BUDAPSTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI GYTM Műszai Mechaniai Tanszé IRTUÁLIS MUNKA L ÉGS LM MÓDSZR ALAPJAI OKTATÁSI SGÉDLT
Összeállította: dr. örös Gábor, egyetemi docens 3. november módosítva: 5. anuár
3 TARTALOM. Bevezetés... 4.. irtuális elmozdulás, virtuális muna... 4.. irtuális muna elve...5. A virtuális muna elve ontinuumora... 7.. lmozdulás növeménye... 9.. Kis növeménye....3. Kis alaváltozáso....4. Lineárisan rugalmas is alaváltozáso... 3. éges elem módszer, eleme és mátrixo... 4 3.. Analízis... 8 3... Lineáris statia... 8 3... Másodrendű elmélet... 8 3..3. Lineáris stabilitásszámítás... 9 3..4. Saátfrevenciá számítása... 4. Kiegészítő irodalom...
e e 4. Bevezetés A rövid összefoglaló elsődleges céla a ontinuumo mozgásána vizsgálata, mégis célszerű először csa az egy tömegpontra, illetve véges számú tömegpontból álló egyszerű mechaniai rendszerere vonatozó energetiai alapelve átteintése. ze után az elveet általánosíthatu a deformálható testere, ontinuumra... irtuális elmozdulás, virtuális muna Az. ábra szerint egy tömegpont, amelyi a t időpontban az R helyvetorral adott ezdeti helyzetében van, a rá ható erő vagy ényszere által megszabott pályagörbe mentén t> idő után elut az r vetorral megadható helyzetbe, r(t) a tömegpont mozgástörvénye. Az elmozdulás vetor a pillanatnyi és a ezdeti helyzet ülönbsége, u r R. A ténylegesen megvalósuló pillanatnyi helyzet, illetve az r(t) mozgástörvény ami az adott mechaniai feladat megoldása tuladonságait vizsgálu meg úgy, hogy innen iindulva, változtassu meg az elmozdulás vetort egy igen icsi értéel. A módosított elmozdulás legyen olyan, hogy az (u + ) helyzet is felelen meg az esetleges ényszere által ielölt orlátozásona. z természetesen nem egy ténylegesen megvalósuló, hanem csa egy elépzelt, lehetséges helyzet, mászóval a egy virtuális elmozdulás és az (u + ) pedig egy inematiailag lehetséges elmozdulás. ttől elteintve a virtuális elmozdulás bár icsi, de tetszőleges. A virtuális elmozdulást eze szerint úgy is meghatározhatu, hogy az a ténylegesen megvalósuló pillanatnyi helyzet és enne is örnyezetében lévő, mási inematiailag lehetséges helyzet ülönbsége, (u + ) u. F e 3 t R r u t >.ábra
5 Ha az F vetor elöli a tömegpontra ható erő eredőét, aor enne az erőne a munáa a virtuális elmozduláson a virtuális muna: δw F. (.) gy M elemből tömegpontból - álló mechaniai rendszerre az összes virtuális muna M M δw δw F. (.) Ha a vizsgált tömegpont egy összetett mechaniai rendszer része, aor az F eredő a belső erőet is tartalmazzá... irtuális muna elve gy tömegpont nyugalomban van - illetve állandó sebességgel mozog - ha a rá ható erő eredőe zérus, azaz F és ezért a virtuális elmozduláson végzett (.) virtuális muna δw F. gyensúlyban lévő mechaniai rendszernél a virtuális muná összege zérus: M δw F. (.3) Newton másodi axiómáa szerint a tömegpont mozgásegyenlete F ma, illetve F - ma, ahol a d u/dt a tömegpont gyorsulása és a (-ma) a tehetetlenségi erő. zt az (.) virtuális muna definícióába helyettesítve δw ( F mu& ). Ha a mozgásegyenlet a mechaniai rendszer minden elemére telesül, aor M M δw ( F - m a ) δwf m u&, (.4) ami a virtuális muna elvéne egyi alaa. A inematiailag lehetséges is virtuális elmozdulásoon az erő munáána megváltozása zérus, ha a mechaniai rendszer minden eleméne a ényszere által megszabott mozgására a mozgásegyenlet telesül. A δw F elöli a rendszerre ható összes ülső és belső erő virtuális munáát. z az eredmény anna a övetezménye, hogy Newton másodi axiómáa, vagyis a mozgásegyenlet a rendszer minden elemére telesül.
6 Az (.3) és (.4) egyenlete formálisan azonosa, ha a mechaniai rendszerre ható tényleges ülső erőet a (-ma ) tehetetlenségi erőel is iegészítü. Az így iegészített erőrendszer egyensúlyi feltétele a mozgásegyenlete telesülését is biztosíta. z a D'Alambert elv. Az (.4) nem csa egy rögzített t időpillanatban, hanem a mozgás egészére igaz. Integrálu az (.4) egyenlet mindét oldalát egy (t, t ) időintervallumra, t t δw m a dt. M F A másodi tag a szorzat integrálás szabálya szerint átalaítható: t t u& m dt t t t t [ u& m ] u& u& m dt [ u& u m ] ( m u& u& ) dt t δ δ t δ t A másodi tagban az integrandusz δ, a -edi elemne a virtuális mozgásból virtuális sebességből számolt mozgási (inetiai) energiáa. Ha az integrál határait úgy vesszü fel, hogy az első tago összege zérus, és elöli a rendszer összes mozgási energiáát, aor az eredmény ami a Hamilton elv általános alaa. t ( δwf + δ) dt, (.5) t t. Az (.3) elvben az F eredő erő a belső erőet is tartalmazzá. Ha egy rendszerből iemelün egy részt, aor a örnyezet hatását ifeező belső erő a iválasztott rész szempontából ülső erőne minősülne. Bár a belső erő összege zérus, a belső erő virtuális munáána összege nem feltétlenül zérus, mivel a rendszer elemeine távolsága a inematiailag lehetséges mozgáso során változhat. Az összes virtuális muna a belső erő (B) és a ülső erő (K) munáána az összege. δw δw + δw. (.6) F B K
7. A virtuális muna elve ontinuumora A övetezőben teintsü a. ábrán vázolt, ezdetben a térrészt elfoglaló ontinuumot, amelyne az A u felületrészén adott az u elmozdulás vetor értée (geometriai vagy inematiai peremfeltétel), az A p felületrészen pedig a p felületi terhelés (dinamiai peremfeltétel). izsgálu a test mozgásána egy tetszőleges özbenső helyzetét, amior feltételezésün szerint ismerü a ülső hatásoat és a test mechaniai állapotát leíró mennyiségeet, vagyis ismerü a megoldást. A ülső hatáso a p p e a felületi erő terhelés - a test A p elű ülső felületén, q q e térfogati erőhatás a test által elfoglalt térrészen uˆ uˆ e a felületi ponto előírt mozgása a test A u elű ülső felületén, H H e e a ülső és belső erőtől független, a ezdeti onfigurációra n n vonatoztatott alaváltozáso, más szóval az expanziós terhelés (például hőtágulás), a mechaniai állapotot ellemző mennyisége pedig az u u e elmozdulás vetor, n K K e e a szimmetrius II. Piola-Kirchhoff féle feszültség tenzor és n n H H e e a Green-Lagrange féle alaváltozási tenzor. n A Green-Lagrange féle alaváltozási tenzor oordinátái az elmozdulás vetorral ifeezve: H n ( u + u + u u ) [( δ + u )( δ + u ) δ ] ; n H n; n t; [( δ + D )( δ + D ) δ ] t t tn t t; tn tn n n, (.) ahol I δ e en elöli az egységtenzort, D grad( u) D e en u e en az u elmozdulás n vetormező gradiens tenzora és u ; n a ovariáns derivált. n ; n ze a mennyisége mind a test ezdeti onfigurációához tartozó derészögű oordinátarendszerben adotta, melyne bázis egységvetorai e, e és e 3. Az alaváltozási és feszültségi állapot leírására használatos vetor és tenzor mező származtatásána, valamint az itt használt összegzési onvenció és ovariáns derivált definícióána további részleteivel többe özött - az [] és [] önyve foglalozna.
8 Az. feezet gondolatmenetét övetve, egy ismertne teintett egyensúlyi helyzetből iindulva is mértében változtassu meg az u elmozdulás vetormezőt úgy, hogy az így előálló ú (u + ) vetormező is egy inematiailag lehetséges az A u felületen az uˆ u + megtámasztási feltételeet telesítő mozgást íron le, azaz az A u felületen. Az elmozdulás megváltozása, más szóval a virtuális elmozdulás, olyan icsi, hogy a test geometriáána megváltozását és a ülső és belső erő változását is figyelmen ívül hagyhatu. A virtuális mozgáso során az (.4) elv és az (.6) felbontás szerint a ülső erő beleértve a tehetetlenségi erőt is - és belső erő összes virtuális munáa zérus: részletezve, δw B - δw + δw, (.) B K K δh d K n δh n d, δw K q d + p da q d + p da. A (.) alapán számolható a Green-Lagrange féle alaváltozási tenzorna a virtuális mozgáso öveteztében ialauló δh változása, a virtuális alaváltozás: ami az ( δ u ) tn + t; δh [( δ + u ) + ( δ u ) ] tn t; t t;, n + tenzor szimmetrius része. Ha ezt a (.) egyenletbe helyettesítü, és figyelembe vesszü, hogy a K n feszültség tenzor szimmetrius, aor elutun a virtuális muna elvéne általános alaához, K vagy ( δ + u ) d + q d + p da, ( K t + K nu ) t; d + q d + p da, n tn t;, (.3) ami szerint, ha egy u elmozdulás vetormezővel megadott helyzetben bármely virtuális elmozdulásra a (.3) egyenlet telesül, aor az u az adott feladat megoldása, feltéve, hogy az u és a (u+) elmozduláso is inematiailag lehetségese. Az eddigie során nem tettün semmiféle orlátozó iötést a test anyagára, vagy az elmozduláso, alaváltozáso mértéére.
9.. lmozdulás növeménye A továbbiaban vizsgálu a test alaváltozási folyamatána ét egymást övető, egyensúlyi helyzetét (. ábra). Az első helyzetben, amit a p és q terhelése hozta létre, és a továbbiaban alapállapotna nevezün, az elmozdulás vetort és a feszültségi tenzort elöle u, K. Az ezt övető, ugyancsa egyensúlyi állapotban a terhelés legyen (p + p) és (q + q), a megváltozott elmozdulás vetor és feszültség tenzor pedig (u + u) és (K + K). A ét állapot özötti változásoat növeményene nevezzü. Mindét egyensúlyi állapotra telesül a (.3) virtuális muna elve: ( δtn + u ) t; d + q d + p da K n, ( K n + K n )( δtn + u + u ) t; d + ( q + q ) d + ( p + p ) da A szorzáso elvégzése után a ét egyenlet ülönbségét épezve a maradé rész: [ K n ( δtn + u + u ) + K nu ] t; d + q d + p da.. (.4) z az elmozdulás vetormező növeményére vonatozó virtuális muna elve, ami szerint egy u egyensúlyi alapállapotból iindulva az u elmozdulás növemény egy mási egyensúlyi helyzetet elöl i, ha bármely virtuális elmozdulásra a (.4) feltétel telesül, feltéve, hogy az (u +u) és az (u +u+) elmozduláso is inematiailag lehetségese. A (.4) a virtuális muna elvéne egy olyan általánosítása, ami a ülönböző végeselem modelle származtatásána alapa. Fontos megegyezni, hogy az anyagtörvényre, a mozgáso és növeménye mértéére vonatozóan változatlanul nem tettün semmiféle orlátozást. P u p e 3 e e A u û q P û u P q + q p +p. ábra A ontinuum mozgása
A Green-Lagrange féle alaváltozási tenzor az alapállapotra és az u elmozdulás növeménnyel ielölt ú állapotra a (.) alapán H H + H [( δ + u )( δ + u ) δ ] [( δ + u + u )( δ + u + u ) δ ]. ze ülönbsége a H alaváltozás növeménye tenzora, tp tp t; p t; p tr t; p tr t; r t; r, t; r [( u + u + u u + u u u u )] H p; r r; p t; p t; r t; p t; r + t; r t; p, (.5) amine oordinátái nagy alaváltozáso esetén az u elmozdulás növemény mellett az alapállapotot ellemző u elmozdulásotól is függene. A (.4) általános alaból iindulva az anyagtuladonságra, a mozgáso mértéére, a ülső hatáso és a mozgáso apcsolatára vonatozó feltételezése alapán ülönböző mechaniai modellere érvényes elveet lehet levezetni. ze özül csa néhány lehetőséget sorolun fel... Kis növeménye Tételezzü fel, hogy az elmozdulás növeménye icsi, pontosabban az u elmozdulás növemény D gradiens tenzora az I egységtenzorhoz épest elhanyagolható. Ilyenor a (.4) elvben az ( + u + u ) ( δ + u ) özelítést lehet alalmazni. zzel a (.4) ú alaa δ (.6) tn t,n t,n [ K n ( δtn + u ) + K nu ] t; d + q d + p da tn t,n. (.7) A (.5) H alaváltozási növemény tenzor - hasonló megfontolás szerint linearizált - alaa az egyszerűsítés után: [( u + u + u u u u ] H p; r r; p t; p t; r + t; r t; p ). (.8) A virtuális muna elvéne (.7) alaából származtathatu az elmozdulás növeményere nézve lineáris egyenleteet. hhez még szüséges a K n feszültség növemény és a H alaváltozás növemény vagy az u t;n elmozdulás növemény gradiens apcsolatána az anyagtörvény onrét alaána ismerete is.
.3. Kis alaváltozáso Legyene az alapállapotot elentő alaváltozáso is icsi. bben az esetben az u ezdeti elmozdulás D gradiens tenzora is elhanyagolható az I egységtenzorhoz épest, azaz ( tn + u t,n + u t,n ) δtn δ, (.9) A (.5) vagy (.8) H alaváltozás növemény tenzorból is hagyu i a másodrendben is mennyiségeet: ( u + u ) ( D D ) H ε p; r r; p + rp. (.) Itt a szoásos módon ε elöli a is alaváltozáso tenzorát. Mivel ez csa az u elmozdulás vetor növemény oordinátáina lineáris függvénye, a szuperpozíció elve ettől ezdve használható. Jelölü is alaváltozásonál a feszültség tenzort is a szoásos módon: K σ. ze után a (.7) virtuális muna elve a övetező formában írható, [ σ t + σ u ] t; d + q d + p da n. (.) Ismét érdemes hangsúlyozni, hogy az anyagtuladonságra, az anyagtörvény onrét alaára vonatozóan változatlanul nem tettün semmiféle orlátozást..4. Lineárisan rugalmas is alaváltozáso A is alaváltozásoat végző, lineárisan rugalmas anyagú testenél a σ feszültségi tenzor és az ε alaváltozási tenzor oordinátái özötti apcsolat az alapállapotban is és az elmozdulás növeménye utáni ú állapotban is az alábbi lineáris egyenleteel - az általános Hooe törvény formáában - írható fel: σ n σ + σ n n C C n n ( ε ε ) ( ε ε + ε ε ), (.) ahol C n az anyagellemző mátrixa, ami anizotróp anyagnál legfelebb, de izotróp test estén csa független anyagellemzőt tartalmaz. Az ε és ε tenzoro a ülső és belső erőtől független alaváltozáso, az expanziós terhelése (például hőtágulás, vagy a fázisátalaulást, száradást ísérő térfogatváltozás, stb.) ezdeti értéét illetve növeményét
írá le. A feszültség növemény és az alaváltozás növemény apcsolata a (.) anyagtörvényből, az ott felírt ét egyenlet ülönbsége: ( ε ) σ (.3) n Cn ε ze alapán a (.) virtuális muna elve a övetező formában írható fel: [ Ct ( ε ε ) + σ nu ] t; d + q d + p da, (.4) illetve, mivel a σ feszültség tenzor is és az ε, ε alaváltozási tenzoro is szimmetriusa és a virtuális elmozdulásoból számolt virtuális alaváltozás a (.4) átírható a övetező alara: ( ) δε p; r + r; p, - C ε δε t d u σ n t; d + Ctε δε t d + q d + p da t. vagy a (.3) felhasználása után, is átalaítással, δ [ σ t ( ε t ε t ) + u σ nu t; ] d + q d + p da -. (.5) Ha a ülső erő az elmozdulásotól függetlene, azaz aor a virtuális muna (.5) elvét a δ C q. δ(q.u) és p. δ(p.u), (.6) t ε ε t d u σ nu t; d + Ct ε ε t d q u d p u da + +. (.7) formában írhatu fel, amit a teles potenciális energia szélsőérté elvéne, vagy a lineáris rugalmasságtanban a Lagrange féle szélsőérté elvne is szota nevezni. A (.7) a (.3) anyagtörvény alapán átrendezhető: δ [ σ t ( ε t ε t ) + u σ nu t; ] d + q u d + p u da, vagy ugyanez szimbolius elöléseel:
3 δ T [ σ ( ε ε ) + D σ D ] d + q u d + p u da A virtuális muna elve a teles terhelési, alaváltozási folyamat bármely özbenső, pillanatnyi egyensúlyi állapotára érvényes. Ha test mozgása gyors, aor a ülső erő, a terhelése özött figyelembe ell venni a tehetetlenségi erőet is. A D Alambert elv szerint a térfogaton megoszló tehetetlenségi erő értée q ρ& u&, ahol ρ a test tömegsűrűsége és a ét pont elöli az idő szerinti deriváltat, a gyorsulás vetort. zzel iegészítve a (.5) egyenletet,. + C t C t ε ε δε t δε t d d + u q t,n σ n t, d + d p ρu & da d +, (.8) a mérnöi gyaorlatban legtöbbször előforduló, a lineárisan rugalmas szerezete statiai, stabilitási és dinamiai vizsgálatára alalmas alapelvhez utun. A (.8) a övetező formában is megfogalmazható: A lineárisan rugalmas anyagú, is alaváltozásoat végző szerezet terhelése a p felületi és a q térfogati erőrendszere, valamint az ε tenzorral megadott, a p és q terhelésetől független, egyéb ülső hatáso öveteztében ialauló alaváltozás. A szerezet ezdeti - ismertne teinthető - egyensúlyi feszültségi állapotát a σ tenzor mező íra le. Ha egy inematiailag lehetséges, más szóval a geometriai peremfeltételene pontosan megfelelő u elmozdulás vetorra telesül a (.8) feltétel, aor az u vetor az adott rugalmasságtani feladat megoldása. Az ε alaváltozási és σ feszültségi tenzoro valamint az u apcsolata, az eddigie alapán: ε ( u + u ) ( D + D ) σ p; r n C r; p n ( ε - ε ) rp. (.9)
4 3. éges elem módszer, eleme és mátrixo A továbbiaban, a virtuális muna elvéne a (.8) alaából iindulva, átteintü a végeselem módszer lényeges lépéseit. A mátrixoat, a vetor és tenzor mennyiségetől megülönböztetve, aláhúzás nélül elölü, és ahol szüséges, a soro és oszlopo számát a elölés alatti záróelben adu meg. A mechaniai mező és a terhelése oordinátáit célszerűen oszlopvetoroba rendezzü el, melye mérete és belső elrendezése az adott feladat ellegétől (rúdszerezet, lemezfeladat, stb.) függ. Az elmozdulás, az elmozdulás gradiens, az alaváltozási, feszültségi és ezdeti feszültségi mátrixo oszlop vetoro - elölése legyen u u, u D D, ε ε, σ σ, σ σ, (3.a) ; n n n n n a terheléseet megadó mennyisége mátrixai p p, q q, ε ε, (3.b) és a rugalmas test anyagellemzőine szimmetrius mátrixa m C n C. (3.c) A vizsgálandó szerezet vagy ontinuum által elfoglalt tartományt felosztu M véges számú és véges méretű e elemre, amelye felületén, esetleg a belseében is, ielölü a csomópontoat. A (.8) elvben szereplő integrálo az egyes elemere vonatozó integrálo összege lesz: M ( ) d (...)d e e.... gy anyagi pont mozgását n adat íra le (például 3 vetor oordináta). Az e sorszámú elemnél az i-edi csomópont elmozdulás ellemzőit rendezzü el a csomóponti mátrixba, melyne mérete (n,), n sor és oszlop. Ha az elem csomópontaina száma p, aor az elemhez tartozó elmozdulás ellemző száma, vagyis az elem szabadságfoa, N pn. Az elem szabadságfoo mátrixa legyen (T a transzponálás ele) i T T T [,, ] T e U..., ( N, ). (3.) A szerezet összes csomóponti elmozdulás paraméterét tartalmazó U mátrix, ha az egész rendszerben a csomóponto száma P : T T T [,, ] T U..., p. (3.) P
5 Az eleme belső pontaiban az u elmozdulás vetormező oordinátáina értéét interpolációs függvényeel számolu, melyeet az N interpolációs mátrixban rendezün el: u e N U. (3.3) (n,) (n,n) (N,) Az interpolációs függvénye általában polinomo, foszámuat a csomóponti n szabadságfoo számától függően ell meghatározni. Az interpolációs függvénye onrét formáa ugyan elemtípusonént változó, de a övetező általános szabályoat minden esetben érvényesíteni ell. Az eleme csatlaozó oldalfelületei vagy oldalai mentén a megfelelő elmozdulás oordinátá legyene folytonosa, legyene lineárisan függetlene, továbbá ha a csomóponti elmozduláso az elem merevtestszerű mozgását adá, aor bármely belső pontban az alaváltozáso és feszültsége értée legyen zérus. Az interpolációs függvénye ismeretében a (.9) összefüggéseből i lehet számolni az elem belső pontaiban az elmozdulás gradiens és az alaváltozási tenzor elemeit tartalmazó mátrixoat: D S U, ε H S U B U U B e e e e T T. (3.4) A virtuális elmozdulás és az ebből számolt virtuális mennyisége, mivel most már csa a csomóponti értée változhatna: et u N U D S U U S ε B U U B e e et T e δ δ, δ δ δ, δ δ δ T. (3.5) ze után, a (3.a-c) elölése és a (3.4), (3.5) definíció felhasználásával felírhatu a (.8) virtuális muna elvében szereplő hat integrál egy elemre vonatozó értéeit, amiből az egyes elemmátrixo származna.. Merevségi mátrix Az elem e merevségi mátrixa a származtatás módából övetezően szimmetrius. e T e e T e e C T t ε δε t d δu B C B d U δu U. (3.6) (N,N) e e. Geometriai merevségi mátrix A geometriai merevségi mátrixban megelenne a ezdeti feszültségi állapot oordinátái. e T e e T e e u T t, n σ n t, d δu S σ S d U δu G U. (3.7) e e (N,N)
6 3. Tömegmátrix zzel a taggal aor ell számolni, amior a gyorsan változó folyamatonál a tehetetlenségi (inercia) erő az egyéb terhelésehez épest nem elhanyagolhatóa. A csomóponti paramétere ilyenor az idő egyváltozós függvényei leszne. e ρu d δ ρ d && δ et T e et e e && U N N U U m U. (3.8) e (N,N) A tömegmátrixna ezt a formáát onzisztens tömegmátrixna nevezi, és igazolható, hogy a fenti definíció a tömeg azonossága mellett a mozgási energiá azonosságát is biztosíta: e e e ρ u T u d & & U m U. e (N,N) A onzisztens tömegmátrix helyett gyaran használá a diagonál szerezetű, úgynevezett oncentrált tömegű (lumped) tömegmátrixot, amit a transzlációs mozgásohoz tartozó tömege (és esetleg a forgásohoz tartozó tehetetlenségi nyomatéo) azonossága alapán származtathatun. A étféle tömegmátrix használatával természetesen eltérő numerius eredményeet apun, de az eleme méreténe csöentésével az eredménye özötti eltérés is csöen. A diagonál mátrix szerezet a nagyméretű saátérté feladato megoldását elentősen gyorsíta. & & && 4. Terhelése A ülső, elmozdulásotól független erőhatásoat tartalmazó három tagból származtatható az elem P e tehervetora. Az itt szereplő ε tenzor tartalmazza a hőmérsélet változásából adódó terheléseet. Ha az anyag izotróp és α elöli az iránytól független falagos hőtágulási együtthatót, aor ε e αt δ, ahol T e az elem hőmérsélet változása. Az eredő elem tehervetor: C ε δε d + q d+ p da t t e e Aep δ U B C ε d + Nqd + NpdA δu Q e e Aep et T T T et e ( N, ). (3.9) A (.7) virtuális muna elvében szereplő integrálo a fenti (3.6.-3.9.), az egyes elemere vonatozó részintegrálo összegeiént írható fel:
7 M e ( G + ) et e e e e e e e δ U U U m U && Q. Mivel a szerezet felosztásaor meghatározott eleme csatlaozó csomópontaiban az elmozdulás paramétere (szabadságfoo) értée azonos, az ezehez apcsolódó elem mátrix elemere az összegzést elvégezhetü. Az elemere vonatozó mennyisége összegzése után a fenti egyenlet a ( && G ) T δ U KU K U MU+ Q alara rendezhető, ahol K, K G, M, szimmetrius mátrixo, P és U oszlop vetoro. ze az egész rendszerre vonatozó mátrixo. Mivel a δu virtuális csomóponti elmozdulás az A u megtámasztási felületen ívüli csomópontoban tetszőleges, a KU + K U + MU && Q (3.) G feltételne ell telesülni. A (3.) egyenlet megoldása, feltéve, hogy a szerezet A u elű felületén lévő csomópontoban az U megfelelő elemei azonosa az ott előírt mozgásoal, vagyis eleve telesíti a inematiai ényszerfeltételeet (inematiailag lehetséges mozgás), az egész szerezetre vonatozó megoldást szolgáltat. Az U megoldásból iemelve a (3.) U e elem szabadságfo mátrixoat, a feszültsége az eleme belső pontaiban a (.4) és (3.5) alapán számolhatóa: σ e e ( B U ε ) D. (3.) z természetesen özelítő megoldás, mivel a (3.3) interpoláció a belső ponto mozgását csa özelítőleg íra le. A özelítő megoldás itt azt elenti, hogy a (3.) egyenletrendszer megoldásából iszámított (3.) belső erő, feszültsége ugyan özelítő értée, de - a tehetelenségi erőel iegészítve - egyensúlyi erőrendszert alotna. nne magyarázata az, hogy a virtuális muna elve amine végső formáa itt a (3.) egyenlet - egy özelítő elmozdulás mezőre pontosan telesül. A csomóponto özötti távolságo csöentésével, vagyis az eleme méreténe csöentésével ami elemszám és szabadságfo szám növelést elent a megoldás hibáa is csöen. Természetesen, ha a (3.3) interpolációs függvényeből a pontos elmozdulás vetor előállítható, aor a (3.) U megoldása a csomóponto pontos elmozdulása lesz. rre csa egyszerűbb szerezete - például rúdszerezete - egyszerű terheléseinél lehet számítani.
8 3.. Analízis A (3.) egyenlet a is alaváltozásoat végző, lineárisan rugalmas anyagú szerezetenél ülönböző feladattípuso megoldására alalmas. A övetező feezeteben ezeet a lehetőségeet teintü át röviden. 3... Lineáris statia Ha a szerezet feszültségmentes ezdeti állapotból iindulva, lassú mozgásoat végez, aor a végső egyensúlyi helyzetet a lineáris egyenletrendszer megoldásával lehet meghatározni. 3... Másodrendű elmélet K U Q (3.) Szerezetenél a lineáris elmélet alalmazása lényegében azt elenti, hogy az egyensúlyi feltételeet az eredeti, terhelés előtti ala méretei alapán határozzu meg. Nagyobb alaváltozáso esetén azonban figyelembe ell venni a szerezet geometriáána folyamatos változását is. Például a nagy mozgásoat végző, lineárisan rugalmas anyagú szerezetere vonatozó végeselem alapegyenlet a virtuális muna elvéne (.7) alaából származtatható, ami nemlineáris egyenletehez vezet. A nemlineáris egyenlete hosszadalmas, iterációs algoritmusoal oldható meg. Haléony rugalmas szerezetenél a oblémána özelítő, de a gyaorlat számára ielégítő pontosságú megoldása a másodrendű elmélet, amior az iterációs elárásna csa az első ét lépését végezzü el. lőször, feszültségmentes ezdeti állapotot feltételezve megoldu a (3.) lineáris egyenletet. A másodi lépésben ebből a megoldásból meghatározzu a (3.) egyensúlyi belső erő eloszlást, amit ezdeti feszültségi állapotna teintve iszámítu a (3.7) geometriai merevségi mátrixot. A ( G ) K + K U Q (3.3) lineáris egyenletrendszer megoldásával iszámítu a pontosított mozgásoat, belső erőet és feszültségeet. A (3.3) egyenlet úgy is értelmezhető, hogy az egyensúlyi egyenleteet a terhelés által deformált alara íru fel. z természetesen további mozgásoat induál és az elárást az így előálló ú alazatra, mint ezdeti állapotra megismételhetnén.
9 A másodrendű elmélete alalmazása során az egyenes rudaból és sí lemezeből álló szerezetenél még további egyszerűsítéseet is alalmazna, amior csa a húzó-nyomó igénybevétele és a halító igénybevétele apcsolatánál veszi figyelembe a mozgásoat, a többi igénybevétel vonatozásában az eredeti egyenes vagy sí alazatot használá. A ezdeti feszültségere nézve ez azt elenti, hogy a geometriai merevségi mátrix számításánál a σ ezdeti feszültségene csa a húzásból vagy nyomásból származó tagaival számolun. Lehetséges, hogy a (K + K G ) módosított együttható mátrix szinguláris lesz és a (3.3) lineáris egyenletrendszerne nincs megoldása. z a elenség aor mutatozi, ha a ülső terhelés nagyobb, mint a rendszer ritius, stabilitásvesztést oozó terhelése. 3..3. Lineáris stabilitásszámítás A lineáris stabilitásszámítás céla a ritius terhelés értééne meghatározása. A ritius terhelési szintet elérve a szerezet egésze, vagy egyes elemei elveszíti további teherviselő épességüet, mozgásu határozatlanná váli. A érdés tehát az, hogy egy adott terhelési szinthez egy vagy több egyensúlyi állapot tartozi. Ha csa egy lehetséges egyensúlyi helyzet van, aor az stabil. Meg ell vizsgálni statius esetre, hogy egy egyensúlyi helyzetből, mint alapállapotból iindulva a terhelése változatlan értée mellett (zérus teher növemény) létezhet e zérustól ülönböző elmozdulás növemény, pontosabban, a ( K + K ) U homogén lineáris egyenletrendszerne mior lehet U megoldása. G (3.4) A geometriai merevségi mátrix (3.7) alaából látszi, hogy az a ezdeti feszültsége, illetve ezen eresztül a ezdetine teintett állapotot létrehozó ülső terhelése lineáris függvénye: G ( λ ) λ G ( ) K σ Κ σ. A (3.4) lineáris egyenletrendszerne csa aor lehet U megoldása, ha az együttható mátrix determinánsa zérus, [ K + λ K ( σ ) det ]. (3.5) G z egy saátérté számítási feladat, a legisebb λ saátérté a ritius terhelési paraméter, a hozzá tartozó saátvetor pedig a stabilitásvesztési formát mutata meg. z az egyenlet úgy is
értelmezhető, hogy a terhelés növeedésével növevő alaváltozáso miatt a szerezet eredő merevsége is változi. Ha a merevség zérussá váli, az eredő merevségi mátrix szinguláris lesz, a szerezet további terheléseet nem tud felvenni. Természetesen, bizonyos szerezete az első ritius terhelésnél nagyobb terheet is felvehetne, enne számítására azonban a többszörösen linearizált (.3) alaú virtuális muna elv és arra épülő algoritmus nem használható. A ritius terhelés számítását ét lépésben ell végrehatani. lőször a (3.) egyenlettel iszámítu a P ülső terheléseből az egyes elemeben ialauló belső erőet, ez lesz az alapállapot. A másodi lépésben, eze ismeretében számolható a K G geometriai merevség, mad a (3.5) szerint a λ paraméter. A ritius terhelés az eredeti ülső terhelés és a λ paraméter szorzata. 3..4. Saátfrevenciá számítása A terheletlen szerezet lehetséges mozgásaina, a szabad rezgésene a vizsgálatához a K U + M U& (3.6) homogén lineáris differenciálegyenlet rendszert ell megoldani. Tételezzü fel, hogy a statiailag határozott megtámasztású szerezet minden csomóponta ponta periodius mozgást végez: U A sin( ωt) ahol t elöli az időt és A a csomóponto amplitúdó mátrixa, más szóval a lengésép. A feltételezett lengés alaot a (3.6) egyenletbe helyettesítve a ( ω ) K M A homogén lineáris egyenletet apu, amine csa aor lehet A megoldása, ha az együttható mátrix determinánsa zérus, [ K ω ] M det. (3.7) A saátérté feladat megoldásával megapu a rendszer szabad rezgéseine saátfrevenciáit, a saátvetoro pedig a lengésépeet mutatá. A lehetséges [ω, A ] saátfrevencia, saátvetor páro száma nem több mint a rendszer szabadságfoaina száma.
A statius ülső terhelése módosíthatá a szerezet merevségét és ezen eresztül a szabad rezgése frevenciáit. A statius terhelése hatását a szerezet merevségére a geometriai merevségi mátrix feezi i és ezért ha ezt a hatást is vizsgálni aaru - a (3.7) helyett a [( K + K ) ω M det ] (3.8) G saátérté feladatot ell megoldani. Ha ezt összevetü a lineáris stabilitásszámítás (3.5) alapegyenletével, megállapítható, hogy ha a statius terhelés eléri a ritius, a stabilitás elvesztését oozó értéet és az eredő (K + K G ) merevségi mátrix szingulárissá váli, a rendszer nem végezhet szabad rezgést, mivel az összes saátérté ω.
4. Kiegészítő irodalom. Béda Gyula, ariációs lve gyetemi Jegyzet, Tanönyviadó, 974.. Béda, Kozá, erhás, Kontinuummechania, Műszai Könyviadó, 986. 3. Przemienieci, J. S., Theory of Matrix Structural Analysis, McGraw-Hill, 968. 4. Coo, R.D., Concepts and plications of Finite lement Analysis, nd dition, John Wiley & Sons, 98. 5. Bathe, K. J., Finite lement Procedures in ngineering Analysis, Prentice-Hall, 98. 6. Yang, T.Y., Finite lement Structural Analysis, Prentice-Hall, 986.