Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5 0 ) + (5 4 7 + 4) ( (5 4 7 + 4) 7 4 + 4 ) 7 ( ( 4)) 5. Feladat: (5 4 7 + 4) 7 (5 4 7 + 4) ( 4 + 4 ) 7 ( ( 4))
6. Feladat: (5 4 7 + 4) (5 4 7 + 4) ( ) 5 4( ) 7 + 4 7 7. Feladat: (5 3 ) (5 3 ) 5 3 0 8. Feladat: 9. Feladat: 0. Feladat: 5 3 5 5 + 7 5 3 0 5 5 + 7 0 3 + log 4 (8 + 4) log 4 (8 + 4) log 4 6 3 + (cos sin + 5) π (cos sin + 5) cos π π sin π + 5 + 5. Feladat: Ábrázolja f függvényt és olvassa le az f jobb- és baloldali határértékét az pontban! Majd adja meg f határértékét pontban! { 3 ha f() + ha <
Az ábráról a következő jobb -és baloldali határérték olvasható le: f() + f() Mivel a jobb és baloldali határértékek különbözőek, pontban f függvénynek nem létezik határértéke. Megjegyzés: Ábra nélkül a határértékeket behelyettesítéssel is meg tudjuk határozni: + f() ( + ) + f() ( 3) 3 +. Feladat: Ábrázolja f függvényt, majd olvassa le az f jobb - és baloldali határértékét az 0 pontban! Majd adja meg f határértékét 0 pontban! { f() ha 0 ha < 0 Ábrázoljuk f-t. 3
Az ábráról a következő jobb -és baloldali határértékek olvashatóak le: f() 0 f() 0+ Mivel a jobb- és baloldali határértékek megegyeznek, f függvénynek létezik határértéke és 0 f(). Megjegyzés: Behelyettesítéssel következőképpen járhatunk el: 3. Feladat: f() ( ) 0 0 0 f() 0+ 0+ 0 4 + 3+ 6 Véges helyen vizsgáljuk a határértéket, helyettesítsünk be 3-t. 4 + 3+ 6 3 0 Mivel a számláló nem nulla, a nevező 0, további vizsgálatra van szükség. Ha meg tudjuk mondani, hogy a nevező milyen értékeken keresztül tart 0-hoz, akkor felhasználhatjuk, hogy 0 0+ 0 0± divergens Ábrázoljuk a nevezőben lévő g() + 6 függvényt. Majd olvassuk le a nullához közelítés irányát. Az ábrán jól látható, hogy ha 3-nál nagyobb értékeken keresztül közelítünk 3-hoz, akkor a helyettesítési értékek negatív számokon keresztül közelítik meg nullát. 3+ 4 + 6 3 0 3 0 3 0 4 ( )
4. Feladat: 4 + 3 6 4 + 3 6 3 0 Az előző feladatnál lévő ábra alapján balról közelítve 3-t, nevezőben a helyettesítési értékek pozitív számokon keresztül közelítik meg a nullát. 5. Feladat: 4 + 3 6 3 0 3 0+ 3 0+ 3 4 4 ( + 4) ( + 4) 5 0 Mivel a nevezőben egy teljes négyzet szerepel a nullához közelítés csak pozitív számokon keresztül lehet, így a keresett határérték: 6. Feladat: 4 ( + 4) 5 0+ 4 4 ( + 4) ( + 4) 5 0 Mivel a nevezőben egy teljes négyzet szerepel a nullához közelítés akár jobbról, akár balról csak pozitív számokon keresztül lehet, így a keresett határérték: 7. Feladat: 4 ( + 4) 5 0+ 4 4 + + 4 0 Ábrázoljuk a nevezőben szereplő g() + hozzárendeléssel adott függvényt, majd olvassuk le a közelítés irányát. 4 + 4 0+ 5
8. Feladat: 4 + 5 4 + 5 ( 4 + ) ( 5 ) 4 + 5 4 9. Feladat: + 3 5 4 + 7 5 + 3 5 4 + 7 5 ( + 3 5 ) ( 4 + 7 5 ) + 3 5 4 + 7 5 4 0. Feladat: + 3 5 4 + 7 5 + 3 5 4 + 7 5 ( + 3 5 ) ( 4 + 7 5 ) + 3 5 4 + 7 5 4. Feladat: 3 + 5 4 4 + 7 3 + 5 4 4 + 7 3 ( + 5 ) 4 (4 + 7 4 ) + 5 4 + 7 0 4 0 4 6
. Feladat: 0 3 0 3 0 ( ) 9 3 ( ) 7 9 ( ) 3. Feladat: + 3 3 + 4 + 3 + 3 3 + 4 + 3 3 + ( + 3 ) ( 4 + 3 ) ( 3 + ( + 3 ) 4 + 3 ) 3 + 5 4. Feladat: 3 3 + + 3 7 + 3 + 4 5. Feladat: 3 3 + + 3 7 + 3 + 4 3 + + 3 3 7 + 3 + 4 3 3 ( + + 3 3 ) (7 + 3 + 4 ) 3 + + 3 7 3 + 3 + 4 3 7 5 7 6 + 4 5 3 4 3 + 5 7 6 + 4 5 3 4 3 + 6 5 5 7 + 5 3 4 6 3 4 + 3 5 ( 6 7 + 5 3 ) 4 6 ( 3 4 + ) 3 5 7 + 5 3 5 3 4 6 7 0 0 4 + 0 3 7
6. Feladat: 7 0 5 5 Véges helyen vizsgáljuk a határértéket, kezdjük behelyettesítéssel. 7 0 5 0 5 0 Ennél a típusnál alakítsuk szorzattá a számlálót és a nevezőt. Keressük meg a polinomok gyökeit és használjuk a gyöktényezős felírást. 7 0 ( )( 5) mivel 5 5 5 ( 5)( + 5) 7 0 5 0 5 0 ( )( 5) 5 ( 5)( + 5) ( ) 5 ( + 5) 3 0 7. Feladat: 7 4 4 4 7 4 4 0 4 0 ( + )( 4) + 9 4 ( 4) 4 4 Felhasználva, hogy 7 4 0 ha 4 így a gyöktényezős alak: 8. Feladat: 9. Feladat: 7 4 ( 4)( + ) ( 4)( + ) + 6 0 0 + 6 ( + ) ( 3)( + ) 6 9 0 3 + 3 5 6 9 0 3 + 0 0 (6 9) 0 ( + ) 6 9 0 + 6 3 8
30. Feladat: 8 + 3 9 3+4 8 + 3 8 8 3 9 3+4 9 4 8 8 (6 3 ( ) 8) 8 (9 ( 6 3 ( ) 8 8 6) 9 ( ) 8 6 ) 3. Feladat: 6 7 3 + + 4 3. Vizsgafeladat: 6 7 3 + + 4 6 6 7 3 9 + 4 ) 6 6 (6 7 6 ) 9 (3 + ( ) 4 ) 9 ( 6 9 3 + ( 4 9 7 6 ) 0 6 9 0 ( 3 + 7 + 9 3 + 9 5) A határérték típusú, így alkalmazzuk a következő bővítést: A B ( A B) A + B A + B A B A + B ( 3 + 7 + 9 3 + 9 5) ( 3 + 7 + 9 ) 3 3 + 9 5 + 7 + 9 + 3 + 9 5 3 + 7 + 9 + 3 + 9 5 3 + 7 + 9 (3 + 9 5) 3 + 7 + 9 + 3 + 9 5 Egyszerűsítsünk -szel: + 4 n 3 + 7 + 9 + 3 + 9 5 3 3 + 4 3 + 7 + 9 + 3 + 9 5 9
33. Vizsgafeladat: ( 8 + 3 9 + 7) A határérték típusú, de együtthatói nem egyenlőek, így emeljük ki -t: ( 8 + 3 ( ) 9 + 7) 8 + 3 9 + 7 ( 8 3) 34. Feladat: 0 3 4 3 5 6 + 8 9 + 6 0 3 4 3 5 6 + 8 9 + 6 3 ( 0 4 ) ( 3 ) 3 5 + 8 9 + 6 5 6 35. Vizsgafeladat: 36. Vizsgafeladat: 5 3 6 + 4 + 3 3 8 4 + 3 3 + 7 + 6 5 5 3 + + 3 5 3 3 ( 0 4 3 ) 5 3 + 8 9 + 6 5 6 0 4 3 5 + 8 5 9 6 + 6 5 3 6 + 4 + 3 3 8 4 + 3 3 + 7 + 4 3 8 5 3 + 3 + 7 + 3 4 5 6 ( 3 + + 3 5 ) 3 ( 4 8 + 3 + 7 + 3 5 9 4 + + 5 0 + 6 + 9 4 + + 5 0 + 6 + ) 9 ( 9 ( 6 6 3 + + 3 5 0 3 5 + 0 4 ) 0 3 8 + 3 + 7 + 3 4 9 9 4 6 + 5 0 + 6 6 ) ( 6 4 + 5 ) 6 4 0 6 + 6 36 0 5 3 3 8 0
37. Vizsgafeladat: 8 + 3 + 3 5 3+4 8 + 3 + 3 8 8 3 3 + 3 5 3+4 5 6 8 ) ) 38. Vizsgafeladat: ( 4 5 4 + 3 Felhasználva, hogy 8 ( 6 3 ( 3 ( 8) + 3 8 8 (( ) 5 ) 8 6 ( ) 4 5 7+0 4 + 3 ) 7+0 n [ ( + 8 ) ] 7+0 4+3 4+3 4 + 3 ( ) 4 + 3 8 7+0 4 + 3 ( e 8) 7 4 e 4 7 + 0 4 + 3 0 (7 + ) (4 + 3 ) 7 + 0 4 + 3 7 4 ha 39. Vizsgafeladat: ( 5 ) 0 3 + 4 5 + 4 ( 5 ) 0 3 + 4 5 + 4 Felhasználva, hogy [ ( + 0 ) ] 5 +4 0 3 5 +4 5 + 4 ( 5 ) 0 3 + 4 + 0 5 + 4 ( e 0) 0 e 0 0 3 5 + 4 0 3 5 + 4 0 0
40. Vizsgafeladat: ( ) 8 + 5 9 +3 + 0 ( ) 8 + 5 9 +3 + 0 ( ) 8 4 4. Vizsgafeladat: ( 3 ) 4+ 4 5 + ( 3 ) 4+ 4 n 5 + ( ) 3 0 5 4. Vizsgafeladat: 3 + ln 3 + ln 4 0 Négyzetre emelés miatt a nevező csak pozitív irányból közelítheti nullát, így 3 + ln 4 0+ 4 0+ 4(+ )
43. Vizsgafeladat: 0+ Helyettesítsünk be: 0+ 4 + e 4 + e 0 Az osztás nem végezhető el. Ábrázoljuk az f() e függvényt, majd olvassuk le, hogy milyen értékeken keresztül közelíti meg f a nullát. 4 + 0+ e 0+ 3
44. Vizsgafeladat: 5 7 + e 5 Helyettesítsünk be: 5 7 + e 5 7 + e5 0 A művelet nem végezhető el. Ábrázoljuk g() 5 függvényt és olvassuk le a nullához való közelítés irányát, majd adjuk meg a határértéket: 5 7 + e 5 7 + e5 0
45. Vizsgafeladat: 0+ 0+ 5 lg 5 5 lg 5 0 Vizsgáljuk meg, hogy a nevező milyen értékeken keresztül tart nullához. 0+ 5 lg 5 0+ 5