Mérési hibák

Átírás

1 Mérési hibák

2 Mérés jel- és rendszerelméleti modellje Mérési hibák/

3 Mérési hibák mérési hiba: a meghatározandó értékre a mérés során kapott eredmény és ideális értéke közötti különbség általánosított mérési hiba: a valóságos és az ideális mérési eredmények közötti távolság (az adott szimbólum halmazon értelmezve) Mérési hibák/3

4 Mérési hibák minden mérés hibával terhelt! okai megfigyelés, mérés körülményei mérőeszköz tulajdonságai külső zavarok Mérési hibák/4

5 Hibaforrások általánosan nehéz megadni, az adott mérési területre jellemző mintavétel, előkészítés, egyes komponensek hatása méréshez felhasznált segédanyagok mérőeszköz állapota, pontossága alkalmazott mérési módszer, matematikai modell pontossága mérést végző személy szubjektivitása, hozzáértése, gondossága Mérési hibák/5

6 Hibaforrások adatfeldolgozás problémái programhibák adatbeviteli, -tárolási hibák hardware hibák konverziós hibák Mérési hibák/6

7 Irányított mérőrendszer kísérletek rögzített körülmények között történő elvégzése zavaróhatások kiküszöbölés állandó értéken tartás figyelembe vétel párhuzamos mérések mérési eredmények feldolgozása a matematikai statisztika módszereivel kísérlet minden adatának rögzítése Mérési hibák/7

8 Irányított mérőrendszer ha teljesíthetőek ezek a feltételek, akkor a mérési eredmények azonos (normális) eloszlásúak lesznek a szórás kicsi torzítatlanság ha nem nagyobb szórás torzítottság Mérési hibák/8

9 Mérési hibák Mérési hibák csoportosítása leírásuk hibafüggvények (abszolút hiba, relatív hiba) jellegük hibatípusok (dinamikus, statikus,.) eredetük (műszerhiba, etalonhiba, környezeti hiba, mérési módszer hibája) Mérési hibák/9

10 Hibafüggvények Hibafüggvények abszolút hiba H i H i = x m i x 0 azaz a mért érték és a pontos érték különbsége relatív hiba h i h i = (H i / x 0 ) 100 azaz az abszolút hiba és a pontos érték százalékos aránya Mérési hibák/10

11 Hibafüggvények műszer pontosságának megadása: digitális kijelzésű műszer esetén ±0.5% ±5digit relatív hiba a teljes tartományban abszolút hiba analóg kijelzésű műszer esetén abszolút hiba az osztásközre vonatkoztatva Mérési hibák/11

12 Hibafüggvények Példa digitális kijelzőjű hőérzékelő tartomány: o C pontosság: ±0.1% ±digit mérendő hőmérséklet: 350 o C mérés relatív hibája: o C h i = 0. 1% % = % o 350 C Mérési hibák/1

13 Hibafüggvények gond: a helyes értéket általában nem ismerjük ezért helyette a mért értékhez viszonyítjuk a műszerkönyvben megadott abszolút hibát például, ha az előző esetben 35 o C volt a mérés eredménye, akkor a relatív hiba: o C h i = 0. 1% % = % o 35 C ugyanakkor, ha a helyes érték 350 o C volt, akkor az abszolút hiba H i = o C Mérési hibák/13

14 Hibatípusok Hibatípusok osztályzása dinamikus hiba statikus hiba véletlenszerű hiba véletlen hiba kiugró hiba nagyságrendi eltérés rendszeres (módszeres) hiba Mérési hibák/14

15 Dinamikus hiba Dinamikus hiba a mérés a műszer tranziens állapotában történik Mérési hibák/15

16 Statikus hiba Statikus hiba mérés a műszer beállása után történik véletlenszerű hibák és rendszeres hibák véletlenszerű hibák konkrét értéke előre nem megadható, azaz nem lehet korrigálni megadása konfidencia intervallummal csökkentése párhuzamos méréssel véletlen hibák, kiugró hibák, rendkívüli hibák Mérési hibák/16

17 Véletlen hibák irányított mérés mellett is előfordul hiba forrása alapvetően a zaj statisztikai jellemzés normális eloszlás nulla várható érték adott szórás jellemzés a szórása alapján Mérési hibák/17

18 Véletlen hibák elméleti szórás ahol σ = ( m µ ) µ a keresett paraméter ideális értéke n a mérések száma, de n n i= 1 i n azaz az elméleti szórás meghatározásához elvileg ismerni kellene a meghatározandó értéket és igen nagy számú mérést kellene végeznünk ez csak speciális esetben lehetséges Mérési hibák/18

19 Mérési hibák/19 Véletlen hibák tapasztalati szórás ahol m i a mérések átlaga n a mérések száma, de n véges érték a becslés egyszerűsített képlete: ( ) = = = = n i i n i i m n m ; n m m s = = = = = n m n m n m s n i i n m n i i n i i

20 Véletlen hibák relatív szórás (százalékos relatív szórás) s rel = m s 100 ahol m a középérték középérték szórása s s m = n középérték relatív szórása ahol n a mérések száma s mrel = m s n 100 Mérési hibák/0

21 Véletlen hibák a szórás értéke az adott mérési eljárásra, műszerre jellemző a pontosság a mérések számával általában nő véletlen hibák esetében a tapasztalati szórást előírt, általában %-os értéken belül tartjuk az optimális mérési szám meghatározható Mérési hibák/1

22 Kiugró hibák az irányított mérés feltételei nem teljesülnek a hiba várható értéke nem feltétlenül nulla meghatározás hihetőség vizsgálattal értéke ± 3 6 σ Mérési hibák/

23 Rendkívüli hibák több nagyságrendű eltérés várható érték, szórás nem becsülhető nem irányított mérés, de a kiugró hibához képest nagyobb gond felderítéséhez alapos vizsgálat: mérési jegyzőkönyvek, bizonylatok Mérési hibák/3

24 Rendszeres hibák módszeres hiba, systematic error hatása: a mérési eredmények várható értéke (átlaga) nem egyezik meg a valódi eredménnyel: = xm µ 0 0 ahol a mérési eredmények átlaga xm µ 0 a mért változó valódi értéke Mérési hibák/4

25 Rendszeres hibák helyes mérés: nincs vagy csak minimális a rendszeres hiba pontos mérés: csak véletlen hiba van és az is csak elfogadható mértékű lövészet példa Mérési hibák/5

26 Rendszeres hibák mindig egy irányba hat torzítja a mérési eredményt okai mérő eszköz minta (mintavétel, minta előkészítése) mérés kiértékelés (számítási eljárás, kiértékelő görbe) külső körülmények hatásai Mérési hibák/6

27 Rendszeres hibák Rendszeres hiba felkutatása hiába pontos a mérés (kicsi a tapasztalati szórás), a rendszeres hiba ettől független, nincs összefüggés a kettő között a pontatlan mérés azaz nagy tapasztalati szórás viszont nehezíti rendszeres hiba felkutatását Mérési hibák/7

28 Rendszeres hibák például 1%-os tapasztalati szórás mellett 99%-os valószínűséggel kell meghatározni a középérték eltérését a valódi értéktől: n = n = 3 n = 4 t s n = 63, 7 9, 80 5, = 45, 04 = 5, 7 =, 9 Mérési hibák/8

29 Rendszeres hibák rendszeres hiba kimutatása a mérést etalon segítségével végezzük el a mérési eredményeket a valódi érték függvényében ábrázoljuk ha nincs rendszeres hiba, akkor 45 o -os meredekségű egyenest kell kapni, mely az origóban metszi a tengelyeket (a véletlen hibák miatt lineáris regresszióval illeszteni kell a pontokra az egyenest) Mérési hibák/9

30 Rendszeres hibák ha meredekség eltér a 45 o -tól vagy a tengelymetszet nem az origóban van rendszeres hiba legyen az m i mért érték és a µ i0 valódi érték közötti összefüggés: ahol m i = α + β µ i0 + ε α a rendszeres hiba állandó része β - 1 a rendszeres hiba arányos része ε véletlen hiba Mérési hibák/30

31 Rendszeres hibák következő esetek lehetségesek: állandó rendszeres hiba arányos rendszeres hiba állandó és arányos rendszeres hiba ha nem áll rendelkezésre etalon vagy nem lehetséges etalonnal mérni, akkor több különböző módon kell megmérni ugyanazt a mennyiséget Mérési hibák/31

32 Pontossági osztályok Pontosság A mérőeszköznek az a tulajdonsága, hogy a mérendő mennyiség valódi értékéhez közeli értékmutatást vagy választ szolgáltat. Egy adott mérendő mennyiség mért értékei a mérendő mennyiség helyes értékeitől egy előre megadott értéknél kevesebbel térnek el. Pontossági osztályok Mérési hibák/3

33 Pontossági osztályok Pontossági minősítések: x k konvencionális (megállapodás szerinti) értékre vonatkoztatott relatív hiba (h p ) Pontossági osztályba sorolás: h p H x max k jelentése: a műszer abszolút hibájának (H max ) a konvencionális értékhez (x k ) vonatkoztatott aránya nem haladhatja meg a pontossági osztályra előírt értéket Mérési hibák/33

34 Pontossági osztályok jelölése: számmal vagy betűvel - osztályjel szabványos osztályok: 0,1; 0,; 0,5; 1,0; 1,5;,5; 4,0; 5,0 laboratóriumi műszer: 0,1; 0, laboratóriumi üzemi műszer 0,5 üzemi műszer 1,0; 1,5;,5; 5,0 Mérési hibák/34

35 Pontossági osztályok konvencionális érték: a műszer végkitérésben mért értéke (felső méréshatára) helyes érték (etalon) alkalmazása: pontossági osztály és a konvencionális érték ismeretében meghatározható, hogy mekkora lehet a műszertől származó abszolút és relatív hiba abszolút hibakorlát, relatív hibakorlát Mérési hibák/35

36 Pontossági osztályok abszolút hibakorlát H max = h p x v független a mért értéktől: legyen a pontossági osztály: 1% méréshatár: 0-10A abszolút hibakorlát 0.1A (a végkitérésre vonatkoztatva) azaz bármekkora mérésnek maximum ekkora lehet az abszolút hibája Mérési hibák/36

37 Pontossági osztályok relatív hibakorlát h = max h p x x v m nagysága függ a mért értéktől legyen a pontossági osztály: 1% méréshatár: 0 10 A mérendő érték: 1 A relatív hibakorlát 10% mérendő érték: 5 A relatív hibakorlát % Mérési hibák/37

38 Pontossági osztályok legkisebb értelmesen mérhető mennyiség: a műszer abszolút hibakorlátjával mérhető érték ez alatt a relatív hibakorlát 100%-nál is nagyobb lehet Mérési hibák/38

39 Pontossági osztályok Mérési tartomány tervezése Mérési hibák/39

40 Pontossági osztályok számított mennyiségek hibakorlátja: ha a a számítás összeadás/kivonás, akkor a közvetlenül mért értékek abszolút hibakorlátja összeadódik ha a a számítás szorzás/osztás, akkor a közvetlenül mért mennyiségek relatív hibakorlátja összeadódik Mérési hibák/40

41 Pontossági osztályok a hibakorlátok megadásának menete: műszerek pontossági osztálya, a méréshatár és az éppen mérték alapján meghatározzuk a közvetlenül mért értékek abszolút vagy relatív hibakorlátját a számítás jellege alapján megállapítjuk a számított eredmény abszolút vagy relatív hibakorlátját a számított mennyiség és a meghatározott hibakorlát alapján meghatározzuk a másik hibakorlátot Mérési hibák/41

42 Pontossági osztályok példa ellenállás meghatározása feszültség- és áramerősség-méréssel feszültségmérő relatív hibakorlátja h Umax = 8% áramerősség-mérő relatív hibakorlátja h Imax = 3% ellenállásmérés relatív hibakorlátja h Rmax = h Umax + h Imax = 11% legyen U = 0V, I = 4A R = U/I = 5Ω ellenállásmérés abszolút hibakorlátja H max = h Rmax R = 0,55 Ω Mérési hibák/4

43 Hibaterjedési törvény ha a mért adat alapján további számításokat kell elvégezni, akkor a mérési hiba a számolt értékekben is megjelenik például hosszúság mérés alapján számolt térfogatban három mérés hibája jelenhet meg ennek követésére alkalmas a hibaterjedési törvény Mérési hibák/43

44 Mérési hibák/44 Hibaterjedési törvény legyen a számolt érték és a mért változók közötti összefüggés: F = F(x 1, x,, x r ) meghatározandó, hogy az x 1, x,, x r független változókban elkövetett δ 1, δ,, δ r hibák hogyan befolyásolják a számított változó értékét Taylor sorba fejtve x 1, x,, x r pont körül és elhanyagolva a magasabb rendű tagokat: ( ) ( ) r r F r r r x F x F x F,x,,x x F,x,,x x F δ δ δ δ δ δ δ K K K

45 Hibaterjedési törvény a lineáris közelítés akkor jogos, ha δ i hibák kicsik és az F függvény magasabb deriváltjai nem szélsőségesen nagy értékek: F δ j x j << F x j ha az x j változó mérésekor ismert nagyságú rendszeres hibát követünk el, akkor a számolt értékben elkövetett hiba ezzel becsülhető Mérési hibák/45

46 Mérési hibák/46 Hibaterjedési törvény általában: a rendszeres hiba pontos értéke nem ismert, csupán becsülhető az ±δ határ, amelyet nem halad meg ha a számított F érték hibájára szabunk felső határt, akkor a deriváltak abszolút értékével kell számolni, azaz nem vesszük figyelembe az előjelet, és így a kompenzációs effektust sem, így a hibát túl becsüljük. ezért az alábbi pitagoraszi összegzés alkalmazandó: r r F x F x F x F δ δ δ δ K

47 Hibaterjedési törvény Tételezzük fel, hogy az elemi méréseknél csak véletlen hibát követünk el, melynek várható értéke zérus kérdés, hogyan függ a számított függő változó varianciája (elméleti szórásnégyzete) a független változók varianciája függvényében Jelöljük a varianciát a következő módon: Var [ δ ] σ F δ F Mérési hibák/47

48 Mérési hibák/48 Hibaterjedési törvény Ekkor [ ] { } ( ) { } { } = = F F F F E E E Var δ δ δ δ = r x r F x F x F E δ δ δ K ( ) = = = = r j r i i j i j, cov x F x F 1 1 δ δ ( ) ( ) = = = + = r j r j i i i j i j r j j j, cov x F x F Var x F δ δ δ hibaterjedési törvény

49 Hibaterjedési törvény Ha az elemi mérések hibái (δ 1, δ,, δ r ) egymástól függetlenek: Var r [ δ ] ( ) F Var δ j j= 1 F x j Mérési hibák/49

50 Hibaterjedési törvény Hibaterjedési törvény alkalmazása elsődleges cél: az elemi mérések hibájának mekkora hatása lesz a számolt változóban ehhez kellenek az elemi mérések hibájára vonatkozó szórás meghatározva az egyes elemi mérések hatását, megállapítható, hogy melyik mérést kell szükség esetén pontosabbá tenni elemi mérések szórása: ha nem adott, akkor a párhuzamos mérések alapján becsülhető Mérési hibák/50

51 Hibaterjedési törvény Legyen a mérendő mennyiség állandó többszöri meghatározással megkapjuk a korrigált tapasztalati szórásnégyzetet amennyiben a leolvasott értékek minden esetben megegyeznek, azaz mérési hiba nem észlelhető a mérést megfelelő módon (pontosan) végeztük el a mérőműszertől függő véletlen hiba viszont általában nem észlelhető a leolvasás során rendszeres hiba lehetséges! Mérési hibák/51

52 Hibaterjedési törvény ennek alapján a műszer tervezésekor a leolvashatóságot úgy állapítják meg, hogy a konstrukciós okokból származó véletlen hiba a ±3σ-nyi intervallumon belül maradjon, mivel a véletlen hibákat normális eloszlású valószínűségi változóknak tekintve, ebbe az intervallumba esnek 99,73%-os valószínűséggel ennek alapján a mérőműszer okozta véletlen hiba felső határa a leolvashatóságból meghatározva: ±3σ-nak tekinthető Mérési hibák/5

53 Hibaterjedési törvény Ha a mérendő mennyiség ingadozik: a mérési eredmény ingadozása nem tekinthető csak a mérés hibájának legyen σ xo σ xm a mérni kívánt változó varianciája a mérés varianciája ekkor a többszöri leolvasásnál észlelt szórás x x o σ x m σ = σ + Mérési hibák/53

54 Hibaterjedési törvény ennek alapján lehet olyan műszert választani, ahol a mérni kívánt változó ingadozása nem észlelhető ekkor a két hatás együttese, amit nem akarunk észlelni: 6 σ + σ x o x m határozza meg a leolvashatóságot Mérési hibák/54