Az idősorelemzés alapjai Gánics Gergely 1 gergely.ganics@freemail.hu 1 Statisztika Tanszék Budapesti Corvinus Egyetem Tizedik előadas
Tartalom 1 Alapfogalmak, determinisztikus és sztochasztikus megközelítés Bevezetés Determinisztikus idősorelemzés Sztochasztikus idősorelemzés 2 Stacionaritás Autokovariancia és autokorreláció 3 A fehérzaj folyamat ARMA-modellek
Alapfogalmak Bevezetés Determinisztikus idősorelemzés Sztochasztikus idősorelemzés Az idősor olyan adatsor, aminek az egymást követő elemeit egymást követő (egyenlő távolságú) időpontokban figyeltük meg Felfogható mint valószínűségi változók időben egymást követő sorozata ( sztochasztikus folyamat) Például: GDP, árfolyamok, stb. Jelölések: Y t (valószínűségi változó) és y t (realizáció) Kapcsolatukra később visszatérünk t = [1, 2,..., T ]
Determinisztikus megközelítés Bevezetés Determinisztikus idősorelemzés Sztochasztikus idősorelemzés Központi fogalmak: trend, ciklus, szezonalitás Véletlen szerepe korlátozott Függvényszerű kapcsolat Pályát keresünk, nem vagyunk figyelemmel az idősor fejlődésére
Példa determinisztikus trendre Bevezetés Determinisztikus idősorelemzés Sztochasztikus idősorelemzés
Bevezetés Determinisztikus idősorelemzés Sztochasztikus idősorelemzés Determinisztikus trend szezonalitással Ez jó, de mi lett volna, ha 2002-ig végeztük volna el a becslést? elszáll a trend!
Sztochasztikus megközelítés Bevezetés Determinisztikus idősorelemzés Sztochasztikus idősorelemzés Valószínűségszámítás eszközeivel dolgozunk A folyamat fejlődését figyelembe veszi Öngeneráló hatások A 2009. ápr. 24-ei OTP záróár valószínűségi változó Ugyanakkor egyetlen megfigyelésem van rá! statisztikai elemzésre ebben a formában alkalmatlan Feltevésekre van szükség
A stacionaritás fogalma Stacionaritás Autokovariancia és autokorreláció Erős értelemben: Sztochasztikus folyamat együttes eloszlása az időbeli eltolásra nézve invariáns Például az (Y 24, Y 26) együttes eloszlása megegyezik (Y 300, Y 302) együttes eloszlásával Azaz a sorozatban elfoglalt abszolút hely lényegtelen, csak az egymáshoz képest elfoglalt relatív pozíció számít Ha az egyes momentumok léteznek (átlag, variancia, stb.), akkor azok állandóak Gyenge értelemben: EY t állandó és véges var (Y t ) állandó és véges cov (Y t, Y t k ) véges és csak k-tól függ (k = 0, 1, 2,..., t 1)
Stacionaritás Autokovariancia és autokorreláció Az autokovariancia és autokorreláció fogalma Autokovariancia-függvény cov (Y t, Y t k ) a k függvényében Autokorreláció-függvény (ACF) corr (Y t, Y t k ) a k függvényében Ábrázolása: korrelogram Tesztelhető!
ACF, korrelogram és tesztelés Stacionaritás Autokovariancia és autokorreláció Egy példa ACF-re (gretl outputján és korrelogramon) A rá vonatkozó Ljung-Box Q-teszt: H 0 : AC (1, 2,..., K) = 0 H 1 : m [1, K] : AC (m) 0
Fehérzaj (white noise, WN) A fehérzaj folyamat ARMA-modellek Kovariancia-stacioner EY t = 0 (de akár 0-tól különböző is lehet, a lényeg, hogy állandó) cov (Y t, Y t k ) = 0 minden k 0-re
A fehérzaj folyamat ARMA-modellek Példa WN-re: átlagosan húzott lottószám Minden héten kiátlagoljuk az 5 kihúzott lottószámot Ez a folyamat szintben: ACF-e:
A fehérzaj folyamat ARMA-modellek ACF és Ljung-Box Q a lottóhúzásra
AR(p) modell A fehérzaj folyamat ARMA-modellek Az AR(p) modell általános felírása: Y t = α + φ 1 Y t 1 + φ 2 Y t 2 + φ 3 Y t 3 +... + φ p Y t p + u t, ahol legyen u t WN ( 0, σ 2) Speciálisan AR(1) folyamat: Y t = α + φy t 1 + u t, ahol legyen u t WN ( 0, σ 2) és φ < 1 (ld. mindjárt) Várható érték: µ = α + φµ µ = α 1 φ Variancia: var (Y t ) = φ 2 var (Y t ) + σ 2 = AC (k) = φ k PAC (1) = φ, PAC(2, 3,...) = 0 σ2 1 φ 2
A fehérzaj folyamat ARMA-modellek Az AR(1) korrelogramja és Ljung-Box Q
MA(q) modell A fehérzaj folyamat ARMA-modellek Az MA(q) modell általános felírása: Y t = α + θ 1 u t 1 + θ 2 u t 2 + θ 3 u t 3 +... + θ q Y t q + u t, ahol legyen u t WN ( 0, σ 2) Speciálisan MA(1) folyamat: Y t = α + θu t 1 + u t, ahol legyen u t WN ( 0, σ 2) Várható érték: µ = α Kovariancia: Variancia: AC (1) = cov (Y t, Y t 1 ) = θvar (Y t ) = θσ 2 var (Y t ) = var (Y t 1 ) = σ 2 + θ 2 σ 2 θ 1+θ 2, AC (2, 3,...) = 0
A fehérzaj folyamat ARMA-modellek Az MA(1) korrelogramja és Ljung-Box Q
ARMA(p,q) modell A fehérzaj folyamat ARMA-modellek Az előzőek kombinációja: Y t = α + φ 1 Y t 1 + φ 2 Y t 2 + φ 3 Y t 3 +... + φ p Y t p + + θ 1 u t 1 + θ 2 u t 2 + θ 3 u t 3 +... + θ q Y t q + u t, ahol legyen u t WN ( 0, σ 2)