszkrét, a sajátállapotok pedig alkossanak teljes ortonormált rendszert! A különböz paraméterekre nyilván más és más energianívókat és sajátállapotokat kapunk: H(X(t)) n, X(t) = E n (X(t)) n, X(t) (5.4) Itt azt követeljük meg, hogy a nívók és a sajátállapotok sima és egyérték függvényei legyenek X-nek. (5.1 ábra) Ekkor X(t) folytonos változása mellett a sajátalterek folytonosan elfordulnak H-ban. 5.1. ábra. A paramétertér, a Hilbert-tér és az energianívók. Lássuk, miért lesz hasznos az adiabatikus közelítés! A holonómiák bevezetéséhez azt szeretnénk, hogy olyan kis energiájú legyen a paraméterek változása, hogy a rendszer végig megmaradhasson egy sajátenergiaszinten. Ahhoz tehát, hogy a közelítést alkalmazhassuk, eleve nem szabad, hogy a szomszédos nívók E n (X) nívófelületei a vizsgált X értékre összeérjenek, ugyanis egy ilyen ponton áthaladva a paraméterekkel, nem tudnánk kiküszöbölni azt, hogy a rendszer állapota bizonyos valószín séggel át ne csússzon egy másik energiájú sajátállapotba. Ezután a rendszer már a két sajátállapot szuperponált állapotába kerülhetne, amit már nem tudnánk a továbbiakhoz hasonló egyszer módon kezelni. A fentieken túl még azt is megköveteljük, hogy azokra a nívókra, amelyekre alkalmazni akarjuk a közelítést, teljesüljön a gap-feltétel, vagyis a nívók a vizsgált X értékre elég távol legyenek egymástól. Ez az elég távol azt jelenti, hogy a változás energiája jóval kisebb legyen a két nívó közötti gapnél: n, X(t) t H(X(t)) n + 1, X(t) E n (X(t)) E n+1 (X(t)) E n(x(t)) E n+1 (X(t)). (5.5) Tulajdonképpen e feltétel fejezi ki a közelítés adiabatikus voltát. Az imént bevezetett rendszer tehát egy közelítésen alapszik. Ezen a rendszeren be fogunk vezetni holonómiát. Kicsit kés bb megmutatjuk, hogy ez a közelítés hol sántít, valamint az Aharonov-Anandan fázisnál meg fogjuk látni, hogy a probléma közelítés nélkül is tárgyalható, ehhez csupán kissé más holonómiára lesz szükség. 5.1.2. Következmények Abeli esetben Amennyiben a fenti feltételek teljesülnek, és a rendszernek az a sajátaltere, melyb l az id fejl dést indítjuk, nem degenerált, akkor a rendszer állapota, mialatt (5.3) fejleszti az