Tartószerkezetek I. (Vasbeton szilárdságtan)

Tartószerkezetek I. (Vasbeton szilárdságtan) Szép János 2012.09.27.

Hajlított vasbeton keresztmetszetek vizsgálata 2

3

Jelölések, elnevezések b : a keresztmetszet szélessége h : a keresztmetszet magassága A s : a húzott betonacél km-i területe a : a húzott betonacél súlypontjának távolsága a húzott szélső száltól d : a km. hasznos (dolgozó) magassága (a húzott betonacél súlypontjának távolsága a nyomott szélső száltól A s : a nyomott betonacél km-i területe d : a nyomott betonacél súlypontjának távolsága a nyomott szélső száltól x I : a semleges tengely helye a nyomott szélső száltól 4

Vizsgálat III. feszültségi állapotban alapfeltevések: Érvényes a Bernoulli-Navier-féle feltétel, vagyis a hajlítás előtti sík keresztmetszetek hajlítás után is síkok maradnak A betont ideálisan képlékeny anyagnak tekintjük Az acélt ideálisan rugalmas-képlékeny anyagnak tekintjük A nyomott beton szélső szálában az ε cu törési összenyomódás lép fel A keresztmetszetben a széleken elhelyezett betonacélban az f yd ill. a f yd feszültség keletkezik, ha a betonacél megfolyik, ha nem, akkor a σ s < f yd, ill. σ s < -f yd 5

Beton A beton egyszerűsített σ ε diagramjai 6

Betonacél Az acél egyszerűsített σ-ε diagramja 7

A keresztmetszet akkor kerül törési állapotba, ha a húzott oldali betonacélban az f yd feszültség lép fel. a nyomott betonban az f cd feszültség, a semleges tengely helye a nyomott szélső száltól: x, a nyomott zóna magassága: x c 8

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Tegyük fel, hogy a nyomott szélső szálban: 10

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Vetületi egyenlet: azaz: Nyomatéki egyenlet (a betonacél súlypontjára): 11

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Az előző egyenletekben x c a dolgozó betonzóna magassága,amely hasonló háromszögek alapján: ebből: 12

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Az acélban létrejövő feszültség σ s, amely: Ha az acél rugalmas: σ s =ε s E s Ha az acél folyási állapotban van: σ s =f yd 1A. Tegyük fel, hogy az acél folyási állapotban van: Vetületi egyenletből: Nyomatéki egyenlet: 13

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Az acélban keletkező nyúlás: Az acél folyik ha: Figyelembe véve, hogy x=x c /c Az acél folyásának feltétele: Behelyettesítve ε cu =-3,5%o, c=0,8 és E s =200000N/mm 2 14

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Ha a számításból az adódik, hogy ξ c < ξ co akkor helyes volt az 1A. pont elején a feltételezés, hogy az acél folyik. 1B. tegyük fel, hogy az acél rugalmas állapotban van, ekkor: behelyettesítve 15

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA A vetületi egyenlet: Ebből: 16

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Az egyenlet pozitív gyökéből a betonzóna magassága számítható: x c Majd számítható a keresztmetszet határnyomatéka M Rd is. 17

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Ha az adódott, hogy az acél képlékeny állapotban van, akkor meg kell vizsgálni, hogy az acél nyúlása nem lépi-e túl a határnyúlást. Ha ε s > ε su akkor a az acél előbb elszakad, mint ahogy a keresztmetszet nyomott szélső szálában létrejönne a beton törési összenyomódása Iε c I < Iε cu I 18

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Tegyük fel, hogy a tönkremenetel pillanatában az acélbetétben ε s = ε su nyúlás jön létre (2.). Ekkor a vetületi egyenlet: Amelyből x c meghatározható, a nyomatéki egyenlet: Ebben az esetben 1,25x x c! 19

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Azokat a keresztmetszeteket, ahol a tönkremenetel pillanatában Az acélbetét elszakad, mielőtt a beton nyomott szélső szálában létrejönne a határösszenyomódás, gyengén vasalt keresztmetszeteknek nevezzük. (2. eset) Az acél folyási határállapotban van, a betonban létrejön a törési összenyomódás, normálisan vasalt keresztmetszeteknek nevezzük (1A eset) Az acél rugalmas állapotban van a betonban pedig létrejön a törési összenyomódás, túlvasalt keresztmetszeteknek nevezzük.(1b eset) Akkor normálisan vasalt a keresztmetszet ha, 0,3 ~ 0,4% < ρ < 1,5 ~ 2,5% ahol ρ a vashányad ρ=a s /bd 20

EGYSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA A normálisan és gyengén vasalt keresztmetszet esetén a keresztmetszet tönkremenetelét megelőzi a betonacél megfolyása. Ezt nevezzük duktilis keresztmetszetnek. Túlvasalt keresztmetszet esetén a keresztmetszet képlékenyedés nélkül megy tönkre, ridegen viselkedik kerülendő! 21

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA 23

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Vetületi egyenlet: azaz: feltételezve: ekkor: Határnyomaték: 24

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Vizsgáljuk meg, hogy az acélok folyási állapotban vannak-e, az acélok nyúlása: A húzott ill. nyomott acél folyik, ha: 25

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Behelyettesítve: Behelyettesítve ε cu =-3,5%o, c=0,8 és E s =200000N/mm 2 26

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Az acél húzásra megfolyik, ha ξ c < ξ co, és nyomásra megfolyik ha ξ c > ξ co. Ha ez nem teljesül akkor a húzott és a nyomott acélok közül az egyik rugalmas állapotban van. A rugalmas állapotban lévő acél feszültsége: 27

KÉTSZERESEN VASALT NÉGYSZÖG KERESZTMETSZET HATÁRNYOMATÉKA Vetületi egyenlet pl. ha a húzott acélbetét folyási állapotban van, a nyomott acél pedig rugalmas. határnyomaték: ahol: 28

30

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET A keresztmetszet ellenőrzése az eddig tárgyalt határnyomaték számítás Tervezés Kötött tervezés Adottak a km. befoglaló méretei (b, h) Ismeretlenek A s, A s, x c Szabad tervezés Ismeretlenek b, h, A s, A s, x c 31

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET KÖTÖTT TERVEZÉSE Ismert: a keresztmetszet befoglaló mérete (b, h) Anyagminőség Igénybevétel Hasznos (hatékony) magasság d h-(40-80)mm Ha a betonacél folyik, és csak húzott betonacélt alkalmazunk: Nyomatéki egyenlet: Vetületi egyenlet: Két egyenlet - két ismeretlen az elsőből x c értéke meghatározható a másodikból A s számítható

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET KÖTÖTT TERVEZÉSE Amennyiben x c >x co (ξ c >ξ co ), akkor a húzott vasalás rugalmas állapotban van, ekkor az előző egyenletekben f yd értkét módosítani (redukálni) kell σ s -re. Ekkor túlvasalt keresztmetszetet kapunk, ez nem szerencsés célszerűbb nyomott vasalást is alkalmazni.

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET KÖTÖTT TERVEZÉSE A nyomatéknak van egy maximális értéke, amelynél a km. úgy vasalható be, hogy csak húzott vasalás szükséges és a vasalás folyási állapotban van. Ezt a nyomatékot M co -al jelöljük és a ξ c =ξ co feltételből számíthatjuk ki.

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET KÖTÖTT TERVEZÉSE Ha M Ed > M co célszerű nyomott vasalást is alkalmazni! Ismeretlenek x c, A s, A s Vetületi és nyomatéki egyenlet (2 egyenlet 3 ismeretlen) Legyen (As+A s) minimális ez közelítőleg akkor áll fenn ha: x c =x co = ξ co d (ez a 3. egyenlet) Nyomatéki egyenlet: Vetületi egyenlet: Nyomott vasmennyiség: Húzott vasmennyiség:

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET SZABAD TERVEZÉSE Ismeretlenek a (b, h, A s, A s, x c ) Két egyenletből (vetületi és nyomatéki) nem határozható meg További feltételek: A s =0, azaz nyomott vasalást nem alkalmazunk Nyomott zóna magassága ξ c =0,3-0,4 gerendáknál lemezeknél : 0,2 Még egy paramétert vehetünk fel szabadon Ez lehet b, d vagy η=d/b

HAJLÍTOTT KERESZTMETSZET SZABAD TERVEZÉSE Bármelyik is adott a három közül a nyomatéki egyenletet kell felírni: b adott: d adott: η adott:

T keresztmetszet vizsgálata T keresztmetszet Fejlemezes gerenda Vasbeton lemezzel együttdolgozó gerenda 38

T keresztmetszet vizsgálata 39

Ellenőrzés A nyomott beton magasságát a vízszintes vetületi egyensúlyi egyenletből határozhatjuk meg. 41

A nyomott beton területe: amelyből az x c meghatározható. Ha x c <x co =ξ oc d; akkor σ s =f yd, tehát a feltételezésünk helyes volt. Ha x c >x co =ξ oc d; akkor a betonacélban keletkező feszültség: értékkel veendő figyelembe A határnyomaték:. 42

Kötött tervezés 1., Ha a nyomott betonzóna magassága (x c ) a fejlemezben marad (x c <v), a vasmennyiség meghatározása a derékszögű négyszögkeresztmetszet szerinti. Felírva a fejlemez teljes nyomatékbírását (M l -t). 43

Kötött tervezés Ha M Rl >M Ed, akkor x c <v.. 44

Kötött tervezés Ha M Ed >M fl, akkor x c >v. A nyomott betonzóna magasságának meghatározása a nyomatéki egyensúlyi egyenletből: 45

As meghatározása vízszintes vetületi egyenletekből: 46

Tervezés a gyakorlatban 47

Tervezés a gyakorlatban A fejlemez bordán kívüli részének nyomatékbírása: A bordarészre jutó nyomaték: A bordarész pedig derékszögű négyszögkeresztmetszetként viselkedik:azaz 48