Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2017. ősz

Függvények Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 2. Monoton függvények Legyenek (X ; 1 ), (Y ; 2 ) részbenrendezett halmazok. Az f : X Y függvény 1. monoton növekedő, ha x, y X, x 1 y f (x) 2 f (y); 2. szigorúan monoton növekedő, ha x, y X, x 1 y f (x) 2 f (y); 3. monoton csökkenő, ha x, y X, x 1 y f (y) 2 f (x); 4. szigorúan monoton csökkenő, ha x, y X, x 1 y f (y) 2 f (x). Legyen X = R a szokásos rendezéssel. Ekkor az f (x) = x; g(x) = x 3 szigorúan monoton növekedő függvények. Legyen X az {a, b, c} hatványhalmaza a részhalmaza részbenrendezéssel. Ekkor az f (A) = A \ {a} monoton növekedő: A B f (A) = A \ {a} B \ {a} = f (B); A g(a) = A szigorúan monoton csökkenő: A B B A.

Függvények Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 3. Monoton függvények Megjegyzés Ha (X ; 1 ), (Y ; 2 ) rendezett halmazok, akkor egy szigorúan monoton növekedő (ill. csökkenő) függvény injektív is: x y (x 1 y y 1 x) (f (x) 2 f (y) f (y) 2 f (x)) f (x) f (y). Ha (X ; 1 ), (Y ; 2 ) rendezett halmazok, és f szigorúan monoton növekedő (ill. csökkenő) függvény, akkor f 1 szigorúan monoton növekedő (ill. csökkenő) függvény: Mivel f injektív, f 1 is függvény. Ha f (x) 2 f (y), akkor nem lehet y 1 x, hiszen y = x esetén f (y) = f (x), y 1 x esetén f (y) 2 f (x) teljesülne. Legyen X = R a szokásos rendezéssel. Ekkor az f (x) = 3 x szigorúan monoton növekedő függvény.

Műveletek Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 4. Műveletek Egy X halmazon értelmezett binér (kétváltozós) művelet egy : X X X függvény. Gyakran (x, y) helyett x y-t írunk. Egy X halmazon értelmezett unér (egyváltozós) művelet egy : X X függvény. C halmazon az +, binér, z z (ellentett) unér művelet. C halmazon az (osztás) nem művelet, mert dmn( ) C C. C = C \ {0} halmazon az binér, az x 1/x (reciprok) unér művelet. C halmazon a 0 illetve 1 konstans kijelölése nullér művelet.

Műveletek Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 5. Műveletek Egy véges halmazon bármely binér művelet megadható a műveleti táblájával. I H I I H H H H I H I I I H I H XOR I H I H I H I H I H H I (Műveletek függvényekkel) Legyen X tetszőleges halmaz, Y halmaz a művelettel, f, g : X Y függvények. Ekkor (f g)(x) = f (x) g(x). (sin + cos)(x) = sin x + cos x

Műveletek Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 6. Műveleti tulajdonságok A : X X X művelet asszociatív, ha a, b, c X : (a b) c = a (b c); kommutatív, ha a, b X : a b = b a. C-n az + ill. a műveletek asszociatívak, kommutatívak. A függvények halmazán a kompozíció művelete asszociatív: (f g) h = f (g h). Az R R függvények halmazán a kompozíció művelete nem kommutatív: f (x) = x + 1, g(x) = x 2 : x 2 + 1 = (f g)(x) (g f )(x) = (x + 1) 2. Az osztás nem asszociatív C -on: a bc = (a b) c a (b c) = ac b.

Műveletek Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 7. Művelettartó leképezések Legyen X halmaz a művelettel, Y a művelettel. Az f : X Y függvény művelettartó, ha x, y X esetén f (x y) = f (x) f (y). Legyen X = R az + művelettel, Y = R + a művelettel. Ekkor az x a x művelettartó: a x+y = a x a y. Legyen X = Y = C az + művelettel. Ekkor a z z művelettartó: z + w = z + w.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 8. Számfogalom bővítése A természetes számokból kiindulva megkonstruálhatók a természetes számok: N = {0, 1,... }; egész számok: Z = {..., 1, 0, 1,... }; racionális számok: Q = {p/q : p, q Z, q 0}; valós számok: R =?; komplex számok: C = {a + bi : a, b R}. Kérdések Milyen fontos tulajdonságokkal rendelkeznek az adott számhalmazok? Mik a valós számok? Mi a pontos kapcsolat a műveletek és a számhalmazok között? N-ben nincs kivonás, de Z-ben van, Z-ben nincs osztás, de Q-ban van...

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 9. Természetes számok Peano-axiómák Legyen N egy halmaz, + egy unér művelet (rákövetkező). Ekkor 1. 0 N; 2. n N n + N; 3. n N n + 0; 4. n, m N esetén n + = m + n = m; 5. (S N, 0 S, (n S n + S)) S = N. Megjegyzések Az axiómák egyértelműen definiálják N-et. Mindegyik axióma szükséges. N halmaz megkonstruálható: 0 :=, 0 + := { }, (0 + ) + := {, { } },... 1 := 0 +, 2 := 1 +,...

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 10. Műveletek természetes számokkal N-en természetes módon definiálhatjuk az összeadást, például n + 1 := n +, n + 2 := (n + ) +,... Álĺıtás Bármely k, m, n N esetén 1. (k + m) + n = k + (m + n) (asszociativitás); 2. k + m = m + k (kommutativitás); 3. 0 + n = n + 0 = n (van nullelem/egységelem/semleges elem).

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 11. Algebrai struktúrák A (H; M) pár algebrai struktúra, ha H egy halmaz, M pedig H-n értelmezett műveletek halmaza. Az egy binér műveletes struktúrát grupoidnak nevezzük. (N; +) algebrai struktúra, mert természetes számok összege természetes szám, és grupoid is. (N; ) nem algebrai struktúra, mert például 0 1 = 1 N. (N; +, + ) algebrai struktúra, mert természetes számok összege, és rákövetkezője természetes szám, de nem grupoid.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 12. Félcsoportok A (G; ) grupoid félcsoport, ha asszociatív G-n. Ha létezik s G: g G : s g = g s = g, akkor az s semleges elem (egységelem), (G; ) pedig semleges elemes félcsoport (egységelemes félcsoport, monoid). (N; +) egységelemes félcsoport s = 0 egységelemmel. (Q; ) egységelemes félcsoport s = 1 egységelemmel. C k k a mátrixszorzással egységelemes félcsoport az egységmátrixszal mint egységelemmel.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 13. Egész számok Az N halmazon nem (mindig) tudjuk a kivonást elvégezni. A kivonás elvégzéséhez elég (lenne), hogy a 0-ból ki tudjuk vonni az adott n számot (ellentett): Legyen G egy egységelemes félcsoport a művelettel és e egységelemmel. A g G elem inverze a g 1 G elem, melyre g g 1 = g 1 g = e. Ha minden g G elemnek létezik inverze, akkor G csoport. Ha kommutatív is, akkor G Abel-csoport. Álĺıtás Z a legszűkebb olyan (Abel-) csoport, mely tartalmazza N-et. Megjegyzés Z megkonstruálható N-ből: az (r, s) (p, q), ha r + q = p + s ekvivalenciareláció osztályai az egész számok.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 14. Csoportok További példák csoportokra: (Q; +): a 0 egységelem, minden szám inverze az ellentettje. (Q ; ): az 1 egységelem, minden szám inverze a reciproka. (Q = Q \ {0}) {M C k k : det M 0} a mátrixszorzással, és az egységmátrixszal mint egységelemmel. X X bijektív függvények a művelettel, és az id X : x x identikus leképzéssel mint egységelemmel.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 15. Egész számok szorzása Az egész számok körében definiálhatjuk a műveletet: Ha n N, m Z, akkor legyen n m = m + m + + m. }{{} n darab Ha n N, akkor legyen n m = ( ( n) m ). Álĺıtás A Z a művelettel kommutatív egységelemes félcsoport. (A kommutatív, asszociatív, van egységelem.) A két művelet nem,,független : Álĺıtás Z-n a az +-ra nézve disztributív: k, l, m Z-re: k (l + m) = k l + k m, illetve (k + m) l = k l + m l.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 16. Gyűrűk Legyen (R;, ) algebrai struktúra, ahol és binér műveletek. Azt mondjuk, hogy teljesül a -nak a -ra vonatkozó bal oldali disztributivitása, illetve jobb oldali disztributivitása, ha k, l, m R-re: k (l m) = (k l) (k m), illetve k, l, m R-re: (k l) m = (k m) (l m). (Z; +, ) esetén teljesül a szorzás összeadásra vonatkozó mindkét oldali disztributivitása. Elnevezés (R;, ) két binér műveletes algebrai struktúra esetén a -ra vonatkozó semleges elemet nullelemnek, a -ra vonatkozó semleges elemet egységelemnek nevezzük. A nullelem szokásos jelölése 0, az egységelemé 1, esetleg e.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 17. Gyűrűk Az (R;, ) két binér műveletes algebrai struktúra gyűrű, ha (R; ) Abel-csoport; (R; ) félcsoport; teljesül a -nak a -ra vonatkozó mindkét oldali disztributivitása. Az (R;, ) gyűrű egységelemes gyűrű, ha R-en a műveletre nézve van egységelem. Az (R;, ) gyűrű kommutatív gyűrű, ha a művelet (is) kommutatív. (Z; +, ) egységelemes kommutatív gyűrű. (2Z; +, ) gyűrű, de nem egységelemes. Q, R, C a szokásos műveletekkel egységelemes kommutatív gyűrűk. C k k a szokásos műveletekkel egységelemes gyűrű, de nem kommutatív, ha k > 1.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 18. Nullosztómentes gyűrűk Ha egy (R,, ) gyűrűben r, s R, r, s 0 esetén r s 0, akkor R nullosztómentes gyűrű. Nem nullosztómentes gyűrű ( ) ( 0 0 1 0 R 2 2 : 0 1 0 0 ) = ( 0 0 0 0 A gyűrűkben nem mindig lehet elvégezni az osztást: Z-ben nem oldható meg a 2x = 1 egyenlet. R 2 2 -ben nem oldható meg az alábbi egyenlet ( ) ( ) 1 0 1 0 X = 0 0 0 1 )

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 19. Testek Szeretnénk Z-ben az osztást elvégezni. Mivel az osztás nem,,szép művelet (nem asszociatív), ezért azt a reciprokkal (inverzzel) való szorzással helyettesítenénk. Az (R;, ) gyűrű ferdetest, ha (R \ {0}; ) csoport. A kommutatív ferdetestet testnek nevezzük. Álĺıtás Q az N-et tartalmazó legszűkebb test. Megjegyzés Q megkonstruálható Z segítségével: az (r, s) (p, q) (s, q 0), ha r q = p s ekvivalenciareláció osztályai a racionális számok.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 20. Testek R, C {r + s 2 : r, s Q}: 1 r + s 2 = 1 r + s 2 r s 2 r s 2 = = r s 2 r 2 2s 2 = r r 2 2s 2 + s r 2 2s 2 2 Kvaterniók H = {a + bi + cj + dk : a, b, c, d R}, továbbá i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = k, ji = k,... Nemkommutatív ferdetest! j k i

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 21. Számok és rendezés Z-n a természetes módon definiálhatjuk a rendezést: Adott n N, n 0 esetén legyen 0 < n. Legyen továbbá n < m, ha 0 < m n. Ekkor a rendezés kompatibilis a műveletekkel: Álĺıtás Ha k, m, n Z, akkor k < m k + n < m + n, m, n > 0 m n > 0. Egy R gyűrű rendezett gyűrű, ha van az R-en definiálva egy rendezés, mely kielégíti a fenti tulajdonságokat.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 22. Rendezett testek p A Z-n definiált rendezés kiterjeszthető Q-ra: q < r (0 < q, s), ha s ps < rq. A kiterjesztés azonban nem lesz,,teljes : Q nem lesz felső határ tulajdonságú. Emlékeztető Egy X halmaz felső határ tulajdonságú, ha minden Y X felülről korlátos részhalmaznak van supremuma. Álĺıtás 2 Q. Speciálisan Q nem felső határ tulajdonságú: {r Q : r 2} felülről korlátos, de nincs supremuma (sup = 2 Q). Bizonyítás Indirekt tfh n, m N + : (m/n) 2 = 2. Válasszuk úgy az m, n párt, hogy (m, n) = 1. Most m 2 = 2n 2 2 m. Legyen m = 2k m 2 = 4k 2 = 2n 2 2 n (m, n) 2.

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 23. Valós számok Valós számok halmazának definíciója Legyen R az N-et tartalmazó legszűkebb felső határ tulajdonsággal rendelkező rendezett test. Megjegyzés A valós számok halmaza lényegében egyértelmű. R megkonstruálható: legyen R a Q kezdőszeleteinek halmaza: Egy A Q kezdőszelet, ha A Q, és r A, s < r s A; például 2 {r Q : r 2}. N, Z, Q definiálható R segítségével is: N: a 0, 1 R elemeket tartalmazó legszűkebb félcsoport; Z = N ( N); Q = {r/s R : r, s Z, s 0}.