V. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL

86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B ) potosa aor egyelő P(A B) -vel, ha A B vagy B A; c) P( A) P( B) = P( A B) A racoáls számo halmazá értelmezzü az r = (,, G) relácót, ahol G = {( x, y) x, y, x y } Bzoyítsd be, hogy az r relácó egy evvaleca relácó és az r szert evvaleca osztályo /r halmaza bjetíve leépezhető a [,) 0 tervallumra Az E = {,, 05,,,,,, } halmazo értelmezzü a ρ relácót a övetező összefüggéssel: xρy x + y x 5y + 8 = 0 Határozd meg a relácó grafoját, az x = elem szert metszetét és taulmáyozd a reflexvtást a szmmetrát és a traztvtást Határozd meg az a paraméter értéét úgy, hogy a valós számo halmazá értelmezett xρ y x x = y ay, xy, relácó evvaleca relácó legye Határozd meg ebbe az esetbe az evvaleca osztályoat s 5 Háy evvaleca relácó értelmezhető egy elemű halmazo? 6 Háy teljes redezés értelmezhető egy elemű halmazo? 7 Bzoyítsd be, hogy ha f : egy függvéy, aor a ρ = ( G,, ), G = {( x, y) f( x) = f( y )} relácó egy evvaleca relácó 8 Az E = {,,, abcd} halmaz részhalmaza értelmezzü a övetező relácót: XρY X A= Y A, XY, P ( E), ahol A= {,} a b Evvaleca relácó-e ez a relácó és ha az, aor határozd meg az evvaleca osztályoat Mt állíthatsz tetszőleges E és A E eseté? 9 Az X = (,) 0 halmazo értelmezzü a ρ = ( XXG,, ) relácót a övetező x x összefüggéssel: G =, X X x + y = x + y, x y y x Bzoyítsd be, hogy a ρ relácó egy redezés az X halmazo! 0 Számítsd az X = {,, } halmazo értelmezett ρ = ( XXG,, ) és τ = ( XXH,, ) relácó összetevését, ahol G = {(, ),(, )} és H = {(, ),(, )} Igazold, hogy a ét relácó szmmetrus de az összetett relácó em szmmetrus Számítsd az X = {,, } halmazo értelmezett ρ = ( XXG,, ) és τ = ( XXH,, ) relácó összetevését, ahol G = {(, ),(, ),(, )} és H = {(, ),(, ),(, )} Bzoyítsd be, hogy a ét relácó traztív de az összetett relácó em traztív

Összefoglaló gyaorlato és feladato 87 Az E = {,, } és F = {,, } halmazoo értelmezzü a ρ = ( EFG,, ) relácót, ahol G = {(, ),(, ),(, ),(, ),(, )} Írd fel a relácót majd számítsd a ρ ρ és ρ ρ relácóat Igaz-e a övetező mplácó, ha ρτ, és φ relácó az E halmazo: [ ρ φ τ φ] [ ρ τ] Az természetes számo halmazá értelmezzü a övetező relácót: m xρy m : x = y, xy, Bzoyítsd be, hogy a ρ relácó egy evvaleca relácó és határozd meg az evvaleca osztályoat! 5 Bzoyítsd be, hogy ha M és N ét halmaz és f : M N egy függvéy, aor a övetező állításo egyeértéűe: a) ab, M eseté a b f() a f() b ; b) L halmaz és gh, : L M ülöböző függvéye eseté f g f h ; c) Ha A M és A, aor fm ( \ A) N\ fa ( ) 6 Bzoyítsd be, hogy ha M és N ét halmaz és f : N M egy függvéy, aor a övetező állításo egyeértéűe: a) b M eseté a N úgy, hogy fa () = b; b) L halmaz és gh, : M Lülöböző függvéye eseté g f h f ; c) Ha A N és A, aor M \ f ( A) f( N \ A) 7 Bzoyítsd be, hogy tetszőleges A és B halmazo és f : A B függvéy eseté létez olya g : B A függvéy, amelyre f = f g f 8 Bzoyítsd be, hogy ha A egy tetszőleges halmaz és P( A) az A részhalmazaa halmaza, aor em létez f : A P( A) ρ szürjetív függvéy 9 Ha ( X, ) egy redezett halmaz és Y X, aor az s X elemet az Y halmaz szuprémumáa evezzü, ha y s, y Y és s X eseté, ha y s, y Y, aor s s Vzsgáld meg, hogy az (, ) redezett halmaz mlye részhalmazaa létez szuprémuma (x y z : y= z x) 0 Bzoyítsd be, hogy ha ( X, ) egy olya redezett halmaz, hogy mde részhalmazáa létez szuprémuma és f : X X egy övevő függvéy (ha x y, aor fx ( ) fy ( )), aor létez x X úgy, hogy f ( x ) 5 Művelete, csoporto 0 = x 0 0 5 Bzoyítsd be, hogy ha a ( G, ) csoport xy, G elemere x = y =e, aor xy = yx és xy = y x Háy ülöböző módo tölthetjü az alább művelettáblát, ha az E halmazo egy asszocatív műveletet aaru értelmez? = {,, 0}

88 Összefoglaló gyaorlato és feladato * 0 0 0 0 0 xy Bzoyítsd be, hogy a (, ) halmazo az x y : =, xy, (,) x y összefüggéssel értelmezett művelet jól értelmezett és asszocatív Taulmáyozd a semleges elem létezését és határozd meg az vertálható elemeet Taulmáyozd az asszocatvtását és a semleges elem létezését a G =, xy + halmazo értelmezett x y : =, xy, G ( x + y + ) műveletre xy+ xy x, x 0 5 A valós számo halmazá értelmezzü az x y : = y, x = 0 műveletet Va-e semleges eleme? 6 A G = {( a, b) a 0} halmazo értelmezzü a : G G G műveletet az ( a, b) (, c d): = ( ac, ad + b ), (,),(, ab cd) G egyelőséggel a) Bzoyítsd be, hogy ( G, ) em ommutatív csoport; b) Bzoyítsd be, hogy a H = {( a, b) G b = 0} halmaz részcsoportja a ( G, ) csoporta; c) Bzoyítsd be, hogy a ( H, ) csoport zomorf az ( *, ) csoporttal xy x y + 6 7 Bzoyítsd be, hogy a G = (, ) halmazo az x y : =, xy x y + 5 xy, G művelet egy csoportstrutúrát határoz meg Bzoyítsd be, hogy a ( G, ) csoport zomorf az ( *, ) és az (,+ ) csoporttal! + 8 Bzoyítsd be, hogy mde égyelemű csoport zomorf a Kle csoporttal vagy a (,+ csoporttal! ) 9 Adj példát a lehető legevesebb elemet tartalmazó em ommutatív csoportra 0 Bzoyítsd be, hogy a sí azo forgatása és (pot lletve egyees szert) szmmetrá, amelye egy rögzített égyzetet ömagába vsze át egy 8 elemű csoportot alota Egy ocáa szmmetrategelye va: a égy testátló, három olya egyees, amely szembefevő lapo özéppotjat öt össze és hat olya egyees, amely a szembefevő éle felezőpotjat öt össze Bzoyítsd be, hogy a szmmetrategelye szert szmmetrá és azo forgatáso, amelye a ocát ömagába vsz át, egy elemű csoportot alota Háy ülöböző módo szíezhetjü egy oca csúcsat szí segítségével (mde csúcs szíét tetszőlegese megválaszthatju) ha a forgatással egymásba vhető szíezése em számítaa ülöbözőe?

Összefoglaló gyaorlato és feladato 89 A metá (CH ) moleula szé atomja egy oca özéppotjába és a hdrogé atomo a oca égy csúcsába helyezede el úgy, hogy ét szembefevő lapo egymásra merőleges átlóat határozzaa meg Bzoyítsd be, hogy a oca szmmetrá és forgása, amelye a metámoleulát ömagába vsz át, egy elemű csoportot alota Számítsd a σ összeget, ahol σ a σ S permutácó verzóa száma σ S (az (, j) pár verzót alot, ha < j és σ () > σ( j) ) ( ) 5 Bzoyítsd be, hogy bármely m természetes szám eseté létez S -be olya permutácó, amelybe potosa m darab verzó va 6 Mlye hatváyra ell felemel a 5 6 7 8 9 0 σ = 9 6 8 0 7 5 permutácót ahhoz, hogy detus permutácót apju? 7 Oldd meg az S -ba a övetező egyeleteet: 6 5 6 a) σ 5 6 = 6 5 ; b) σ = 6 5 8 Igaz-e, hogy ha E egy elemű halmaz, aor ( ( E), ) (, + ) P? 9 Bzoyítsd be, hogy ha egy véges csoportba x = e, x G, aor a csoport elemee száma -e természetes tevőjű hatváya 0 Az x + y = a egyeletű ör potjaa C halmazá értelmezzü a műveletet a rögzített A C pot segítségével: M A = A M = M, M C ; Ha M, M C \{ A} ét ülöböző pot, aor M M az a pot, ahol az A - át az MM szaaszhoz húzott párhuzamos másodszor metsz a ört; Ha M C \{ A}, aor M M az a pot, ahol az A - át az M -be húzott értővel párhuzamos egyees másodszor metsz a ört Bzoyítsd be, hogy az így értelmezett művelettel a ör potja csoportot alota és ez a csoport zomorf az egységmodulusú omplex számo multplatív csoportjával (Felvétel feladat, Temesvár) 5 Gyűrű és teste Bzoyítsd be, hogy az R = (, 0 ) halmaz az x y : = xy és xy, > 0 műveleteel egy testet alot, amely zomorf az (, +, ) testtel {,,, }, +, Bzoyítsd be, hogy ha a ( 0ab ) test, aor a) ab = ba = ; b) a = b, a =, a + a + = 0 : = x l y x y,

90 Összefoglaló gyaorlato és feladato Mde a eseté tetjü az ax, x fa :, fa ( x) = 0, x \ függvéyt Bzoyítsd be, hogy az F = { f a a } halmaz a függvéye összeadásával és összetevésével test Bzoyítsd be, hogy a gyűrű értelmezésébe az első művelet ommutatvtása gazolható a több axóma segítségével 5 Bzoyítsd be, hogy ha az ( I, +,) gyűrűbe xy, és xy vertálható eleme, aor az x y és ( x y ) x eleme s vertálható és (( ) ) x x y = xyx x 6 Oldd meg 6 -ba a övetező egyeleteet és egyeletredszert: a) x + y = ; b) x x 0 ; c) + + x + x + y = = x + y = 0 7 Oldd meg -ba az x + y = 8 egyeletredszert x + y = 8 Háy megoldása va 5 -be az x = 0 egyelete? Hát -be, ahol p p prímszám? 9 Bzoyítsd be, hogy egy ommutatív ( K, +, ) testbe egy másodfoú egyelete legtöbb ét megoldása va 0 Igazold, hogy az halmaz a övetező műveleteel em ommutatív testet alot: (,,, abcd) + ( a, b, c, d ): = ( a+ a, b+ b, c+ c, d+ d ); a b c d b a d c ( abcd,,, ) ( a, b, c, d ): = ( abcd,,, ) c d a b, d c b a (,,, a b c d),( a, b, c, d ) Ezt a testet evezzü a vateró testée a b c d b a d c Bzoyítsd be, hogy a H = c d a b a,,, b c d halmaz a mátrxo d c b a összeadásával és szorzásával em ommutatív testet alot és a test zomorf a vateró testével Határozd meg ]-be az f = X + X + X + X + és 5 [X 5 5 g = X + X + polomo legsebb özös többszörösét, legagyobb özös osztóját és oldd meg az fx ( ) = gx ( ) egyeletet

Összefoglaló gyaorlato és feladato 9 Bzoyítsd be, hogy a vateró testébe az x + = 0 egyelete végtele so megoldása va * Az ( R, +, ) gyűrű egy x elemét lpotese evezü ha létez úgy, hogy x = 0 Bzoyítsd be, hogy -be potosa aor léteze ullától ülöböző lpotes eleme, ha osztható valamlye -től ülöböző teljes égyzettel 5 Bzoyítsd be, hogy -be a H = {, 0 5} halmaz egy -vel zomorf gyűrű az 0 duált műveleteel, de em részgyűrűje -e 0 6 Határozd meg a gyűrű összes részgyűrűjét! x + y y 7 Bzoyítsd be, hogy a C = y x y, x y halmaz a mátrxo összeadásával és szorzásával testet alot és ez a test zomorf a { a b a b } [ 0] = + 0, testtel 8 Határozd meg a (, +, ) gyűrű részgyűrűt! 9 Bzoyítsd be, hogy ha ( K, +, ) egy test és K K, =, valód részteste ( K, +, )-a ( K K, =, ), aor K K K K 0 Bzoyítsd be, hogy ha ( Q, +, ), =, részteste a (, +, ) teste és * Q =, aor létez olya {,,, }, amelyre Q = ( rögzített) = 5 Vetortere Vzsgáld meg a övetező vetorredszer leárs függetleségét -be: v = ( 0,,, ), v = (, 00,, ), v = (,,, 7) és v = (,, 5, ) Az m paraméter mlye értéere alota bázst -be a övetező vetoro: v = (,, m ), v = ( 0,, m) és v = (, m, ), v, v A övetező v v vetorredszere eseté gaz-e a a) v = (, ), (,) ; b) (, v = v = ), v = (, ) = egyelőség? x x Vzsgáld meg az f :, f(( x, x, x, x )) = 5 x leárs 0 5 x függvéy jetvtását, szürjetvtását, határozd meg a éptér dmezóját és egy bázsát 5 Bzoyítsd be, hogy a B = {(,, ), (,, ), (,, 0)} redszer egy bázsa -e és írd fel az áttérés mátrxot a aous bázsból a B bázsba! 6 Írd fel a B és B bázso özött áttérés mátrxot, ha B = {(,, ), (,, ), (,, 0)} és B = {(, 0, ), (,, 0 ), (,, 0)} 7 Fejezd a v = (,, ) vetor oordátát az előbb B és B bázsoba!

9 Összefoglaló gyaorlato és feladato 8 Bzoyítsd be, hogy az f ( a + ax + a x ) = ( a a, a a, a + a ) függvéy 0 0 0 egy leárs térzomorfzmus ( [ x] = { f [ x] grf } ) Írd fel ee a leépezése a mátrxát a aous bázsora voatozóa 9 A ( V, +,, ) vetortérbe adotta a v, v, v,, v vetoro és w = a v, ha j {,,,, m} Cseréljü a v vetort a w vetorral (az előbb egyelősége jobb oldalá e szerepelje többet a v és a bal oldalo a w ) és adju valamlye módszert az új egyelősége együtthatóa geerálására! 0 Igazold, hogy ha az (, +, vetortérbe B = { v, v,, v } bázs, aor szereszthető olya B = { u, u,, u} bázs, amelyre teljesüle az alább tulajdoságo: a) v, v,, v = u, u,, u, =, ; ) 0, j b) u u =,, ahol x x és y y eseté j = j = (, x,, x ) = (, y,, y ) x y = = Teszt x y (salárszorzat -be) 55 Teszte Egy szabályos tízszög csúcsaba elhelyezzü az,, 7, 0,, 6, 9,, 5 és 8 számoat, valamlye sorredbe Tételezzü fel, hogy lerajzoltu az összes lehetséges sorrede megfelelő tízszöget (a számoal együtt) Mde lye tízszög belsejébe beírju a legagyobb olya összeg értéét, amelyet három szomszédos csúcsába írt szám összeadásával yerhetü Határozd meg a tízszöge belsejébe található számo özül a legsebbet! Egy sabajoságra hat résztvevő jeletezett (A, B, C, a, b és c ) A bajoságo mde résztvevő ell játsszo mde más résztvevővel, és mde résztvevő egy ap csa egy játszmát játszhat Szervezd meg a játszmáat úgy, hogy a bajoság öt ap alatt véget érje Segítségéppe az első ap játszmát bejelöltü az alább táblázatba: A B C a b c A I B I C I a b c (az első ap A játsz a -val, B játsz b -vel és C játsz c -vel) Egy asztalo darab pohár áll Egy lépésbe megfordítu poharat Elérhetjü-e, hogy az eredet helyzetéhez vszoyítva mde pohár fordítva álljo, ha és 6? l l j = j

Összefoglaló gyaorlato és feladato 9 Egy ere asztal örül lovag ül ( ) Mde percbe egy tetszőlegese választott lovag ét szomszédja helyet cserélhet egymással Lehetséges-e, hogy egy dő utá mde lovag jobboldal szomszédja éppe az, a eredetleg a bal oldal szomszédja volt? 5 Rég smerősöm, Müchause báró, a övetező törtéetet mesélte: Egy -es satábla bal alsó sarába levő -es égyzet mde mezőjére egy-egy bábut állítottam Ezutá a bábuat azo szabály szert mozgattam, hogy bármely A bábu átugorhat egy más B bábut, és eor az A bábu új helyét a B szert szmmetrával apju meg (az ábrá egy 8 8 -as táblá mutattu egy lye lépést) Persze csa aor léphet de az A bábu, ha ez a mező még em foglalt A báró büszé újságolta: Ilye módo az összes bábut a jobb felső saro - es égyzetébe vezettem Ovetleedő érdésemre: S m va aor, ha a tábla -es és a bal alsó sarába levő -as égyzet mde mezőjére állítu egy-egy bábut? azt válaszolta, hogy természetese aor s felvezethetjü a bábuat a jobb felső -as saroba Igazat modott-e a báró? C A B 6 A { 0, } halmazból ette felváltva választaa egy-egy elemet úgy, hogy mde lépés utá az addg választása sorozatából e lehesse vág ét azoos, hosszúságú szevecát (az összes választáso sorozatát értve) Ke va yerő stratégája, ha az veszít a em tud lép? ( + ) 7 Elhelyeztü sorba darab pézérmét, háromszög alaba, írást tartalmazó oldalával felfele, az ábra szert: = = Egyszerre megfordíthatu három ölcsööse szomszédos érmét (pl a fet ábrá a vlágos érméet) Ha = 000, elérhető-e, hogy mde érme az írást tartalmazó oldalával lefele legye? 8 Határozd meg azoat az * \ {, } számoat, amelyere egy tetszőleges oldalú ovex soszöget fel lehet bota, egymást em metsző átló segítségével háromszögere úgy, hogy mde csúcsból páros számú átló duljo!

9 Összefoglaló gyaorlato és feladato 9 Egy háromszög mde oldalát osszu fel p egyelő részre, és az osztópotoat össü össze a szembe fevő csúccsal Ha p prímszám, határozd meg a háromszög belsejébe eletező dszjut sírésze maxmáls számát! 0 Az ABC háromszög mde oldalá vegyü fel potot Az AB és AC oldalo felvett potoat össü össze a BC oldalo felvett potoal Ha az így apott szaaszo özt cs három összefutó szaasz, aor határozzu meg a háromszög belsejébe eletező metszéspoto számát Egy ( ) ( ) -es tábla özépső mezejé egy batérum áll Mde másodpercbe a létező batérumo mdegye vagy átöltöz egy szomszédos mezőre, vagy helybe marad és ettéosztód Bzoyítsd be, hogy eseté + másodperc alatt elérhető az, hogy a tábla mde mezejé legye egy batérum (Két mezőt aor evezü szomszédosa, ha va egy özös oldalu) a) Bzoyítsd be, hogy a P [ X ] polomhoz redelt polomfüggvéy potosa aor páros, ha P -be a páratla tevőjű tago együtthatója 0 b) Képezzü az összes {,,, } ε + alaú számot, ahol { } = ε mde eseté Bzoyítsd be, hogy az így apott szám szorzata term észetes szám! Teszt Bzoyítsd be, hogy 5 + 5 + 5 + 5 + 5 5 Határozd meg az a b + c fejezés mmumát és maxmumát, ha a + b + c = Háy megoldása va az x x + x = egyelete ( x )? x Lehete-e a, 7, számo egy számta vagy mérta haladváy (em feltétleül egymás utá) tagja? ( ) 5 Bzoyítsd be, hogy p!! + = = C p p! ( + p)! p+ 6 Számítsd a C + = 0 C ülöbséget! = 0 7 Oldd meg a log a ( a + ) = logx ( x + ) egyeletet ( a > 0, a ) 8 Bzoyítsd be, hogy ha x + y + z = a és + + = ( a 0), aor az x, x y z a y és z özül legalább az egy egyelő a -val 8 9 Határozd meg az ( x + x x fejezésbe x együtthatóját! )

Összefoglaló gyaorlato és feladato 95 0 Az x ax ax + = egyelet gyöet jelöljü x, x, x, x -gyel 0 Bzoyítsd be, hogy x, =,, ha a és a < Számítsd a gyöö moduluszát, ha a és a < Teszt Bzoyítsd be, hogy ha x > 0, aor x + x Bzoyítsd be, hogy ( + )( + )( + 5) A poztív valós számo halmazá oldd meg az x + y + z = xyz + + = x + y + z + egyeletredszert! Jelöljü a, b, c -vel a P( X ) = X + X + polom gyöet a b c a) Számítsd a = c a b determást! b c a b) Bzoyítsd be, hogy a + b + c, 0 0 5 Oldd meg az X = egyeletet! ax + y + z = 6 Oldd meg és tárgyald az x + ay + z = b ( a + ) x + y + az = 0 (a, b )! 7 Határozd meg az A = q p 0 0 mátrx ragját p és q függvéyébe! 8 Adott az A = mátrx 0 0 a) Bzoyítsd be, hogy A vertálható és A+ A = I egyeletredszert

96 Összefoglaló gyaorlato és feladato * b) Bzoyítsd be, hogy A + A = I, c) Bzoyítsd be, hogy az = { A+ li l } ( ( ), +, M ) gyűrűe L, halmaz zárt része az d) Vaa-e ( L, +, ) -ba zérusosztó? (Érettség javaslat, 00) 9 Bzoyítsd be, hogy ha N egy pot az F fóuszú parabola vezéregyeesé, aor azfn szaasz felezőmerőlegese ért a parabolát x y 0 Az + = egyeletű ellpszs P( x,y) potjáa az Ox és Oy tegelyre a b eső vetületét jelöljü P -gyel és P -vel Bzoyítsd be, hogy ha a P -be húzott értő az Ox és Oy tegelyt T -be és T -be metsz, aor Teszt OP OT = a és OP OT = b * Rögzített t eseté és bármely a -ra értelmezzü az fa :, ax + t at, x < t f ( ) x t a x = + t, x t a a függvéyeet Bzoyítsd be, hogy az F = f a ( 0, ) halmaz a függvéye összetételével csoportot alot! Az halmazo értelmezzü az { } a x y : = x + y + y + x, műveletet a) Bzoyítsd be, hogy (, ) csoport és (, ) (, + ) b) Számítsd x = x x x -et Bzoyítsd be, hogy a G = { f :(, ) (, ) ( ) ( ) f x = + x, } x, y halmaz a függvéye összetevésével (, +) -szal zomorf csoportot alot (Érettség, 995) Adotta az x y : = ax + by és x y : = xy x y + c művelete -e Határozd meg a, b, c értéét úgy, hogy az (,, ) strutúra test legye, majd gazold, hogy ez a test zomorf az (, +, ) testtel 5 Bzoyítsd be, hogy egy véges test em zérus elemee szorzata 6 Bzoyítsd be, hogy egy legalább ételemű csoport em írható fel ét valód részcsoportja egyesítéseét!

Összefoglaló gyaorlato és feladato 97 7 Rögzített * \ { } eseté tetjü az A = { x (, x) } halmazt (( ab, ) az a és b egész számo legagyobb özös osztója) M a szüséges és elégséges feltétele aa, hogy az A halmaz a zárt része legye az összeadásra ézve? 8 A ( G, ) csoportba létez * \ { } úgy, hogy xy = yx x y = y x + + + + x y = y x + + + +, x, y G Bzoyítsd be, hogy ( G, ) Ábel-féle csoport 9 Igaz-e, hogy mde 5 elemű gyűrű ommutatív? 0 Igaz-e, hogy mde dmezós vetortér zomorf -el? 5 Teszt A K = halmazo értelmezzü az ( ab, ) + ( cd, ): = ( a+ cb, + d), ( ab, ),( cd, ) K ( a, b) ( c, d) : = ( ac bd, ad + bc + bd), ( ab, ),( cd, ) K műveleteet Bzoyítsd be, hogy ( K, +, ) ommutatív test Bzoyítsd be, hogy az x * y : = xy, x, y > 0 l : y =, x, y > 0 x y x műveleteel az A = (0, ) halmaz test és ( A,*, ) (, +, ) Adott az M = Ax = x 0 x halmaz a) Bzoyítsd be, hogy ( M, ) Ábel-féle csoport b) Számítsd az [ Ax ( )] mátrxot! x 0 x ( ) 0 0 0 x \ { } Az -e értelmezzü az x * y : = xy x y α, x, y műveletet a) Határozd meg α értéét úgy, hogy a G = [, ) zárt része legye -e * -ra ézve b) Mlye α eseté csoport a ([, ),*) strutúra? 5 Háy elem va az f, f ( x) = x + x függvéy éptartomáyába, ha p prímszám? : p p

98 Összefoglaló gyaorlato és feladato 6 Haszálhatju-e a Horer sémát [ X ]-be az X a elsőfoú polommal való osztás háyados és maradé meghatározására? 7 Az M halmazo értelmeztü a * műveletet Bzoyítsd be, hogy ha létez e M úgy, hogy x * e = x, x M és ( x * y) * z = ( z * y) * x, x, y, z M, aor ( M,* ) ommutatív mood 8 A ( G, ) csoportba ( xy) = y x, ( ) + + xy y x + = és { ( ) ( ) ( ) ( ) G = f :,, f x = + x, }, x, y G eseté Bzoyítsd be, hogy ( G, ) ommutatív (Radó Ferec Emléversey, 00) 9 Igaz-e, hogy egy gyűrűbe mde 0 -tól ülöböző elem zérusosztó vagy egység? 0 Izomorf-e az (, + ) *, csoporttal? 6 Teszt csoport az ( ) + Bzoyítsd be, hogy a x + y y H = 7y x y x 0, x, y, x = y halmaz a mátrxo szorzására ézve csoportot alot Adj példát olya P [ X ] polomra, amelye több gyöe va, mt amey a foszáma Az A = [ 0, ) halmazo értelmezzü az x + y x * y : = y +, x, y A műveletet 6 (Érettség javaslat, 00) a) Bzoyítsd be, hogy a művelet asszocatív b) Határozd meg a * művelet semleges elemét c) Bzoyítsd be, hogy a [ 0, ) tervallum zárt a * műveletre ézve Értelmezzü -e az x y : = xy + ax + by + c, x, y (abc,, ) műveletet a) Határozd meg a, b és c értéét úgy, hogy az M = (, ) halmaz a művelettel csoportot alosso b) Bzoyítsd be, hogy az előbb a, b, c értée eseté ( M, ) (, + ) 5 Határozd meg a d = { a + b d a, b } automorfzmusát! (d rögzített) gyűrű összes

Összefoglaló gyaorlato és feladato 99 5 6 Határozd meg az f = x + x + x + polom osztás háyadosát és maradéát a g = x + x + polommal [ ] -be a b ( a ) 7 Bzoyítsd be, hogy ha a, b aor ( ), b, =, ahol ( xy, ) az x, y számo legagyobb özös osztója 8 Az ( A, +, ) gyűrűbe x = x, bármely x A eseté Bzoyítsd be, hogy 5 X x = x, bármely x A eseté 9 Létez-e olya elemű csoport, amely em zomorf -tel? 7 7 0 Izomorfa-e az ( [ X ], +, ) és ( [ X ], +, ) polomgyűrű? 7 Teszt x + y + z = -be oldd meg a x y z 0 egyeletredszert 5 + = x + y + z = Bzoyítsd be, hogy ha a ( H, + ) részcsoportja (, + ) -a és ( H, + ) (, + ), aor f (Érettség, 00) : p p Asszocatív-e -e az x y : = xy + x, x, y művelet? A halmazo értelmezzü az x y : = xy + a( x + y) + b, x, y műveletet ( ab, ) a) M a szüséges és elégséges feltétele aa, hogy (, ) ommutatív mood legye? b) Ha (, ) mood határozzu meg az vertálható elemeet! a b 5 Mlye d eseté test a H, d = db a a b halmaz, a mátrxo összeadására és szorzására ézve? 6 Határozd meg a (, +, ) test automorfzmusat 7 Az M halmazo értelmeztü egy műveletet, amely a övetező tulajdoságoal redelez x = x, x M ( x y) z = ( y z) x, x, y, z M Bzoyítsd be, hogy a művelet asszocatív és ommutatív 8 Bzoyítsd be, hogy ha az A gyűrűbe 0 és a, b A, aor a övetező jeletése egyeértéűe: ab a = a és ba b = ; ab = ba = ; ab a = a és b az egyetle lye eleme A -a

00 Összefoglaló gyaorlato és feladato 9 Létez-e olya egyedfoú polom felett, amely felírható elsőfoú polom szorzataét úgy, hogy az elsőfoú polomo özül egye se legye gyöe, de a egyedfoúa legye? 0 Izomorf-e az (, + ) csoport a (, + ) csoporttal? 8 Teszt Oldd meg a x x + = 0 egyeletet, és -be 5 6 Az halmazo értelmezzü az x y : = xy x y + műveletet bármely x, y eseté a) Bzoyítsd be, hogy a művelet asszocatív b) Zárt része-e \ -e a műveletre ézve? ) A G =, halmazo értelmezzü az 6 (Érettség javaslat, 00) x y ( )( műveletet bármely x, y G eseté a) Bzoyítsd be, hogy ( G, ) csoport b) Számítsd x x x -et : = xy x y A halmazo értelmezzü az x y : = axy + b( x + y) + c műveletet ( abc,, ) a) Bzoyítsd be, hogy a művelet potosa aor asszocatív, ha b = b +ac; b) Bzoyítsd be, hogy a műveletre ézve potosa aor létez semleges elem, ha b = b + ac és b c (Felvétel, 99) 5 Botsd rreducbls téyező szorzatára [ X ] -be az ( ) p f X = X +a polomot, ha p prímszám 6 Határozd meg az (, +, ) test automorfzmusat! 7 A ( G, ) csoportba létez a G úgy, hogy axa = x bármely x G eseté Bzoyítsd be, hogy ( G, ) ommutatív 8 Az ( A, +, ) em ommutatív gyűrűbe az ab elem vertálható Bzoyítsd be, hogy az ba s vertálható! 9 Igaz-e, hogy -be az egysége a Kle csoporttal zomorf csoportot alota? 0 Izomorf-e a (, + ) csoport a (, + ) csoporttal? 9 Teszt Vzsgáld meg -be a v = ( 0,,, ), v = (,,, ), v = (,,, ), v = (,,, ) vetoro leárs függetleségét, majd válassz egy maxmáls elemszámú leársa függetle részredszert p p )

Összefoglaló gyaorlato és feladato 0 Bázst alot-e -be a v = ( 0,, ), v = (,, ) és v = (,, ) vetoroból álló vetorredszer? Ha ge, határozd meg a v = ( 75,, ) vetor oordátát ebbe a bázsba Taulmáyozd az f :, x f (( x, x, x ) ) = 0 x x leárs leépezés jetvtását és szürjetvtását Ha f bjetív, aor számítsd az verzét! Határozd meg az f :, 0 x x f (( x, x, x, x ) ) = x x függvéy épterée dmezóját -be 5 Írd fel az f :, függvéyt alaba, ahol A M ( ) ((,, )) f x x x = x + x x + x x + x x x x x = f ( x) x x x A x x 6 Bzoyítsd be, hogy C ( )-be az f, g :, =, f ( x) = s x, g ( x) = cos x, x, =, függvéye leársa függetlee 7 Bzoyítsd be, hogy ha a( K, +, ) teste végtele so eleme va, aor mde K felett vetortére s végtele so eleme va 8 Bzoyítsd be, hogy ha (,,,K) egy dmezós vetortér a V (,, ) test felett, aor V elemee száma K 9 Bzoyítsd be, hogy ha ( K, +, ) egy véges test, aor létez olya K + véges p prímszám, * hogy K = p valamlye eseté 0 a) Bzoyítsd be, hogy az (, +,, ) vetortér em véges dmezós b) Bzoyítsd be, hogy létez f : addtív függvéy ( f ( x + y) = f ( x) + f ( y), x, y ), amely em leárs

0 Összefoglaló gyaorlato és feladato 0 Teszt Izomorfa-e a és csoporto? (Hely olmpa, 995) A G halmazo a asszocatív művelet redelez a övetező tulajdosággal x G x G : xx x = x Bzoyítsd be, hogy ( G, ) csoport! (Megye olmpa, 99) 5 A ( G, ) csoportba ab a = b a b, a = e és b + = e (a, b rögzített eleme G -be és rögzített természetes szám) Bzoyítsd be, hogy b 0 = e * Bzoyítsd be, hogy ha ( m, ) = ( m, ) és a ( G, ) csoportba aor xy = yx, x, y G x y = y x m m m m xy, x, y G = yx, x, y G, 5 Bzoyítsd be, hogy ha a ( G, ) csoport és az f : G G jetív morfzmus, aor ( G, ) ommutatív csoport 6 Bzoyítsd be, hogy ha az ( A, +, ) gyűrűbe ( x x ) y y( x x ) + + = + +, x, y A, f x ( ) = függvéy aor A ommutatív gyűrű (Hely olmpa, 985) 7 Bzoyítsd be, hogy ha az ( A, +, ) gyűrűbe értelmezés szert [ xy, ] : = xy yx, x, y A, aor [ x, [ y, z] ] + [ y, [ z, x] ] + [ z, [ x, y] ] = 0 (Jacob azoosság) m * 8 A ( G, ) Ábel-féle csoportba x = y =e, ahol x, y G és m, p Bzoyítsd be, hogy ( xy) = e, ahol p = [ m, ] (az m és legsebb özös többszöröse) 9 Bzoyítsd be, hogy mde csoport zomorf egy bjetív függvéyeből alotott csoporttal (Cayley tétele) 0 Bzoyítsd be, hogy mde véges, zérusosztó metes gyűrű test x