8. modu: EGYSERBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK 5 III. Trigonometrius egyenete Azoat az egyeneteet és egyentenségeet, ameyeben az ismereten vaamiyen szögfüggvénye szerepe, trigonometrius egyenetene, ietve egyentenségene nevezzü. Ezene az egyenetene a megodásához a tanut trigonometrius azonosságo nyújtana segítséget. Mintapéda8 Odju meg a sin egyenetet a vaós számo hamazán! A feadat megodásában segítségünre ehet aár a sin definíciója az egységsugarú örben, aár az f sin függvény grafionja. Két üönböz egységvetor van, ameye másodi oordinátája. Az ezehez tartozó forgásszöge a sin egyenet megodásai: 0 0 50 0 A megodáso ívmértében: 5 Eenrizhetjü, hogy és vaóban gyöei a sin egyenetne. 0 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapéda Odju meg a cos 0 egyenetet a vaós számo hamazán! Rendezzü az egyenetet: cos Két üönböz egységvetor van, ameye es oordinátája. Az ezehez tarto- zó forgásszöge a cos egyenet megodásai: 50 0 0 0 A megodáso ívmértében: 5 7 meye igazzá is teszi az eredeti egyenetet. Mintapéda0 Odju meg a tg 5 egyenetet a vaós számo hamazán! Rendezzü az egyenetet: tg 5. Számoógéppe vagy függvénytábázat segítségéve apju a megodást:
8. modu: EGYSERBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK A feadat megodásában segítségünre ehet aár a tg definíciója az egységsugarú örben, aár az f tg függvény grafionja.,7 80 Ívmértében: 0, Enne heyességér az eenrzés során meggyzdhetün. Megjegyzés: A trigonometrius egyenete gyöeit átaában radiánban adju meg, mert az vaós szám, és a megodásoat nagy részben ezen a hamazon eressü. Vigyázzun a számoógép DRG beáítására! 5. Add meg azona a 0 és 0 özötti szögene a nagyságát, ameyere igaz az aábbi egyenség! a) sin 0 b) sin. Add meg azona az szögene a nagyságát, ameyere igaz az aábbi egyenség! a) cos 0 b) cos 7. Add meg azona a 0 és 0 özötti szögene a nagyságát, ameyere igaz az aábbi egyenség! a) tg b) tg MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 8. Add meg azona a 0 és özötti szögene a nagyságát, ameyere igaz az aábbi egyenség! a) ctg b) ctg 0. Odd meg a övetez egyeneteet! a) sin 0, b) sin, 5 c) 8 sin 0. Odd meg a övetez egyeneteet! a) cos 0, b) cos c) cos 0. Odd meg a övetez egyeneteet! a) tg, 75 b) tg c) tg 0. Odd meg a övetez egyeneteet a vaós számo hamazán! a) ctg, 5 b) ctg 5 c) ctg 0 Mintapéda Odju meg cos sin egyenetet a vaós számo hamazán! Oszthatun cos -sze, mert cos 0, ui. sin és cos nem ehet egyszerre 0. sin cos tg 0 80 Ez vaóban megodása az egyenetünne.
8. modu: EGYSERBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK Mintapéda Odju meg a sin cos cos cos egyenetet a vaós számo hamazán! Rendezzü nuára az egyenetet: sin cos cos 0 Aaítsun szorzattá: cos sin 0 Egy szorzat aor és csa aor nua, ha vaameyi tényezje nua, ezért vagy cos 0 0 80 7 vagy sin 0 0, Ez vaóban megodása az egyenetünne. 0 m 0 m m. Odd meg a övetez egyeneteet a vaós számo hamazán! a) cos sin b) cos sin 0 c) 5 sin cos cos. Odd meg a övetez egyeneteet a vaós számo hamazán! a) sin cos 0 b) cos cos 0 5. Odd meg a övetez egyeneteet! a) sin b) sin c) cos MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapéda Odju meg a cos 0 egyenetet a vaós számo hamazán! Rendezzü az egyenetet: cos Vezessün be új vátozót: Ebb: cos 8 8 Eze heyességér eenrzésse gyzdjün meg.
8. modu: EGYSERBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK 5. Odd meg a övetez egyeneteet! a) sin 0 b) sin 5 0, 5 7. Odd meg a övetez egyeneteet! 5 a) cos 0, 5 b) cos 8. Odd meg a övetez egyeneteet a vaós számo hamazán! a) tg b) tg. Odd meg a övetez egyeneteet a vaós számo hamazán! a) ctg b) ctg 0. Odd meg a övetez egyeneteet a vaós számo hamazán! a) sin b) cos. Határozd meg, hogy mey vaós számora értemezhet a övetez ifejezése! a) sin b) sin c) cos d) sin MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapéda Odju meg a sin 0 sin 00 egyenetet! Meghatározzu azoat a szögeet, ameyene szinuszai egyene: Ha a ét szög megegyezi, ietve csa a periódus egész számú többszöröséve térne e egymástó: 0 00 0 Ha a ét szög egymás iegészít szögei, ietve csa a periódus egész számú többszöröséve térne e egymástó: 00 0 80 0 0 0 0 80 00 0 5 0 0 80 5 0 Eze heyességér az eenrzés során gyzdjün meg. Mintapéda5 Odju meg a cos cos egyenetet a vaós számo hamazán! Meghatározzu azoat a szögeet, ameyene oszinuszai egyene: Ha a ét szög megegyezi, ietve csa a periódus egész számú többszöröséve térne e egymástó: Ha a ét szög egymás eentettje, ietve csa a periódus egész számú többszöröséve térne e egymástó: 5
8. modu: EGYSERBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK 7 5 Eze heyességér az eenrzés során gyzdjün meg. Mintapéda Odju meg a tg 8 tg 5 egyenetet! Két szög tangense csa aor egyen, ha a ét szög megegyezi, ietve csa a periódus egész számú többszöröséve térne e egymástó: 8 5 80 7 80 58 0 58 0, meye igazzá is teszi az eredeti egyenetet. 8 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapéda7 7 Odju meg a sin sin egyenetet a vaós számo hamazán! 5 5 Ha a ét szög megegyezi, ietve csa a periódus egész számú többszöröséve térne e egymástó: Ha a ét szög egymás iegészít szögei, ietve csa a periódus egész számú többszöröséve térne e egymástó: 7 5 5 8 5 0 7 5 5 0 Eenrizzü, hogy és vaóban gyöei az eredeti egyenetne.. Odd meg a övetez egyeneteet! a) sin sin b) sin sin c) cos cos d) cos cos 5. Odd meg a övetez egyeneteet! a) tg tg b) 5 tg tg c) tg tg 70. Odd meg a övetez egyeneteet a vaós számo hamazán! a) sin sin 5 b) cos cos
8. modu: EGYSERBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK Mintapéda8 Odju meg a sin 0 cos egyenetet! Az egyenet mindét odaát úgy aaítju át, hogy mindét odaon azonos szögfüggvénye szerepejene. Fehasznáju, hogy egy szög oszinusza megegyezi pótszögéne szinuszáva: sin 0 sin 0 Meghatározzu azoat a szögeet, ameyene szinuszai egyen: Ha a ét szög megegyezi, ietve csa a periódus egész számú többszöröséve térne e egymástó: 0 0 0 Ha a ét szög egymás iegészít szögei, ietve csa a periódus egész számú többszöröséve térne e egymástó: 0 0 80 0 70 0 7,5 0 70 0 5 80 7,5 0 5 80 A megodáso heyességér eenrzésse gyzdjün meg. 5. Odd meg a övetez egyeneteet! (A megodáshoz hasznád fe a pótszöge szögfüggvényei özötti összefüggéseet!) 5 a) sin cos b) cos sin 70 MATEMATIKA A. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapéda Odju meg a tg tg 0 egyenetet a vaós számo hamazán! Az egyenetne csa ott van érteme, aho a cos 0, azaz Ez tg -ben másodfoú egyenet. Vezessü be a y tg új ismeretent, eor y y 0, majd odju meg az így apott másodfoú egyenetet: y y. tg 0 80 tg 0 80 Mintapéda0 Odju meg a 8 7cos sin egyenetet! A pitagoraszi összefüggés aapján: sin cos Ezt heyettesítsü be az eredeti egyenetbe: 8 7cos cos Rendezzü az egyenetet: cos 7cos 0 Ez cos -ben másodfoú egyenet. Vezessü be az y cos új ismeretent, eor y 7y 0 majd odju meg az így apott másodfoú egyenetet: y y cos 0 0 0 0 cos,8 m 0 m 88, n 0 n Eze heyességér az eenrzés során gyzdjün meg.
8. modu: EGYSERBB TRIGONOMETRIKUS EGYENLETEK, EGYENLTLENSÉGEK 7 Mintapéda Odju meg a cos sin egyenetet a vaós számo hamazán! Emejü négyzetre az egyenet mindét odaát: cos sin sin Mive cos sin, ezért sin sin sin Rendezzü az egyenetet: 7sin sin 0 Ez sin -ben másodfoú egyenet. Vezessü be az y sin új ismeretent, eor 7y y 0 majd odju meg az így apott másodfoú egyenetet: y 0,88 y 0, 0. sin 0, 88,0 0,0 0 sin 0, 0, m 0 m 8, n 0 n Beheyettesítésse meggyzdhetün arró, hogy és vaóban gyöei az eredeti egyenetne, és azonban nem. Ez abbó is átható, hogy ezere az értéere sin és cos ejee üönböz, továbbá sin.. Odd meg a övetez egyenetet a vaós számo hamazán! a) sin sin 5 0 b) 5 8cos cos c) cos cos 5cos d) cos 7cos sin e) 5sin cos sin f) sin sin g) tg cos h) tg ctg i) ctg tg j) sin cos 7. Derészög háromszögben az hegyesszögre tejesü, hogy tg ctg,. Határozd meg az szöget! 70, 0