Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek

Másodfokú egyenletek 9. ) x < - ; b) x > 75;, c) x # - ; d) x #. 4 4 5 94. ) > - ; b) Minden vlós számr igz. c) m > 4; d) n $ -. 9 95. ) $ ; b) b < 4; c) c < - ; d) d #. 96. Nullár rendezés után vizsgáljuk tört számlálójánk és nevezôjének elôjelét. ) 0< x < ; b) x< 00 x$ ; c) x< - 0 x> 0; d) 0< x #. 4 4 7 97. ) - < m < ; b) - < n < ; c) - 5, <f # 4; 7 7 d) - < e # ; e) r# - 0 r> 4; f) t< - 0 t> 5. 98. ) - 5< x < ; b) x# - 60 x> ; c) - < x < ; 5 d) x< - 0 x> ; e) x# - 0 x> ; f) < x # ; 6 4 69 g) - < x <. 5 8 5 99. ) - < x # - ; b) < x # ; c) - 5 # x < 4. 7 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlôtlenségek Másodfokú egyenletek 00. ) Rcionális egész kifejezés (polinom): ), ), 7); törtkifejezés: ); bszolútértékes kifejezés: 6); négyzetgyökös kifejezés: 4); köbgyökös kifejezés: 5). b) ): Másodfokú, ): hrmdfokú, 7) negyedfokú polinom. 6): Másodfokú polinom bszolútértékes kifejezése. c) 7): Egytgú; ): háromtgú; ): négytgú kifejezés. d) Egyváltozós kifejezés: ); kétváltozós: ), 4), 5), 6), 7); háromváltozós: ). 0. Másodfokúk: ), b), e), f), g), h), i), k), l). 0. ) 5x - x - (egyváltozós, másodfokú kifejezés); b) 5x - x - 0; c) f: x 7 5x - x - ; d) z f függvény x helyen felvett helyettesítési értéke f () 5 - - - ; z x helyen felvett helyettesítési érték f (x) 5x - x - ; e) kifejezés x helyen felvett helyettesítési értéke 5 - - ; f) f: x 7 5x - x -, x! R;

4 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 0. g) derékszögû koordinát-rendszerben ábrázolt függvény: 0. ábr. h) függvény képe prbol; i) y 5x - x -. 0. Ekvivlens kifejezések: ), d), f), h), i), k), l), m). (Ez utóbbi esetben csk y z 0 lehetséges, ekkor -y - z / 5y - 6z / 0.) 04. ) Elsô megoldás: Szorzttá lkítunk: x - 4 (x + )(x - ). Egy szorzt értéke kkor és csk kkor lehet 0, h vlmelyik tényezôje 0, ezért x - vgy x. Mindkét gyök rcionális (és így vlós is). Második megoldás: x 4, gyökvonás után x vgy x!. b) x! 5; két gyök irrcionális. c) Nincs megoldás. d) A prméteres egyenleteket prméter(ek) minden lehetséges értékére meg kell oldni. H 0, nincs megoldás; h > 0, x!. Ez gyök kkor rcionális, h lkú, hol r Y 0 rcionális szám. r e) (x + ) 0. H 0, minden rcionális (illetve vlós) x megoldás; h Y 0, kkor nincs megoldás. f) (x - ) 0. H 0, minden rcionális (illetve vlós) x megoldás; h Y 0, kkor x!, s ez két gyök irrcionális. g) H b 0, minden rcionális (illetve vlós) x megoldás. H Y 0, b 0, kkor x 0. Az Y 0, b Y 0 esetet két részre bonthtjuk: h és b zonos elôjelû, b kkor nincs megoldás; h különbözô elôjelûek, kkor x! -. A két gyök rcionlitás függ -tól és b-tôl. 05. ) Szorzttá lkíthtunk: x - 4x x(x - 4). Egy szorzt értéke kkor és csk kkor 0, h vlmelyik tényezôje 0, ezért x 0 vgy x 4. Mindkét gyök rcionális (és így vlós is). b) x 0 vgy x -,5; mindkét gyök rcionális. c) x(x - - ) 0, x 0. H 0, kkor nincs több megoldás; h + Y 0, kkor x, s ez rcionális szám. d) x(x +) 0. H 0, kkor minden rcionális (illetve vlós) x megoldás. H 0, kkor x 0, x - rcionálisk.

Másodfokú egyenletek 5 e) x 0, x + b 0. H 0, b Y 0, kkor nincs több megoldás; h 0, b 0, kkor minden rcionális (vlós) x megoldás; h Y 0, b kkor x - rcionális. 06. ) x,! 0,4. b) x 0, x. c) x 0, x 0,5. 07. ) x,! 5. b) Nincs megoldás. 08. ) x. b) x +!, x -!. c) (x - ) 0, x. d) (x + ) 4, x +!; x, x -. 09. ) x + x + 4; x, x -. b) (x + ) 6; x, x -7. J N 5 c) x - O ; x 4 -, x 4. J J 5 N N 69 d) $ x + O - 0 4 O ; x 6, x -4,5. O J J 5 N N 7 0. ) $ x + O + 0 4 O, nincs megoldás. 6 O J J N N 56 b) - $ x - O 4-0 O ; x 9 6, x -. O J J N N c) $ O O 4 + x - - - O 0; x 4 O 8 +, O 4 8 4 + x -. 4 8 J d) x J 9 N N 5-9x + 7 0, innen $ x - O 7-0 4 O ; x 6, x. O

6 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek. ) x - + 9- b+ l, x -- 9- b+ l. b) x 6, x.. ) x -,, x. 7 b) x +, x -.. ) x, x -. 6 b) b x- l -_ x+, 5i 0, innen bx +, 5- lb- -, 5l 0, x -, 5. Vgy: x- x+, 5, innen x - -x -,5, x -, 5. c) x -4, x -8. d) x - +, x --. 7 7 4. ) x +, x 4 -. 4 5 + 85 5-85 b) x, x 4. 4 5. Az x + bx + c 0 ( Y 0) egyenlet átlkítás után J b c N J b b c b b 4c $ J N N J J x + x + $ x+ - + $ x+ - - O N N O 4 O O 4 O O O 0 lkr hozhtó. H b - 4c 0, kkor innen folytthtjuk z J b N b - 4c x + - O 4 J N J N b b - 4c O b b - 4c O x + + $ x + - 4 0 szorzttá lkítássl vgy O 4 O b b - 4c b! b 4c x +! módon. Mindkét esetben x, - -. 4 6. ) x -, x ; b) nincs megoldás; c) x, x -,5; d) x, x.

Másodfokú egyenletek 7 7. ) Nincs megoldás. b) x -6, x. 8. ) x, x -. b) x +, x -. 05 9. ) x -, x. 78 b) x, x r. c) x - 5 x - négyzetre emelése után x - x + 8 0; innen x 7, x 4, de ez hmis gyök. Vgy: y x - helyettesítéssel y - y, innen y, y - (ez hmis). 4 0. ) x -, x. 5 b) x 0. J 5 N J. ). (x) x + x - 5 x + x- O J x N N 9 5 + O - - 4 6 O O J J N N 49 x + O J - 4 O 6 O x N 49 + - 4 O ; ez trnszformációs 8 lk. J N R R 49 49. x + S 49 S - $ - 4 O, z értékkészlet: R 8 8 - ; S 8 S. T T. /. ábr 4. Az f (x) x lpfüggvény ábrázolás után sorrendben: eltolás - ; 0 4 O vektorrl; /. J N m rányú, z x tengelyre merôleges ffinitás; eltolás J 49 N 0; - 8 O vektorrl. 5. H z y f (x) 0 egyenletnek egy gyöke x, kkor ebben z x pontbn függvény görbéjének közös pontj vn z x tengellyel.

8 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek /b. /c. 6. A leolvsott gyökök x -,5 és x ; helyességükrôl visszhelyettesítéssel gyôzôdhetünk meg. 7. A grfikus megoldás áltlábn csk közelítô pontosságú.! 4$ $ ( 5) 8. A megoldóképlet lklmzásávl x, - - - ; $ innen x és x -,5. b). b(x) -x + x - -(x - ).. - (x - ) 0, így R b @-;0@.. /b. ábr. 4. Sorrendben: eltolás z (; 0) vektorrl; tengelyes tükrözés z x tengelyre. 6. A leolvsott kétszeres gyök x ; helyességérôl visszhelyettesítéssel gyôzôdhetünk meg. 8. (x - ) 0, innen x. c). c(x) x - 4x + 5 (x - ) +.. (x - ) +, így R b 6; 6. /d.. /c. ábr. 4. Sorrendben: eltolás (; 0) vektorrl; eltolás (0; ) vektorrl. 6. Nincs gyök. 8. Nincs gyök, (x - ) + 0 nem teljesülhet. (Az egyenlet bl oldl leglább ; vgy megoldóképlet diszkrimináns negtív.) d). d(x) -x + x - J N 7 - x - - 4 O. 8

Másodfokú egyenletek 9 J N V V 7 7. - x - W 7 W - # - 4 O,ígyR 8 8 b -;- W 8 W. X X. /d. ábr J N 4. Sorrendben: eltolás ; 0 4 O vektorrl; m - rányú, z x tengelyre merôleges ffinitás (vgy m rányú ffinitás és tengelyes tükrözés); eltolás 0; - 8 O vektorrl. J 7 N 6. Nincs gyök. 8. Nincs gyök. (Az értékkészletbôl is megállpíthtjuk, vgy megoldóképletet lklmzv diszkrimináns negtív.). ) Igz. b) árhuzmos z y tengellyel. c) H z fôegyütthtó pozitív, z y tengely pozitív irányábn nyitott; h negtív, kkor fordítv. d) H z fôegyütthtó bszolútértéke ngy, kkor prbol meredekebb ( keskenyebb, soványbb ); egyébként lposbb ( szélesebb, kövérebb ). e) H c 0, kkor prbol átmegy z origón; h b 0, kkor tengelye egybeesik z y tengellyel.. Négyféle lehet.. Elkerülik egymást, nincs közös pontjuk.. Az egyenes érinti prbolát.. Az egyenes egyetlen pontbn metszi prbolát. (Ez csk kkor lehetséges, h z egyenes párhuzmos prbol tengelyével.) 4. Az egyenes két pontbn metszi prbolát. Több közös pontjuk nem lehet. Az egyenes egyenlete elsôfokú, prbol egyenlete másodfokú; metszéspontok meghtározásár felállított egyenletrendszernek legfeljebb két gyöke lehet. 4. éldául h z egyik kifejezés f (x) x + x +, másik pedig: ) x + x - 5 (vgy áltlábn x + bx + c, hol, b, c! R, Y - ); b) -x + 5x + (áltlábn - x + bx + c); c) - x - x + (áltlábn - x - x + c). 5. Diszkrimináns discrimino (ltin) szétválszt igébôl.m. szétválsztó, átvitt értelemben meghtározó, döntô tényezô. Az x + bx + c 0 ( Y 0) másodfokú egyenletnek kkor vn vlós gyöke, h diszkrimináns, b - 4c kifejezés nemnegtív; vgyis diszkrimináns htározz meg vgy dönti el gyökök létezését és számát. 6. Az x + bx + c 0 ( Y 0) másodfokú egyenlet diszkriminánsától függ gyökök szám. (H diszkrimináns zérus, kkor egyetlen kétszeres gyök vn; úgy is foglmzhtunk, hogy két gyök egyenlô.) A másodfokú kifejezés képe prbol. A gyökök grfikus jelentésük szerint prbol és z x tengely érintési vgy metszéspontjit jelentik, így diszkrimináns elôjelébôl következtethetünk prbol koordinát-rendszerbeli helyzetére is.

0 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 7/I. 7/II. 7. ) D 6-4 $ (- ) $ (- 8) 4 > 0, két gyök vn. (Vgy átlkítások után (x - ).) Grfikus segítséggel is megállpíthtjuk gyökök számát. A bl oldlon lévô f (x) -x + 6x függvény képe lefelé nyitott prbol x 0 és x 6 tengelymetszetekkel s z x helyen felvett y 9 mximumml; míg jobb oldli g(x) 8 függvény képe z x tengellyel párhuzmos egyenes, s ez két pontbn metszi prbolát (7/I. ábr). H z eredeti egyenletet átlkítjuk, - x + 6x - 8 0. Innen bl oldli h(x) -x + 6x - 8 függvény trnszformációs lkj h(x) -(x - ) +, s ez függvénygörbe két pontbn metszi z x tengelyt (7/II. ábr). b)d - < 0, nincs gyök. Grfikusn: Ábrázoljuk z f (x) x - x és g(x) -5 függvényeket (7/III. ábr), vgy h(x) x - x + 5 x - J N + 4 O 8 függvényt (7/. ábr)! 7/III. 7/.

Másodfokú egyenletek c) D 0, egy (kétszeres) gyök vn (7/V. ábr). d) Nincs gyök. e) ét gyök vn. 8. D 9-4c. 7/V. ) D > 0, vgyis c < 4 9 ; b) c 4 9 (ekkor kétszeres gyök vn); c) c > 4 9. 9. A feldt kitûzôje vlószínûleg négyzetek oldlink hosszár volt kíváncsi. Jelöljük z egyik négyzet oldlát -vl, kkor másik oldl. Az egyenlet: 4 J N + 00 4 O, megoldás: 8; tehát négyzetek oldl 8, illetve 6 egység. 0. egyen z befogó hossz x, ekkor b 4x, terület x$ 4 x 6x. Innen x, 6, b 8 egység. J n - 5 N. Jelöljük mjmok létszámát n-nel, ekkor z n - O egyenlet dj megoldást: n 7. nn ( + ). Jelöljük tgok számát n-nel! Ekkor 66, innen n. (Az n - gyök hmis.). Jelöljük ( n )-nel soroztot (n! N + )! ) n -4 + $ (n - ) n - 7. _ n n ( 4 n 7) n b) Az elsô n elem összege S n + i - + - n - n. Az S n. 0 egyenletbôl n - n - $ 0 0, innen n 7,7 ( negtív gyök hmis). Vgyis soroztból leglább 8 tgot kell összednunk. 4. Jelöljük ( n )-nel soroztot (n! N + )! ( n )( n ) ) n -0 + + 4 + + (n + ) - 0 + + + - n n 4 + -. b) Az n 0 egyenletbôl n + n - 04 0, innen n 4,5 ( negtív gyök hmis). Vgyis sorozt 44. tgj lesz elôször 000-nél ngyobb.

Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 5. Jelöljük x-szel rjbn lévô méhek számát! Ekkor x 8 + x+ x 9 megoldndó egyenlet, mi z y x helyettesítéssel másodfokúr visszvezethetô. Eredmény: x 7. (x 4,5 hmis gyök.) 6. ) x Y -5, -. Ekvivlens átlkítások után x - x + 0, innen x, x 0,5. b) x,. 7 c) x 7, x -. 9 7. ) x -. (x - hmis gyök.) b) x -0,75, x. c) x 6, x -,. 5! d) x, - ; x. -,6, x. -,7. e) x. (x hmis gyök.) 8. ) Az x Y - kikötés után lklmzzuk z x + (x + )(x - x + ) zonosságot! Eredmény: x. (x - hmis gyök.) b) x Y ; ; 4. Ekvivlens átlkítások után 7x - 5x + 80 0, innen 6 x 5, x. 7 c) x 0, x - 7 5. d) x 0, x 5,, x - 5,. 9 9. ) x. (x 0 és x hmis gyökök.) b) x, x -. 40. Észrevehetjük, hogy xx ( + ) x - x+, vlmint xx ( + ) J N - x x + O. ) xx ( + ) + ( x+ )( x+ ) x - x+ + x+ - x+ - x x + x( x+ ). A xx ( + ) 6 egyenletbôl x 7, x -9. b) xx ( + ) 4, innen x 6, x -8.

Másodfokú egyenletek c) - x x + x - x + + + x - + + x + - x x + xx ( + ). A xx ( + ) 88 egyenletbôl x 8, x -. 4 d) xx ( + 4) 8, innen x 4, x -8. J N e) - + - x x + x + x + 4 O. x( x+ 4) xx ( + 4) 45, innen x 5, x -9. 4. Az egyenleteket lklms helyettesítéssel másodfokúr redukálhtjuk. ) Az x helyettesítéssel 4 5, innen! 5. Csk pozitív gyök lehetséges, így x,5; x! 5,. b) x helyettesítéssel, 0,5. Innen x! &-; ; - 0, 5; 05, 0. 4. ) x helyettesítéssel, -,5, ez utóbbi nem lehetséges. x, x -. b) (x - ) helyettesítéssel + - 0 0. Innen, -5 (ez utóbbi hmis); x,!. 4. ) x helyettesítéssel 8, -; innen x. 7 b) x -, x. 44. ) x + x helyettesítés után 5, -; innen x - +, x - -. b) x + x helyettesítés után, -4; innen x, x -. 45. ) x - 4x helyettesítés után - +, -. Innen x + +, x - +, x + -, x 4 - -. b) H x - x -, kkor $ ( + 4) 45. Innen 5, -9; x 4, x -. c) H x + x +, kkor ( + ) 5. Innen, -5; x, x -.

4 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 46. ) H x - x +, kkor - + 5, 0. Innen, -0,5; + - + - x, x, x, x 4. b) H x + x -, kkor - - 0. Innen, -,5; x, x -4, x - + 5, x 4 -- 5. A következô feldtoknál speciális megoldási módszereket lklmzunk (értelmezési trtomány, értékkészlet, függvény monotonitásánk vizsgált). (47 54. feldt) 47. ) Nincs megoldás. H x $, kkor bl oldl értéke leglább 8, míg jobb oldl értéke legfeljebb 7. (A továbbikbn z egyenletek bl oldlán lévô értéket B-vel, jobb oldl értékét J-vel jelöljük.) b) B $ 0, J # 0, így (x; y) (; 0). c) Átlkítás után (x + ) + (y - ) 0, innen (x; y) (-; ). 48. ) x + x + x - 8. Mivel x $, így B $ 8; J 8, innen x. b) x $, így B $ 5. Mivel J # 5, (x; y) (; 0). 49. ) x + x + x - - 4 -(y - ) +. x $, így B $ ; mivel J #, (x; y) (; ). b) Nincs megoldás. (x + ) + x + 6x+ + y 0. Nemnegtív tgok összege csk kkor lehet null, h minden tg null, de x - nem megoldás. 50. ) - x + x - 4 -(x - )(x - 8), így # x # 8. - x + x- 4 + x + + x+ (y - ) 8 átlkítás után B $ 8, ezért (x; y) (; ). b) x $ 7, s ekkor B $. x 7. 5. ) Nincs megoldás. x $ 5 és x # 4,5 kikötések ellentmondók. b) Nincs megoldás. B $. 5. ) B $ 0, x $ -, de ekkor J # 0. x -. b) B $. y - y + - (y - ), így J # ; innen (x; y) (; ). 5. ) x - x - 4 (x - ) - 5 $ -, h x $. B $ 0 és monoton nô, így csk x lehet megoldás. b) x - + x - + (y - ) + x 5. Mivel x $, B $ 5, innen (x; y) (; ). 54. ) x + 4 $, így csk x 0 lehetne megoldás, de ez nem gyök. b) B $, így x $ ; de ekkor x + > x +. Nincs megoldás.

Összefüggések gyökök és együtthtók között 5 Összefüggések gyökök és együtthtók között 55. A gyöktényezôs lk (x - x )(x - x ), hol x és x z x + bx + c 0 egyenlet gyökei. Gyöktényezôs lkok: ), c), g), h), i), k). 56. ) (x -)(x +,5); b) (x -)(x + ); c) nincs; d) 4(x + )(x - ). 57. ) (x - )(x - ); b) `y-- j`y- + j; c) (z - ) ; d) nincs. J N 58. ) x - 6 O ; J r N J N b) 8 x- x+ O 4 O ; c) -_ x-i` x- j ; d) ` x- j_ x-ri. 59. A megoldóképlet segítségével - b+ b -4c b b 4c x + x + - - - b - ; - b+ b -4c -b- b -4c b -( b -4c) c x $ x $. 4 Másképpen: iindulhtunk gyöktényezôs lkból is: z (x - x )(x - x ) x + bx + c zonosságból következik z állítás. 60. H x és x két (esetleg egyenlô) gyök, kkor x + x -b és x $ x c. 6. Az (x - )(x - ) 0 gyöktényezôs lkot lklmzv z Y 0 fôegyütthtót szbdon válszthtjuk, tehát végtelen sok megfelelô másodfokú egyenlet vn. 6. éldául: ) (x - )(x - ) x - 5x + 6 0. b) x + x - 0 0. c) x - x 0. d) (x - )(x - 0,5) x -,5x +, így x - 5x + 0. e) (x - 0,4)(x + 0,04) x - 0,6x - 0,06, így 000x - 60x - 6 0. f) bx- lbx- l x - xb + l + 6 ; nincs megoldás. g) x - 4x + 0. h) x - ( + b)x + b 0.

6 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek J N i) x O x 0, innen x - ( + )x + 0. j) Nincs megoldás. k) bx - ( + b )x + b 0. l) egyen r és r két tetszôleges rcionális szám b b (,, b, b! Z)! Ekkor x - (r + r )x + r r 0 átlkításából b b x - ( b + b )x + 0. 6. ) x + 6x - 7 0, h x vgy x -7. Innen x + 6x - 7 (x - )(x + 7). - 6! 6+ 6 b) x, -! 8, így x + 6x - 9 bx+ - 8lbx+ + 8l. c) 0,5(x - 4)(x - ). d) (y - )(y + 4). 64. ) (x - )(x + ). b) A t - 4t + 5 0 egyenlet diszkrimináns negtív, így nem lehet szorzttá lkítni. c) (z + 0,5)(z - 0,5). d) (x + )(x - r) vgy (x + 0,5)(x - r). 65. ) bx- lbx+ - l. b) _ x-ib x- l. 66. ) x + x- 6 ( x- )( x+ ) x -, h x Y -. x + 6x+ 9 ( x + ) x + b) 5y -y- 7 5( y+ )( y-, 4) 5( y -, 4), h y Y-, y Y 9. y -8y-9 ( y+ )( y-9) ( y - 9) c) x + 8x-90 ( x- 5)( x+ 9) ( x + 9), h x Y 5, x Y 7. x - 6x+ 05 ( x-5)( x-7) ( x - 7) -b-b ( + b)( -b) + b d), h Y b, Y,5b. - 5b+ b ( - b)( - b) - b 67. ) x + x 5, x $ x 6. ét szám összege 5, szorzt 6; innen kitlálhtjuk, hogy x, x. Az x + bx + c 0 ( Y 0) lkú másodfokú egyenletnek legfeljebb két gyöke vn; h tehát megtláltuk két gyököt, több megoldás nem lehetséges. b) y + y -, y $ y -4, innen y 6, y -7. 5 c) t ránézésre gyök; t $ t - 5 mitt t -. d) x + x +, x $ x ; innen x, x.

Összefüggések gyökök és együtthtók között 7 68. ) x + x b +, x $ x b; innen x, x b. b) x 0; x + x - mitt x -. c) x ; x $ x -, innen x 5 -. 5 d) x + x -, x $ x - ; innen x, x -. 69. ) x $ x, gyökök egymás reciproki. x + x, innen x, x. b) x ; x r. c) x -; x -r. d) x ; x. 5 70. ) x $ x - < 0, ezért z egyik gyök negtív, másik pozitív. b) x < 0, x > 0. (A gyökök között nem teszünk sorrendi különbséget; z egyik gyök negtív, másik pozitív.) c) $ 49 > 0, gyökök zonos elôjelûek. Mivel + 4, mindkét gyök pozitív. d) b, b < 0. 7. ) x, x > 0. b) x < 0, x > 0. c), > 0. d) x < 0, x > 0. e) x, x > 0. Megjegyzések: Az 70. c), és 7. ) esetekben két gyök egyenlô. H feldt szövegében nem lenne gyökök létezésére vontkozó feltétel, kkor ezt külön ellenôriznünk kellene. l. z x + 4x + 5 0 egyenletben x + x -4, x $ x 5; mindkét gyök negtív lehetne, de egyáltlán nincs vlós gyöke z egyenletnek. 7. Az 70. feldt megoldási Viète-formulák ismeretében: ) x,5; x -; b) x -; x ; c), 7; d) b -; b -. Az 7. feldt megoldási Viète-formulák ismeretében: ) x, - ; 6 r b) x ; x - ; 4 c) ; ;

8 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek d) x - ; x ; e) x ; x. 7. A (x, y) kétváltozós polinomot szimmetrikus polinomnk nevezzük, h (x, y) (y, x), vgyis x és y szerepcseréje esetén polinom nem változik. (Másképpen megfoglmzv: h bármely x és y b esetén kpott helyettesítési érték megegyezik z x b és y helyen felvett helyettesítési értékkel.) Ez lpján szimmetrikus polinomok: ), b), c), d), e), f), g). 74. Megjegyzés: A szimmetrikus polinomok tétele szerint minden kétváltozós szimmetrikus polinom felírhtó z elemi kétváltozós szimmetrikus polinomok segítségével. A kétváltozós elemi szimmetrikus polinomok: s x + y és p xy. Mivel Vièteformulák u+ v-, u $ v O J b c N gyökök elemi szimmetrikus polinomji és másodfokú egyenletek együtthtói közötti kpcsoltot dják meg, ezért gyökök szimmetrikus kifejezései (egyértelmûen) felírhtók z együtthtók segítségével. b ) u + v (u + v) - ; c b) - uv - $ ; J b N c b c) u + v (u + v) - uv - - c - $ O ; d) `u + v j _ u+ vi b 6c J b N - 6uv_ u+ vi - $ - O b + 6bc ; e) u 4 + v 4 `u + v j - u v d_ u+ vi -uvn - u v (u + v) 4 - - 4uv(u + v) + 4u v - u v (u + v) 4-4uv(u + v) + u v 4 4 b 4c b c b - 4cb + c - $ + ; 4 4 u f) + + v J b N b - $ - u v uv O, h c Y 0; c c u v u + v b + bc b + bc g) + v u u v $, h c Y 0. c c 5 75. A feltétel szerint gyökök léteznek; x + x -, x $ x -. 9 ) x + x _ x + x i -x x ; 4

Összefüggések gyökök és együtthtók között 9 7 b) x + x _ x+ xi - xx_ x+ xi - ; 8 x+ x c) + ; x x x x 5 x x x x xx 9 d) + + _ + i - ; x x x x x x 5 x x x x xx x x 7 e) + + _ + i - _ + i. x x x x x x 5 Megjegyzés: H feldt szövegében nem szerepelt voln gyökök létezésére vontkozó kitétel, kkor ezt ellenôriznünk kellett voln, pl. diszkrimináns elôjelének megvizsgálásávl. 76. ) x + x,5, x $ x,5. x + x _ x+ xi -xx -,75; x + x _ x+ xi - xx_ x+ xi-7,875; x+ x + 0,6; x x x x x x x x x x + + _ + i - x x x x x x b) x + x,5, x $ x. x + x _ x + x i -x x 0,5; -0,44. x + x _ x + x i - x x _ x + x i-,5; x+ x +,5; x x x x x x x x xx + + _ + i - 0,5. x x x x x x Az ) esetben lehetetlen eredményt kptunk: x + x és + is negtív. x x Az ellentmondásnk z z ok, hogy Viète-formulákt csk kkor lklmzhtjuk, h vnnk vlós gyökök. A x - x + 5 0 egyenlet diszkrimináns D 9-40 < 0, vgyis z egyenletnek egyáltlán nincsenek vlós gyökei. Ugynez helyzet x - x + 0 egyenlettel is: D 9-6 < 0. Itt zonbn még utólg sem lehet észrevenni z ellentmondást. Ezért: A gyökök szimmetrikus kifejezéseinek felírás elôtt meg kell gyôzôdnünk rról, hogy gyökök ténylegesen léteznek ( diszkrimináns nemnegtív).

0 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Megjegyzés: AViète-formulák komplex számok körében is teljesülnek: h z x + bx + c 0 b c ( Y 0) egyenletnek két komplex gyöke vn, ezek összege - és szorztuk. b 4c b 4c 77. ) (u - v) (u + v) - 4uv - - ; b - 4c b) H u v, kkor u - v ( u+ v) - 4uv ; h u < v, kkor 4c - b u - v. b 4bc c) u - v (u + v)(u - v). Huuu uvu, kkor u - v - -, 4bc - b egyébként u - v. d) u - v (u - v) `u + uv+ v j (u - v) d_ u+ vi -uvn b 4c b c - J N $ - O, h u $ v; egyébként ennek ellentettje. O v u e) - - b 4c 4c b - - - $ u v uv, h v u; egyébként c c ennek ellentettje. 78. H két gyök u és v, kkor u + v -,5, uv -,5. ) (u - v) (u + v) - 4uv,5. b) u - v!,5. c) u - v (u + v)(u - v)! 5,5. d) u - v (u - v) `u + uv+ v j (u - v) d_ u+ vi -uvn!6,65. v u e) - -!,4. u v uv 79. H két gyök u és v, kkor u + v,5, uv,5. ) (u - v) (u + v) - 4uv -7,75. Ellentmondást kptunk: nem lehet negtív egy vlós szám négyzete. Az ellentmondás ok, hogy z egyenletnek nincs vlós gyöke. 80. Feltehetjük, hogy z x + bx + c 0 egyenletnek vnnk gyökei, vgyis D b - 4c 0. b c H két gyök u és v, kkor u + v - és uv ; gyökök és együtthtók közötti összefüggések mitt tehát: ) x - bx + c 0; b) x + bx + 4c 0; c) x + nbx + n $ c 0;

Összefüggések gyökök és együtthtók között u v b d) + + b -, $, ezért x + x + 0, h u v uv c u v uv c c c c Y 0 (vgy cx + bx + 0); b c c e) u + v (u + v) - uv -, u $ v, ezért J c b N c x + - O x + 0 vgy x + `c- b j x+ c 0k. O 8. Az egyenletnek kkor vn vlós gyöke, h (p) - 4 $ ( - p) 0, vgyis p - vgy p. Ezen feltétel mellett: ) -p > 0 és - p > 0, vgyis p < 0; feltétellel összevetve p -. b) -p < 0 és - p > 0, vgyis 0 < p < ; feltétellel összevetve p <. c) - p < 0, vgyis < p; feltétellel összevetve < p. d) x 0 helyettesítéssel p. 8. Az egyenletnek kkor vn vlós gyöke, h 9-4 $ 5 $ p 0, vgyis p 8,05. A gyökök összege,8, szorzt p 5. ) x helyettesítéssel 5 $ - 9 $ + p 0, innen p. (Más megoldási lehetôség Viète-formulák lklmzás: h másik gyök z, kkor z p 5 és + z 9.) 5 b) Nem lehetséges; két gyök összege p-tôl függetlenül,8. c) p 8,05. d) H z egyik gyök u, másik u, kkor 5u,8; innen u,5, u,8; p 5 $ u $ u 7,8. 8. ) H két gyök u és u, kkor u + u,8, u p 5. Innen! 6, u, - ; p. 7,, p. - 79,. b) H két gyök u és u +, kkor u +,8, u + u p 5. Innen p 6,8. c) p > 0 (és persze p 8,05). d) 0 < p 8,05. 84. ) Nem lehetséges, gyökök összege pozitív. b) p < 0. c) p 0. d) p > 8,05. e) p 8,05. (Azt is mondhtjuk, hogy két egyenlô gyök vn.) 85. I. Az egyenlet diszkrimináns ( - p) - 4 $ (- p) p + 4p + 4 (p + ), tehát mindig vn két (esetleg egyenlô) vlós gyök. A megoldóképletbôl x -, x p.

Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek (8.) ) p. b) p 8. c) p -. 4 d) p - vgy p -. (8.) ) p 4. b) p - vgy p -. c) p < 0. d) Nem lehetséges. (84.) ) p < 0. b) p > 0. c) p 0. d) Nem lehetséges. e) p -. (Azt is mondhtjuk, hogy két egyenlô gyök vn.) II. Az egyenlet diszkrimináns ( - p) - 4 $ (p - p) p - 6p + 9 (p - ), tehát mindig vn két (esetleg egyenlô) vlós gyök. A megoldóképletbôl x p, x p -. (8.) ) p. b) p. c) p. d) p,5 vgy p 6. (8.) ) p,5 vgy p. b) p 4 vgy p. c) p < 0 vgy,5 < p. d),5 < p. (84.) ) p < 0. b) 0 < p <,5. c) p 0 vgy p,5. d) Nem lehetséges. e) p. 86. Az egyenlet diszkrimináns 6p - 4 $ (p + ) 6p - p - 4 0, h p - 0,5 vgy p. Ezen feltétel mellett vn két (esetleg egyenlô) gyöke z egyenletnek. ) - 0,5 < p <. b) x 0 helyettesítéssel p -. 7 c) x -4 helyettesítéssel 6 + 6p + p + 0, innen p -. 9 d) p.

Összefüggések gyökök és együtthtók között 87. ) p -0,5 vgy p. b) p < - 0,5 vgy < p. c) p + > 0, innen p > -. A korlátozó feltétel mitt - < p - 0,5 vgy p. d) p + < 0, p < -. e) Nincs pozitív gyök, h gyökök negtívok vgy nincsenek. A két gyök negtív, h - < p # - 0,5; nincsenek gyökök, h - 0,5 < p < ; innen - < p <. 88. (p + 4)x + (p + )x + p + 9 0. I. ülön kell vizsgálni p + 4 0 esetet; h ugynis fôegyütthtó zérus, kkor nem másodfokú z egyenlet. H p -4, kkor z egyenlet 4x + 0 lkú. Ekkor egyetlen gyök vn, x -0,5. H p Y - 4, kkor z egyenlet diszkrimináns (p + ) - 4 $ (p + 4)(p + 9) -4p - 0p $ 0, h - 5 # p # 0. (86.) ) p < - 5 vgy 0 < p. b) p -4,5. c) p -,5. d) p -4,4. (87.) ) p -5 vgy p 0. b) - 5 < p < 0, de p Y - 4. p + 9 c) > 0, h p < - 4,5 vgy - 4<p; korlátozó feltétel mitt p + 4-5 # p < - 4,5 vgy - 4 < p # 0. p + 9 d) < 0, h - 4,5 < p < - 4. p + 4 e) p < - 5 vgy 0 < p (nincs gyök); vgy p -4 (egyetlen gyök vn); vgy - 5 p < - 4,5, vgy - 4 < p 0 (zonos elôjelûek gyökök) p + és - < 0 ( gyökök összege negtív). p + 4 Ez utóbbi egyenlôtlenségbôl p < - 6 vgy - 4<p, így megoldás: p < - 5 vgy - 4< p. II. ( - p) x - x + p 0. H p, kkor - x 0, innen x 0.

4 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek H p Y, kkor z egyenlet diszkrimináns 4-4 $ ( - p) $ p 8p - 6p + 4 0, h p # -.,707 # p.. 0,9 vgy + (86.) ) - < p < +. b) p 0. c) p 7 0. d) p 4 7. (87.) ) p - vgy p +. b) p <- vgy + < p. c) p > 0, h 0 < p < ; innen 0 < p # - - p vgy + # p <. d) p < 0, h p <0 vgy < p. - p e) - < p <+ (nincs gyök); vgy p (egyetlen negtív gyök vn); p p vgy > 0 (0 < p < ) és < 0 (két negtív gyök vn). - p - p Ez utóbbi egyenlôtlenségbôl p >, így megoldás: - vgy p. < p < + 89. Akkor létezik két (nem feltétlenül különbözô) gyök, h diszkrimináns nemnegtív. D (8p - ) - 4(5p - p - 6) 4p - 4p + 8; D $ 0, h p - 6p + 7 $ 0, s ez kkor teljesül, h p -.,59 vgy +. 4,4 p. H két gyök u és v, kkor Viète-formulák lpján u + v - 8p és uv 5p - p - 6. ) u + v (u + v) - uv ( - 8p) - (5p - p - 6) 4p - 8p + 6. u + v 4, h 4p - 8p + 6 4, vgyis 7 + 7 4p - 8p - 8 0. Innen p 7.,05 és

Összefüggések gyökök és együtthtók között 5 7-7 p. - 0,; feltételeknek mindkét gyök megfelel. 7 u v 8p b) + + - - 8p. + 0, h u v uv 5p -p-6 u v 5p -p-6 + 5 9 0, vgyis 50p - p - 6 0. Innen p. 0,68 és 75-5 9 p. - 0,60, feltételeknek mindkét gyök megfelel. 75 c) u + v ( u+ v) -uv ( - 8p) - ( 5p - p - 6) 4p - 8p+ 6. u + v, h, vgyis 4p - 8p+ 6 4p - 8p + 5 0. Ezen egyenlet diszkrimináns negtív, vgyis nem létezik megfelelô p érték. Megjegyzés: Természetesen z megoldási módszer is eredményes, mikor elkerüljük másodfokú egyenlôtlenség megoldását. l. z ) esetben meghtározzuk lehetséges p 7 + 7 7-7 és p 7 értékeket, s z eredeti egyenletbe vló 7 visszhelyettesítéssel ellenôrizzük, hogy ezen p értékekre vlóbn vn gyöke z egyenletnek. Ekkor zonbn nem számolhtunk közelítô értékekkel. H pl. p.,05, kkor z eredeti egyenlet x + 6,4x + 8,44 0, két gyök x. -,86 és x. - 4,54, x + x. 4,07. A kerekítések mitt nem kpunk pontos értéket. H nem közelítô értékekkel számolunk, kkor z eredeti egyenlet x + (8p - ) x + 5p - p - 6 89x + (74 + 6 7 ) x + 58 + 76 7 0. Innen x, -74-6 7! 0 908+ 0 78 7-598 809-0 456 7 578-74 - 6 7! 705 00-0 78 7, s ekkor x + x 578 J N b 74 + 6 7 l + 705 00-0 78 7 O 578 b 0 908 + 0 78 7 + 705 00-0 78 7 l 4 vlóbn. 578

6 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 90. ) Több megoldás lehetséges. H két gyök pl. x 0 és x 4, kkor x(x - 4 ) 0. b) x, x ; (x - )(x - ) 0. c) H két gyök x és x + 0,5, kkor x(x + 0,5), innen x + 0,5x - 0. Az egyenlet diszkrimináns 8,5 > 0, tehát léteznek gyökök. -- - + (Amelyek x. -,69 és x 4.,9.) 4 d) Nincs megoldás. A Viète-formulák lpján x - 0,5x + 0; ennek z egyenletnek viszont negtív diszkrimináns. 9. A prméteres egyenleteket prméterek minden lehetséges értékére meg kell oldnunk. b ), b, x Y 0, 4 x b ; innen x!. b) x, x!. (b tetszôleges.) c) x Y!. Átlkítások után x 4, innen x!, h Y 0; h 0, kkor nincs megoldás. d) x Y!. Átlkítások után 0. H 0, x! R \ {0}; h Y 0, kkor nincs megoldás. e) x Y!, x Y! b; átlkítások után x ( + b) b( + b). Mivel + b > 0, x b, x! b, feltéve, hogy! b Y!, ill.! b Y! b, vgyis h Y b. H b, kkor nincs megoldás. 9. ) H D - 4b > 0, vgyis h >4b, kkor x,! - 4 b, két megoldás vn. H 4b, kkor x, egy megoldás (de kétszeres gyök) vn. H <4b, kkor nincs megoldás. b) x, x b. Egy (kétszeres) megoldás vn, h b; különben két különbözô megoldás vn. c) D 4-4( - b ) 4b, így x,! b, x + b, x - b. H b 0, egy (kétszeres) gyök vn; egyébként gyökök szám kettô. 9. ) H uu, vgyis!, egy megoldás vn; h uu >, vgyis h < - vgy <, két megoldás vn; h uu <, vgyis - < <, kkor nincs megoldás. x b) x Y 0, x Y. H y x -, kkor y - 5y + 0, y, y 0,5. x Az egyenletbôl x ; nincs megoldás, h 0. Az x- x 0,5 egyenletbôl x -; nincs megoldás, h 0. x-

Összefüggések gyökök és együtthtók között 7 Tehát h 0, nincs megoldás; egyéb értékekre pedig két megoldás vn. c), b, x Y 0. Átlkításokkl x ( - b) b( - b). H b, kkor végtelen sok megoldás vn (x bármilyen, nemzérus szám lehet); h Y b, kkor b >0 esetén két megoldás vn, b <0 esetén nincs megoldás. 94. Az x + bx + c 0 egyenletnek -nél több gyöke csk z 0 esetben lehet; bx + c 0 egyenletnek pedig csk b 0 esetben. Innen b c 0; ekkor minden vlós x megoldás, z egyenletnek végtelen sok gyöke vn. 95. H p, kkor 0 0 zonosságot kpunk, így minden vlós x megoldás. H p -, kkor átlkítások után x ; egy megoldás vn. H p Y!, kkor (p + )x - x + 0 egyenlet diszkriminánsától függ megoldásszám. D - 4(p + ) -4p -. D >0, h p < - 0,75. Ekkor két megoldás vn (persze p Y -). H p -0,75, egy (kétszeres) gyök vn; s h p > - 0,75 (és p Y ), nincs megoldás. 96. ) b - 4c > 0 teljesüljön. (H c < 0, ez minden b vlós számr fennáll; h c $ 0, kkor b > 4c vgy b < - 4c szükséges. b) b - 4c 0. H c < 0, ez sosem teljesül; h c $ 0, kkor b! 4c. c) b - 4c <0. H c < 0, ez sosem teljesül; h c $ 0, kkor - 4 c < b< < 4c kell. - d) x helyettesítéssel 9 + b + c 0, innen b c - 9. Egyenletek összetett függvényekkel 97. ) H x $ 0, kkor x x; h x < 0, kkor x -x. x! {-, 0, }. Más megoldási lehetôség: x uxu, így uxu - uxu 0, s innen uxu(uxu - ) 0. b) H x $, kkor x - 4x - (x - ) + 6 0; x 4, x. H x <, kkor x - 4x + (x - ) + 6 0; x 0, x 4. Más megoldási lehetôség: (x - ) ux - u, így ux - u - 4 - ux - u + 6 0. Az y ux - u helyettesítéssel y - y + 0. c) H x $ -, kkor x + x - 0; x - +, x - -, de ez utóbbi hmis gyök. H x < -, kkor x + x + 0; x -, hmis gyök. Egyébként z lpegyenletbôl észrevehetjük, hogy x csk pozitív lehet. Más megoldási lehetôség: h ux + u, kkor z x +! két x x egyenletet is megoldhtjuk (ekkor kötelezô z ellenôrzés).

8 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 98. Az u f(x)u c típusú egyenleteket kétféleképpen oldhtjuk meg.. étfelé ágztthtunk f(x) elôjele lpján. H f(x) $ 0, kkor z f(x) c, h f(x)<0, kkor pedig - f(x) c feltételes egyenleteket oldjuk meg.. Egy bszolútértékes kifejezés értéke csk kkor lehet c, h kifejezés értéke c vgy - c. Ez lpján két egyenletet oldunk meg: f(x) c és f(x) -c. Bármelyik módszert válszthtjuk; z itt kitûzött feldtokbn második módszer lklmzás egyszerûbb. ) x! &! 8,! 4 0; 5-5+ 5-5 5+ 5 b) x! * ; ; ; 4; (közelítô értékekkel x! {0,70; 4,0;,8;,6}); c) x! {; 0,5}; d) x! { +.,4; -. -,4}. 99. ) x - <[x] # x, innen -x # - [x] < -x +, x - x - # x - - [x] - <x - x -. Az x - x - # 0 egyenlôtlenség megoldás - # x # ; 0 < x - -x - egyenlôtlenség megoldás x <-. -0,4 vgy +..,4 < x. Összevonv: - # x <- vgy + < x #. Mivel x [x] + egész szám, x fenti intervllumokb esô! n típusú szám lehet, hol n pozitív egész. Megoldás: x! &-; 7; 0. b) # x - x < 4. Az egyenlôtlenségek megoldás x # - vgy # x, illetve - 5. -,4 < x <+ 5.,4. Összevonv - 5 < x # # - vgy # x <+ 5. c) x + <[x + ] # x +, innen x + <x # x +. Az egyenlôtlenségek megoldás x <-. - 0,7 vgy +..,7 < x, illetve - # x # ; s mivel x! n lkú (n pozitív egész), ezért x! &-; 8 ; 0. d) 0 # {x}<, így 0 # x - <; # x < 5. Alklmzzuk z {x} x -[x] helyettesítést! Ekkor x - x + [x] - 0, vgyis x - x -[x], egész szám. H # x < 5, kkor -. -0,46 # x - x <5-5.. 0,5, innen x - x 0, de nem kpunk megoldást. H - 5 < x #, kkor +. 6,46 # x - x <5+ 5.. 9,47; innen x - x lehetséges értékei 7, 8 vgy 9. x! & + 8 ; - 8 ; 4; - ; + 0 ; - 00; ellenôrzés után x - 8. -,8; x - 0. -,6.

Másodfokú egyenletrendszerek 9 Ellenôrzés: & - 80 &- 80-8, így b- 8l -$& - 80-9 - 8 - b- 8l- 0 és & - 00 &- 00 4-0, így b- 0l -$ & - 00 - - 0 - b4-0l- 0 vlóbn. e) # x #. {x - } x - - [x - ], megoldndó egyenlet x - x + + [x - ] 0. x - x egész szám; s mivel - # x #, innen - # x - x #. x - x lehetséges értékei -, 0,, vgy ; x! {; 0; ; + ; - ; + ; - ; ; -}; ellenôrzés után x. -0,4, x -. -0,7. Ellenôrzés: {x - } {x}; & - 0 &- 0 -, így b- l -& - -0 - - b- & - - 0 &- 0 4-, így b- l - l 0 és -& - -0 4 - - `4- j 0 vlóbn. Megjegyzés: A megoldás egyszerûsödik, h {x - } {x} zonosságot korábbn lklmzzuk. f) x - <[x] # x, innen x - <x -,6 # x. Az egyenlôtlenségrendszer megoldás - 46,. -,4 # x <- 6,. -0,6 vgy + + 6.,,6 < x # + 46.,,4. Az elsô esetben -, < x - -,6 # -,; másodikbn, < x -,6 # 6,6. A páros egész értékek jöhetnek szób, x -,6! {4; 6}. Ellenôrzés után x! & 76, ; 96, 0. g) 0 # x - x - <. Az egyenlôtlenségrendszer megoldás - 5.. -,4 < x # - vgy # x <+ 5.,4. Másodfokú egyenletrendszerek 00. Algebri megoldás: ()-bôl y 4 - x; ezt ()-be helyettesítve 4 - x - x + 4x 6. Redukálás után x - x + 0, vgyis egyváltozós másodfokú egyenletet kptunk. Az egyenlet megoldási x, x ; visszhelyettesítve pl. ()-be, y, y. Az egyenletrendszernek két megoldás vn: (x; y) (; ) vgy (x; y) (; ). Grfikus megoldás: Az egyenletrendszer grfikus megoldás zt jelenti, hogy z egyenletek áltl dott ponthlmzok (lkztok) közös pontjit htározzuk meg (vgyis zokt

40 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 00. pontokt, melyek egyszerre z összes dott lkzton rjt vnnk). Az () egyenes és () prbol (; ), illetve (; ) metszéspontjit leolvshtjuk görbék megrjzolás után. Megjegyzések: A két ismeretlent trtlmzó egyenletrendszer megoldás zt jelenti, hogy megdjuk két változó összes olyn értékét, melyekre z egyenletek egyszerre teljesülnek; tehát megoldások számpárok. A fenti másodfokú egyenletrendszert úgy oldottuk meg, hogy kifejeztük z egyik változót másik segítségével, s miután így másik egyenletbe behelyettesítettünk, már egyváltozós egyenletet kptunk. Ez megoldási módszer mindig lklmzhtó, h z egyik egyenlet elsôfokú. Ezért bonyolultbb egyenletek esetén célszerû megvizsgálni zokt helyettesítéseket, melyek lineáris egyenletre vezethetnek. 0. ) ()-bôl x - y; ezt ()-be helyettesítve ( - y) - y + y - 0. Innen y 0, y 5; visszhelyettesítve ()-be x, x -4. A megoldások: (x ; y ) (; 0), (x ; y ) ( 4; 5). () képe egyenes, () képe olyn prbol, melynek tengelye párhuzmos z x tengellyel. J y y N y- x+, illetve x- + +. O O J 7 7 N b) (x ; y ), O, (x ; y ) (; ). J 5 N () képe egyenes, () képe kör. y- x+. O 0/. 0/b.

Másodfokú egyenletrendszerek 4 0/. 0/b. 0. ) (x ; y ) (; ), (x ; y ) (,; 0,). () képe egyenes, () képe hiperbol. J J N N y 5 ( x ) y- x+, illetve - - - O O O +. O O O 4 4 O b) (x ; y ) ( 6; 0,5), (x ; y ) (; -). J x 5 N () képe hiperbol, () képe egyenes. y-, illetve y- -. x O 0. Jelöljük tégllp két oldlát > b-vel! Ekkor () b + - b 8; () + b 7. ()-bôl b 7 -, ezt ()-be visszhelyettesítve - 9 + 0 0. 4 (ekkor b ) vgy 5 (b ). A tégllp területe 8 vgy 80 területegység. 04. ) ét megoldás vn: (x; y) b;! 5l. l. y helyettesítéssel z egyenletrendszer elsôfokú lesz. (Más megoldási lehetôség: () kétszeresét ()-hez dv kiküszöbölhetjük y -et.) b) Négy megoldás vn: (x; y) (!;!). l. y 4, x b helyettesítéssel z egyenletrendszer elsôfokú lesz. (Vgy: () --szorosát ()-höz dhtjuk.) J N 5O 05. ) Négy megoldás vn: (x; y) (;!) vgy (x; y) ;!. l. z O y, x b helyettesítéssel z egyenletrendszer másodfokú lesz. (Vgy: összedhtjuk () -szeresét és () -szorosát.)

4 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek b) Négy megoldás vn: (x; y) b! 5; 0l vgy (x; y) b! ; l. l. (x - ) helyettesítéssel z egyenletrendszer egyszerûbben kezelhetô. 06. (x ; y ) (0; ), (x ; y ) (8; -5). x 07. H két szám x és y, kkor x + y xy. ényegében két egyenletet y kptunk, melyet hgyományos módon oldhtunk meg: (x; y) (0,5; -). 08. ) (x ; y ) (; -5), (x ; y ) (5; -). b) (x ; y ) (-7; -), (x ; y ) (; 7). 09. ) (x ; y ) (5; ), (x ; y ) (-; -5). J N b) (x ; y ) (; ), (x ; y ) - ;- 7 7 O. 0. ) Nincs megoldás. b) (x; y) (0; ).. ) (x ; y ) (; 8), (x ; y ) (8; ). b) (x; y) (; 4).. ) (x ; y ) (-; -), (x ; y ) (; ). J 4 N b) (x ; y ) (; 4), (x ; y ) -0;- O. A 6. feldtokbn áltlábn több lklms helyettesítés is tlálhtó. éldául:. ) x - helyettesítéssel () y ; () y 4. (x ; y ) (4; ), (x ; y ) (0; -). b) H - x, b, kkor () + b ; () - 5b -. y - J 6 N (x; y) ; 7 9 O. Megjegyzés: Helyettesítés után lineáris egyenletrendszert kptunk z eredetileg másodfokú egyenletrendszerbôl. (A törtek eltüntetése után kpott egyenletek, pl. b) y - + - x ( - x)(y - ) másodfokúk. 4. ) H x +, b y, kkor () + b 4; () - + b 7. (x; y) (4;! ). b) H x -, b + y, kkor () + b ; () + b - 4. (x; y) (; ). 5. ) H x - y és b xy, kkor () + b ; () b -6. (x ; y ) (; -), (x ; y ) (; -), (x ; y ) (-; -), (x 4 ; y 4 ) (; ). b) H x és b y, kkor () + b 9; () + b 5. (x; y) (!;!). (4 megoldás.)

Másodfokú egyenletrendszerek 4 6. H x, b y, kkor () - b 4; () b. (x; y) (4; ). 7. ) x, y gyöke t - t + 0 egyenletnek (Viète-formulák). (x ; y ) (; ), (x ; y ) (; ). b) x + y, b xy helyettesítéssel () - b + 4; () b. J N - 5+ -5- O (x ; y ) (; ), (x ; y ) (; ), (x ; y ) ; O. J N -5- - 5+ O. (-0,70; -4,0), (x 4 ; y 4 ) ;. (- 4,0; -0,70). O Más megoldási lehetôség: () (x + y) + (x + y) - 0 0 lkb is írhtó, s ekkor (x + y) közvetlenül meghtározhtó. 8. ) H xy, kkor () 4 $ (5 - ) 7. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (; ). b) (x; y) (; ). 9. ) () 4 - xy + 4xy 86. (x ; y ) (9; 5), (x ; y ) (5; 9). b) H x + y, b x $ y, kkor () - b 7; () b 4. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (4; 0,5), (x ; y ) (-4; -0,5), (x 4 ; y 4 ) (-; -). 0. x -y (x-y)(x + xy +y ). H x -y, b xy, kkor () ( + b) 6. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; -).. ) x - y (x + y)(x - y), innen x + y 8. (x; y) (4; 40). b) x + y + xy (x + y) 49, innen x + y!7. (x ; y ) (; 4), (x ; y ) (4; ), (x ; y ) (-; -4), (x 4 ; y 4 ) (-4; -).. ) (x; y) (6; 4). b) x + y (x + y)(x - xy + y ), innen x - xy + y. x - xy + y (x + y) - xy, xy 0. (x ; y ) (5; 6), (x ; y ) (6; 5).. ) () és () összedásávl x + y + xy (x + y) 49, innen x + y!7. (x ; y ) (5; ), (x ; y ) (-5; -). b) (x ; y ) (; ), (x ; y ) (; ). 4. Az egyenletek összedás, illetve kivonás után: () (x + y)(x - xy + y ) 6(x + y), () (x - y)(x + xy + y ) 4(x - y). ()-bôl h x + y 0, kkor (x ; y ) (0; 0), (x ; y ) (; -), (x ; y ) (-; ); ()-bôl h x - y 0, kkor (x 4 ; y 4 ) ` 6; 6j, (x 5 ; y 5 ) b- 6; - 6l; egyébként xy -, x + y!, s innen J N + 7-7 O (x 6 ; y 6 ) ; O. (,9; -0,46), (x 7 ; y 7 ) J N J N - 7 + 7 O ; O.(-0,46;,9), (x 8 ; y 8 ) - + 7 - - 7 O ; O. J N - - 7 - + 7 O. (0,46; -,9), (x 9 ; y 9 ) ;. (-,9; 0,46). O

44 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 5. ) ()-bôl h y 0, kkor x 0, de () mitt ez nem lehetséges. H y Y 0, J x N x x kkor () átlkíthtó: + $ - 0. y O A z helyettesítéssel z y y, z -; innen x y, vgy x -y, mit ()-be visszhelyettesítve másodfokú egyenletet kpunk. (x ; y ) (; ), (x ; y ) J 4 4 N J N - ;- 9 9 O, (x ; y ) -5-5 + O ; 6 6 O. J N - 5+ 5- O. (-,4; 0,78), (x 4 ; y 4 ) ;. (,8; -0,9). 6 6 O Másik lehetôség () szorzttá lkítás: x - y + xy - y (x - y)(x + y) ++y(x - y) (x - y)(x + y), innen elsôfokú összefüggéseket kpunk. J 7 8 N O b) (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; -), (x ; y ) -7 $ ; 6 6 O. J N 7 8 O. (-,7; 0,68), (x 4 ; y 4 ) 7 $ ; -. (,7; -0,68). 6 6 O 6. ) Homogén egyenletet kpunk, h () 5-szörösébôl kivonjuk ()-t. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; -). b) Homogén egyenletet kpunk, h () -szorosát és ()-t összedjuk. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; -), (x ; y ) (; ), (x 4 ; y 4 ) (-; -). 7. ) iemelés után () (x - )(y + ) 0, () (x + )(y - ) 0. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; -). b) ()-bôl xy - y - x + y(x - ) - (x - ) (y - )(x - ) 0. H y, kkor () x - x 0 lkú; h x, kkor ()-bôl y. (x ; y ) (0; ), (x ; y ) (,5; ), (x ; y ) (; ). J 8 9 N 8. ) (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; ), (x ; y ) ;- O, (x 4 ; y 4 ) J 8 9 N - ;- O. b) ()-bôl (x - y)(x + y - 0) 0, ()-bôl (x + )(y - 6) 0. (x ; y ) (-; -), (x ; y ) (-; ), (x ; y ) (6; 6), (x 4 ; y 4 ) (4; 6). 9. ) (x ; y ) (0; 0), (x ; y ) (5; -5), (x ; y ) (; ), (x 4 ; y 4 ) (-; -).

Másodfokú egyenletrendszerek 45 b) l. ()-bôl x 4 + y 4 + x y, ()-bôl x - y - xy; () négyzetre emelésével 5x y - 4xy - 0. Innen xy vgy xy -,. (x ; y ) (; ), (x ; y ) (-; -), (x ; y ) J N -, O ; O. (-,944; 0,67), (x - 7, + 4, O 4 ; y 4 ) - 7, + 4, O J N, O ; - - 7, + 4, O. (,944; - 0,67). O - 7, + 4, O 0. ) ()-bôl (x + y) + (x + y) + 0, innen x + y -. (x; y) (; -). b) ()-bôl (x - y) - 6(x - y) + 9 0, innen x - y. (x ; y ) (0; -,5), (x ; y ) (; 0).. Jelöljük két számot -vl és b-vel ( > b)! ) () + b ; () b +. Y 0, így () b + lkbn írhtó. Azonosságot kptunk; h t, kkor b - t. > b mitt t > - t, innen (; b) (t; - t), h t tetszôleges, 0,5-nél ngyobb szám. b) () + b ; () b + b. ()-bôl ( - ) + -, innen b 0,5, de ez nem megoldás.. Jelöljük két sokszög oldlink számát n-nel, illetve k-vl! Ekkor () nn ( - ) kk ( - ) + 58; () (n - ) $ 80 + (k - ) $ 80 40. ()-bôl k + n 8, helyettesítés után két sokszög oldlink szám, illetve. 6.. Jelöljük derékszögû háromszög befogóit hgyományos módon -vl és b-vel! Ekkor () b 55 és () + b ; innen két befogó hossz 0 cm és cm. 4. egyen szám b lkú! Ekkor () (0 + b)(0b + ) 6; () + + b 40; innen b, + b 8. A keresett szám 6 vgy 6. Megjegyzés: A megoldáshoz nincs szükség ()-re, () ismerete önmgábn elég. b 58 5. egyen tört lkú! Ekkor () b - 4; () +. (; b) (; 7) b b - 7 vgy (-7; -), keresett tört vgy. 7-6. egyen szám b lkú! Ekkor () b + 4; () (0 + b)( + b) 06. (; b) (5; ), keresett szám z 5. 7. Jelöljük sorok számát s-sel, székek számát d-vel! Ekkor () sd 6 és () (s + )(d + ) 47. Innen s - 95s + 67 0, s ( másik gyök nem egész), vlmint d 6.

46 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 8. ) (x + y + z) x + y + z + (xy + xz + yz), innen (x + y + z) 9 - - 0 9. () mitt z 4 vgy z -. (x, y, z)! {(; -; 4), ( ; ; 4), (; -4; -), (-4; ; -)}. b) Alklmzzuk z x t, y 4t, z 5t helyettesítést! (x, y, z) (; 6; 0) vgy (x, y, z) (-; -6; -0). 9. ) Az egyenletek összedásából xy -6, xz -0, yz 5; ezek szorztából xyz!0. (x, y, z) (; -; -5) vgy (x, y, z) (-; ; 5). J 9 6 N b) (x, y, z) (4; ; ) vgy (x, y, z) ; ; O. 40. Jelöljük három él hosszát < b < c-vel! ) () b 6; () c 8; () bc. A térfogt z egyenletek szorztából számíthtó: V 6$ 8$ 4 (cm ). (Az oldlélek: cm, b cm, c 4 cm.) b) () +b 7; () + c 9; () b + c. Az egyenletek összedásából + b + c 4, innen cm, b 5 cm, c 7 cm; V 70 cm. c) () + b ; () + c 9; () b + c 4. Az egyenletek összedásából + b + c 8, innen 4, b 9, c 5; V 0 cm. 4. ) AViète-formulák mitt z - z + b 0 egyenlet gyökei (h léteznek) z x, z y. Innen - 4b $ 0 gyökök létezésének feltétele. b) x + y (x + y) - xy, innen xy - c. Akkor vn megoldás, h - c - 4 $ $ 0, vgyis c - $ 0. c) Átlkításokkl x 4 - x + b 0. Az - 4b $ 0 feltétel mellett $ 0-nk is teljesülnie kell. 4. ) Minden! R esetén vn megoldás: (x ; y ) (0; ), (x ; y ) (0,5; - 0,5). b) Vn megoldás, h #,5. 4. ) Vn megoldás, h #- vgy #. b) Átlkításokkl y ( + - ) 0. Mindig vn (x; y) (0; 0) lkú megoldás. H vgy -, kkor végtelen sok (x; y) (t; t) lkú megoldás vn (t! R). J N 44. ) Mindig vn megoldás. H Y -, kkor (x; y) ; + + O ; J N h Y -, kkor (x; y) ; + ( + ) O. b) A két egyenlet különbségébôl (y - x)(y - x - ) 0. H x y, kkor + 4 $ 0, $ -0,5. H x y -, kkor 4 + 5 $ 0, $ -,5. Vn megoldás, h $ -,5.

Szöveges feldtok 47 c c 45. Jelöljük két test sebességét v, illetve v -vel! Ekkor () + t ; v v () (v - v )n c. Innen ntv - ctv - c 0, pozitív gyököt megtrtv ct + c t + 4ntc c ct c t 4ntc v, v nt v - - + +. n nt 46. Jelöljük g-vel z eredetileg igényelt gépkocsik számát, t-vel gépkocsinként tervezett teher ngyságát! Ekkor () gt T; () (g - x)(t + y) T. xy! x y + 4xyT Innen yg - xyg - xt 0, g, ; gépkocsik számát pozitív gyök dj y meg. Szöveges feldtok 47. Jelöljük x-szel z osztót! Ekkor 660 x(x + ) + x ; x 4. (x -7,5 nem egész.) 48. egyen szám b lkú! Ekkor () + b 9; () (0 + b)(0b + ) 68. ()-bôl 9 - b, ()-be helyettesítve b - 9b + 8 0. Innen b vgy b 6, így (; b) (; 6) vgy (; b) (6; ). Megjegyzés: Mivel és b számjegyek, z () összefüggés felesleges dt. Ugynis ()-bôl 00b + 0( + b ) + b 68, innen b 8 vgy b 8 lehetséges. H b 8, kkor + b 46, nem kpunk megoldást; h b 8, kkor + b 45, innen (; b) (; 6) vgy (; b) (6; ). 49. A páros számot n-nel jelölve (n - )(n + ) n; innen n J N n - nem felel meg O. 50. Jelöljük számrendszer lpszámát g-vel; ekkor 4g + 4g +, innen g 5. (g -6 hmis.) 5. Jelöljük számrendszer lpszámát g-vel. ) Elsô megoldás: Ekkor g + g + 4 k (k! N), innen átlkításokkl 4g + 4g + 6 4k, (g + ) + 5 4k, 5 4k - (g + ) (k + g + )(k - g - ). H () k + g + 5, () k - g -, kkor k 4, g. Ez nem megoldás, mert g -s lpú számrendszerben nincs 4-es számjegy. H () k + g + 5, () k - g -, kkor k, g 0; ez sem megoldás. Nincs ilyen számrendszer.

48 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Második megoldás: Becslést is lklmzhtunk. H g + g + 4 négyzetszám, kkor 4g + 4g + 6 is z. 4g + 4g + 6 (g + ) + 5, és ez két szomszédos négyzetszám, (g + ) és (g + ) közé esik, h g > 4; tehát nem lehet négyzetszám. b) g + g + g + (g + ), így g $ 4 bármilyen egész szám lehet. 5. Jelöljük x-szel növelés, illetve csökkentés mértékét! Ekkor (0 + x)(0 - x) tégllp területe. ) 400 - x 60, x 40. 6, (cm). b) 400 - x 40, nem kpunk megoldást. (Az zonos kerületû négyszögek közül négyzet területe lehetô legngyobb.) 5. H keret szélessége d, kkor ( - d)(8 - d) 0,75 $ $ 8. Innen d - 0d + 7 0, d 0,96 (cm). 54. Jelöljük -vl z eredeti élek hosszát; ekkor ( + ) - 5. Innen + - 4 0, 4 (cm). nn ( - ) 55. H n oldlú sokszög, z n egyenletbôl n 5. 56. Az n oldlú szbályos sokszög belsô szöge ( n - ) $ 80, z n + oldlúé ( n- ) $ 80 n. Így ( n- ) $ 80 + ( n- ) $ 80, innen n + n - 0 0; n+ n n+ sokszög szbályos ötszög. 57. H n cspt vesz részt bjnokságon, kkor mérkôzések szám n_ n- i 55; innen n - n - 0 0, n. 58. Jelöljük n-nel személyek számát, s-sel kpott összeget! Ekkor () ns 9 00, () (n - )(s + 800) 9 00. Innen s 400n - 800, n(400n - 800) 9 00, n(n - ) 48, n 8. 59. Npont 40 oldlt olvstm voln, 8 npon keresztül. 60. 8 kg, illetve 0 kg árut vettünk ( drágább kg-j 00 Ft, z olcsóbbé 80 Ft volt). 6. Jelöljük p-vel csökkenés mértékét! Ekkor 800p z elsô és 800p második árcsökkenés utáni ár. Innen 800p 458, p 0,9; vgyis 0%-os volt két árcsökkentés. 6. Jelöljük p-vel z elsô évi szporult százlékbn kifejezett értékét! J p NJ p N Ekkor 0000 + + 00 O 00 O 00, innen p 5. Az elsô évben 5%, második évben 0% volt gyrpodás. 6. H x liter lkoholt öntünk ki z elsô lklomml, kkor z edényben x 6 - x liter lkohol mrdt, s másodszor ( 6 - x) $ liter lkoholt öntünk ki. 6 x x + ( 6 - x) $, innen x - 7x + 96 0, x 6 liter. (x 66 hmis 6 gyök.) Az elsô lklomml 6 liter, másodszorr 5 liter lkoholt öntöttünk ki.

Szöveges feldtok 49 64. Jelöljük z eredeti termelés értékét T-vel, munkások számát m-mel J ekkor z egy fôre jutó termelés T N m O. H munkások szám x százlékkl nôtt, J x N T J x N kkor m $ + $ $ + 00 O m 00 O,4T. Innen x + 400x - 400 0, x 0. 65. Az összeötvözés utáni 6%-os ötvözet 8 kg vörösrezet trtlmz, így tömege 50 kg. Jelöljük z elsô ötvözet tömegét m-mel, vörösréztrtlmát (százlékbn kifejezve) p-vel! Ekkor () m $ p 6; () ( m) p + 40 50 - $ 00 00. Innen ()-bôl 4m 5p + 0, ()-be visszírv p +4p - 480 0; p 0. A két ötvözetben 0%, illetve 60% vörösréz vn. 66. H z egyik önállón x np ltt építené fel flt, kkor np ltt z egész fl x -ed, t np ltt x t -ed részével készülne el. A másik kômûves t np t ltt részt építene fel. 6 np ltt z egész flt felépítik, innen x + 5 6 6 +. x - 7x - 0 0, x 0. Egymgábn z egyik kômûves 0, x x + 5 másik 6 np ltt építené fel flt. 67. H külön-külön z egyik trktor x, másik y np ltt szántj fel 4 4 területet, kkor () + ; () x+ y 8. Innen x - 4x - 48 0, x y x 6, x 8; megfelelô y értékek y, y 8. Eredmény: egymgábn z egyik trktor 6, másik ór ltt szántná fel területet. (Az x, y megoldások trktori nem különbözô teljesítôképességûek.) 68. H brigádnk eredetileg x tgj volt és fejenként npi y órát dolgoztk, kkor 5xy munkór szükséges teljes munk elvégzéséhez. Innen () 5xy 6(x - 4)(y + ), () 5xy 8(x + 4)(y + 4). ()-bôl xy 64y - x + 8, ()-bôl 7xy x + y + 8. iküszöböljük z xy tgot: x y + 4, s ezt 8 visszhelyettesítve y - 7y - 56 0. y 8 órát dolgoztk eredetileg, x 6 tgú volt brigád. 69. Jelöljük x-szel, illetve y-nl zt z úthosszt, melyet z egyik, illetve 0 0 másik cspt egy np ltt kijvít! Ekkor () x + y 4,5, () + ; x y innen x - 49x + 90 0. x (z x,5 gyök hmis), y,5. Vgyis egy np ltt km, ill.,5 km útszkszt jvít ki két társság. 70. H z elsô csô x ór ltt tölti meg medencét, kkor második csô x + t t 0 0 575, ór ltt. A t ór ltt megtöltött rész +, innen + +. x x + x x + x +

50 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek x -,75x - 0 0, x 4. Egymgábn z elsô csô 4 ór, második 7 ór ltt tölti meg medencét. 7. H z elsô csô x ór ltt tölti meg medencét, kkor második x, 5, 5, 5, hrmdik x + 5 ór ltt. Innen + +, x -,5x - 7,5 0, x x x + 5 x 5. Az egyes csöveken 5 h, 0 h, 0 h ltt telik meg medence. 7. H csp x perc ltt tölti meg kádt, tele kád x - perc ltt ürül 4 4 ki lefolyón, s ekkor - -. Innen x - x - 48 0, x 8. Vgyis x x - csp 8 perc ltt tölti meg kádt. 7. H önállón z elsô rtógép x, másik y np ltt gyûjtené be termést, kkor t np ltt begyûjtött terméshányd +, +. Az elsô x y x y t t 6 6 x rtógép x x 5 - npig dolgozott, másik 5 - npig, ezért. Innen y y - 5y + 70 0, y 8, y 7,5; x 9, x 0. ét megoldást kptunk, h fél npot elfogdjuk megoldásként. 74. Jelöljük x, y, z-vel zt z idôt (npokbn), mi ltt z egyes gépek külön-külön elvégeznék munkát. 7 ) Ekkor (), 7, 9 9 +, () +, () + ; z x y x z y z egyenletrendszer megoldás (órábn) (x; y; z) (; 8; 6). t t b) H t npig trtott befejezô munk, kkor + 8 + 6 + + 6, innen t 4,5 (np). 75. Jelöljük k-vl z eredetileg npont megtett kilométerek számát, n-nel npok számát! Ekkor () nk 80; () (n + )(k - 4) 80. Innen n + n - 0 0, n 4, k 0. Út idô grfikon: 75. 75. ábr. 76. Jelöljük repülôgép sját sebességét v-vel, z eredeti menetidôt (órábn mérve) t-vel! Ekkor J N 500 vt (v - 50) t + O. Innen t + t - 0 0; t ór 40 perc, v 00 (km/h). 77. Jelöljük z eredeti sebességet v-vel és menetidôt t-vel! Ekkor () v$ t 50;

Szöveges feldtok 5 77. 79. J t N () _ v + i - 50 O. Innen t - 6t - 50 0; t,85 (h), v 59,08 (km/h). Út idô grfikon: 77. ábr. 78. Jelöljük z eredeti sebességet v-vel, z út hosszát s-sel! Ekkor z eredetileg tervezett menetidô (órábn számolv), z új menetidôt két részletben v s s 0 s 0 írhtjuk fel: - + -. Innen v + 0v - 000 0, v 40 (km/h). v 0 v + 0 v 79. Jelöljük gépkocsik sebességét v, illetve v -vel! Ekkor () v v + 0; 500 500 () +. Innen v v v + 0v - 5000 0; v 65,9 km/h, v 75,9 km/h. Út idô grfikon: 79. ábr. 80. ) Jelöljük v, illetve w-vel két vont átlgsebességét, t-vel tlálkozásukig eltelt idôt! Ekkor vontok tlálkozásig megtett útj vt, illetve wt, 80. vt s hátrlévô távolságot,, w wt illetve,5 ór ltt teszik meg v t 5, vontok. Innen ;, t t (h). A két vont útj ór 5 percig, illetve 5 ór percig trtott. 60 60 b) v 80 (km/h), w 50 5, 5, (km/h). A tlálkozásig megtett utk 60 km, illetve 00 km (ábr).

5 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 8. 84. 8. Jelöljük v + 0-zel, illetve v-vel két vont átlgsebességét, t-vel tlálkozásukig eltelt idôt, s-sel z AB távolságot! Ekkor (v + 0)t vt + 56, innen t 5,6 (h), s 5,6(v + 0). Jelöljük T-vel zt tlálkozási idôt, melyet kkor kpnánk, h z A-ból induló vont 45 perccel késôbb induln; ekkor (v + 0)(T - 0,75) vt, innen 0T - 0,75v - 7,5 0. Végül két vont együttesen most is s-nyi utt tett meg, tehát s vt + 0T - 0,75v - 7,5. A három egyenletbôl v - 94v - 0 0, innen pozitív gyök v 70 (km/h). Az AB távolság s 840 km (ábr). 8. H z egyik hjó sebessége (km/h-bn mérve) v, másiké v + 6, kkor v, illetve v + megtett út. itgorsz tételébôl (v) + (v + ) 60, innen v + 6v - 4 0. v 8 (km/h), ekkor másik hjó sebessége 4 km/h. (A v -4 gyök ugynezt megoldást dj, z ellenkezô iránybn.) 8. Tegyük fel, hogy t idô múlv tlálják el gépet! Ekkor (ut) + H H uh (vt), innen t. Ez ltt z idô ltt repülôgép utt tesz v - u v - u meg, tehát ennyivel kell gép elé célozni. 84. H z eltelt idô t másodperc, kkor két pont áltl megtett út 4,4t, illetve,6(t - ), h t $. Távolságuk itgorsz tételébôl d 44, t + 6, ( t- ) 0,4; innen,t - 5,84t - 64, 0, t 4,5 (s). (A t -,65 hmis gyök.) A t $ idôben d,t - 5,84t + 5,84.,(t - 0,80) +,05. H 0 # t <, kkor d (4,4t) 9,6t (ábr). 85. egyen v gôzhjó sebessége; ekkor folyón lefelé v + 4, folyón felfelé 80 80 v - 4 sebessége. v + + 4 v - 4, innen v - 480v - 08 0, v 7,4 km/h.

Szöveges feldtok 5 86. Elsô megoldás: Jelöljük v-vel motorcsónk sebességét! (A folyó sebessége megegyezik tutj 5 sebességével.) A motorcsónk menetideje v + + 9 4 v - 4, tutjé 5-9. 4 Ezek egyenlôségébôl v 6v, v 6 (km/h). Második megoldás: 5 v + 4 ideig távolodtk egymástól jármûvek, ekkor távolságuk 5v v + 4. Ezután 9 v - 4 ideig közelednek egymáshoz v reltív sebességgel, innen 5v v + 4 9v v - 4. 87. H z egyik korcsolyázó sebessége v, kkor másiké v + 50 m/min; 500 500 innen + 05,. A v + 50v - 50 000 0 egyenletbôl v 00 m/min; v v + 50 két korcsolyázó átlgsebessége km/h, illetve 5 km/h. 88. Jelöljük menetoszlop sebességét v-vel, futár sebességét x-szel! 50 50 0 Ekkor futár reltív sebessége x - v, illetve x + v, tehát x - + v x +. v v Innen 6x - 5xv - 6v 0, x,5v. A futár útj,5 $ 0 80 (m). 89. Jelöljük z eredeti utók számát d-vel, teherbírásukt T-vel! Ekkor () dt 50; () (d + 0)(T - ) 50. Innen (d; T) (0; 5). 90. H z utsok tervezett létszám n, kkor z egy fôre jutó tervezett költség Ft volt. A cstlkozó utssl -re módosul költség, így 48 000 48 000 n n + 48 000 48000-00 n n +. Innen n + n - 40 0, n 5. 40 40 9. Jelöljük k-vl kocsi elsô kerekének kerületét! Ekkor - k k + 0, innen k (m); hátsó kerék kerülete 4 m. g 9. Az s vt t 0 - egyenletbôl 5t - 5t + 0 0, innen t (s), t 4 (s). (Mindkét megoldás jó: 4. másodpercben már lefelé esik lbd.) 9. H két ellenállás értéke x és 94. y, kkor () x + y 7; () +. x y 0 Innen x - 7x + 80 0, két ellenállás értéke, illetve 5 Ohm. 94. A test pillntnyi függôleges irányú sebessége v v 0 - gt 0-0t. Az emelkedési idôt v 0 összefüggésbôl kpjuk: t e v 0 (s). A pil- g gt lntnyi mgsság h v0 t-

54 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 0t - 5t képletbôl számíthtó; mximális mgsság h mx 0 (m). A háztetô szintjét 4. másodpercben éri el test, innentôl számítv földet érés ideje 0 0t + 5t egyenletbôl t. 0,45 (s). A teljes repülési idô 4,45 s; ezltt vízszintes iránybn 5 $ 4,45 66,75 métert repül kvics (ábr). m 95. H szkdék mélysége m, kkor t ideig esik kô, s ezt g távolságot hng t mc idô ltt teszi meg. m + 0, innen z elfo- c gdhtó gyök m 9,5 m. m g Vegyes feldtok 96. ) Mindkét oldlt z ( - x)(5 + x) közös nevezôvel megszorozv, rendezés után x + 4x 0 egyenletet kpjuk; innen x 0, x -. b) Elsô megoldás: Egy szorzt értéke kkor lehet 0, h vlmelyik tényezôje 0. 6 H + 0, kkor x -, x ; h - 0, x - x - x - kkor x 4. Az utóbbi két érték hmis (errôl visszhelyettesítéssel meggyôzôdhetünk), így megoldás x -. Második megoldás: özös nevezôre hozás után szorzttá lkíthtunk: J x -x-6 N J x - 4 N O ( x- )( x+ ) x - 4 $ 0 x -x- O x - O, innen x -. ( x - 4)( x + ) x - c) Mindkét oldlt z (x - 9)(x + 8) közös nevezôvel megszorozv, rendezés után z x - 6x + 8 0 egyenletet kpjuk; innen x, x 4. d) Mindkét oldlt x( - x) közös nevezôvel megszorozv, rendezés után z x - 6x + 8 0 egyenletet kpjuk; innen x, x 4. Az eredeti egyenletet csk x elégíti ki. 97. ) x Y, y Y 0. ()-bôl y -x + 7, ezt ()-be helyettesítve x - 4x + 0 dódik. Innen x (x hmis gyök), s ekkor y 5. b) Elsô megoldás: Az egyenleteket összedv (x + y) 44, x + y vgy x + y -. Innen kifejezve pl. y-t és visszhelyettesítve vlmelyik eredeti egyenletbe (x; y) (0; ), illetve (x; y) (-0; -) dódik. Második megoldás: () x(x + y) 0, () y(x + y) lkbn írhtó. ()-et elosztv ()-vel (ez megtehetô, hiszen nem null z

Vegyes feldtok 55 x 0 osztó) ; innen kifejezhetjük pl. y-t s megoldást z elôzôhöz y hsonlón fejezhetjük be. c) A két egyenletet összedv (x + y) + x + y - 0 0, innen x + y -5 vgy x + y 4. Az elsô esetben ()-bôl xy. Ekkor z x + 5x + 0 egyenletet kpjuk, de ennek nincs megoldás. A második esetben ()-bôl xy. Ekkor x - 4x + 0, innen (x; y) (; ) vgy (x; y) (; ). 98. Jelöljük sokszög oldlink számát n-nel, ekkor z átlók szám nn ( - ) nn ( - ), belsô szögek összege (n - ) $ 80. Az n + (n - ) egyenletbôl n vgy n 8; csk z utóbbink vn értelme. 99. Nincs. A négyzetszámok lehetnek 6, 5, 6, 49, 64, 8; ezek egyike sem felel meg. J N 400. b b+ 0 O, innen 0( - b ) b. A bl oldl oszthtó 0-zel, így jobb oldl is, tehát 5 vgy b 5 ( b 0 semmitmondó eset). H 5, kkor b ; h b 5, kkor nincs megoldás. 40. H keresett szám lkj bc (,,,, 9; b, c 0,,,, 9), kkor felírhtó egyenlet 0 + b bc. Szorzttá lkítás után b(c - ) 0, s innen vgy b 5, vgy c - 5. H b 5, kkor c -, innen (; c) (; ), (; 5), (; 7), (4; 9) lehetséges. H c - 5, kkor c 6, s ekkor b. Innen (; b) (; ), (; 4), (; 6), (4; 8). 40. Jelöljük b-vel keresett életkort (, b számjegyek, Y 0)! Ekkor (0 + b)b c, hol c pozitív egész szám. Mivel oszthtó 7 prímszámml, b 7 többszöröse. A 74 nem felel meg, így z illetô életkor 7 év. 40. H számrendszer lpj x, kkor x + x + 6, innen x 5 megfelelô. 404. H számrendszer lpj n, kkor feltételek szerint n + n + n n(n + n + ) n(n + )(n + ) oszthtó 6-tl. Ez minden egész számr teljesül, tehát megoldás n! N, n $ 4. 405. H számrendszer lpj n, kkor 4n + n + n + 769, vgyis n(4n + n + ) 768. 768 $ $ 07, 0 < n < 0, innen n. J p NJ p N J p N 406. egyen z eredeti ár x; ekkor x + - x + 00 O 00 O 00 O. p p p 00 Innen -, p - 00p 0, p., (%). (p 0 00 0000 00 értelmetlen.) 407. A tx - x + tx - egyenletbôl tx - ( + t) x + 0. H t 0, kkor x, tehát egy közös pont vn. H t Y 0, kkor z egyenlet diszkrimináns ( + t) - 8t 4t - 4t + (t - ). Egy közös pont vn, h t 0,5; más t értékekre diszkrimináns pozitív, tehát két közös pont vn.

56 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 408. Oszthtósági ellentmondásokt keresünk. ) Az egyenlet bl oldlán pártln szám áll (kár páros x, kár pártln), míg jobb oldlon páros. b) A bl oldl páros, jobb oldl pártln. c) -ml osztv x mrdék 0 vgy lehet. Az x - 7 y átlkítás után láthtó, hogy bl oldl nem oszthtó -ml. d) x 4y + átlkítás után jobb oldl -ml osztv vgy mrdékot d. e) 4-gyel osztv x mrdék 0 vgy lehet. Az x + y 4z + átlkítás után láthtó, hogy jobb oldl 4-gyel osztv mrdékot d, de bl oldlon ez nem lehetséges. f) A bl oldl nem dht 4-gyel osztv mrdékot. g) A bl oldl nem dht 4-gyel osztv mrdékot. h) x - 4x - 8y átlkítás után jobb oldl oszthtó 4-gyel, bl oldl nem. i) A bl oldlon páros szám áll, így x páros; de ekkor bl oldl 4-gyel oszthtó, jobb oldl nem. j) 8-cl osztv x mrdék 0, vgy 4 lehet. A jobb oldlon 998 mrdék 6, ez nem lehetséges. k) A bl oldl nem dht 8-cl osztv mrdékot. l) A bl oldl nem dht 8-cl osztv mrdékot. m) x + nem oszthtó -gyel. 409. ) Elsô megoldás: Csoportosítássl szorzttá lkítunk. + b + b ( + b) + ( + b) - 6, innen ( + )(b + ) 5. (A szorzttá lkítást elvégezhetjük úgy is, hogy elôre kijelöljük z ( + u) és (b + v) tényezôket, s együtthtókt egyeztetünk.) ét egész szám szorzt csk kkor lehet 5, h mindkét tényezô 5 osztój. A lehetséges eseteket z lábbi tábláztbn soroltuk fel (összesen 8 megoldás vn): + b+ b 5-7 5 4 5 7 5 5 - -5 - -8 - -7-5 -0-7 -5-7 -8-9 - -5-4 -7 Második megoldás: ifejezzük pl. -t. (+b) 9 - b, innen 9 - b - ( + b) + 5 5 (mivel b Y -) -+ + b + b + b. + b 5 osztój, befejezés z elôzô megoldáshoz hsonlón végezhetô el. b) ( + )(b - ) 4, ( + ) tényezô csk pártln lehet. Négy megoldás vn: + b- b 4 0 6 7 4 - -4 - - -7 - -4 0

Vegyes feldtok 57 c) (4b + )( + ). 4b+ + b -0,5 0 - - - - Egy megoldás vn: (; b) (-; -). d) (4b + )( + ) 0, innen (; b) (-; 0). 40. ) Elsô megoldás: Szorzttá lkítunk, két tényezôt ( + xb + y)( + z) lkbn keressük. Az együtthtókt egyeztetve xb b, innen x (, b Y 0); xzb -b, innen z -; (z + y) -, innen z + y -, y. Az eredeti egyenlet ( + b + )( - ) 4 lkr hozhtó, innen mindkét tényezô 4 osztój. A megoldások: +b+ - b 4 6-6 7 9-8 7 4 4 0 - -4-0 - -7-5 -7-0 -8-4 - -6 Második megoldás: ifejezzük b-t. b( - ) 6 - +, innen - + + 6 b ( - )( -- ) + 4 4 - - + - - -, s így - osztój 4-nek. b) Az egyenlet ( - )( + b - ) 0 lkr hozhtó. Mivel - pártln, következô esetek lehetségesek: - +b- b 0 5 - -0 0-8 -5 - - 4. H két szám x és y (x, y! Z), kkor x + y xy. Innen (x - )(y - ), keresett számok (x; y) (; ) vgy (x; y) (0; 0). 4. H keresett szám kétjegyû, lkj b, kkor b + 0 + b (,,,, 9; b 0,,,, 9). Innen ( - )(0 - b), b 49 vgy b 7. H keresett szám három- vgy többjegyû, kkor nincs megoldás. H ugynis szám n-jegyû (n $ ), lkj b... c, kkor 0 n - $ # b... c $ b $ $ c + # # 9 n - $ +. 0 n - $ # 9 n - $ + pedig nem teljesülhet, h n $. 4. 0 + b + 0b + + b, innen ( + )(b + ) 4. 4 $ $, s mivel mindkét tényezô leglább, $ 8 felbontás lehetséges csk. ét megfelelô szám vn: (; b) (; 7) vgy (7; ).

58 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 44. Az x helyettesítés után + - 4 $ + m 0, innen m 6. Az x - gyöktényezôt kiemelve x + x - 4x + 6 (x - )(x + 4x - ) 0. A második tényezô zérushelyei x - + 6, illetve x - - 6. 45. Elvégezve mûveleteket x (b + c) - x(b + bc + c - b) + bc - c / 0. Minden x-re csk kkor teljesülhet z egyenlôség, h () b + c 0; () b + bc + c - b 0; () bc - c 0. ()-bôl c -b, ezt ()-be és ()-b helyettesítve ( ) b + b 0; ( ) b - b 0. H b 0, kkor c 0, tetszôleges; h b -, kkor c, -. Az így kpott két polinom, illetve gyöktényezôs lkjik: x - x x (x - ), x + x - x - (x + ) (x - ). 46. Elsô megoldás: Az egyenletet z változóbn másodfokúnk tekintve - (b + c) + b + c - bc 0. A diszkrimináns (b + c) - 4(b + c - bc) -(b - c), s ez csk kkor nemnegtív, h b c. Hsonlón kpjuk, hogy b, így b c vlóbn teljesül. Második megoldás: Négyzetösszegekké lkítunk. + b + c - b - bc - - c 0, innen ( - b) + (b - c) + (c - ) 0, s ez csk b c esetén teljesül. 47. ) 7 - x 9 + x- 6 x. H x # 7, kkor megoldndó egyenlet 7 - x 9 + x - 6 x. Az egyenlet x -ben másodfokú, gyökök: x, - (ez hmis), illetve 4; innen x 6. H x > 7, kkor x - 7 9 + x - 69 6 x ; innen x. 9 b) x - 8x + 7 Y 0, innen x nem lehet + (.,7), illetve - (.,9). Az y x - 4x + helyettesítést lklmzv z egyenlet y + y + lkr hozhtó, melynek megoldás y 0, y. Visszhelyettesítés után z elsô esetben x - 4x + 0, honnn x, x. A második esetben x - 4x +, honnn x.,, x 4. 0,78. c) Elsô megoldás: A frontális megoldás elég sok számolást igényel. Az egyenletet 49 $ 50(x - 50)(x - 49) közös nevezôvel megszorozv 99x - 4 70x + 485 99x 0. Innen x 0, 99x - 4 70x + 490 + 485 99 0 egyenlet két gyöke pedig x 99, x. 99

Vegyes feldtok 59 Második megoldás: evesebb számolássl érünk célhoz, h mindkét oldlhoz tgonként egyet-egyet hozzádunk. Ekkor x + x- + 50 49 x - x + J N +, innen ( x + ) + x - 50 x - 49 50 49 - x O J N ( x - ) - x - 50 49 O, ( x+ )( 99- x) ( x-)( 99- x). 50 ( 49 - x ) 49 ( x - 50) x 99 gyök; ezután 49(x - 50)(x + ) 50(49 - x)(x - ) másodfokú egyenlet gyökeit kell meghtároznunk. Hrmdik megoldás: A két oldlt külön hozzuk közös nevezôre: 49 ^x- 49h+ 50 ^x-50h 49 ^x- 49h+ 50 ^x-50h. A számlálók 50 $ 49 ^x-49h^x-50h megegyeznek, ezért vgy számlálók értéke null, vgy h ez nem teljesül, kkor nevezôk egyenlôk. d) Szorzttá lkítjuk két másodfokú kifejezést, mjd kpott tényezôket szimmetrikusn csoportosítjuk. Az x - 4x + 0 egyenletbôl x és x, így x - 4x + (x - )(x - ). Hsonlón x + 6x + 8 (x + )(x + 4). Az (x - )(x - )(x + )(x + 4) -4 egyenletbôl z elsô és negyedik tényezô szorzt x + x -, második és hrmdik tényezôé x + + x - ; z x + x - helyettesítéssel ( - 0) -4. Ennek - + két gyöke 4, 6; innen x, x -, x, -- x 4. e) x $ 0. t x helyettesítéssel (t $ 0) z egyenlet t 6 - t 4 + t t (t - t + ) 0 lkr hozhtó. A második tényezônek gyöke t, így szorzttá lkítás után t (t - )(t + t - ) 0 dódik. - + 5 -- 5 A gyökök: t 0, t, t, t 4 (ez hmis), J N - + 5 O s innen x 0, x, x O. 48. ) Nevezôben nem állht null, négyzetgyök ltt nem lehet negtív szám; z egyenlet értelmezési trtomány x < - 5 vgy 9 # x. x - 9 Az egyenlet (x - 9)(x + 5) - 0(x + 5) - 75 0 lkr x + 5 hozhtó. ( x + 5) ux + 5u, így z (x + 5) tényezôt csk elôjelétôl függôen vihetjük be négyzetgyök lá.

60 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Elsô eset: h x + 5 > 0, vgyis x > - 5. Ekkor ( x + 5) x + 5, kpott egyenlet (x - 9)(x + 5) - 0 ( x+ 5)( x-9) - 75 0. (Az lphlmz leszûkült z x $ 9 intervllumr.) Az egyenlet z y ( x+ 5)( x-9) helyettesítéssel z y - 0y - - 75 0 egyenletre vezethetô vissz. Ennek két gyöke y -5 és y 5. Az elsô gyök hmis, másodikt visszhelyettesítve ( x+ 5)( x- 9) 5. Négyzetre emelés és rendezés után z x - - 4x - 0 0 egyenletet kpjuk, melynek gyökei x 44 és x -0. Az x $ 9 leszûkítés mitt csk x 44 vlódi gyök, melyrôl visszhelyettesítéssel meggyôzôdhetünk. Második eset: h x + 5<0, vgyis x < - 5. Ekkor ( x+ 5) -(x + 5), z egyenlet (x - 9)(x + 5) + 0 ( x+ 5)( x-9) - 75 0 lkr hozhtó. (Az értelmezési trtomány x < -5.) Az y ( x+ 5)( x-9) helyettesítéssel z y - 0y - 75 0 másodfokú egyenletet kpjuk, ennek gyökei y 5 és y -5. A második gyök hmis, z elsôt visszhelyettesítve ( x+ 5)( x- 9) 5. Rendezés után x - 4x - 0 0, gyökök x 0 és x 4-6. Az x < -5 leszûkítés mitt x 4-6 vlódi gyök. Összefogllv: z egyenlet megoldáshlmz {44; -6}. Megjegyzés: A megoldás folymán minden lépésben rögzítettük z lphlmz változását, végig ekvivlens átlkításokt végeztünk. Technikilg egyszerûbb, h nem törôdünk z ekvivlenciávl, s kpott gyököket visszhelyettesítéssel utólg ellenôrizzük. (H zonbn pl. z eredeti feldtot egyenlet helyett egyenlôtlenség lkjábn tûzzük ki, kkor z eredmény intervllum lesz; végtelen sok számot pedig nem lehet visszhelyettesítéssel ellenôrizni.) b) Emeljük köbre mindkét oldlt! Az ( + b) + b + b( + b) zonosság lklmzásávl x + 9 - x + x( 9- x) b x+ 9- xl 7, vgyis x( 9- x) b x + 9- xl 6. Tegyük fel, hogy z egyenletnek vn megoldás; ekkor kiindulási egyenletet felhsználv második tényezô, így x( 9 x) Ellenôrzés: + 9-, 8 + 9-8. Mindkét gyök megfelelô. Megjegyzés: A megoldás folymán felhsználtuk kiindulási egyenletet. Ez nem ekvivlens átlkítás, ezért kötelezô z ellenôrzés. (Vlójábn zt

Vegyes feldtok 6 mutttuk meg, hogy h létezik megoldás, kkor z csk x vgy x 8 lehet; hogy ezek ténylegesen gyökök, visszhelyettesítéssel igzolhtjuk.) 49. ) Az elôzô megoldáshoz hsonlón járunk el. Mindkét oldlt köbre emelve x + - x + x( - x) b x + - xl -, innen x( - x), x( - x), x. H tehát vn megoldás, z csk x lehet. De visszhelyettesítés lpján ez hmis gyök, így z egyenletnek nincs megoldás. b) x+ x- b+ x-l, hsonlón x - x- b- x-l, ezért z egyenlet b+ x -l + b- x -l - y lkb írhtó. Az egyenlet lphlmz x $. A uu zonosság lklmzásávl + x- + - x- - y. Mivel + x - mindig pozitív, csk második bszolútértékes tg elôjelét kell megvizsgálnunk. H - x- $ 0, vgyis $ x, kkor - x- - x-, z egyenlet + x- + - x- - y lkú. Ekkor végtelen sok megoldást kptunk; z lphlmzt figyelembe véve y 0, # x #. H - x - < 0, vgyis < x, kkor - x - x - -, z egyenlet + x- + x- - - y lkú. A x- - y egyenlet bl oldl ngyobb, mint (x > ), jobb oldl legfeljebb ; z egyenletnek nincs megoldás. Az összes megoldás: # x #, y 0. Megjegyzés: H közvetlenül nem sikerül x + x - teljes négyzetté lkítás, lklmzhtjuk b x - helyettesítést. Ekkor x + x - b + + b, mi már nevezetes zonosság. 40. ) x + y - z $ 0. üszöböljük ki négyzetgyökös tgot: x+ y-z helyettesítéssel x + y - z, innen z x + y -, s z eredeti egyenlet x + y + x + y - + lkr hozhtó. 4 J N J N J N Négyzetösszegekké lkítás után x- + y- + - 0 O O O, J N J N innen (x; y; ) ; ; O, vgyis (x; y; z) ; ; 4 O.

6 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 4. b) Az egyenlet bl oldlát négyzetösszegekké lkíthtjuk: x - 4xz + + 4z + z - 4yz + 4y + y - y + (x - z) + (z - y) + (y - ) 0. Innen (x; y; z) (4; ; ). 4. Elsô megoldás: Az f: x 7 x - 4, x $ 0 és g : x 7 x + 4, x $ - 4 függvények egymás inverzei. Ábrázoljuk z f : x 7 x - 4, x! R és g függvényeket! Az f és g függvények görbéi tükrös helyzetûek z y x egyenesre, ezért z x - - 4 x, vgyis x - x - 4 0 egyenlet pozitív gyöke z eredeti egyenletnek is megoldás. x - 4 x + 4 négyzetre emelése és rendezés után x 4-8x - x + 0, s bl oldlból kiemelve z x - x - 4 tényezôt, z egyenlet (x - x - 4)(x + x - ) 0 lkr hozhtó. A négy 7 gyök közül feltételeknek x + és x - - felel meg. Második megoldás: Az eredeti egyenlet helyett z () y x - 4, () y x + 4 egyenletrendszert oldjuk meg. ()-bôl kivonv () négyzetét x - y -(x - y), (x - y)(x + y + ) 0. Innen y x vgy y -x -, ezt ()-be helyettesítve megkpjuk z elsô megoldás másodfokú egyenleteit. 4. ) Elsô megoldás: A megoldóképletet lklmzv - 5m! 5m + 4m x,, innen x 4 m, x -m. Áltlábn két megoldás vn; egy megoldás vn, h m -m, vgyis h m 0. (Ekkor x 0 kétszeres gyök.) Második megoldás: H m 0, kkor x 0. J x N J x N H m Y 0, kkor z egyenletet m -tel osztv + 5 - m O m O 0 x J m N dódik. Innen ekkor x m O vgy x - (ekkor m x -m). Hrmdik megoldás: Szorzttá lkítunk csoportosítássl. 0 x + 5mx - m x + 6mx - mx - m x(x + m) - m(x + + m) (x - m)(x + m), s ebbôl x - m 0 vgy x + m 0 következik. b) m x, m - x. Áltlábn két megoldás vn; egy megoldás vn, h x 0. (Ekkor m 0 kétszeres gyök.)

Vegyes feldtok 6 4. H z f(x) 6x - 7x + px + 0 egyenlet egyik gyöke, kkor z f() 0 egyenletbôl 6 $ - 7 $ + p + 0, innen p -6. Mivel x gyök, z f(x) polinomból kiemelhetô z (x - ) gyöktényezô: 6x - 7x - 6x + (x - )(6x + 5x - 6). A 6x + 5x - 6 0 egyenletbôl x, x -. 44. ) Átlkítások után ( + )x - x(6 + 8) + 8 + 5 0. H -, kkor z egyenlet elsôfokú, melynek x,5 gyöke. H Y -, kkor z egyenlet diszkrimináns D (6 + 8) - 4( + )(8 + 5) 4 + 4 + ( + ) + > 0, tehát z egyenletnek z prméter tetszôleges értékére vn két (különbözô) gyöke. b) H p, z egyenlet elsôfokú, egyetlen gyöke vn: x,. H p Y, 97 kkor diszkrimináns 5-4(p - ) 97-4p. H p < (és p Y ), 4 97 kkor két megoldás vn; h p, egy (kétszeres) gyök; h 4 97 p >, nincs megoldás. 4 c) Az egyenlet x - ( + b + c)x + b + bc + c 0 lkr hozhtó. Ennek z egyenletnek x nem lehet gyöke, hiszen - ( + b + c) + b + bc + c 0 egyenletbôl átlkítások után ( - c)( - b) 0 dódik, s ez ellentmondás (, b, c különbözôk). Hsonlóképpen nem lehet gyök x b vgy x c sem. Az egyenlet diszkrimináns D 4( + b + c) - (b + bc + c) d_ - bi + _ b- ci + _ c-i n > 0, tehát mindig vn két különbözô gyök. 45. ) Vizsgálhtjuk diszkrimináns elôjelét, vgy z egyenlet bl oldlát négyzetösszegekké lkíthtjuk. Ez utóbbi lpján z (x + b) + x + + c 0 egyenletnek csk b c 0 ( tetszôleges) esetben vn megoldás (ekkor x 0), prméterek más értékére nincs megoldás. b) Nincs vlós gyök. c) (x - b) + x, innen x -, 0, lehetséges. H x -, kkor -b (, b tetszôleges); h x, kkor b (, b tetszôleges), h x 0, kkor tetszôleges, b!. Tehát egy megoldás vn következô esetekben: (; b) (t; - t), (t; t), (t; ), (t; -), hol t! Z tetszôleges. 46. ) Az () x 4 + px + p + 0 egyenlet y x helyettesítéssel () y + + py + p + 0 lkr hozhtó. A gyökök létezésének szükséges feltétele, hogy diszkrimináns ne legyen negtív. D (p) - - 4(p + ) 4p - 4p - 4, így 4p - 4p - 4 $ 0. A két zérushely

64 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek - 5 + 5 p. -0,6 és p.,6, z egyenlôtlenség - 5 + 5 megoldás () p # vgy # p. A () feltétel teljesülése esetén ()-nek z y változór nézve vn gyöke; ()-nek kkor vn gyöke (x-ben), h y $ 0. AViète-formulákból y + y -p, y $ y p + ; két pozitív gyököt kkor kphtunk y-r, h -p > 0 és p + > 0, vgyis -<p <0. - 5 Ezt () feltétellel egybevetve - < p # dódik. Egy pozitív és egy negtív gyököt kkor kphtunk, h p + <0, vgyis p < -; ezt ()-ml egybevetve p < -. (ét negtív gyök keletkezik y-bn, h -p <0 és p + > 0, vgyis + 5 0<p. ()-ml egybevetve ekkor # p.) Végül zt z esetet vizsgáljuk meg, mikor y 0 gyöke ()-nek. Ekkor p -, z egyenlet y - y 0 lkú lesz, másik gyök y pozitív. Mivel y x, így minden y > 0 gyökhöz pontosn két megfelelô x érték trtozik (x! y ). H ()-bn egyenlôség vn, kkor () teljes négyzet, két gyök megegyezik. Foglljuk össze z eredményeket egy tábláztbn: p értéke p < - p - () gyökei y -bn egy pozitív és egy negtív gyök egy pozitív és egy zérus gyök két pozitív gyök egy (kétszeres) pozitív gyök nincs gyök egy (kétszeres) negtív gyök két negtív gyök () gyökei x -ben két gyök három gyök ( 0 kétszeres gyök) négy gyök két (kétszeres) gyök nincs gyök nincs gyök nincs gyök

Vegyes feldtok 65 b) Alklmzzuk z y x helyettesítést (y $ 0)! Ekkor z () x 4 + x + + p 0 egyenletbôl () y + y + p 0 egyenletet kpjuk. ()-nek (y-bn) két gyöke vn, h p < ; egy gyöke, h p (y -); s nincs gyöke, h p >. Mivel y $ 0, meg kell vizsgálni ()-ben kpott y, y gyökök elôjelét. A két gyök összege -, tehát z egyik gyök biztosn negtív: y <0. y > 0, h két gyök szorzt negtív, tehát p < 0. Ekkor ()-ben egy pozitív gyök vn, így ()-ben két gyököt kpunk: x y, x- y. Végül ()-nek gyöke 0, h p 0. Ekkor ()-ben x 0 z egyetlen (kétszeres) gyök. Összefogllv: p értéke <p p 0<p < p 0 p <0 () gyökei y -bn nincs gyök egy (kétszeres) negtív gyök két negtív gyök 0; - két különbözô elôjelû gyök () gyökei x -ben nincs gyök nincs gyök nincs gyök 0 két gyök c) Az y x helyettesítéssel y + ( + p)y + p 0, innen y és y p. áthtó, hogy x - és x mindig megoldás. H p < 0, két gyök vn; h p 0, három gyök (közülük x 0 kétszeres gyök); h p > 0, p Y, kkor négy gyök vn; h p, kkor két (kétszeres) gyök vn. 47. ) Elsô megoldás: Az egyenlet x(p + - x) 6 lkr hozhtó, innen x osztój 6-nk. x ismeretében (p + - x )-bôl számolhtó p, s z eredeti egyenletbôl x. x 6 - - - -6 p + - x 6-6 - - - p 6 5 6-0 -9-0 -5 x,5 0,5 - -,5 - -0,5 ét megoldást kptunk: h p 6, kkor két gyök és ; h pedig p -0, kkor két gyök - és -. Második megoldás: AViète-formulák lpján x $ x és x + x p +. Innen (x ; x ) (; ), s ekkor p 6; vgy (x ; x ) (-; -), ekkor pedig p -0.

66 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Megjegyzés: A második megoldásbn nem hsználtuk ki, hogy p egész. b) A két gyök szorzt,5, nincs megoldás. c) (p; x ; x )! {(-,5; ; 6), (-,5; ; ), (,5; -; -6), (,5; -; -)}. d) x(x + p - ) p, így xu p. egyen p kx (k! Z), ekkor x(x + kx - ) kx. H x 0, kkor p 0, s ez megoldás. k + H x Y 0, kkor (k + ) x + k, x + (k - k + k + nem lehetséges), s innen z lábbi tábláztot kpjuk: k x p - 0 0 - - 0 0 48. ) Tekintsük y-t prméternek, ekkor 8y-6! ( 8y-6) - 4 ( 6y + 4y-798) x, 4( y-)! 7 ( 9- y). Innen y # 9 (és feldt értelmében y $ 0), és 9 - y k lkú (k! N). A kpott megoldások: (x; y) (8; ), (64; ), (50; ). b) Elsô megoldás: Az elôzô megoldáshoz hsonlón járhtunk el. y-t prméternek tekintve x, -y! 7-8y, s innen y! {0,, }. Eredmény: (x; y) (4; ) vgy (; ). (A (-; ) és (-; ) értékpárok nem felelnek meg.) Második megoldás: Az egyenlet (x - ) + (y + ) + xy lkr hozhtó, innen xy # 0, s némi próbálkozás után megkpjuk gyököket. 9! 8-( y -) 9! 7 - y c) Elsô megoldás: x,, 6 6 innen y # 9, y! {0; ; ; }. Eredmény: (x; y) (; ) vgy (x; y) (; ). Második megoldás: Az egyenlet -vel szorozv (x - ) + 4y 9 lkr hozhtó. Innen y oszthtó -ml és legfeljebb, tehát y, s ekkor x vgy x. 49. Elsô megoldás: 0+b-(0b+) (+b) -bôl 9(-b) +b +b, innen + (b - 9) + b + 9b 0. Az -bn másodfokú egyenlet megoldás 9-b! 8-7b,. A diszkrimináns nem lehet negtív, így b 0 vgy b lehetséges csk.

Vegyes feldtok 67 H b 0, kkor 9. (Ezt megoldást csk kkor fogdhtnánk el, h b 09 lkot hsználnánk, de ez nem lenne szerencsés.) H b, kkor vgy 5. ét megoldást kptunk:, 5. (A 90 nem felel meg.) Második megoldás: 9( - b) ( + b), így - b négyzetszám, lehetséges értékei 0,, 4, 9. Ezek visszhelyettesítésével z elôzô megoldásokt kpjuk. 40. Elsô megoldás: Az n + n + 4 k egyenletben (k! N feltehetô) k-t prméternek tekintve megoldhtóság szükséges feltétele, hogy diszkrimináns ne legyen negtív. D - 4 $ (4 - k ) $ 0, innen k $ 40,75, u ku $ 6,8, k $ 7. -! 4k -6 Mivel n, egész szám, diszkriminánsnk négyzetszámnk kell lennie. Innen 4k - 6 m (hol m! N), 4k - m 6, (k + m)(k - m) 6. 6 prímszám, így k + m 6, k - m. Az egyenletrendszer megoldás -! m -! 8 k 4, m 8. Visszhelyettesítve n,, tehát n 40 vgy n -4 esetén lesz n + n + 4 négyzetszám. Második megoldás: Más megoldási lehetôség teljes négyzetté lkítás. J N 6 H n + n + 4 n + + O négyzetszám, kkor négyszerese is z. 4 A(n + ) + 6 4k egyenletbôl 6 4k - (n + ) (k + n + )(k - n - ), s innen z elsô megoldáshoz hsonlón folytthtjuk. 4. ) b - 6 $ 0, innen b # - 4 vgy b $ 4. b) b < - 4 vgy b > 4. c) gyökök összege -b, szorzt 4, innen b < -4. d) Nem lehetséges; gyökök szorzt pozitív. e) + b + 4 0, innen b -5. f) Nem lehetséges. g) Az f(x) x + bx + 4 függvény képe felfelé nyitott prbol, minimum z x - b helyen vn. A két gyök --nél ngyobb, h f(-) > > 0 és -<- b (és persze vn két (esetleg egyenlô) gyök: b # - 4 vgy b $ 4). Nincs megoldás. h) f(- 6) > 0 és - 6< b 0 0 -, vgyis b < és b < ; innen b <. A diszkrimináns nem lehet negtív, így megoldás: b # -4 vgy 0. 4 # b < i) Elégséges feltétel f(-6) < 0, innen b > 0.

68 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek j) A feltételek: pozitív diszkrimináns mellett f(-4) > 0, f(-) > 0, -4< b < -. Az egyenlôtlenségek megoldás < b < 5, innen 4<b <5. 4. Elsô megoldás (együtthtók és függvényértékek vizsgált): ) ( - p) + 4(4p + 8) $ 0; innen (p + 6) $ 0, s ez mindig teljesül. b) p Y - 6. c) gyökök összege - p > 0, szorzt -4p - 8>0, innen p < - (p Y -6). d) -4p - 8<0, innen p > -. e) - + p - + 4p + 8 0, innen p -. f) Az f (x) -x + ( - p)x + 4p + 8 függvény képe lefelé nyitott prbol, mximum z x helyen vn. A két gyök -nél ngyobb, - p - p h f() < 0 és <. Innen - + - p + 4p + 8<0 és p <0, vgyis p < -. g) Elégséges feltétel f() > 0, innen p > -. h) A feltételek: pozitív diszkrimináns mellett f() < 0, f (5) < 0, < - p < < 5. Az egyenlôtlenségek megoldás p < -, p > -7, -8<p < 0. Innen -7<p < -, p Y -6. Második megoldás: Mivel diszkrimináns teljes négyzet, érdemes két gyököt p-! ( p+ 6) meghtároznunk. x,, innen x -p -, x - 4. Az x ismerete lényegesen megkönnyíti feltételek felírását. c) x >0 mindig teljesül, így elégséges feltétel -p - > 0, innen p < - (p Y - 6). d) -p - <0, innen p > -. e) -p - -, innen p -. f) -p - >, innen p < -. g) -p - <, innen p > -. h) < - p - <5, innen -7<p < - (p Y -6). 4. ) H p -, kkor z egyenlet elsôfokú, melynek gyöke x -. Egyéb p értékekre diszkrimináns (p + ) + 8(p + ) 4p + 0p + + 5 (p + 5) $ 0, tehát minden p értékre vn gyöke z egyenletnek. b) ét különbözô gyök vn, h p Y -,5. (És persze p Y -.) A két gyök x p + és x -. c) x > 0, h p > -. d) p -. e) Nem lehetséges, x < -. p + 7 7 f) > -, h > 0; ez pedig p < - vgy p > - esetben p + p + teljesül.

Vegyes feldtok 69 g) x p + < -, h 7 - < p < -. (p -,5 esetén kétszeres gyök vn.) h) -< p + < -, h -<p < 7 -. 44. A vlós gyökök létezése mitt másodfokú kifejezés diszkrimináns nemnegtív. D (,p) - 4(p - p) -,56p + p, így -,56p + p $ 0, p( -,56p) $ 0. Az egyenlôtlenség megoldás: 0 # p # 4,6875. A gyökök és együtthtók közötti összefüggések lpján x + x -,p, x $ x p - p. Innen x + x (x + x ) - x $ x (-,p) - (p - p) -0,56p + 6p, vgyis 0 # p # 4,6875 feltétel mellett z f(p) -0,56p + 6p kifejezés mximumát keressük. A p 7 f(p) függvény két zérushelye p 0 és p. 0,7, szélsôértékhelye -6 p. 5,6. A 0 # p # 4,6875 intervllum nem trtlmzz z $ (- 0, 56) bszolút mximumhelyet, ezért f(p) kkor mximális, h p 4,6875. A vlós gyökök négyzetösszegének mximum f(4,6875) -0,56 $ 4,6875 + 6 $ 4,6875.. 5,8. 45. ()-bôl (p - 4)x y(p - ). ()-et beszorozv (p - ) Y 0-vl (p + )(p - - ) x - p(p - ) y(p - ) dódik, innen (p - 4)x (p + )(p - )x - p(p - - ). Az egyenlet rendezésével kpjuk, hogy () p(p + )x p(p - ). H p, kkor ()-bôl x 0, ()-bôl y -0,5. H p Y, kkor () vizsgáltát három esetre bontjuk.. H p 0, kkor ()-t minden x kielégíti, ()-bôl y 4x. A megoldások (x; y) (t; 4t) lkúk, hol t! R tetszôleges.. H p -, kkor () ellentmondó, nincs megoldás. p -. H p Y 0 és p Y - (és persze p Y ), kkor x, ezt ()-be visszhelyettesítve (p + )y p -. Innen p - ellentmondásr vezet, egyébként p + p - y. (Ez megoldás trtlmzz p esetben kpott gyökpárt is.) p + Összefogllv: p 0 - - egyébként x t! R tetszôleges nincs megoldás nincs megoldás p - p + y 4t nincs megoldás nincs megoldás p - p +

70 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 46. x - y (x - y)(x + xy + y ), így () x + xy + y p lkr hozhtó. ()-bôl x p + y, ezt ()-be helyettesítve y + py + p - p 0. Egyetlen megoldást kpunk, h z egyenlet diszkrimináns zérus: 9p - (p - p) 0, innen p 4 (p 0 nem felel meg), s ekkor (x; y) (; - ). 47. egyen x + y xy q, s ekkor gyökök és együtthtók közötti összefüggések mitt z - qz + q 0 egyenlet két gyöke x és y. Az egyenlet diszkrimináns nem lehet negtív: D q - 4q $ 0, h q # 0 vgy 4 # q. (Ehhez z eredményhez úgy is eljuthtunk, h z x + y q, xy q egyenletrendszer megoldhtóságát vizsgáljuk meg.) ()-bôl x + y (x + y) - xy(x + y) q - q + q p, innen (q - ) p -. A q-r kpott feltételbe visszhelyettesítve (q - ) # - vgy # (q - ), innen p - # - vgy 7 # p -, p # 0 vgy 8 # p. A lépések megfordíthtók, tehát p # 0 vgy 8 # p értékekre vn megoldás z eredeti egyenletrendszernek. 48. Elsô megoldás: () mitt p! N. ()-bôl és ()-bôl J p N J p N J p N x - + y - + z - O O O p p x + y + z - ( x + y + z ) + p p p p - + ( - p). Ez utóbbi szorzt nem lehet negtív, így p! {0; ; ; }. Ezekre p értékekre z egyenletrendszernek vn megoldás, pl. z x, y, z ismeretlenek közül p számút -nek válsztunk, többit 0-nk. Második megoldás: Alklmzhtjuk számtni és négyzetes közép közötti J x+ y+ z N x + y + z egyenlôtlenséget: # O, honnn p # p, p(p - ) # 0, 9 p! {0; ; ; }. 49. ) Az egyenlet (x - ) + (y - ) - lkr hozhtó. Nincs megoldás. b) Szorozzuk 4-gyel mindkét oldlt! Ekkor (x + ) + (y + ) 94. Mivel 94-nek egyetlen négyzetösszeg-felbontás vn (94 + 5 ), így (x; y) lehetséges értékei: (!6;!7) és (!7;!6). (Összesen 8 megoldás vn.) c) Az egyenlet (x - y) + y + 0 lkr hozhtó. Nincs megoldás. d) x pártln, legyen x k + lkú (k! Z). Ekkor y x + 5 x + + x + (k + ) + + ( k ) + + 4k + 4k + + + k + k + 6k + 6k + 4. Megoldás: (x; y) (k + ; 6k + 6k + 4), hol k tetszôleges egész szám. 440. ) Az egyenlet 7(x + )(x - ) - 4y 4 lkr hozhtó. x + és x - csk páros számok lehetnek, de ekkor bl oldl oszthtó 4-gyel, míg jobb oldl nem. Nincs megoldás.

Vegyes feldtok 7 J x x b) Szorzttá lkíthtunk: x + 5xy - y J N J N N y + 5 O - y O y O O J x N J x N y - + 4 y O y O (x - y)(x + 4y). (Ugynezt megkphtjuk lklms csoportosítássl is: x + 5xy - y x - xy + 8xy - - y x(x - y) + 4y(x - y) (x - y)(x + 4y).) A(x - y)(x + 4y) egyenletbôl két tényezô társosztój lehet csk. A 8 esetet végignézve két megoldást kpunk: (x; y) (; ) vgy (x; y) (-; -). c) Elsô megoldás: Az egyenlet (x - y) + y 4 lkr hozhtó. Innen y 0 vgy! lehet, megoldásokt z lábbi tábláztbn soroltuk fel. y x - y x 0 0 - - 0 4-0 -4 Második megoldás: Az x - 4xy + 5y - 4 0 egyenletben y-t prméternek tekintjük. Ekkor diszkrimináns 6y - 4(5y - 4) -4y + 6 $ 0, innen u yu #. d) Az 46. feldt lpján minden x y z egész számhárms megoldás. e) (x - y) + (y - z) + (x - z) 8, mibôl következik, hogy két tg 4, z egyik tg pedig zérus. H pl. x y, kkor ux - zu, honnn x z + vgy x z -. Hsonlót állíthtunk, h vlmelyik másik két változó egyenlô, így megoldások: (x; y; z) (t! ; t! ; t), (t; t! ; t! ) vgy (t! ; t; t! ) lkúk, hol t! Z tetszôleges. (Egy-egy megoldáshoz képletekben zonos elôjelek trtoznk, összesen 6 lpmegoldás vn.) 44. H keresett kétjegyû szám lkj b (,,,, 9; b 0,,,, 9), kkor 0 + b - b vgy 0 + b b -. Az elsô esetben ( - 0) b(b + ) nem lehetséges ( bl oldlon negtív szám áll), második esetben b(b - ) ( + 0). Ekkor bl oldlon két szomszédos egész szám szorzt, tehát páros szám áll; emitt jobb oldlon is páros; de ekkor jobb oldl (s így bl oldl is) oszthtó 4-gyel. A b 4, 5, 8, 9 lehetôségek közül b 8, 4 d megoldást. 44. Jelöljük b-vel keresett számot (, b számjegyek, Y 0), ekkor (0 + b)( + b) + b. Mivel + b ( + b)( - b + b ) és + b Y 0, innen 0 + b - b + b. Az egyenletet -vel megszorozv négyzetek összegét állíthtjuk elô: - b + b + - 0 + b - b 0, ( - b) + +(0 - ) + (b - ) 0. Némi próbálgtás után tlált felbontások: 0 + + + 0 0, 9 + 4 + 0, 8 + 6 + 0, 7 + 6 + 4 0; melyekbôl b 7 vgy b 48 dódik. 44. H kpott szám bc5 lkú (, b, c < t számjegyek,! 0), kkor t + + bt + ct + 5 74, s innen t(t + bt + c) 69. t < 0, így t lehetséges csk, s ekkor (; b; c) (; ; ).

7 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek 444. 0- b - 0b- 70, innen 70 $ 9 $ (b - ) 0b + 0( + b ). 0b oszthtó 0-zel, tehát 5 (és b páros) vgy b 5 (és páros). H 5, b-re nem kpunk egész megoldást; h b 5, 4 megfelelô. Másik elindulási lehetôség: 0b + 0( + b ) 0( + b) + 8b; 0( + b) oszthtó 8-gyel, + b 9. 445. A két egyenlet összedásából + b + c - - 6b - 6c + 8 0, innen ( - ) + (b - 8) + (c - 8). Vlmelyik tg értéke, másik kettô 0. A második egyenlet mitt c páros, így c 8. H ( - ), kkor, b c 8. Visszhelyettesítéssel ellenôrizhetjük, hogy ez nem megoldás, tehát. H (b - 8), kkor b 9 vgy b 8. Az + b 8 egyenletbôl b 9, s z (; b; c) (; 9; 8) esetben c + 6b - 8 teljesül. A keresett szám 98. 446. S 0, S 5 5, S, S 6 9 stb. A sejtés: S n n(n + )(n + )(n + ) + `_ n+ i_ n+ i-j. Bizonyíthtunk teljes indukcióvl vgy pl. következô átlkítássl: n(n + )(n + )(n + ) + (n + n)(n + n + ) + (n + n) + (n + n) + (n + n + ). x y z 447., b, c, x, y, z Y 0. Alklmzzuk pl. z u, v, w helyettesítést; ekkor két egyenlet + + 0 és u + v + w lkb írhtó, s u v w b c uv+ vw+ uw u + v + w értéke kérdés. + + 0 mitt u v w uvw uv + vw + uw 0; z (u + v + w) u + v + w + (uv + vw + uw) átlkításból kpjuk, hogy u + v + w. 448. ()-bôl (+b+c) +b +c +(b +bc +c)+(b +bc +c), bx cx innen b + bc + c 0. ()-bôl y, z, így ()-ból xy + xz + yz bx cx bcx x + + ( b + c + bc) 0, s ezt kellett bizonyítnunk. + b 449. Elsô megoldás: Az () + b egyenletet b htványi + b szerint rendezve ( - )b + ( - )b + 0. esetén z egyenlet b-re nézve elsôfokú, megoldás rcionális szám, tehát vn rcionális megoldás z eredeti () egyenletnek. (A kpott megoldás (; b) (; -).) Második megoldás: H ()-et htványi szerint rendezzük, kkor ( - b) + + b( - b) + b 0. Az egyenlet diszkrimináns d b ( - b) - 4( - b)b b (b - 4); ez pl. kkor lehet egy egész szám négyzete, h b!. A b válsztás ellentmondásr vezet, b - esetén -et kpjuk.

Vegyes feldtok 7 Hrmdik megoldás: H ()-nek, b megoldás, kkor r rcionális szám. b br + b br Ekkor br helyettesítéssel ()-bôl + b, honnn br br + b r + r + b. Tehát h r Y 0 és r Y -, kkor b rcionális, és br is z. r r + 450. Az egyenlet két gyöke x, b b -! -4 c. A gyökök csk kkor lehetnek rcionálisk, h b - 4c rcionális; egy n természetes szám négyzet- gyöke pedig csk kkor lehet rcionális, h n négyzetszám. H n k (k! N), - kkor x, b! k. Mivel b, b - 4c, k és k pritás megegyezik, -b! k páros, x és x tehát egész számok. 45. Tegyük fel indirekt módon, hogy z egyenletnek vn rcionális gyöke. Az egyenlet diszkrimináns d b - 4c. Egy természetes szám négyzetgyöke vgy egész, vgy irrcionális, így b - 4c k (k! N, k pártln). Az egyenlet - b+ k -b-k két gyöke ekkor és egyránt egész szám; de két egész szám összege (-b) és szorzt (c) nem lehet egyszerre pártln. Ellentmondást kptunk, z egyenletnek nincs rcionális gyöke. Megjegyzés: Az elôzô feldt eredményét felhsználv feldt állítás rögtön dódik. H z x + bx + c 0 egyenletnek lenne rcionális gyöke, kkor zok egészek is; viszont ezek létezésének ellentmondnk Viète-formulák. 45. Jelöljük n b-vel keresett számot (, b számjegyek, Y 0), ekkor n - s 0 + b - ( + b ) (0 - ) - b(b - ). A különbség mximális, h (0 - ) mximális és b(b - ) minimális. Ekkor (; b) (5; ) vgy (5; 0), (n - s) 5. A különbség minimális, h (0 - ) minimális és b(b - ) mximális. Ekkor (; b) (; 9) vgy (9; 9), (n - s) -6. x + 6x+ 6 x + x+ 45. Elsô megoldás: A kifejezést átlkíthtjuk: x + + 4 x + 5 x + 4x + 5 _ x + i +. A második tg nem negtív, tehát kkor minimális, h _ x + i + x -. A minimum értéke. x + 6x+ 6 x + 6x+ 9 _ x + i Ugynkkor - -. A második x + 4x+ 5 x + 4x + 5 _ x + i + tg minimális, h x -; ekkor kifejezésnek mximum vn, mximum értéke.

74 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek x + 6x+ 6 Második megoldás: A x kifejezés értékkészlete zon p vlós számok + 4 x + 5 x + 6x+ 6 hlmz, melyekre p egyenletnek vn megoldás. Ezért szélsôérték-keresés helyett elég prméteres egyenlet megoldhtóságát vizsgálni. x + 4x+ 5 Rendezés után x ( - p) + x(6-4p) + 6-5p 0 egyenletet kpjuk. Ennek kkor lehet megoldás, h diszkrimináns nem negtív: D (6-4p) - 4( - p) (6-5p) $ 0, innen # p #. Mivel x együtthtój ( - p), külön meg kell vizsgálni - p 0 esetet; de p érték nem befolyásolj szélsôértékeket. Megjegyzés: H kifejezés értékkészlete lett voln kérdés, kkor p esetén - x - 4 0 kpott egyenlet. Ennek megoldás x -, tehát p is z értékkészlethez trtozik. 454. A kétváltozós kifejezés lphlmz x - mitt x $, vgyis x $ vgy x # -. Az elsô négyzetgyök ltt teljes négyzet áll: x + x - c x - + m, így x + x - x - + x - +. Ez kifejezés kkor minimális, h x vgy x -. ( + x - y) kkor minimális, h + x - y 0, vgyis y + x. Figyelembe véve z x-re kpott értékeket, kkor veszi fel minimumát, h (x; y) (; ) vgy (x; y) (- ; 0), s ezekben z esetekben minimum értéke 0. Megjegyzés: H négyzetgyökös kifejezésben nem sikerül felismerni teljes négyzetet, érdemes megpróbálkozni pl. x - z helyettesítéssel. Ekkor x z +, tehát x + x - z + + z, s innen rcionális teljes négyzet már könynyebben felismerhetô. 455. A bl oldlon álló kifejezést négyzetösszeggé lkíthtjuk: x y + x - - 0xy -8x + 6 (xy - 5) + (x - 4) 5. Innen (xy - 5) # 5, uxy - 5u # 5, -5 # xy - 5 # 5, 0 # xy # 0. A [0; 0] intervllum minden z értékét felveheti xy, hiszen z (x - 4) 5 - (z - 5) egyenletnek mindig vn (z 0 és z 0 z esetén egy, egyébként kettô) megoldás x-re, s innen y. (Az x 0 eset x kkor álln elô, h z vgy z 8; de ekkor x 8 is megoldás, s így y 4 vgy y.) + b+ b + bc+ c + c 456. özös nevezôre hozás után bc ( b c) + + 90 000. A számtni és mértni közép közötti egyenlôtlenség bc bc

Vegyes feldtok 75 b c mitt bc # + + 00, innen bc # 000 000. bc mximális, h 90 000 9 b c 00; ekkor minimális, felvett minimum. 000 000 00 457. A hgyományos lgebri eljárásnál lényegesen gyorsbbn célhoz érünk, h z egyenlet két oldlán álló kifejezéseket mint függvényeket ábrázoljuk; ekkor görbék közös pontji számánk meghtározás feldt. ) A jobb oldl képe -meredekségû párhuzmos egyenesekbôl álló egyenessereg. Az ábráról leolvshtjuk, hogy p > esetben vn olyn (htár)helyzet, mikor két görbének három közös pontj lesz; ehhez z szükséges, hogy z x + p -x - 4x - egyenletnek egyetlen megoldás legyen. Ennek feltétele, hogy z x + 5x + + p 0 egyenlet diszkrimináns zérus legyen: D 5-4( + p) 0, innen p,5. Tehát z ábr lpján: p értéke p < p <p < p <p <,5 p,5,5 <p gyökök szám 0 4 457/b. 457/. b) x - 6uxu + 5 p átlkítás után ábrázolhtjuk két függvényt. (A jobb oldl képe z x tengellyel párhuzmos egyenessereg; bl oldlt pedig elég z x > 0 trtománybn ábrázolni, mert képe tükrös z y tengelyre.)

76 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Az ábr lpján: p értéke p < 0 p 0 0 <p <4 p 4 4 <p <5 p 5 5 <p gyökök szám 0 4 8 6 4 c) A x + 4 -x + p átlkítás után két függvény képe: 457/c. Az ábr lpján: p értéke p < - - # p gyökök szám 0 457/d. d) x+ p+ x + átlkítás után két p függvény képe ( bl oldl képe - + -vel eltolt négyzetgyökfüggvény): Az egyenes kkor érinti gyökfüggvényt, h z egyenlet négyzetre emelésével kpott x + p + (x + ) egyenletben diszkrimináns null. Innen x - p 0, vgyis p 0.

Vegyes feldtok 77 Ez lpján: p értéke p < 0 p 0 0 <p # <p e) x + 4x + px. A jobb oldlon álló függvény képe origón átmenô egyenes (z y tengely kivételével z összes egyenes). Az x + 4x + px egyenletbôl (ábr) 457/e. x + (4 - p)x + 0, ennek diszkrimináns d (4 - p) - 0, h p 4 + ( p 4 - érték hmis). Hsonlón - x - 4x - px egyenletbôl x + (4 + p)x + 0, ennek diszkrimináns d (4 + p) - 0, h p -4 + ( p -4 - érték hmis). p értéke p < - 4+ p - 4+ - 4+ < p < 0 p 0 0< p < 4+ p 4+ 4+ < p gyökök szám 0 gyökök szám 4 0 458. H () (x) x + mx + m - 0 felírhtó (x + b) - (cx + d) lkbn (hol, b, c, d egészek), kkor (x + b) - - (cx + d) (x + b + cx + d)(x + b - cx - d) mitt () (x) (Ax + B)(Cx + D) lkbn is felírhtó, hol A + c, B b + d, C - c, D b - d. (Itt sem A, sem C nem lehet zérus, mert kkor ()-ben (x) elsôfokú lenne.) Mivel A, B, C, D egészek, () elôállításból következik, hogy: () (x)-nek ()-ben két gyöke vn (ui. létezik () gyöktényezôs lk), és J B D N (4) (x) két gyöke rcionális x-, x A C O.

78 Másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek Tovább vizsgálv () lkot, (x) A $ C $ x + (AD + BC)x + B $ D, s ez z zonosság csk úgy teljesülhet minden vlós x-re, h (5) A $ C, AD + BC m, B $ D m - 0. A továbbikbn (), (4), (5) feltételeket vizsgáljuk meg. Az (5) egyenletrendszer elsô egyenlete lpján feltehetjük, hogy A, C. (A és C szimmetrikus szerepû; h pedig A -, C - lenne, kkor () gyöktényezôs lkbn mindkét tényezôbôl kiemelhetünk (-)-et.) Az (5) egyenletrendszer második egyenlete lpján m egész szám vgy egy egész szám fele lehet. Végül z egyenletrendszer hrmdik egyenletébôl m - 0 is egész szám, tehát m is z, vgyis z egyenletrendszer második egyenletét is figyelembe véve m egész szám. () mitt () diszkrimináns nemnegtív: 4m - 4 $ $ (m - 0) -4m + 80 $ 0, m # 0, - 0 # m # 0. Innen feldt próbálgtássl is befejezhetô: z m 0,!,!,!,!4 értékeket rendre visszírhtjuk ()-be, és megnézhetjük, hogy sikerül-e () szorzttá lkítás. Egy másik lehetôség (4) feltétel felhsználás. Csk kkor kphtunk rcionális gyököket, h - 4m + 80 rcionális, vgyis h -4m + 80 egy egész szám (sôt páros egész szám) négyzete. Innen 4k + + 4m 80, k + m 0, s ez csk m! és m!4 értékekre teljesül. Helyettesítsünk vissz: -m! 8 H m!, kkor () diszkrimináns 64, () gyökei x,,,4 mitt 4 -m! 4 x, x - vgy x, x 4 -; h pedig m!4, kkor x 5,6,7,8 4 mitt x 5 -, x 6 - vgy x 7, x 8. Mind négy esetben felírhtó () gyöktényezôs lk. Másodfokú egyenlôtlenségek 459. ) x < 5 vgy x > 9; b) z # 0 vgy z $ 6; c) < x <. 460. ) < - - vgy > - + ; b)mivel b - 6b + 9 _ b - i 0, ezért nincs ilyen vlós szám. c) # c # 4; d) d < vgy d > 7. 46. ) Nincs ilyen vlós szám. b) Nincs ilyen vlós szám. c) r #- vgy r $ 4; d) s < - vgy s >. 5 $