. Az asztrakt adattípus Az iformatikáa az adat alapvető szerepet játszik. A számítógép, mit automata, adatokat gyűjt, tárol, dolgoz fel (alakít át) és továít. Mi adatak foguk tekitei mide olya iformációt, amelyek segítségével leíruk egy jeleséget, taulmáyuk tárgyát, vagy aak egy részét. Szite ármi lehet adat. Adat lehet egy szám, a hét egy apja, egy dátum, egy szí, egy illat, egy etű, egy év, valakiek a eme, a családi állapota, a lakcíme, a mukahelyi eosztása, a féyképe, a hagja st. A felhaszáló céljaitól függ, hogy valami az lesz, vagy sem. Általáosa megfogalmazva az adat (asztrakt adat) valamely előre rögzített halmazak az eleme. (Például ha egy személy egész cetimétere megadott testmagasságáról va szó, akkor az azt leíró adat lehet olya egész szám, amely modjuk a {0,, 2,, 299, 300} számhalmazól kerül ki. Ha agyvoalúak akaruk lei, akkor vehetjük helyette modjuk a emegatív egész - más szóval a természetes - számok halmazát. Ez utóit N-el jelöljük. N={0,, 2, 3, }). Az adat attól asztrakt, hogy csak elméletileg határoztuk meg. Még em jelet meg, em jeleítettük meg ayagi mivoltáa. Például a természetes számok közül vett adat eseté icseek számjegyei az adott számak, mivel em modtuk meg, hogy hogya fogjuk megjeleítei, leíri, reprezetáli. Eze a szite magáak a számjegy fogalmáak ics is értelme. Például a kettőezer-tizeegyet írhatjuk 0-es helyiértékes számredszereli formáa is, úgy, mit 20. Kettes alapú helyiértékes számredszere ez 00 alakú lesz, tizehatos alapú helyiértékes számredszere pedig 7DB. A római számírás szerit például MMXI alaka jeleik meg, a magyar rovásírás szerit pedig formáa. (Megjegyezzük, hogy szavakkal leírva a kettőezer-tizeegy is már egy megjeleési forma.) Általáossága em maga a kokrét adat a fotos számukra, haem a jellege, a típusa, azaz, hogy milye jellegű elemek, adatok közül jö, és mit lehet vele csiáli, milye műveleteket lehet rajta végrehajtai. Defiíció: Az asztrakt adattípus Az asztrakt adattípus egy leírás, amely asztrakt adatok halmazát és a rajtuk végezhető műveleteket adja meg (defiiálja) em törődve azok kokrét (gépi) realizálásával. Tehát egy halmazról va szó a rajta értelmezett műveletekkel együtt. Megadása törtéhet a T=(A,M) párossal, ahol T jelöli az asztakt adattípust, A az adatok halmazát, M pedig a műveletek halmazát. Például megadhatjuk a emegatív egész szám, vagy előjel élküli egész szám (természetes szám) T asztrakt adattípust úgy, hogy ez a típus T=(N, M), ahol N={0,, 2, 3, } az adatok halmaza, és M={+, *} az összeadás és a szorzás, az N elemei végezhető műveletek halmaza. Azt, hogy a műveleteket kokréta hogya kell végrehajtai, a leképezést, amely megadja a művelet eredméyét, a művelet leírása tartalmazza. Az asztrakt adattípus egy fekete dooz, amelye eletesszük az adatot tárolásra és kivesszük, ha szükségük va rá. Nem érdekes, hogy a dooz hogya végzi a tárolást. Ami viszot fotos az az, hogy az asztrakt adattípushoz elválaszthatatlaul hozzátartozak azok a műveletek, amelyeket az adatokkal végezi lehet. A művelet fogalmát ezek utá tisztázuk kell. Defiíció: Halmazok Descartes szorzata Két halmaz Descartes szorzatá egy olya elempárokól álló halmazt értük, amely tartalmazza az összes olya elempárt, amelye a pár első tagja az első, a második tagja a második halmazól való. Tömöre az A és B halmazok Descartes szorzatá azt a C=A B halmazt értjük, amelyre C={(a,), a A, B}. Például, ha X={a,, c} és B={0, }, akkor X B={(a, 0), (a, ), (, 0), (, ), (c, 0), (c, )} és B X={(0, a), (0, ), (0, c), (, a), (, ), (, c)}. (A sorred em felcserélhető, a Descartes
Programtervezési ismeretek - - 2 - szorzat em kommutatív!) Három halmaz Descartes szorzata hasoló módo elemhármasok halmaza lesz, égy halmaz eseté elemégyeseké, st. Defiíció: Halmaz hatváya Egy A halmaz ulladik hatváya az üres halmaz, A 0 =, első hatváya maga az A halmaz, A =A. Az A halmaz második hatváya A 2 =A A, és általáa, ha N, és >2, akkor A = A - A. Például ha B={0, }, akkor B 3 ={(0, 0, 0), (0, 0, ), (0,, 0), (0,, ), (, 0, 0), (, 0, ), (,, 0), (,, )}. Ha X={a,, c}, akkor X 2 ={(a, a), (a, ), (a, c), (, a), (, ), (, c), (c, a), (c, ), (c, c)}. Defiíció: -áris művelet halmazo Egy A halmazo értelmezett -áris (-ér) műveletek evezzük a következő leképezést (függvéyt): f : A A. Azaz az f leképezés mide az A elemeiől képezett -esek megfeleltet egy elemet ugyaazo A halmazól. Ha speciálisa =, akkor uáris (uér) műveletről eszélük (egyváltozós művelet). Ha =2, akkor iáris (iér) műveletről eszélük (kétváltozós művelet). Uáris műveletek tekithető például valós számok eseté a szám elletettjéek (--szereséek) meghatározása (előjelváltás), de a égyzetreemelés is az, vagy a szám sziuszáak a meghatározása is. Biáris művelet például két szám összeadása: f : A 2 A, ahol z = f ( x, y) = x + y, x, y, z A. Leggyakraa az uáris és a iáris műveletek fordulak elő a gyakorlata. Ameyie az asztrakt adattípushoz tartozó asztrakt adatot megjeleítjük, akkor már kézzelfoghatóvá válik és ayagi érteleme vett műveleteket végezhetük rajta. Ekkor adatstruktúráról eszélük. Defiíció: Adatstruktúra Az asztrakt adattípus kokrét megjeleési formáját, realizációját adatstruktúráak evezzük. Az adatstruktúrához hozzátartozak természetese midazok a műveletek is, amelyekkel az asztrakt adattípus redelkezett. Ugyaaak az asztrakt adattípusak számtala adatstruktúra felelhet meg. Némelyek támogatják a műveletek elvégzését, mások esetée pedig rutálisa ehéz is lehet azok elvégzése. Például köye össze tuduk szorozi egész számokat a tizes helyiértékes számredszere. Ee az esete a művelet elvégzésére va egy egyszerű, kisiskolásokak is taítható módszer, az adatstruktúra támogatja, segíti a műveletvégzést. Ugyaakkor hogya teék ezt meg, ha római számokkal jeleíteék meg az egész számokat? Ez a struktúra em támogatja a műveletvégzést. Nem lehetetle elvégezi ee a műveleteket, csak agyo oyolulttá válak a szaályok. Defiíció: Az implemetáció Az asztrakt adattípus digitális számítógépe törtéő realizációját implemetációak evezzük. Tehát az implemetáció az adatstruktúra egy speciális esete. Számukra agyo fotos, mert ee tuduk agyo hatékoya dolgozi, kihaszálva a gép agy tároló-kapacitását és a műveletvégzés agy seességét. Az implemetáció azoa már általáa em veszteség- és torzulásmetes a kiiduló eredeti asztrakt adattípushoz, vagy egy eki megfelelő adatstruktúrához képest. Ha másért em, akkor azért, mert ár a gép tároló-kapacitása agy,
Programtervezési ismeretek - - 3 - mégiscsak véges. Eől számtala, látszatra apró proléma, sajátosság adódik, amelyre viszot figyelemmel kell leük, mert sok kíos programhia forrása lehet. A digitális techikáa alapvető fogalom a it fogalma. Defiíció: Az (adat)it Adatitek evezzük az implemetáció sorá a memóriáa tárolt adatmeyiség legkise egységét. Ez tartalmilag egy 0 (zérus), vagy (egy) jelet jelet. Léyegtele, hogy ezt techikailag hogya valósítják meg. Tároli midig csak eek a pozitív egész számú töszörösét lehet. Nics tehát adatmeyiség szempotjáól félit, vagy másfél it. Egyetle it agyo kicsiy adatmeyiség. Defiíció: A yte (ájt) Adatyte-ak evezük egy adott sorrede elhelyezkedő, egymást követő, egy egysége összefogott ityolcast. A yte a memóriáa az egyidejűleg elérhető adatmeyiség legkise egysége. A számítógépes memória yte-okól épül föl, egydejűleg legkevese egy yte írható oda e, vagy olvasható oa ki. Ha egyetle itre vagyuk kívácsiak, akkor is legkevese az őt tartalmazó yte-ot kell kezelük. A yte itjeit az alái módo sorszámozzuk, idexeljük. 7 6 5 4 3 2 0 yte és itjei A számítógépek közpoti vezérlő, feldolgozó egységei, a processzorok képesek tö összekapcsolt yte-ot is kezeli. Ilye módo eszélhetük két egymás mellett álló összekapcsolt yte eseté szóról, égy yte eseté pedig dupla szóról. 5 4 3 2 0 9 8 7 6 5 4 3 2 0 szó yte-jai és itjei 3 30 29 28 27 26 25 24 23 22 2 20 9 8 7 6 5 4 3 2 0 9 8 7 6 5 4 3 2 0 dupla szó yte-jai és itjei Byte ürese, vagy része ürese em állhat. Mide itje a számukra fotos pillaata vagy a 0 vagy az jelet tartalmazza. Az adat implemetációját ez a redelkezésre álló keret, a yte-ok, szavak, dupla szavak redszere, valamit a processzor által elvégezhető gépi elemi utasítások szaják meg, határolják e. Ez a keret sugalmazza a kettes számredszer haszálatát is például. A természetes szám asztrakt adattípus Formálisa, mit fete említettük, ez az asztrakt adattípus a T=(N, M) párossal írható le, ahol N={0,, 2, 3, } az adatok, a természetes számok halmaza, és M={+, *} az összeadás és a szorzás, az N elemei végezhető műveletek halmaza. (A számok között megszokott
Programtervezési ismeretek - - 4 - kivoás és osztás művelete a természetes számok között em midig végezhető el.) Megmutatjuk, hogy va módszer a szorzás elvégzésére úgy, hogy a reprezetálással em törődük. Eek a módszerek a eve ma gyakra úgy olvasható, hogy orosz paraszt módszer. Az elevezés em teljese jogos, mert a módszert már az ókori egyiptomiak is ismerték és haszálták. A módszer léyege, hogy a szorzatot fokozatosa gyűjtjük össze a zérusól idulva ki. A szorzót vizsgáljuk. A vizsgálat aól áll, hogy megézzük, hogy a szorzó páratla-e. Ha ige, akkor a szorzadót hozzáadjuk a szorzathoz, - ami kezdete zérus volt, - ha a szorzó em páratla, akkor em adjuk hozzá. Ezutá a szorzót lecseréljük a feléek az egész részére (lefelé kerekítjük egészre), a szorzadót pedig lecseréljük a duplájára. A vizsgálat midaddig ismétlődik, míg a szorzó zérussá em válik. (Lássuk e, hogy a módszer midig a helyes szorzathoz vezet két emegatív egész szám eseté!) Példa: Szorozzuk össze a 79-et és a 47-et az orosz paraszt módszerrel! Szorzadó szorzó Szorzó Szorzat páratla? 79 47 ige 0+79=79 58 23 ige 79+58=237 36 ige 237+36=553 632 5 ige 553+632=85 264 2 em =85 2528 ige 85+2528=373 0 =373 Néháy érdekes függvéy és művelet Az ayaga foguk függvéyeket haszáli. A szokváyos függvéyek mellett meg kell arátkozi az egészrész függvéyekkel, a törtrész függvéyel és a kerekítő függvéyel. Ne tévessze meg sekit, hogy ezek a függvéyek hasolítai fogak a programozási yelveke előforduló hasoló evű függvéyekhez, mert em iztos, hogy teljese azoosak azokkal. Az egyes programozási yelvek em midig kozekvesek. Az ugyaolya evű függvéy a külööző programozási yelveke émileg eltérő módo viselkedhet. Érdemes taulmáyozi a yelvi leírást, specifikációt. A továiaka Z-vel fogjuk jelöli az egész számok halmazát. Z={, -3, -2, -, 0,, 2, 3, }. Defiíció: Az alsó egészrész függvéy Az alsó egészrész függvéy mide valós számhoz egy egész számot redel hozzá, éppe azt, amely a tőle em agyo egészek közül a legagyo. Az alsó egészrész függvéy jele: x, ahol x valós szám. Tömöre: x = max k. k x k Z () Más szavakkal formálisa: x = k, ahol k olya egész szám, hogy k x < k+. Példa: x 5, 2 5 5 5, 2 5 5 5 x 6 Defiíció: A felső egészrész függvéy
Programtervezési ismeretek - - 5 - A felső egészrész függvéy mide valós számhoz egy egész számot redel hozzá, éppe azt, amely a tőle em kise egészek közül a legkise. A felső egészrész függvéy jele: x, ahol x valós szám. Tömöre: x = mi k. k x k Z (2) Más szavakkal formálisa: x = k, ahol k olya egész szám, hogy k- < x k. Példa: x 5, 2 5 5 5, 2 5 5 6 x 5 Az alsó és felső egészrész függvéyek fotos tulajdoságait az alái tálázata foglaljuk össze: (Lássuk e, hogy ezek valóa teljesülek!). Ha a egész szám, akkor a = a, a = a. 2. Ha x valós szám, akkor x x. 3. Ha x y valós számok, akkor x y, x y. 4. Ha x valós, a egész szám, akkor x ± a = x ± a, x ± a = x ± a. 5. Ha x valós szám, akkor x = x, x = x. 6. Ha x és y valós számok, akkor x + y x + y, x y x + y 7. Ha x és y valós számok, akkor x y x y, x y x y +.. Defiíció: A kerekítő függvéy A kerekítő függvéy mide valós számhoz a hozzá legközele eső egész számot redeli hozzá. Ha a legközelei egész szám em egyértelmű, akkor a agyoat választja. A kerekítő függvéy jele: Roud(x), ahol x valós szám. Roud ( x) = x + 2. (5) A legközelei egészre kerekít. Pozitív számok eseté, ha a tizedesrész 5/0, vagy aál agyo, akkor felfelé, kise esete lefelé kerekít. Negatív számok eseté ha a tízes számredszer szeriti felírása a tizedesrész kise, mit 5/0, vagy egyelő vele, akkor felfelé, egyékét lefelé kerekít. Példa: x 6 5, 8 5, 5 5, 2 5 5 5, 2 5, 5 5, 8 6 Roud (x) 6 6 5 5 5 5 5 6 6 6 Defiíció: A törtrész függvéy A törtrész függvéy mide valós számhoz azt a számot redeli hozzá, amely azt mutatja meg, hogy a szám meyivel agyo az alsó egészrészéél. A törtrész függvéy jele: {, ahol x valós szám. Tömöre: x} { x} x x =. (4)
Programtervezési ismeretek - - 6 - Midig feáll a 0 { x } < egyelőtleség. Példa: x 5, 8 5, 2 5 5 5, 2 5, 8 x 0,2 0, 8 0 0 0, 2 0, 8 {} Felhívjuk a figyelmet két műveletre: Defiíció: Az egész háyados képzése, a div művelet Legye a és egész szám (a, Z), 0. Defiíció szerit az egész osztás műveleté az a/ osztás eredméyéek alsó egész részét értjük. Tömöre: Példa: 9 div 4 = 3, 9 div 4 = 2 Defiíció: Az egész maradék képzése, a mod művelet Legye a és egész szám. Defiíció szerit a div = a /. (5) def a mod = a a, a / = a ( a div), ha = 0 ha 0. (6) Példa: 9 mod 4 = 3, 9 mod 4 =, 9 mod ( 4) =, 9 mod ( 4) = 3 Speciális jeletése va az a mod az a valós szám törtrésze, azaz jelölések. Ezt mide valós a-ra értelmezzük és jeletése a def {} a mod =. (7) Az előjel élküli egész szám adatstruktúra A természetes szám asztrakt adattípus egyik realizációja az előjel élküli egész szám adatstruktúra, melyek a lejegyzéséhez a helyiértékes számredszert haszáljuk. Eek elvégzéséhez el kell döteük, hogy a haszált helyiértékes számredszerek mi lesz az alapszáma. Alapszámak ármilye egyél agyo természetes szám választható. Szükségük lesz számok külööző alapú számredszere törtéő felírására. Egy szám lejegyzésekor a haszált számredszer alapszámát midig tizes számredszere adjuk meg és a szám jo alsó sarkához írjuk idexkét. Ha a számredszer alapja a 2 egész szám, akkor az x pozitív egész szám számjegyei: c, c K c,, c, 0, (8) ahol 0 c k <, k = 0,, K, és az x szám értéke ezekkel a számjegyekkel és az alappal kifejezve: x = c 0 + c + K + c + c0. (9)
Programtervezési ismeretek - - 7 - Az értékét úgy határozzuk meg, hogy c 0 legye, és mide ck = 0, ha k >. Ha a számredszer alapszáma tízél agyo, akkor a 0,, 2,..., 9 számjegyek mellett új számjegyeket kell evezeti a tíz, tizeegy,..., számértékekre. Kéyelmi és yomdatechikai okok miatt a lati áécé agyetűit haszáljuk erre a célra. Ilye módo tehát az A=0, B=, C=2,..., Z=35 jelek haszálatosak. (Lehet találkozi vegyes jelöléssel is, ahol a számjegyeket tizes számredszere jegyzik le. Mi em fogjuk ezt alkalmazi.) Számoljuk el külööző alapú számredszereke -től 20-ig! A helyiértékes redszere megjeleített eredméyek az alái tálázata láthatók. Az iformatikáa a kettes és a tizehatos alapú számredszerek a kitütetettek a tizes alap mellett, esetleg előfordulhat a yolcas alap is. Számredszer alapszáma 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 Számérték egy kettő 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 három 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 égy 00 0 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 öt 0 2 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 hat 0 20 2 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 hét 2 3 2 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 yolc 000 22 20 3 2 0 8 8 8 8 8 8 8 8 kilec 00 00 2 4 3 2 0 9 9 9 9 9 9 9 tíz 00 0 22 20 4 3 2 0 A A A A A A tizeegy 0 02 23 2 5 4 3 2 0 B B B B B tizekettő 00 0 30 22 20 5 4 3 2 0 C C C C tizehárom 0 3 23 2 6 5 4 3 2 0 D D D tizeégy 0 2 32 24 22 20 6 5 4 3 2 0 E E tizeöt 20 33 30 23 2 7 6 5 4 3 2 0 F tizehat 0000 2 00 3 24 22 20 7 6 5 4 3 2 0 tizehét 000 22 0 32 25 23 2 8 7 6 5 4 3 2 tizeyolc 000 200 02 33 30 24 22 20 8 7 6 5 4 3 2 tizekilec 00 20 03 34 3 25 23 2 9 8 7 6 5 4 3 húsz 000 202 0 40 32 26 24 22 20 9 8 7 6 5 4 Példa: 2006 számjegyei tizes számredszere c = 3 2, c 0 2 =, c = 0, c = 0 6. Itt =3 és 3 2 0 2006 = 2 0 + 0 0 + 0 0 + 6 0. Nyílvávalóa: c = 0 x mod és c c c c x div K 2 =. A következő séma alkalmas a számjegyek egymást követő fordított iráyú előhozására:
Programtervezési ismeretek - - 8 - x x = x div c x mod = 0 x2 = x div c = x mod xk = xk div c = k xk mod x = x div c = x mod 0 c = x mod (0) Példa: Írjuk fel a 2006-ot kettes (= iáris) számredszere és 6-os (= hexadecimális) számredszere. 2006 2 2006 6 Tehát 2006 0 =0000 2 =7D6 6 003 0 25 6 50 7 3=D 6 250 0 0 7 25 0 62 3 0 5 7 3 0 Átírás tizes alapra a (9) formula átredezésével törtéik az úgyevezett Horer séma szerit. ( (( c ) + c ) + + c ) + c0 x = K K. () Ezzel azt érjük el, hogy kevés műveletet kell haszáli, a műveletek azoos jellegűek (szorzás -vel és a következő jegy hozzáadása), másrészt a műveleteket végezhetjük tizes számredszere. Példa: 7D6 6 =((7) 6+3) 6+6=2006 0000 2 =(((((((((() 2+) 2+) 2+) 2+) 2+0) 2+) 2+0) 2+0) 2+) 2+0 2006 0 =(((2) 0+0) 0+0) 0+6 Kellemes az átváltás a két számredszereli árázolás között, ha törtéetese a iáris és a hexadecimális számredszerről va szó. Ekkor hexadecimális alakról iárisra törtéő átírás eseté mide hexadecimális jegyet a jegy iáris megfelelőjével helyettesítük. Biárisról hexadecimálisra törtéő átírásál pedig joról alra haladva égyes csoportokra osztva a iáris szám számjegyeit mide csoportot helyettesítük a hexadecimális megfelelőjével. A megfeleltetés a hexadecimális számjegyek és a iáris égyjegyű csoportok között az alái tálázata látható: 0000 0 000 4 000 8 00 C 000 00 5 00 9 0 D 000 2 00 6 00 A 0 E 00 3 0 7 0 B F
Programtervezési ismeretek - - 9 - (Lássuk e, hogy a javasolt módszer helyes eredméyre vezet!) Módszerükkel kikerüljük egyrészt a tizes számredszerre törtéő átmeeti átalakítást, másrészt em kell em tizes alapú számredszere műveleteket végezi Pozitív egész szám alapú logaritmusa és a szám alapú számredszereli számjegyei számáak a kapcsolatát világítja meg az alái tétel.. Tétel: A számjegyek számáról Pozitív x egész szám számjegyeiek a száma alapú számredszere eggyel tö, mit a szám alapú logaritmusáak az alsó egészrésze, azaz ha a szám számjegyei c, c, K, c c, akkor a jegyek száma, 0 log + = x +. (2) Bizoyítás x = c = + c 0 + K+ c + c = ( c + c + K + c / + c / ) = y. / 0 444444 2 = y 444444 3 Világos, hogy c y <. Ie az y logaritmusára kapjuk, hogy 0 (3) 0 log y <. (4) (3)-ól logaritmálással adódik. Azaz log x = log + log y = + log y (5) + log y = log x. (6) (6) midkét oldalá az alsó egészrészt véve log x = adódik, mivel egész szám és (4) feáll. Egyet hozzáadva midkét oldalhoz kapjuk az állításukat. (Az jel a izoyítás végét jelzi.) Ee az adatstruktúráa a struktúra tárgyalt műveletei egyszerű módo, kisiskolásokak is taítható szite elvégezhetők. Erre em térük ki, hisze elemi iskolai ayag. Megadjuk meg a kettes és a tizehatos számredszereli összeadó- és szorzótálát. Biáris összeadótála + 0 0 0 0 Biáris szorzótála 0 0 0 0 0
Programtervezési ismeretek - - 0 - Hexadecimális összeadótála + 0 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 2 4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 2 3 5 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 2 3 4 6 6 7 8 9 A B C D E F 0 2 3 4 5 7 7 8 9 A B C D E F 0 2 3 4 5 6 8 8 9 A B C D E F 0 2 3 4 5 6 7 9 9 A B C D E F 0 2 3 4 5 6 7 8 A A B C D E F 0 2 3 4 5 6 7 8 9 B B C D E F 0 2 3 4 5 6 7 8 9 A C C D E F 0 2 3 4 5 6 7 8 9 A B D D E F 0 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C E E F 0 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D F F 0 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E Hexadecimális szorzótála 0 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 2 0 2 4 6 8 A C E 0 2 4 6 8 A C E 3 0 3 6 9 C F 2 5 8 B E 2 24 27 2A 2D 4 0 4 8 C 0 4 8 C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 5 0 5 A F 4 9 E 23 28 2D 32 37 3C 4 46 4B 6 0 6 C 2 8 E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 7 0 7 E 5 C 23 2A 3 38 3F 46 4D 54 5B 62 69 8 0 8 0 8 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 9 0 9 2 B 24 2D 36 3F 48 5 5A 63 6C 75 7E 87 A 0 A 4 E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96 B 0 B 6 2 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5 C 0 C 8 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4 D 0 D A 27 34 4 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3 E 0 E C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0 F E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E A helyiértékes számredszerek egymással azoos módo viselkedek. Ez áll a műveletek végzéséek a módjára is. A szaályoka csak arra kell ügyeli, hogy mikor lépjük át az alap valamely hatváyát, és természetese a saját összeadó- és szorzótálát kell haszáli. Példa összeadásra: =0 =2 =6 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 9 + 2 9 7 6 4 6 5 D + 2 9 2 8 6
Programtervezési ismeretek - - - Példa szorzásra: =0 =6 3 4 9 2 9 7 6 9 8 3 4 2 4 4 3 0 3 6 5 3 5 D 2 9 5 D 2 B A C 4 5 9 4 E 5 =2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Az előjel élküli egész szám implemetációja Az iformatikáa alapvető dolog, hogy a számok hogya kerülek tárolásra a számítógép memóriájáa. A memóriát úgy lehet elképzeli, mit egymás mellett lieárisa felsorakoztatott tárolórekeszek sorozata. A rekeszeket egymástól a sora elfoglalt helyük külöözteti meg, amit egy idexszel (címmel) íruk le. A rekesz fogalom szemléletes, de fizikailag em potos. A fizikai rekesz ma a yte (= 8 it). A yte a memória legkise fizikailag címezhető egysége. A memóriáól kiolvasi, vagy oda eíri egy yte-ál kevese adatmeyiséget em lehet. Ha csak egy itet akaruk megváltoztati, akkor is ki kell olvasi az őt tartalmazó yte-ot, a kívát itet átíri, majd a yte-ot visszaíri a memóriáa. A yte tartalmát a jo áttekithetőség miatt hexadecimális számredszere szoktuk megadi. Például az 0000 2 tartalmú yte hexadecimális alaka C9 6. A yte itjeit joról alra idexeljük. A joszélső it a ullás idexű it (a legkevésé szigifikás it, Least Sigificat Bit, LSB), tőle alra áll az egyes idexű it, és így tová. A yte alszélé áll a hetes it (a legszigifikása it, a legagyo helyiértékű it, Most Sigificat Bit, MSB). MSB LSB it 7 it 6 it 5 it 4 it 3 it 2 it it 0 itidex 7 6 5 4 3 2 0 Byte és itjei Már egyetle yte is alkalmas szám tárolására csak a számtartomáy kicsi. A yolc it midegyike lehet zérus, vagy egy. Eek megfelelőe 2 8 = 256 egymástól külööző yte létezhet. Mide ilye itvariációhoz, itmitázathoz hozzáredelük egy számot. Természetes módo kíálkozott, hogy a számot kettes számredszere leírva tároljuk. Ez törtéhet egy, kettő, vagy égy yte-o. Ha a szám em tölti ki a redelkezésre álló területet, akkor a tároló rekesze jora igazítva az elejét zérusokkal töltjük fel, így a számérték em változik. rekesz legkise számérték legagyo számérték yte 0 2 8 -=255 szó (két yte) 0 2 6 -=65 535 dupla szó (égy yte) 0 2 32 -=4 294 967 295
Programtervezési ismeretek - - 2 - A legkise szám tiszta zérus itekől áll, a legagyo tiszta egyes itekől. Az implemetáció sajátossága, hogy va ee legagyo számérték, szeme az asztrakt adattípussal és az adatstruktúrával, ahol ez a korlátozás em volt. Eek megfelelőe a műveletek egyes eseteke hiás eredméyre vezetek. Például a legagyo számértékhez egyet hozzáadva az eredméy zérus lesz. Ugyais egy továi itre lee szükség a tároláshoz, de az a rekesze már em fér el, az eredméy túlcsordult. Ez a rekeszől kieső it a túlcsordulás jele, amit a processzorok számo is tartaak (átvitel it, agolul carry it) és a túlcsordulás jelzésére szolgál, de a memóriáa em tárolható. Ezektől eltekitve a műveletek potos eredméyt szolgáltatak. Példa helyes és hiás (túlcsordulásos) összeadásra 6 ite. Helyes (carry=0). összeadadó 0 0 0 0 0 0 2. összeadadó 0 0 0 0 0 0 0 összeg 0 0 0 0 0 átvitel 0 0 0 0 0 0 0 0 Hiás (carry=). összeadadó 0 0 0 0 0 0 2. összeadadó 0 0 0 0 0 0 összeg 0 0 0 0 0 0 0 0 átvitel 0 0 0 0 0 Az egész szám asztrakt adattípus Ez az adattípus ayia külöözik a természetes szám adattípustól, hogy a számok lehetek egatívak is. Eek megfelelőe a kivoás művelete is elvégezhető lesz. Formálisa a T=(Z, M) párossal írható le, ahol Z={, -3, -2, -, 0,, 2, 3, } az adatok, az egész számok halmaza, és M={+, -, *} az összeadás, a kivoás és a szorzás, a Z elemei végezhető műveletek halmaza. Az előjeles egész szám adatstruktúra Csak ayia külöözik az előjel élküli egész szám adatstruktúrától, hogy a egatív számok leírását egy míusz (-) jellel kezdjük. A műveletvégzésre em térük ki, elemi iskolás ayag, a természetes számokhoz képest az előjelkezelési szaályok jeleek meg töletkét, szükség eseté zárójelezük, hogy két műveleti jel e kerüljö egymás mellé. Az előjeles egész szám implemetációja Ha előjeles egész számokat szereték tároli, akkor az úgyevezett kettes komplemes árázolást szokás előyei miatt alkalmazi. Ekkor az előjeles egész szám hozzáredelése úgy törtéik, hogy ha a MSB=0, akkor a rekesztartalmat az előjelmetes esetek megfelelőe értelmezzük. Ha MSB=, akkor ayival kell töet teük ezutá még, hogy a kapott
Programtervezési ismeretek - - 3 - előjelmetes számól kivojuk a 2 számot, ahol =8, 6, vagy 32 aszerit, hogy a rekesz yte, szó, vagy duplaszó, és amely kivoás eredméye iztosa egatív lesz. Eze a módo az árázolható számok tartomáya az alái. rekesz legkise számérték legagyo számérték yte -2 7 =-28 2 7 -=27 szó (két yte) -2 5 =-32 768 2 5 -=32 767 dupla szó (égy yte) -2 3 =-2 47 483 648 2 32 -=2 47 483 647 Kettes komplemes képzési szaálya. Egy szám kettes komplemeséek (--szereséek) a felírása azo egyszerű szaály szerit törtéhet, hogy a rekesz joszéléről alfelé elidulva sorra leírjuk a iteket midaddig, amíg zérusok. Ha ezzel elfogytak a itek, akkor e is fejeztük az eljárást. Ha még lettek vola meg em vizsgált itek, akkor a következő dara -es itet is leírjuk. Ezutá, ha még midig leéek itjeik, akkor azokat elletétese írjuk le a továiaka, 0 helyett -et, helyett zérust. Példa 6 itre: szám 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kettes komplemese 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Vegyük észre, hogy a két számot 6 ite összeadva az eredméy zérus, tehát az egyik szám a másik --szerese. Másik szaályt is megfogalmazhatuk a kettes komplemes képzésére. Leírjuk a szám itjeit úgy, hogy midegyik helyett az elletétes itet írjuk le, majd a kapott számhoz egyet hozzáaduk. (Elleőrizzük, hogy valóa ez is helyes eredméyt ad!) Az implemetációak a sajátosságai közé tartozik, hogy két olya szám va, amelyikek a kettes komplemese (--szerese) saját maga! Az egyik természetszerűleg a zérus, amit el is váruk, a másik azoa az az eset, amikor a rekesz alszélé egyetle egyes va és a töi it zérus. (Például yte rekeszél a -28 kettes komplemese saját maga, azaz a --szeres em 28-at ad, mivel az em is árázolható.) Ee az implemetációa is előfordulhat túlcsordulás, például amikor két egatív szám összegekét pozitívat kapuk. (Adjuk össze yte-o például a -00-at és a -50-et!) Hogya tudák jelezi a túlcsordulást? Csak a carry it figyelése ee az esete már em elegedő! A valós szám asztrakt adattípus Ez az adattípus léyegese külöözik az előzőektől. A valós szám fogalma, defiíciója már oyolulta. Ee eletartozak az egész és törtszámok, valamit az irracioális számok is. Nem részletezzük a valós szám mielétét, tapasztalatok révé va elképzelésük róla a középiskoláól. A valós számok között az osztás is elvégezhető művelet, ameyie az osztó em zérus. Formálisa leírva T=(R, M) párossal írható le, ahol R={a valós számok} az adatok, a valós számok halmaza, és M={+, -, *, /} az összeadás, a kivoás, a szorzás és az osztás, az R elemei végezhető műveletek halmaza. A valós szám adatstruktúra A valós számokat reprezetálhatjuk a törtvesszős felírással, amikor is a szám egész része utá vesszőt teszük és azutá írjuk a törtrész jegyeit. Tizes számredszer eseté tizedes törtekek
Programtervezési ismeretek - - 4 - evezzük őket. A műveleteket a tizedes törtekkel törtéő számolás szaályai szerit végezzük. Kettes számredszer eseté talá kettedes törtekek kellee evezi őket. A számolási szaályok is a tizes számredszerhez hasolóa törtéek. Hogya írjuk át egyik számredszeről egy másika az így megadott számokat? A szám egész részét (a tizedes vessző előtti részét), mit egész számot továra is átírhatjuk, ahogy azt koráa az előjeles egészekél láttuk. Ezutá vesszőt írva elkezdhetjük a törtjegyek írását. A törtjegyeket a szorzásos módszerrel határozzuk meg a kereszt sémáól. Tekitsük egy szám törtrészéek a tizes számredszereli felírását. A szám legye 0, c K c2c3 alakú, ahol c, c 2, c 3 K a törtrész egymást követő tizedesjegyei. Ha 0-zel szorzuk, akkor az első tizedesjegy kicsúszik az egészek helyére, amit levághatuk. Továi szorzásokkal a töi jegy is előjö egymás utá. Ha miket egy alapú számredszereli felírás jegyei érdekelek, akkor világos, hogy a 0 helyett -vel kell szorozgati. A tevékeység egy sémáa foglalható, a számjegyek egyees sorrede keletkezek: c c = x c k x x x = ( ) mod 2 = x x2 = ( x ) mod xk = x ( x k = k ) mod A visszaalakítás pedig törtéhet szité egy Horeres séma szerit. Az értelmezése ugyais x = 0, c c c K 2 3 c szám 2 3 = c / + c2 / + c3 / + K + c (7) x / Ez úgy is számolható, hogy x ( ((( c )/ + c )/ + c )/ + c =... 2 / K ) (8) A séma kéyelmes, felváltva kell számjegyekét osztást és összeadást végezi a jegyek fordított sorredjée. Példa: Írjuk fel a 0,52734375-öt kettes (= iáris) számredszere és 6-os (= hexadecimális) számredszere. 2 0,52734375 6 0,52734375 Tehát 0,52734375 0 =0,0000 2 =0,87 6 0,0546875 8 0,4375 0 0,09375 7 0,0 0 0,2875 0 0,4375 0 0,875 0,75 0,5 0,0 Példa: Visszaírás tizes számredszerre: 0,87 6 =0+((7)/6+8)/6=0,52734375 0,0000 2 =0+((((((((()/2+)/2+)/2+0)/2+0)/2+0)/2+0)2+)/2 0,52734375 0 =0+((((((((5)/0+7)/0+3)/0+4)/0+3)/0+7)/0+2)/0+5)/0
Programtervezési ismeretek - - 5 - Némi kellemetleséget jelethet, hogy előfordul, hogy az egyik számredszere véges sok törtjegyet tartalmaz a szám, a másika pedig végtele sokat. Próáljuk meg a 0, tizes számredszereli számot átíri kettes számredszere például! Kettesől tizehatosa az átírás egyszerű, mert a törtvesszőtől alra és jora égyes csoportokat íruk át. Példa: 2006,52734375 0 =0000,0000 2 =7D6,87 6 Defiíció: Törtvesszős alakú szám értékes jegyeiek a száma A törtvesszős alakú számot a gyakorlata véges sok jegyével tütetjük fel, így a töi jegyét em ismerjük. Azt modjuk, hogy csak valamilye potossággal adott a szám. Eek a potosságak az egyik jelzőszáma az értékes jegyek száma, amit úgy kapuk meg, hogy a számot a felírásáa alról jora vizsgáljuk és az első emzérus számjeggyel kezdve a számlálást megszámláljuk a számjegyeket a lejegyzés utolsó számjegyével ezárva. A kapott daraszámot evezzük a szám értékes jegyei számáak. Példa: 2006,52734375 értékes jegyeiek a száma 2. 0000,0000 2 értékes jegyeiek a száma 9, 7D6,87 6 értékes jegyeiek a száma 5 Ugyaakkor -0,0002 értékes jegyeiek a száma 2. A valós szám leegőpotos implemetációja A valós számok implemetálása em egyszerű feladat. Meg kell alkudi. Erőteljese. Nem tuduk mide valós számot implemetáli és em csak a számtartomáy korlátozott mivolta miatt, mit az egész számokál láttuk, haem azért is, mert ezt csak a tartomáyól praktikusa jó sűrű választott számokra tudjuk megtei. Tulajdoképpe a törtvesszős átírást célozzuk meg. A processzorok korái emzedékeie tapasztalható tarkaságot, amely gyakra eltérő számítási eredméyekre vezetett, ma szaváy szaályozza. Ez az IEEE 754-es szaváy, amely 985 óta érvéyes és William Kaha a Berkeley egyetem professzora evéhez fűződik. A szaváy potos előírásokat ad a valós számok árázolására, amely árázolást leegőpotos számokak evezzük. Eze árázolási formát em tárgyaljuk teljes részletezettséggel, de a két együtt ismertethető esetről - az egyszeres potosság és a dupla potosság esete - szóluk éháy szót. A szaváy szeriti leegőpotos számárázolás égy yte-o törtéik egyszeres potosság eseté és yolc yte-o dupla potosság eseté. A kettő között eltérés igazá csak a potossága és az átfogott számtartomáya va, az árázolás elve azoos. Tekitsük először a ormalizált szám esetét. Legye a szám emzérus. Ekkor a iárisa felírt számot átalakítjuk olya formára, hogy a törtvesszőt a legelső egyes jegyet közvetleül követőe helyezzük el és megjegyezzük, hogy eze művelethez a törtvesszőt háy itpozícióval kellett alra mozgati. Ez a szám alra mozgásál pozitív, jora mozgásál egatív lesz és azt mutatja, hogy az átalakítás utái számot a 2 milye kitevőjű hatváyával kell megszorozi, hogy a kiiduló számot megkapjuk. A törtvesszőt követő itek sorozatáak eve: szigifikás. Eze iformációkat kell elhelyezük a redelkezésre álló égy illetve yolc yte-o. A itek kiosztása az egyszeres potosság eseté: előjelit kitevő 8 ite szigifikás 23 ite
Programtervezési ismeretek - - 6-3. yte 2. yte. yte 0. yte Egyszeres potosságú leegőpotos szám Az előjelit pozitív szám eseté zérus, egatív szám eseté. A kitevő részére fetartott 8 ites mezőe a kitevő 27-tel megövelt (eltolt) értékét helyezzük el előjel élküli egész számkét. A szigifikás (a vezető egyes élkül, implicit egyes it) kerül a hátra maradt 23 ites mezőe. Példa: Példa: 2006,52734375 hogya éz ki egyszeres potosságú leegőpotos számkét? A szám iárisa, ahogy már kiszámoltuk: 0000,0000 2. Normalizált alaka:,00000000 2 2 0, ahol a kitevő decimálisa 0. Ez eltolva 0+27=37=00000 2. (Negatív kitevőt 8 ite kettes komplemes módo tároluk, majd így adjuk hozzá a 27-et.) A szigifikás 23 itre zérusokkal kiegészítve: 0000000000000. Végül a 32 it 000 00 0 00 00 0000 0 0000, vagy hexadecimálisa 45 7A 50 E0. A szám ee a formáa törtéő árázolása csak akkor megegedett, ha az eltolt kitevő em zérus és 255 közé esik, tehát a szélső eseteket (0 és 255) kizárjuk. Ez a két szélső eset más célra va fetartva. A tiszta zérus iteket tartalmazó kitevő mező és a zérus szigifikás együtt zéruskét va defiiálva. Va pozitív zérus és egatív zérus az előjeltől függőe, de valójáa a processzorak ezeket azooskét kell kezelie. Ha a kitevő mező zérus, de a szigifikás mező em zérus, akkor em ormalizált (deormalizált) leegőpotos számról eszélük. Ekkor az implicit egyes it is tárolásra kerül, mit a szigifikás része, mivel ő a törtvessző mögé kerül. Deormalizált tárolásál komoly jegyveszteségre lehet számítai! Például a 2-26 még ormalizált módo tárolódik, de a tőle kise kitevőjűekél már az eddig elhagyott egyes itet is tároljuk. Az alái tálázat illusztrál éháy esetet. Szám Byte-ok iárisa Byte-ok hexáa 2-26 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0000 00 80 00 00 2-27 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0000 00 40 00 00 2-28 0000 0000 000 0000 0000 0000 0000 0000 00 20 00 00 2-49 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 000 00 00 00 0 A kitevő mező legmagasa értékéhez szité két eset tartozik. Ha a szigifikás mező zérus, akkor a tárolt iformáció előjeles végtelekét va defiiálva. Szimólum Byte-ok iárisa Byte-ok hexáa + 0 000 0000 0000 0000 0000 0000 7F 80 00 00-000 0000 0000 0000 0000 0000 FF 80 00 00 A végtele kezelése sorá a processzor a végteleel végezhető műveletek tulajdoságait megtartja. Például végtele plusz véges eredméye végtele, vagy véges osztva végteleel zérust ad. Ha a szigifikás rész em zérus, akkor ezt a szituációt em számkét defiiálták (NaN=Not a Numer). Szimólum NaN NaN Byte-ok iárisa 0 xxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx A sémáa az x-szel jelölt itek em lehetek egyszerre mid zérusok. Ilye eset (NaN) lehet például a végtele osztva végteleel művelet eredméye. Azok a számok, értékek, állapotok,
Programtervezési ismeretek - - 7 - amelyek a feti sémáa em férek ele, em árázolhatók, velük közvetle módo számoli em tuduk. A dupla potosságú esete a yolc yte-a a kitevő mező ites, a szigifikás mező 52 ites. A kitevő eltolás mértéke 023. A kitevő mező két kitütetett értéke a zérus és az 2047. Egy tálázata mellékeljük a leegőpotos aritmetika lehetőségeit, korlátait: Jellemzők Egyszeres potosság Dupla potosság Előjelitek száma Kitevő itek száma 8 Törtrész itek száma 23 52 Összes itek száma 32 64 Kitevő árázolása 27-es eltolás 023-as eltolás Kitevő tartomáya -26 - +27-022 - +023 Legkise ormalizált szám 2-26 2-022 Legagyo ormalizált szám k. 2 28 k. 2 024 Decimális számtartomáy k. 0-38 - 0 38 k. 0-308 - 0 308 Legkise em ormalizált szám k. 0-45 k. 0-324 Értékes decimális jegyek száma ormalizált esete 7 6
Programtervezési ismeretek - - 8 - FELADATOK. a. Bizoyítsuk e az alsó és felső egészrész függvéyekek a szövege összefoglalt.-7- tulajdoságait! 2. Töltsük ki az alái tálázatot! Számredszer alapszáma és a szám 2 3 8 0 2 6 36 000 2020 234567 973 234 9AB XYZ 3. Töltsük ki az alái tálázatot! Számredszer alapszáma és a szám 2 3 8 0 2 6 36 00, 20, 4567, 973, 234, AB, YZ, 4. a. Töltsük ki az alái tálázatot decimálisa! Byte hexáa 00 0 2 3 20 30 35 62 80 8 A0 E9 FF Előjel élküli egész Előjeles egész. Töltsük ki az alái tálázatot decimálisa! Szó hexáa 00 0 2 3 20 30 35 A0 80 8 E9 FF Előjel élküli egész Előjeles egész c. Töltsük ki az alái tálázatot decimálisa! (Leegőpotos esete 7 értékes jegyre, szükség eseté decimálisa ormalizálva, ha a szám kise, mit 0-7, vagy agyo, mit 0 7.)
Programtervezési ismeretek - - 9 - Duplaszó hexáa 00 0 2 3 20 30 35 A0 80 8 E9 FF Előjel élküli egész Előjeles egész Leegőpotos 5. Egy millió itet akaruk elhelyezi a memóriáa egymást követő yte-oko. Háy yte-ak foglaljuk helyet? Háy szóak? Háy dupla szóak? Háy quadr-ak (dupla duplaszó)? 6. a. Töltsük ki az alái tálázatot! Jegyek száma Számredszer 2 0 6 Szám 2 2 0 0 6 6. Ha egy pozitív egész szám 34 jegyű 2-es számredszere, háy jegyű 6-osa? Adható-e általáos formula iáris -jegyű számok esetére? Ha ige, adjo ilyet, ha em, idokolja meg, miért em! c. Ha egy pozitív egész szám 9 jegyű 6-os számredszere, háy jegyű 2-es számredszere? Adható-e általáos formula hexadecimális -jegyű számok esetére? Ha ige, adjo ilyet, ha em, idokolja meg, miért em! 7. Adja meg a 3-as, a 4-es, a 8-as, és a 2-es összeadó- és szorzótálákat! 8. Milye módo kapcsolódik egymáshoz az orosz paraszt módszer és a kettes számredszer? 9. Legye x = α + k β, k = 0,,2,3,4, 5! Itt α = 23 és α = 0 lehet, valamit β = 0,72 és β = 0, 9. Határozza meg az x, x, { x }, és Roud(x) értékeket az összes lehetséges alfa, éta és k esetére. Készítse az eeredméyek számára alkalmas szemléltető tálázatokat! 0. Legye A={, } és B={,, *}! Határozza meg az A B, B A, A 3, és B 2 halmazokat!. Legye az a a 9. feladat végeredméyei közül az alsó egészrész, pedig legye redre -5, -2, 0, 2, 5! Határozza meg az a div és a mod értékeket!