DÖNTÉSTÁMOGATÓ MÓDSZEREK segédlet I. rész

DÖNTÉSTÁMOGATÓ MÓDSZEREK segédlet I. rész DÖNTÉSTÁMOGATÓ MÓDSZEREK.... Jelölések és defnícók.... Út, vágás egy rányított élhalmazban... 4. Maxmáls út mnmáls potencál... 7 4. Mnmáls út maxmáls potencál... 5. Maxmáls folyam mnmáls vágás... 6 6. A maxmáls folyam, mnmáls vágás feladat kteresztése (több forrással és több nyelővel rendelkező hálózatok)... 7. Maxmáls folyam keresése alsó felső kapactás korláttal rendelkező hálózatokon... 8. Köng feladat... 5 9. Futószalag modell:... 6. Általános Köng feladat (földszállítás feladat):... 7. Általános szűk keresztmetszet feladat:... 8. Mnmáls költségű folyam feladat... 9. A Költségtervezés tme-cost trade-off feladat hurokmentes hálón... 4. A költségtervezés feladat megoldása a csak mnmáls kapcsolatokat tartalmazó MPM háló... 49 Aánlott rodalom: R.K. Ahua, T.L. Magnant, J.B. Orln: Network Flows, Theory, Algorthms, and Applcatons; Prentce Hall 99. Eugene L.Lawler Kombnatorkus Optmalzálás: hálózatok és matrodok; Műszak könyvkadó, Budapest 98 Klafszky Eml: Hálózat folyamok Budapest, 969 Hadu M.-Klafszky E.: Hálós tervezés technkák az építések tervezésében és rányításában. Műegyetem Kadó J-855.

Motvácó Egy építés beruházás során többször felmerülnek az alább kérdések. - Mekkora a beruházás legrövdebb átfutás dee? - Mekkora az adott átfutás dőhöz tartozó mnmáls költségű megoldás? Lakásépítés során felmerül a kérdés, hogy k lesz a megcélzott vevőkör és nekk mekkora lakásokat építsünk. A múltbel tapasztalatokra támaszkodva ogosan vetődk fel a kérdés, hogy van-e összefüggés a vevőkör és a lakás paramétere között. Erre a kérdésre válaszolhatunk a sztochasztkus függőség modell segítségével. Gyakor feladat egy beruházás során, hogy több lehetőség, pályázat, közül válasszunk. A többtényezős értékelés a kválasztáshoz nyút segítséget.. Jelölések és defnícók Defnícó: ( Dgráf rányított élhalmaz vagy hálózat): Jelölön G=(N,A) egy rányított gráfot, ahol N csomópontok halmaza, A az élek halmaza. Jelen egyzetben véges sok pontból álló gráfokról lesz szó. Például: Jelölések: N (node): csomópontok halmaza N = {,,,4} A (arc): élek halmaza A = {(,);(,);(,4);(,4)}. Defnícó: (Irányítatlan élhalmazú gráf és hálózat): Az rányított élhalmazú gráfhoz hasonlóan defnáluk, azzal a különbséggel, hogy ebben az esetben, ha (,) A akkor (,) s létező él. Például: Jelölések: N (node): csomópontok halmaza N = {,,,4} A (arc): élek halmaza A = {(,);(,);(,4);(,4); (,); (,);(4,);(4,)}. Hurok él: Olyan él, amelynek kezdő és végponta azonos. Általában nem engedük meg a létezését, mert így könnyebb az élekre hvatkozn.

Hurok élt (,) vagy kettős élt (,) ; (,) nem engedünk meg, de lehet: (,) ; (,). Defnícó séta, vonal, pálya : (út) A séta egy olyan pontsorozat, amelyet élek kötnek össze. A pontok smétlődhetnek. Defnícó út : (egyszerű út) (rányított út, drected path) Legyen [N,A] dgráf, és legyen s,t N. Legyen x, x, x k-, x k, x m N olyan pontsorozat, melyre x s, x m t és (x k-, x k ) A mnden =,., m esetén. Ekkor azt monduk, hogy x, x,, x m és egy s-ből t-be vezető út. Az út elölésére a P = (s=x, x,,x m =t) szmbólumot használuk. Olyan séta amelyben nncs két azonos pont. Megegyzem, hogy a fent két defnícó elnevezése szokásos a záróelbe tett kfeezésekkel s. Ezek szernt egy pontsorozatot melynek bármely két egymás után következő taga része az élhalmaznak ha tartalmaz smétlődést, akkor útnak, ha nem tartalmaz smétlődést, akkor egyszerű útnak nevezzük. Mnden egyszerű út egyben út s lletve egy rányított hálózatban, ha létezk út akkor létezk egyszerű út s. A hálózat folyamok témakör szakrodalomában a defnícók, elnevezések gen változatos formát öltenek. Itt és most gyekeztem csak anny fogalmat defnáln amely a mérnök menedzsment feladatahoz szükséges. Út (walk) Egyszerű út (path) (,,,, 4) (,, 4) Defnícó: (kör, cklus, hurok) Olyan séta, amelynek a kezdő és végponta azonos. Defnícó: (egyszerű vagy rányított, kör, cklus, hurok) P = (s=x, x,,x m =t) rányított út és a (t,s) él együtt. Egyszerű (kör, cklus, hurok), ha ezen kívül a pontsorozatban nncs smétlődés. Mnden egyszerű hurok egyben hurok s lletve egy rányított hálózatban, ha létezk hurok akkor létezk egyszerű hurok s

Defnícó: (Vágás) Legyen [N, A] dgráf és osszuk az N ponthalmazt az S, T dszunkt (két halmaz metszete zérus) két nem üres halmazra. Jelölük (S, T) vel azon élek összességét, amelyek S-ből ndulnak és T -be érkeznek. Az (S, T) élhalmazt az [N, A] dgráf (S, T) vágásának nevezzük. Ha s, t N pontok olyanok, hogy s S és t T, akkor azt monduk, hogy (S, T) vágás az s, t pontokat elválaszta. (S, T) vágás : [(, ); (, )] Feltételezések: - A bemenő paraméterek egész számok. - A hálózat tartalmaz rányított utat s-ből a G gráf mnden más pontába. Tervütem háló, (háló): Egy [N,A] dgráfot tervütemhálónak nevezünk, ha létezk s N kezdőpont és t N végpont úgy, hogy bármely N-re van út s-ből -be és -ből t-be. Negatív hurok, zérus hurok, poztív hurok: Legyen adott az [N,A] háló és az élehez rendelt τ egész szám. Ha egy hurok élehez rendelt számokat összeadva negatív számot, zérust, poztív számot kapunk, akkor hurkot negatív huroknak, zérus huroknak vagy poztív huroknak nevezzük. Nylvánvaló, hogy tervütem háló esetén a poztív hurok nem megengedett, mert akkor a leghosszabb út végtelen nagy lenne.. Út, vágás egy rányított élhalmazban Vágás és út dualtás tétel (Mnty): Legyen [N, A] dgráf és legyen s, t N. Ekkor az alább két állítás közül csak az egyk gaz. Tétel:. vagy van út s-ből t-be vagy. van olyan (S, T) vágás, amely üres és s S, t T Bzonyítás: (konstruktív) Konstruáluk meg az S halmazt a következő módon legyen s S, és legyen S, ha van olyan S, amelyre A. Tehát kezdetben az S halmaz állon a s pontból, mad bővítsük az S halmazt oly módon, hogy mnden pontot, amelyre gaz, hogy van él S-ből T-be vonuk be. Az elárás azzal ér véget, hogy vagy t S ekkor van út, vagy t T, ekkor úttal nem érhető el a t pont s- ből, azaz van (S, T) üres vágás.. Feladat: Keressünk utat -ből 5-be! 4

+s +4 + - 4 5 X X X X X X 4 X 5 X Megoldás: Először elkészítük az ún. struktúramátrxot. -ből ndulunk, így az -hez tartozó rekeszbe beíruk a kezdőpont elét: -s. Hogy az smétlődést elkerülük, elölnünk kell azt, ha egy pontot már vzsgáltunk. Ezt a címkézés előelezésével olduk meg. Ha egy pontba elutunk, akkor negatív címkével látuk el, és ha ebből a pontból tovább mentünk, ahová csak lehetett, akkor a címkét poztívra változtatuk át. A. lépésben az s pont rekeszébe a s címkét tesszük. Megnézzük -ből hova tudunk elutn, mehetünk 4-be, a 4-hez tartozó rublkába beíruk (-), mvel máshova nem tudunk menn -ből, így átíruk a (-s)-t (+s)-re; megnézzük 4-ből hova tudunk menn, -ba, tehát beíruk a -as rublkába (-4), és mvel máshova nem tudunk menn, ezért átíruk a (-)-et (+)-re; nézzük -ból hova tudunk menn, mehetünk -be, de ott már voltunk, tehát ezzel nem foglalkozunk, de mehetünk 5-be, ahova beíruk (-); mvel 5 volt a cél, ezért a feladat kész, már csak az utat kell felírnunk; legegyszerűbb móda, ha vsszafelé haladunk. Út: 5 4. Feladat: Az előbb dgráfon keressünk utat 4-ből -be. + +4 +s - 4 5 X X X X X X 4 X 5 X Elakadtunk, találtunk egy vágást, tehát nncs út 4-ből -be. S=(,,4,5) T=() Nncs él S-ből T-be.. feladat: Keressünk utat s=-ből t=9-be. 5

+s + + - +4 +7-8 4 5 6 7 8 9 X X X X X X 4 X 5 X X X 6 7 X 8 X X X 9 X X Út -ből 9-be: 9 8 7 4 4. feladat Ugyanaz, mnt fent. Keressünk utat 7-ből -be! +5 - +8 +8 +5 +s +7 +8 4 5 6 7 8 9 X X X X X X 4 X 5 X X X 6 7 X 8 X X X 9 X X Út 7-ből -be: 5 8 7 6

. Maxmáls út mnmáls potencál A maxmáls út mnmáls potencál az építésberuházás egy alapfeladatának az dőtervezés feladatnak a matematka termnológáa. A feladatot matematkalag együtt lehet kezeln a mnmáls út maxmáls potencál feladattal, amely először úthálózaton felvetett problémára lett kdolgozva. A feladatot az 5-es években vetették fel és az első matematka ckk 956-ban Ford.,L.R. munkáa. Természetesen a dgráfra tett feltevések folyamatosan enyhültek, így a kezdetben még feltétel volt az s, hogy a háló hurokmentes és poztív élhosszúságú legyen. Tervütem háló, (háló): Egy [N,A] dgráfot tervütemhálónak nevezünk, ha létezk s N kezdőpont és t N végpont úgy, hogy bármely N-re van út s-ből -be és -ből t-be. A tervütemezés feladat során keressük egy építés beruházás átfutás deét (leghosszabb utat s- ből t-be vagy a krtkus utat), és az egyes tevékenységek legkorább és legkésőbb lehetséges bekövetkezés deét (leghosszabb út s-ből az adott tevékenységg lletve a leghosszabb út t-ből az adott tevékenységg), továbbá a tevékenységhez tartozó úgynevezett tartalékdőket. Műszak feladatunkat matematkalag az alább prmál duál párban fogalmazzuk meg. Prmál: Adott (N,A, τ) hálózaton keresendő azon P(s,t) = {s=x,, x m =t} út, amelyre τ(p(s,t)) = P maxmáls. τ Duál: Adott (N,A, τ) hálózaton keresendő azon µ potencálrendszer, amelyre µ s =, µ - µ τ A () és µ t mnmáls. Lemma:. Jelöle µ N-re valamely út hosszát s-ből -be.. µ N-re, a leghosszabb út (s-ből -be), akkor és csak akkor, ha. µ - µ τ A. Bzonyítás: I. () + () () II. () +() () I. bzonyítás τ(p(s,t)) tetszőleges út hossza s-ből t-be τ(p(s,t)) = τ µ x - µ x + µ x - µ x + + µ xm - µ xm- = µ t () P Mvel µ t egyrészt valamely út hossza másrészt nagyobb egyenlő mnt akármelyk út hossza ezért szükségképpen µ t a leghosszabb út hossza. (µ N a leghosszabb út hossza s-ből -be) 7

I. Következménye: Ha a célfüggvények optmálsak, akkor egyenlőség áll fenn ()-ban. II. bzonyítás ()és µ - µ < τ µ nem a leghosszabb. Tegyük fel, hogy µ a leghosszabb út hossza s-ből -be és elöle τ(p(s,)) a leghosszabb utat. Ekkor I. szernt τ(p(s,)) = τ = µ továbbá µ legyen valamely út hossza s-ből -be és P( s, ) µ - µ < τ de ekkor τ(p(s,)) = P( s, ) τ +τ > µ, azaz µ nem a leghosszabb út hossza s-ből -be. II. Következménye: Ha egyenlőség áll fenn ()-ban akkor a célfüggvények optmálsak. Algortmus: Kndulás: µ s = s S és µ =- egyébként Menünk végg a dgráf mnden csomópontán. Ha µ < τ + µ A-ra, akkor µ := τ - µ, ahol S. Az algortmus véges lépésben véget ér mert vagy () telesül mnden élre, vagy valamely potencálérték tart a végtelenhez, azaz a leghosszabb út végtelen. Az eredményekből kapható nformácók Defnícó: A legkorább potencálrendszer (dőpoltka) µ N a leghosszabb út s-ből -be N. Mnden olyan tevékenység, amely a -ből ndul, legkorábban a µ dőpontban kezdődhet. Defnícó: A legkésőbb potencálrendszer (dőpoltka) µ N az átfutás dő µ t mínusz a leghosszabb út t-ből -be N. Mnden olyan tevékenység, amely a -be érkezk, legkésőbben hogy feeződön. µ dőpontban be kell, Krtkus esemény: olyan csomópont, amelyhez tartozó legkorább és legkésőbb potencál megegyezk. Krtkus út: a leghosszabb út s-ből t-be. Az tevékenység tartalékdő: Teles tartalékdő: µ µ τ Szabad tartalékdő: µ µ τ Feltételes tartalékdő: µ µ τ 8

Független tartalékdő µ µ τ Az tevékenység lehetséges legkorább befeezése µ + τ. Az tevékenység lehetséges legkésőbb kezdete µ τ. Krtkus tevékenységnek nevezzük azt a tevékenységet, amelynek teles tartalékdee. A krtkus út csak krtkus tevékenységekből áll. Feladat: Keressünk maxmáls utat -ből 5-be az alább hálón! Határozzuk meg a legkorább és a legkésőbb dőpontecálokat. 8 5 legkésőbb (5)(6) 5 ()5 legkorább 4 5 5 4 5 5 (4) 8 ()8 4-4 (6) 5 µ 5 = = 4 _ µ = 8 = 5 µ = 5 = 8 _ µ = = _ µ = = Feladatok:. Keressen maxmáls utat -ből 6-ba. Határozza meg a legkorább és legkésőbb dőpoltkát. 9

4 P 6 P5 P 5-7 P6 P 4 6. Ábrázola háló segítségével az alább tevékenységeket és kapcsolatokat mad keressen utat a kezdőpontból a végpontba és határozza meg a legkorább és legkésőbb dőpoltkákat. A tevékenységek nem megszakíthatóak. a. Család ház építését tevékenységre bontuk. Alapozás 4 nap, Szerkezetépítés 6 nap, befeező munkák 5 nap. b. Egy útépítés során a földkemelés 5 nap, útalapozás 4 nap aszfaltozás 5 nap. A tevékenységek legalább nap távolságra kell, hogy legyenek egymástól. Határozza meg a mnmáls átfutás dőt. c. Egy útépítés során a földkemelés 5 nap, útalapozás 4 nap aszfaltozás 5 nap. A tevékenységek maxmum 4 nap távolságra lehetnek egymástól. Határozza meg a mnmáls átfutás dőt. d. Egy útépítés során a földkemelés 5 nap, útalapozás 4 nap, aszfaltozás 5 nap. A tevékenységek legalább de legfelebb 4 nap távolságra lehetnek egymástól. Határozza meg a mnmáls átfutás dőt. e. Egy útépítés során a földkemelés 5 és 7 nap között, az útalapozás -6 nap között, az aszfaltozás 5 és 7 nap között lehet. A tevékenységek legalább de legfelebb 4 nap távolságra kell, hogy lehetnek egymástól. Határozza meg a mnmáls átfutás dőt. 4. Mnmáls út maxmáls potencál A mnmáls út feladat megoldása címkézés technkával először Ford és Mnty dolgozatában szerepelt. Adott [N, A] dgráf élehez rendelünk egy τ számot. Defnícó: (út hossza) P (x,, x k-, x k,, x t ) = τ P

N = {,,,, 4} A = {(,); (,); (,4); (,);(,4)} τ, = ; τ, = ;. µ, µ, µ, µ 4 Feltételezések A hálózat rányított. Mnden élhossz egész szám. A hálózatban nncs negatív kör negatív cklus-azaz negatív hosszúságú rányított cklus. A fent feltételezésekkel történetleg az alább feladatokat defnálták a dgráfon.. Keressük meg a legrövdebb utat egy csomópontból az összes többbe nemnegatív élhosszúságú hálón.. Keressük meg a legrövdebb utat egy csomópontból az összes többbe tetszőleges élhosszúságú hálón.. Keressük meg a legrövdebb utat mnden pontból mnden pontba. A továbbakban az. feladattal foglalkozunk. Prmál feladat : Keresendő olyan út az s, t pontok között, P = { s=x, x,, t=x n }, amelyre τ (P) = τ érték mnmáls. P Duál feladat: Tegyük fel, hogy az s pontban van egy egységny áru, melyet t pontba akarunk elszállítan, az [N, A] dgráf éle mentén, ahol a szállítás költségeket elöle τ. Tegyük fel, hogy az árut a termelőnek kell elszállítana. Jön egy szállító, ak a termelőnek a következő áraánlatot tesz. Mnden N ponthoz ad egy értéket, amennyért ő abba a pontba szállíta az árut. Jelölük ezt µ vel. A szállító, hogy aánlata elfogadható legyen, olyan µ szállítás értékeket adhat meg, melyekre: µ s = µ - µ τ A A szállítónak az a céla, hogy bevételét maxmalzála, azaz µ t maxmáls legyen. Keresendő olyan potencálrendszer, amelyre a telesül és µ t maxmáls. Alaplemma: Adott [N, A, τ] hálózatban az s, t pontok között tetszőleges P útra és -ot telestő µ rendszerre gaz, τ(p) µ t és egyenlőség akkor és csak akkor ha µ - µ = τ P ath

Bzonyítás: τ(p) = τ P P = µ t - µ s de µ s = τ(p) µ t (µ - µ ) = µ x - µ x + µ x - µ x + µ x4 - µ x +.+ µ xm - µ xm- = = µ xm - µ x Következmény: Ha az [N, A, τ] hálózaton τ(p) = µ t, akkor τ(p) és µ t optmálsak. Bzonytás: ndrekt úton: Tegyük fel, hogy τ(p) = µ t, de τ(p ) < τ(p), ekkor τ(p ) < µ t, am lehetetlen. Dualtás tétel: (FORD) Adott [N, A, τ] hálózaton létezk olyan út az s, t pontok között és olyan -ot telesítő potencálrendszer, amelyre mnτ ( P ) = max µ τ µ Bzonyítás: A bzonyítás konstruktív tehát egyben elárást s ad a P út és a µ N potencálértékek megkeresésére. Kndulás µ = N Keresendő olyan β részháló (β A dgráf), ahol µ - µ = τ β Keressünk utat az [N, β] dgráfon, olyan éleken ahol µ - µ = τ A következő két eset fordulhat elő:. van út s-ből t-be, ahol µ - µ = τ, ekkor µ t és τ(p) optmálsak. van egy (S, T) vágás, ahol a vágásban lévő mnden élre τ > µ + µ legyen ε = {τ - µ + µ }, S,T és ε = mn ε ( S, S ') Módosítsuk a µ (potencál) rendszert az alábbak szernt. S µ µ, ha S = µ + ε, ha S ' Megmutatuk, hogy az így defnált µ továbbra s telesít a µ - µ τ feltételt A-ra. Ha S és S, akkor rendben. Ha T és T, akkor µ + ε - µ - ε τ, rendben. Ha S, T, akkor µ + ε - µ τ, gaz az ε konstrukcóa matt. Ha T, S, akkor µ - µ - ε τ, rendben. Tehát az ú µ potencálrendszer továbbra s megengedett megoldás /azaz µ telesít -t/. Mvel τ véges (τ(p), µ t s véges (felülről korlátos)), ezért az algortmus véges lépésben véget ér. Ezzel a bzonyítást befeezzük. Következmény: ha τ(p) és µ t optmálsak, akkor τ(p) = µ t

Bzonyítás: ndrekt Algortmus: Első lépés: keressünk meg a mn. utat -ből 5-be! ε tábla µ µ = τ Az S halmaz elemet függőleges vonallal az S elemet vízszntes vonallal húzzuk át. Így a +s 4 5 4 4 4 5 Az üresen hagyott részen a két érték közül ( és 4) ε mn =. Így ezen a részen levonunk -at, ahol csak vízszntes ll. csak függőleges sraffozás van, azt békén hagyuk; a dupla sraffnál pedg hozzáadunk az eddg értékekhez ε mn = -at. fedetlen részen az (S,T) vágásban lévő élek maradnak, a kétszer áthúzott részen a vágásban vsszamenő élek találhatók. E két élen a bzonyításban leírtak alapán módosítan kell az ε táblán. A vágásban lévő élek ε értéke a mn ε-nal csökken, míg a vsszamenő éleken nő. Így az ú ε tábla: +s + 4 5 4 4 5 Most s az ε mn ot keressük. Az üresen hagyott részen ( és 4) ε mn =. Így tt levonuk az et, a duplán sraffozott részen található értékekhez pedg hozzáadunk -et. Keressünk utat -ből 5-be olyan éleken, ahol ε=; azaz () egyenlőséggel telesül az adott élre. Ú ε tábla: +s + + 4 5 4 5 Ugyanazt kell tennünk, mnt eddg. Úra ε mn keresése. Két érték van az üres mezőben ( és ). Így ε mn =. Üres mezőrészben lévő értékekből kvonuk, a duplán sraffozottban lévőkhöz hozzáaduk.

Ú ε tábla: +s + + - 4 5 4 5 Üres mezőrészben ε mn =. A több lépés ua. Elértünk célunkat: elutottunk -ből 5-be. +s + + + +4 4 5 4 5 5 Mnmáls út: 5 4 Az út hossza: ε = + + + = 8 mn Feladat: Bzonyítsa be, hogy az alább algortmus a mnmáls út maxmáls potencál feladatpárt olda meg. Algortmus: Kndulás: µ s = s S és µ =+ egyébként Menünk végg a dgráf mnden csomópontán. Ha µ > τ + µ A-ra, akkor µ := τ - µ, ahol S. Az algortmus véges lépésben véget ér mert vagy () telesül mnden élre, vagy valamely potencálérték tart a negatív végtelenhez, azaz a legrövdebb út végtelen. 4

Feladatok a mnmáls út maxmáls potencál feladatra:. Személyek dőtervezése (Clark Hastngs 977) Egy építőpar vállalat munkáához havonta az alább számú acélszerelő szakmunkás szükséges. Hónap Máus Júnus Júlus Augusztus Szeptember Október Szakm. száma 5 7 5 4 Tegyük fel, hogy a szakmunkások ütemezése hav bontásban történk, és áprlsban már szakmunka a helyszínen van és Novemberben s marad a munkahelyen. A munkások alkalmazásához tartozó költségek: ezer fornt havonta és személyenként lletve 5 ezer fornt a munkás áthelyezése egy másk munkahelyre. Csak munkást tud a cég egyszerre munkába állítan a hónap eleén és a munkások legfelebb egyharmadát tuda a hónap végén áthelyezn. A vállalat hav ezer forntért tud munkást szerezn és ezer forntot kell fzetne a túlmunkáért havonta személyenként. A túlmunka nem lehet több mnt 5%-a normál munkadőnek. Keressük meg a munkások foglalkoztatásának mnmáls költségű megoldását, a legrövdebb út modell felhasználásával. 5

5. Maxmáls folyam mnmáls vágás Adott [N, A] dgráf (rányított élhalmaz), az élen értelmezett és adott k A egész szám. Feltételek: - Ha van A és A akkor legyen A, k. - Nncs olyan út s-ből t-be, amelyk csak végtelen kapactású éleken vezetne keresztül. Legyen f folyam az [N, A, k] n értelmezett függvény, amelyre f k, A. Keresendő olyan v folyam érték, hogy v maxmáls, feltéve, hogy v, ha = s f - f =, ha N \ s, t A A - v, ha = t f, A k Defnícó: Az [N, A, k] hálózatban legyen (S, T) egy vágás. A k( S, T ) = értéket a k S, T vágás kapactásának nevezzük. Az összes s, t pontokat elválasztó vágások közül a legksebb kapactásút az s, t pontokra vonatkozó mnmáls vágásnak nevezzük. Defnícó: Szabad kapactás hálózat (resdual capacty) Az éleken értelmezett olyan többlet folyam, amely azt feez k, hogy feltéve, hogy A - a dgráf -edk csomópontából -be menny folyamot tudunk még átkülden az (, ) (, ) élek felhasználásával. r = k f + f r = akkor és csak akkor ha k = f és f =. A szabad kapactás hálózatot a maxmáls folyam feladat megoldására szolgáló algortmusban használuk. Alaplemma: Adott [N, A, k] hálózaton tetszőleges folyam (v) és tetszőleges vágás (S, T) között fennáll a következő kapcsolat: v k ( S, T ) Bzonyítás: v = S A f f A 6

ST v = f f () TS mvel a obboldal két tagára f k és f ( S, T ) ( S, T ) TS ezért a bzonyítan kívánt egyenlőtlenség v fennáll. k ( S, T ) Lemma: Az [N, A, k] hálózaton értelmezett tetszőleges v értékű f folyamra fennáll, hogy mnden v többletfolyam s-ből t-be ksebb-egyenlő akármelyk (s,t) vágás szabad kapactásánál a szabad kapactás hálózatban. Bzonyítás: Az alaplemma szernt v + v () ()-() k ( S, T ) v k f + f és f = ( S, T ) ( S, T ) ( T, S ) ( T, S ) ( S, T ) f felhasználva, hogy r = k f + f, következk, hogy v r ( S, T ) Ezzel a bzonyítás végére értünk. Tétel: a., egy [N, A, k] hálózaton létezk olyan f folyam, amelyre v maxmáls és amelyre v egyenlő a hálózatban lévő mnmáls kapactású vágással. b., egy f folyam akkor és csak akkor maxmáls v értékű, ha a szabad kapactású hálózatban nncs növelő út s-ből t-be. c., a feladatnak mndg létezk egészértékű (f) optmáls megoldása. Bzonyítás: Adott [N, A, k] hálózat. Legyen f =. Keressünk növelő utat a szabadkapactás hálózatban. Legyen az úton a legksebb kapactás r mn. Ezen az úton legyen f = f+r mn. Konstruálunk egy ú szabad kapactás hálózatot. Ha nncs növelő út, akkor van olyan (ST) vágás, amelyre ST, r =, (k = f ) f =. Mvel v = =, ezért v maxmáls folyam. Illetve, ha v maxmáls folyam, akkor nncs út r ( S, T ) a s-ből t-be a szabad kapactás hálózatban, azaz létezk üres vágás a szabad kapactás hálóban. Ebben a vágásban az eredet háló mnden kapactása telített. 7

Feladat: Maxmáls folyam -ből 6-ba! +s + - - - - 4 5 6 8 7 5 5 4 6 5 4 6 Út: 6 k mn = 5 ϕ = 5 +s + + + + -5 4 5 6 5 5 5 4 6 5 4 6 5 Út: 6 5 v = v = 7 +s + + +4-5 Út: 6 5 4 v = v = 9 4 5 6 7 5 7 4 6 5 6 5 8

+s + -5 + -4 4 5 6 7 5 7 4 4 5 6 5 4 Nncs út -ből 6-ba. Az algortmus leáll. Tehát marad az előző lépésben meghatározott érték. Maxmáls folyam -ből 6-ba: v = 9 9

6. A maxmáls folyam, mnmáls vágás feladat kteresztése (több forrással és több nyelővel rendelkező hálózatok) Maxmáls folyam feladat Az N,A,k hálózatot egészítsük k egy mnden csomóponthoz adott b b =. N értékkel, feltéve, hogy Feladat: keresendő olyan v folyam érték, hogy v maxmáls, feltéve, hogy v, ha = s f - f = b, ha N \ s, t A A - v, ha = t f, A k A feladat megoldását két lépcsőben kapuk meg. Először megengedett megoldást keresünk. Ehhez a hálózatot crkulácóvá alakítuk egy ú (t,s) él bevezetésével, amelynek alsó kapactása, felső kapactása végtelen. Keressünk megengedett megoldást a maxmáls folyam algortmus segítségével. Ha létezk megoldása az első lépcsőnek, akkor úra alkalmazva egy maxmáls folyam algortmust kapuk a feladat optmáls megoldását. Megengedett folyam keresése: Feladat: keresendő olyan f folyamrendszer, hogy f - f A A k = b, ha N f, A Megoldás: Mnden b > ra egészítsük k az eredet G hálózatunkat egy (s,) éllel, ahol s ú csomópont k, := b. s Mnden b < ra egészítsük k az eredet G hálózatunkat egy (, t) éllel, t = - b Az így kbővített hálózaton keressünk maxmáls folyamot s-ből t-be Ha a kapott megoldás telít az ú éleket, akkor létezk megengedett megoldása az eredet feladatnak. Ha nem telít, akkor az eredet feladatunknak sncs megoldása. Ha a maxmáls folyam telít az ú éleket akkor és csak akkor lehet az eredet feladatot megoldan. k

7. Maxmáls folyam keresése alsó felső kapactás korláttal rendelkező hálózatokon Az N,A,k hálózatot egészítsük k egy mnden élre az élen szükséges alsó kapactás l értékével, valamnt egy a csomópontokhoz adott b értékkel, feltéve, hogy b =. Defnícó: Az [N, A, k] hálózatban legyen (S, T) egy vágás. A N S, T k( S, T) = k l értéket a T, S vágás kapactásának nevezzük. Az összes s, t pontokat elválasztó vágások közül a legksebb kapactásút az s, t pontokra vonatkozó mnmáls vágásnak nevezzük. Defnícó: Szabad kapactás hálózat (resdual capacty) Az éleken értelmezett olyan többlet folyam, amely azt feez k, hogy feltéve, hogy A - a dgráf -edk csomópontából -be menny folyamot tudunk még átkülden az (, ) (, ) élek felhasználásával. r = k f + f l r = akkor és csak akkor ha k = f és f = l. A szabad kapactás hálózatot a maxmáls folyam feladat megoldására szolgáló algortmusban használuk. Feladat: keresendő olyan v folyam érték, hogy v maxmáls, feltéve, hogy v, ha = s f - f = b, ha N \ s, t A A - v, ha = t l f k, A A feladat megoldása két lépcsőben történk. Először megengedett megoldást keresünk. Ehhez a hálózatot crkulácóvá alakítuk egy ú (t,s) él bevezetésével, amelynek alsó kapactása, felső ' kapactása végtelen. Ezután vezessük be a f f l folyamot. A feltétel halmaz ekkor a következőképpen alakul. ' ' ( f + l )-( f + l ) = b, ha N A A Átrendezés után kapuk, hogy = A f ' - A f ' = b -l + l A A ' = b, ha N ' ' f k l = k, A.

Példa: Eredet háló az alsó felső kapactásokkal.,5,6,8 4,5,7 A hálót crkulácóvá alakítuk át és kszámoluk az ú kapactás értékeket s. - 4 5 6 4 4-4, I. fázs. Keresendő maxmáls folyam s-ből t-be az alább hálón. s 4 5 4 t 6 4, 4 A transzformált hálózaton kapott maxmáls folyam, az első fázs megoldása látható a következő ábrán:

s 4 4 t 6 Az eredet feladat egy megengedett megoldása: 5 4. fázs a megengedett megoldásból kndulva keressünk egy optmáls megoldást. Keresendő maxmáls folyam az alább hálón: (a háló szabad kapactásat a k + az első fázs megengedett folyam értékeből számolhatuk k) 4 6 4 4 A. fázs egy optmáls megoldása a szabad kapactás hálózaton ábrázolva a következő ábrán látható (már nncs növelő út -ből 4-be).

6 4 5 4 Az eredet feladat optmáls megoldása: 4 6 4 5 A mnmáls vágás S(,) és a T(,4) halmazokat választa el. A maxmáls folyam értéke, amely az --4 úton vhető át. Az eredet feladatban a maxmáls folyam és a mnmáls vágás értéke s 9. Feladatok:. Van építés munkahely. Mnden munkahelyen nap műszakban folyhat a munka. Ismert, hogy naponta átlagban mnmálsan menny ember szükséges az egyes munkahelyeken. Az.mh: 5 fő;.mh. fő;.mh. fő. Tuduk továbbá, hogy műszakonként maxmum menny ember áll rendelkezésünkre. Végül adott az alább táblázat, amely megmutata, hogy munkahelyenként és az egyes műszakokban dolgozó emberek száma mlyen mnmáls és maxmáls értékek között változhat.. műszak. műszak. műszak. munkahely 7,9 7, 6,. munkahely 4,8 5,9 5,5. munkahely 5, 6,4,4 Határozzuk meg maxmáls folyam algortmussal, hogy m az a mnmáls létszám, amely megfelel a fent követelményeknek. 4

8. Köng feladat Köng Dénes (884-944) Feladat: Adott I, I,, I m személy (munkás) és J, J,, J n munka (m n). Mndegyk személy valamlyen munkákra van kvalfkálva. Ezt célszerűen a Q=(α ) úgynevezett kvalfkácós mátrxba szoktuk összefoglaln, ahol α =, ha I személy ért a J munkához, másként α =. A feladat annak eldöntése, hogy kaphat-e mnden ember munkát, feltéve, hogy mnden személy olyan munkát végezzen, amhez ért és egy munkára csak egy személyt rendelünk továbbá egy munkás csak egy munkát láthat el. Munkás : P = {I, I } P = Munka : J(P) = {J, J, J } J, P = Tétel: Adott kvalfkácós mátrx esetén az alább két állítás közül az egyk gaz:., mnden munkást el tudunk látn munkával., létezk a munkásoknak egy olyan részhalmaza (P), hogy a P számossága nagyobb, mnt az általuk elvégezhető munkák számossága. P > J(P) Bzonyítás: a feladat egy maxmáls folyamfeladattá fogalmazható át. Készítsük el a folyamhálózatot n + m + csúccsal az alábbak szernt Legyen k(s, I ) =, mnden -re, K(J, t) =, mnden -re, K(I, J ) =, ha I személy alkalmas a J munkára, mnden más kapactás legyen nulla. Keressünk max. folyamot:., ha a max folyam értéke m, akkor mnden munkásnak van munkáa., ha a max folyam m-nél ksebb; legyen az (S, T) mnmáls vágás. Mvel a folyamérték ksebb, mnt m, úgy k(s, T) < m. Mnmáls vágáskor telítettek az élek, tehát kapactású él nem lehet a vágásban. Továbbá nem lehet a vágásban vsszafelé olyan él sem, amelyen folyam folyk, mert akkor a szabad kapactás hálózatban ugyanezen csomópontok között vágásban lévő él szabad kapactása nem lenne. A vágás kapactása m p + r < m így p > r. Ez az gazoln kívánt egyenlőtlenség, P > J(P) Példa: Legyen adott az alább kvalfkácós mátrx és határozzunk meg egy hozzárendelést. Kndulás: Készítsünk el egy kezdet hozzárendelést. Jelölük ezt körökkel. Feladat: 5

9. Futószalag modell: A futószalag modell a Köng feladat egy általánosítása. Feladat: Adott I, I,, I m személy (munkás) és J, J,, J n munka (m n). Mndegyk személy valamlyen munkákra van kvalfkálva. Ezt célszerűen a Q=(α ) úgynevezett kvalfkácós mátrxba szoktuk összefoglaln, ahol α =, ha I személy ért a J munkához, másként α =. Adottak továbbá a τ (=, m) (=, n) nem negatív egész számok, amelyek azt az dőt elentk, amenny dő alatt az I munkás a J munkahely feladatot elláta. Valamely hozzárendelés esetén a futószalag sebességét az határozza meg, hogy menny a leghosszabb deg dolgozó munkás munkadee. A feladat annak eldöntése, hogy kaphat-e mnden ember munkát, feltéve, hogy mnden személy olyan munkát végezzen, amhez ért és egy munkára csak egy személyt rendelünk továbbá egy munkás csak egy munkát láthat el. Célunk olyan hozzárendelés megvalósítása, amelynél a leghosszabb deg dolgozó munkás munkadee mnmáls. Példa: 6

. Általános Köng feladat (földszállítás feladat): Legyenek adottak az I.I m földnyerő helyek melyek kapactása. és a J. J n építés földlerakó helyek, amelyek kapactása.. A költségeket fgyelembe véve adott egy elfogadhatóság mátrx, amelynek (,) celláában x áll, ha a szállítás az -edk helyről a -edk helyre elfogadható. Ha P I a földnyerő helyek tetszőleges részhalmaza, akkor ezen földnyerő helyekről elfogadható költséggel elérhető földlerakó helyek halmaza R = J P) J Feltesszük, hogy m = α n = β (. Feladat: Döntsük el, hogy a föld elszállítható-e az adott helyekről az elfogadható földlerakó helyekre és adunk egy lehetséges szállítás poltkát. Az általános Köng feladat megoldhatóságára vonatkozk az alább tétel: Tétel: Adott kvalfkácós mátrx esetén az alább két állítás közül az egyk és csak az egyk gaz.., mnden földet el tudunk szállítan az elfogadható földnyerő helyekre. Max folyam S T = Σα, ha ksebb., létezk a földnyerő helyeknek egy olyan P I részhalmaza, hogy az elhelyezn kívánt föld mennysége nagyobb mnt az elfogadható földlerakó helyek kapactása. P α > J(P) β α > β P J (P) Bzonyítás: Konstruálunk egy m+n+ csomópontú hálózatot a következőképpen. Feladatok: Keressünk maxmáls folyamot s-ből t-be.., Ha a maxmáls folyam α, akkor a tétel első állítása gaz. P., Ha a maxmáls folyam ksebb mnt α, akkor a mn vágás értéke P α + β < α ( = α + α ) P R R β < P P α P. Az Ön feladata vállalkozók kválasztása adott munkára. A vállalkozók mnden feltételnek megfelelnek amelyet az aánlatkérő előírt számukra. vállalkozót kell munkához rendeln. Állítson fel modellt a következő feltételekkel: a., Egy vállalkozó csak egy munkát kaphat meg. P 7

b., Egy vállalkozó több munkát s megkaphat. c., Egy vállalkozó több munkát s elnyerhet de egy munkát maxmum vállalkozó végezhet.. Általános szűk keresztmetszet feladat: Legyenek adottak az I I.I m földnyerő helyek melyek kapactása. és a J J. J n építés földlerakó helyek, amelyek kapactása.. A költségeket fgyelembe véve adott egy elfogadhatóság mátrx, amelynek (,) celláában x áll, ha a szállítás az -edk helyről a -edk helyre elfogadható. Ha P I a földnyerő helyek tetszőleges részhalmaza, akkor ezen földnyerő helyekről elfogadható költséggel elérhető földlerakó helyek halmaza R = J P) J Feltesszük, hogy m = α n = β (. Adottak még a τ (=,,m) (=,,n) értékek, amelyek a I helyről a J helyre történő szállítás deét elölk. Feladat: Döntsük el, hogy a föld elszállítható-e az adott helyekről az elfogadható földlerakó helyekre és adunk egy olyan lehetséges szállítás poltkát, amelyre a maxmáls τ mnmáls. Feladatok. Egy vállalkozónak egyszerre öt építés munkahely betonszükségletét kell kelégíten 5 betongyártó felhasználásával. Ismert a gyártók kapactása és a betongény az egyes munkahelyeken. Honnan érdemes rendeln a betont, hogy a lehető leghamarabb a munkahelyre kerülön a beton?. Adott 4 darab földnyerőhely és 5 darab földlerakóhely, továbbá a knyerhető és a lerakható földmennysége. (Az adott géplánc függvényében.). Adott továbbá az az dőszükséglet am két hely között összállítás dőt mutata. Állapítsuk meg, hogy honnan hova érdemes a földet szállítan, ha a lehető legkevesebb dő alatt és költséggel szeretnénk ezt megvalósítan.. Egy szállító vállalkozás azt a feladatot kapa, hogy 4 munkahelyekről 5 földlerakóhelyre szállítson anyagokat. A költségmnmalzálás érdekében úgy szeretné megoldan a feladatot, hogy mndg a lehető legközelebb lévő lerakóhelyre szállítana. Adott a munkahelyeken dőegység alatt ktermelendő föld és a lerakóhelyeken dőegység alatt bedolgozható földmennység. Továbbá a szállítás távolságok. Honnan hova szállítsunk? 8

. Mnmáls költségű folyam feladat Prmál feladat: Adott a, b, c. Keresendő az [N,A,k,] hálózaton értelmezet, A folyam, amelyre A A f f = d f Α A k a mnmáls. f N,, t f Duál feladat. Adott az [N,A] tervütem háló és az a, b, c Α -ra nemnegatív egész értékek. Keresendő azon µ, N -re és τ, A -ra, ahol µ µ z a Α z Α () max N d µ A k z maxmáls Lemma: Mnden ()-ot a prmál feladat feltételet- telesítő µ és τ valamnt az N,k hálózaton értelmezett tetszőleges f folyamra, melynek értéke ν telesül az alább egyenlőtlenség. N d µ A k z A a f Bzonyítás: N = A A N A ( µ a ) d µ k z d µ f µ N d µ f µ A ( µ ) + fa = A A ( µ µ ) = µ ( f f ) = f d µ N A N f a = Ezzel bzonyítást befeeztük. Következmény: Ha egyenlőség áll fenn, akkor a célfüggvények optmálsak. 9

Optmaltás krtérum: Az egyenlőség fennállásának elégséges feltétele, hogy létezzen olyan folyam, amelyre: Ha k f > akkor µ µ a = > Ha z > akkor f = k Ha z > akkor f c Alkalmazás példák: Vállalkozó feladata (Prager 957) Egy vállalkozónak a következő feladatot kell megoldana. Mnden T dőszakban vásárolhat, eladhat, vagy megtarthat árukat a következők szernt. Mnden -edk dőpontban legfelebb a egységet vehet az áruból b egységet tarthat a következő peródusra és el kell adna c darabot. Feltéve, hogy p, w, és s elöl az egységny költségeket az -edk dőpontban mlyen vételeladás poltkát kell követne a vállalkozónak, hogy maxmalzála a bevételét a T peródus alatt? Legyen T=4. Szállítás feladat Van 4 téglagyár és 5 építőanyag kereskedő. Ismert a szállítás kapactások és költségek. Keressük a mnmáls költségű szállítás poltkát. Téglagyárak szállítás feladata (gyártás elosztás modell) Van téglagyár. Mndegyk ugyanazt a terméket gyárta. Van 4 építőanyag kereskedő. Ismert a kereskedők övő év téglagénye, a téglagyártás költsége és maxmáls kapactása termékenként továbbá a szállítás költségek és kapactások mnden vszonylatban. A téglagyár költsége a tégla eluttatása a kereskedőkhöz. Konstruála meg azt a modellt, amelyk választ ad a következő kérdésre: M a mnmáls költségű szállítás, amely kelégít az gényeket? Megoldás: Razolon fel egy hálózatot, amelyben a csomópontok a gyárakat, a adott gyár adott modellet, adott kereskedő adott modellet és a kereskedőket elöl. A gyáraktól az adott gyár adott modellég vezető élek a gyártás kapactást és költségeket elölk, a az adott gyár adott modelle csomópontból az adott kereskedő adott modellég vezető élek a szállítás kapactást és költségeket, míg az adott kereskedő adott modellétől a kereskedőt elölő csomópontg vezető él a kereskedő gényet elöl. Ugyanaz a feladat mnt előbb de mnden téglagyár ugyanazt a - terméket gyárta.

. A Költségtervezés tme-cost trade-off feladat hurokmentes hálón Tegyük fel, hogy tervütem hálónk hurokmentes. A költségtervezés feladatban a háló ponta eseményeket, az élek valód- és látszattevékenységeket vagy kapcsolatokat elölnek. Valód tevékenység esetén ekkor a és b nemnegatívak - a tevékenység elvégzésének normál deét b lletve roham deét a elöl, τ pedg a tevékenységdőt. Jelöle egy tevékenységre a b dőtartamhoz rendelt költséget K b az a dőhöz tartozzon K a. A költségfüggvényről tegyük fel, hogy lneárs, meredeksége -c K b K a c, ahol c azaz = tgα = c. Ekkor egy adott tevékenységdőhöz τ -hoz b a tartozó költség K b + ( b τ ) c. A költség a normál dőnél a legksebb a rohamdőnél a legnagyobb és közben lneársan változk. Ha a és b negatívak, tehát nem valód tevékenységet elölnek, akkor c=. költség K cτ C =-tgα a τ b Tevékenység dő Prmál feladat (a kvtelező feladata). Adott az [N,A] tervütem háló és az a, b, c Α -ra nemnegatív egész értékek. Keresendő azon µ, N -re és τ, A -ra, ahol τ A µ µ c τ. Α τ b Α τ a Α µ = µ p t = () és az összköltség mnmáls, azaz ( c ) A K τ vagy max A fent feladathoz rendelhető a következő úgynevezett duál feladat. Tekntsük az [N,A,k] hálózatot, ahol, k, Α -ra tetszőleges nemnegatív egész.

Duál feladat (Munkaerő közvetítő feladata): Keresendő az [N,A,k] hálózaton értelmezet A f f A ( c f ) b ( f c ) A f < c = N,, t pν + a mnmáls. -ahol ν a folyam értéke. A f > c f, A folyam, amelyre Megegyzés: A duál egy lehetséges nterpretácóa a következő. Egy munkaerő közvetítő vállalkozó munkaerőt bztosít a gyorsításhoz. A munkásokat p napon keresztül folyamatosan kell foglalkoztatn. A nap munkáslétszámot elöle ν. Ha a gyorsításhoz egy tevékenységen szükséges munkásszám, azaz c, nagyobb mnt am rendelkezésünkre áll, f, akkor úabb embereket kell bérbe venn, a vállalkozó előzetes számítása szernt b napg. Ellenkező esetben a vállalkozó bérbe ada a munkásat a napg. A két feladat között kapcsolatot mutata meg a következő lemma. Lemma: Mnden ()-ot a prmál feladat feltételet- telesítő µ és τ valamnt az N,k hálózaton értelmezett tetszőleges f folyamra, melynek értéke ν telesül az alább egyenlőtlenség. A c τ pν + ( c f ) b ( f c ) A f < c A f > c ahol ν az f folyam értéke (a start csomópontból kfolyó folyamok összege). a Bzonyítás: A c τ = ( f + c f ) τ + ( f ( f c ) A f < c A f > c τ = A f τ ( c f ) τ ( f c ) τ + A f < c A f > c ( ) ( ) ( ) f µ µ + c f b f c a A A A ahol f < c f > c ( ) ( ) f µ µ = µ f f = µ ( ν ) + µ ν t A N A Ezzel bzonyítást befeeztük. Következmény: Ha egyenlőség áll fenn, akkor a célfüggvények optmálsak.

Optmaltás krtérum: Az egyenlőség fennállásának elégséges feltétele, hogy létezzen olyan folyam, amelyre: Ha τ < µ µ akkor f = Ha τ < b akkor f c Ha τ > a akkor f c Krtkusnak nevezünk egy tevékenységet, ha krtkus tevékenységeken folyhat. τ µ µ =. Vegyük észre, hogy folyam csak Észrevétel:. A prmál feladat célfüggvényének maxmalzálása matt optmaltás esetén τ az alább értékeket vehet fel. τ = mn µ µ, b [ ]. A leghosszabb átfutás dőhöz tartozó optmáls megoldás, τ = b, f =, A. Az optmaltás krtérumoknak megfelelően a következő osztályokba sorolhatuk az éleket. A I telesül, (esetleg s) τ < µ µ f = A II és telesül, a < τ < b, τ = µ µ f = c A III csak telesül, τ < b, τ = µ µ = a f c A IV csak telesül, a < τ, τ = µ µ = b f c A V egyk sem telesül, τ = a = b = µ µ f Lemma: Ha valamely p-re létezk optmáls µ,τ, f akkor vagy létezk p<p amelyre van optmáls µ,τ, f megoldás vagy p a legksebb érték amelyre a feladat megoldható. Bzonyítás: Készítsük el az alább [N,A,r] szabad kapactás hálózatot, ahol A olyan kbővítés A-nak, hogy ' ha A akkor legyen A. Él csoport Kapactás az A Kapactás a élen ( nem élen tartozk A-ba!) A I r =, r = A II r =, r = A III A IV r =, r = f c r = c f, r = f A V r =, r = f A több él kapactása legyen.

Keressünk maxmáls folyamot az előbb defnált hálózaton. Legyen a maxmáls folyam g a S, T. mnmáls vágás ( ) Legyen f = g + f., A. A kapactások megválasztása matt f továbbra s megfelel az f optmaltás krtérumoknak. Ha g végtelen, akkor van olyan út s-ből t-be, amelyen mnden él vagy az A III vagy az A V csoportba tartozk, tehát azon az úton mnden τ = a, így p a legksebb érték (átfutás dő) amelyre a feladat megoldható. Ha g véges, akkor a vágásban lévő élek telítettek, azaz a vágásban vagy f = vagy f = c ahol ( S, T ). A vágásban csak A I, A II, A IV típusú élek lehetnek, mert ezek kapactása korlátos. A vágásban vsszafelé bármlyen kapactású él lehet. Vzsgáluk meg a folyamnformácók segítségével, hogy a vágásban lévő és a vágásban vsszafelé lévő élek mlyen élcsoportba kerülhetnek az optmaltás krtérumok betartásával, ha változnak a T halmazban a potencál értékek. Ekkor egy élen a folyam vagy vagy c. Vágásban lévő élek S, T, A,. A I τ < µ µ, τ = b, f = Ha µ ksebb lesz, akkor vagy A I marad az él, vagy addg csökkenhet, amíg f c = A IV típusú nem lesz, ekkorτ = µ µ = b f c, vagy ha c = akkor tovább csökkenésre lehet A II típusú a < τ < b, τ = µ = µ, végül ha c = és a = b akkor lehet A V típusú, ekkorτ = µ µ = a = b f. A maxmáls csökkenés tetszőleges c-re, mnden vágásban lévő A I típusú élt fgyelembe véve δ = mn ( µ µ b ) S, T AI A II típusú él esetén a < τ = µ µ < b, µ < µ -re τ = µ µ < b, ha most τ > a akkor az él A II típusú, ha τ = a akkor A III típusú lesz az él. A folyamérték f = c A maxmáls csökkenés δ = ( µ µ a ) mn S, T AII Ha a vágásban A IV típusú él van: a < τ = b = µ µ, akkor egy µ < µ -re τ ha most folyamérték = µ µ < b, τ > a akkor az él A II típusú, ha τ = a akkor A III típusú lesz az él. A f = c. A maxmáls csökkenés δ = ( µ µ a ) 4 mn S, T AIV 4

A vágásban vsszafelé bármlyen él lehet. Ekkor következőképpen változnak T, S, A és a potencálértékek a A I típusú él A I típusú marad A II, a < τ = µ µ < b Tetszőleges µ < Ha Ha µ -re (ekkor a < < b τ nőhet!) az alább lehetséges élosztályok adódnak τ = µ µ, akkor az él A II típusú marad a < τ = µ µ = b akkor az él A IV osztályba tartozk; Ha c =, és a τ µ µ < <, = τ b akkor A I típusú lesz az él. A maxmáls csökkenés tetszőleges c-re δ = ( b µ + µ ) v mn T, S AII f c ; A III τ = µ µ = a < b, f c. Ekkor a vágásban egy f c kapactású, telített él van, tehát az ú folyam érték a vágásban vsszamenő A III élen Tetszőleges µ < Ha Ha µ -re (ekkor a < < b f = f + g = f f + c = c τ nőhet!) az alább lehetséges élosztályok adódnak τ = µ µ, akkor az él A II típusú marad f = c a < τ = µ µ = b akkor az él A IV osztályba tartozk; f c Ha c =, és a τ µ µ < <, = A maxmáls csökkenés δ = ( b µ + µ ) v mn T, S AIII τ b akkor A I típusú lesz az él f =. A vágásban vsszamenő A IV vagy A V típusú él A I típusú lesz, ha a µ csökken. Most csökkentsük a potencálértékeket úgy, hogy a folyamértékek változatlanok maradnak és az optmaltás krtérum továbbra s telesül. δ = ( δ, δ, δ, δ v δ ) : mn 4, v ahol δ bztosan poztív mennység. Legyenek az ú potencál értékek a követezők szernt megválasztva. µ = µ, ha S, µ = µ λ, ha T, ahol λ =,,,..., δ lletve τ : mn[ µ µ, b ] =. A µ, τ, f értékek az optmaltás krtérumot kelégítk. Ezzel a bzonyítást befeeztük. ; lesz. 5

Példák. Példa: Határozzuk meg az alább tervütem hálón a mnden lehetséges átfutás dőre a mnmáls költségű megoldást. P a= b=5 c= a= b=6 c= P a= b= c= a=4 b=6 c= P a= b=5 c= Knduló értékek: kezdet folyam f=, 5 P P b=5 b= b=6 6 b=6 P b=5. terácós lépés: Élek osztályozása: szabad kapactás IV P I P P IV P I P IV P 6

g folyam és a mnmáls vágás f folyam P P P P P P δ = 6 = 5 δ 4 = 6 5 = 8 δ = 5 = δ = Az ú tevékenységdők és potencálértékek meghatározása. 5 P P 5 6 8 P 5 A költség növekedés: c = egység.. terácó Élek osztályozása: szabad kapactás IV P I P P III P I P IV P 7

g folyam és a mnmáls vágás f folyam P P P P P P δ = 5 = δ = 8 6 = δ = Az ú tevékenységdők és potencálértékek meghatározása. P P 6 6 P 5 A költség növekedés: c + c = + 6 9 egység.. terácó = Élek osztályozása: szabad kapactás II P I P P III P IV P IV P 8

g folyam és a mnmáls vágás f folyam P P P P P P δ 4 = = 5 δ 4 = 6 = δ = Az ú tevékenységdők és potencálértékek meghatározása. P 9 P 6 6 P A költség növekedés: c + c + c = + 6 + 6 5 egység. 4 = 4. terácó Élek osztályozása: szabad kapactás II P I P P III P IV P III P 9

g folyam és a mnmáls vágás f folyam P P P P P P 4 δ = = δ = 6 4 = δ = Az ú tevékenységdők és potencálértékek meghatározása. P 8 P 5 5 P A költség növekedés: c + c + c + c = + 6 + 6 + 8 egység. 4 = 5. terácó: Élek osztályozása: szabad kapactás III P I P P III P IV P III P 4

g folyam végtelen a p-p-p-p4 úton mnden tevékenységdő mnmáls, így 8 nap az elérhető mnmáls átfutás dő. P P P. Példa: Határozzuk meg az alább tervütem hálón a mnden lehetséges átfutás dőre a mnmáls költségű megoldást. P a= b= c= a= b= c= P a= b=5 c= a= b=4 c= P a= b=6 c= Knduló értékek: kezdet folyam f=, P P b= b=5 b= b=4 P b=6 4

. terácós lépés Élek osztályozása: szabad kapactás IV P I P P IV P I P IV P g folyam és a mnmáls vágás f folyam P P P P P P δ = 5 4 = δ 4 = 5 = δ = 5 = δ = P 5 P 4 4 P 6 A költség növekedés: c = egység. 4

Az terácó. lépése Élek osztályozása: szabad kapactás IV P I P P II P IV P IV P g folyam és a mnmáls vágás f folyam P P P P P P δ = 4 = δ 4 = 5 = δ = 4 = δ = P 5 9 P P 6 A költség növekedés: c + c = + egység. = 4

Az terácó. lépése Élek osztályozása: szabad kapactás IV P I P P III P II P IV P g folyam és a mnmáls vágás f folyam P P P P P P δ 4 = 9 5 = δ 4 = 9 = 5 δ = P 5 8 P P 5 A költség növekedés: c + c + c = + + 5 egység. 4 = 44

4. terácós lépés Élek osztályozása: szabad kapactás IV P IV P P III P II P II P g folyam és a mnmáls vágás f folyam P P P P P P δ = = δ = δ = = P 5 7 P P 5 A költség növekedés: c + c + c + c + c = + + + + 9 egység. 4 = 45

5. lépés Élek osztályozása: szabad kapactás II P IV P P III P III P II P g folyam és a mnmáls vágás f folyam P P P P P P δ 4 = 7 = δ 4 = 7 = 4 δ = P 4 P P A költség növekedés: c + c + c + c + c + c + c = + + + + + + 9 egység. 4 4 4 = 46

6. lépés Élek osztályozása: szabad kapactás II P III P P III P III P II P g folyam és a mnmáls vágás f folyam P P P P P P δ = = δ = 4 4 = A vsszamenő III. típusú (,4) A élenδ 4 = + = δ = P P P A költség növekedés: c + c + c + c + c + c + c + c = + + + + + + 9 + 4 4 4 4 4 = 47

7. lépés Élek osztályozása: szabad kapactás III P III P P II P III P III P A g folyam végtelen ezért a mnmáls átfutás dő 4 nap. 48

4. A költségtervezés feladat megoldása a csak mnmáls kapcsolatokat tartalmazó MPM háló Mnden tevékenységre gaz, hogy τ µ µ = (tt és rendre egy tevékenység kezdete és vége), valamnt különböző tevékenységek kezdete és befeezte között tovább kapcsolatokat adhatunk meg, azaz τ µ, ahol és két különböző tevékenység kezdete vagy vége. µ Ábrázolásban ez azt elent, hogy mnden tevékenységet csomóponttal és a köztük lévő két nyíllal ábrázolunk. B 5 B 5-5 7-7 K B A tervütem háló, a továbbakban rövden csak háló, ponta eseményeket az élek tevékenységeket elentenek. Adottak a háló élehez rendelt a és b egész számok, amelyekre feltesszük hogy a b továbbá vagy mndkettő poztív, vagy mndkettő negatív valamnt az a költségtényező c, amely egy tevékenység felgyorsításához szükséges erőforrás mennysége. Jelöle a tevékenységdőt τ. Jelölésenk között kapcsolatot szemléltet a következő ábra. költség cτ K C =-tgα a τ b Tevékenység dő Továbbá, ha b negatív, akkor legyen c =. Ha a és b nemnegatívak akkor elentésük szernt a tevékenység dő elvégzésének normál dee b lletve roham dee a 49

Prmál feladat (a kvtelező feladata). Adott az [N,A] tervütem háló és háló élehez rendelt nemnegatív egész értékek. a, b egész és c, Α -ra Keresendő azon µ, N -re és τ, A -ra, ahol τ Α µ µ τ b Α τ a Α µ = µ = t és az összköltség mnmáls, azaz ( K c τ ) A Megegyzés: Az, hogy egy tevékenységre ι vagy max c τ 5 a A ι., b, a b paramétereket úgy megadn, hogy τ µ µ µ µ, b = b a = a a, τ µ µ b fennállon, elegendő az, a τ b ; lletve τ ; telesülenek. Továbbá, ha c > akkor a célfüggvény optmumát a mnden -re τ = mn( b, µ µ ) helyen vesz fel, azaz mnden tevékenységre τ = µ µ telesül (nem mnden él tevékenység), lletve ha c =, akkor τ tetszőleges, tehát úgy választható, hogy τ = µ telesülön. µ A fent feladathoz rendelhető a következő úgynevezett duál feladat. Tekntsük az [N,k] hálózatot, amely olyan, hogy k =, ha Α és egyébként. Duál feladat (Munkaerő közvetítő feladata): Keresendő az [N,k] hálózaton értelmezet, A folyam, amelyre A f A f = N,, t ( c ι f ) b ( f ι c ) pν + a mnmáls. A f < c A f > c f Megegyzés: A duál egy lehetséges nterpretácóa a következő. Egy munkaerő közvetítő vállalkozó munkaerőt bztosít a gyorsításhoz. A munkásokat p napon keresztül folyamatosan kell foglalkoztatn. A nap munkáslétszámot elöle ν. Ha a gyorsításhoz egy tevékenységen szükséges munkásszám, azaz c, nagyobb mnt am rendelkezésünkre áll, f, akkor úabb embereket kell bérbe venn, a vállalkozó előzetes számítása szernt b napg. Ellenkező esetben a vállalkozó bérbe ada a munkásat a napg. A két feladat között kapcsolatot mutata meg a következő lemma. Lemma: Mnden ()-ot a prmál feladat feltételet- telesítő µ és τ valamnt az N,k hálózaton értelmezett tetszőleges f folyamra, melynek értéke ν telesül az alább egyenlőtlenség.

A c τ ι pν + ( c ι f ) b ( f ι c ) A f < c A f > c a ahol ν az f folyam értéke (a start csomópontból kfolyó folyamok összege). Bzonyítás: A c τ ι = ( f ι + c ι f ) τ + ( f ι ( f c ) A f < c A f > c τ = A f τ ι ( c ι f ) τ ( f c ) τ + A f < c A f > c A ahol A ι f ( µ ) + ( c ι f ) b ( f c ) ι µ A f < c A f > c ( µ µ ) = µ fι ( f f ) = µ ( ν ) µ tν f + N A Ezzel bzonyítást befeeztük. Következmény: Ha egyenlőség áll fenn, akkor a célfüggvények optmálsak. Optmaltás krtérum: Az egyenlőség fennállásának elégséges feltétele, hogy létezzen olyan folyam, amelyre: Ha τ < µ µ akkor f = Ha τ < b akkor f c Ha τ > a akkor f c a Krtkusnak nevezünk egy tevékenységet vagy kapcsolatot, ha τ =. Vegyük észre, hogy folyam csak lyen éleken folyhat. µ µ Ha egy optmáls megoldást smerünk, akkor maxmáls folyam feladat megoldásával megkapható egy úabb optmáls megoldás az előbbnél ksebb átfutás dőre. De ha hálónk hurkot tartalmaz, akkor a megengedett megoldás létezése s kérdéses és általában egy knduló optmáls megoldáshoz egy mnmáls költségű folyamfeladatot kell megoldanunk. Specáls esetben (pld. hurokmentes, csak mnmáls kapcsolatokat tartalmazó MPM háló) azonban trváls a knduló optmáls megoldás. 5

Észrevétel:. A prmál feladat célfüggvényének maxmalzálása matt az optmáls τ az alább értékeket vehet fel. Ha > τ = mn µ µ, b, ha < τ = max µ µ, a. b akkor [ ] f. Egy optmáls megoldás, τ = b, =, A. a akkor [ ] Az optmaltás krtérumoknak megfelelően a következő osztályokba sorolhatuk az éleket. A I telesül, (esetleg s) τ < µ µ f = A II és telesül, a < τ < b, τ µ µ f = c A III csak telesül, τ < b, = µ µ = a f c A IV csak telesül, a < τ, = µ µ = b f c A V egyk sem telesül, τ = a = b = µ µ f = τ τ Lemma: Ha valamely p-re létezk optmáls µ,τ, f akkor vagy létezk p<p amelyre van optmáls µ,τ, f megoldás vagy p a legksebb érték amelyre a feladat megoldható. Bzonyítás: Készítsük el az alább [N,A,r] szabad kapactás hálózatot, ahol A olyan kbővítés A-nak, hogy ' ha A de A akkor legyen A és ekkor r =. Él csoport Kapactás az A Kapactás a élen ( nem élen bztos, hogy A-ba tartozk!) A I r =, r = A II r =, r = A III A IV A V r =, r = f c r = c f, r = f r =, r = f A több él kapactása legyen. Keressünk maxmáls folyamot az előbb defnált hálózaton. Legyen a maxmáls folyam g a mnmáls vágás ( S, T ). Legyen f = g + f. A kapactások megválasztása matt f továbbra s megfelel az optmaltás krtérumoknak. Hurokmentes hálóban ez a leghosszabb átfutás dőhöz tartozó mnmáls költségű megoldás. Ha a hálóban hurok van, nem bztos, hogy ez a leghosszabb átfutás dőhöz tartozó megoldás. Az így kalakított szabad kapactás hálózatban csak a mnden egyes algortmus lépésnek megfelelő folyamnövekményeket ábrázoluk. Ez egy úgynevezett resdual network. 5