Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós (zárt) intervallum Legen a (a,,a n ) R n, b (b,,b n ) R n, Ekkor az a < b, a < b,..., a n < b n. [a,b] [a,b ] [a,b ] [a n,b n ] R n halmazt n dimenziós intervallumnak nevezzük. Megjegzés Az egdimenziós intervallumok a szokásos intervallumok. A kétdimenziós intervallumok téglalapok. A háromdimenziós intervallumok téglatestek.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Deiníció: n dimenziós intervallum beosztása Legenek,,, k és n dimenziós intervallumok. A d {,,, k } intervallumrendszert az intervallum beosztásának nevezzük, ha k i 0 j 0, ha i j (i,,k, j,,k). ( 0 az intervallum belsejét jelenti ) Jelölés D(): az összes beosztásának halmaza
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 4 Deiníció: n dimenziós intervallum mértéke Az [a,b] [a,b ] [a,b ] [a n,b n ] R n n dimenziós intervallum mértéke: v ( ) (b -a ) (b -a ) (b n -a n ) Megjegzés A mérték egdimenziós esetben az intervallum hossza, kétdimenziós esetben a téglalap területe, háromdimenziós esetben a téglatest térogata.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 5 A továbbiakban legen n dimenziós zárt intervallum. Ha : R korlátos üggvén, {,,, k } az intervallum eg beosztása, akkor vezessük be a következő jelöléseket: m i in ( i ), i,...,k M i sup ( i ), i,...,k ( ( i ) az i intervallum üggvén szerinti képhalmazát jelenti. ) Megjegzés Ha oltonos, akkor m i a üggvén legkisebb értéke (minimuma) az i intervallumon, M i a üggvén legnagobb értéke (maimuma) az i intervallumon.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 6 Deiníció: alsó és első integrálközelítő összeg Ha : R korlátos üggvén, d {,,, k }az intervallum eg beosztása, akkor az s(,d) k i mi v(i) S(,d) k i Mi v(i ) összegeket az üggvén d beosztáshoz tartozó alsó ill. első integrálközelítő összegének nevezzük. Megjegzés Az integrálközelítő összeg tagjai olan szorzatok, melek egik ténezője a üggvén eg értéke, a másik ténezője a elosztásban szereplő eg részintervallum mértéke.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 7 Tétel: az alsó és a első integrálközelítő összegek viszona Ha : R korlátos üggvén, d és d az intervallum két tetszőleges beosztása, akkor s (, d ) S (, d ) vagis eg első integrálközelítő összeg nem lehet kisebb eg alsó integrálközelítő összegnél. Következmén Az alsó integrálközelítő összegek halmaza elülről korlátos. A első integrálközelítő összeg halmaza alulról korlátos.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 8 Deiníció: alsó integrál Az : R korlátos üggvén alsó integrálközelítő összegei halmazának pontos első korlátját az üggvén alsó integráljának nevezzük. sup d D() s(,d) Deiníció: első integrál Az : R korlátos üggvén első integrálközelítő összegei halmazának pontos alsó korlátját az üggvén első integráljának nevezzük. in d D() S(,d) Az előző következmén miatt az alsó és a első integrál valós szám.)
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 9 Megjegzés A deiníciók alapján nilvánvaló, hog Deiníció: integrál Ha az alsó és a első integrál egenlő, akkor azt mondjuk, hog az üggvén integrálható az intervallumon. Az alsó és a első integrálok közös értékét az üggvén intervallumon vett integráljának nevezzük. Jelölés Tétel Ha az : R üggvén oltonos, akkor integrálható.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 0 Az integrál konstrukciója két változó esetén - Kettős integrál Deiníció: kétdimenziós (zárt) intervallum Legen a (a,a ) R, b (b,b ) R, Ekkor az a < b, a < b. [a,b] [a,b ] [a,b ] R halmazt (téglalapot) kétdimenziós intervallumnak nevezzük.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Deiníció: kétdimenziós intervallum beosztása Legenek,,, k és kétdimenziós intervallumok. A d {,,, k } intervallumrendszert az intervallum beosztásának nevezzük, ha k i 0 j 0, ha i j (i,,k, j,,k). ( 0 az intervallum belsejét jelenti ) Jelölés D(): az összes beosztásának halmaza
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Deiníció: kétdimenziós intervallum mértéke Az [a,b] [a,b ] [a,b ] R kétdimenziós intervallum mértéke (területe): v ( ) T ( ) (b -a ) (b -a )
Többváltozós üggvének Riemann integrálja A továbbiakban legen kétdimenziós zárt intervallum. Ha : R korlátos üggvén, {,,, k } az intervallum eg beosztása, akkor vezessük be a következő jelöléseket: m i in ( i ), i,...,k M i sup ( i ), i,...,k Megjegzés Ha oltonos, akkor m i a üggvén legkisebb értéke (minimuma) az i intervallumon, M i a üggvén legnagobb értéke (maimuma) az i intervallumon.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 4 Deiníció: alsó és első integrálközelítő összeg Ha : R korlátos üggvén, d {,,, k }az intervallum eg beosztása, akkor az s(,d) k i mi T(i ) S(,d) k i Mi T(i) összegeket az üggvén d beosztáshoz tartozó alsó ill. első integrálközelítő összegének nevezzük. Megjegzés Az integrálközelítő összeg tagjai olan szorzatok, melek egik ténezője a üggvén eg értéke, a másik ténezője a elosztásban szereplő eg téglalap területe. Vagis az integrálközelítő összeg tagjai téglatestek (előjeles) térogataiként is eloghatók.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 5 Az alsó és a első integrálközelítő összegek geometriai jelentése m i T( i ) M i T( i )
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 6 Tétel: az alsó és a első integrálközelítő összegek viszona Ha : R korlátos üggvén, d és d az intervallum két tetszőleges beosztása, akkor s (, d ) S (, d ) vagis eg első integrálközelítő összeg nem lehet kisebb eg alsó integrálközelítő összegnél. Következmén Az alsó integrálközelítő összegek halmaza elülről korlátos. A első integrálközelítő összeg halmaza alulról korlátos.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 7 Deiníció: alsó integrál Az : R korlátos üggvén alsó integrálközelítő összegei halmazának pontos első korlátját az üggvén alsó integráljának nevezzük. sup d D() s(,d) in d D() S(,d) Deiníció: első integrál Az : R korlátos üggvén első integrálközelítő összegei halmazának pontos alsó korlátját az üggvén első integráljának nevezzük. Az előző következmén miatt az alsó és a első integrál valós szám.)
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 8 Megjegzés A deiníciók alapján nilvánvaló, hog Deiníció: integrál Ha az alsó és a első integrál egenlő, akkor azt mondjuk, hog az üggvén integrálható az intervallumon. Az alsó és a első integrálok közös értékét az üggvén intervallumon vett integráljának nevezzük. Jelölés
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 9 Jelölés A kettős integrált általában két integrál jellel írjuk: ill. (, ) dd Tétel Ha az : R üggvén oltonos, akkor integrálható.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 0 Az integrál geometriai jelentése kétváltozós esetben Nemnegatív értékkészletű oltonos kétváltozós üggvén integrálja a üggvén alatti térogattal egenlő: V
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója három változó esetén Hármas integrál b Deiníció: háromdimenziós (zárt) intervallum Legen a (a,a,a ) R, b (b,b,b ) R, Ekkor az a < b, a < b, a < b. [a,b] [a,b ] [a,b ] [a,b ] R halmazt (téglatestet) háromdimenziós intervallumnak nevezzük. a a a b b
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Deiníció: háromdimenziós intervallum beosztása Legenek,,, k és kétdimenziós intervallumok. A d {,,, k } intervallumrendszert az intervallum beosztásának nevezzük, ha k i 0 j 0, ha i j (i,,k, j,,k). ( 0 az intervallum belsejét jelenti ) Jelölés D(): az összes beosztásának halmaza
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Deiníció: háromdimenziós intervallum mértéke Az [a,b] [a,b ] [a,b ] [a,b ] R n dimenziós intervallum mértéke (térogata): v ( ) V ( ) (b -a ) (b -a ) (b -a )
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 4 A továbbiakban legen háromdimenziós zárt intervallum. Ha : R korlátos üggvén, {,,, k } az intervallum eg beosztása, akkor vezessük be a következő jelöléseket: m i in ( i ), i,...,k M i sup ( i ), i,...,k Megjegzés Ha oltonos, akkor m i a üggvén legkisebb értéke (minimuma) az i intervallumon, M i a üggvén legnagobb értéke (maimuma) az i intervallumon.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 5 Deiníció: alsó és első integrálközelítő összeg Ha : R korlátos üggvén, d {,,, k }az intervallum eg beosztása, akkor az s(,d) k i mi V(i ) S(,d) k i Mi V(i ) összegeket az üggvén d beosztáshoz tartozó alsó ill. első integrálközelítő összegének nevezzük. Megjegzés Az integrálközelítő összeg tagjai olan szorzatok, melek egik ténezője a üggvén eg értéke, a másik ténezője a elosztásban szereplő eg téglatest térogata.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 6 Tétel: az alsó és a első integrálközelítő összegek viszona Ha : R korlátos üggvén, d és d az intervallum két tetszőleges beosztása, akkor s (, d ) S (, d ) vagis eg első integrálközelítő összeg nem lehet kisebb eg alsó integrálközelítő összegnél. Következmén Az alsó integrálközelítő összegek halmaza elülről korlátos. A első integrálközelítő összeg halmaza alulról korlátos.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 7 Deiníció: alsó integrál Az : R korlátos üggvén alsó integrálközelítő összegei halmazának pontos első korlátját az üggvén alsó integráljának nevezzük. sup d D() s(,d) in d D() S(,d) Deiníció: első integrál Az : R korlátos üggvén első integrálközelítő összegei halmazának pontos alsó korlátját az üggvén első integráljának nevezzük. Az előző következmén miatt az alsó és a első integrál valós szám.)
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 8 Megjegzés A deiníciók alapján nilvánvaló, hog Deiníció: integrál Ha az alsó és a első integrál egenlő, akkor azt mondjuk, hog az üggvén integrálható az intervallumon. Az alsó és a első integrálok közös értékét az üggvén intervallumon vett integráljának nevezzük. Jelölés Tétel Ha az : R üggvén oltonos, akkor integrálható.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 9 Jelölés A hármas integrált általában három integrál jellel írjuk: ill. (,,z) dddz Tétel Ha az : R üggvén oltonos, akkor integrálható.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 0 Az integrál néhán tulajdonsága Tétel: összegüggvén integrálja Ha az : R és a g: R üggvének integrálhatóak, akkor az +g üggvén is integrálható és ( + g) + g (Tagonként lehet integrálni.) Tétel: üggvén konstansszorosának integrálja Ha az : R üggvén integrálható és c R, akkor a c üggvén is integrálható és (c ) c (Szorzó konstans kiemelhető az integrál elé.)
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Tétel: az integrál additivitása Ha az {,,, k } intervallumrendszer az intervallum eg beosztása, és az : R üggvén integrálható az,,, k intervallumokon, akkor integrálható az intervallumon is és k i i Tétel Ha az : R üggvén integrálható az (n dimenziós) intervallumon, akkor integrálható bármel J n dimenziós részintervallumon is.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Tétel: az integrál monotonitása Ha az : R és a g: R üggvének integrálhatók, és () g(), ha, akkor g Tétel: középérték tétel Ha az : R üggvén integrálható, m R és M R az alsó és első korlátja, azaz m () M, ha, akkor m v() M v()
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Tétel: az integrál kiszámítása intervallumon Legen [a,b] [a,b ] [a,b ] [a n,b n ] R n n dimenziós zárt intervallum. Ha az : R oltonos, akkor az üggvén -n vett integrálja kiszámítható n db egváltozós integrál kiszámításával az alábbiak szerint: b a [a,b b ] [a a,b... ( ]... [a n b n a,,b ( n n n ],,..., n,..., ) dd )d n n...d...d n d
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 4 Akettős integrál kiszámítása téglalapon Legen [a,b ] [a,b ] R kétdimenziós zárt intervallum. Ha az : R oltonos, akkor az üggvén -n vett kettős integrálja meghatározható két db egváltozós integrál kiszámításával az alábbiak szerint: [a,b ] [a (,,b ] ) dd b a b a (, )dd
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 5 ( ) ( ) + + d d 5 d d 5 4 0 [0,4] [,] Példa 5 ) (, + ] [0,4 [,] + d 5 4 0 ( ) + + d 5 6 5 9 4 0 + + 4 0 4 0 4 0 6 d 4 0 6
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 6 5 9 0 + 4 4 0 5 9 8 0 8 + 6 0 46 9 64 7,78
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 7 A hármas integrál kiszámítása téglatesten Legen [a,b ] [a,b ] [a,b ] R háromdimenziós zárt intervallum. Ha az : R oltonos, akkor az üggvén -n vett integrálja kiszámítható három db egváltozós integrál kiszámításával az alábbiak szerint: [a,b ] [a,b (, ] [a,b,z) ] dddz b a b a b z a (,, z)dzdd
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 8 Példa (,, z) z 5 z + 6z [,] [0,4] [,5] ( z [,] [0,4] [,5] 5z + 6z ) d d dz 4 0 5 z ( z 5z + 6z ) dz d d 4 0 z 5 z + 6 z z 5 z dd 4 0 5 75 + 75 5 40 + 6dd
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 9 + d d 54 685 4 0 + d 54 685 4 0 + d 48 84 d 0 6 5480 84 744 48 48 70 48 4 84 4
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 40 Deiníció: síkbeli normál tartomán Ha, : [a,b] R oltonos üggvének és () (), [a,b], akkor a H { (,) R a b, () () } halmaz az tengelre vonatkozó normál tartománnak nevezzük. Ha g,g : [a,b] R oltonos üggvének és g () g (), ha [a,b], akkor a H { (,) R a b, g () g () } halmaz az tengelre vonatkozó normál tartománnak nevezzük
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 4 Tétel: a kettős integrál kiszámítása normál tartománon tengelre vonatkozó normál tartomán esetén: H b a () () (, )dd tengelre vonatkozó normál tartomán esetén: H b a g g () () (, )d d
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 4 d 4 0 d d )d ( 0 0 H 0 5 0 5 8 5 5 4 0 5 5 4 + + Példa { }, 0 ) (, H ) (,
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 4 Tétel: az integrál kiszámítása polárkoordinátákkal megadott tartomán esetén (integráltranszormáció) Ha az : R R üggvén integrálható a H halmazon, akkor (, )d d (r cosα,r sin α) r dr dα H H r cos α r sin α
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 44 Példa Határozzuk meg az (,) - üggvén integrálját a H halmazon! A H halmazt derékszögű koordinátákkal nehéz előállítani, polárkoordinátákkal viszont téglalap tartománná egszerűsödik: H { (r,α) r, π/4 α π/ } íg az integrált a transzormációs ormulával célszerű kiszámítani.
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 45 H ( )d d H (r cosα r sin α) r dr dα r H π r π π ( cosα sin α) dr dα r ( cosα sin α) drdα r α 4 ( cosα sin α) dα ( cosα sin α) dα π α 4 r 6 π π α 4 6 6 π/ [ sin α + cosα] απ/ 4
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 46 Megjegzés Az H (, )d d (r cosα,r sin α) r H dr dα képletben az a legontosabb tartalom, hog d d r dr dα Általánosan: ha kettős integrálban új változókra térünk át, például az - változókról az u-v változókra, akkor meg kell határozni, hog az eredeti integrálban szereplő dd ormula helébe mi kerül. Ehhez szükség van az ún. Jacobi determinánsra, amit a régi és az új változók kapcsolatát megadó (u,v) és (u,v) kétváltozós üggvének parciális deriváltjaiból képzünk:
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 47 Deiníció: Jacobi determináns Ha az integráltranszormáció (új változókra való áttérés) esetén a régi (,) és az új (u,v) változók kapcsolata az ( u, v) (u, v) ( u, v) (u, v) üggvének által adott, akkor a problémához tartozó Jacobi determináns: J(u, v) det u u (u, v) (u, v) v v (u, v) (u, v) Az új változókra való áttéréskor a következő ormulát kell használni: d d J(u, v) du dv
Többváltozós üggvének Riemann integrálja 48 Síkbeli derékszögű koordinátákról (,) síkbeli polár koordinátákra (r,α) való áttérés esetén a Jacobi determináns: (r, α) r cosα (r, α) r sin α J(r, α) det r r (r, α) (r, α) α α (r, α) (r, α) cosα det sin α r ( sin α) r cosα r cos α + r sin α r d d r dr dα