6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)

Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós, állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenletet, melynek megoldásai az alábbi függvények. Írjuk fel az egyenlet általános megoldását is. a) e 5x e x b) 6x + 5e x c) 7x, sin 5x d) x e x, e x e) 6 + e x sin x Megoldás. A megadott függvények p(x)e αx alakú tagok összegei, ahol p polinom (lehet konstans is). Az állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenletek megoldásánál láthattuk, hogy egy ilyen függvény akkor megoldás, ha minden tagja megoldás, aminek az feltétele, hogy α a karakterisztikus polinom gyöke legyen legalább (deg p) + 1 multiplicitással. A rend akkor lesz a legalacsonyabb, ha pontosan ezek a gyökök és pontosan ekkora a multiplicitás. a) 5 és egyszeres gyökök: y y 15y = 0, az általános megoldás Ae 5x + Be x. b) 0 háromszoros, egyszeres gyök: y y = 0, az általános megoldás A + Bx + Cx + De x. c) 0 kétszeres, ±5i egyszeres gyökök: y + 5y = 0, az általános megoldás A + Bx + C cos 5x + D sin 5x. d) háromszoros, egyszeres gyök: y 9y + 0y 44y + 4y = 0, az általános megoldás (A + Bx + Cx )e x + De x. e) 0 egyszeres, ± i egyszeres gyökök: y 6y + 10y = 0, az általános megoldás A + Be x cos x + Ce x sin x.. Oldjuk meg a következő inhomogén lineáris, állandó együtthatós egyenleteket. a) y 5y + 6y = sin x b) y 5y + 6y = xe x c) y 6y + 1y = 9 d) y y y = e x, y(0) =, y (0) = 1 e) y y + y = e x + 4x 6 f) y y + y = x + e x g) y y + y = 6e x h) y + 8y + 5y = e 4x i) y + y = x + j) y + y = sin x Megoldás. a) A karakterisztikus polinom λ 5λ + 6 = (λ )(λ ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Be x. Nincs külső rezonancia, így az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = C cos x + D sin x alakban keressük. Az egyenletbe helyettesítve 4C cos x 4D sin x 10C sin x + 10D cos x + 6C cos x + 6D sin x = sin x,

tehát C 10D = 0 10C + D =. Ennek megoldása C = 5, D = 1, tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása 6 6 y(x) = 5 6 cos x + 1 6 sin x + Aex + Be x. b) A karakterisztikus polinom λ 5λ + 6 = (λ )(λ ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Be x. Nincs külső rezonancia, így az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = (C 1 + C x)e x alakban keressük. Az egyenletbe helyettesítve tehát (C 1 + C + C x)e x 5(C 1 + C + C x)e x + 6(C 1 + C x)e x = xe x, C 1 C = 0 C =. Ebből C = 1, C 1 =, tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása ex + xe x + Ae x + Be x. c) A karakterisztikus polinom λ 6λ + 1 = (λ ( + i))(λ ( i)), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x cos x + Be x sin x. Nincs külső rezonancia, így az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = C alakban keressük. Az egyenletbe helyettesítve 1C = 9, vagyis C = adódik, az inhomogén egyenlet általános megoldása így y(x) = + Ae x cos x + Be x sin x. d) A karakterisztikus polinom λ λ = (λ + 1)(λ ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Be x. Külső rezonancia van, így az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = Cxe x alakban keressük. Az egyenletbe helyettesítve 4Ce x + 4Cxe x (Ce x + Cxe x ) Cxe x = e x, tehát C =, vagyis C = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása és annak deriváltja y(x) = xe x + Ae x + Be x y (x) = e x + xe x Ae x + Be x, A kezdeti feltétel alapján = y(0) = A + B 1 = y (0) = 1 A + B, amiből A =, B = 1. A kezdetiérték-feladat megoldása tehát y(x) = xe x + e x + e x.

e) A karakterisztikus polinom λ λ+λ = (λ 1)(λ ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x +Be x. Nincs külső rezonancia, az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = Ce x + (D 0 + D 1 x + D x ) alakban keressük. Az egyenletbe behelyettesítve 9Ce x + D (C 1 e x + D 1 + D x) + (Ce x + D 0 + D 1 x + D x ) = e x + 4x 6 adódik, tehát D 0 D 1 + D = 6 D 1 6D = 0 D = 4 C = 1. Ebből C = 1, D 0 = 4, D 1 = 6, D =. Az inhomogén egyenlet általános megoldása y(x) = 1 ex + 4 + 6x + x + Ae x + Be x. f) A karakterisztikus polinom λ λ + λ = (λ 1)(λ ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Be x. Az e x tag miatt külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = C 0 + C 1 x + Dxe x alakban keressük. Az egyenletbe behelyettesítve De x + Dxe x (C 1 + De x + Dxe x ) + (C 0 + C 1 x + Dxe x ) = x + e x adódik, tehát C 0 C 1 = 0 C 1 = 1 D = 1, amiből C 0 =, C 4 1 = 1, D = 1, tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása y(x) = 4 + 1 x xex + Ae x + Be x. g) A karakterisztikus polinom λ λ + 1 = (λ 1), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Bxe x (belső rezonancia). Az inhomogén tag kitevőjében x együtthatója szintén 1, tehát külső rezonancia is van, az inhomogén egyenlet megoldását Cx e x alakban keressük. Behelyettesítés után az egyenlet Ce x + 4Cxe x + Cx e x (Cxe x + Cx e x ) + Cx e x = 6e x, azaz C = 6, amiből C =. Az inhomogén egyenlet általános megoldása y(x) = x e x + Ae x + Bxe x. h) A karakterisztikus polinom λ +8λ+5, ennek gyökei 4±i, tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae 4x cos x+be 4x sin x. Nincs külső rezonancia, az inhomogén egyenlet megoldását Ce 4x alakban keressük. Behelyettesítve 16Ce 4x + 8 ( 4)Ce 4x + 5Ce 4x = e 4x adódik, vagyis 9C = 1, tehát C = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 9 y(x) = 1 9 e 4x + Ae 4x cos x + Be 4x sin x.

i) A karakterisztikus polinom λ + λ = λ(λ + ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása A+Be x. Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = (C 0 + C 1 x)x alakban keressük. Ezt behelyettesítve a C 1 + (C 0 + C 1 x) = x + egyenletet kapjuk, amiből C 1 + C 0 = 4C 1 =. Az egyenletrendszerből C 0 = 1, C 1 = 1, az inhomogén egyenlet általános megoldása y(x) = x + 1 x + A + Be x. j) y + y = sin x A karakterisztikus polinom λ + 1, ennek gyökei ±1, tehát a homogén egyenlet általános megoldása A cos x + B sin x. Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását Cx cos x+dx sin x alakban keressük. Ezt behelyettesítve az egyenlet C sin x Cx cos x + D cos x Dx sin x + Cx cos x + Dx sin x = sin x, azaz a feltétel D = 0, C = 1. Ebből C = 1, D = 0, így az inhomogén egyenlet általános megoldása y(x) = 1 x cos x + A cos x + B sin x.. Oldjuk meg a következő differenciálegyenleteket. a) y (4) 8y + 16y = x 9 b) y + y = sin x cos x, y(0) = 1, y (0) = 1 c) y y y + y = 1 ex + 1 e x Megoldás. a) A karakterisztikus polinom λ 4 8λ + 16λ = λ (λ 4), tehát a homogén egyenlet általános megoldása A+Bx+Ce 4x +Dxe 4x (belső rezonancia). Külső rezonancia is van, az inhomogén egyenlet megoldását (C 0 + C 1 x)x alakban keressük. Ezt behelyettesítve az egyenlet amiből 8 6C 1 + 16(C 0 + 6C 1 x) = x 9, C 0 48C 1 = 9 96C 1 =, tehát C 0 = 1, C 4 1 = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 48 y(x) = 1 4 x + 1 48 x + A + Bx + Ce 4x + Dxe 4x. b) A karakterisztikus polinom λ +1, ennek gyökei ±i, tehát a homogén egyenlet általános megoldása A cos x + B sin x. Az inhomogén tag sin x cos x = sin x, tehát nincs külső 4

rezonancia, az inhomogén egyenlet megoldását C cos x + D sin x alakban keressük. Behelyettesítve 4C cos x 4D sin x + C cos x + D sin x = sin x, amiből C = 0, D = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása és annak deriváltja y(x) = 1 sin x + A cos x + B sin x y (x) = cos x A sin x + B cos x. A kezdeti feltétel alapján 1 = y(0) = A 1 = y (0) = + B, tehát A = 1, B = 5. A kezdetiérték-probléma megoldása y(x) = 1 sin x + cos x + 5 sin x. c) ỵ y y +y = 1 ex + 1 e x A karakterisztikus polinom λ λ λ+ = (λ+1)(λ 1)(λ ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása y(x) = Ae x + Be x + Ce x. Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását y(x) = Cxe x +De x alakban keressük. A behelyettesítés után kapott egyenlet 1Ce x + 8Cxe x 8De x (4Ce x + 4Cxe x + 4De x ) (Ce x + Cxe x De x ) + (Cxe x + De x ) = 1 ex + 1 e x, azaz 1D = 1, C = 1, amiből C = 1, D = 1. Az inhomogén egyenlet általános 6 4 megoldása y(x) = 1 6 xex 1 4 e x + Ae x + Be x + Ce x. További gyakorló feladatok 4. Oldjuk meg a következő lineáris, állandó együtthatós egyenleteket. a) y + y y = e x b) y + y + y = e x c) y + y + y = e x d) y + y + y = cosh x e) y + y + y = x cosh x f) y (4) + 5y 6y = 0 g) y (4) + 6y + 5y = 0 h) y + y 6y = x e x i) y + y 6y = xe x j) y + y 6y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0 k) y + y + y + y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 0 l) y + y + y + y = xe x 5

Megoldás. a) A karakterisztikus polinom λ + λ = (λ 1)(λ + ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Be x. Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását Cxe x alakban keressük. Behelyettesítve Ce x + Cxe x + (Ce x + Cxe x ) Cxe x = e x, azaz 4C = 1, C = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 4 y(x) = 1 4 xex + Ae x + Be x. b) A karakterisztikus polinom λ + λ +, ennek gyökei 1 ± i, tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x cos x + Be x sin x. Nincs külső rezonancia, az inhomogén egyenlet megoldását Ce x alakban keressük. Behelyettesítve Ce x + Ce x + Ce x = e x, azaz C = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 5 y(x) = 1 5 ex + Ae x cos x + Be x sin x. c) A karakterisztikus polinom λ + λ + 1 = (λ + 1), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Bxe x (belső rezonancia). Nincs külső rezonancia, az inhomogén egyenlet megoldását Ce x alakban keressük. Behelyettesítve Ce x + Ce x + Ce x = e x, amiből C = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 4 y(x) = 1 4 ex + Ae x + Bxe x. d) A karakterisztikus polinom λ + λ + 1 = (λ + 1), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x +Bxe x (belső rezonancia). Az inhomogén tag 1 ex + 1 e x alakba írható, a második tag miatt külső rezonancia is van, így az inhomogén egyenlet megoldását Ce x + Dx e x alakban keressük. Behelyettesítve az egyenlet azaz Ce x + Dx e x 4Dxe x + De x + (Ce x + Dxe x Dx e x ) + Ce x + Dx e x = 1 ex + 1 e x, 4Ce x + De x = 1 ex + 1 e x alakú lesz, amiből C = 1, D = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 8 4 y(x) = 1 8 ex + 1 4 x e x + Ae x + Bxe x. e) A karakterisztikus polinom λ + λ + 1 = (λ + 1), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x +Bxe x (belső rezonancia). Az inhomogén tag 1 xex + 1 xe x, a második tag miatt külső rezonancia is van, az inhomogén egyenlet megoldását (C 0 + C 1 x)e x + 6

(D 0 + D 1 x)x e x alakban keressük. Behelyettesítés és a zárójel felbontása után az egyenlet amiből a 4C 0 e x + 4C 1 e x + 4C 1 xe x + D 0 e x + 6D 1 xe x = 1 xex + 1 xe x, 4C 0 + 4C 1 = 0 4C 1 = 1 D 0 = 0 6D 1 = 1 egyenletrendszer adódik. Ennek megoldása C 0 = 1 8, C 1 = 1 8, D 0 = 0, D 1 = 1 1, tehát az inhomogén egyenlet általános megoldása y(x) = 1 8 ex + 1 8 xex + 1 1 x e x + Ae x + Bxe x. f) Az egyenlet homogén, a karakterisztikus polinom λ 4 +5λ 6, ami λ -ben másodfokú. Akkor 0 az értéke, ha λ = 4 vagy λ = 9, tehát a gyökök ± és ±i. Az egyenlet általános megoldása y(x) = Ae x + Be x + C cos x + D sin x. g) Az egyenlet homogén, a karakterisztikus polinom λ 4 + 6λ + 5, ami akkor 0, ha λ = ± 4i, azaz λ = ±(1 + i) és λ = ±(1 i). Az egyenlet általános megoldása y(x) = Ae x cos x + Be x sin x + Ce x cos x + De x sin x. h) A karakterisztikus polinom λ +λ 6 = (λ )(λ+), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x +Be x. Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását (C 0 + C 1 x + C x )xe x alakban keressük. Behelyettesítés és a zárójelek felbontása után az egyenlet azaz 5C 0 e x + C 1 e x 10C 1 xe x + 6C xe x 15C x e x = x e x, 5C 0 + C 1 = 0 10C 1 + 6C = 0 15C = 1. Ebből C 0 =, C 15 1 = 1, C 5 = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 15 y(x) = ( 15 1 5 x 1 15 x )xe x + Ae x + Be x. i) A karakterisztikus polinom λ + λ 6 = (λ )(λ + ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása Ae x + Be x. Külső rezonancia van, az inhomogén egyenlet megoldását (C 0 +C 1 x)xe x alakban keressük. Behelyettesítés és a zárójelek felbontása után az egyenlet 5C 0 e x + C 1 e x + 10C 1 xe x = xe x, 7

azaz 5C 0 + C 1 = 0 10C 1 = 1. Ebből C 0 = 1, C 5 1 = 1, így az inhomogén egyenlet általános megoldása 10 y(x) = 1 5 xex + 1 10 x e x + Ae x + Be x. j) A karakterisztikus polinom λ + λ 6 = (λ )(λ + ), tehát a homogén egyenlet általános megoldása és annak deriváltja y(x) = Ae x + Be x y (x) = Ae x Be x. A kezdeti feltétel alapján 1 = y(0) = A + B 0 = y (0) = A B, amiből A =, B =. Tehát a kezdetiérték-probléma megoldása 5 5 y(x) = 5 ex + 5 e x. k) A karakterisztikus polinom λ + λ + λ + 1 = (λ + 1), tehát 1 háromszoros gyök (belső rezonancia). Az egyenlet általános megoldása és annak deriváltjai y(x) = Ae x + Bxe x + Cx e x y (x) = Ae x + Be x Bxe x + Cxe x + Cx e x y (x) = Ae x Be x + Bxe x + Ce x 4Cxe x + Cx e x. A kezdeti feltétel alapján 1 = y(0) = A 0 = y (0) = A + B 0 = y (0) = A B + C, tehát A = 1, B = 1, C = 1. A kezdetiérték-probléma megoldása y(x) = e x + xe x + 1 x e x. l) y + y + y + y = xe x A karakterisztikus polinom λ + λ + λ + 1 = (λ + 1), tehát 1 háromszoros gyök (belső rezonancia). Az egyenlet általános megoldása Ae x +Bxe x +Cx e x. Külső rezonancia is van, így az inhomogén egyenlet megoldását (C 0 + C 1 x)x e x alakban keressük. Behelyettesítés után az egyenlet 6C 0 e x + 4C 1 xe x = xe x, amiből C 0 = 0, C 1 = 1. Az inhomogén egyenlet általános megoldása 4 y(x) = 1 4 x4 e x + Ae x + Bxe x + Cx e x. 8