Azoos évleges értékű, htelesített súlyokból alkotott csoportok együttes mérés bzoytalasága Zeleka Zoltá* Több mérés feladatál alkalmazak súlyokat. Sokszor ezek em egyekét, haem külöböző társításba kombácókba kerülek felhaszálásra. Erre jó példa agyobb mérlegek kalbrálása, htelesítése. Téy, hogy a súlyok korreláltak ( értékük em teljese függetle egymástól), de a korrelácó mértékéről általába cs formácója az átlagos felhaszálóak. Iformácó háyába teljes korrelácó feltételezését javasolják a súlyok között []. Ez természetese övel a becsült mérés bzoytalaságot. Eek csökketésére az alább feltevések valamelykével szoktak él: Egy helye kalbrált agy évleges tömegű súlyok között jeletős a korrelácó, ezért az ajálást követ kell. Külöböző évleges értékű súlyok eseté a korrelácó elhayagolható. Ks évleges értékű tömegek eseté a korrelácó elhayagolható. A fet felvetések alkalmazása azoba bzoytala. Mdekbe felmerül, hogy mt jelet a agy évleges tömeg, mkortól lehet ks évleges tömegről beszél, valamt mhez képest lehet elhayagol a korrelácó hatását. A három felvetés közül jele ckkbe az elsőt vzsgáljuk meg és bzoyítjuk, hogy htelesített súlyok eseté az ajálásál ksebb eredő mérés bzoytalaság s jogosa, műszaklag megalapozotta alkalmazható. Példa a kérdés szemléltetésére Egy kalbráló laboratórum kalbrál kívá egy 500 kg-os em automatkus mérleget. Ehhez 5 darab, egyekét 0 kg-os M potosság osztályú súlyt haszál. Ezek mérés bzoytalasága egyekét, bzoyítváyuk szert gramm. Ha feltételezheték, hogy a súlyok htelesítésekor az egyes súlyok mérése között em volt kölcsöhatás (korrelácó), máskét kfejezve, em álltak elő azoos körülméyek, akkor a 5 súly együttes bzoytalasága 5 gramm lee. Mvel em smert a korrelácó mértéke, az ajálást követve a súlyok együttes bzoytalaságát 5 grammak, azaz ötször agyobbak kell becsül. Alapvető smeretek, feltételezések a modell felállításához. A súlyokat potosság osztályokba sorolják. Mde évleges értékhez és potosság osztályhoz (E M 3 ) tartozk egy legagyobb megegedett hba érték (. táblázat).. Gyakorlatba eltérő potosság osztályú súlyokat együttese em haszálak, ezért ezzel az esettel em érdemes foglalkoz. Jellemzőe a súlyokat mg és 0 kg között készletekbe alkalmazzák, melyek legfeljebb három azoos évleges értékű tagot tartalmazak. ( ábra.) A készleteket em szokták kever, ezért a gyakorlatba 0 kg-g bezárólag em jellemző háromál több, azoos évleges értékű tag együttes alkalmazása. 3. 0 kg felett szokásos agyobb meységű, azoos évleges értékű súlyt együttese haszál. (. ábra) *Országos Mérésügy Hvatal
Névleges Legagyobb megegedett hba (δ)[mg] érték E E F F M M M 3 50 kg 5 75 50 750 500 7500 5000 0 kg 0 30 00 300 000 3000 0000 0 kg 5 5 50 50 500 500 5000 5 kg.5 7.5 5 75 50 750 500 kg.0 3.0 0 30 00 300 000 kg 0.5.5 5 5 50 50 500 00 mg 0.005 0.05 0.05 0.5 0.5.5 50 mg 0.004 0.0 0.04 0. 0.4 mg 0.00 0.006 0.00 0.06 0.0.táblázat. Legagyobb megegedett hba (htelesítés hbahatár) értéke.ábra. Súlysorozat 4. A súlyok kterjesztett mérés bzoytalasága az Országos Mérésügy Hvatal által kbocsátott bzoyítváyok szert, k= érték mellett, a htelesítés hbahatár harmada, am összhagba áll az OIML ajálással. Taulmáyozva a htelesítés eljárást, Jele számítás szempotjából léyegtele, hogy k=, vagy k= mellett hajtjuk végre azokat, ezért em számoljuk át az értéket stadard bzoytalaságra. Az egyharmados érték a megkövetelt érték a mérés bzoytalasággal szembe, amt vagy a htelesítés eljárás helyes végrehajtása szavatol, a korábba elvégzett számításokak megfelelőe, vagy kokréta kszámolják, és elleőrzk, hogy em agyobb-e az elvárt értékél. A kapott formácó mde esetbe csak ay, hogy a bzoytalaság ksebb vagy egyelő a hbahatár harmadáál.
egyértelmű, hogy a htelesítésekhez jellemzőe egy potosság osztállyal potosabb etalo súlyt alkalmazak, tehát az alkalmazott etalo súly hbahatára legfeljebb harmada aak a súlyéak, melyet htelesíteek vele. Eek következméye, hogy a htelesítéshez haszált etalo bzoytalasága közelítőleg harmada az általuk haszált súlyokéak..ábra. 0 kg-os súlyok 5. Súlyok htelesítéséél a mérés bzoytalaság több összetevőből áll (az etalo súly bzoytalasága és értékvádorlása (drftje), a felhajtóerő hatása, a mérleg leolvashatósága/felbotása, a mérés smétlőképessége, a mérleg érzékeysége). A felsoroltak közül két, vagy több azoos évértékű, azoos dőbe htelesített súly között korrelácót a htelesítésük sorá haszált (ugyaazo) etalo súly okozza. A több tag csak olya ks mértékbe okoz korrelácót a súlyok között, hogy azt elhayagoljuk 3. A mérés bzoytalaságok áttektése utá smerkedjük meg a korrelácó jellegével []. Ezt az alább két esetre számoljuk k: két azoos évleges értékű és potosság osztályú súly több azoos évleges értékű és potosság osztályú súly Mdkét példába összevetjük, m lee, ha korrelálatlaok leéek a súlyok, ha teljese korreláltak leéek, valamt az OMH által, az OIML ajálást követő eljárással htelesített súlyokra voatkozó modellt. 3 A mérleg érzékeységéből adódó bzoytalaság helyes mérlegválasztással agyo kcs, ezért elhayagolható, így az korreláltságot sem okozhat. A felhajtóerő szélsőséges esetbe okozhat csak jeletős korrelácót (például agyo alacsoy és azoos légyomás mellett htelesített azoos évértékű súlyokál, ha azok sűrűsége közel egymáshoz. Ilye eset rtka Magyarországo. Jellemzőe ez a hatás a legagyobb megegedett hba öt százalékáál em agyobb, így elhayagolható. 3
Két azoos évleges értékű és potosság osztályú súly eredő bzoytalasága A haszál kívát két súlyt (m, és m ) azoos m 0 etaloal htelesítették külöbségméréssel: m =m 0 +k, lletve m =m 0 +k, ahol k és k a mért tömegkülöbségek. Tegyük fel (fet megfotolásak alapjá), hogy súlyak mérés bzoytalasága az etalo bzoytalaságából, valamt a külöbség-megállapítás bzoytalaságából adódk 4. A bzoytalaságok égyzetére, azaz a varacákra felírva: u (m )= u (m 0 )+u (k ), lletve u (m )= u (m 0 )+u (k ) A korrelácó a két súly között u(m, m ) az azoos etalo okozta tag: u(m,m )= u (m 0 ) A két súly együtteséek a mérés bzoytalasága a fet korrelácóval számolva: u (m +m )= u (m )+ u (m )+u(m,m ) A képletből a u(m,m ) rész vesz fgyelembe a korrelácót. Eek elhagyása (tehát ha az értékét ulláak tektjük) azt jeleteé, hogy a súlyok korrelálatlaok. Mvel ez a tag a htelesítésél felhaszált etalosúly varacájával azoos, ylvávaló soha em lehet ulla. Az azoos módo mért két súly bzoytalaságáak becsült értéke azoos, tehát u(m )=u(m ), amt továbbakba u(-el jelölük. Jele haza htelesítés gyakorlat mellett u(m 0 )=u(/3, azaz az etalo súly bzoytalasága harmada a htelesített súlyak. Ebből következk, hogy u(m,m )= u (/ Behelyettesítve: 0 u (m + = u (m ) + u ( + u(m, = u ( + u (/ = u ( Azaz, két olya azoos évértékű súlyak az eredő mérés bzoytalasága, melyeket azoos etaloról, dőbe em agy külöbséggel htelesítettek: 0 u(m +,4u( Ameybe korreláltságot em veék fgyelembe, úgy a mérés bzoytalaság: u(m +,4u( Látható, hogy a két érték csak mtegy 5% eltérést ad. Elletétbe, ha feltételezzük, hogy teljes a korrelácó, akkor a mérés bzoytalaság az egyes súlyok bzoytalaságaak összege lee: u(m + = u( Ebbe az esetbe az eltérés közel 34%. Kszámítva és kerekítve, db 0 kg-os M súly eseté a modell,5 gramm, a korrelálatla eset,4 gramm, míg a korrelált eset gramm bzoytalaságot eredméyez. A fet három képlet összevetése azt adja, hogy a korrelácó em helyes fgyelembevétele külöböző hatással va a mérés bzoytalaság számítására. Ha em vesszük fgyelembe, 4 A modell szempotjából feltétle helyes ez a megközelítés. Részletesebb bzoytalaság aalízsek számolak az etalohoz kötődő egyéb bzoytalaság összetevőkkel, például az etalo helyes értékéek a kalbráláskor értékétől való eltérésével. Ezek az összetevőket az összehasolítás bzoytalaságáál célszerű szerepeltet, mert em okozak korrelácót. 4
akkor 5%-ál jobba alábecsüljük, am elvleg em egedhető meg. Ha pedg teljes korrelácót tételezük fel, akkor vszot jeletős túlbecsülés adódk, am em mde esetbe előyös 5, de legalább em okozhat rossz mérés eredméy 6 megadást. Vzsgáljuk meg egy olya esetet, amkor téyleg jeletős a korrelácó. Belátható, hogy a korrelácó akkor a legagyobb, ha u(m 0 )=u(, am azt jelet, hogy az etalo súly bzoytalasága azoos az ahhoz mért súly bzoytalaságával. Ez az eset természetese elvleg em állhat elő külööse em htelesítés eljárás sorá, de a gyakorlatba egyes külöleges esetekbe agyo meg lehet közelíte. Például kg-os súlyok agypotosságú összehasolításáál előfordul, hogy a mérés bzoytalaság éháy százalékkal övekszk 7. Ekkor feltételezhető, hogy u ( u (m 0 )=u(m,m ). Behelyettesítve: u (m + m ) = u (m ) + u (m ) + u(m, m ) = 4u Tehát ekkor gaz, hogy u(m +. A súlyokra voatkozó OIML ajálás súlyok kombácójáál teljes korrelácó feltételezését javasolja. Mvel a legagyobb megegedett hba 50 g felett súlyok eseté aráyos a súly évleges értékével, teljes korrelácó eseté bármely két (50 g felett) súly együttes bzoytalasága az ajálás szert megegyezk a tömegükkel azoos egy darab súly bzoytalaságával (u(kg+kg)=u(kg). Htelesített súlyokra voatkozó modellük eseté két azoos évleges értékű súly alkalmazásak bzoytalasága jeletőse ksebb lesz, mt az egy darab a két súly tömegével azoos évértékű súly eseté. Több azoos évleges értékű és potosság osztályú súly társításáak (kombácójáak) bzoytalasága Mutá megsmertük a két azoos súly együttes haszálatáál feálló vszoyokat, terjesszük k a vzsgálatot több ( darab) azoos súly haszálatára. Eek jellemző esete, amkor agyobb mérlegeket kalbrálak 0 kg-os súlyok haszálatával. Szokásosa ezeket a súlyokat egyszerre, azoos apo, azoos etaloal, azoos mérleggel htelesítk, így várhatóa erős a korreláltság. Az eredő varaca általáosa [3] felírva 8 tetszőleges súlyra: = = u ( m ) = u ( m ) + u( m, m ), = j= + ahol a jobboldalo az első összegző a korrelácó élkül tag, míg a másodk a korrelácókat vesz fgyelembe. Ha a súlyok azoosak, akkor az egyelet átalakítható fgyelembe véve, hogy u ( m ) u ( m, m j ) = 3 azaz a htelesítésél az etalo bzoytalasága harmada htelesített súlyéak, j ( 5 Nem előyös abba az értelembe, hogy dokolatlaul övel a mérés bzoytalaságot, amt így csak más módo, például potosabb súlyok beszerzésével, vagy boyolultabb méréssel lehete ellesúlyoz, ha szükséges. 6 Rosszak tekthető az a mérés eredméy megadás, melyél a megadott mérés bzoytalaság a téylegesél ksebb. 7 Természetese ebbe az esetbe em a htelesítésél deklarált hbahatár harmada a bzoytalaság, haem a téylegese számított érték. A mérésél mde befolyásoló meység hatását fgyelembe kell ve, hogy a mérés bzoytalaság egyéb összetevő kcsyek legyeek az etalo súly bzoytalaságához képest. 8 Az egyelet a GUM 5.. fejezetéek 3 egyelete, fgyelembe véve, hogy az érzékeység együtthatók értéke. 5
u( m ), tehát azoos súlyok eseté azok bzoytalasága s azoos valamt ( ) =, ezzel: = j= + u ( = u ( ) u( ( + 3 = u ( ) ( + Azaz az eredő bzoytalaság (htelesített súly): ( ) u ( + Az grafko mutatja, hogy az egységy mérés bzoytalaságú súlyok eredő bzoytalasága hogya alakula a három esetbe (cs korrelácó u (, teljes a korrelácóu (, és a htelesített súlyok eseté számolt maxmáls eredő bzoytalaság). 50 u( [u(] 45 40 35 30 Ncs korrelácó Teljes korrelácó Htelesített súlyok u( 5 0 5 0 u( ( ) + 5 u ( 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 [db] 50. grafko: Mérés bzoytalaság változása a felhaszált súlyok számáak függvéyébe 6
300% U/U(htelesített) 80% 60% Teljes korrelálácö 40% Htelesített súlyok 0% Ncs korrelácó 00% 80% 60% 40% 0% 00% 80% 60% 40% 0% 0% 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 [db]. grafko. A teljese korrelált és a korrelálatlaak tektet súlyok mérés bzoytalasága a htelesített súlyokra jele modellel becsült mérés bzoytalaságáak százalékába A fet három modell vszoya szemléletesebb, ha korrelácó számításával yert modellhez vszoyítjuk a másk kettőt ( grafko). Látható, hogy 000 kg súly eseté a hteles súlyok bzoytalasága csakem harmada, mt a teljes korrelácó feltételezése eseté. Ez gyakorlatlag azt jelet, mtha egy potosság osztállyal potosabb súlyokat alkalmazáak. Ugyaakkor a korreláltságtól való eltektés megegedhetetle alulbecslést okoz, mert a súlyokat függetleek tektve a vélt eredő mérés bzoytalaság még a felét sem ér el a valód értékek. [] OIML R :4 Iteratoal Recommedato: Weghts of classes E, E, F, F, M, M, M 3 []Gát Erő: A kovaracák éháy metrológa alkalmazása (Műszerügy és Méréstechka Közleméyek; 6 szám. 8.), valamt Gát Erő: Hadlg correlated quattes metrology, OIML bullet Volume XL, [3] Gude to the Expresso of Ucertaty Measuremet ; BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML; 5 7