Kvantum összefonódás és erősen korrelált rendszerek MaFiHe TDK és Szakdolgozat Hét Szalay Szilárd MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont, Szilárdtest Fizikai és Optikai Intézet, Erősen Korrelált Rendszerek Lendület kutatócsoport 2015 november 9
Kvantum korrelációk kvantum szuperpozíció elv: nemklasszikus viselkedés egyetlen rendszer: határozatlansági relációk összetett rendszer: nemklasszikus korrelációk (diszkord, összefonódás) tiszta összetett állapotnak is lehetnek kevert marginálisai Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 2 / 19
Kvantum korrelációk kvantum szuperpozíció elv: nemklasszikus viselkedés egyetlen rendszer: határozatlansági relációk összetett rendszer: nemklasszikus korrelációk (diszkord, összefonódás) tiszta összetett állapotnak is lehetnek kevert marginálisai soktest rendszerek: erősen korrelált rendszerek fizikája az (alap)állapot korreláció-szerkezete megjelenik a makroszkopikus fizikai tulajdonságokban is összefonódás felületi törvénye korrelációk és kvantumállapotok leírása (mátrix-szorzat állapotok) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 2 / 19
Kvantum korrelációk kvantum szuperpozíció elv: nemklasszikus viselkedés egyetlen rendszer: határozatlansági relációk összetett rendszer: nemklasszikus korrelációk (diszkord, összefonódás) tiszta összetett állapotnak is lehetnek kevert marginálisai soktest rendszerek: erősen korrelált rendszerek fizikája az (alap)állapot korreláció-szerkezete megjelenik a makroszkopikus fizikai tulajdonságokban is összefonódás felületi törvénye korrelációk és kvantumállapotok leírása (mátrix-szorzat állapotok) kevéstest rendszerek: kvantum információ elmélet hatékony kv. algoritmusok, titkos kv. kulcs megosztás, kv. teleportálás a kvantum korreláció egy erőforrás Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 2 / 19
A mi megközelítésünk diszkrét véges rendszerek klasszikus: véges sok pontból álló konfig. tér (érme: 2, kocka: 6,... ) kvantum: véges dimenziós Hilbert tér geometriai ránézés a kvantummechanika koncepcionális kérdéseit nem temetik maguk alá nehéz funkanal problémák :) és mégsem játék modell! Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 3 / 19
A mi megközelítésünk diszkrét véges rendszerek klasszikus: véges sok pontból álló konfig. tér (érme: 2, kocka: 6,... ) kvantum: véges dimenziós Hilbert tér geometriai ránézés a kvantummechanika koncepcionális kérdéseit nem temetik maguk alá nehéz funkanal problémák :) és mégsem játék modell! kvantum korrelációk, ahogyan én szeretem alapvető jelentőségű, szép, érdekes, mély problémák klasszikus vs. kvantum rendszerek információelméleti nézőpontból működik a laborban is Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 3 / 19
Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19
Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19
Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ időfejlődés (zárt rendszerben): Schrödinger egyenlet Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19
Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ időfejlődés (zárt rendszerben): Schrödinger egyenlet azonos rendszerek sokasága: kevert állapotok különböző ψ j H állapotvektorral, p j relatív gyakorisággal mérési várhatóértékek: A = j p j ψ j A ψ j = tr(ϱa) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19
Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), titszta állapot: ψ ψ P mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ időfejlődés (zárt rendszerben): Schrödinger egyenlet azonos rendszerek sokasága: kevert állapotok különböző ψ j H állapotvektorral, p j relatív gyakorisággal mérési várhatóértékek: A = j p j ψ j A ψ j = tr(ϱa) sűrűségoperátor ϱ = j p j ψ j ψ j D (kevert) állapotok tere: D = Conv P pozitív szemidefinit (és normált) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19
Állapotok Tiszta és kevert állapotok állapotvektorok, tiszta állapotok állapotvektorok tere: H Hilbert tér, d = dim H < állapotvektor: ψ H (normált), titszta állapot: ψ ψ P mérhető mennyiség ( obszervábilis ): A normális operátor mérési várhatóértékek: A = ψ A ψ időfejlődés (zárt rendszerben): Schrödinger egyenlet azonos rendszerek sokasága: kevert állapotok különböző ψ j H állapotvektorral, p j relatív gyakorisággal mérési várhatóértékek: A = j p j ψ j A ψ j = tr(ϱa) sűrűségoperátor ϱ = j p j ψ j ψ j D (kevert) állapotok tere: D = Conv P pozitív szemidefinit (és normált) időfejlődés (zárt rendszerben): Neumann egyenlet Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 4 / 19
Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19
Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Schur-konkáv: entrópia = kevertség Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19
Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Schur-konkáv: entrópia = kevertség Schumacher zajmentes kódolási tétel: Neumann entrópia = kvantum információ tartalom Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19
Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Schur-konkáv: entrópia = kevertség Schumacher zajmentes kódolási tétel: Neumann entrópia = kvantum információ tartalom megkülönböztethetőség mértéke: (Umegaki) kvantum relatív entrópia: D(ϱ ω) = tr ϱ(ln ϱ ln ω) együtt-konvex, nemnegatív, nulla pontosan ha ϱ = ω Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19
Állapotok Kevertség és megkülönböztethetőség kevertség mértéke: Neumann entrópia: S(ϱ) = tr ϱ ln ϱ konkáv, nemnegatív, nulla pontosan tiszta állapotokra Schur-konkáv: entrópia = kevertség Schumacher zajmentes kódolási tétel: Neumann entrópia = kvantum információ tartalom megkülönböztethetőség mértéke: (Umegaki) kvantum relatív entrópia: D(ϱ ω) = tr ϱ(ln ϱ ln ω) együtt-konvex, nemnegatív, nulla pontosan ha ϱ = ω kvantum Stein lemma: relatív entrópia = megkülönböztethetőség (tévesztés valószínűségének csökkenési rátája hipotézis tesztelésnél, Hiai & Petz) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 5 / 19
Állapotok Kevert állapotok általánosan ϱ D állapot, ϱ = j p j ψ j ψ j, dekompozíció nem e.ért. spec: ϱ = ψ ψ P = CP d 1 tiszta állapot Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 6 / 19
Állapotok Kevert állapotok általánosan ϱ D állapot, ϱ = j p j ψ j ψ j, dekompozíció nem e.ért. spec: ϱ = ψ ψ P = CP d 1 tiszta állapot D konvex test, extrém pontjai P D Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 6 / 19
Állapotok Kevert állapotok általánosan ϱ D állapot, ϱ = j p j ψ j ψ j, dekompozíció nem e.ért. spec: ϱ = ψ ψ P = CP d 1 tiszta állapot D konvex test, extrém pontjai P D Példa: qubit (d = 2) P = CP 1 = S 2 : Bloch gömb Bloch vektorral: ϱ = 1 2 (I + rσ) tiszta állapotok: r = 1 kevert állapotok: r < 1 középpont: r = 0 fehér zaj kevertség: r -függő Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 6 / 19
Állapotok Kevert állapotok általánosan ϱ D állapot, ϱ = j p j ψ j ψ j, dekompozíció nem e.ért. spec: ϱ = ψ ψ P = CP d 1 tiszta állapot D konvex test, extrém pontjai P D D(C 2 ) = D 3 1 3 2 Példa: qubit (d = 2) P = CP 1 = S 2 : Bloch gömb Bloch vektorral: ϱ = 1 2 (I + rσ) tiszta állapotok: r = 1 kevert állapotok: r < 1 középpont: r = 0 fehér zaj kevertség: r -függő Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 6 / 19
Állapotok Kevert állapotok II.? qudit (d > 2) tiszta állapotok tere: P = CP d 1 = S 2d 1 /S 1 már nem lesz gömbfelület de egy gömbfelületen lesz egy nullmértékű részhalmaz Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 7 / 19
Állapotok Kevert állapotok II.? qudit (d > 2) tiszta állapotok tere: P = CP d 1 = S 2d 1 /S 1 már nem lesz gömbfelület de egy gömbfelületen lesz egy nullmértékű részhalmaz állapotok tere: ennek konvex burka belül: rk ϱ = d a határon: rk ϱ < d (nem csak tiszta állapotok) tiszta állapotok: rk ϱ = 1 (extrém pontok) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 7 / 19
Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19
Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik ψ j H állapotvektorok, vagy ψ j ψ j P tiszta állapotok Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19
Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik ψ j H állapotvektorok, vagy ψ j ψ j P tiszta állapotok H: lineáris kombináció (szuperpozíció) c j C, c 2 = 1 ψ := j c j ψ j D: konvex kombináció (keverés súlyozott átlag ) p j R, p 1 = 1 ϱ := j p j ψ j ψ j Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19
Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik ψ j H állapotvektorok, vagy ψ j ψ j P tiszta állapotok H: lineáris kombináció (szuperpozíció) c j C, c 2 = 1 ψ := j c j ψ j Mérési statisztika: q i = j c j α i ψ j 2 D: konvex kombináció (keverés súlyozott átlag ) p j R, p 1 = 1 ϱ := j p j ψ j ψ j Mérési statisztika: q i = j p j α i ψ j 2 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19
Állapotok Tiszta és kevert állapotok II.: mérés? mérés A = i a i α i α i megfigyelhető mennyiség q i = α i ψ 2, vagy q i = tr(ϱ α i α i ) (Born) mérés után α i α i tiszta állapotba beugrik ψ j H állapotvektorok, vagy ψ j ψ j P tiszta állapotok H: lineáris kombináció (szuperpozíció) c j C, c 2 = 1 ψ := j c j ψ j Mérési statisztika: q i = j c j α i ψ j 2 interferencia! D: konvex kombináció (keverés súlyozott átlag ) p j R, p 1 = 1 ϱ := j p j ψ j ψ j Mérési statisztika: q i = j p j α i ψ j 2 nincs interferencia! Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 8 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. összefont álapot: mérés az egyiken a másik állapotát is beugrasztja (EPR baja) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. összefont álapot: mérés az egyiken a másik állapotát is beugrasztja (EPR baja) a részrendszerek állapota ϱ 1 = tr 2 ( ψ ψ ), ϱ 2 = tr 1 ( ψ ψ ) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. összefont álapot: mérés az egyiken a másik állapotát is beugrasztja (EPR baja) a részrendszerek állapota ϱ 1 = tr 2 ( ψ ψ ), ϱ 2 = tr 1 ( ψ ψ ) ψ összefont, akkor (és csak akkor) ϱ 1, ϱ 2 kevert! Schrödinger: az összetett rendszer teljes ismerete nem jelenti a részek teljes ismeretét Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek I.: tiszta állapotok összetett rendszer állapotvektorai Hilbert tér: H = H 1 H 2 ψ H állapotvektor (normált) Ha ψ = ψ 1 ψ 2 akkor szeparálható, különben összefont. összefont álapot: mérés az egyiken a másik állapotát is beugrasztja (EPR baja) a részrendszerek állapota ϱ 1 = tr 2 ( ψ ψ ), ϱ 2 = tr 1 ( ψ ψ ) ψ összefont, akkor (és csak akkor) ϱ 1, ϱ 2 kevert! Schrödinger: az összetett rendszer teljes ismerete nem jelenti a részek teljes ismeretét ekkor korrelált! (klasszikus tiszta állapot korrelálatlan) összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége (tiszta állapotra!): E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 9 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek II.: tiszta állapotok összefonódása összefonódási entrópia összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége (tiszta állapotra!): E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), de miért? Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 10 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek II.: tiszta állapotok összefonódása összefonódási entrópia összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége (tiszta állapotra!): E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), de miért? geometriai korreláció mérték: a leghasonlóbb korrelálatlan állapot statisztikus megkülönböztethetősége a relatív entrópiával számolva: min ω 1,ω 2 D( ϱ ω 1 ω 2) = D ( ϱ ϱ 1 ϱ 2) = S(ϱ 1 ) + S(ϱ 2 ) S(ϱ) = I (ϱ), kölcsönös információ Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 10 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek II.: tiszta állapotok összefonódása összefonódási entrópia összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége (tiszta állapotra!): E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), de miért? geometriai korreláció mérték: a leghasonlóbb korrelálatlan állapot statisztikus megkülönböztethetősége a relatív entrópiával számolva: min ω 1,ω 2 D( ϱ ω 1 ω 2) = D ( ϱ ϱ 1 ϱ 2) = S(ϱ 1 ) + S(ϱ 2 ) S(ϱ) = I (ϱ), kölcsönös információ klasszikus tiszta állapot korrelálatlan, tiszta kvantumállapot korrelációja: összefonódás (tiszta állapotban S(ϱ) = 0) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 10 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek III. példa: két qubit állapotvektorai H = C 2 C 2, és φ 0, φ 1 C 2 ortonormált szeparálható pl: 00 ( φ 0 φ 0 gyorsírás) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 11 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek III. példa: két qubit állapotvektorai H = C 2 C 2, és φ 0, φ 1 C 2 ortonormált szeparálható pl: 00 ( φ 0 φ 0 gyorsírás) maximálisan összefont pl: Bell állapotok B 0 = 1 2 ( 00 + 11 ) B 1 = 1 2 ( 01 + 10 ) B 3 = 1 2 ( 00 11 ) B 2 = i 2 ( 01 10 ) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 11 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek III. példa: két qubit állapotvektorai H = C 2 C 2, és φ 0, φ 1 C 2 ortonormált szeparálható pl: 00 ( φ 0 φ 0 gyorsírás) maximálisan összefont pl: Bell állapotok B 0 = 1 2 ( 00 + 11 ) B 1 = 1 2 ( 01 + 10 ) B 3 = 1 2 ( 00 11 ) B 2 = i 2 ( 01 10 ) LU-kanonikus alak: ψ α = cos α 00 + sin α 11 ekkor: ϱ 1 = tr 2 ( ψ α ψ α ) = cos 2 α 0 0 + sin 2 α 1 1 megmutatható: sin α jól méri az összefonódást Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 11 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek IV. két részrendszer, kevert állapotok H = H 1 H 2 (kevert) állapotok tere D, pozitív szemidefinit (és normált) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 12 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek IV. két részrendszer, kevert állapotok H = H 1 H 2 (kevert) állapotok tere D, pozitív szemidefinit (és normált) tiszta állapot ϱ = ψ ψ szeparálható, akkor ψ = ψ 1 ψ 2 ekkor kevert állapot ϱ = j p j ψ j ψ j szeparálható, ha létezik dekompozíció ψ j = ψj 1 ψ2 j, különben összefont Werner: klasszikusan korrelált forrásokal létrehozható Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 12 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek IV. két részrendszer, kevert állapotok H = H 1 H 2 (kevert) állapotok tere D, pozitív szemidefinit (és normált) tiszta állapot ϱ = ψ ψ szeparálható, akkor ψ = ψ 1 ψ 2 ekkor kevert állapot ϱ = j p j ψ j ψ j szeparálható, ha létezik dekompozíció ψ j = ψj 1 ψ2 j, különben összefont Werner: klasszikusan korrelált forrásokal létrehozható geometria állatok: D = Conv P tiszta állatok konvex burka extrém pontok: tiszta állapotok, szeparálhatóak és összefontak Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 12 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek IV. két részrendszer, kevert állapotok H = H 1 H 2 (kevert) állapotok tere D, pozitív szemidefinit (és normált) tiszta állapot ϱ = ψ ψ szeparálható, akkor ψ = ψ 1 ψ 2 ekkor kevert állapot ϱ = j p j ψ j ψ j szeparálható, ha létezik dekompozíció ψ j = ψj 1 ψ2 j, különben összefont Werner: klasszikusan korrelált forrásokal létrehozható geometria állatok: D = Conv P tiszta állatok konvex burka extrém pontok: tiszta állapotok, szeparálhatóak és összefontak szeparálható állapotok: D sep D, szep. tiszta állapotok konvex burka összefont állapotok: mindenki más D \ D sep Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 12 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek V.: kevert állapotok összefonódása entanglement of formation tiszta állapotok: összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége, E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), jelentése: korreláció geometriai mértéke Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 13 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek V.: kevert állapotok összefonódása entanglement of formation tiszta állapotok: összefonódás mértéke a részrendszer kevertsége, E( ψ ) = S(ϱ 1 ) (összefonódási entrópia), jelentése: korreláció geometriai mértéke kevert állapotok: az optimális dekompozíció átlagos összefonódása E(ϱ) = min ϱ= p j E( ψ j ) j p j ψ j ψ j entanglement of formation j Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 13 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek VI. példák: két qubit kevert állapotok ϱ = p B 0 B 0 + (1 p) B 3 B 3 p = 1 2 -re szeparálható: ϱ = 1 2 00 00 + 1 2 11 11 separable Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 14 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek VI. példák: két qubit kevert állapotok ϱ = p B 0 B 0 + (1 p) B 3 B 3 p = 1 2 -re szeparálható: ϱ = 1 2 00 00 + 1 2 11 11 separable megmutatható, hogy szeparálható akkor és csak akkor p = 1 2 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 14 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek VI. példák: két qubit kevert állapotok ϱ = p B 0 B 0 + (1 p) B 3 B 3 p = 1 2 -re szeparálható: ϱ = 1 2 00 00 + 1 2 11 11 separable megmutatható, hogy szeparálható akkor és csak akkor p = 1 2 B 3 B 3 B 0 B 0 B 3 B 3 t 3 t 2 B 0 B 0 B 1 B 1 B 1 B 1 t 1 B 2 B 2 B 2 B 2 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 14 / 19
Összetett rendszerek és összefonódás Összetett rendszerek VI. példák: két qubit kevert állapotok ϱ = p B 0 B 0 + (1 p) B 3 B 3 p = 1 2 -re szeparálható: ϱ = 1 2 00 00 + 1 2 11 11 separable megmutatható, hogy szeparálható akkor és csak akkor p = 1 2 másik szeparálható: ϱ = 1 i 4 B i B i = 1 4 I B 3 B 3 B 0 B 0 B 3 B 3 t 3 t 2 B 0 B 0 B 1 B 1 B 1 B 1 t 1 B 2 B 2 B 2 B 2 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 14 / 19
Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása I. CHSH (Bell) egyenlőtlenségek spinkorrelációs obszervábilis S a,a,b,b = aσ bσ + aσ b σ + a σ bσ a σ b σ Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 15 / 19
Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása I. CHSH (Bell) egyenlőtlenségek spinkorrelációs obszervábilis S a,a,b,b = aσ bσ + aσ b σ + a σ bσ a σ b σ CHSH egyenlőtlenség: (Clauser-Horne-Shimony-Holt) tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra = LHVM (Local Hidden Variable Model) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 15 / 19
Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása I. CHSH (Bell) egyenlőtlenségek spinkorrelációs obszervábilis S a,a,b,b = aσ bσ + aσ b σ + a σ bσ a σ b σ CHSH egyenlőtlenség: (Clauser-Horne-Shimony-Holt) tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra = LHVM (Local Hidden Variable Model) tiszta állapotokra: ϱ P sep tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 15 / 19
Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása I. CHSH (Bell) egyenlőtlenségek spinkorrelációs obszervábilis S a,a,b,b = aσ bσ + aσ b σ + a σ bσ a σ b σ CHSH egyenlőtlenség: (Clauser-Horne-Shimony-Holt) tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra = LHVM (Local Hidden Variable Model) tiszta állapotokra: ϱ P sep tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra általában nem elég: ϱ D sep = tr(ϱs a,a,b,b ) 2 bármely beállításra Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 15 / 19
Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása II. D D sep Tanúk Összefonódás tanú : W obszerv., σ D sep : tr(σw ) 0 és ϱ D \ D sep : tr(ϱw ) < 0 σ W > 0 W < 0 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 16 / 19
Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása II. σ D D sep Tanúk Összefonódás tanú : W obszerv., σ D sep : tr(σw ) 0 és ϱ D \ D sep : tr(ϱw ) < 0 minden összefont állapothoz lehet találni tanút D sep konvex halmaz körbevágása W > 0 W < 0 ϱ D sep W tr W ϱ 0 minden W tanúra, ϱ D sep = W tr W ϱ 0 valamely W tanúkra. Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 16 / 19
Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása II. D D sep σ W > 0 W < 0 Tanúk Összefonódás tanú : W obszerv., σ D sep : tr(σw ) 0 és ϱ D \ D sep : tr(ϱw ) < 0 minden összefont állapothoz lehet találni tanút D sep konvex halmaz körbevágása W CHSH = 2I I S a,a,b,b Bell-tanú (nem elég) ϱ D sep W tr W ϱ 0 minden W tanúra, ϱ D sep = W tr W ϱ 0 valamely W tanúkra. Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 16 / 19
Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása II. D D sep σ W > 0 W < 0 Tanúk Összefonódás tanú : W obszerv., σ D sep : tr(σw ) 0 és ϱ D \ D sep : tr(ϱw ) < 0 minden összefont állapothoz lehet találni tanút D sep konvex halmaz körbevágása W CHSH = 2I I S a,a,b,b Bell-tanú (nem elég) vannak nemlineáris kritériumok is, pl. nemlineáris Bell egyenlőtlenségek ϱ D sep W tr W ϱ 0 minden W tanúra, ϱ D sep = W tr W ϱ 0 valamely W tanúkra. Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 16 / 19
Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása III. entropikus kritériumok szeparálható állapot: az egész rendezetlenebb, mint a részek ϱ D sep = S(ϱ 1 ) S(ϱ) és S(ϱ 2 ) S(ϱ) pl. S(ϱ) = tr(ϱ ln ϱ) Neumann entrópia (Rényi, Tsallis is jó) Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 17 / 19
Összefonódás detektálása Összefonódás detektálása III. entropikus kritériumok szeparálható állapot: az egész rendezetlenebb, mint a részek ϱ D sep = S(ϱ 1 ) S(ϱ) és S(ϱ 2 ) S(ϱ) pl. S(ϱ) = tr(ϱ ln ϱ) Neumann entrópia (Rényi, Tsallis is jó) spec: ϱ = ψ ψ P tiszta: S(ϱ) = 0 ϱ P sep S(ϱ 1 ) = 0 és S(ϱ 2 ) = 0 Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 17 / 19
Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19
Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Az összefonódáselmélet problémái kettőnél több részrendszerre Szalay, Phys. Rev. A 92, 042329 (arxiv:1503.06071 [quant-ph]) összefonódás osztályozása Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19
Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Az összefonódáselmélet problémái kettőnél több részrendszerre Szalay, Phys. Rev. A 92, 042329 (arxiv:1503.06071 [quant-ph]) összefonódás osztályozása összefonódás detektálása Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19
Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Az összefonódáselmélet problémái kettőnél több részrendszerre Szalay, Phys. Rev. A 92, 042329 (arxiv:1503.06071 [quant-ph]) összefonódás osztályozása összefonódás detektálása összefonódás mennyiségi jellemzése Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19
Levezetés Mit láttunk? Mit vigyünk haza? kvantumállapotok konvex halmaza geometriai ránézés Az összefonódáselmélet problémái kettőnél több részrendszerre Szalay, Phys. Rev. A 92, 042329 (arxiv:1503.06071 [quant-ph]) összefonódás osztályozása összefonódás detektálása összefonódás mennyiségi jellemzése ezek alkalmazásai... Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 18 / 19
Levezetés Köszönöm a figyelmet! ősz eleje: összefonódás nap a Wignerben tavaszi félév: bevezető összefonódás speci a BME-n szalay.szilard@wigner.mta.hu Szalay Szilárd (MTA Wigner FK, SzFI) Kvantum összefonódás 2015 november 9 19 / 19