6 fejezet Komplex számo A omplex szám algebrai alaja D 61 Komplex száma evezü mide olya a+bi alaú ifejezést amelybe a és b valós szám i pedig az összes valós számtól ülöböz épzetes egysége evezett szimbólum Az a illetve b valós számot a z = a + bi omplex szám valós részée illetve épzetes részée hívju Jelölésü: a = Re z b = Im z Az a + bi alaú ifejezés a omplex szám algebrai alaja D 62 Algebrai alaba adott omplex számo összeadását és szorzását a többtagú algebrai ifejezése összeadási ill szorzási szabálya szerit végezzü hozzátéve hogy i 2 := 1 D 63 z Az z = a + bi omplex szám ojugáltjá az a bi omplex számot értjü Jele: T 64 Tetszoleges z 1 omplex számora z 1 + = z 1 + z 1 = z 1 D 65 A z = a + bi omplex szám abszolút értéé a z = a + bi := a 2 + b 2 emegatív valós számot értjü T 66 Bármely z z 1 és omplex számra érvéyese a övetez egyel sége: zz = z 2 z 1 = z 1 és a háromszögegyel tleség: z 1 + z 1 + Feladato 1 Ábrázolju a Gauss-féle számsío az alábbi omplex számoat és helyvetoruat: z 1 = 3 i = 1 + 4i z 3 = 2 + 3i z 4 = 2 3i 2 Írju fel a melléelt ábrá helyvetoraial feltütetett omplex számoat algebrai alaba: 3 Írju fel az alábbi omplex számo ojugáltját: z 1 = 2 + 7i = 3 5i z 3 = 5i z 4 = i z 5 = 9 z 6 = 0 Legye > 2 természetes szám Bizoyítsu be hogy 6-1
6 Komplex számo A omplex szám algebrai alaja 4 z 1 + + + z = z 1 + + + z 5 z 1 z = z 1 z 6 z = z Számítsu i az alábbi ét-ét omplex szám összegét és ülöbségét: 7 2 + 5i 4 3i 8 3 4i 5 + 2i 9 4 3i 2 i Számítsu i az alábbi ét-ét omplex szám szorzatát: 10 3 5i 4 + i 1 3i i 12 2 + 5i 4 3i Számítsu i az alábbi omplex számo háyadosát: 13 3 + 2i 1 i 14 5 i 1 2i 15 5 2i 3i Hozzu algebrai alara az alábbi ifejezéseet: 16 2 1 i3 + i 17 1 3 + 4i 18 2 + i 2 i 3 + 4i 3 + i 19 1 i 3 i 20 1 i3 2i1 + i 21 i 1 i1 2i1+2i 22 Legye z 1 = 1 5i és = 3 + 4i Számítsu i a övetez et: z 1 z 1 z 1 z1 z 1 z 1 23 Legye z 1 = 1 + i = 1 2i Számítsu i az alábbi ifejezése értéét: z 1 z 1 z 1 1 1 iz 1 z 1 i Legye z 1 = 2 + i = 3 2i és z 3 = 1 + 3i Számítsu i a övetez et: 2 2 24 3z 1 4 + z 3 z 3 25 z 3 1 3z2 1 + 4z 1 8 26 2 + z 1 5 i 2z 1 + 3 i Számítsu i az alábbi omplex számo abszolút értéét: 27 3 + 4i2 + i 1 + 2i4 + 3i 28 x 2 + y 2 + i 2xy x y + 2i xy x y R+ 29 Határozzu meg azoat az x és y valós számoat amelyere feáll az alábbi egyel ség: 3x + 2iy ix + 5y = 7 + 5i Adju meg a övetez xy-síbeli görbé omplex változós egyeletét: 30 2; 1 özéppotú 4 sugarú ör 31 y = mx + b egyelet egyees 32 3; 0 és 3; 0 fóuszpotú ellipszis agytegelyée hossza 10 Adju meg a Gauss-féle számsío az alábbi feltételeet ielégít poto halmazát: 33 1 < z < 2 34 z = 2 35 z i = z + i 36 z + i 1 37 2z 4i < 1 38 z z + i z 3 39 z + 3 = 2 6-2
6 Komplex számo Biomiális együttható biomiális tétel 40 Bizoyítsu be hogy bármely ör vagy egyees egyelete a Gauss-féle számsío felírható azz + bz + bz + c = 0 alaba ahol a c R és b C Oldju meg az alábbi egyeleteet a omplex számo halmazá: 41 x 2 + 2 = 0 42 x 2 2x + 2 = 0 43 x 2 6x + 13 = 0 44 x 2 + 8x + 17 = 0 45 x 4 x 2 6 = 0 46 x 2 + 5 + 6 x 2 = 0 47 Oldju meg a z + z = 2 + i egyeletet! Oldju meg az alábbi egyeletredszereet a omplex számo halmazá: 48 iz 1 i = 2 2z 1 + = i 50 z 1 + 2 = 1 + i 3z 1 + i = 2 3i 52 1 + 2iz 1 + = 1 2i iz 1 i = 2 + 3i 54 iz 1 + 2 = 1 2i 4z 1 i = 1 + 3i 49 z 1 + = 2 z 1 = 2i 51 1 + iz 1 1 i = 0 2 + iz 1 1 2i = 0 53 2z 1 i = 3 + 4i iz 1 + 3 = 7 4i 55 1 + 2iz 1 2 + i = 6 2i z 1 + 2 i = 4 4i 56 Tegyü fel hogy a z omplex számra + z + 1 = 0 teljesül Számítsu i a z 65 + z 65 ifejezés értéét! Biomiális együttható biomiális tétel D 67 Legye és ét emegatív egész szám melyere Az ifejezést az! := egyel séggel deiálju és biomiális együtthatóa evezzü!! ad- T 68 Mide emegatív egész -re és = 0 1 -re érvéyes az = + 1 szimmetriatulajdoság és = 0 1 1-re az = + + 1 + 1 ditív tulajdoság T 69 Biomiális tétel Egységelemes ommutatív gy r tetsz leges u v elempárjára és tetsz leges emegatív egész számra u + v = u v =0 6-3
6 Komplex számo Biomiális együttható biomiális tétel Feladato Az alábbiaba a hatváyo biomiális tétel szeriti ifejtésébe -adi tago = 0 1 azt a tagot értjü amelye együtthatója Továbbá ha páros aor az el bbi értelembe vett /2-edi tagot a ifejezés özéps tagjáa modju: 57 Határozzu meg az a x 16 x hatváy ifejtésée özéps tagját 3 3 58 Írju fel a a2 + 2 12 a hatváy ifejtésée egyedi tagját! 4 3 3 3 59 A a2 + 2 12 a hatváy ifejtésée háyadi tagjába lesz az a itev je 4 3 7? 18 3 a b 60 A b + 3 hatváy ifejtésée háyadi tagjába lesz az a és a b a itev je egyel egymással? 61 Írju fel a 9x 1 m ifejtésée 12 tagját ha a másodi tag biomiális 3x együtthatója 105 62 Az x 2 + x a m ifejtésébe a harmadi és a tizeettedi tag biomiális együtthatója azoos Írju fel azt a tagot amelybe x em szerepel 63 Az x x + 3 1 m ifejtésébe az együttható összege 128 Írju fel a ifejtése x azt a tagját amelybe x az ötödi hatváyo szerepel 64 Határozzu meg az itev e azt az értéét amelyre az a+b ifejtésébe a másodi harmadi és egyedi tag együtthatója egy számtai sorozat egymást övet elemei 65 Határozzu meg x értéét úgy hogy az x + x lg x 5 hatváy ifejtésébe a másodi tag értée 10 6 legye [ 66 Határozzu meg x értéét úgy hogy a 1 x lg x+1 + 12 6 x] ifejtésbe a harmadi tag 200 legye Igazolju az alábbi összefüggéseet amelyebe tetsz leges pozitív egész pedig olya egész szám amelyre : 67 + + + = 2 0 1 2 68 + + 1 = 0 0 1 2 6-4
6 Komplex számo Biomiális együttható biomiális tétel 69 1 1! + 2 2! + + 99 99! = 100! 1 70 + 2 + 3 + + = 2 1 1 2 3 71 + 2 + 3 + + + 1 = + 2 2 1 0 1 2 72 + 2 + 3 + + 1 = 2 2 1 + 1 2 3 4 1 2 + 1 73 + + + + 1 = 1 2 + 1 + 2 + + + 1 74 + + + + = 0 1 2 + 1 1 + 1 75 + + + + = + 1 + 1 + 2 + m 1 + m 76 + + + + = ha m N + + 1 77 1 + + + = 2 1 2 4 78 + + + = 2 1 1 3 5 2 2 2 2 2 79 0 + + + + = 1 2 2 2 2 2 { 0 ha páratla 80 0 + + 1 = 1 2 1 m 2m m ha páros 8 8 8 8 81 1 + + + = 16 2 4 6 8 A biomiális tétel alalmazásával végezzü el a övetez hatváyozásoat: 82 3 + 3i 4 83 2 + 2i5 84 1 + i 7 85 3 2 + 3 3 2 i6 6-5
6 Komplex számo A omplex szám trigoometriai alaja A omplex szám trigoometriai alaja D 610 Vegyü fel a síba egy O ezd potú p félegyeest és a sí mide egyes O-tól ülöböz P potjához redeljü hozzá az r ϕ számpárt ahol r = OP pólustávolság és ϕ = p OP iráyszög Az O potra r = 0 ϕ tetsz leges Az így deiált oordiáta redszert síbeli polároordiáta redszere evezzü T 6 Derészög oordiáta-redszerbe adott x y pot r ϕ polároordiátáit az x r = x 2 + y 2 cos ϕ = x 2 + y si ϕ y = 2 x 2 + y 2 egyelete felhaszálásával a polároordiáta-redszerbe adott r ϕ pot x y derészög oordiátáit az x = r cos ϕ y = r si ϕ egyelete felhaszálásával számítju i Az r = rϕ egyelet geometriai alazat egyeletébe az iráyszöget midig radiába mérjü D 612 Ha a z = x+yi omplex számba x-et és y-t az el z egyelete szerit helyettesítjü aor a omplex szám z = rcos ϕ + i si ϕ trigoometriai alaját apju T 613 Legye z 1 = r 1 cos ϕ 1 + i si ϕ 1 és = r 2 cos ϕ 2 + i si ϕ 2 Eor z 1 = r 1 r 2 cosϕ 1 + ϕ 2 + i siϕ 1 + ϕ 2 z 1 = r 1 r 2 cosϕ 1 ϕ 2 + i siϕ 1 ϕ 2 T 614 Tetsz leges omplex számra és tetsz leges egész -re rcos ϕ + i si ϕ = r cos ϕ + i si ϕ D 615 A z omplex szám omplex -edi gyöei az u = z u z C; N + egyelet összes omplex u megoldását értjü T 616 Bármely zérustól ülöböz omplex száma darab ülöböz omplex - edi gyöe va ha pozitív egész és a z = rcos ϕ + i si ϕ r 0 omplex szám összes ülöböz omplex -edi gyöét megadja a övetez éplet: z = r ϕ cos + 2π + i ϕ si + 2π = 0 1 1 ahol r a valós r szám valós -edi gyöét jeleti A 0 omplex szám egyetle -edi gyöe 0 6-6
6 Komplex számo A omplex szám trigoometriai alaja Feladato Számítsu i az alábbi z omplex számo valós részét Re z épzetes részét Im z abszolút értéét r és radiába mért legisebb emegatív argumetumát ϕ 0 : 86 z = 3 87 z = 8 88 z = 2i 89 z = 1 + i 90 z = 1 2 i 3 2 91 z = 2 2 3i 92 z = 4 3 4i Állapítsu meg hogy a Gauss-féle számsí mely potjai tesze eleget az alábbi egyeletee ill egyel tleségee arg z a z egyi argumetumát jeleti: 93 Imz + i > 2 94 Imiz 1 95 Re z = 1 π 96 Re2z < 4 97 4 < arg z π 2 98 0 < arg[1+iz] < π Írju át az alábbi omplex számoat trigoometriai alaba: 99 3i 100 3 3i 101 4 102 5 + 5i 103 6 + 6 3i 104 3 3i 105 i 106 2 3 2i Írju át algebrai alaba az alábbi omplex számoat: 107 5 cos π 6 + i si π 108 3 cos π 6 4 + i si π 4 109 2 cos π 2 + i si π 0 3 cos 4π 2 3 + i si 4π 3 1 2 cos 3π 2 + i si 3π 2 2 3 2 cos 7π 6 + i si 7π 6 Írju át az alábbi polároordiátása megadott görbé egyeletét derészög oordiátás alaba Állapítsu meg a görbe típusát és meghatározó adatait A feladatoba a és b pozitív ostaso 3 r = a 4 r = 2a si ϕ 0 ϕ < π 5 r = 2a cos ϕ π 2 ϕ < π 2 6 r = 2 cos ϕ π 2 < ϕ < π 2 7 r = a si ϕ 0 < ϕ < π 8 r = 9 r 2 = 121 r = a 124 r = 1 1 ϕ a 2 b 2 a 2 si 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ 120 r = 1 1 cos ϕ cos 2 ϕ 2 122 r = 1 1 + 1 2 cos ϕ 125 r = 1 1 si ϕ 123 r = 16 5 3 cos ϕ 16 3 5 cos ϕ 126 r = 6-7 a 2 cos 2ϕ
6 Komplex számo A omplex szám trigoometriai alaja Számítsu i az alábbi ét-ét omplex szám szorzatát: 127 3cos 75 + i si 75 2cos 305 + i si 305 128 2 2cos 315 + i si 315 3cos 175 + i si 175 129 2cos 30 + i si 30 i 130 2 cos π 4 + i si π 4 3 cos π 6 + i si π 6 Írju fel a övetez számo trigoometriai alaját: 131 cos ϕ i si ϕ 132 cos ϕ + i si ϕ 133 cos ϕ i si ϕ Az alábbi soszögee omplex számoal megadju éháy csúcsát Határozzu meg a soszöge hiáyzó csúcsait: 134 z 1 = 1 + 4i = 5 + i csúcspotú szabályos háromszög 135 z 1 = 4 + i és = 3 3i csúcspotú égyzet 136 z 1 = 0 = 1 2i és z 3 = 2 + 3i csúcspotú paralelogramma 137 0 özéppotú és z 1 = cos π 4 + i si π csúcspotú szabályos hatszög 4 138 i özéppotú és z 1 = 3 4i csúcspotú szabályos ötszög Számítsu i az alábbi z 1 omplex számo z 1 háyadosát: 139 z 1 = 2 2cos 225 + i si 225 = 3cos 122 + i si 122 140 z 1 = 3cos 75 + i si 75 = 4cos 13 + i si 13 141 z 1 = 3cos 45 + i si 45 = 3 i 3 142 z 1 = cos 0 + i si 0 = 4 + i 3 Írju fel algebrai alaba az alábbi hatváyoat: 1 143 1 + i 12 144 2 1 6 7 i 145 3 + i 2 146 1 i 3 10 147 1 i 3 148 2 3 + 2i 9 Számítsu i az alábbi ifejezéseet trigoometriai alaal és biomiális tétellel számolva: 149 1 + 3i 4 150 1 + i 4 1 3i 6 151 3 + i 5 Határozzu meg az alábbi z omplex számo összes omplex -edi gyöét: 152 z = 1 = 3 153 z = 1 = 3 154 z = 1 = 4 155 z = 1 = 6 156 z = 8i = 3 157 z = i = 2 158 z = 243i = 5 159 z = 1 = 7 160 z = 2+2i = 3 161 z = 3 + 4i = 2 162 z = 7+24i = 2 163 Mutassu meg hogy ha c z tetsz leges omplex számo aor c z = c z ahol a gyövoás a omplex gyövoást jeleti Speciálisa c2 z = c z 6-8
6 Komplex számo Vegyes feladato 164 Bizoyítsu be hogy az a + bz + c = 0 egyelet gyöeit megaphatju a b + b 2 4ac 2a formulával ha a gyövoás a omplex égyzetgyövoást jeleti Határozzu meg az alábbi egyelet gyöeit a omplex számo halmazába Ha a diszrimiás em valós aor haszálju az el z feladat eredméyét: 165 2iz 5 = 0 166 2 + 3iz 1 + 3i = 0 167 + 5 2iz + 51 i = 0 168 + 1 2iz 2i = 0 Vegyes feladato Bizoyítsu be a cos x+i si x 5 ifejezés étféle iszámításával övetez azoosságoat: 169 cos 5x = 16 cos 5 x 20 cos 3 x + 5 cos x si 5x 170 si x = 16 cos4 x 12 cos 2 x + 1 x π Z 171 Számítsu i 15 8i égyzetgyöeie potos értéét! 172 Szeresszü meg a Gauss-féle számsío a z 1 és az 1 omplex számohoz tartozó helyvetoro segítségével a z 1 omplex számhoz tartozó helyvetort! 173 Oldju meg a z = z N + egyeletet! 174 Számítsu i az e j 0 + ej 1 + + ej j Z összeget ahol e 0 e 1 e az + 1-edi egységgyöö 175 Számítsu i az 1 + 2e + 3e 2 + + + 1e összeget ahol e tetsz leges + 1-edi egységgyö 176 Bizoyítsu be hogy ha a z omplex számra z < 1 teljesül aor 1 + 2 iz 3 + iz < 3 4 Mutassu meg hogy mide egész számra érvéyese az alábbi egyel sége: 177 1 + i = 2 2 cos π 4 + i si π 178 3 i = 2 cos π 4 6 + si π 6 Határozzu meg az alábbi összegeet: 179 1 + + 180 + + 2 4 6 1 3 5 7 Mutassu meg hogy: 181 cos π 3π 182 cos 2π 183 cos π 13 4π 3π 13 5π 6π 5π 13 7π 8π 7π 13 9π = 1 2 10π = 1 2 9π 13 6-9 π 13 = 1 2