Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 II Lieáris egyeletredszerek megoldás Kettő vgy három ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek Korábbi tulmáyitok sorá láttátok, hogy vgy ismeretlet trtlmzó lieáris egyeletredszerek eseté kiküszöbölés módszerével meghtározhtjuk megoldást Ez zt jeleti, hogy redszer vlmelyik egyeletéből kifejezzük z egyik ismeretlet és visszhelyettesítjük többi egyeletbe Így oly redszerhez jutuk, mely egy ismeretleel kevesebbet trtlmz, és mely egyel kevesebb egyeletből áll Ez megoldási módszer tetszőleges lieáris redszer eseté hszálhtó és mivel z eljárás egyszerű, köyű lgoritmus formájáb meghtározi Vizsgáljuk meg éháy ilye lieáris redszert Lássuk előbb két ismeretlet trtlmzó és két egyeletből álló redszereket Feldt Tárgyljuk z és b vlós prméterek függvéyébe z x + y b x y egyeletredszert Megoldás A második egyeletből kifejezzük y -t és visszhelyettesítjük z első egyeletbe (vgy szorozzuk második egyelet midkét oldlát -vel és összedjuk z egyeleteket) Így ( + ) x b + egyelethez jutuk H + 0, kkor b + b x és ez lpjá y x + + H + 0, kkor b + 0 eseté elletmodáshoz jutuk H viszot és b, kkor meg kell vizsgáluk, hogy z y ( + ) b egyelőség em vezet-e elletmodáshoz Mivel ( ) 0, ez is teljesül, tehát megoldások lkj x t y t, t Feldt Oldjuk meg és tárgyljuk z x + y b lieáris x + y b egyeletredszert Megoldás H z,,, számok midegyike 0, kkor b b eseté 0 megoldáshlmz z, míg ( b, b ) (0,0) eseté üres hlmz H z,,, számok között v 0-tól külöböző, kkor feltételezhetjük, hogy 0 (Ellekező esetbe felcseréljük z egyeleteket és/vgy változókt) b y Így x, tehát második egyelet lpjá ( ) y b b
6 Lieáris egyeletredszerek megoldás Tehát tárgylás következő: H 0, kkor tetszőleges b, b eseté megoldások b b b b x és y H, kkor b b b b 0 eseté megoldások 0 b α x prmetrikus lkj, α y α míg b b 0 eseté redszerek ics megoldás Láthtó, hogy z kifejezések (és hozzá hsoló b b illetve b b kifejezésekek) kulcsfotosságú szerepe v redszer megoldási- k előállításáb A redszer mátrixok segítségével következő lkb írhtó: x b y b A kifejezésmód egyszerűsítéséek céljából következő értelmezéseket djuk: Értelmezés ) A (*) redszer mátrixák evezzük z A mátrixot b) Az A mátrix determiásák evezzük z külöbséget és deta -vl jelöljük Ezt gykr de ta lkb írjuk A feldt eredméyei lpjá következő tételt jelethetjük ki: Tétel H (*) redszer mátrixák determiás em ull, kkor redszerek létezik egyértelmű megoldás b, b eseté, és megoldás b b b b x y ( számlálób szereplő determiásokt úgy kpjuk, hogy z x illetve y együtthtóik helyére szbdtgokt helyettesítjük) H 0, kkor következő két eset lehetséges: b b ) h 0 vgy 0 kkor redszerek ics megoldás b b (összeférhetetle) b b b) h 0, kkor redszerek végtele sok megoldás v b b
Lieáris egyeletredszerek megoldás 7 Megjegyzés Láthtó, hogy megoldás sorá z x b y b egyelőségből x b deta deta z y b egyelőséghez jutuk deta deta Gykorlt Számítsuk ki z A B és B A szorztokt, h A és B deta Megoldás + det 0 0 A A B deta + deta 0 deta 0 det 0 0 A B A det A + + deta 0 deta 0 Ez tuljdoság zt muttj, hogy z A mátrixhoz trtozó lieáris leképezés bijektív és iverzéek mátrix B Az egyszerűség kedvéért B mátrixot z A iverzéek evezzük Értelmezés H A det det és, kkor z deta 0 A A mátrixot deta deta A -el jelöljük és z A iverzéek evezzük A mátrixokkl végzett tuljdoságok lpjá redszer megoldás következő lkb írhtó: A A v b A ( A v) A b x b ( A A) v A b, hol A, v y, b I v A b b v A b Az iverz mátrix oszlopi z x + y és x + y 0 x + y 0 x y + redszerek megoldásikét is felfoghtók A lieáris leképezések struktúráják x x vizsgáltához hsoló h y és y z előbbi redszerek megoldási, kkor z x + y b x x x y b redszer megoldás b b x + y b y + y x y b
8 Lieáris egyeletredszerek megoldás Vizsgáljuk meg, hogy -s ( ismeretlet és egyeletet trtlmzó) redszerek eseté létezek-e hsoló eredméyek Feldt Oldjuk meg következő egyeletredszert: x + y + z x + y z 5 x y z Megoldás Az első egyeletből kifejezzük x -et és behelyettesítjük második és hrmdik egyeletbe Így z x + y + z y 5z 7 egyeletredszerhez jutuk Az 5y 9z 5 utolsó két egyelet már csk y -t és z -t trtlmz, tehát megoldhtó két ismeretlees redszerkét A második egyelet lpjá y 5z 7, tehát redszer x + y + z y 5z 7 lkb is írhtó 4z 70 Az utolsó egyeletből z 5, ez lpjá második egyeletből y és végül z első egyeletből x Természetese z ismeretlet más sorredbe is kiküszöbölhetjük H első lépésbe második egyeletből fejezzük ki z -t, kkor következő lkb írhtjuk redszert: z x y 5 5x + 7y x y 7y A második egyeletből x, tehát redszer z x y 5 5x + 7y lkb is írhtó 5 4y 68 Világos, hogy legfeljebb 9 4 6 külöböző módo juthtuk el megoldáshoz (z első lépésbe 9 lehetőség v szerit, hogy melyik változót fejezzük ki és melyik egyeletből, míg második lépésél 4 lehetőség) Érdekes módo z előbbi két megoldásb z utolsó sorb z ismeretle együtthtój 4 volt Vjo ez egy áltláos jeleség, vgy tekithető véletle egybeesések is? Vizsgáljuk meg áltláos problémát Feldt Oldjuk meg és tárgyljuk z x + y + z b x + y + z b x + y + z b egyeletredszert, h, b, ij,, ij i
Lieáris egyeletredszerek megoldás 9 Megoldás H 0 i, j,, kkor ( b, b, b ) ( 0, 0, 0) eseté megoldás z ij míg ellekező esetbe üres hlmz H létezik 0-tól külöböző, i, j,, ij kkor redszer átredezhető egyeletek és ismeretleek cseréjével úgy, hogy z első egyeletbe z x együtthtój 0-tól külöböző legye Tehát feltételezhetjük, hogy 0 Fejezzük ki x -et z első egyeletből és helyettesítsük többi egyeletbe b y z x Így z b x + y + z b b y + z b b y + z redszerhez jutuk Láthtó, hogy z -gyel vló osztást elhgyhtjuk Így redszer x + y + z b ( ) y + ( ) z b b ( ) y + ( ) z b b lkú H itt kiküszöböljük y -t, kkor z együtthtój ( )( ) ( )( [ + + ] Megjegyzés Ez lpjá láthtó, hogy em véletle z, mit tpsztltuk (midkét lklomml -4 jelet meg), viszot z is hozzájárult, hogy z első lépésbe kifejezett ismeretle együtthtój ( ) volt midkét lklomml Jelöljük -vl szögletes zárójelbe megjeleő kifejezést + + A műveletek elvégzése és -el vló egyszerűsítés utá z x (*) egyelőséghez jutuk, hol b + b + b b b b Értelmezés A + + kifejezést z A mátrix determiásák evezzük és de -vl ta jelöljük Gykr írjuk )
40 Lieáris egyeletredszerek megoldás deta lkb is Világos, hogy ezeket z eredméyeket ebbe formáb elég ehéz megjegyezi, ezért következő memorizálási techikákt említjük meg: Srrus szbály Írjuk z A mátrix lá z első és második sort A főátlóvl párhuzmos átlók meté z elemek szorzti dják determiás első három tgját ( pozitív előjelűeket), míg mellékátló illeszkedő elemek szorzti dják z utolsó három tgot Így determiás főátlós szorztok összegéek és mellékátlós szorztok összegéek külöbsége Háromszögszbály A mellékelt ábrák muttják pozitív, illetve egtív előjelű szorztokt b A (*) összefüggésbe b, tehát h 0, kkor x b Hsoló igzolhtó, hogy y és z, hol b b és b b b b Tehát -es redszerekhez hsoló itt is megfoglmzhtjuk következő tételt x + y + z b Tétel Az x + y + z b redszerre érvéyesek következő állítások: x + y + z b H redszer mátrixák determiás em ull, kkor redszerek egyértelmű megoldás v és ezt z x, y és z képletek szolgálttják, hol redszer mátrixák determiás,, és pedig úgy kphtó meg ebből determiásból, hogy z x, y illetve z együtthtóit helyettesítjük szbdtgokkl (ezt és eek z áltláos esetét evezzük Crmer
Lieáris egyeletredszerek megoldás 4 szbályk és zokt redszereket, melyekre ez lklmzh tó Crmer redszerekek evezzük) H 0,, ( 0,0,0) eseté redszerek ics megoldás (, kkor ( ) redszer elletmodásos, összeférhetetle) H 0, kkor redszerek végtele sok megoldás v -es és -s determiások tuljdosági Mielőtt redszerek további tuljdoságik vizsgáltáb fogák, vizsgáljuk meg -s determiások éháy tuljdoságát eld t: Vizsgáljuk meg, hogy változik z A M ( ) mátrix determiás, h F ) felcserélük két sort (vgy oszlopot); b) beszorzuk egy sort (vgy oszlopot) egy számml; c) felcseréljük sorokt z oszlopokkl; d) mátrix mide elemét kojugáltjávl helyettesítjük Megoldás Tekitjük z A mátrixot ) Azáltl, hogy felcserélük két sort, vgy oszlopot, redszer em változik meg Elvárák, hogy z A determiás se változzo meg, vgy leglábbis e gyo változzo H A, kkor deta + + deta H A, kkor deta + + deta A második és hrmdik oszlop (vgy sor) felcserélése következőképpe végrehjthtó: kicseréljük z első oszlopot (sort) másodikkl kicseréljük z első oszlopot (sort) hrmdikkl kicseréljük z első oszlopot (sort) másodikkl A A
4 Lieáris egyeletredszerek megoldás Mivel mide lépésbe megváltozik determiás előjele ezért deta deta Tehát két sor (vgy oszlop) felcserélésével determiásk csk z előjele változik meg Következméy H egy determiás két sor (vgy oszlop) zoos, kkor determiás értéke 0 Bizoyítás A két sort (vgy oszlopot) felcserélve megváltozik determiás előjele Ugykkor, mivel két sor zoos, ugyzt determiást kpjuk Ez csk kkor lehetséges, h determiás 0 b) A determiás értelmezésébe szereplő szorztok téyezői úgy helyezkedek el, hogy mide sorból és mide oszlopból potos egy elem kerüljö szorztb Így, h egy sor (vgy oszlop) mide elemét szorozzuk α -vl, kkor determiás is szorzódik α -vl Következméy H egy determiás két sor (vgy oszlop) ráyos, kkor determiás 0 Bizoyítás Jelöljük A -vl mátrixot, melyek két sor ráyos α, j, egyelőségek lpjá α deta deta 0, hol -et z Az ij ij A -ból úgy kpjuk, hogy z i -edik sort szorozzuk α -vl (H α 0, kkor A -k v egy csup ullából álló sor, míg ellekező esetbe A -ek v két zoos sor) c) A háromszögszbályb szereplő két ábr szimmetrikus főátlór ézve, ezért h z elemeket főátlór ézve tükrözzük, kkor determiás értéke e m változik, zz egy mátrix determiás egyelő trszpoáltják determiásávl: t deta deta d) Mivel z z z z és z + z z + z z, z deta deta, Feldt Fejezzük ki -s determiást -es determiások segítségével Megoldás Csoportosítjuk tgokt z első oszlop elemei szerit: deta + +, írhtjuk, hogy ( ) ( ) + ( ) + Hsoló előállításokhoz jutuk, h második, hrmdik oszlop vgy vlmelyik sor elemei szerit csoportosítjuk tgokt Láthtó, hogy z elem szorzótéyezőjét úgy kpjuk, hogy z A determiásából elhgyjuk z i -edik sort és j -edik oszlopot és szorozzuk ( ) i+ j -el ij A
Lieáris egyeletredszerek megoldás 4 Értelmezés Az i -edik sor és j -edik oszlop elhgyásávl kpott determiást z -hez trtozó ldetermiásk evezzük és d -vel jelöljük A ( ) i j d kifejezést ij ij ij z ij elem lgebri komplemetumák evezzük és D -vel jelöljük Ezekkel jelölésekkel z előbbi feldt eredméye következőképpe foglmzhtó meg: Tétel H A M ( ), kkor deta D D i, j {,, } ij ij ij ij i j Következméyek H két -s m átrixk csk egy sor (vgy oszlop) külöbözik, kkor determiásik összege egyelő k mátrixk determiásávl, melyet úgy kpuk, hogy megegyező elemeket leírjuk és külöböző sorok megfelelő elemeit összedjuk Péld x x x + x y + y y + y z z z + z Bizoyítás Az első (áltláb külöböző sor vgy oszlop) oszlop szerit kifejtjük midhárom determiást H egy determiás vlmely sorához (vgy oszlopához) hozzádjuk egy másik sor (oszlop) α -szorosát, kkor determiás értéke em változik meg Bizoyítás Feltételezhetjük, hogy z első két oszlopról (sorról) v szó, hisz oszlopok (sorok) cseréjével csk z előjelek változk meg) α + α + α + α α + α Az előbbi feldt b) lpotják következméye lpjá bl oldl második determiás 0 Mátrixok iverze H D ij ik összeget vizsgálák meg k j i sze D úgy is felfoghtó, mit egy A mátrix i -edik sorák és j -edik oszlopák ik jk z lgebri komplemetum, hol z A m átrixot úgy kpjuk A -ból, hogy k -dik oszlop helyére is j -edik oszlopot írjuk Így jk ij eseté, kkor ullához juták, hi- ij i zoos oszlop) Például z D + D + D deta 0, mert D deta 0 (mert v két ik jk +
44 Lieáris egyeletredszerek megoldás A Ezeket z egyelőségeket egy egyelőség formájáb is felírhtjuk, h * megszerkesztjük z A mátrixot következő módo: felírjuk A trszpoáltját trszpoált mide elemét helyettesítjük z lgebri komplemetumávl * Következméy H A M ( ) és A D ji, kkor ij,, * * A A A A ( deta) I D D D * * Bizoyítás H A D D D, kkor A A D D D D D D 0 0 + + 0 D + D + D 0 0 0 D D D + + ( deta) I * Az A mátrixot z A djugáltják evezzük Az előbbi tuljdoság lpjá * deta 0 eseté megszerkeszthetjük z A mátrix iverzét, hisz B A deta mátrixr teljesül z, hogy A B B A I (Ez zt is jeleti, hogy ebbe z esetbe z A -hoz trtozó f : lieáris leképezés bijektív és iverze B -hez trtozó leképezés) Akárcs k -es mátrixok esetébe z A mátrix itt is értelmezhető z A A A A I egyelőséggel A foglmk rögzítéséek céljából következő áltláos értelmezést fogdjuk el Értelmezés A B M ( ) mátrixot z A M ( ) mátrix iverzéek evezzük, h teljesülek z A B B A I egyelőségek Ebbe z esetbe B mátrixot A -el szokás jelöli Felmerülhet kérdés, hogy létezhet-e egy mátr ixk több iverze A szorzás tuljdosági lpjá beláthtjuk, hogy ez em lehetséges (A szorzás értelmezéséből z is következik, hogy h B z A iverze, kkor B -hez trtozó lieáris leképezés z A -hoz trtozó lieáris leképezés iverze Mivel z iverz függvéy egyértelműe meghtározott és lieáris leképezés mátrix is egyértelműe jellemzi zt egy dott bázisb, világos, hogy A is egyértelműe meghtározott, h létezik)
Lieáris egyeletredszerek megoldás 45 H B és C z A iverzei leéek, kkor B B I B ( A C) ( B A) C I C C, A tehá t egyértelműe meghtározott Az előbbiek lpjá h létezik A, kkor z A -hoz redelt lieáris leképezések létezik iverze, tehát z f : f( x) A x függvéy bijektív Így z A x y egyeletek mide y eseté v egyértelmű megoldás Láttuk, hogy ez csk kkor fordul el ő, h deta 0 és ebbe z esetbe meg is tudjuk szerkesztei z A iverzét Érvéyes tehát következő tétel Tétel Az A M ( ) mátrixk potos kkor létezik iverze, h deta 0 és ebbe z esetbe A * * A, hol z A mátr deta ixot úgy kpjuk, hogy z A trszpoáltják mide elemét helyettesítjük k lgebri komplemetumávl 4 ismeretlet trtlmzó egyeletredszerek és determiások -es Az eddigi tuljdoságok lpjá értelmezi tudjuk -es mátrix eseté is determiást és -es lieáris egyeletredszerekre is dhtuk megoldási módszereket Értelmezés H A M ( ), kkor z A mátrix determiásák evezzük j D kifejezést, hol D j j j z elem lgebri komplemetum ( ( ) + j D d, hol d z -hez trtozó ldetermiás) Tehát j j j j j d j j Megjegyzés Mivel D egy ( ) ( ) -es determiás és -es illetve -s determiást értelmeztük, z értelmezés helyes ( mtemtiki idukció elve lpjá) Feldt Bizoyítsuk be, hogy determiás mide sor vgy oszlop szerit kifejthető, zz det A D D i, j, ij ij j i Bizoyítás és eseté már bebizoyítottuk tuljdoságot Így mtemtiki idukció elve lpjá elégséges igzoli, hogy h teljesül z állítás mide legfeljebb ( ) ( ) -es mátrix determiásár, kkor teljesül mide -es mátrix determ iásár is Legye M ( ) egy tetszőleges mátrix Az értelmezés lpjá j ij D j ij A + + j + j i+ k deta D ( ) d ( ) ( ) d j j j j j ik ik j j j k k j
46 Lieáris egyeletredszerek megoldás ( ) + j i+ k ( ) ( ) + j i+ k d ( ) d j k k j j ik ik j ik ik k j j k i k + + j ( ) ( ) ik k j j k j d ik De d egy ( ) ( ) -es determiás és úgy is felfoghtó, mit z eredeti ik determiásból z i -edik sor és k -dik oszlop elhgyásávl yert determiásb z -hez trtozó ldetermiás Tehát j j j k + j ( ) d j ik ik hol d z -hoz trtozó ldetermiás z -es determiásb Így ik ik Az előbbi bizoyításához hsoló deta hogy det A D i i d, i k deta ( ) + d D ik ik ik ik k k deta ij ij i D egyelőségből kiidulv igzolhtjuk, tehát elégséges i i i i D egyelőséget itt is igzoli, Mtemtiki idukciót hszáluk, tehát feltételezhetjük, hogy ( ) ( ) -es determiások z első oszlopuk szerit is kifejthetők Az értelmezés lpjá deta ( ) + j D D + ij j j D k k j j k k j +j ( ) + j k+ D + ( ) D D + j k k k ( ) D j k k j k j j k j k D + D D k k k k k k mert D tekithető D -be z ldetermiásák k k j Következméy A -s determiások tuljdosági -es determiásokr is kiterjeszthetők, hisz midig kifejthetjük oly sor (vgy oszlop) szerit, melyet em változttuk, és így midig z eggyel kisebb redű determiások megfelelő tuljdoságár vezetődik vissz bizoyítdó tuljdoság Az előbbiek lpjá felsorolhtjuk z -es determiások éháy tuljdoságát:
Lieáris egyeletredszerek megoldás 47 Tétel H A M ( ), kkor érvéyesek z lábbi állítások: t t ) deta det A, hol A z A trszpoáltj b) H A két oszlopát (vgy sorát) kkor determiás előjele megváltozik c) H A egy soráb (vgy oszlopáb) α -vl szorozzuk z elemeket, kkor determiás is szorzódik α -vl d) H A -k v két zoos vgy ráyos oszlop vgy sor, kkor determiás 0 e) H A és B egy oszlopb (vgy sorb) külöbözik, kkor deta+ detb detc, ho l C mátrixot úgy kpjuk A -ból, hogy B -vel megegyező oszlopokt leírjuk és B -től külöböző oszlop elemeihez hozzádjuk B megfelelő elemeit f) H A egy oszlopához (sorához) hozzádjuk egy másik oszlop (sor) α -szorosát, kkor determiás em változik meg g) H A egy oszlop (sor) többi oszlop (sor) lieáris kombiációj, kkor determiás 0 h) i) det A D D i, j, i ij ij ij ij i j D 0, h k j ij ik * * * j) A A A A ( deta) I, hol A z A djugáltj, mit úgy kpuk, hogy A trszpoáltjáb mide elemet z lgebri komplemetumávl helyettesítük Ez lpjá z -es redszerek esetébe is megszerkeszthetjük A iverzét és kijelethetjük Crmer szbályt Egy -es redszer is A x b lkb írhtó, hol A M ( ), xb, Tehát, h deta 0, kkor létezik z * A A deta (erre teljesülek z A A A A I egyelőségek) mátrix és ezzel beszorozv (blról) z egyeletet, z x A b egyelőséghez jutuk De D D D D D D D D D A D D D D D D D D D bd D i ij ij i és így x, j b j i i D A számlálób szereplő összeg éppe determiás kifejtése, hol -t úgy j j
48 Lieáris egyeletredszerek megoldás kpjuk -ból, hogy j -edik oszlop helyére szbdtgokt helyettesítjük A x j j * H z A x b egyelőséget csk -gl szorozzuk, kkor összefüggésekhez jutuk ( j, ), tehát tárgylás is hsolóképpe végezhető el H ugy is 0, kkor megoldhtóság feltétele 0 j, és h ezek j, feltételek teljesülek, kkor végtele sok megoldás v z egyeletredszerek Ezt tétel formájáb is kijeletjük Tétel * ) H deta 0, kkor A A deta b) Az A x b, A M ( ), xb, egyeletredszer megoldási j deta 0 eseté x j, lkb írhtók, hol deta és -t úgy j j kpjuk -ból, hogy j -edik oszlop elemeit b, b,, b számokkl hely ettesítjük (Crmer szbály) c) H deta 0, és létezik oly j,, melyre 0, kkor redszer ikomptibilis (összeférhetetle), míg 0 j j, esetbe visszvezető- dik egy kisebb redszer tárgylásár Következméy H b b b 0, kkor 0 eseté redszerek csk ( 0, 0,, 0) megoldás v, míg 0 eseté végtele sok megoldás létezik Bizoyítás Ebbe z esetbe 0 j,, mert v egy idetikus 0 j oszlop Tehát h b b b 0, kkor Crmer szbály lpjá csk egy megoldás v és ez ( 0, 0,, 0) H 0 j,, kkor éháy egyelet j elhgyásávl elérhetjük, hogy bizoyos ismeretleekre ézve ( többiek prméterek) redszerek egyértelmű megoldás legye prméterek függvéyébe Ez zt jeleti, hogy z eredeti redszerek végtele sok megoldás v Megjegyzés Az ilye redszert evezzük homogé lieáris egyeletredszerek, (0, 0,0) megoldást pedig triviális vgy bális megoldásk 5 Megoldott gykorltok Számítsuk ki következő determiásokt cos α si α 5 + 7 ) si α cos α ; b) ; + 5 7 4 5 7 5 6 7 8 c) 0 ; d) 4 4 ; e) 5 9 0 ; 8 4 5 6 j
Lieáris egyeletredszerek megoldás 49 0 0 4 5 f) 6 4 0 ; 6 5 6 0 g) 7 4 4 0 0 4 0 5 6 Megoldás ) cos α cos α si α ( si α) cos α+ si α b) ( 5 + 7)( 5 7) ( )( + ) ( 5 7) ( ) S + S S + c) 0 ( ) 9 7 0 7 5 7 0 7 0 7 7 O O O + O O d) 4 6 4 6 0 4 8 6 6 8 e) 7 7 7 ( ) + 0 0 48 + 9 67 7 8 7 8 O + O O f) 4 4 5 6 7 8 O + O O 5 8 5 9 0 9 O + O O 4 5 6 6 6 S + S S 0 0 0 0 4 5 S + S S 0 4 5 4 4 4 0 6 0 4 8 4 5 6 0 0 5 8 5 + ( második és hrmdik oszlop ráyos) ( ) ( ) 4 8 4 ( 4) 5 8 5 5 8 5
50 Lieáris egyeletredszerek megoldás 0 ( 4) 0 ( 4) ( 8) ( ) + 5 8 5 O + O O ( ) ( ) 64 5 5 4 5 4 4O + O O 4 5 5 4+ 5 g) 6 ( ) 7 6 0 0 0 0 5 5 6 5 5 8 5 5 8 5 0 + 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 9 8 4 9 8 4 0 8 8 8 8 0 S + S S S + S S 4 4 S + S S 8 5 7 O + O O 8O + O O ( ) 8 4 ( ) 0 0 4O + O O 8 5 50 7 7 ( ) ( ) + 5 5 50 7 0 5 7 5 5 5 5 ( 5 66) 5 ( 6) 05 0 O + O O O + O O Számítsuk ki következő determiásokt: b b b c ) b b ; b) b + c c + + b b b b + c c + + b Megoldás ) Vojuk ki z első oszlopot második és hrmdik oszlopból és emeljük ki ( b ) -t két utolsó oszlopból ( b ) ( b )( b + ) b + b ( b)( + b) b ( b) ( b ) b ( + b) b b b ( b ) ( b) Adjuk z első sorhoz z utolsó kettőt: b b
Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 ( b ) b ( + b) b + + b b b 0 0 b ( + b) b ( b ) ( + b + b) b ( b ) ( + b + b) b b ( b ) ( b b ) + + + + ( b ) megoldás Adjuk z utolsó két oszlopot z elsőhöz b b b b ( b b ) b ( b b ) 0 ( b) b( b) + + + + b b + + b + b bb ( ) ( b)( + b) ( b b )( b) ( )( ) ( ) ( b) Kivojuk z első oszlopot z utolsó kettőből b c b + c b c b + c ( + b) ( + c) 0 + b + b b + b + b b b + c b c ( b )( c ) b + c + b + c ( b )( c ) b + c 0 0 b + c ( + b) ( + c) ( b )( c )( + b + c) ( b )( + b + c c )( c b)( + b + c) Oldjuk meg következő lieáris redszereket ) Crmer szbály segítségével; b) kiküszöbölés módszerével; c) z iverz mátrix kiszámításák segítségével 6x + 5y 7 x + y + z + t x + y 4z 6 I ; II x + y z 0 ; III x y + z + t x + 7y 0 x + y + 5z + t x y + 4z 4 5x y + 7z + t 6 5 7 5 ) I 4 65, 9 50 69 és 7 0 7 )
5 Lieáris egyeletredszerek megoldás 7 69 0 5 6 Tehát x 0 6 y 7 II 4 4 0 0 ; 4 4 és 4 4 0 0 0 4 4 4 4 4 ; 4 4 0 0 0 5; 4 4 4 4 4 0 0 0 4 4 4 Tehát x, y 5 és z III 0 0 0 6 5 0 5 0 5 0 0 5 7 5 7 7 5 ( ) ( 9) 7; 0 0 0 6 5 6 5 4 5 9 9 4 9 4 4
Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 4 6 9 6 9 9 0 0 9 4 9 ( 6) 54; 5 4 5 0 0 0 6 0 0 5 5 0 5 0 5 7; 5 7 5 0 0 0 6 5 0 5 0 5 5 0 5 0 5 7; 5 5 7 7 0 0 0 6 5 5 4 5 5 5 5 7 5 7 7 5 9 7 9 7 0 0 9 4 7; 4 7 4 4 Ezek lpjá x, y, z és t 4 b) I A második egyelőség 6 szorosából kivojuk z első szorosát Í gy y 6 egyelőséghez jutuk, tehát y 7 Ebből következik, hogy 7 5y x 6 II Az első és második egyeletet felcseréljük, mjd redre következő átlkításokt végezzük: x + y z 0 x + y z 0 x + y z 0 x + y 4z y z y z x y + 4z 4 y + z 4 z Így y z 5 és x y + z 5+
54 Lieáris egyeletredszerek megoldás III Az első egyeletből kifejezzük x -et és visszhelyettesítjük többi egyeletbe, mjd másodikból kifejezzük y -t és visszhelyettesítjük hrmdik és egyedik egyeletbe és így tovább A következő redszerekhez jutuk: x + y + z + t x + y + z + t 5y + z 5y + z y + z 5 9z 7 7y + z t z 5t 69 A hrmdik egyeletből z Így z utolsó egyeletből t 4 és második egyeletből y Az első egyelet lpjá 5 x y z t + 4 c) I A redszer mátrixos lkj 6 5 x 7 7 y 0 6 5 6 Az A t mátrix trszpoáltj 7 A 5 7 és z djugáltj 7 5 * A 7 5, tehát 6 deta 6 7 5 A 6 Így x 7 7 5 oldás 7 69 meg y A 0 6 0 6 7 II A redszer 4 x y 0 4 z 4 4 lkb írhtó Az A mátrix trszpoáltj és z djugáltj, 4 4 t * A és A 4 4 4
Lieáris egyeletredszerek megoldás 55 4 * Mivel deta írhtjuk, hogy A A 4 deta Tehát redszer megoldás x 4 y A 0 4 0 5 z 4 4 III A redszer mátrix A 5 5 7 5 5 9 t 6 0 * Így A és A 5 7 9 5 0 9 De deta 7 és így megoldások x 5 9 54 y 6 0 6 7 z 7 9 5 0 7 8 t 9 08 4 6 Megoldott feldtok I Determiások és tuljdoságik Számítsuk ki következő mátrixok determiását: b c b ) A b ; b) A b c c b Megoldás ) deta + b b) deta cb + bc + cb c b bc b c
Lieáris egyeletredszerek megoldás 56 Bizoyítsuk be következő egyelőségeket determiások kiszámítás élkül: ) + b b + c c + + b b + c c + b b b + b b + c c + c c c (felvételi 985); b) Bizoyítás ) bc b c bc b c bc b c b c bc b c c b + b b + c c + b + c c + b b + c c + + b b + c c + b + c c + + b b + c c + + b b + c c + b + c c + b b + c c + b c + c c + b b c + b c c + b c + + c c + + b b c + + b c c + b c + c c + b b c + b c c + b c b c b c b c + b c b c, b c b c b c mert felbotásb megjeleő további determiások értéke ull és b c b c b c b c, b c b c mert z egyikből másikt két oszlopcserével kphtjuk meg b) Az első sort -vl, másodikt b -vel és hrmdikt c -vel szorozzuk (b c 0 eseté): bc b c bc b c () bc b c bc b bc b c c bc b c bc bc Az első oszlopból kiemelük -t, másodikból b -t és hrmdikból c -t!
Lieáris egyeletredszerek megoldás 57 bc b c bc bc bc bc b bc b c b c b c bc bc c c b Az () és () lpjá következik kért egyelőség Számítsuk ki x x x () x x x determiást, h, és x z x x x x x x x + 5x + 0 egyelet gyökei (felvételi 987) Megoldás A Srrus szbály lpjá determiás 4 4 4 4 4 xxx+ xxx+ xxx x x x xxx ( x+ x+ x) ( x + x + x 4 ) x + x + x xxx + + 5 Így De Viéte-féle összefüggések lpjá, és xx xx xx x + x + x ( x + x + x) ( xx + xx + xx) 5 9, 4 4 4 x + x + x ( x + x + x) ( xx + xx + xx ) ( 9) (( xx + xx + xx ) xxx ( x + x + x) ) Tehát ( ) 5 8 ( 5 ( ) ) 8 58 4 Számítsuk ki x x x determiást! Írjuk fel z eredméyt szorzt x x x formájáb! Megoldás A Srrus szbály lpjá köyű kifejtei determiást, de em biztos, hogy észrevesszük felbotást Előyösebb ilyekor eleve rr törekedi, hogy kiemeljük vlmilye téyezőt E célból kivojuk z első oszlopot második és hrmdik oszlopból Így determiás értéke em változik, tehát 0 0 0 0 x x x x x ( x x ) x x x x x x x x x x + x x x ( x x )( x x ) x 0 0 x x + x x + x
Lieáris egyeletredszerek megoldás 58 + ( x x )( x x ) ( ) ( x x )( x x )( x x ) x + x x + x Tehát x x x ( x x )( x x )( x x ) 5 Oldjuk meg z x x x x x x 0 egyeletet Megoldás Adjuk redre második, hrmdik és egyedik oszlopot z első oszlophoz mjd emeljük ki z első oszlopból ( x + 6) -ot és hozzuk be z első oszlopb miél több 0-t x x + 6 x x + 6 x x ( x + 6) x x + 6 x x x x + 6 x x 0 x 0 0 ( x + 6) 0 0 x 0 x 0 0 0 x Az utolsó lépésbe mide sorból kivotuk z első sort x 0 0 0 x 0 0 ( ) + 0 x 0 0 0 x 0 0 0 x 0 0 0 x x 0 + ( x ) ( ) ( x ), 0 x tehát z egyelet ( x + 6) ( x ) 0 lkb írhtó Így gyökök x,, és x 4 6
Lieáris egyeletredszerek megoldás 59 6 Oldjuk meg z x b c x b c x b c 0 egyeletet, h,, bc párokét külöböző számok Megoldás Az első oszlop szerit kifejtve egy hrmdfokú poliom bloldl De x, x b és x c gyökei z egyeletek, mert ezekre z értékekre determiásk v két zoos oszlop és így 0 Egy hrmdfokú egyeletek viszot három komplex gyöke v, tehát feldtot megoldottuk Megjegyzés Az eredméy lpjá x b c ( )( )( ) Ebc (,,) x x b x c, x b c x b c hol E(,,) bc em függ x -től 0 b c b c De x 0 -r ( 0) b c 0 b c bc b c 0 b c b c b c Így bc( b )( c )( c b) E(,, b c) ( b )( c )( c b), tehát x b c x b c x b c ( x)( b x)( c x)( b )( c )( c b) Ezt z ötletet lklmzhtjuk hsoló -es determiások kiszámításár A V ( x, x,, x ) x x x x x x x x x x x x determiást Vdermode determiásk evezzük és igzolhtó, hogy
Lieáris egyeletredszerek megoldás 60 (,,, ) ( j i) V x x x x x i< j t 7 Bizoyítsuk be, hogy h pártl, A M ( ) és A+ A 0, kkor deta 0 t Bizoyítás deta deta det( ) A ( ) deta deta, tehát deta 0 (A ( ) A mátrixot úgy is felfoghtjuk, mith mid z oszlopát szoroztuk vol ( ) -el és ezért det( ) A ( ) deta) Megjegyzés Az ilye mátrixokt tiszimmetrikusk evezzük 8 Számítsuk ki + + + determiást! Megoldás + +, ( + )( + ) 4+ ( + ) + + + 0 + + + 0 + + + ( ( )) + 4+ + + + 0 0 ( ) ( ) 8+ 4 + + 0 0 8+ 4 + + A kiszámításár hszált ötlet lpjá rekurziót tuduk bevezeti ( ) sorozt tgjir + + + 0 + + + + + + + + 0 + + +
Lieáris egyeletredszerek megoldás 6 Így 0 0 0 + 0 0 0 + + + + + 0 0 0 + + + + + + ( ) + + + + ( + ) + ( + + + ) + 9 Bizoyítsuk be, hogy h egy -es mátrix mide eleme vgy, kkor determiás oszthtó -el Megoldás Az első sort hozzádjuk z összes többi sorhoz Így z első sor kivételével mide sorb -, 0 vgy áll Az előjeles determiás mide sorból és mide oszlopból potos egy téyezőt trtlmzó előjeles szorztok összege Így z előbbi determiás kifejtéséek mide tgj oszthtó -el (mert ( ) sorból illetve oszlopból, 0 vgy - kerül szorztb), tehát determiás is oszthtó Ugyerre z eredméyre jutuk kkor is, h kifejtjük z első sor szerit és mide ldetermiás mide sorából kiemelük -t 0 Bizoyítsuk be, hogy h egy -ed redű determiás + eleme egyelő, kkor determiás 0 Bizoyítás A feltétel lpjá legfeljebb ( ) elem külöbözik z + egyelő elemtől Így leglább két sorb ezek közül egy sics, tehát létezik két zoos sor Tehát determiás 0 * Megjegyzés Beláthtó, hogy mide eseté létezik oly -ed redű 0-tól külöböző determiás, melyek + eleme egyelő Ilye például 0 0 determiás 0 + k k
Lieáris egyeletredszerek megoldás 6 II Egyeletredszerek megoldás és tárgylás Milye, b vlós értékekre összeférhetetle z lábbi egyeletredszer? x + y z x + y + z ( ) x + y + z b Megoldás H redszer összeférhetetle, kkor mátrixák determiás 0 A 0 egyelőség redre következőképpe lkíthtó: + ( ) 8+ ( ) 6 0és 5 5 0 Tehát 0 csk eseté teljesül Ebbe z esetbe redszer következő lkb írhtó: x + y z x + y + z 5x + y + z b Láthtó, hogy 5x + y + z ( x + y z) + ( x + y + z), tehát b eseté redszer htároztl vol Így z összeférhetetleség feltétele és b Az m prméter milye értékeire v z x + y + z x y + z mx + m y + z egyeletredszerek egyértelmű megoldás? (Felvételi 997) Megoldás Egyértelmű megoldás potos kkor létezik, h 0, hol m m De m + 0m 9 és z m 0m + 9 0 egyelet gyökei m és m 9, tehát m \{,9 } eseté v redszerek egyértelmű megoldás Oldjuk meg z 4 x y + z 4 x by + b z b 4 x cy + c z c
Lieáris egyeletredszerek megoldás 6 egyeletredszert, h b c megoldás A redszer mátrixák determiás b b ( b )( c )( c b) (Vdermode) c Tehát ki kell számíti 4 4 b b b bc b b 4 c c c c c c 4 4 4 4 4, b b b b és 4 b b determiásokt c c 4 c c c c 4 4 b + b + ( )( ) bc 0 b b bc b c c + c + 0 c c bc( b )( c )( c b)( + b + c), ( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) b c c b b c c b + b b + c c +, 4 b + b + b + 4 4 ( )( ) 0 b b b c c + c + c + 4 4 0 c c ( b )( c ) c b + ( c b ) + ( c b) ( b )( c )( c b) c + cb + b + c + b + Így x bc( + b + c ), y ( + b )( + c )( c + b) és z + b + c + b + c + bc 4 megoldás Tekitjük P() t t tz+ ty x poliomot A feltételek lpjá P -ek gyöke z, b és c Tehát Pt () ( t )( t b)( t c) Qt ()(*) Mivel grp 4, Q fokszám és domiás tgják együtthtój Így Qt () t+ s lkú De ( t ) ( t b)( t c)( t + s) szorztb t együtthtój
Lieáris egyeletredszerek megoldás 64 s b c, tehát (*) egyelőség cskis kkor teljesülhet, h s + b + c Ebbe z esetbe Viéte összefüggések (vgy szorzás elvégzése utá z együtthtók zoosítás) lpjá kpjuk, hogy z ( + b + c) b c bc + b + c + b + c + bc, y ( + b + c)( b + c + bc) + bc ( + b)( + c) ( b +c) és x bc( + b + c) 4 Számítsuk ki z A M ( ) A mátrix iverzét, h x b x b Megoldás Felírjuk z A x b egyeletredszert, hol x és b Ez x b x + x + x + + x b x x + x + + x b x + x + x + x b lkú, tehát z S x + x + + x jelöléssel z egyeletek S x i bi lkb írhtók Így xi ( S bi) i,, tehát S b S x i ( S bi) i i i i Ebből z összefüggésből S b b i j, tehát xj b i i i b + b + + bj + bj + bj+ + +b Ez lpjá z iverz mátrix A
Lieáris egyeletredszerek megoldás 65 5 Oldjuk meg z x + by + cz + dt 0 bx y + dz ct 0 cx dy z + bt 0 dx + cy bz t 0 egyeletredszert, h,,, bcd em mid ull Megoldás Az első egyeletet szorozzuk -vl, másodikt b -vel, hrmdikt c - vel és egyediket d -vel, mjd djuk össze kpott egyelőségeket Az ( + b + c + d ) x 0 egyelőséghez jutuk, tehát x 0 Hsoló jutuk z y z t 0 összefüggésekhez is (A szorzótéyezők redre ( b,, d,c), ( cd,,, b) és ( d, c, b, )) 7 Elemi mátrixműveletek és mátrix rgj A redszerek megoldásáál és determiások kiszámításáál láttuk, hogy sorok (oszlopok) felcserélése, beszorzás, illetve összedás vezetett megoldáshoz Eek prgrfusk célj k vizsgált, hogy ezek műveletek milye összefüggésbe vk mátrixokkl végzett műveletekkel, és milye következméyei vk ezekek z összefüggésekek b Feldt Vizsgáljuk meg, hogy z A c d mátrixból milye mátrixművelet τ b segítségével kphtó meg C τc d mátrix! Törekedjük rr, hogy művelet másik operdus A -tól függetle legye! ( τ ) 0 Megoldás Az A+ B C egyelet megoldás B C A ( τ ) c 0 Eek elemei z A elemeitől függek Próbáljuk meghtározi oly B mátrixot, x y melyre A B C Egy ilye mátrix -es kellee legye, tehát B z t Az A B szorzás elvégzése utá következő egyelőségeket írhtjuk fel: x + bz τ cx + dz τc illetve y + bt b cy + dt d H z x -et küszöböljük ki, z ( b c d) 0, míg h z -t küszöböljük ki z ( x τ) ( d bc) 0 egyelőséghez jutuk Így x τ és z 0 midig megoldás τ 0 Hsoló godoltmeet lpjá y 0 és t, tehát B 0 Ezt mátrixot megszerkeszthetjük redszerek megoldás élkül is, z együtthtók zoosításávl
Lieáris egyeletredszerek megoldás 66 Hsoló módo -es mátrixok eseté is megszerkeszthető egy oly mátrix, mellyel vló szorzás z eredméyekét z eredeti mátrix vlmelyik oszlop szorzódik τ -vl Így z b c τ b c X b c τ b c τ 0 0 egyelet megoldás 0 0 mátrix 0 0 Érvéyes következő áltláos tétel: 0, i j Tétel H z A M m, ( ) mátrixot B b ij, b, i ij,, ij τ j k, i j k mátrixszl szorozzuk (jobbról), kkor z eredméyt z A -ból úgy is megkphtjuk, hogy k -dik oszlop elemeit szorozzuk τ -vl Bizoyítás Jelöljük C -vel z A B szorztot A szorzt értelmezése lpjá ij, j k cij ilb lj, l τij, j k tehát C k -dik oszlop z A k -dik oszlopák τ -szoros és többi oszlop változtl Megjegyzés H blról szorozzuk D d ij ij,, m 0, i j d τ, i ij j k, i j k mátrixszl, kkor k -dik sor elemei szorzódk τ -vl Feldt Szerkesszük meg zt B mátrixot, mellyel z A M ( ) mátrixot jobbról szorozv felcserélődik z A i -edik oszlop j -edik oszlopávl Milye mátrixszl szorozhtjuk, h két sorát szereték felcseréli? Megoldás A B mátrix -es és h B b, kkor z m, ij ij,, kb l + kb l + + kbl összeg kl kell legye, h l { i, j} és k, m Így b ll, h l { i, j} és z összes többi tgj ull H pedig l i, kkor z összeg kell legye és így b Továbbá l j eseté b ij A B mátrix összes többi kj eleme 0, tehát b kl ji, k l { ij, }, ( kl, ) ( ij, ) vgy ( kl, ) ( ji, ) 0, egyébkét
Lieáris egyeletredszerek megoldás 67 0 0 0 b c d d c b 0 0 0 Például b c d d c b 0 0 0 b c d d c b 0 0 0 Érvéyes tehát következő tétel: Tétel H z A M m, ( ) mátrixot jobbról szorozzuk B [ b kl ] kl,,,, k l { ij, }, ( kl, ) ( ij, ) vgy ( kl, ) ( ji, ) b kl mátrixszl, kkor z 0, egyébkét A i -edik és j -edik oszlopát cseréljük fel Hsoló módo láthtó be, hogy h D [ d kl ] kl,,, m, k l { ij, }, ( kl, ) ( ij, ) vgy ( kl, ) ( ji, ) d kl 0, egyébkét mátrixszl szorzuk blról, kkor z i -edik és j -edik sort cseréljük fel A -b Láthtó, hogy z eddig megszerkesztett mátrixok mide soráb és oszlopáb egyetle ullától külöböző elem áll H több em ull elem áll szorzómátrix oszlopib kkor z eredeti mátrix oszlopik lieáris kombiációi leszek z eredméy oszlopi (ezt szorzt értelmezésél is láttuk) Így elérhetjük zt is, hogy j -edik oszlop elemeihez djuk hozzá z i -edik oszlop elemeiek τ -szorosát Feldt Milye B mátrixszl kell szorozuk jobbról z A M ( ) mátrixot, h z első oszlop τ -szorosát szereték z utolsó oszlophoz hozzádi? Megoldás b c d A b c d, tehát B mátrix 4 4 -es Az első három oszlop változtl kell mrdjo, tehát 0 0 x 0 0 y B 0 0 z 0 0 0 t H x τ, t és y z 0 kkor z első oszlop τ -szorosát djuk hozzá z utolsó oszlophoz 0 0 τ b c d 0 0 0 b c τ + d b c d 0 0 0 b c τ + d 0 0 0,4
68 Lieáris egyeletredszerek megoldás Láthtó, hogy h z A M m, ( ) mátrixot szorozzuk B [ b kl ] kl,,,, k l b τ, ( k, l) ( ) kl i, j 0, egyébkét mátrixszl, kkor z A i -edik oszlopák τ -szorosát djuk hozzá j -edik oszlophoz Az előbbiek lpjá determiás kiszámításáál hszált átlkítások felfoghtók egy-egy égyzetes mátrixszl vló szorzáskét is Mivel ezek z átlkítások fotosk z áltláos ( m -es) lieáris egyeletredszerek megoldásáb és z iverz mátrix kiszámításáb, következő értelmezéseket djuk Értelmezés Elemi sortrszformáció (oszloptrszformáció) következőket értjük: ) h egy mátrix vlmely sorát (oszlopát) szorozzuk vgy osztjuk egy 0-tól külöböző számml; b) h egy mátrix két sorát (oszlopát) felcseréljük; c) h egy mátrix egyik sorák (oszlopák) τ -szorosát ( τ 0 ) hozzádjuk egy másik sorhoz (oszlophoz) A továbbikb két mátrixot hsolók evezük, h z egyik megkphtó másikból elemi sortrszformációk segítségével Ezt A~ B -vel jelöljük Világos, hogy z elemi trszformációk fordított trszformációi is elemi trszformációk, tehát h A megkphtó B -ből elemi trszformációk segítségével, kkor B is megkphtó z A -ból elemi trszformációk segítségével Feldt Számítsuk ki z elemi trszformációk mátrixák determiását! Megoldás ) H egy sort szorzuk τ -vl, kkor trszformáció mátrixáb főátló egy τ áll és többi egyes, tehát redre kifejtve főátló elemei szerit determiását z eredméy τ b) H két sort vgy oszlopot kicserélük, kkor trszformáció mátrixák 0 determiását főátló levő -esek szerit redre kifejtve 0 eredméyhez jutuk c) A főátló elemei szerit redre kifejtjük trszformáció mátrixák determiását Az eredméy itt midig Feldt Vizsgáljuk meg, hogy milye A M ( ) mátrixok lkíthtók át elemi sortrszformációk és esetleg oszlopcserék segítségével z I mátrixszá! Megoldás Az első sort -gyel osztjuk, mjd j -edik sorhoz hozzádjuk z első sor j -szeresét Így z első oszlop megegyezik z I első oszlopávl H ezt tovább folytthtjuk, kkor áltláb z i -edik lépésbe z i -edik sort osztjuk ii -vel és j i eseté j -edik sorhoz hozzádjuk z így megváltozttott i -edik sor ji - szeresét Problém csk kkor merülhet fel, h főátlór 0 kerül (ezzel em oszthtuk) Ekkor viszot sor- vgy oszlopcserével kicserélhetjük 0-tól külöböző elemre vgy
Lieáris egyeletredszerek megoldás 69 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I X k lkú mátrixhoz jutuk Ezt továbbikb 0 -vl jelöljük Elemi trszformációk sorá mátrix determiás vgy előjelet vált, vgy em változik, vgy τ 0 -vl szorzódik Így h deta 0 kkor z előbbi mátrix em jelehet meg, mert eek determiás 0 Ugyzo ok mitt h deta 0, kkor em jelehet meg végé z egységmátrix, tehát A -ból potos kkor juthtuk el z I -hez h deta 0 Ez egy fotos tuljdoság, mert megmuttj, hogy lehet felboti A -t vgy A -t elemi trszformációk mátrixik szorztár Jelöljük E, E,, Eq -vl zokt trszformációkt, melyek segítségeivel A -ból megkpjuk I -et Ez E E E A I (*) q q ta 0 A q q E A Eq Eq E I A lkb írhtó Mivel de, létezik A és így (*)-ból (blról szorozzuk -el) következik, hogy E E Ez z egyelőség lkb is írhtó és zt fejezi ki, hogy h z I sorivl ugyzokt trszformációkt hjtjuk végre mit z A sorivl, kkor h A -ból I -et kpuk, z I -ből A jeleik meg Eszerit z iverz mátrix kiszámíthtó következő egyszerű szbályok szerit: Írjuk z A oszlopi utá redre z I oszlopit (Így egy -es mátrixhoz jutuk) A I Végezzük elemi sortrszformációkt z egész A I mátrixszl ddig, míg z első oszlopb I jeleik meg Az utolsó oszlop áltl lkotott mátrix z A Péld Számítsuk ki z A 0 mátrix iverzét!
70 Lieáris egyeletredszerek megoldás Megoldás A 0 0 0 0 S + S S I 0 0 0 0 6 5 0 S + S S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S S 6 5 S+ S S 5 0 0 0 0 6 6 S+ S S 6 6 0 0 7 0 0 6 6 4 0 0 0 0 0 7 7 7 6 5 S S S+ S S 7 5 6 5 0 0 0 0 6 6 S+ S S 7 7 7 0 0 6 6 0 0 7 7 7 7 7 7 Tehát 4 7 7 7 5 A 7 7 7 6 7 7 7 A bekeretezett elemekkel osztottuk megfelelő sorokt Ezeket evezzük geeráló elemekek Megjegyzés Ez módszer (ebbe formáb) kézi számolások sorá köye eltéveszthető viszot z lgoritmus egyszerűségéél fogv egyszerűe progrmozhtó Láttuk, hogy de ta 0 eseté z A mátrix előállíthtó I -ből elemi trszformációkkl, tehát írhtjuk, hogy A E E E p H sorcserét (oszlopcserét) végeztük, kkor megfelelő mátrix determiás - és trszformáció sorá mátrix determiásák előjele változik meg H egy sor vlháyszorosát egy másik sorhoz dtuk, kkor determiás em változik meg és trszformáció mátrixák determiás, míg h szorzuk/osztuk egy sort τ -vl, kkor trszformáció mátrixák determiás τ és z eredeti mátrix szorzódik τ - vl Így trszformációk sorá determiás úgy viselkedik mith szorozák trszformáció determiásávl Eszerit deta det E dete dete p Megjegyzés Az előbbi lgoritmusb ez geeráló elemek szorzt
Lieáris egyeletredszerek megoldás 7 Eek z előállításk egy gyo fotos következméye v: Tétel H A, B M ( ) kkor de t( A B) deta detb Bizoyítás H deta 0 és de tb 0 kkor A E E Ep és B FF Fq, hol Ei i, p és Fj j, q elemi trszformációk mátrixi Így A B EE Ep FF Fq, tehát det( AB) dete dete dete detf detf detf ( deta)( detb) p 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X H deta 0, kkor A 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H z utóbbi mátrixot D -vel jelöljük, kkor A B D B Viszot D B-be v csup 0-ból álló sor és így detdb 0, tehát de tab 0 deta detb H detb 0, kkor z előbbi godoltmeetbe A és B szerepét felcseréljük Az előbbiek lpjá de t( AB) deta detb Megjegyzés A deta 0 esetet letárgylhtjuk htárértékek segítségével is H det A 0, kkor létezik oly ( A ) mátrixsorozt, melyre lim A és 0 A deta 0 0 (ezt megszerkeszthetjük, h z előbbi D mátrixb főátlór kerülő 0-k helyett -et íruk, és így hjtjuk végre zokk trszformációkk z iverzét, melyekkel A -ból kptuk D -t) Mivel determiás mátrix elemeiből képzett szorztok előjeles összege, ezért lim A det( lim A ) és így írhtjuk, hogy detab lim det( A B ) lim ( deta detb ) deta detb A mátrixok elemi trszformációi lieáris redszerek elméletébe is fotos szerepet játszk ugyis h A B, kkor z A E E E B egyelőség lpjá z A x b p p redszer ekvivles B x E E E b redszerrel Másrészt p I X k D lkú redszerek megoldás és tárgylás egyszerű, hisz jobb oldlo 0 is 0 kell álljo D idetikus 0 sorik megfelelő sorokb (ellekező esetbe redszer összeférhetetle) és csk z első k ismeretle (D szerit) egyértelműe kifejezhető szbdtgok és többi ismeretle segítségével A foglmzás q
7 Lieáris egyeletredszerek megoldás egyszerűsítéséek céljából z A -ból kilkíthtó leggyobb I k mátrix redjét z A rgják evezzük (ez bl felső srokb megjeleő I k mátrix redje, zz végrehjthtó lépések (kilkíthtó oszlopok) szám) Világos, hogy A ldetermiási trszformációk sorá D ldetermiásib trszformálódk, tehát z A rgj következőképpe is értelmezhető Értelmezés Az A mátrix rgj leggyobb 0-tól külöböző ldetermiásák redje Ezt rg A-vl jelöljük Az előbbiek lpjá érvéyes következő tétel Tétel H A -ból redre I oszlopit lkítjuk ki, kkor z elvégezhető lépések (kilkíthtó oszlopok) szám z A mátrix rgj A redszerek összeférhetőségére és megoldásár votkozó észrevételük következő lkb foglmzhtó meg: Tétel Az A x b redszer potos kkor összeférhető, h rg A rg A hol A-t úgy kpjuk z A -ból, hogy b oszlopvektort hozzáírjuk H z A x b redszer összeférhető, A Mm, ( ) és r ga mx { m, }, kkor redszer htároztl és megoldások rg A prméter függvéyébe fejezhetők ki ( kifejezés potos módját Crmer szbály szolgálttj) 8 Megoldott feldtok ( ) * Bizoyítsuk be, hogy deta deta Bizoyítás eseté z állítás igz H de ta (deta), kkor + deta det( A A) deta deta ( deta) deta ( deta ) +, tehát * mtemtiki idukció elve lpjá z állítás igz bármely eseté Számítsuk ki deta * -t és deta -ot deta függvéyébe Megoldás Az A A I egyelőség lpjá A eta det d deti, tehát deta ( deta) ( ) k k * Megjegyzés Ez muttj, hogy deta det A, k, h deta 0 * * Az A A deta I egyelőségből következik, hogy de ta deta ( deta), * tehát deta ( deta) Bizoyítsuk be, hogy h A Mm, ( ) és B M p, ( ), kkor rg( A B) mi( rg A, rg B) Bizoyítás H z A mátrixot z E, E,,Eq elemi trszformáció-mátrixokkl I X k vló szorzás útjá hozzuk D 0 lkúr, kkor ugyezekkel trszformációkkl z A B-ből D B lesz EE E AB q q DB
Lieáris egyeletredszerek megoldás 7 De D B-ek leglább yi csup 0-t trtlmzó sor v mit D -ek, tehát rg( AB) rg A () I k A B mátrixot hozzuk D 0 lkúr oszloptrszformációk segítségével Így X B FF F D, tehát AB F F F AD és z AD -be leglább yi p p oszlop trtlmz csup ullákt mit D -be Tehát r g( AB) rg B () () és () lpjá rg( AB) mi( rg A, rg B) 4 Bizoyítsuk be, hogy h z és b természetes számok előállíthtók x + y lkb ( xy, ), kkor z b természetes szám is előállíthtó x y Bizoyítás Tekitjük z M x, y y x mátrixhlmzt x y x y xx yy xy + yx y x y x ( yx xy ) yy xx + + tehát h M, M M, kkor MM De det( MM ) detm detm és így z ( x + y )( x + y ) ( M ) + ( x y + y x ) xx yy zoossághoz jutuk Ebből következik feldt állítás 5 Bizoyítsd be, hogy h AB M ( ) és AB BA, kkor det A + B 0, ( ) Bizoyítás Mivel AB BA, írhtjuk, hogy A + B ( A+ ib)( A ib) tehát ( ) ( det A + B det( A+ ib) det A ib) Másrészt h det( A+ ib) z, kkor det( A ib) z, tehát ( ) det A + B z z z 0 6 Bizoyítsuk be, hogy h A M és p 4q < 0, kkor + ( ) A pa+ qi + 0 + Bizoyítás p p p A pa+ qi+ A A+ I+ + q I 4 4 + p p 4q + + A I I 4 Tehát h A p A qi + 0, kkor + + p p 4q A I I 4 Ebből z egyelőségből következik, hogy + +
74 Lieáris egyeletredszerek megoldás p p p 4q + p 4q + 0 det A I det A I deti 0 + + < + 4 4 Mivel ez em lehetséges, z A p A+ qi + em lehet 0+ * 7 Bizoyítsuk be, hogy h A M ( ) és létezik k úgy, hogy A k 0, kkor A 0 Bizoyítás Az A k 0 egyelőségből következik, hogy ( deta ) 0, tehát deta 0 A Cyley-Hmilto tételből ( ) következik, hogy A ( + d) A k és így A ( ) k k + d A, k H ( + d) 0, kkor + d 0 és így, míg ( ) k A 0 + d 0 eseté A 0, tehát A 0 8 Tárgyljuk z x + y + z x + my + z x y + z egyeletredszer megoldását z m prméter függvéyébe (Érettségi 990) Megoldás A redszer mátrixák determiás m m 9, tehát m 9 eseté redszer összeférhető és htározott, megoldásit Crmer szbály szerit számíthtjuk ki m m 5, és m m 8 5 Tehát m 9 eseté m + x, m 9 y m 9 és ( m 4) z H m 9, kkor m 9 megvizsgáljuk z összeférhetőséget A 9 redszer mátrix és A 9 bővített mátrix de ta 0, tehát r g A De 5 0, 9 tehát rg A Ugykkor 9 k 0 0, tehát
Lieáris egyeletredszerek megoldás 75 rg A Mivel r g A rg A redszer összeférhetetle A rgot következő átlkítások segítségével is végezhetjük (h csk sorokkl végzük műveleteket, kkor ezt A -b végezhetjük, mert ie A rgját is kiolvshtjuk) S+ S S S S m 0 m 4 0 0 5 S+ S S S S 0 5 0 m 4 0 7 9 0 5 5 S+ S S 0 0 5 5 ( m 4) S+ S S 5 5 0 m 4 0 m 9 ( m 4) 0 0 5 5 Ie láthtó, hogy m 9 eseté rga rg A és m 9 eseté r ga, 0 rg A (mert ebbe z esetbe z utolsó oszlopb kilkíthtó 0 ) Ezekből z átlkításokból megoldás is leolvshtó: ( m 4) 5 ( m 4) z 5 m 9 m 9 ( m 4) ( m 9) + ( m 4) y + z + 5 5 5 5( m 9) 5( m 9) m 9 és x 9 7 9( m 9) 4( m 4) m + 5 5 5 z 5( m 9) m 9 m 9 Megjegyzés H még egy lépést elvégzük ( 0 geeráló elemmel), kkor 5 z utolsó oszlopb megjeleek ezek z eredméyek 9 Oldjuk meg és tárgyljuk z x + y + z t 5 x + y z + t m x y + mz + mt egyeletredszert ( xy,, z, tm, ) 5 Megoldás Az A m mátrix rgját (és egybe z A rgját m m is!) htározzuk meg elemi trszformációk segítségével
76 Lieáris egyeletredszerek megoldás 5 5 A 0 4 5 m 0 0 4 5 0 m 0 5 m m 4 7 0 5 m 4 m + 4 7 0 0 5 m + S+ S S 0 4 5 0 m 5S+ S S 0 0 m + 6 m 4 5m H m 6 kkor m + 6 em válszthtó geeráló elemek de m 0 válszthtó ( hrmdik és egyedik oszlop még A -hoz trtozik, tehát ezek felcserélése em változttj meg z A rgját sem) Így írhtjuk, hogy 0 A 0 5 4 6 h m 6 és 0 0 5 0 0 5+ m A 0 4 5 0 m h m 6 m 4 5m 0 0 m + 6 m + 6 Az első esetbe (m 6 ) r g A rg A és 744 0 0 0 5 76 A 0 5 4 6 0 0 4 5 0 0 0 0 0 0 5 5 Tehát megoldások t (mert hrmdik oszlopb most t együtthtói állk) 5 76 744 y 4z és x + z, hol z prméter 5 5 A második esetbe ( S + S S, 4 S + S S ) m m m + 0 0 m + 6 m + 6 + A 0 0 m + 6 m + 6 m 4 5m 0 0 m + 6 m + 6 5 4 49 m 4 m 4m
Lieáris egyeletredszerek megoldás 77 Tehát ebbe z esetbe is rg A rg A és megoldások 4 5m m z t m + 6 m + 6 m + 4 m m 4 y + t m + 6 m + 6 m 4 m + 49 x t m 5 m + 6 m + 6 hol t prméter Megjegyzés Ugyehhez z eredméyhez jutuk, h m 6 eseté z x + y + z 5+ t x + y z m t x y + mz mt redszert Crmer szbállyl oldjuk meg, illetve h m 6 eseté z x + y t 5 z x + y + t 6+ z x y t + 6z redszert oldjuk meg Crmer szbály segítségével (z prméter) 0 Bizoyítsuk be, hogy h A, A, A,, Ap Mm, ( ) és p A + xa + x A + + x A 0, x, kkor 0 p m, 0 A0 A A A p 0 m, ( Bizoyítás Jelöljük z elemeit k ) -vl, A k ij k 0, p, i, m és j, A bl oldlo műveletek elvégzése utá egy oly A mátrixot kpuk, melyek p p ( k) eleme x, vgyis egy legfeljebb p -ed fokú poliom Eek poliomk k 0 ij behelyettesítési értéke bármely x eseté 0, tehát poliom együtthtói mid 0- ( vl egyelők Így k ) ij 0, k 0, p, i, m, j, m, tehát A 0, k 0, p p q ij k m, ( ) k j Megjegyzés H Ak x Bjx, x eseté A, B M,, k j m k 0 j 0 k 0, p, j 0, q, kkor p q és A B, k 0,p k k
78 Lieáris egyeletredszerek megoldás 9 Gykorltok és feldtok I Számítsd ki következő determiásokt: ) d) g) x log b * ; b), b, + \{} ; c) x + log 7 9 5 4 0 6 ; e) 4 5 4 5 7 4 b 4 ; f) 5 4 Számítsd ki következő determiásokt: i + i i i hol ε hrmdredű egységgyök Bizoyítsd be, hogy bc c b b b b b c c c c 4 Számítsd ki i i 0 9 5 4 ; 4 7 0 0 0 ; 0 i, ε ε, ε + ε ε ε ε ε 0 b 0 0 c d 0 + ε ε ε + ε d 0 0 c b b, és ( d bc) b 0 0 c d c d 0 c d 0 0 b 0 ( + ) ( + ) b ( b + ) ( b + ) c ( c + ) ( c + ) determiást (Felvételi, 999),
Lieáris egyeletredszerek megoldás 79 5 Számítsd ki következő determiásokt: x x x x x x b x x 0 c b ) x ; b) x x c x ; c) b c 0 x x x x d c b 0 6 Számítsd ki következő determiásokt, h x, y,z ) x y x + y z z + y y x + z z x ; b) xy x + y x + y x + y xy x + y x + y x + y 0 ; b c c) e) x y z y z x z x y + + + ; d) yz xz xy x xy xy y y x xy xy xy y x xy xy xy y x 7 Oldd meg z x b c b b x bc x ( y z) yz ( ) y z x zx z ( x y) xy 0 c cb c x egyeletet, h,, bc 8 Számítsd ki következő determiásokt: ) cos cosb cosc cos cos b cos c cos x 0 0 cosx 0 c) 0 cosx 0 0 cosx ; b) cos x si x si x ; ; si x cos x si + six x
80 Lieáris egyeletredszerek megoldás 9 Számítsd ki 0 b c 0 d e b d 0 f c e f determiást, h,,,,, bcd ef (Felvételi, 998) 0 Oldd meg ( x ) 0 egyeletet, h 0 x x x x x x ( ) x + x x x (Érettségi jvslt, 999) Fejezd ki r függvéyébe x x x x 4 x x x x 4 x x x x 4 determiást, h x, x, x, x4 egy r álldó külöbségű számti hldváy egymásutái tgji (Felvételi, 995) Számítsd ki x x x x x x x x x,,x + x + 7 0 determiás értékét, h x x z x x egyelet gyökei Számítsd ki x x x x x x x x x (Felvételi, 999) determiás értékét,, bc függvéyébe, h x, x, x z x + x + bx + c 0 egyelet gyökei (Felvételi, 995) 4 Számítsd ki x x x x x x determiást, h x, x,x z x + px + q 0 egyelet gyökei
Lieáris egyeletredszerek megoldás 8 5 Bizoyítsd be, hogy h + b + c (,, bc ), kkor z b c A c b b c mátrix determiásák bszolút értéke em gyobb mit 6 Htározd meg zokt z m értékeket, melyekre x x x x 0 x m x + m x egyeletek v egy dupl gyöke (Felvételi, 998) 7 Háyszoros gyöke z x szám P( x ) x x x 4 4 9 6 poliomk (Felvételi, 998) 8 Számítsd ki -ed redű determiást (Felvételi, 995) 9 Számítsd ki következő determiásokt: 0 ) 0 0 ; b) ; 0
8 Lieáris egyeletredszerek megoldás!!!! k C C C!!!! k C+ C+ C c)!!!! ; d) k C C C!!!! 0 Számítsd ki + + + + k + k + k + determiást Htározd meg z m prméter értékeit, melyekre z x A x x m mátrix ivertálhtó mide x eseté (Felvételi, 998) Számítsd ki következő mátrixok iverzét (h létezik): 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) A ; b) A ; c) A 0 0 4 Számítsd ki következő mátrixok iverzét: 0 0 0 0 ) 0 ; b) 0 ; c) 0 0 0 0 0 0 0 4 Adottk z 6 9 8 A 4 és B 0 6 4 mátrixok Oldd meg z XA B egyeletet (Felvételi, 999)
Lieáris egyeletredszerek megoldás 8 5 Oldd meg következő egyeleteket: 6 8 4 5 4 0 0 ) X 7 5 ; b) X 0 0 6 7 8 5 0 0 0 0 7 4 6 Adottk z A, B 0 9 5 és C mátrixok ) Bizoyítsd be, hogy AC CB b) Számítsd ki B -t, h (Felvételi, 998) 7 Oldd meg következő mátrixegyeletet: 0 0 0 0 X 0 0 0 0 0 0 0 0 8 Oldd meg z [ x] + [ y] + [ z] [ x] [ y] [ z] [ x] + 4[ y] + 5[ z] 8 [ x] + 5[ y] + 6[ z] 0 egyeletredszert, hol [ ] z szám egész részét jelöli (Felvételi, 998) 9 Oldd meg z x + y + z x + εy + ε z b x + ε y + εz c egyeletredszert, hol,, bc és ε hrmdredű egységgyök (Felvételi, 998) 0 Oldd meg z x + by + cz 0 bcx + cy + bz 0 x + y + z egyeletredszert, h b c Htározd meg z m prméter értékeit úgy, hogy z x + y + z x + y + mz x + 4y + mz 4 egyeletredszerek egyetle megoldás legye, és oldd is meg ebbe z esetbe redszert (Felvételi, 999)
84 Lieáris egyeletredszerek megoldás Tárgyld z ( + λ) x + y + z 0 x + ( + λ) y + z λ x + y + ( + λ) z λ egyeletredszert λ prméter függvéyébe (Felvételi, 999) Oldd meg és tárgyld z mx + y + z 0 x + my + z 0 x + y + mz 0 x + y + z egyeletredszert (Felvételi, 999) 4 Oldd meg z x + y + z + t x + by + cz + dt m x+ by+ cz+ dt m x+ by+ cz+ dt m egyeletredszert, h,,, bcd egymástól külöböző számok x + y + z + 0 5 Oldd meg z x + by + b z + b 0 egyeletredszert, h b c x + cy + c z + c 0 6 Htározd meg z x y z + + ( ) + α + α b + α x y z + + ( + β) + β b + β x y z + + ( + γ) + γ b + γ redszer megoldásit, h αβ,,γ külöböző számok és törtek létezek